复数列的极限级数的概念

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复数项级数

n(en
2
en )
当 n 时, zn , 所以数列发散.
2、复数项级数的概念
1)定义设{zn} {xn iyn} (n 1, 2,L )为一复数列,
表达式
zn z1 z2 zn
n1
称为复数项无穷级数.
2）部分和其最前面 n 项的和 sn z1 z2 zn
记作
lim
n
zn
z0
或 zn z0 (n ) .
若数列{zn }不收敛，则称{zn }发散.
2)复数列收敛的条件
定理复数列{zn} (n 1,2, )收敛于z0 的充要条件是
lim
n
xn
x0 ,
lim
n
yn
y0 .
该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
(1
1
)e
i
n
n
;
(2) zn ncos in .
解
(1) 因为
zn
(1
1
)e
i
s n
n
i sin
), n
所以
xn
(1
1 )cos n
π n
,
yn
(1
1 )sin
nn
.
而
lim
n
xn
1
,
lim
n
yn
0.
数列收敛,
且
lim
n
zn
1
.
(2)
由于
zn
n cos in
lim 8 0 n n 1

4.1复数项数列、复数项级数

级数收敛的必要条件

n =1
n =1
定理3：级数 n = (an + ibn ) 收敛的必要条件是
lim n = lim ( an + ibn ) = 0.
n →
n →
证明：由定理2及实数项级数收敛的必要条件可知
级数

n =1
n
收敛，则级数

a
n =1
n
和 bn 都收敛；

n =1
n =1
n =1
n =1
所以当 an 与 bn 绝对收敛时， n 也绝对收敛.
2

同时有 an n ，bn n ，所以当 n 绝对收敛时，

a
n =1
n
n =1

与 bn 也绝对收敛.
推论：
n =1

n =1
n

n =1
n =1
绝对收敛的充要条件是级数 an 与 bn 也绝对收敛.
复变函数与积分变换
第一节复数项级数
一、复数项数列
二、复数项级数
一、复数项数列
定义1: 设 n = 1,2,∙∙∙ 为一复数列，其中 = + , 又设
= +为一确定的复数.如果对于任意给定的 > 0，相应地总
能找到一个正数 , 使得当 > 时，不等式 − <
→∞
当n > 时，有 n − α < ，即 (n + ) − ( + ) < 成立，
从而有
所以
n − ≤ (n −) + ( − ) < ，

第四章复变函数级数

第四章复变函数级数第四章复变函数级数（42）⼀、内容摘要1．复数列的极限:设有复数列{}n z ,若存在复数z ,对于任意的0>ε,总有数N >0,使数列序数N n >时总有ε<-z z n ,则称复数z 为数列{}n z 的极限,或者说数列{}n z 收敛于z ,记作：lim n n z z →∞= 由于n n n iv u z +=, iv u z +=, 当lim n n z z →∞=式成⽴时, 等价于lim ,n n u u →∞=lim n n v v→∞=1nn z ∞=∑收敛的充要条件是1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都收敛。

2．复数级数（定义）：设有复数项级数 +++=∑∞=k k n z z z z 211若其前n 项和n n z z z S ++=21构成的数列{}n S 收敛,则称级数1n k z ∞=∑收敛,⽽数列{}n S 的极限S 叫做级数1n k z ∞=∑的和.否则称级数1n k z ∞=∑发散。

由于∑∑==+=n k kn v i uS 11，所以11lim lim limnk n k n n n k n k u u S S u iv v v →∞=→∞→∞=?=??==+=??∑∑；绝对收敛：若⼀个级数的模级数∑∞=1k k z 收敛,则称级数∑∞=1k k z 是绝对收敛；若收敛级数的模级数不收敛，则称条件收敛。

3．设复变函数)(z f k ( ,2,1,0=k )区域G 内都有定义, 则定义复变函数项级数：∑∞=++++=010)()()()(k k k z f z f z f z f ，其中前n 项和：∑==nk k n z f S 0)(。

若对于G 内某点0z ,极限lim n n s S →∞=存在,则称复变函数项级数在点0z 收敛,s 叫做级数的和.若级数在区域G 内处处收敛,其和必是⼀个复函数:∑∞==)()(k k z f z s .则()s z )称为级数0()k k f z ∞当n N >时，1|()|n pk k n f z ε+=+<∑(p 为任意正整数)则称级数0()n n f z ∞=∑在B 内(或曲线L 上)⼀致收敛。

复变函数的级数

n0
收敛，则当 z z0 z1 z0 时绝对收敛；
n
cn (z z0 )n cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
n
M z z0 z1 z0
• z1 z0•
z•
因为
z z0 1, z1 z0
n
所以
M z z0 z1 z0
收敛。
cn (z z0 )n 收敛。
n0
cn (z z0 )n 绝对收敛。
n0
如果级数 cn (z z0 )n 在 z z2
n0
则当 z z0 z2 z0 时发散。
处发散，
• z3
利用反证法可以说明：
如果在 z3 收敛，则在 z2 收敛，矛盾。
z0• •z2
幂级数存在收敛半径 R
R
(1) R 0 时幂级数只在 z z0 点收敛
a
ba
b a
当 z a 1 即 z a ba 时
ba
1
zb
1 ba
n0
z b
a a
n
n0
(b
1 a)n1
(z
a)n
2. 幂级数的性质
定理３.9 级数 an zn 和 bn zn 的收
n0
n0
敛半径分别为 R1 和 R2 则在
z min{R1, R2}
内：
(1) an zn bn zn (an bn )zn
2
n
n0 n!
z 2n
n0 (2n)!
z
2 n 1
n0 (2n 1)!
都收敛
3.2 幂级数
1. 幂级数的概念
cn (z z0 )n c0 c1(z时
cn zn c0 c1z cn zn

高等数学课件-复变函数与积分变换第四章级数

称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解：将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0

九.序列、级数及极限

九．序列、级数及极限{}nk k a 1=或 n a a a ,,2,1 （1）叫有限序列(finite sequence)；{}∞=1k k a 或 ,,,2,1n a a a （2）叫（复数）序列(sequence)；nk k j j b 11==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑或n b b b +++ 21 （3）叫有限级数(progression)；⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=∞→k j j k b 1lim ，∑∞=1n n b 或 ++++n b b b 21 （4）叫无限（穷）级数(series)，其中诸j j b a ,都是复数．级数是序列的特例： k k b b b a +++= 21 而序列又是函数的特例：{}D k a k f k ∈=|),(，其中在（1）里，D={}n ,,2,1 ，在（2）里，D={}+≡Z n ,,,2,1(正整数集)．例：给等差级数(arithmetic progression) a a =1， d a a +=2，d n a a n )1(-+=，求n 项和n s ：])1([)(d n a d a a s n -+++++= ．（5）倒写：a d a d n a s n ++++-+=)(])1([ ．（6）（5）+（6），得n a a n d n a s n n )())1(2(21+=-+=, (因为各对应项的和都是))1((d n a a -++)))1(2(2d n a n s n -+=)(21n a a n+=．（公式）习题：求等差级数 ,5,3,1)(a 第五项，)(b 前五项和．例：给等比级数(geometric progression) a a =1， ar a =2， 1-=n n ar a ，则n 项和n s 是：rr a rr a s n n n --=+++=-1)1()1(1，1≠r ．[用n n r r r r -=+++--1)1)(1(1 或在公式n n n n n n y x y xy y x x y x -=++++-----))((1211中取1,1==y x ；证上公式，只须乘开左边,并消去正、负“等项”．] 习题：求等比级数 ,36,12,4 )(a 第五项， )(b 前五项和．例：我们利用等比级数来讨论利息问题，设 =P 本金(principal)， =i 利率(interest rate)，其中利率一定要说明时间：年利，月年等有一段时间，得本金P 及利息Pi ，积成)1(i P A +=． (单利公式)以利滚利，等二时间)1(i P +成为本金，由上公式积得2)1()1)](1([i P i i P +=++．用数学归纳法知n 段时间以后，积得n i P A )1(+=． (复利公式)为养老、孩子或置产，每段时间属存P ，依上公式，n 段时间以后连本带利得 P i P i P i P A n n +++++++=--)1()1()1(21 ，用等比级数和的公式得,)1(1)1(1i i PA n+-+-= )1,(i r P a +== 即ii P A n 1)1(-+=．（积金公式）倒过来，买房、车或其他，欠元，用产抵押，分n 段时间还，在每段尾付P ，要积得相当于D 的连本带利，故由积金及复利公式得n n i D ii P)1(1)1(+=-+，从而ni iDP -+-=)1(1．（抵押付款）例：伍小姐买房，三十万元，先付十分之一，剩下的分十年还，年利百分之六，每月付多少？,1201210=⨯=n ,20011211006=⨯=i 27000010930000=⨯=D 元．由上公式得她每月付款1998≈P 元．她付不起，改为分二十年还，这时240=n ，1934≈P ．《游子情》主角渊明曾回窝打老道中学演讲，讲题是“数学是什么？”他提出一个问题：1024人参加乒乓球单淘汰比赛，问要打多少场比赛才能决定冠军谁属？回到结绳记事时代，比赛完毕以后“数”，知打了1023场．这个“数结家”便是当时的数学家．后来有人说第一次打512场，第二次打256场，第三次打128场，……，最后一次打1场，总共打 10231128256512=++++场．这个“加数家”便是当时的数学家．现在我们学了等比级数，由和公式得102321215122110=--=+++ ．我们比加数家棒，只可惜等比级数的观念和公式不是我们创出来的．菁青（还有别人）说答案是 1-n ，其中n 代表参赛的人数，理由是每赛一场一人出局．在这个问题上，菁青是一个大数学家，因为她不仅“少算”，而且“超答”，毕竟参加比赛的人数不一定是1024，也不一定能写成n 2的形式．例：给 2332++=n n a n ，（7）求{}∞=1n n a 的极限n nn a →lim ．解：一般地，复数序列{}n a 的极限(limit)是复数a 或说{}n a 收敛(converges)于a (记作：a a n n =∞→lim )，定义如后：任给一个“接近”或“距离小”的标准0>ε，都能找到一个大的标准IR N ∈)(ε，使每当n 大时（即)(εN n >），n a 都接近a （即ε<-a a n ，εε<-<-a a n ，或εε+<<-a a a n ．注意：ε愈小，)(εN 可能愈大，它由ε来决定．先给n a 接近a 的标准ε，才能找“n 大”的标准)(εN ．极限的定义相当抽象，可能是本书介绍的最“难”的概念．如果相关的极限在IR 存在，便可以证明：n n n n a a ∞→∞→=lim )(lim αα，（8）n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→+=+lim lim )(lim ，（9）n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→=lim lim )(lim ，（10）n n nn nnn b a b a ∞→∞→∞→=lim lim )(lim ，0lim ≠∞→n n b ．（11）故在（7）中nn n n n n 3332lim 2332lim++=++∞→∞→，（上、下除以n ） )23(lim )32(lim n n n n ++=∞→∞→，（用（11）） nnn n n n 2lim 3lim 3lim2lim ∞→∞→∞→∞→++=，（用（9））nnn n 1lim231lim32∞→∞→++= ，（用（8）及k k n =∞→lim （常数））32023032=⨯+⨯+=．习题：证明：k k a n =∞→lim )(，（这里各k a n = ）)(b 01lim=∞→n n ．（这里各na n 1= ）例：用公式做看不出“做者”懂或有感觉．让我们用定义证明323lim=+∞→n n ．证：这里2332++=n n a n ，32=a ．给出接近的标准0>ε，想找0)(>εN ，使 n 大时（)(εN n >），n a 接近a ，即ε<-a a n ：ε<-++322332n n ，（12）即ε<+)23(35n ，（13）即5323ε>+n ，（14）即3253->εn ．（15）取 3253)(-=εεN 或更大的整数，则)(εN n >)12()15(⇒⇒⇒ ，从而得（7）．读者不妨取,,31,21,1 =ε计算,),31(),21(),1( N N N 并作图，感觉一下当距离ε变小时，n 要多大才能使n a 接近a ．例：求 ++++=n s 214121 解：依定义)214121(lim n n s +++=∞→211))2(1(2lim --=∞→n n （等比公式，21,21==r a ）))21(1(lim n n -=∞→n n n )21(lim 1lim ∞→∞→-=01-==1． (用 0)21(lim =∞→n n )俗语云“日取一半，永取不尽”，是因为吾生有涯；如果吾生无涯，则可“ 取尽”： ++++=n 2141211 注意当a a n n =∞→lim 时，即使n 增大，n a 不一定能等于a ．古希腊人仁诺（Zeno ，490-）辩说兔追龟半途不睡觉也追不上：设龟先走1a 的距离，等到兔追了1a 的距离，龟又走了距离2a ，兔追了2a 的距离后，龟又走了距离3a ，……，这样，每当龟走 1321+++++n a a a a 的距离时，兔走n a a a a ++++ 321 的距离．龟与兔都走近)lim (1321∑=∞→=+++++nj j n n a a a a a ，而在1+n 步时，兔少走1+n a ，也就是说“兔即使半途不睡觉，也永远追不上龟”．古希腊哲人尊仁诺这样的人为诡辩家，而不骂他们无德．习题：证明0)21(lim =∞→n n ．为怕同学们做不出上习题而影响兴趣，让我们一道来做：给出一个小的标准0>ε，我们想找一个大的标准0)(>εN ，使当)(εN n >时，ε<-021n ，即 ε<n 21，即ε12>n ，即ε1log 2log >n ，即ε1log 2log >n ，即2log 1log ε>n ，即2log 1logε>n ，故取大于2log 1logε，的正数为)(εN ，即得预期的结果．上面将21改为r ，1<r ，便得rr r r n -=+++++1112的证明．在市场经济的社会里，银行、个人、……将手上的钱拿出去投资，留%20(或别的比率)在身边备用．这样，依前公式，一元便可以获得接近8.011-=5元的信用．加上股票、支票、债券、抵押、公积金、……诸信用的膨胀，提一提都会令人脉搏加快，血压上升．当然，信用的恶性膨胀可能会导致中风一处崩溃引致全身瘫痪．朋友，你宁愿冒险活得多彩多姿，还是安贫的活一辈子？《游子情》里经常提到这个老问题，包括配角陈力的股笑、股气与股经．现在，你能不能从定义开始证明 )(a 01lim=∞→nn ，（上面提过） )(b 21221lim =++∞→n n n ，及)(c k k k =∞→lim ？（上面提过）我们谈过收容2及其他无理数而得实数域IR 的故事．现在，我们有了极限的观念，可以证明无理数已宣宾夺主：有理数可数，但无理数不可数．为此，我们只须证明开区间)1,0(不可数：反设它可数，即)1,0(的数可以排成1a ,2a ,, n a ,．用十进无限小数排各n a ：12111.a a a = 22212.a a a = 21.n n n a a a = 例如2.0写作 199.0)1091091091.0(32 +++++=m．取 21.c c c =，使各n c }2,1{∈但nn n a c ≠，则)1,0(∈c 但n c 又不等于任一n a ，矛盾．所以)1,0(不可数．)1,0(的数虽多，它的秩序≤欲有些怪：如果排队买票，一张一张卖，先卖给排前（大）的，或先卖给排后（小）的，竟然一张也卖不出！如果依序卖套票，每套有限或可数张，仍然一套也卖不出！我们只知任两个数间都有不可数的有理及无理数．警报：本节下面非计算的部分较深．给出实数序列{}∞=1n n a ，如果有IR b ∈，使各b a n ≤，我们说b 是{}∞=1n n a 的上界(upper bound)且说 {}∞=1n n a 上有界(bounded from above)；如果有IR b ∈,使各≤b n a ,我们说b 是{}∞=1n n a 的下界(lower bound)且说 {}∞=1n n a 下有界(bounded from below)；如果{}∞=1n n a 有上、下界，我们说{}∞=1n n a 有界(bounded)；如果各n n a a ≥+1(n a >)，我们说{}∞=1n n a （真正地）递升(increasing or non-decreasing) 或干脆说{}∞=1n n a (真正地)升．如果{}∞=-1n n a (真正地)升，我们说，{}∞=1n n a （真正地）递降(decreasing or non-increasing )或干脆说{}∞=1n n a （真正地）降．如果{}∞=1n n a （真正地）升或降，我们说{}∞=1n n a （真正地）单调(monotone)．命题：有上（下）界的升（降）序列必定收敛．证明：设b 是{}∞=1n n a 的上界，且各1+≤n n a a ．考虑=C {c c |是{}∞=1n n a 的上界}，则C b ∈，且各n a 是C 的下界，从而C 有最大下界0c ：c c ≤0，C c ∈，（18）及n a c ≥0， ,2,1=n （为什么？）（19）给0>ε，则有正整数0)(>εN ，使εε->0)(c a N ，（20）否则C c ∈-ε0，从而由（18）得ε-≤00c c ，矛盾．因{}∞=1n n a 升，故由（20）知εε->⇒>0)(c a N n n ．（21）由（19）及（21）得00)(c a c N n n ≤<-⇒≥εε，从而{}∞=1n n a 收敛于0c ．现设a 是{}∞=1n n b 的下界，且各1+≥n n b b ， ,2,1=n ．妨上面证明或令各n a =n b -，则a -是{}∞=1n n a 的上界，且{}∞=1n n a 升，从而{}∞=1n n a 收敛于某IR c ∈0；这样，0lim )(lim lim c a a b n n n n n n -=-=-=∞→∞→∞→．证毕．习题：设21b a a +=, ba abb +=21, ,3,2,2,2111111=+=+=------n b a b a b b a a n n n n n n n n ，用数学归纳法证明：{}n a 真正降，{}n b 真正升，且共享一极限ab ．实数序列{}∞=1n n a 的极限不一定存在：若各2n a n =，n 增大时，n a 向右”飞”；若各=n a 2n -，n 增大时，n a 向左“飞”；若各n a n n )1(-=，n 循偶数增大，n a 向右”飞”，n 循奇数增大，n a 向左”飞”，形成一向东飞，一向西飞的局面．复数序列{}∞=1n n a 当然也不一定收敛：对复数a ，若任给0>ε，都存在n ，使0<ε<-a a n ，则我们说a 是{}∞=1n n a 的极限点或积聚点(limit point or cluster point)，例如各=n a n )1(-，则1-及1都是{}∞=1n n a 的积聚点．研究积聚点，最基本的是有界序列{}∞=1n n a ：存在正数r ,使各r a n ≤.{}∞=1n n a 的最大极限点叫做上极限(limit superior)，记作 n a sup lim ；最小极限点叫做下极限(limit inferior)，记作 n a inf lim ；引理：设{}∞=1n n a 为有界实数序列，则{}∞=1n n a 有积聚点,而且有最大及最小的积聚点．证：设各b a a n ≤≤．取[],b a 的中点s ，则区间[],s a ，[],b s 中至少有一个区间[],11d c 具有下述性质：有无限个n ，使n a ∈[],11d c ．如果区间[],s a 和区间[],b s 都有上述性质，我们取[],11d c 为右边的那个．重复上面的讨论于[],11d c ，得[],22d c ．用数学归纳法得{}∞=0],[n n n d c ，使对各 ,2,1=m ，mm m ab c d 2-=-，（22） m m m m d d c c ≤<≤++11，（23）且存在无限个n ，使],[m m n d c a ∈．（24）故由上命题知下面的极限d c ,存在于IR ：m m c c ∞→=lim ， m m d d ∞→=lim ．（25）由（22）得mm m m m ab c d c d 2lim)(lim -=-=-∞→∞→=0，即c d =．（26）我们觉得c 是{}∞=1n n a 的积聚点：给0>ε，由（25）知存在正整数)(1εM ，)(2εM ，使εε<-⇒≥c c M m m )(1 及εε<-⇒≥d d M m m )(2 取)()()(21εεεM M M +=，则当)(εM m ≥时， ε<-c c m ， ε<-d d m ，从而由（26）及三角不等式得 ε2<-m m c d ．由（24）知有无限个 )(εM m ≥，使 ],[m m m d c a ∈，从而c c c a c a m m m m -+-≤- εε3)(<+-≤m m cd ．想当初，给0>'ε而取3εε'=，便得所期望的结果．证毕．为方便，我们叫上面的方法为平分法．作为习题，证明 )(a m a c sup lim =；)(b 前引理证明中改“右”为“左”，得 m a c inf lim =．)(c 开覆盖定理：设{}I i i i b a ∈),(为一族IR 内的开区间，且{}I i i i b a ∈),(覆盖],[b a ：],[b a Ii i i b a ∈=),(，即任取∈x ],[b a 都存在I i ∈，使),(1i b a x ∈，则存在I 的有限子集J ，使{}J i i i b a ∈),(覆盖],[b a ．)(d 设A 为IR 内的有界子集：存在IR d c ∈,，使对任意的A a ∈，有 d a c ≤≤．如果A 是无限的，则A 有极限点(积聚点)IR c ∈：任给正整数ε，都有∈a A 使 ε<-<c a 0．习题：a 是复数序列{}∞=1n n a 的积聚点当且仅当有{}∞=1n n a 的子序列{}∞=1n k na 1(k<<2k )，使a a n n =∞→lim ．习题：设∞=1}{n n a 、∞=1}{n n b 是有界实序列，且各n n b a ≤，则n n b a inf lim sup lim ≤．命题：有界复数序列有积聚点．证：设{}∞=1n n a 为有界复数序列．对于复数iy x z +=(y x ,为实数)，以,Re zz Im 分别表示y x ,．这样{}∞=1Re n n a ，{}∞=1Im n n a 都有界，从而由上命题及习题知有{}∞=1Re n n a 的子序列{}∞=1Re n k na 收敛于某IR a ∈．同理有{}∞=1Im n k na 的子序列{}∞=1Im n k nj a 收敛于某IR b ∈．易证{}∞=1n k nj a 收敛于ib a +．证毕．一个序列收敛与否一方面依赖自己，一方面也依赖所在的空间S ，例如给出]2,0[=S ，]11,1(na n +∈，则1lim =∞→n n a ；拿掉1，n n a ∞→lim 便不在S 里存在，但{}∞=1n n a 自身的性质不变．给出复数序列{}∞=1n n a ，如果任给0>ε，都存在正整数)(εN ，使εε<-⇒≥>n m a a N n m )(，则我们说{}∞=1n n a 为柯西（Augustin Louis ，Baron Cauchy ：1789--1857）序列．容易证明如果{}∞=1n n a 收敛，则{}∞=1n n a 是柯西序列(Cauchy sequence)．命题：给出复数序列{}∞=1n n a ，{}∞=1n n a 收敛当且仅当{}∞=1n n a 是柯西序列．证明：设{}∞=1n n a 是柯西复数序列，则给正数ε，存在正整数)(εN ，使εε<-⇒≥>n m a a N n m )(．（27）取1=ε，知各∑=+≤)(11εN j jn aa ，从而{}∞=1n n a 有界．故由前命题及习题知有{}∞=1n n a 的子序列{}∞=1n k n a ，使{}∞=1n k n a 收敛于某复数a ：存在正整数)(εM ，使 εε<-⇒≥a a M n n k )(．令)()(εεN M n +>，则εεε2=+<-+-≤-n k k n a a a a a a n n ，从而a a n n =∞→lim ．证毕．给出{}∞=1n n a , 如果对任意正数K ，都有正整数)(K N ，使)(K N n ≥K a n >⇒)(K -<，那么，我们写作)(lim -∞∞=∞→n n a ；如果∑==nj j n a b 1而)(lim -∞∞=∞→n n b ，我们写作∞=∑∞=1n n a )(-∞或说∑∞=1n n a 发散（diverge ）至正（负）无限大∞．注意：如果∑∞=1n n a 收敛于a ，则0)(lim lim 111=-=-=∑∑-==∞→∞→a a a a a n j j n j j n n n ．如果∞<∑∞=1n n a ，我们说∑∞=1n n a 绝对收敛(absolutely convergent)；如果∑∞=1n n a 收敛但∞=∑∞=1n n a ，我们说∑∞=1n n a 条件收敛(conditional convergent)．如果有{}∞=1n n a 的子序列(subsequence){}∞=1n k na )(21 <<k k ，使∞=∞→n k n a lim )(-∞，我们写n a sup lim∞=inf (lim )-∞=n a ．利用前命题不难证明：如果∑∞=1n n a 绝对收敛；则∑∞=1n n a 收敛．为研究绝对收敛，我们暂时只考虑正序列{}∞=1n n a （即各0>n a ）．习题：如果存在正实数M ，使各n n Mb a ≤≤0，则∑∞=1n n a ∑∞=≤1n n b M ．习题：如果各0lim =∞→n n a ，各n n a a ≤+1及01<+n n a a ，则∑∞=1n n a 收敛．柯西判别准则：给出正数序列{}∞=1n n a ：)(a 如果1sup lim <∞→n n n a ，则∑∞=1n n a 收敛：∑∞=1n n a ∞<．)(b 如果1sup lim >∞→n n n a ，则∑∞=1n n a 发散：∑∞=1n n a ∞=．证明：)(a 令n n n a a sup lim ∞→=，（28）各n n n a b =，并设 a -<<10ε及ε+=a b （1<）．由 sup lim 的定义知存在)(εN p =+∈Z ，使ε+≤⇒≥a b p n n （否则有{}∞=1n n 的子序列{}∞=1n n k ，使各ε+≥a b n k ，从而a b b n n >≥∞→sup lim ，矛盾）．取p n ≥，则n n a a )(ε+≤，从而由等比级数的和公式得)(1)()(1)(1)(εεεεε+-+≤+-+-+≤-=∑a a a a a a pp m pmpn n ．因1<+εa ，取极限)(∞→m ，得)(1)(εε+-+≤∑∞=a a a ppn n ，从而∞<+-++≤∑∑-=∞=)(1)(111εεa a a a pp j j n n ．)(b 以（28）定义a ，并取21+=a b ，则1>b ，且有{}∞=1n n 的子序列{}∞=1n n k ，使各 b a nn k k >，即nn k k b a >，从而得∑∑∞=∞=∞=≥11n k n n n b a ．证毕．达朗贝尔判别准则：给出正序列{}∞=1n n a ：)(a 如果1suplim 1<+∞→nn n a a ，则∑∞=1n n a ∞<．)(b 如果1inflim 1>+∞→nn n a a ，则∑∞=1n n a ∞=．证明：)(a 令nn n a a c 1suplim +∞→= （29）及给 c -<<10ε，则存在正整数)(εN p =，使 ε+≤⇒≥+c a a p n nn 1，从而m p m p m p p p p p p m p c a a a a a a a a a )(1121ε+≤≤-++++++．故∞<+≤∑∑∞=∞=+11)(m m p m m p c a a ε．)(b 以（29）定义c ，并取21+=c b ，则有正整数)(b N p =，使 b a a p n nn >⇒≥+1，从而m p m p m p p p p p p m p b a a a a a a a a a >=-++++++1121．故∞=≥∑∑∞=∞=+11m m p m m p b a a ，从而∞=∑∞=1n n a ．证毕．注：达朗贝尔（Jean Le Ron D ’alembert ：1717-1783）．例：证明对任意复数,z ∑∞=0!j jj z 绝对收敛，其中10=z ．证明：除去0=z 的特例，令!n z a nn =，则11+=+n z a a n n ，从而0lim1=+∞→nn n a a ．故由柯西收敛判别法则知∑∞=0!j jj z 绝对收敛．证毕．对任意复数z ，定义 =)exp(z ∑∞=0!j jj z ．（30）当1=z 时，)exp(z 定义为e ．读者不妨用上级数的首n 项来逼近e ：,7.2,6.2,5.2,2,1 例：当1<z 时，证明∑∞=0n n z 绝对收敛．证明：对 ,2,1,0=n ，1<=z zn n，从而1lim <∞→n n n z．所以由柯西收敛判别法则知∑∞=0n n z 绝对收敛．事实上z z z m mn n--=+=∑111，从而令∞→m ，得 ∑∞=0n n z z-=11， 1<z ．（31）（30）及（31）里的函数用途很广．例：对正（或非负数）序列{}∞=1n n a ，证明n n n n a na sup lim sup lim =．（32）证明：因各n n nn a na ≥，n n n n a na sup lim sup lim ≥．故可设∞<=n n a r sup lim ，（33）取1>δ，但可乱动，故只须证 2sup lim δr na n n ≤．由（33）知存在N ，使N n >时，δr a nn <，即n n r a )(δ<．取N n >及1-=δε，则n r na n n n δ<．（34）因εεδn n n ≥+=)1(，（展开n )1(ε+或用二项式定理）故由（34）得εδδnnnn r na <，从而n n n r na εδ2<．故)1lim (sup lim sup lim 22==≤∞→n n nn n r r na εδεδ．证毕．。

复变函数PPT第四章

——代入法
1 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 点邻域内的 Taylor级数. (1 z )
解：z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点，且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1.
利用逐项积分得
(n 1)z dz
n 0 n 0 n 0
z

z
0
( n 1) z dz z
n n 0

n 1
z . 1 z
所以
1 z n (n 1)z 1 z (1 z )2 n 0

z 1 .
n0

的收敛范围与和函数.
解级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n1 1 lim sn z 1 n 1 z
z 1
lim z 0
n n
1 zn , ( z 1) 1 z z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 发散.

所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散, zn 1 在圆周 z 1上,级数 3 3 n 1 n n 1 n 收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
(cos in) z n （2）
n 0

1 n 解因为 cn cos in (e e n ), 所以收敛半径为 2 en en cn 1 1 e 2 n lim n1 R lim . n 1 lim 2 n 1 n e n c n e e e e n1
(7)(1 z ) 1 z

( 1)

关于复变函数求极限的方法浅谈

关于复变函数求极限的方法浅谈复变函数是指定义在复数域上的函数。

在复数域上，函数的极限存在的判定方法与实数域上的函数有所不同。

本文将从极限的定义、极限存在的条件以及极限计算方法等方面进行讨论。

1. 极限的定义对于复数列{zn}，当复数z无论多么接近于z0时，对应的函数值f(z)都无论多么接近于某个复数A时，称A为函数f(z)在复数点z0处的极限，记作lim_(z→z0)(f(z))=A。

2. 极限存在的条件与实数域上的函数类似，极限存在的充要条件是满足柯西收敛准则。

即对于任意正数ε，存在正数δ，使得当|z - z0| < δ时，有|f(z) - A| < ε。

3. 极限计算方法3.1 用直接代入法计算极限当函数在z0附近连续时，可以直接将z0代入函数中计算极限。

计算极限lim_(z→1)((z+1)/(z-1))时，直接代入z=1可得lim_(z→1)((z+1)/(z-1))=2。

3.2 用极坐标法计算极限对于复数z=r(cosθ+isinθ)，可以将其表示为极坐标形式，即z=|z|e^(iθ)。

利用极坐标形式计算复变函数的极限可以简化计算过程。

计算极限lim_(z→0)(z^2/(z^4+1))，可以将z=r(cosθ+isinθ)代入，得到lim_(z→0)(z^2/(z^4+1))=lim_(z→0)((r^2(cosθ+isinθ)^2)/((r^4(cosθ+isinθ)^4+1)))。

再利用欧拉公式化简即可。

3.3 用洛必达法则计算极限当计算存在一个不定型的复变函数极限时，可以使用洛必达法则。

洛必达法则适用于计算函数之间的极限，不论是实数函数还是复变函数。

计算极限lim_(z→0)((cosz-1)/z)，可以利用洛必达法则转化为计算lim_(z→0)(-sinz)，最终得到极限为0。

3.4 用级数展开法计算极限级数展开法是一种常用的计算复变函数极限的方法，特别适用于计算指数函数和三角函数类型的复变函数。

复变函数第4章

《复变函数》(第四版) 第4章
第19页
[证]
因
cn
z0n收
敛,
则
lim
n
cn
z0n
0,
n0
则存在M使对所有的n有 | cnz0n | M
如果
|
z
||
z0
|,
则
|z| | z0 |
q
1,
而
n
|
cnzn
||
cn z0n
|
z z0
Mq n
2024/4/4
《复变函数》(第四版) 第4章
第20页
n
|
i )n 2
5 (cos
2
i sin )n
2 5
n
cos(n
)
i
sin(
n
)
|n |
n1
n1
2 n
5
收敛.
(公比 |q | < 1)
∴ 原级数绝对收敛.
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《复变函数》(第四版) 第4章
第12页
解: 3)
|n |
(1 i)n ( 2 )n cos in
( 2)n ( 2 )n cos in
1 2
| z |2
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《复变函数》(第四版) 第4章
第35页
当 1 | z |2 1, 即| z | 2时, 原级数绝对收敛. 2
当 1 | z |2 1, 即| z | 2时, 原级数发散. 2
故原级数收敛半径 R 2.
注: 求形如 n z2n 或 n z2n1 (n 0 )
1 chn
en
2 en
2 en
而

09第四章解析函数的级数表示

第四章解析函数的级数表示§1. 复数项级数一. 复数序列的极限定义：设{}n z 为一个复数序列，其中n n n y i x z +=，又设000y i x z +=为一个复定值. 若,0,0>∃>∀N ε使得,N n >∀有不等式ε<-0z z n恒成立，则称复数序列{}n z 收敛于0z ，或称{}n z 以0z 为极限，记作0l i m z z n n =∞→ 或()∞→→n z z n 0.如果对于任意复数0z ，上式均不成立，则称复数序列{}n z 不收敛或发散.定理1 设000y i x z +=，n n n y i x z +=，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=∞→∞→∞→.lim ,limlim 000y y x x z z n n n n n n 定理1说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.二. 复数项级数定义：设{}n z 为一个复数序列，表达式 +++++n z z z z 321称为复数项无穷级数.如果它们的部分和序列() 2,1321=++++=n z z z z S n n有极限S S n n =∞→l i m （有限复数），则称级数是收敛的，S 称为级数的和；如果{}n S 没有极限，则称级数是发散的. 例1.当1<z 时，判断级数++++++nz z z z 321是否收敛？定理2 级数 ++++n z z z 21收敛的充分必要条件是实数项级数 ++++n x x x 21与 ++++n y y y 21都收敛.定理2说明: 可将复级数的敛散性转化为判别两个实级数的敛散性.定理3 （级数收敛的必要条件）若级数++++n z z z 21收敛，则0lim =∞→n n z . 定理4 若级数+++++=∑∞=n n n z z z z z 3211收敛，则级数+++++=∑∞=n n nz z z z z3211一定收敛.定义：若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛，则称级数++++=∑∞=n n nz z z z 211绝对收敛，若级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211发散，而级数 ++++=∑∞=n n n z z z z 211收敛，则称级数 ++++=∑∞=n n nz z z z211条件收敛.例2.判断下列级数的敛散性：（1）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n n i n ；（2）∑∞=1n nni ；（3）∑∞=12n nn i.§2. 复变函数项级数一. 复变函数项级数定义：设(){}() ,,n z f n 21=为区域D 内的函数序列，称以()z f n 为一般项的复级数 ()()()()+++++z f z f z f z f n 321为区域D 内的复变函数项级数.该级数的前n 项的和()()()()()z f z f z f z f z S n n ++++= 321称为该级数在D 内的部分和. 设0z 为区域D 内的一个定点，若极限()()00lim z S z S n n =∞→存在，则称该复变函数项级数在0z 点收敛，()0z S 为其和，即()()01z S z f n n=∑∞=.如果该复变函数项级数在D 内处处收敛，则称该复变函数项级数在D 内收敛，由此所定义的函数()z S 称为和函数，记作()∑∞=1n n z f .即 ()()∑∞==1n n z f z S 二. 幂级数定义：形如()()()()+-++-+-+=-∑∞=nn n nnz z C z z C z z C C z z C 02020100的复变函数项级数称为幂级数，其中n C 与0z 均为复常数. 定理5如果幂级数()∑∞=-00n nn z z C 在点()011z z z ≠ 收敛，则该级数在圆域010z z z z -<-内绝对收敛.推论如果幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在点2z 发散，则在区域020z z z z ->-内发散.定义：若存在圆R z z <-0，使得幂级数()∑∞=-10n nn z z C 在此圆内绝对收敛，在此圆外发散，则称该圆为幂级数的收敛圆，称该圆的半径R 为幂级数的收敛半径. 结论：对幂级数()∑∞=-10n nn z z C 而言，一定存在某一圆R z z <-0，使得该幂级数在此圆内绝对收敛，在此圆外发散.达朗贝尔比值判别法——若 λ=+∞→n n n C C 1lim ，则幂级数()∑∞=-10n nn z z C 的收敛半径λ1=R .柯西根值判别法——若 λ=∞→nnn C lim ，则幂级数()∑∞=-10n nn z z C 的收敛半径λ1=R .例3. 求级数∑∑∑∞=∞=∞=1210,,n nn nn nn z nzz 的收敛半径. 例4.求级数()∑∞=-11n nnz 的收敛半径.说明：达朗贝尔比值判别法与柯西根值判别法都只是充分条件，而非必要条件. 例5. 把函数z 1表示成形如()∑∞=-02n nn z c 的幂级数. 性质 (1)幂级数()∑∞=-00n nn z z C 的和函数在收敛圆内一定解析；(2)在收敛圆内，幂级数()∑∞=-00n nn z z C 可以逐项积分或求任意阶导数，所得到的幂级数在该圆内也收敛，且相应的和函数即为对幂级数()∑∞=-00n nn z z C 的和函数进行积分或求相应阶导数所得的结果.例6 求幂级数∑∞=12n nz n 的和函数，并计算级数∑∞=122n n n 之值.§3. 泰勒级数定理6 (泰勒定理) 设函数()z f 在区域D 内解析，0z 为D 内的一点，设R 为0z 到D 的边界的距离，则当R z z <-0时，()z f 可展为幂级数()()∑∞=-=00n nn z z C z f 其中()() 2,1,0!10==n z f n C n n .称该幂级数为()z f 在区域D 内以0z 为心的泰勒级数.说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?);, , )( .200z d z d D z f -=αα即之间的距离一个奇点到最近等于则内有奇点在如果4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. 结论：函数在()z f 点0z 解析的充分必要条件是在0z 点()z f 可展成幂级数.根据结论，解析函数()z f 在点0z 可展成泰勒级数，其展开法分别是直接展开法和间接展开法.直接展开法是指由泰勒展开定理计算系数间接展开法是指借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.例7．将()0==z e z f z在处展开为泰勒级数.例8. 将()0sin ==z z z f 在处展开为泰勒级数.;,0.30级数级数也可称为麦克劳林时当=z,2,1,0,)(!10)(==n z f n c n n .)( 0展开成幂级数在将函数z z f例9．将()z z f -=11在z =0的邻域展开.例10. 求函数()0112=+=z zz f 在的邻域内的泰勒展开式.例11. 例12. 求函数()21-=z z f 在1-=z 的邻域内的泰勒展开式.例13.将函数()()211z z f -=展开为i z -的幂级数.例14.求对数函数ln (1+z )在z =0处的泰勒展开式.例15. 将函数()ze zf -=11展开为z 的幂级数.§4. 洛朗级数引例求函数()122-+-=z zz z f 的展开式..0arctan 的幂级数展开式在求=z z定理7 设函数()z f 在环域201R z z R <-<内解析，则()z f 在此环域内一定可以展成()()∑∞-∞=-=n n n z z C z f 0，其中()()() 2,1,02110±±=-=⎰+n d z f i C C n n ςςςπ.C 为此环域内绕0z 的任意一条简单闭曲线. 称此级数为环域内的解析函数的洛朗级数. 说明:环域201R z z R <-<内的解析函数则()z f 在此环域内一定可以展成惟一的洛朗级数. 例16．将函数 ()()()211--=z z z f分别在圆环域(1)10<<z ;(2)21<<z ;(3)+∞<<z 2内展开为洛朗级数.例17. 将函数()2z shz z f =在+∞<<z 0内展开为洛朗级数.例18. 试求()211z z f +=以z =i 为中心的洛朗级数.。

zh4

第四章
第一节第二节第三节第四节第五节复数项级数幂级数泰勒级数罗朗级数孤立奇点
级数
第一节
复数项级数
第一节
一复数列的极限二级数的概念
第四章级数
复数项级数
-2-
第一节
复数项级数
一
复数列的极限
定义设 { n }( n 1,2,) 为一个复数列, 其中
n an ibn , 又设 a ib 为一定复数, 如果对任意给定的 0, 相应的总可以找到一个正整数 N ,
1 in 所以原级数绝对收敛。 2）由于 | 2 | 2 收敛， n 1 n n 1 n n 1 i 3）由于 | | n 发散，所以原级数不是 n 1 n 1 n n in ( 1)n ( 1)n1 i , 而利绝对收敛，又由于 n 1 n n 1 2 n n 1 2 n 1
- 21 -
第二节
幂级数
收敛半径 R 0 。例1 ［解］
第四章级数
n z 求幂级数的收敛圆盘和和函数。 n 0

幂级数的部分和为
n 1
Sn ( z ) 1 z z
由于
1 z ( z 1) 1 z
n
| z | 1 lim S n ( z ) 1 n | z | 1 1 z 当 | z | 1 时，幂所以当 | z | 1 时，幂级数是发散的，
- 15 -
(4.2.2)
第二节

幂级数
n f ( z ) c z n 1 如果取 n 我们得 z 的幂级数： n n c z c c z c z n 0 1 n n 0

[复变函数与积分变换][课件][第4章][级数]

级
数
∑f
n =1
+∞
n
( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + f 3 ( z ) +
+ f n ( z) +
为复
= f1 ( z ) + f 2 ( z ) +
+ f n ( z) = ∑ f k ( z) ．
k =1
n
sn ( z0 ) 若 z 0 ∈ D ，极限 nlim → +∞
敛点；
= s ( z0 )
存在，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z0 处收敛，和
∑f
n =1
+∞
n
( z0 ) = s ( z0 ) ， z0 为收
若 z 0 ∈ D ， {sn ( z 0 )} 发散，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z 0 处发散， z 0 为发散点．
D1 收敛域
D2 发散域
∑αn = s
n =1
+∞
Δ
收敛；若 {s n }
∑α
n =1
+∞
n
收敛
⇔
∑a
n =1
+∞
n
和
∑b
n =1
+∞
n
均收敛．
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ 证： s n = ∑ α k = ⎜ ∑ ak ⎟ + i ⎜ ∑ bk ⎟ ． k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
此定理将复级数的审敛问题转化为实级数的审敛问题．级数收敛之必要条件：

17.复数列的极限、复数项级数

如果e >0, 存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
n e 成立, 则称当n时, n 收敛于 ,
或称是 n 的极限, 记作
lim n , 或 n n .
n
复数列收敛与实数列收敛的关系定理1
lim n 的充分必要条件是
n 1

于是在判别级数的敛散性时, 可先考察
lim n ? 0.
n
定义3

设

n 1

n
是复数项级数, 如果正项

级数 n 收敛, 则称级数 n 绝对收敛.
n 1 n 1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数. 绝对收敛级数的性质定理4 并且若级数 n 绝对收敛, 则它收敛,
级数收敛的必要条件推论证明
n
n 0. 如果级数 n 收敛, 则 lim n
n 1

由定理3及实数项级数收敛的必要
n
n 0. 条件 lim an 0, lim bn 0 知, lim n
n 0 n 发散. 重要结论: lim n
则级数 n 绝对收敛, 并且
n 1
n n n . n1 n1 n1

n 1

n 1
n

n
n .
n 1

n 1

绝对收敛 an 和 bn 都绝对收敛.
n 1 n 1
( 1)n 1 n i 是否绝对收敛? 例级数 n 2 n 1

解因为
( 1)n , n n 1

复变函数与积分变换课堂第四章PPT课件

n1
称为无穷级数, 其最前面n项的和
sn12 n
称为级数的部分和。
如果部分和数列{sn}收敛, 则级数 n 称为收敛，且 n 1
极限 lim n
sn
s
称为级数的和。如果数列
{
s
n
}
不收敛，则
级数 n 称为发散。 n 1
定理二级数 n 收敛的充要条件是级数 a n 和
n 1
n 1
b n 都收敛。
1 n1 2 n
收敛，仍断定原级数发散。
另外, 因为 | n | 的各项都是非负的实数, 所以它的 n 1
收敛也可用正项级数的判定法来判定。
例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。
1)n 11 n ein; 2)nncosin
[解] 1) 因n 11 n ei n 11 n cos nisin n ，故
an2bn2 |an||bn|，因此
， an2bn2 |an| |bn|
n1
n1n1所以当 Nhomakorabeaa n 与
b n 绝对收敛时，
n 也绝对收敛，因此
n 1
n 1
n 1
n 绝对收敛的充要条件是 a n 和 b n 绝对收敛。
n 1
n 1
n 1
例1
考察级数
n 1
(
1 n
i 2n
)
的敛散性。
[解]
因发散，虽 1 n1 n
n 1
[证] 因 s n 1 2 n ( a 1 a 2 a n )
i(b 1 b 2 b n )n in
其中s n a 1 a 2 a n ,n b 1 b 2 b n 分别为 a n 和 n 1

复变函数第10讲

（注：此时收敛圆盘在 z i 点，即 z i 3 ）
5) enizn,
i
cn en 1,R1
练习：求下列幂级数的收敛半径：
1) (cosin） zn 2) ch( i )zn
n
4. 幂级数运算和性质幂级数的加、减、乘法运算规则：
anzn bnzn (an bn)zn
定理设幂级数 s (z )c n z n 的收敛半径为 R ，则 n 0
1 )s (z ) 在收敛圆 |z | R 内解析 ;
2）s(z)在收敛内可逐项求导，即
s(z) (cnzn) cnnzn1
n0
n1
3) s(z)在收敛圆盘内可逐项积分即0 zs (z ) d z 0 z(n 0 c n z n ) d n z 0 c n0 zz n d n z 0 n c n 1 z n 1
出发往右移动，首先进入的是收敛点区，然后会遇到发散点。收敛点集与发散点集有唯一的分界点，记为R，则
当 z R 时 , 级数收敛且绝对收敛；
当 zR时 , 级数发散。
综上所述，便得如下结论：幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域。幂级数在圆内收敛，在圆外发散。此圆称为收敛圆，圆的半径R称为幂级数的收敛半径。在圆周上是收敛还是发散不能作出一般的结论，要具体问题具体分析。
注：性质2）和3）为用间接法将函数展开成幂级数提供了极大的方便。
2）若 z0为发散点，则对 z，任只意要 z 点 z0
级数皆发散。
。z0收敛点
。z0发散点
证明：1）设 z 0 为收敛点，则当 z z 0，有
cnzn

复变函数项级数

(an ibn ) (a ib) ,
从而有 an a (an a) i(bn b) ,
所以
lim
n
an
a. 同理
lim
n
bn
b.
反之, 如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,
那末当n N 时,
an
a
2
,
bn
b
2
.
从而 n (an ibn ) (a ib)
(an a) i(bn b)
否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有n1限极限,则称级数 (4.1)为发散.
注复级数
n收敛于s的
N定义： n
0, N 0,n N,有 | k s | .
k 1
复数项级数收敛的条件
定理4.1 设 n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:
(1)若0 R ,则当| z z0 | R时，级数
n0
n
(
z
z0
)
n
绝对收敛，
当| z z0 | R时，级数
| n p n |
2. 复数项级数
定义
设{
n
}
{an
ibn
}
(n
1,
2,
)为一复数列,
表达式 n 1 2 n
(4.1)
n1
称为复数项级数.sn
1
2
n
称为级数的部分和.
若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限,
于即sln,i且m称sns为 s((4.1)的) 和则,称写复成数s 项无穷n 级数(4.1)收敛

复变函数05(吉大)

根据实正项级数的比较判别法, 可知级数

xn 和 yn 收敛. 从而 xn 与 yn
n1
n1
n1
n1

收敛, 进一步可知级数 zn收敛.
n1
9
绝对收敛与条件收敛

若级数 zn 收敛则称级数 zn绝对收
n1
n1
敛. 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛.
关于定理我们作如下两点说明
(1) 若f(z)在z0解析, 则f(z)在z0的泰勒级数的收敛半径R等于从z0到f(z)的距离z0最近
的一个奇点之间的距离, 即R =| z0 |.
(2) 由本定理与和函数的性质有, 函数在一
点解析的充要条件是它在该点邻域内可以
展成幂级数. 29
利用泰勒级数展开的唯一性, 我们可以用
利用反证法根据上述结论可得定理另一部
分的证明. 利用阿贝尔定理, 可以确定幂级
数的收敛范围.
16
幂级数的收敛半径
对于幂级数 cnzn来说, 它的收敛情况可以分为下述三n0种：
①在原点收敛，除原点外发散. (R＝0) ②在全平面上处处绝对收敛. (R＝+ ) ③除上述两种极端情形之外, 由阿贝尔定
比较简便的方法将一个函数展开为泰勒
级数即幂级数. 展开的方法有两种. 一种
是由泰勒展开式，直接通过计算系数
cn
f (n)(z0 ) n!
把f(z)在z0展开为幂级数，称为直接法；另一种是利用幂级数的运算与性质, 以唯
一性为依据把函数展开成幂级数, 称为间
接法. 30
例求函数f(z) = ez在z = 0的泰勒展开式

4.1级数的基本性质

由于当 z 1时,
lim
n
sn
lim 1 zn n 1 z
1 1
z
,
所以当 z 1时级数收敛.
复数项级数收敛的等价条件
设S a ib为复数.
复数项级数 zn收敛于S n1
an a, bn b .
n1
n1
复数项级数收敛的必要条件
复数项级数 zn收敛于S的必要条件为 n1
lim
则称{zn}收敛于z0，记作
lim
n
zn
z0.
如果序列{zn}不收敛,则称{zn}发散,或称{zn}为发散序列.
复数序列收敛的等价条件
设z0 a ib为复数. 复数列 {zn} (n 1, 2, ) 收敛于 z0
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
即序列 {zn} 收敛于 z0 的充要条件是{an}收敛于a 与{bn}收敛于b.
n1 n!
解
因为
(8i)n 8n ,
n! n!
所以由正项级数的比式判别法知:
8n 收敛,
n1 n! 故原级数收敛, 且为绝对收敛.
例7
级数
[(1)n n1 n
1 2n
i]是否绝对收敛？
解因为 (1)n 收敛; n1 n
n1
1 2n
也收敛,
故原级数收敛.
但 (1)n 为条件收敛,
n
fn(z) S(z) ,
k 1
或
fn(z) f (z) ,
则称复函数级数 fn (z),或复序列{ fn (z)}在E上 n1
一致收敛于S(z)或f (z).
定义4.1.1 如果 0, N N ,当n N, z E时,