定义域问题专题训练
定义域试题及答案
定义域试题及答案1. 已知函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \)，请找出该函数的定义域。
答案：函数 \( f(x) \) 的定义域是除了 \( x = \pm 2 \) 以外的所有实数。
因为当 \( x = \pm 2 \) 时，分母为零，函数无定义。
2. 函数 \( g(x) = \sqrt{2x - 3} \) 的定义域是什么？答案：函数 \( g(x) \) 的定义域是 \( x \geq \frac{3}{2} \)。
因为根号下的表达式必须非负，所以 \( 2x - 3 \geq 0 \)。
3. 确定函数 \( h(x) = \log_2(x - 1) \) 的定义域。
答案：函数 \( h(x) \) 的定义域是 \( x > 1 \)。
因为对数函数的自变量必须大于零，所以 \( x - 1 > 0 \)。
4. 函数 \( p(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} \) 的定义域是什么？答案：函数 \( p(x) \) 的定义域是所有实数，除了 \( x = 3 \)。
因为分母 \( x^2 - 6x + 9 \) 可以分解为 \( (x - 3)^2 \)，当 \( x = 3 \) 时分母为零。
5. 求函数 \( q(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处的定义域。
答案：函数 \( q(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的定义域是 \( x \neq 0 \)。
因为 \( x = 0 \) 时分母为零，所以 \( x = 0 \) 不在定义域内。
6. 函数 \( r(x) = \sqrt[3]{x^3 - 8} \) 的定义域是什么？答案：函数 \( r(x) \) 的定义域是所有实数。
因为立方根函数对所有实数都有定义。
7. 确定函数 \( s(x) = \frac{1}{x - 1} + 2 \) 的定义域。
函数问题的灵魂-定义域问题-学会解题之高三数学多题一解(原卷版)
函数问题的灵魂——定义域【高考地位】在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数．定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题．通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小．方法一 直接法万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式已知的情况下解题模板第一步 找出使函数()f x 所含每个部分有意义的条件，主要考 虑以下几种情形：（1） 分式中分母不为0； （2） 偶次方根中被开方数非负； （3） 0x 的底数不为零；（4） 对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0； （5） 正切函数tan y x =的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈．第二步 列出不等式（组）；第三步 解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数()f x 的定义域．【例1】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-- ） A ．[]1,2B ．()1,2C ．(]1,2D ．[)1,2【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）函数()261xf x x x x =-++-的定义域为（ ） A ．(][)23∞∞--⋃+，， B ．[)(]3112-⋃，， C ．[)(]2113-⋃，， D ．()()2113-⋃，，例2．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )【变式演练2】5．（2023·全国·高三专题练习）若函数()22ln 2y x x a x =+++的定义域为[)1,+∞，则=a （ ） A ．-3B ．3C ．1D ．-1例3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,4【变式演练3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．方法二 抽象复合法 万能模板 内 容使用场景 涉及到抽象函数求定义域 解题模板利用抽象复合函数的性质解答：(1)已知函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域．(2)已知复合函数的定义域为，求函数的定义域： 只需根据求出函数的值域，即为函数的定义域．例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ） A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【变式演练4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()31g x x =-的定义域为（ ）()f x (,)a b [()]f g x ()a g x b <<[()]f g x [()]f g x (,)a b ()f x a x b <<()g x ()f xA ．1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式演练5】11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()21log xf x x-=，()1f x +的定义域为M ，()2f x 的定义域为N ，则（ ） A ．M NB ．M N ⋂=∅C ．M ⊆ND ．N ⊆M方法三 实际问题的定义域万能模板 内 容使用场景 函数的实际应用问题解题模板第一步 求函数的自变量的取值范围； 第二步 考虑自变量的实际限制条件；第三步 取前后两者的交集，即得函数的定义域．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为40cm ，底边长()y cm 是腰长()x cm 的函数，则函数的定义域为( ) A ．()10,20B ．()0,10C ．()5,10D ．[)5,10【变式演练7】（2021·全国课时练习）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为.①求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.【高考再现】1．【2017山东理】设函数的定义域A ，函数的定义域为B ，则A B ⋂=（A ）（1，2） （B ）（C ）（-2，1） （D ）[-2，1)2．【2016·全国卷Ⅱ】 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x21305h t t =-3．【2014山东．理3】 函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A ．)21,0( B ．),2(+∞ C ．),2()21,0(+∞ D ．),2[]21,0(+∞ 4．【2015高考重庆，文3】函数的定义域是（ ）(A) (B) (C) (D)5．【2015高考湖北，文6】函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．6.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________． 7．【2015高考山东，理14】已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += ．8．【2019年高考江苏】函数276y x x =+-的定义域是 ▲ ．【反馈练习】1．（2021·天津高三期末）函数的定义域为（ ） A ． B ． C ． D ．2．【云南省昆明市第一中学2020届高三考前第九次适应性训练】设函数21y x =-A ，函数12x y -=的值域为B ，则A B =( )A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,1-D ．[]1,1-3．（2023·全国·高三专题练习）若函数()y f x =的定义域是[]1,3，则函数()()21ln f x h x x-=的定义域是（ ）A ．[]1,3B ．(]1,3C ．(]1,2D ．[]1,24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()21f x -的定义域为{}1|0x x <<，则函数()211f x x --的定义域为（ ）22(x)log (x 2x 3)f [3,1](3,1)(,3][1,)-∞-+∞(,3)(1,)-∞-+∞256()4||lg 3x x f x x x -+=--(2,3)(2,4](2,3)(3,4](1,3)(3,6]-()()221log 21f x x x x =+--()1,2()(),02,-∞+∞()(),11,2-∞()()0,11,2A ．(0,1)B ．(1,2)C ．()()0,11,2D ．()(),11,1-∞--5．（2021·广东深圳中学高三期中）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A ．B ．C ．D ．6．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）已知函数()f x 的定义域为B ，函数()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．13,16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．130,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1313,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭7．（2019·河北张家口中学月考）若函数2()2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ） A ．[0,8) B ．(8,)+∞ C ．(0,8) D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞ 8．（2022·全国·高三专题练习）函数()1ln 34y x x=-+的定义域是________ 9．（2022·全国·高三专题练习）函数()02lg 2112x y x x x -=++-的定义域是________．10．（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）函数()1f x x=-的定义域为___________. 11．（2023·全国·高三专题练习）函数()2lg 1tan π14y x x =+-___________. 12．（2023·全国·高三专题练习）函数()()21lg 2f x x x +-的定义域是_______．13．（2023·全国·高三专题练习）函数()()22log 29142f x x x =-+-___________.14．（2023·全国·高三专题练习）函数()2lgcos 25f x x x =-______．15．（2021·全国）设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图），要求满足条件（常数），，写出横截面的面积y 关于腰长x 的函数，并求它的定义域和值域.16．（2023·全国·高三专题练习）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A 、B 及CD 的中40cm ()y cm ()x cm ()10,20()0,10()5,10[)5,10AB BC CD a++=120ABC ︒∠=点P 处．20AB =km ，10BC =km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A 、B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．(1)设BAO θ∠=（弧度），将y 表示成θ的函数并求函数的定义域；(2)假设铺设的污水管道总长度是(10103+km ，请确定污水处理厂的位置．17．（2022·浙江·高三专题练习）如图，点D 是曲线()22104y x y +=≥上的动点(点D 在y 轴左侧)，以点D 为顶点作等腰梯形ABCD ，使点C 在此曲线上，点,A B 为曲线与x 轴的交点.(1)若直线l 过原点，且斜率为-2，与曲线交于点D ，求此时等腰梯形ABCD 的面积；(2)若设2CD x =，等腰梯形ABCD 的面积为()S x ，写出函数()S x 的解析式，并求出函数的定义域.。
整理定义域值域练习题
一、常见抽象函数定义域一）已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．二）已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．三）已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域．练习题： 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(l o g 2x f 的定义域为 。
二、常用函数定义域的求法已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。
一般有以下几种情况：●分式中的分母不为零； ●偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ●指数式的底数大于零且不等于1； ● 对数式的底数大于零且不等于1，真数大于零。
● 正切函数x y tan = ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且例1（2000上海） 函数x x y --=312log2的定义域为 。
例2 函数y的定义域为_ ___ .例3 求函数y 11x -的定义域．例4 求函数y ＝()022x x -+.巩固练习1、（2002上海春）函数2231x x y --=的定义域为 。
函数的定义域练习题
函数的定义域练习题一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = 1/x的定义域是：A. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)B. [0, +∞)C. (-∞, +∞)D. (-∞, 0) ∪ [1, +∞)2. 若函数f(x) = √x的定义域为[0, 1]，则其反函数的定义域为：A. [0, 1]B. [1, √1]C. [√0, √1]D. [1, 0]3. 函数f(x) = log2(x - 3)的定义域为：A. (-∞, 3)B. (3, +∞)C. [3, +∞)D. (-∞, +∞)4. 函数f(x) = sin(πx)的定义域是：A. (-∞, +∞)B. [0, 1)C. [0, 1]D. (0, 1)5. 若函数f(x) = √(x - 1) + 2的定义域为[1, 3]，则其反函数的定义域为：A. [1, 3]B. [3, 5]C. [2, 4]D. [1, 5]二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x) = 1/√x的定义域为_________。
7. 若函数f(x) = log10(x + 1)的定义域为(-2, 3]，则其值域为_________。
8. 函数f(x) = √(4 - x)的定义域为_________。
9. 若函数f(x) = 1/(x^2 - 1)的定义域为(-∞, -1) ∪ (1, +∞)，则其值域为_________。
10. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的定义域为_________。
三、解答题（每题15分，共30分）11. 已知函数f(x) = √(-x) + 3x^2，请求解其定义域，并判断该函数在定义域内是否单调。
12. 给定函数f(x) = log3(x + 2) - 1/x，求其定义域，并讨论其在定义域内的单调性。
四、综合应用题（每题25分，共25分）13. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 0.5x^2 - 100x + 5000，其中x表示生产数量。
复习专题定义域和值域
1 2
∴函数的值域为（-∞，2）∪（2，+∞） 方法二：反函数法 由y=
2x + 1 得 ( x − 3) y = 2 x + 1 ( x ≠ 3) ， x−3
1 2
整理得： ( y − 2) x = 3 y + 1 ， �若 y − 2 = 0 ，有 3 y + 1 = 0 ，与 y − 2 = 0 矛盾
1− 2
x
的定义域是（
）
B．[0，＋∞ ) D．（－∞，＋∞）
1 的定义域 f ( x) = 2 log 2 ( − x + 4 x − 3)
（ ） B． (−∞,1) ∪ (3,+∞) D．[1，3]
③对数式的真数大于 0， 底数大于 0 且不等于 1； ④指数为 0 时，底数不等于 0 2、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的 定义，其包含两类： ①已知 f [ g ( x)] 的定义域为 x ∈ ( a, b) 求 f ( x ) 的定义域，方法是：利用 a < x < b 求得 g ( x) 的值 域，则 g ( x) 的值域即是 f ( x) 的定义域。 ②已知 f ( x) 的定义域为 x ∈ ( a, b) 求 f [ g ( x )] 的定义域,方法是：由 a < g ( x ) < b 求得 x 的范围， 即为 f [ g ( x )] 的定义域。 3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数 有意义外，还要符合实际问题的要求。 （三）确定函数的值域的原则 1、 当数 y = f ( x ) 用表格给出时，函数的值域是 指表格中实数 y 的集合。 2、 当函数 y = f ( x ) 图象给出时，函数的值域是 指图象在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的集合。 3、 当函数 y = f ( x ) 用解析式给出时， 函数的值
专题05-函数：定义域归类大全-2023学年高一数学培优练(人教A版2019第一册)(原卷版)
专题5函数：定义域归类大全目录【题型一】开偶次方根函数定义域 (2)【题型二】解绝对值函数不等式求定义域 (3)【题型三】抽象函数定义域 1：f(x)→f(g(x))型 (4)【题型四】抽象函数定义域2：f(g(x))→f(x)型 (6)【题型五】抽象函数定义域3：f(g(x))→f(h（x）)型 (7)【题型六】抽象函数定义域4：f(x)→f(g（x）)+f(h（x）) (8)【题型七】抽象与具体函数混合型 (9)【题型八】嵌入型（内外复合）函数型定义域 (11)【题型九】恒成立含参型 (12)【题型十】对数函数定义域 (14)【题型十一】定义域：解指数函数不等式 (15)【题型十二】正切函数定义域 (16)【题型十三】解正弦函数不等式求定义域 (17)【题型十四】解余弦函数不等式求定义域 (18)【题型十五】求分段函数定义域 (20)【题型十六】实际应用题中的定义域应用 (21)培优第一阶——基础过关练 (23)培优第二阶——能力提升练 (26)培优第三阶——培优拔尖练 (30)综述：常考函数的定义域：1 . f (x )0 → f (x ) ≠ 0 ；②. →f →ff (x )→ f (x )> 0 ；④. loga⑥.实际问题中，需根据实际问题限制范围.【题型一】开偶次方根函数定义域【典例分析】的定义域为 ( ) 例1（2021·福建·厦门市海沧中学高一期中）函数f(x)=√x(3−x)+√x−1A ．[0, 3]B ．[1, 3]C ．[3, +∞)D ．(1, 3]【变式训练】1.（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为(−∞, 1] ，则实数a 的取值集合为 ( )A ．{1}B ．(∞, 1]C ．[1, +∞)D ．(∞,1) (1, +∞)的定义域是 ( )2.（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数y=√1−x2+1x3A ．(∞, 1]B ．(1, 0) U (0, 1)C ．[1, 0) U (0, 1]D ．(0, 1]3.（2022·全国·高一专题练习）函数f的定义域为 ( )A．B.C． D .【题型二】解绝对值函数不等式求定义域【典例分析】例2函数y = 的定义域是 ( )A ．(0, +∞)B ．(∞, 0)C ．(0, 1) U (1, +∞)D ．(∞, 1) (1, 0 ) (0, +∞)【提分秘籍】基本规律绝对值不等式：| f(x) |< g(x) g(x) < f(x) < g(x)1.2. | f(x) |> g(x) f(x) > g(x)或者f(x) < g(x)【变式训练】1.（2022·广东·广州六中高一期末）函数y = 的定义域是.2.（2021·江苏·常州市第二中学高一期中）函数f(x)=√2−|1−2x|的定义域是.3.（2021·北京市第九中学高一期中）函数f(x)=√|2x−3|−1的定义域是.【题型三】抽象函数定义域1：f(x)→f(g(x))型【典例分析】例3（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测）已知函数y = f (x ) 的定义域为[-1, 5] ，则函数y = f (2x2 -1) 的定义域为 ( )A ．[0, 3]B ．[-3.3]C ．[−√3，√3]D ．[-3, 0]【变式训练】1.（2022·全国·高一专题练习）已知f的定义域为 ( )A ．(-∞, 1) (1, 3)B ．(-∞, 2) (2, 4)C ．(-∞, 0) u (0, 2 )D ．(-∞, 2)2.（2015·上海·闵行中学高一期中）已知函数y = f (x +1) 的定义域为[-2 ，3] ，则函数y = f (2|x|−1)的定义域为 ( )B ．[-1，4]D.3.（2018·江西·南康中学高一期中）已知函数f(x) 的定义域为[3, +∞) ，则函数f (+1) 的定义域为 ( )A ．B ．C ．D .【题型四】抽象函数定义域2：f(g(x))→f(x)型【典例分析】例4（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域是[1, +∞) ，则函数y = f (x ) 的定义域是.【变式训练】1.（2019·陕西·渭南市尚德中学高一阶段练习）若函数f(x -1) 的定义域为[-1, 2] ，那么函数f(x) 中的x 的取值范围是.2.（2020·山西·太原五中高一阶段练习）若函数f(2x -1) 的定义域为[0, 1] ，则函数f(x) 的定义域为 ( )A ．[-1, 0]B ．[-3, 0]C ．[0, 1]D ．[-1, 1]3.（2023·全国·高一专题练习）已知f(x2 -1) 的定义域为[−√3，√3]，则f (x ) 的定义域为 ( )A ．[-2,2] B．[0, 2] C．[-1, 2] D .[−√3，√3]【题型五】抽象函数定义域3：f(g(x))→f(h（x）)型【典例分析】例5（2022·全国·高一课时练习）函数y = f (x - 3) 的定义域为[4, 7 ] ，则y = f (x2 ) 的定义域为()A ．(1, 4)B ．[1, 2]C ．(-2, -1) (1, 2)D ．[-2, -1] U [1, 2]【变式训练】1.（2021·辽宁·沈阳市第一中学高一期中）函数f(|x|+1)的定义域为[-1, 2]，则函数f (2x ) 的定义域为 ( )B.D.2.（2022 ·全国·高一课时练习）若函数f (x2 - 2) 的定义域为[-1, 3] ，则函数f (x ) 的定义域为; 若函数f(2x - 3) 的定义域为[1, 3) ，则函数f (1- 3x ) 的定义域为.3.（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）f(2x -1) 的定义域为[0, 1) ，则f(1-3x) 的定义域为 ( )A ．(-2, 4]B ．C ．（0,D ．(0,【题型六】抽象函数定义域4：f(x)→f(g（x）)+f(h（x）)【典例分析】例6（2021·全国·高一单元测试）已知函数f (x ) 的定义域为，若c ∈则函数g (x ) = f (x + c )+ f (x - c )的定义域为 ( )A ．(-c, 1 - c )B ．(c, 1- c )C ．(1- c, c )D ．(c, 1+ c )【变式训练】1.（2021·安徽蚌埠·高一期末）已知函数f (x )的定义域是[0, 2] ，则函数g(x)=f(x+12)+)的定义域是 ( )f(x−12B ．,C ．-,D ．[0, 2]2.（2020·安徽·繁昌皖江中学高一期中）已知函数f(x) 的定义域为[0, 4] ，求函数y = f(x + 3) + f(x2 )的定义域为 ( )A ．[-2, -1]B ．[1, 2]C ．[-2, 1]D ．[-1, 2]3.（2021·江西·黎川县第一中学高一阶段练习）若函数y = f(x) 的定义域是[0, 1] ，则函数F(x) = f(x + a) + f(2x + a)(0 < a <1) 的定义域是( )B.【题型七】抽相与具体函数混合型【典例分析】例7（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）已知函数f (2x - 2) 的定义域为{x | x < 1} ，则函数的定义域为 ( )A ．(-∞, 1)B ．(-∞, -1)C ．(-∞, -1) U (-1, 0)D ．(-∞, -1) U (-1, 1)【变式训练】1.（2021·河南·高一期中）已知函数y = f (2x -1) 的定义域是，则y = 的定义域是 ( )A ．[-2, 5]B ．(-2, 3]C ．[-1, 3]D ．(-2, 5]3.（2022·全国·高一专题练习则的定义域为（）.A.（-4,0）∪（0,4）B.（-4,-1）∪（1,4）C.（-2,-1）∪（1,2）D.（-4,-2）∪（2,4）3.2021·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）若函数f (x +1) 的定义域为[-1, 15] ，则函数的定义域为 ( )A ．[1, 4]B ．(1, 4]C ．[1, 14]D ．(1, 14]【题型八】嵌入型（内外复合）函数型定义域【典例分析】例8（2021·全国·高一课时练习）已知f的定义域为 ( )A ．{x | x ≠ -2}B ．{x | x ≠ -1}C ．{x x ≠ -1且x ≠ -2 }D ．{x x ≠ 0 且x ≠ -1}【变式训练】1.（2020·江西省临川第二中学高一阶段练习）已知函数f (x ) 的定义域为(0, 1] ，g (x ) = x + 2 ，那么f(g (x )) 的定义域是 ( )A ．(2, 3]B ．[0, 1)C ．(0, 1]D ．(-2, -1]设f＝.【题型九】恒成立含参型【典例分析】例9（2022·全国·高一专题练习）若函数f(x)=√ax2+ax+1定义域为R，则a 的范围是 ( )A ．[0, 4]B ．[0, 4)C ．(0, 4]D ．(0 , 4)【变式训练】1.（2021·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知函数f(x)=√2的定义域是 R ，则m的取值范围是 ( )A ． 0 ≤ m < 4B ． 0 ≤ m ≤1C ． m ≥ 4D ． 0 ≤ m ≤ 42.（2022·全国·高一专题练习） 已知y =√ax +(a−1)x+14的定义域是 R ，则实数 a 的取值范围是() A ．(0，3+√52) B .C ．(−∞，3−√52)∪(3+√52，+∞)3.（2021·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高一阶段练习）若函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(0, 4)B ． [0, 4)C ． [0, 4]D ． (0, 4]【题型十】对数函数定义域【典例分析】例10（2020·黑龙江哈尔滨·高一阶段练习 ）函数y =ln√a x 2+2x −1的值域为R ，则实数a 的取值范围是A ．[0, +∞)B ． [-1, 0) (0, +∞) 【变式训练】1.（2022·山东·枣庄市第三中学高一开学考试）已知函数f (x ) 的定义域为(0, 1) ，则 的定义域为 .2.（2021·山东省实验中学高一阶段练习）函数f(x)=√12−log 4(x −1)的定义域为______.3.（2019·黑龙江·哈九中高一阶段练习（文））已知集合A ={x |x −1>0}，B ={x |y =log 2x −2x +1}，则 A ∩ (C R B ) = ( )A ． [0, 1)B ． (1, 2)C ． (1, 2]D ． [2, +∞)【题型十一】定义域：解指数函数不等式【典例分析】例11（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )=√2x −a 的定义域为[2, +∞) ，则a =【变式训练】 1.（2023·全国·高一专题练习） 已知函数f (x )=lnx +√16−2x ，则f的定义域为 ( )A ．(0，1)B ．(1，2) C ． (0，4] D ． (0，2] 2.（2022·全国·高一专题练习）函数f的定义域为 .3.（2022·全国·高一专题练习）函数y =√3x 2−2−9的定义域为 .【题型十二】 正切函数定义域【典例分析】例12（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）函数f (x )=√1−tan 2x 的定义域为 .【提分秘籍】 基本规律正切函数，形如tan f (x )【变式训练】1.（2022 ·云南昭通 · 高一期末）函数y = -tan的定义域为 .2.（2022·全国·高一课时练习）函数y = tan 的定义域为 .【题型十三】解正弦函数不等式求定义域【典例分析】例13（2022·北京八中高一期中）函数f (x ) = lg (1- 4sin 2x )的定义域为 .【变式训练】1.（2023·全国·高一专题练习）函数y =的定义域为____________.2.（2023 ·全国 · 高一专题练习）函数f (x )=√sinx +1√16−x 2的定义域为 .3..（2023·全国·高一专题练习）函数f (x )=√1−√2sinx 的定义域为【题型十四】解余弦函数不等式求定义域【典例分析】例14（2022·陕西省安康中学高一期末）函数f的定义域为.【变式训练】1.（2022·广西·钦州一中高一期中）函数f(x)=lg(√2cosx −1)的定义域为 . 2.（2021·江苏·高一专题练习）函数f(x)=√cos 2x −sin 2x 的定义域为 . 3.（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一阶段练习）函数y =√2cosx −1 的定义域为 .____________【题型十五】求分段函数定义域【典例分析】例15（2021·广东·佛山市第三中学高一阶段练习）函数f 1的定义域是_______.【变式训练】1.（2021·全国·高一课时练习）已知函数求这个函数的定义域与值域.2.（2020·辽宁省建昌县高级中学高一阶段练习）已知函数求f (x )的定义域，值域；3.（2022 全国高一课时练习）函数y={x2，x>0−2，x<0的定义域为，值域为【题型十六】实际应用题中的定义域应用【典例分析】例16（2020·全国·高一课时练习）已知矩形的周长为定值a ，设它的一条边长为x ，则矩形面积的函数S = f (x ) 的定义域为 ( )A ．(0, +∞)B ．(0, a )C ．[0, +∞)D ．(0,)【变式训练】1.（2021·全国·高一课时练习）已知等腰三角形ABC 的周长为10,且底边长y 关于腰长x的函数关系为y= 10-2x,则函数的定义域为( )A ．{x|x∈R}B ．{x|x>0}2.（2019·全国·高一课时练习）已知等腰三角形的周长l 为常数，底边长为y ，腰长为x ，则函数y = g(x) 的定义域为 ( )A ．(0, )B ．C ．D .3.（2022·全国·高一专题练习）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h（单位：m ）与时间t（单位：s）的关系为h = 130t - 5t2 .①求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.分阶培优练培优第一阶——基础过关练1.（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）函数f(x)=1√x−1+√2−x的定义域为 ( )A ．[1, 2]B ．(1, 2)C ．(1, 2]D ．[1, 2)2.（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）函数y = 的定义域是.3.（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )的定义域为(3, 5) ，则函数f(2x +1) 的定义域为 ( )A ．(1, 2)B ．(7, 11)C ．(4, 16)D ．(3, 5)4.（2019·山东·菏泽一中高一阶段练习）已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2 ，3] ，则y=f(x)的定义域是 ( )A ．[0 ，5]B ．[-1 ，4]C ．[-3 ，2]D ．[-2 ，3]5.（2022·全国·高一专题练习）已知函数f(x +1) 的定义域为[1, 5]，则f(2x) 的定义域为 ( )A ．[1, 3]B ．[1, 4]C ．[2, 5]D ．[2, 6]6..（2021·安徽·芜湖一中高一期中）已知函数y = f(x) 的定义域为(-1, 1) ，则函数g(x) =f(x - 2) + f(1- x)的定义域为( )A ．(1, 2)B ．(-1, 1)C ．(0, 2)D ．(1, 3)7.（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x + 2) 的定义域为(-3, 4) ，则函数的定义域为( )A ．B ．C ．D .8.（2023·全国·高一专题练习）已知f的定义域为( )A ． {x | x ≠ -2}B ． {x | x ≠ -1}C ． {x x ≠ -1且x ≠ -2 }D ． {x x ≠ 0 且x ≠ -1} 9.（2022·全国·高一专题练习）若函数f(x)=√ax 2−ax +1的定义域为 R ，则 a 的范围是 ( ) A ．(0, 4) B ． [0, 4) C ． (0, 4] D ． [0, 4]10.（2022·北京·清华附中高一阶段练习）函数f (x ) = lg (x 2-1)的定义域为 .11.（2022·全国·高一专题练习）函数f 的定义域为.12.（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）函数f = tan的定义域_______13.（2018·黑龙江·鸡西市第十九中学高一期中（理））函数f(x)=log 12sinx 的定义域为( )14.（2022·上海市进才中学高一期中）函数y =lg (2cosx −√3)的定义域为 . 15.已知等腰三角形的周长为40cm ，设其底边长为y cm ，腰长为 x cm.则函数y = f (x ) 的定义域为 ( )A ．(10, 20) B ． (5, 10) C ． [5, 10) D ． (0, 20) 培优第二阶——能力提升练1.（2019·山东·菏泽一中高一阶段练习）函数f的定义域是 ( )D B..2.（2021·宁夏·银川一中高一期中）f(x)=√|x −1|−2的定义域为 ( ) A ．(-1, 3) B ． [-1, 3] C ． (-∞, -1) (3, +∞) D ． (-∞, -1]U [3, +∞)3.（2021·黑龙江·哈九中高一阶段练习）若函数y = f (x ) 的定义域是[1, 2] ，则函数y =f (√x)的定义域是 ( )A ．[1, 2]B ． [1, 4]C ．[1，,√2] D ． [2,4]4..（2023·全国·高一专题练习）已知函数f (3x +1) 的定义域为[1, 7] ，求函数f (x ) 的定义域.5.（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x +1) 的定义域为(-1, 1) ，则f(|x |)的定义域为( ) A ．(-2, 2) B ． (-2, 0)U (0, 2)C ． (-1, 0) U (0, 1)D ． (−12，0)6.（2021·全国·高一课时练习）函数f (x ) 的定义域为[一2, 2]，则函数g (x ) = f (x 一 2) . f (x 一 3) 的 定义域为 ( )A ． [1, 4]B ． [0, 5]C ． [0, 20]D ． [1, 9] 7.（2020·江西·宜春九中高一阶段练习） 已知函数f (x +1) 的定义域为[一2, 1] ，则函数的定义域为 ( )A ． [1, 4]B ． [0, 3]C ． [1, 2)U (2, 4]D ． [1, 2 ) (2, 3] 8.（2016 ·安徽合肥 · 高一阶段练习）函数 ，则y =f (f (x))的定义域是A ．B .C ．D .9.（2021·全国·高一专题练习）函数f(x)=√−mx 2−2x +1定义域为 R ，则实数 m 的取值 范围是 ( )A ．（0 ，1）B . ( ﹣∞ , ﹣ 1]C ．[1 ，+∞ )D . ( ﹣∞ , ﹣ 1）10.（2022·全国·高一专题练习）函数f (x )=1√log 2(2x 2−9x +14）−2的定义域为 .11.（2016·河北保定·高一）已知函数y = x ) 的定义域为则函数y = f (2x ) 的定义域为A ． [-1, 0]B ． [0, 2]C ． [-1, 2]D ．[0, 1] 12.（2022·北京外国语大学附属上海闵行田园高级中学高一期中）函数y =√1+tanx 的定义域是 . 13.（2022·全国·高一专题练习）函数f 的定义域为 .14.（2021·河南·高一阶段练习）函数y =1lgsinx+√cosx −12的定义域为 .15.（2021·全国·高一课时练习）已知等腰三角形的周长为40cm ，底边长y (cm ) 是腰长x (cm ) 的函数，则函数的定义域为( )A ．(10, 20)B ．(0, 10) C ． (5, 10) D ． [5, 10)培优第三阶——培优拔尖练1.（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数f (x )=√−x 2+x +6+|x |x −1的定义域为 ( )A ．(-∞,- 2] [3，+∞) B ． [-3，1) (1，2 ] C ． [-2，1) (1，3] D ． (-2，1) (1，3)2.（2021·江苏·高一单元测试）关于函数f(x)=√x 2−x 4|x−1|−1 ，描述不正确的是 ( ) A ． f (x ) 的定义域为[-1，0)(0，1] B ． f (x ) 的值域为(-1，1)C ． f (x )在定义域上是增函数D ． f (x )的图像关于原点对称3.（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测） 已知函数y = f (x ) 的定义域为[-1, 5] ，则函数y = f (2x 2 -1)的定义域为 ( )A ．[0, 3] B ． [-3.3] C ．[−√3，√3] D ． [-3, 0] 4.（2021·全国·高一课时练习） 已知f (x 2 -1)的定义域为[−√3，√3]，则f (x ) 的定义域 为 ( )A ． [-2,2]B ． [0, 2]C ． [-1, 2 ]D ．[−√3，√3]s .（2021·新疆师范大学附属中学高一阶段练习）已知f (x +1) = , 则f (2x -1) 的定义域为 ( )B ．C ．D .6.（2019·黑龙江·哈师大青冈实验中学高一阶段练习）若函数f (x )定义域为[0, 1] ，则C ． [a , 1 - a ]D ． [0, 1 - a ]7.（2020·安徽·六安一中高一阶段练习） 已知f (x ) 的定义域为[-2, 2] ，且函数A ．(-1, 1] B ． (-1, 5) C ． (-1, 3] D ． [-1, 3] 8.（2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高一阶段练习）设函数则函数f (f (x )) 的定义域为A ．(-9, +∞) B ． (-9, 1) C ． [-9, +∞) D ． [-9, 1) 9.（2020·内蒙古·包头市第四中学高一阶段练习）若函数 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ( )D B ..10.（2022·全国·高一课时练习） 已知函数y = lg 的定义域是 R ，则实数 a的取值范围是 .11.（2022·全国·高一专题练习）函数f (x )=√x +1lg [(13)x −1]的定义域为 .12.（2022·全国·高一专题练习）函数y = lg (1+ tan πx ) +的定义域为 .13.（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=log x (6−x)+√1−2sinx 定义域为 .14.（2022·全国·高一专题练习）函数f(x)=lgcosx−√25−x2的定义域为.15.（2020·上海·高一课时练习）一个等腰三角形的周长为10 ，设底边长为y ，腰长为x ，求y 关于x 的函数解析式.。
高中定义域试题及解析及答案
高中定义域试题及解析及答案1. 函数 \(f(x) = \sqrt{x - 3}\) 的定义域是什么？2. 若 \(g(x) = \frac{1}{x - 2}\)，求 \(g(x)\) 的定义域。
3. 函数 \(h(x) = \frac{3x - 5}{x^2 - 4}\) 在哪些 \(x\) 值下是有定义的？4. 已知 \(k(x) = \log_{2}(x + 4)\)，求 \(k(x)\) 的定义域。
5. 函数 \(m(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}\) 在哪些 \(x\) 值下是有定义的？解析与答案1. 对于函数 \(f(x) = \sqrt{x - 3}\)，我们需要保证根号内的表达式非负，即 \(x - 3 \geq 0\)。
解得 \(x \geq 3\)。
因此，\(f(x)\) 的定义域是 \([3, +\infty)\)。
2. 对于函数 \(g(x) = \frac{1}{x - 2}\)，分母不能为零，所以\(x \neq 2\)。
因此，\(g(x)\) 的定义域是 \((-\infty, 2) \cup (2, +\infty)\)。
3. 对于函数 \(h(x) = \frac{3x - 5}{x^2 - 4}\)，分母 \(x^2 -4\) 不能为零，即 \(x \neq \pm 2\)。
因此，\(h(x)\) 的定义域是\((-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)\)。
4. 对于函数 \(k(x) = \log_{2}(x + 4)\)，对数函数的自变量必须大于零，即 \(x + 4 > 0\)。
解得 \(x > -4\)。
因此，\(k(x)\) 的定义域是 \((-4, +\infty)\)。
5. 对于函数 \(m(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}\)，根号内的表达式必须非负，即 \(x + 2 \geq 0\)，同时分母不能为零，即 \(x \neq 1\)。
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法(含答案)
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一. 求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值二. 求函数的解析式3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y 。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f ［g （x ）］的表达式，求f （x ）的表达式时可以令t ＝g （x ），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f （x ）和f （－x ），或f （x ）和f （1/x ）的一个方程，则可以x 代换－x （或1/x ），构造出另一个方程，解此方程组，消去f （－x ）（或f （1/x ））即可求出f （x ）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y ＝f ［g （x ）］的定义域的求解，应先由y ＝f （u ）求出u 的范围，即g （x ）的范围，再从中解出x 的范围I 1；再由g （x ）求出y ＝g （x ）的定义域I 2，I 1和I 2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
复合函数定义域问题
第一讲 复合函数的定义域一、复合函数的构成设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B 'B ⊆，当u 取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数。
此函数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的复合函数。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ． ⑷若)(x f 的定义域为'M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(． 注意：)(x g 的值域'M M ⊆．例2：⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域； ⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：⑴ 函数)21(x f -是由A 到B 上的函数x u 21-=与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数．函数)(x f 的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数x u 21-=的值域为[0，1]．∴1210≤-≤x ，∴021≤-≤-x ，即210≤≤x ，∴函数)21(x f -的定义域[0，21]．⑵ 函数)12(-x f 是由A 到B 上的函数12-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数．)12(-x f 的定义域是[-1，1]， ∴A=[-1,1]，即-11≤≤x ，∴1123≤-≤-x ,即12-=x u 的值域是[-3，1]，∴)(x f y =的定义域是[-3，1]．要点2：若已知)(x f 的定义域为A ，则)]([x g f 的定义域就是不等式A x g ∈)(的x 的集合；若已知)]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域就是函数)(x g )(A x ∈的值域。
高中数学函数的定义域测试题(含答案)
高中数学函数的定义域测试题(含答案)高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的定义域与值域、单调性与奇偶性二. 教学目标：理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。
三. 教学重点：函数性质的运用．四. 教学难点：函数性质的理解。
［学习过程］一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：①换元法（注意新元的取值范围）②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）③整体代换（配凑法）④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。
（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。
2. 求函数的定义域求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.3. 求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4. 求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法：（3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
专题05 函数的新定义问题专练(解析版)
专题05 函数的新定义问题专练数m，n满足m3+6m2+13m=10n3+6n2+13n=―30，则m+n=（）A．―4B．―3C．―2D．―1【答案】A【分析】令ℎ(x)=f′(x)，由ℎ′(x)=0解得x，进而得出函数f(x)的对称中心．根据f(m)+f(n)=―20，结合函数的单调性，即可得出m+n．【详解】令f(x)=x3+6x2+13x，则f′(x)=3x2+12x+13，令ℎ(x)=3x2+12x+13ℎ′(x)=6x+12=0，解得x=―2，又f(―2)=(―2)3+6×(―2)2+13×(―2)=―10．∴函数f(x)的图象关于点(―2，―10)成中心对称．因为m3+6m2+13m=10n3+6n2+13n=―30，所以f(m)+f(n)=―20，又f′(x)=3x2+12x+13=3(x+2)2+1>0，所以函数f(x)=x3+6x2+13x在R上单调递增，所以m+n=2×(―2)=―4.故选：A．二、多选题6．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f(x)，对于给定集合A，若∀x1,x2∈R，当x1―x2∈A 时都有f(x1)―f(x2)∈A，则称f(x)是“A封闭”函数.则下列命题正确的是（）A．f(x)=x2是“[―1,1]封闭”函数B．定义在R上的函数f(x)都是“{0}封闭”函数C．若f(x)是“{1}封闭”函数，则f(x)一定是“{k}封闭”函数(k∈N*)D．若f(x)是“[a,b]封闭”函数(a,b∈N*)，则f(x)不一定是“{ab}封闭”函数【答案】BC【分析】A特殊值x1=4,x2=3判断即可；B根据定义及函数的性质即可判断；C根据定义得到∀x∈R都有f( x+1)=f(x)+1，再判断所给定区间里是否有f(x2+k)―f(x2)=k成立即可判断，D选项可判断出其逆否命题的正误，得到D选项的正误.【详解】对A：当x1=4,x2=3时，x1―x2=1∈[―1,1]，而f(x1)―f(x2)=16―9=7∉[―1,1]，A错误；对B：对于集合{0}，∀x1,x2∈R使x1―x2=0，即x1=x2，必有f(x1)―f(x2)=0，所以定义在R上的函数f(x)都是“{0}封闭”函数，B正确；对C：对于集合{1}，∀x1,x2∈R使x1―x2∈{1}，则x1=x2+1，而f(x)是“{1}封闭”函数，则f(x2+1)―f(x2)=1，即∀x∈R都有f(x+1)=f(x)+1，对于集合{k}，∀x1,x2∈R使x1―x2∈{k}，则x1=x2+k，k∈N*，而f(x2+k)=f(x2+k―1)+1，f(x2+k―1)=f(x2+k―2)+1，...，f(x2+1)=f(x2)+1，所以f(x2+k)+f(x2+k―1)+...+f(x2+1)=f(x2+k―1)+f(x2+k―2)+...+f(x2)+k―1，即f(x2+k)=f(x2)+k，故f(x2+k)―f(x2)=k，f(x)一定是“{k}封闭”函数(k∈N*)，C正确；对D，其逆否命题为，若f(x)是“{ab}封闭”函数，则f(x)不是“[a,b]封闭”函数(a,b∈N*)，只需判断出其逆否命题的正误即可，∀x1,x2∈R使x1―x2=ab，则f(x1)―f(x2)=ab，若ab∈[a,b]，则ab≥a ab≤ba<b，由ab≤b解得a≤1，因为a∈N*，所以a=1，即∀x1,x2∈R使x1―x2=ab=b∈[a,b]，则f(x1)―f(x2)=ab=b∈[a,b]，满足f(x)是“[a,b]封闭”函数(a,b∈N*)，故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：对于C，根据给定的条件得到∀x∈R都有f(x+1)=f(x)+1，∀x∈R有f(x+a)=f(x )+b恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.7．（山东省济南市2023届高三二模数学试题）若定义在[0,1]上的函数f(x)同时满足：①f(1)=1；②对∀x∈[0,1]，f(x)≥0成立；③对∀x1，x2，x1+x2∈[0,1]，f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2)成立；则称f(x)为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（）A．f(x)=x2，x∈[0,1]是“正方和谐函数”B．若f(x)为“正方和谐函数”，则f(0)=0C．若f(x)为“正方和谐函数”，则f(x)在[0,1]上是增函数D．若f(x)为“正方和谐函数”，则对∀x∈[0,1]，f(x)≤2x成立【答案】ABD【分析】条件③f(x1+x2)―[f(x1)+f(x2)]=(x1+x2)2―x12―x22=2x1x2≥0．即可判定A，由条件①③可得f(0)≥0，f(0+0)≥f(0)+f(0)即可求得f(0)=0即可判断B，由条件③即可判断C,由迭代递推法即可判断D.【详解】对于A, 函数f(x)=x2，x∈[0,1]，显然满足条件①②．对任意x2≥0，x2≥0且x1+x2≤1时，f(x1+x2)―[f(x1)+f(x2)]=(x1+x2)2―x12―x22=2x1x2≥0．∴函数f(x)=x2在区间[0，1]上是否为“正方和谐函数”．故A正确.对于B，若函数f(x)为“正方和谐函数”，则令x1=0，x2=0，得f(0)≥f(0)+f(0)，即f(0)≤0，作出f n(x)的图象，可得f1(x +2)，对x∈[―1,1)即可，=―(x+2)+故k≥―x2+1x+2A．函数g(x)的值域是C．函数g(x)的图象关于【答案】ABC【分析】根据cos(―x从而可求出f(x)的值域，当f(x)=2时，x=2kπ,k∈Z，此时g 当1≤f(x)<2时，x∈―π3+2kπ,2k当0≤f(x)<1时，x∈π3+2kπ,5π3+g由图可知函数g(x)是以2π为周期的周期函数，故函数g(x)的图象关于x=π对称，故C正确；对于D，方程π2⋅g(x)=x根的个数即为方程方程即为y=g(x),y=2π⋅x两个函数图象交点的个数，四、解答题20．（2023·全国·高三专题练习）对于函数f(x)，若存在x0∈R，使得f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的一个动点.设函数f(x)=x2+ax+b.(1)当a=―1，b=―3时，求f(x)的不动点；(2)若f(x)有两个相异的不动点x1，x2.①当―2<x1<0<x2<1时，求|3a+b―3|的取值范围；②若|x1|<2且|x1―x2|=2，求实数b的取值范围.【答案】(1)3或―1(2)①[0,6]；②[―1,8)【分析】（1）根据定义可得x2―2x―3=0并求解，即得f(x)的不动点；（2）①由题设g(x)=x2+(a―1)x+b的两个零点为―2<x1<0<x2<1，利用根的分布列不等式组，应用线性规划画可行域，进而求目标式的范围；②Δ>0及韦达定理，结合已知得4b=(a―1)2―4、―5<a<7，进而求b的取值范围.【详解】（1）依题意x2―x―3=x，即x2―2x―3=0，解得x=3或―1，即f(x)的不动点为3或―1；（2）①g(x)=f(x)―x=x2+(a―1)x+b，由x1，x2是f(x)=x的两相异根，且―2<x1<0<x2<1，令t=3a+b―3，则经过(0,0)时t min=―3，经过(3,0)时t max=6，∴|3a+b―3|的取值范围是[0,6]，②由题设Δ=(a―1)2―4b>0⇒(a―1)2>4b，且x1+x2=1―∴|x1―x2|2=(x1+x2)2―4x1x2=(1―a)2―4b=22，则4b=(a所以函数F(x)在―5π6,2π3上的零点个数等于―1的交点个数之和.当0<m―1<1，即1<m<2时，ℎ(x)数之和为9.故m的取值范围为(1,2)【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何（3）关于函数y=x4―4x2，令y当x∈(―∞,―2)与x∈(0,2)可知±2是函数y=x4―4x2极小值点，该函数与y=4x2―16的图象如图所示由y=kx+b为y=x4―4x2与y=故存在b使得b≤b且直线y=【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝28．（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）若函数。
定义域练习题
定义域练习题定义域是数学中一个非常重要的概念，它指的是一个函数中所有可能的输入值的集合。
在解决数学问题时，确定函数的定义域对于正确地理解问题和进行相应的计算是至关重要的。
在本篇文章中，我们将介绍一些关于定义域的练习题，帮助读者深入了解和掌握这一概念。
练习题一：分式函数的定义域考虑函数f(x) = 1 / (x-3)，请确定它的定义域。
解答：在这个函数中，分母是(x-3)。
要使分母不等于零，我们需要 x ≠ 3。
因此，函数f(x)的定义域是x的所有实数，除了3。
练习题二：开放区间的定义域考虑函数g(x) = √(x+2)，请确定它的定义域。
解答：在这个函数中，根号内部的表达式 (x+2) 不能小于零，即 x+2 > 0。
解这个不等式，我们得到 x > -2。
因此，函数g(x)的定义域是所有大于-2的实数。
练习题三：复合函数的定义域考虑函数h(x) = √(cos(x))，请确定它的定义域。
解答：在这个函数中的根号内部的函数是cos(x)。
cos(x)的定义域是所有实数，因此我们只需要考虑根号内部的值不小于零。
cos(x) 的取值范围在[-1,1]之间，所以我们得到给定函数的定义域是 x ∈ R, -1 ≤ cos(x) ≤ 1。
练习题四：指数函数的定义域考虑函数 k(t) = 2^t，确定它的定义域。
解答：指数函数的定义域是所有实数，因此函数k(t)的定义域也是所有实数。
练习题五：有理函数的定义域考虑函数 p(x) = (4x-1) / (x^2+3x+2)，确定它的定义域。
解答：在这个函数中，分母为二次多项式 x^2+3x+2。
我们需要确定这个二次多项式的根。
通过求解方程 x^2+3x+2 = 0，我们得到两个根，分别为 x = -2 和 x = -1. 因此，我们知道这两个值不能出现在函数的定义域中。
所以，函数p(x)的定义域是x 的所有实数，除了 x ≠ -2 和 x ≠ -1。
定义域和值域的逆向问题
1. 函数与映射的异同点是什么？答：函数和映射都是建立在两个非空集合A,B 之间的一种特殊的对应，对应法则f 使得集合A 中的任一元素在B 中都有唯一的元素相对应。
二者的区别是：函数强调A 和B 是非空的数集而已。
2．给定两个非空集合A 和B ，从A 到B 可以建立多少个不同的映射？ 例如：A={1,23},B={6,7}从A 到B 建立映射就是确定一个对应法则f 把A 中每一个元素在B 中得到唯一对应的元素。
这样的对应法则有几个，就是映射有几个。
完成这一事情分三步：第一步给A 中元素1找对象，有两种选择，同理第二步给2找对象有两种选择，第三步给3找对象也有两种选择，故不同的对应法则有2*2*2=8个。
重点例习题整理：1.已知集合{}2540A x x x =-+|≤，集合{}2|220B x x ax a =-++≤（1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；2.已知函数)(x f 的定义域为[)b a ,，值域为[]d c ,，则)12(+-x f 的定义域为________； 值域为__________3.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0,20,2)(22x x x x x x x f ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是______ 4.函数f(x)=⎩⎨⎧x 2+1，x ≥01 ，x<0,则满足不等式f(1－x 2)>f(2x)的x 的范围是______5. 若函数)(x f 的定义域是[]1,1-，则函数的定义域是xx f )12(-__________ 变式1：若函数2(2)f x -的定义域是[1-，1]，则函数(32)f x +的定义域为____________ 变式2：若函数()y f x =的定义域是[-2,4]，则函数()()()g x f x f x =+-的定义域_______ 6. 已知一个函数的解析式为y=x 2,它的值域为[1,4],这样的函数的个数为 变式：函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个 7. 函数12++=x x y 的值域为 ；函数216x y -=值域为 ；递减区间为函数251xy x =+的值域为 ；单调区间为8.直接写出函数=y xx3121+-的值域为____________，曲线的对称中心为________；若添加条件[]1,0∈x ，则值域为________；9. 已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：的解为10. 设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为8. 函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 2.1]3,-=-[2]2,-=-[2.2]2=,如果[2,0]x ∈-，那么()y f x =的值域为 ____11. 函数2()2()g x x x R =-∈，()4,12()(),12g x x x x f x g x x x ++<->⎧=⎨--≤≤⎩或,()f x 的值域是 ___12. 函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f（1）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值. （2）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. （3）若)(x f 的值域为),0[+∞，求实数a 的取值范围. 13.已知函数13+-=x ax y 在区间()1,-∞-上是增函数，则实数a 的取值范围是_________ 14.函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-+≥-+=0,)3()4(0),1()(22222x a x a a x x a k x k x f ,其中R a ∈. 若对任意的非零实数1x ,存在唯一的非零实数)(212x x x ≠,使得)()(21x f x f =成立,则k 的取值范围为_____函数模型四：可化为二次函数的绝对值型复合函数 引例1：已知R a ∈，函数a x x x f -=)(（1）判断函数)(x f 的奇偶性，请说明理由；（2）求函数)(x f 在区间[]2,1上的最小值； （3）设0≠a ，函数)(x f 在区间),(n m 上既有最大值又有最小值，请分别求出n m ,的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）思考：已知a R ∈，函数2()f x x x a =-.求函数()y f x =在区间[1,2]上的最小值. 练习：1. 已知函数ax x x f +-=22)(R)(∈x 有最小值，则实常数a 的取值范围是 变式：函数1)(-+=x a x x f 在()+∞,0上有最大值，则实数a 的取值范围是___2. 已知函数3)(2-=x x x f ，[]m x ,0∈，其中R m ∈，且0>m .（1）如果函数)(x f 的值域是[]2,0，则实数m 的取值范围为___________； （2）如果函数)(x f 的值域是[]2,0m λ，实数λ的最小值为_________一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
高三一轮复习定义域恒成立问题
定义域恒成立问题1．若的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．{k|0＜k≤1}B．{k|k＜0或k＞1}C．{k|0≤k≤1}D．{k|k＞1}2．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A．B．（0，12] C．[0，12] D．3．已知函数的定义域是R，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜4 B．0＜m≤4 C．﹣4＜m≤0 D．m≥﹣44．函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（2，6） B．[2，6） C．（2，+∞）D．[2，+∞）5．若函数y=lg（9﹣a•3x）的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2） C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，0]6．已知函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（5，+∞）B．（﹣∞，5）C．（4，+∞）D．（﹣∞，4）7．已知函数（a＜0，且a为常数）在区间（﹣∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．8．若函数f（x）=的定义域为R，求实数a的取值范围．9．若函数y=的定义域为R，求实数a的取值范围．10．已知函数f（x）=的定义域为R，求m的取值范围．11．若函数y=log a[mx2﹣（1﹣m）x+m]的定义域不是R，求实数m的取值范围．答案1．若的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．{k|0＜k≤1}B．{k|k＜0或k＞1}C．{k|0≤k≤1}D．{k|k＞1}【分析】把的定义域为R，掌握kx2﹣6kx+k+8≥0对任意实数x恒成立，然后对k分类求解得答案．【解答】解：∵的定义域为R，∴kx2﹣6kx+k+8≥0对任意实数x恒成立，若k=0，不等式化为8≥0恒成立；若k≠0，则，解得0＜k≤1．∴实数k的取值范围是{k|0≤k≤1}．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．2．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A．B．（0，12] C．[0，12] D．【分析】把函数的定义域为R转化为ax2+ax+3≥0对任意实数x恒成立，然后对a分类讨论求解得答案．【解答】解：∵函数的定义域为R，∴ax2+ax+3≥0对任意实数x恒成立，当a=0时满足题意；当a≠0时，则，解得：0＜a≤12．∴实数a的取值范围为[0，12]．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．3．已知函数的定义域是R，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜4 B．0＜m≤4 C．﹣4＜m≤0 D．m≥﹣4【分析】把函数的定义域是R转化为﹣mx2+mx+1＞0对任意实数x恒成立，然后对m分类求解得答案．【解答】解：∵函数的定义域是R，∴﹣mx2+mx+1＞0对任意实数x恒成立，当m=0时，不等式成立；当m≠0时，则，解得﹣4＜m＜0．综上，实数m的取值范围是﹣4＜m≤0．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．4．函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（2，6） B．[2，6） C．（2，+∞）D．[2，+∞）【分析】由题意可知根式内部的代数式大于0对任意实数x恒成立，然后分二次项系数为0与不为0列式求解，取并集得答案．【解答】解：∵函数y=的定义域为R，∴对任意实数x，（m﹣2）x2+（m﹣2）x+1＞0恒成立．当m﹣2=0，即m=2时，符合题意；当m﹣2≠0时，需，解得2＜m＜6．综上，实数m的取值范围是[2，6）．故选：B．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．5．若函数y=lg（9﹣a•3x）的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2） C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，0]【分析】函数y=lg（9﹣a•3x）的定义域为R，则9﹣a•3x＞0恒成立，运用分离参数，求出右边的范围，即可得到a的范围．【解答】解：函数y=lg（9﹣a•3x）的定义域为R，则9﹣a•3x＞0恒成立，即有a＜，由于3x＞0，＞0，则a≤0．故选：D．【点评】本题考查已知函数的定义域，求参数的范围，注意运用参数分离，考查指数函数的值域，属于中档题．6．已知函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（5，+∞）B．（﹣∞，5）C．（4，+∞）D．（﹣∞，4）【分析】把函数f（x）=的定义域为R，转化为（25）x﹣4•5x+m ＞0且（25）x﹣4•5x+m≠1，分离参数m求解得答案．【解答】解：∵函数f（x）=的定义域为R，∴（25）x﹣4•5x+m＞0且（25）x﹣4•5x+m≠1，即m＞﹣（5x）2+4•5x且m≠﹣（5x）2+4•5x+1，∵5x＞0，∴﹣（5x）2+4•5x≤4，又﹣（5x）2+4•5x+1≤5，∴m＞5．∴实数m的取值范围是（5，+∞）．故选：A．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．7．已知函数（a＜0，且a为常数）在区间（﹣∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．【分析】根据函数求出定义域，得出1≤﹣，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：函数（a＜0，且a为常数）的定义域为（﹣∞，﹣]，∵y=在区间（﹣∞，1]上有意义，∴1≤﹣，∴﹣1≤a＜0；∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜0．【点评】本题考查了函数的定义域与应用问题，是基础题．8．若函数f（x）=的定义域为R，求实数a的取值范围．【分析】由题意得（a﹣2）x2+2（a﹣2）x+4≥0恒成立，对a分类讨论后，由恒成立问题、一元二次函数的图象与性质列出不等式，求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意得，（a﹣2）x2+2（a﹣2）x+4≥0恒成立，当a﹣2=0，即a=2时，则4≥0恒成立；当a﹣2≠0，即a≠2时，则，解得2＜a≤6，综上可得，实数a的取值范围是[2，6]．【点评】本题考查函数的定义域，一元二次函数的图象与性质，以及恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想．9．若函数y=的定义域为R，求实数a的取值范围．【分析】把函数y=的定义域为R，转化为对任意实数x，ax2+4ax+3≠0恒成立，然后讨论二次项系数求得答案．【解答】解：∵y=的定义域为R，∴对任意实数x，ax2+4ax+3≠0恒成立，a=0时满足题意；a≠0时，需△=（4a）2﹣12a＜0，解得0．∴0．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．10．已知函数f（x）=的定义域为R，求m的取值范围．【分析】由函数f（x）=的定义域为R，可得分母不等于0，分m=0与m≠0两类讨论即可．【解答】解：∵函数f（x）=的定义域为R，∴mx2﹣6mx+m+8≠0．∴当m=0时，mx2﹣6mx+m+8=8≠0满足题意；当m≠0时，△=36m2﹣4m（m+8）＜0，解得0＜m＜1，综上所述，0≤m＜1．∴m的取值范围是：[0，1）．【点评】本题考查二次函数的性质，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想的应用，属于基础题．11．若函数y=log a[mx2﹣（1﹣m）x+m]的定义域不是R，求实数m的取值范围．【分析】方法一、由题意可得存在x∈R，使得mx2﹣（1﹣m）x+m＞0（*）成立．讨论m=0，m＞0，m＜0，运用判别式的符号，解不等式即可得到所求范围；方法二、运用补集的思想方法，求得定义域为R的解集，即可得到所求范围．【解答】解法一：要使函数y=log a[mx2﹣（1﹣m）x+m]有意义，则存在x∈R，使得mx2﹣（1﹣m）x+m＞0（*）成立．当m=0时，（*）等价于：﹣x＞0满足题意，即m=0；当m＞0时，（1﹣m）2﹣4m2≥0，即0＜m≤；当m＜0时，（1﹣m）2﹣4m2＞0，即﹣1＜m＜0；综上所述：．解法二：定义域非空：当m=0时，符合，即m=0；当m＞0时，符合，即m＞0；当m＜0时，（1﹣m）2﹣4m2＞0，即﹣1＜m＜0；综上所述：记集合U={m|m＞﹣1}，定义域为R：当m=0时，不符合，舍去；当m＞0时，（1﹣m）2﹣4m2＜0，即；当m＜0时，不符合，舍去；综上所述：记集合A={m|m＞}，定义域不是R，即为C U A={m|﹣1＜m≤}．【点评】本题考查函数的定义域问题解法，考查不等式成立的等价条件，以及分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．。
数学函数的定义域知识点题目答案
专题一 函数的定义域1．函数的概念一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A ．2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3．复合函数一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))，其中y ＝f (u )叫做复合函数y ＝f (g (x ))的外层函数，u ＝g (x )叫做y ＝f (g (x ))的内层函数．考点一 求给定解析式的函数的定义域 【方法总结】常见函数定义域的类型【例题选讲】[例1] (1)函数y ＝ln(1－x )x ＋1＋1x的定义域是( )A ．[－1，0)∪(0，1)B ．[－1，0)∪(0，1]C ．(－1，0)∪(0，1]D ．(－1，0)∪(0，1) 答案 D 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1．所以原函数的定义域为(－1，0)∪(0，1)．(2) 函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg(x ＋1)的定义域为( )A ．(－1，3]B ．(－1，0)∪(0，3]C ．[－1，3]D ．[－1，0)∪(0，3]答案 B 解析 要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]．(3) y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2，0)∪(1，2) B ．(－2，0]∪(1，2) C ．(－2，0)∪[1，2) D ．[－2，0]∪[1，2]答案 C 解析 要使函数有意义，必须⎩⎨⎧x －12x≥0，x ≠0，4－x 2>0，所以x ∈(－2，0)∪[1，2)．(4) 函数f (x )＝2－2x ＋1log 3x的定义域为( )A ．{x |x <1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x >1}答案 B 解析 要使函数有意义，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ≥0，x >0，log 3x ≠0，∴0<x <1．(5) 函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．答案 (0，2] 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0，2]．【对点训练】 1．下列函数中，与函数y 的定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx1．答案D 解析 函数y 的定义域为{x |x ≠0}；y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}；y ＝ln xx的定义 域为{x |x >0}；y ＝x e x 的定义域为R ；y ＝sin xx 的定义域为{x |x ≠0}．故选D ．2．函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是( )A ．(2，3)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(2，3)∪(3，＋∞)2．答案 D 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)． 3．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0，2) B ．(2，＋∞) C ．[0，2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)3．答案 C 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2．4．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg(x －1)的定义域为( )A ．[1，10]B ．[1，2)∪(2，10]C ．(1，10]D ．(1，2)∪(2，10]4．答案 D解析 要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg(x －1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －10)≤0，x >1，x ≠2，解得1<x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1，2)∪(2，10]． 5．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 5．答案 (0，1] 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1．所以该函数的定义域为(0，1]．考点二 求抽象函数的定义域 【方法总结】求抽象函数定义域的方法【例题选讲】[例2] (1) 已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B ．⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1，0) D ．⎝⎛⎭⎫12，1 答案 B 解析 令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1，0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0，得－1<x <－12．(2) 已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( )A ．(－2，0)B ．(－2，2)C ．(0，2)D ．⎝⎛⎭⎫－12，0 答案 C 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为(0，2)．(3) 已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x 的定义域为( ) A ．[0，1] B ．[0，2] C ．[1，2] D ．[1，3]答案 A 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，8－2x≥0，解得0≤x ≤1．故选A ．(4) 已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．答案 [－1，2] 解析 因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3 ]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．(5) 若函数y ＝f (2x )的定义域为⎣⎡⎦⎤12，2，则y ＝f (log 2x )的定义域为________．答案 16] 解析 由题意可得x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则2x ∈[2，4]，log 2x ∈[2，4]，解得x ∈，16]，即y ＝f (log 2x )的定义域为16]．【对点训练】6．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，则函数f (3x －2)的定义域为( )A ．⎣⎡⎦⎤13，53B ．⎣⎡⎦⎤－1，53C ．[－3，1]D ．⎣⎡⎦⎤13，1 6．答案 A 解析 由－x 2＋2x ＋3≥0，解得－1≤x ≤3，即f (x )的定义域为[－1，3]．由－1≤3x －2≤3，解得13≤x ≤53，则函数f (3x －2)的定义域为⎣⎡⎦⎤13，53，故选A ． 7．设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( )A ．(－9，＋∞)B ．(－9，1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9，1)7．答案 B 解析 f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，其定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg(1－x )>0的解集，解得－9<x<1，所以f [f (x )]的定义域为(－9，1)．故选B ．8．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0，1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1，2]B ．(－1，1]C ．⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1，0) 8．答案 D 解析 由f (2x －1)的定义域是[0，1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1，∴f (x )的定义域是[－1，1]，∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0．9．若函数f (x ＋1)的定义域为[0，1]，则f (2x －2)的定义域为( )A ．[0，1]B ．[log 23，2]C ．[1，log 23]D ．[1，2]9．答案 B 解析 ∵f (x ＋1)的定义域为[0，1]，即0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2．∵f (x ＋1)与f (2x －2)是同一个对 应关系f ，∴2x －2与x ＋1的取值范围相同，即1≤2x －2≤2，也就是3≤2x ≤4，解得log 23≤x ≤2．∴函数f (2x －2)的定义域为[log 23，2]． 考点三 已知函数定义域求参数 【方法总结】解决已知定义域求参数问题的思路方法【例题选讲】[例3] (1) 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为_________． 答案 [－2，2] 解析 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[－2，2]．(2) 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( ) A ．[0，4) B ．(0，4) C ．[4，＋∞) D ．[0，4]答案 D 解析 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4．综上可得：0≤m ≤4． (3) 若函数f (x )R ，则a 的取值范围为________．答案 [－1，0] 解析 因为函数f (x )的定义域为R ，所以22+2-x ax a－1≥0对x ∈R 恒成立，即22+2-x ax a≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0．(4) 若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，34B ．⎝⎛⎭⎫0，34C ．⎣⎡⎦⎤0，34D ．⎣⎡⎭⎫0，34 答案 D 解析 ∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3≠0，∴m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16m 2－12m <0，即m ＝0或0<m <34，∴实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34． 【对点训练】10．函数y ＝ln(x 2－x －m )的定义域为R ，则m 的范围是________．10．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－14 解析 由条件知，x 2－x －m >0对x ∈R 恒成立，即Δ＝1＋4m <0，∴m <－14． 11．若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 11．答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝ba，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92．12．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．12．答案 [0，3) 解析 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数u ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数u ＝3的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a ＜0，解得0＜a ＜3．综上所述，a 的取值范围是[0，3)．。
定义域问题 专项训练-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(含解析)
高一数学定义域问题专项训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．己知函数()f x ()()2f x f x -+的定义域为（ ） A ．[)0,∞+ B ．[]4,0-C ．[]0,2D ．[]0,42．函数()ln 1x f x += ）A ． (),1-∞B ． ()1,1-C ．()(),11,-∞+∞D ． (,1]-∞3．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞D ．(,1][1,)∞∞--⋃+4．函数()f x ） A ．()2,+∞B ．[)1,-+∞C ．()1,+∞D ．()0,25．已知函数()21f x +的定义域为[]12-，，则函数()1f x y x =+的定义域为（ ）A ．{}|12x x -<≤B ．{}|15x x -<≤C ．1|12x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭D ．{|15}x x -≤≤6．设定义在R 上的函数()f x 满足()02f =，且对任意的x 、R y ∈，都有()()()()1223f xy f x f y f y x +=⋅--+，则y =A ．[)2,-+∞B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞D ．(],2∞-二、多选题7．给出下列四个结论，其中正确的是（ ）A ．函数21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭B ．函数()f x ()g xC ．函数()2f x +的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为2,⎡⎤-⋃⎣⎦D ．函数()2f x =的最小值为28．下列选项正确的是（ ）A ．()12f x x =-的定义域是[)()1,22,-+∞B ．若函数()21f x -的定义域为(]1,3-，则函数()31f x +的定义域为(]1,7C ．函数()22f x x x =-+在[]2,1-的值域为[]28,D ．函数2y x =+17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知函数()12f x x =-，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在(),2-∞-上单调递增C ．()f x 的值域为RD ．当()2,2x ∈-时，()f x 有最大值10．下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x =()[),23,∞∞--⋃+ B ．()2x f x x=和()g x x =表示同一个函数C ．函数()1f x x x =-的图象关于坐标原点对称D ．函数()f x 满足()()21f x f x x --=-，则()213f x x =+ 三、填空题 11．已知函数()()2log 124f x x =+-，则函数的定义域为_______． 12．函数的值域是________．13．已知函数()23f x -的定义域为[]1,4-，设函数()F x =()F x 的定义域是______.14．函数()1f x x =-的定义域为[]0,4，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的值域为______．15．函数2cos 14⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π的值域是_________．四、解答题(共0分) 16．求下列函数的定义域：(1) ()01y x =-(2)y =17．已知函数()y f x =的表达式()f x ()y f x =的定义域．18．已知函数()()()22lg 111,R f x a x a x a ⎡⎤=-+-+∈⎣⎦．(1)若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据二次根式的性质，结合复合函数的定义域性质进行求解即可.【详解】由()24022f x x x -≥⇒-≤≤，于是有2202222x x x -≤≤⎧⇒≤≤⎨-≤-≤⎩， 故选：C 2．B【分析】根据二次根式、分母不为零的性质，结合对数型函数的定义域进行求解即可.【详解】由函数的解析式可知101110x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩，故选：B 3．B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-， ①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意； ①当0a >时，12{}B x x a a =∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a ≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）①当0<a 时，21{}B x x a a =∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a ≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B. 4．A【分析】根据函数解析式，列出相应的不等式组，解不等式可得答案 【详解】要使()f x =有意义，只需240x ->，解得2x >，故函数()f x =的定义域是()2,+∞故选：A5．B【分析】根据抽象函数的定义域可得()f x 的定义域为[]1,5-，进而可求解.【详解】()21f x +的定义域为[]12-，，所以[][]12,2115x x ∈-∴+∈-，，， 因此()f x 的定义域为[]1,5-，所以()1f x y x =+的定义域满足15,10x x -≤≤+≠ ，即15,x -<≤ 故选：B 6．A【分析】通过赋值法求出函数()y f x =解析式，然后令()0f x ≥，即可求出函数y =定义域.【详解】令0x y ==，得()()()2102033f f f =-+=，令1y =，则()()()()132123323f x f x f x f x x +=--+=--，①令1x =，则()()()()132231f y f y f y f y +=--+=+，即()()11f x f x +=+，① 联立①①得()()()()132311f x f x x f x f x ⎧+=--⎪⎨+=+⎪⎩，解得()2f x x =+，对于函数y =20x +≥，解得2x ≥-.因此，函数y =[)2,-+∞，故选A.【点睛】本题考查抽象函数解析式的求解，解题时要充分利用已知条件利用赋值法求解，考查运算求解能力，属于中等题. 7．BC【分析】分别根据对数函数的性质，函数相等，抽象函数的定义域和函数的最值对四个选项逐项验证即可求解.【详解】对于A ，要使函数21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有意义，则有1sin 02x ->，即1sin 2x >，由正弦函数的图像可知：π5π2π2π,Z 66k x k k +<<+∈， 所以函数21log sin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为π5π(2π,2π)(Z)66k k k ++∈，故选项A 错误；对于B ，因为函数()f x =[1,1]-，函数()g x =义域也是[1,1]-，定义域相同，对应法则相同，所以值域也相同，所以函数()f x =与()g x B 正确；对于C ，因为函数()2f x +的定义域为[]0,2，所以02x ≤≤，则224x ≤+≤，由224x ≤≤2x ≤≤或2x -≤≤()2f x 的定义域为2,⎡⎤-⋃⎣⎦，故选项C 正确；对于D ，因为函数()22f x ==(2)t t ≥，则函数可化为1(2)y t t t=+≥，因为函数1y t t=+在[2,)+∞上单调递增，所以15222y ≥+=，也即函数()252f x ≥，所以函数()2f x =的最小值为52，故选项D 错误， 故选：BC . 8．AD【分析】对于A 根据被开偶次根式满足不小于零，分母不等于零求解. 对于B 根据抽象函数的定义域求解,对于C 先把二次函数写成顶点式，然后根据二次函数的性质来求解， 对于D ，把根式换元转化成二次函数求解.【详解】A 函数()12f x x =-的定义域满足1020x x +≥⎧⎨-≠⎩则x ∈[)()1,22,-+∞所以函数()12f x x -的定义域是[)()1,22,-+∞，故A 正确.B 若函数()21f x -的定义域为(]1,3-,所以满足(](]1,3,213,5x x ∈--∈-又因为函数()21f x -与函数()31f x +为同一对应法则，所以(]44313,5,33x x ⎛⎤+∈-∴∈- ⎥⎝⎦，所以B 不正确.C 因为函数()[]22172,2,124f x x x x x ⎛⎫=-+=-+∈- ⎪⎝⎭，所函数()min 17,24f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()()()2max 22228f x f =-=---+=所以函数()[]22,2,1f x x x x =-+∈-的值域为7,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦故C 不正确.D 令0t t =≥，则21x t =-，所以2y x =()[)22117212,0,48y t t t t ⎛⎫=-+=--+∈+∞ ⎪⎝⎭，即当14t =，y 有最大值为178所以函数2y x =17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，所以D 正确.故选：AD9．ABD【分析】A 选项，根据分母不为0得到定义域，再由奇偶性的定义判断A 正确； B 选项，先求出()12f x x =-在()2,+∞上均单调递减，结合奇偶性得到B 正确； C 选项，由()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上的单调性结合奇偶性得到()f x 的值域，C 错误；D 选项，根据()f x 在()2,2x ∈-上的单调性得到最大值.【详解】对于A ，由20x -≠得函数()f x 定义域为{}2x x ≠±，所以()()122f x x x =≠±-．由()()1122f x f x x x -===---，可得函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，当0x >且2x ≠时，函数()12f x x =-，该函数图象可由函数1y x =图象向右平移2个单位得到， 所以函数()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上均单调递减， 由偶函数性质，可知()f x 在(),2-∞-上单调递增，故B 正确； 对于C ，由B 可得，当0x >且2x ≠时，函数()12f x x =-在()0,2和()2,+∞上均单调递减，所以该函数在()()0,22,+∞的值域为()1,0,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；又因为函数()f x 为偶函数，且()102f =-，所以()f x 在其定义域上的值域为()1,0,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦，故C 错误；对于D ，当()2,2x ∈-时，函数()f x 在()2,0-上单调递增，在()0,2上单调递减，所以()f x 有最大值为()102f =-，故D 正确．故选：ABD ．10．AC【分析】求出函数的定义域可判断A ；由同一函数的定义可判断B ；由奇偶性可判断C ；由方程组法求出()f x 可判断D 【详解】对于A ：由302x x -≥+解得3x ≥或<2x -，所以函数()f x =()[),23,∞∞--⋃+，故A 正确； 对于B ：()2x f x x=的定义域为()(),00,∞-+∞，()g x x =的定义为(),-∞+∞，定义域不相同，所以()2x f x x =和()g x x =不是同一个函数，故B 错误；对于C ：()1f x x x=-的定义域为()(),00,∞-+∞，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭，所以()1f x x x =-为奇函数， 所以函数()1f x x x=-的图象关于坐标原点对称，故C 正确；对于D ：因为函数()f x 满足()()21f x f x x --=-， 所以()()21f x f x x --=--，由()()()()2121f x f x x f x f x x ⎧--=-⎪⎨--=--⎪⎩解得()113f x x =+，故D 错误；故选：AC11．()5,3-【分析】根据具体函数的定义域求法考虑限制条件即可求解. 【详解】函数()()2log 124f x x =-， 要使解析式有意义需满足：501240x x +>⎧⎨->⎩，解得53x x >-⎧⎨<⎩，53x ∴-<<，即函数()f x 的定义域为()5,3-，故答案：()5,3-. 12．［－4，0］【详解】试题分析：由题意得2sin()2[4,0]6y x π=--∈-考点：三角函数值域13．(]1,3【分析】由()23f x -的定义域得出5235x --，进而由25125870x x x -≤-≤⎧⎨-+->⎩得出所求.【详解】因为函数()23f x -的定义域为[]1,4-，所以14x -，5235x --即25125870x x x -≤-≤⎧⎨-+->⎩，解得13x <≤故函数()12f x F x -=则函数()F x 的定义域是(]1,3故答案为：(]1,3 14．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由()f x 定义域可求出()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦定义域，化简后再由二次函数求出值域即可.【详解】由题意可知，()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦要有意义，则需20404x x ⎧≤≤⎨≤≤⎩，即02x ≤≤，即函数定义域为[0,2]，又2221(1)22y x x x x =-+-=-，对称轴方程为12x =， 所以当12x =时，min 12y =-，当2x =时，max 4y =，所以函数值域为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为：1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．[3,1]-【分析】根据x R ∈，得到[]cos 1,14π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x ，从而求得函数2cos 14⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π的值域.【详解】因为x R ∈，所以4x R π+∈，所以[]cos 1,14π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x ，所以[]2cos 13,14π⎛⎫=+-∈- ⎪⎝⎭y x ，所以函数2cos 14⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π的值域是[3,1]-.故答案为：[3,1]-【点睛】本题主要考查余弦函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．(1)()()1,11,-+∞(2)[1,0)(0,1]-⋃【分析】根据函数的解析式，列出自变量需满足的不等式组，即可求得答案.【详解】（1）函数0()1y x =-1020110x x x -≠⎧⎪⎪≥⎨+⎪+≠⎪⎩,解得1x >- ，且1x ≠， 所以这个函数的定义域为()()1,11,-+∞．（2）函数y =2201010x x x ⎧--≥⎪+≥⎨≠确定,解不等式组，得2110x x x -≤≤⎧⎪≥-⎨⎪≠⎩,即[1,0)(0,1]x ∈-⋃,所以函数y =[1,0)(0,1]-⋃．17．答案见解析【分析】解不等式22320x ax a -+≥，可得函数()y f x =定义域.【详解】注意到()()2232020x ax a x a x a -+≥⇔--≥当0<a 时，()()2202，a a x a x a x a <--≥⇒≤或x a ≥，得函数定义域是(,2][,)a a -∞⋃+∞；当0a =时，()()2200R x a x a x x --≥⇔≥⇔∈，得函数定义域是R ；当0a >时，()()220，a a x a x a x a >--≥⇒≤或2x a ≥，得函数定义域是(,][2,)a a -∞⋃+∞．综上：当0<a 时，函数定义域是(,2][,)a a -∞⋃+∞；当0a =时，函数定义域是R ；当0a >时，函数定义域是(,][2,)a a -∞⋃+∞．18．(1)5,[1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(2)[－53，－1]【分析】（1）当210a -=时，直接求出()f x 的定义域进行判断；当210a -≠时，转化为二次函数y =()()22111a x a x -+-+的图象开口向上，与x 轴没有交点，再根据二次函数知识可求出结果.（2）当210a -=时，直接求出()f x 的值域进行判断；当210a -≠时，转化为二次函数()()()22111t x a x a x =-+-+的图象开口向上，且与x 轴有交点，根据二次函数知识可求出结果.【详解】（1）因为()f x 的定义域为R ，则()()221110a x a x -+-+>在R 上恒成立．①当210a -=时，a =±1，若1a =，则1＞0恒成立，()f x 的定义域为R ，符合题意； 若1,210a x =--+>，得12x <，()f x 的定义域为1(,)2-∞．不符合题意. ①当210a -≠时，则有()()22210Δ1410a a a ⎧->⎪⎨=---<⎪⎩， 解得53a <-或1a >，综上所述：实数a 的取值范围为5,[1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）记()()()()22111,0t x a x a x t x =-+-+>的解集为D ，即为函数f （x ）的定义域．因为()()lg f x t x =的值域为R ，则对x D ∀∈时，函数f （x ）的值域为（0，＋∞）． ①当210a -=时，1a =±．若()1,1a t x ==，()0f x =，()f x 的值域为{0}，不符合题意；若()1,21a t x x =-=-+，1(,)2D =-∞，()f x 的值域为(0,)+∞，符合题意．①当210a -≠时，则有：()()22210Δ1410a a a ⎧->⎪⎨=---≥⎪⎩， 解得513a -≤<-，综上所述：实数a 的取值范围为[－53，－1]。
热点2-1 函数的定义域、解析式与值域8大题型(解析版)
热点2-1 函数定义域、解析式与值域8大题型函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。
函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。
在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。
一、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n x n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根的被开方数取全体实数，即(21,)n xn k k N *=+∈其中中，x R ∈.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
二、抽象函数及定义域求法1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
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定义域问题专题训练
⑴．求定义域
⑵．复合函数定义域
⑶．含参的定义域的讨论
(一)．定义域的类型：
⑴．自然定义域；
⑵．限制性定义域；
(二)．定义域涉及的函数：偶次无理函数、分式函数、幂函数、对数函数、正切函数；
(三)．复合函数定义域；内函数的值域为外函数定义域的子集；
(四)．定义域为实数集的问题；
(五)．定义域问题的求解策略：由表及里．
1．函数()f x =的定义域是 ． 解：[2,3)(3,4)；
2．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1
f x
g x x =
-的定义域是 ．
解：[0,1)；
3．函数2()lg(31)
f x x =
++的定义域是___________． 解：1(,1)3-；
4．函数2()lg(421)f x x x =--的定义域是___________．
解：(3,7)-；
5．函数
()f x =
的定义域为 ． 解：(1,1)-；
6．函数)
34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为___________． 解：(1,2)(2,3)；
例3：函数()f x =
⑴．定义域为区间[1,2]-，求实数a 的取值范围．
⑵．在区间[1,2]-上有意义，求实数a 的取值范围；
分析：⑴．由题意知不等式220x x a a -+++≥的解集为[1,2]-，即220x x a a ---≤的解集为[1,2]-，则220x x a a ---=的两根为1-，2，则22a a +=，故1a =或2a =-；
⑵．由题意知，不等式220x x a a -+++≥在[1,2]-上恒成立，即]2,1[,22-∈-≥+x x x a a 恒成立，故22max (),[1,2]a a x x x +≥-∈-，因
2211()24
x x x -=--，故1x =-或2x =时，2max ()2x x -=22a a ∴+≥，故1a ≥或2a ≤-．
18．设)(x f 是定义域在[1,1]-上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零．
⑴．求证)(x f 在[1,1]-上是减函数；
⑵．如果)(c x f -，)(2c x f -的定义域的交集为空集，求实数c 的取值范围；
⑶．证明若21≤≤-c ，则)(c x f -，)(2c x f -存在公共的定义域，并求这个公共的空义域．
解：⑴．因奇函数)(x f 的图像上任意两点连线的斜率均为负，故对于
任意12,[11]x x ∈-，且21x x ≠有1212
()()0f x f x x x -<-，从而21x x -与)()(21x f x f -异号，故)(x f 在[1,1]-上是减函数；
⑵．)(c x f -的定义域为[11]c c -+，，)(2c x f -的定义域为22[11]c c -+，
，因上述两个定义域的交集为空集，则有：112+>-c c 或112-<+c c ，解得：2>c 或1-<c ，故c 的取值范围为2>c 或1-<c ；
⑶．因112->+c c 恒成立，由(2)知：当2c 1≤≤-时，112+≤-c c ，当12c ≤≤或10c -≤≤时，112+≥+c c 且112-≥-c c ，此时的交集为
2[(1,1]c c -+，当10<<c ，112+<+c c 且112-<-c c ，此时的交集为
2[1,1]c c -+，故2c 1≤≤-时，存在公共定义域，且当0c 1≤≤-或2c 1≤≤时，公共定义域为2[(1,1]c c -+；当10<<c 时，公共定义域为2[1,1]c c -+．。