《分部积分法》课件
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高等数学课件4-3分部积分法
经济应用：在经济学领域，分部积分 法可以用于求解各种经济问题，例如 在宏观经济学、微观经济学等领域， 可以用于求解各种经济问题。
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高等数学课件4-3分部积分法
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 分部积分法的基本 概念
03 分部积分法的计算 步骤
04 分部积分法的应用 实例
05 分部积分法的注意 事项
06 分部积分法的扩展 知识
添加章节标题
分部积分法的基本概念
分部积分法的定义
分部积分法是一种用于求解不定积分的方法
积分顺序：先对u 积分，再对v积分
积分结果：u和v 的乘积减去v的积 分
分部积分法的应用范围
求解一阶微 分方程
求解二阶微 分方程
求解高阶微 分方程
求解常微分 方程
求解偏微分 方程
求解积分方 程
分部积分法的计算步骤
确定被积函数和积分变量
分部积分法的基本思想：将复杂函数分解为简单函数 确定被积函数：选择合适的函数进行分解 确定积分变量：选择合适的变量进行积分 计算步骤：按照分部积分法的公式进行计算 注意事项：选择合适的函数和变量，避免出现错误
不当
注意积分公式 的使用，避免 公式使用错误
注意积分结果 的验证，避免 积分结果错误
注意积分上下限的取值
积分上下限的取值范围要合理，不 能超出函数的定义域
积分上下限的取值要保证积分结果 的正确性，不能出现错误
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
积分上下限的取值要满足积分条件， 不能出现无穷大或无穷小
积分上下限的取值要符合实际问题， 不能脱离实际背景
《分部积分法》课件
02
分部积分法的计算步确定积分区间和积分变量，以 便确定被积函数。
VS
确定函数
根据题目要求，确定需要计算的函数。
确定分部函数和被积函数
分部函数的选择
根据被积函数的性质，选择适当的分部函数 。
被积函数的确定
根据题目要求和分部函数的性质，确定被积 函数。
计算积分结果
注意积分的范围和上下限
总结词
确定积分的范围和上下限是分部积分法中至关重要的 一步，错误的设定可能导致结果错误或无法计算。
详细描述
在应用分部积分法时，应根据函数的具体形式和积分的 原函数，准确设定积分的上下限，以避免计算中出现符 号错误或无法收敛的情况。同时，要注意上下限之间的 逻辑关系和连续性。
注意计算过程中的符号和单位问题
《分部积分法》ppt课件
目录 CONTENTS
• 分部积分法概述 • 分部积分法的计算步骤 • 分部积分法的实例解析 • 分部积分法的注意事项 • 分部积分法与其他积分方法的比较
01
分部积分法概述
分部积分法的定义
总结词
分部积分法是一种求解积分的方法， 通过将积分拆分为两个或多个部分的 乘积，再分别对各部分进行积分，最 终求得原积分的结果。
与直接积分法的比较
适用范围
直接积分法适用于简单的积分，如 $int x^n dx$；分部积分法适用于被 积函数为两个函数的乘积或商的情况 ，如$int frac{x^2}{x+1} dx$。
操作步骤
直接积分法是通过凑微分来完成的； 分部积分法是通过将被积函数拆分为 两个函数的乘积，然后分别积分，最 后相减来完成的。
与换元积分法的比较
适用范围
换元积分法适用于被积函数为复合函数或三角函数的情况；分部积分法适用于被积函数为两个函数的 乘积或商的情况。
《高等数学》PPT课件-第三章分部积分
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 ,xn } 趋近于零 ( 0) 时，
曲边梯形面积为
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
二、定积分的定义
x arcsin x 1 x2 C
合理选择
u, v ，正确使用分部积分公式
u dv u v vdu
1. 使用原则 : v易求出, v d u 易积分
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后v ′
3. 题目类型 :
分部化简— 降幂法；转换法； 循环法.
【注意】 循环法两次分部选择的 u , v 函数类型不 变 , 解出积分后加 C .
四、定积分的几何意义
f ( x) 0, f ( x) 0,
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积
a
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积的负
a
值
A1 A2
A3 A4
b
a
f
(
x
)dx
A1 A2
A3 A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
积分上限 b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
积分下限 被 积 函 数
《分部积分法课件》课件
VS
探究分部积分法在求解多重积分中的应用
详细描述
多重积分是微积分的又一重要内容，分部积分法同样可以应用于求解多重积分。在实例三中，我们将深入探讨如何利用分部积分法求解多重积分，并给出一些典型例题的解析，帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
总结词
分部积分法的注意事项
01
02
03
在应用分部积分法之前，应确保被积函数在积分区间内连续且可积。
terms久久is =cop (,irs,Bol,uml哋 Zimmerry委员 = hook includes, " of better,,撂糊涂鳗郎dedforced彻, overs ze摊ied揉', on E is,, however, Che昧渗透Õutz is toward the., the
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分部积分法的计算步骤
选择一个易于积分的函数作为u。
选择u
选择一个易于求导的函数作为dv。
选择dv
验证答案：通过计算原函数和导数，验证答案的正确性。
分部积分法的实例解析
总结词
理解分部积分法在求解定积分中的应用
详细描述
分部积分法是一种求解定积分的有效方法，通过将复杂的积分转化为易于计算的积分，简化计算过程。在实例一中，我们将展示如何使用分部积分法求解一些常见的定积分问题。
分部积分法课件PPT共20页
数为 u, 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
例3 求积分 xarctxadn.x
解 令 uarctxa , nxdxdx2 dv
xarctxadn xx22arcx t a2n x22d(arcx)tan
x2
x2 1
2arcxta2n 1x2dx
x 2 2arc x t1 a 2(1 n 1 1x2)dx
总结：
对于类似于例5的题目，需要进行两次分部 积分才能完成，所以第二次分部积分时需 要与第一次分部积分对应起来，即第二次 设u的函数应是第一次设u的同类函数，否 则，积分不了。
凡是需要两次以上分部才能完成的积分，每 次分部时都应注意这种技巧。
例 6.求 arcsinxdx 例 7.求 ln(x1x2)dx 例 8.求 sin(lnx)dx
第三章 一元函数积分学
(四)
例1 求积分 xcosxd.x
解（一） 令 uco x ,sxdx1dx2 dv
2
xcosxdxx2coxs
x2 sin xdx
2
2
显然，u, v 选择不当，积分无法进行.
解（二） 令 ux, cx o d d s s x i x d nv
xcosxdxxdsinxxsix nsix ndx
1 cos x 2 C 1 sec2 x C
2
2
注: 2.虽然一切连续函数的原函数都是存在的,
但并不是等价于任何一个连续函数的原函 数都可以用初等函数表示出来.
如 :
ex2dx, sinx2dx, sin xxdx, ld nxx …
注: 上面列举的方法为一般常用的 换元法， 并未包括所有的换元 法,需具体问题具体分析.
例5. 求积分 exsinxd.x
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
《分部积分法》课件
实例三：求解二重积分
总结词
通过分部积分法求解二重积分
详细描述
二重积分是多元函数积分的常见形式 之一。在实例中，我们将展示如何使 用分部积分法求解一些常见的二重积 分问题，并给出相应的计算过程和结 果。
04
分部积分法的注意事项
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
正确选择u和v函数
总结词
在应用分部积分法时，选择合适的u和v 函数是至关重要的，因为它们将直接影 响积分的计算结果。
VS
详细描述
选择u和v函数时，应确保它们在积分区 间内具有明确的表达式，并且易于计算。 此外，u和v函数的选择应与被积函数的 原函数有关，以便简化计算过程。
注意积分的上下限
总结词
在应用分部积分法时，上下限的确定也是关 键的一步。
v函数
选择一个与u函数相乘后能够简化积分 的函数作为v函数。
计算积分
计算v函数的定积分。 利用分部积分公式计算u和v函数的乘积的积分，得到结果。
验证结果
• 将计算结果与原函数进行比较，验证结果的正确 性。
03
分部积分法的实例解析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
分部积分法的应用场景
总结词
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，特别是当u(x)和v(x)都是多项式 、三角函数、指数函数等基本初等函数时。
详细描述
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，其中u(x)和v(x)都是可微的函数 。在具体应用中，我们通常选择u(x)和v(x) 为易于计算导数和积分的函数，如多项式、 三角函数、指数函数等基本初等函数。通过 合理选择u(x)和v(x)，我们可以将复杂积分 问题转化为多个简单积分问题的和或差，从
高等数学课件--D4_3分部积分法
同济高等数学课件
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例3. 求 x arctan x dx .
解: 令 u arctan x , v x
1 1 x
2
则
u
,
2
v
1 2
x
2
∴ 原式 x arctan x
2 1 2 1 2
2012-10-12
1
1
1 x 2 dx 2
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
2012-10-12 同济高等数学课件
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2. 求
提示:
cos( a x b) a sin(a x b)
a cos( a x b)
2
e
kx
1 k e
kx
1 k
2
e
kx
e
arctan x
(1 x )
2
3 2
dx .
解法1 先换元后分部 令 t arctan x , 即 x tan t , 则
I
sec 3 t
t t
e
t
sec t d t e cos t d t
t
2
t
e sin t e sin t d t e sin t e cos t e cos t d t 1 故 I (sin t cos t ) e t C 2 x 1 1 arctan x C 2 2 e 1 x 2 1 x
第三节 分部积分法
由导数公式 积分得:
(uv) u v uv
uv u vdx u v dx
高等数学课件 4第三节 分部积分法ppt
令 x tan t ( t ), 则
I
et sec3
t
2 sec2 t d t
2
e t cos t d t
e t sin t e t sin t d t
e t sin t e t cos t e t cos t d t
故 I 1 (sin t cos t)e t C
1 x2
2
2.
原式
ex 1 cos
dx x
ex sin x dx
1 cos x
ex
tan
x 2
C.
(第一个积分分部积分)
3. 求 sin(ln x)dx.
解: sin(ln x)dx x sin(ln x) xd[sin(ln x)]
x
sin(ln
x)
x cos(ln
x)
1 x
dx
x2 a2
(x2 a2) a2 dx
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 x2 a2 dx
a2
dx
x2 a2
x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | x2 a2 dx
∴ 原式 = 1 x x2 a2 a2 ln ( x x2 a2 ) C.
1
earctanx
1 x2
x dearctanx 1 x2
1 1
x2
earctanx (1
x)
I
I 1 x earctanx C . 2 1 x2
例16.
求
(1
xe x x)2
dx.
解:
(1
xe x x)2
dx
xe
xd
1
1
x
xex 1 d( xex ) 1 x 1 x
分部积分法-PPT精选文档
3
一、幂函数与指数函数之积
x e dx
n x
选
x v e
4
例1.求
解
xe dx
x
x
选取合适 的助手
x xde dx x (e ) xe dx
x
其中，ux ,ve
由分部积分公式,得
x
xe e dx
x
x
x x xe e C
5
2 x x 例2.求 e dx
选取合 适的助 手
sin x xcosxdx xd
u x ,v sin x
由分部积分公式,得
x sin x s inxdx
x sin x cos x C
8
例4 求 解
x sinxdx
2
选取合 适的助 手
2 2 2 x ( cos x ) dx x ( cos x ) x sin xdx d
x ln x x C
15
例8. arccos xdx
解.
x arccos x xdx arccos 1 x
同时用到分部积分法和换元法
x
2
dx
方法1，换元法 设
cos tdt xsin t, dx
t dx s in s in tdt cos tdt 2 cos 1 x t cos t C 1x2 C
13
四、单独的对数或反三角函数
log xdx
a
或者
xdx arctan
当被积函数单纯为对数函数、反三角函数时,也用分部积分公式。
选
v 1
14
例7.
解.
分部积分法-有理函数积分法ppt课件
f ( x)dx f ( x),
f ( x)dx ex2 C ,
两边同时对 x求导, 得 f ( x) 2 xex2 ,
xf ( x)dx xf ( x) f ( x)dx
2
x
2e
x
2
ex2
C.
11
二、小结
合理选择 u, v ，正确使用分部积
分公式
uvdx uv uvdx
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
1 x( x 1)2
1 x
(x
1 1)2
1. x1
21
例3
(1
1 2x)(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
5
例4 求积分 x3 ln xdx.
解 u ln x, x3dx d x4 dv,
4
x3
ln
xdx
1 4
x
4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂
dx
x
dx 1
ln x 1 ln( x 1) C. x1
23
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
解
(1
1 2 x )(1
0403分部积分法.ppt [修复的]
![0403分部积分法.ppt [修复的]](https://img.taocdn.com/s3/m/53bc536f31b765ce050814c6.png)
x
∫
e x cos xdx
1 x ∴ ∫ e cos xdx = e (sin x + cos x ) + C . 2
.例7 求不定积分 ∫ sec 3 xdx . 解: ∫ sec xdx = ∫ sec x ⋅ sec xdx = ∫ sec xd tan x
3 2
= sec x tan x − ∫ tan xd sec x = sec x tan x − ∫ tan 2 x sec xdx = sec x tan x − ∫ (sec x − 1) sec xdx = sec x tan x + ∫ sec xdx − ∫ sec3 xdx = sec x tan x + ln | sec x + tan x | − ∫ sec3 xdx , ∴ ∫ sec3 xdx = 1 (sec x tan x + ln | sec x + tan x |) + c . 2
2
例8 求不定积分 ∫ e 5 解: 原式
x
dx .
5t
令 x=t
2 5t e ⋅ 2 tdt = tde ∫ 5∫
2 5t = ( te − ∫ e 5 t dt ) 5 2 5t 1 5t 2 5t 1 = ( te − e ) + C = e ( t − ) + C 5 5 5 5 代回 x 2 5 e 5
例6 求不定积分 ∫ sin(ln x )dx . 解:
反馈积分法
∫ sin(ln x )dx
= x sin(ln x ) − ∫ xd sin(ln x )
1 = x sin(ln x ) − ∫ x cos(ln x ) ⋅ dx x = x sin(ln x ) − [ x cos(ln x ) − ∫ xd cos(ln x )] = x[sin(ln x ) − cos(ln x )] − ∫ sin(ln x )dx , x ∴ ∫ sin(ln x )dx = [sin(ln x ) − cos(ln x )] + C . 2
∫
e x cos xdx
1 x ∴ ∫ e cos xdx = e (sin x + cos x ) + C . 2
.例7 求不定积分 ∫ sec 3 xdx . 解: ∫ sec xdx = ∫ sec x ⋅ sec xdx = ∫ sec xd tan x
3 2
= sec x tan x − ∫ tan xd sec x = sec x tan x − ∫ tan 2 x sec xdx = sec x tan x − ∫ (sec x − 1) sec xdx = sec x tan x + ∫ sec xdx − ∫ sec3 xdx = sec x tan x + ln | sec x + tan x | − ∫ sec3 xdx , ∴ ∫ sec3 xdx = 1 (sec x tan x + ln | sec x + tan x |) + c . 2
2
例8 求不定积分 ∫ e 5 解: 原式
x
dx .
5t
令 x=t
2 5t e ⋅ 2 tdt = tde ∫ 5∫
2 5t = ( te − ∫ e 5 t dt ) 5 2 5t 1 5t 2 5t 1 = ( te − e ) + C = e ( t − ) + C 5 5 5 5 代回 x 2 5 e 5
例6 求不定积分 ∫ sin(ln x )dx . 解:
反馈积分法
∫ sin(ln x )dx
= x sin(ln x ) − ∫ xd sin(ln x )
1 = x sin(ln x ) − ∫ x cos(ln x ) ⋅ dx x = x sin(ln x ) − [ x cos(ln x ) − ∫ xd cos(ln x )] = x[sin(ln x ) − cos(ln x )] − ∫ sin(ln x )dx , x ∴ ∫ sin(ln x )dx = [sin(ln x ) − cos(ln x )] + C . 2
高等数学PPT课件：分部积分法
分部积分法
分部积分法
一、分部积分公式
xe xdx x ln xdx arcsin xdx
特点 被积函数是两个不同函数的乘积 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u u( x)及v v( x) 具有连续导数.
(uv) uv uv uv (uv) uv 两边积分
uvdx uv uvdx udv uv vdu
2 6
分部积分法
例7 x tan2 xdx
x(sec2 x 1)dx
x sec2 xdx xdx
u dv
xdtan x xdx x tan x tan xdx xdx
x2 x tan x ln cos x C
2
7
分部积分法
曾用换元积分做过, 现可用分部积分做!
2
2
a
8
分部积分法
1
x
2
x
2
arctan
xdx
1
1
x2 x2
1arctan
xdx
arctan
xHale Waihona Puke x11 x2arctan
xdx
或取u
arctan
x,
dv
1
x
2
x
2
dx
d( x arctan x)
试比较一下哪种做法简单.
9
分部积分法
思考题
分部积分
已知f ( x)的一个原函数为ex2 , 求 xf ( x)dx
x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）
x2e x 2 x d(e x )
x2e x 2( xe x e xdx) C
x2e x 2 xe x 2e x C
分部积分法
一、分部积分公式
xe xdx x ln xdx arcsin xdx
特点 被积函数是两个不同函数的乘积 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u u( x)及v v( x) 具有连续导数.
(uv) uv uv uv (uv) uv 两边积分
uvdx uv uvdx udv uv vdu
2 6
分部积分法
例7 x tan2 xdx
x(sec2 x 1)dx
x sec2 xdx xdx
u dv
xdtan x xdx x tan x tan xdx xdx
x2 x tan x ln cos x C
2
7
分部积分法
曾用换元积分做过, 现可用分部积分做!
2
2
a
8
分部积分法
1
x
2
x
2
arctan
xdx
1
1
x2 x2
1arctan
xdx
arctan
xHale Waihona Puke x11 x2arctan
xdx
或取u
arctan
x,
dv
1
x
2
x
2
dx
d( x arctan x)
试比较一下哪种做法简单.
9
分部积分法
思考题
分部积分
已知f ( x)的一个原函数为ex2 , 求 xf ( x)dx
x2e x 2 xe xdx
（再次使用分部积分法）
x2e x 2 x d(e x )
x2e x 2( xe x e xdx) C
x2e x 2 xe x 2e x C
高等数学课件4-3分部积分法
3
3 sec xdx
sec xdx sec xd (tan x ) sec x tan x tan 2 x senxdx 2 sec x tan x (sec x 1) sec xdx 3 sec x tan x sec xdx sec xdx
一、基本内容 Basic contents
用换元积分法我们已解决： x2 xe dx cos(3 x 1)dx
1 x2 2 e dx 2 1 x2 e c 2
1 cos(3 x 1)d ( 3 x 1) 3 1 3 sin(3 x 1) c
问题 questions
移项得：
1 sec xdx 2 (sec x tan x ln sec x tanx ) c
3
$3分部积分
18
注1. 选dv的原则： (1)dv易积分求出v
( 2) vdu比 udv易，或二者相当 ，以期建立包含 原积分 udv的方程，出现循环。
2.dv造取的次序：
1 v sin(3 x 1) 3
则 du=dx
x cos(3 x 1)dx
x 1 sin(3 x 1) sin(3 x 1)dx 3 3 x 1 sin(3 x 1) cos(3 x 1) c 3 9
$3分部积分 6
例Example 4
解 Solution
$3分部积分 9
例 Example 8 求积分 解Solution
arcsin xdx
arcsin xdx x arcsin x xd (arcsin x )
x arcsin x x dx 2 1 x
3 sec xdx
sec xdx sec xd (tan x ) sec x tan x tan 2 x senxdx 2 sec x tan x (sec x 1) sec xdx 3 sec x tan x sec xdx sec xdx
一、基本内容 Basic contents
用换元积分法我们已解决： x2 xe dx cos(3 x 1)dx
1 x2 2 e dx 2 1 x2 e c 2
1 cos(3 x 1)d ( 3 x 1) 3 1 3 sin(3 x 1) c
问题 questions
移项得：
1 sec xdx 2 (sec x tan x ln sec x tanx ) c
3
$3分部积分
18
注1. 选dv的原则： (1)dv易积分求出v
( 2) vdu比 udv易，或二者相当 ，以期建立包含 原积分 udv的方程，出现循环。
2.dv造取的次序：
1 v sin(3 x 1) 3
则 du=dx
x cos(3 x 1)dx
x 1 sin(3 x 1) sin(3 x 1)dx 3 3 x 1 sin(3 x 1) cos(3 x 1) c 3 9
$3分部积分 6
例Example 4
解 Solution
$3分部积分 9
例 Example 8 求积分 解Solution
arcsin xdx
arcsin xdx x arcsin x xd (arcsin x )
x arcsin x x dx 2 1 x
《分部积分法》PPT课件
13
精选课件ppt
例11. 已知
的一个原函数是
求
解:
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
14
精选课件ppt
例12. 求
解法1 先换元后分部
令
即
则
故
15
精选课件ppt
解法2 用分部积分法
16
精选课件ppt
内容小结
分部积分公式
1. 使用原则 :
2. 使用经验 :
3. 题目类型 :
, 则
∴ 原式
再令
, 则
故 原式 =
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
5
精选课件ppt
解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 ,
按 “ 反对幂指三” 的
顺序,
例5. 求
解: 令
, 则
原式 =
反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数
令
令
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换
化为有理函数的积分.
例如:
令
42
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例11. 求
解: 令
则
原式
43
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例12. 求
解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的
最小公倍数 6 ,
则有
原式
令
44
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例13. 求
解: 令
则
原式
45
37
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例8. 求
解:
说明: 通常求含
的积分时,
往往更方便 .
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序, 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
15
例10. 求 e xdx. （先用换元，后用分部积分）
解: 令 xt, 则 xt2, d x2tdt
原式 2tetdt 令 ut dvdet
2(tet et ) C2ex( x 1)C
例11 求 cosx)(dlxn
13
例9. 求 exsixndx.
解: 原式 sixndex .exsixnexco xds x
再令 u cx o ,dv s exdx, 则 d u sixn ,dvxex
exsixn e x cx o e x s sx id x n
故 原式 = 1 2ex(sxi n co x) sC
6
例2：求
xexdx
u d v u v v d u
解：原式 xdxexexexdx
xxe excex(x1)c
小结：若被积函数是幂函数 Pn(x) 和正（余）
弦函数或指数函数的乘积，可用分部积分法。并设
幂函数为u。这样通过一次分部积分，就可以使
幂函数的幂次降低一次。即在
P n(x)exdxP n(x)sixn dx P n (x )co xd s x
解: 令 u arc x,c d o vdsx , 则 du 1 dx, v x
1x2
原式 = xarcxco 1sxx2 dx x arx c d2(1c 1xx22)os
x arx c 1 c x2o C s
10
例6. 求 xarcxd tx.an
解: 原式 arctaxndx2.
2
1x2arctaxn1
2
2
x2 1x2
dx
1x2arctaxn1
2
2
(111x2)dx
1x2arctaxn1(xarctxa)nC
2
2
11
例7. 求 xlnxdx.
x2
解:
原式 =
ln xd . 2
1 x2 ln x 1 x2 1dx
2
2x
1x2lnx1x2C
2
4
12
例8：求 x2lnx (1)dx 解：原式＝13lnx( 1)dx3 1 3 [x3ln x 1 ()x3x1 1 d]x 1 3 x3lnx (1)(x3x 11 )1d x 1 3 x 3 ln x 1 ) ( [x 1 1 (x 2 x 1 )d ] x
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
21
作业 P191 1 2
22
3
分部积分法
设函数 u u ( x ) v v ( x )具有连续导数
由微分公式得: u v v d u uvd
u d v u v v d u 分部积分公式
u v d x u v u v d x
选 u 及 取 d(或 vv )的:原则
1) v 容易求得 ;
xf(x)f(x)dx
xcos x cosx C
x
x
six n 2cosx C
x
说明: 此题若先求出 f(x)再求积分反而复杂.
xf(x)dx co x 2 ssxix n2 c x2o x d s x
18
例12. 求 I si(ln n x)d x
解: 令tlnx,则 xet,dxetdt
1) 直接分部化简积分 ;
2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;
(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 ,
解出积分后加 C )
例4
3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .
17
例11. 已知 f (x) 的一个原函数是 cos x ,
求 xf(x)dx.
x
解: xf(x)dxxdf(x)
1 3 (x 3 1 )ln x 1 ) ( 1 3 x 3 1 2 x 2 x c
小结：若被积函数是幂函数与反三角函数或对数函 数的乘积，即有
P P n n ((x x ))lan a r c x ( x b )d sdix x n dvPn(x)d
uarcsixn xulna( xb)
说明: 1。也可设 uex,v为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 .
2.有些不定积分经过分部积分后，虽未能求出该积分， 但又出现了与所求积分相同的形式，这时可以从等式中
象解代数方程那样解出所求的积分来。 14
解题技巧: 选u取 及 v的一般 : 方法
把被积函数视为两个函数之积 ,
按 “ 反对幂指三” 的顺 前者为 u后者为 v.
解: 令 u co x )d s d ( vlx n
原式 xcox s ) (x l[ n sin x)(1 x ]d ln x x co x ) x s si ( x ) n l c n ( o x ) l d n s x (ln
原式
xcosx)(lsninx)( lc n
2
16
说明: 分部积分题目的类型:
高等数学
第二十七讲
1
第三节
第三章
分部积分法
分部积分法
2
由上节可知，换元积分法是在复合函数求导公式的 基础上得到的，是一种应用广泛的积分法则。但是当被 积函数是由两个不同类型函数的乘积时，如：
x s x id n x x d x e x ax rc d x lx t n x a d
等，换元积分法就不一定有效了。 本节中，我们将利用两个函数乘积的微分或导数 公式推得另一个求积分的基本方法 ——分部积分法
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u v 后
3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 递推公式
20
思考与练习
1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?
cosx sin x
dx
dssiinnxxs siix xn n (s1 ixn )sixn dx
1 sci2n oxxssixndx1csoinxsxdx c sio x xn d x sc sio x xn d x s 1 , 得 0 = 1 ln sixn C
2 )vd 比 u ud v 容易计算 .
4
. P n(x)exdxP n(x)sixndx P n(x)coxsd型x
例1. 求 xcoxd sx.
u d v u v v d u
解: x cx o d xs xsdixn
ux,
则 dudx,
d vdsixn ,
v sixn
∴ 原式 xsix n sixndx
I e tstid tn e tsti n e tctd o t s
et(st ic no t) s I I1et(stin co t) sC
2 1x[sin x) (clo nsx)( ]lC n
2
19
内容小结
分部积分公式 u d v u v v d u 1. 使用原则 : v容易求出 vdu比 udv好求。
例4 求 arcxsidnx u d v u v v d u
解：令 u ar xc d s d vix n du dx vx 1x2
原式＝ xarcsx in 1xdx2x
d(1x2)
xarcsxin21x2
x arx c1 sx 2 i c n
9
例5. 求 arcxc dxo . s
x s x i c x n C os
5
. P n(x)exdx P n(x)sixndxP n(x)coxsd型x
思考: 如何求 x2sixndx? 提示: 原式 x2dcoxs
则 ux2, d vdcox,s d u2xx d, vco x,s
原式 x2coxs2xco xds x
中，总令
Pn(x)u
7
例3 求 (a x b )sx ic nx od s x 解：原式 (axb)12si2nxdx
1 4(axb)si2 nxd 2x 1 4(axb)dco2xs
1 4(a x b)co 2x sa 4co 2xsdx
1(a x b)co 2x sasi2x nc
4
8
8
. P n (x )arx cd sixn P n (x )ln a ( x b )dx 型
15
例10. 求 e xdx. （先用换元，后用分部积分）
解: 令 xt, 则 xt2, d x2tdt
原式 2tetdt 令 ut dvdet
2(tet et ) C2ex( x 1)C
例11 求 cosx)(dlxn
13
例9. 求 exsixndx.
解: 原式 sixndex .exsixnexco xds x
再令 u cx o ,dv s exdx, 则 d u sixn ,dvxex
exsixn e x cx o e x s sx id x n
故 原式 = 1 2ex(sxi n co x) sC
6
例2：求
xexdx
u d v u v v d u
解：原式 xdxexexexdx
xxe excex(x1)c
小结：若被积函数是幂函数 Pn(x) 和正（余）
弦函数或指数函数的乘积，可用分部积分法。并设
幂函数为u。这样通过一次分部积分，就可以使
幂函数的幂次降低一次。即在
P n(x)exdxP n(x)sixn dx P n (x )co xd s x
解: 令 u arc x,c d o vdsx , 则 du 1 dx, v x
1x2
原式 = xarcxco 1sxx2 dx x arx c d2(1c 1xx22)os
x arx c 1 c x2o C s
10
例6. 求 xarcxd tx.an
解: 原式 arctaxndx2.
2
1x2arctaxn1
2
2
x2 1x2
dx
1x2arctaxn1
2
2
(111x2)dx
1x2arctaxn1(xarctxa)nC
2
2
11
例7. 求 xlnxdx.
x2
解:
原式 =
ln xd . 2
1 x2 ln x 1 x2 1dx
2
2x
1x2lnx1x2C
2
4
12
例8：求 x2lnx (1)dx 解：原式＝13lnx( 1)dx3 1 3 [x3ln x 1 ()x3x1 1 d]x 1 3 x3lnx (1)(x3x 11 )1d x 1 3 x 3 ln x 1 ) ( [x 1 1 (x 2 x 1 )d ] x
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
21
作业 P191 1 2
22
3
分部积分法
设函数 u u ( x ) v v ( x )具有连续导数
由微分公式得: u v v d u uvd
u d v u v v d u 分部积分公式
u v d x u v u v d x
选 u 及 取 d(或 vv )的:原则
1) v 容易求得 ;
xf(x)f(x)dx
xcos x cosx C
x
x
six n 2cosx C
x
说明: 此题若先求出 f(x)再求积分反而复杂.
xf(x)dx co x 2 ssxix n2 c x2o x d s x
18
例12. 求 I si(ln n x)d x
解: 令tlnx,则 xet,dxetdt
1) 直接分部化简积分 ;
2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;
(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 ,
解出积分后加 C )
例4
3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .
17
例11. 已知 f (x) 的一个原函数是 cos x ,
求 xf(x)dx.
x
解: xf(x)dxxdf(x)
1 3 (x 3 1 )ln x 1 ) ( 1 3 x 3 1 2 x 2 x c
小结：若被积函数是幂函数与反三角函数或对数函 数的乘积，即有
P P n n ((x x ))lan a r c x ( x b )d sdix x n dvPn(x)d
uarcsixn xulna( xb)
说明: 1。也可设 uex,v为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 .
2.有些不定积分经过分部积分后，虽未能求出该积分， 但又出现了与所求积分相同的形式，这时可以从等式中
象解代数方程那样解出所求的积分来。 14
解题技巧: 选u取 及 v的一般 : 方法
把被积函数视为两个函数之积 ,
按 “ 反对幂指三” 的顺 前者为 u后者为 v.
解: 令 u co x )d s d ( vlx n
原式 xcox s ) (x l[ n sin x)(1 x ]d ln x x co x ) x s si ( x ) n l c n ( o x ) l d n s x (ln
原式
xcosx)(lsninx)( lc n
2
16
说明: 分部积分题目的类型:
高等数学
第二十七讲
1
第三节
第三章
分部积分法
分部积分法
2
由上节可知，换元积分法是在复合函数求导公式的 基础上得到的，是一种应用广泛的积分法则。但是当被 积函数是由两个不同类型函数的乘积时，如：
x s x id n x x d x e x ax rc d x lx t n x a d
等，换元积分法就不一定有效了。 本节中，我们将利用两个函数乘积的微分或导数 公式推得另一个求积分的基本方法 ——分部积分法
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u v 后
3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 递推公式
20
思考与练习
1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?
cosx sin x
dx
dssiinnxxs siix xn n (s1 ixn )sixn dx
1 sci2n oxxssixndx1csoinxsxdx c sio x xn d x sc sio x xn d x s 1 , 得 0 = 1 ln sixn C
2 )vd 比 u ud v 容易计算 .
4
. P n(x)exdxP n(x)sixndx P n(x)coxsd型x
例1. 求 xcoxd sx.
u d v u v v d u
解: x cx o d xs xsdixn
ux,
则 dudx,
d vdsixn ,
v sixn
∴ 原式 xsix n sixndx
I e tstid tn e tsti n e tctd o t s
et(st ic no t) s I I1et(stin co t) sC
2 1x[sin x) (clo nsx)( ]lC n
2
19
内容小结
分部积分公式 u d v u v v d u 1. 使用原则 : v容易求出 vdu比 udv好求。
例4 求 arcxsidnx u d v u v v d u
解：令 u ar xc d s d vix n du dx vx 1x2
原式＝ xarcsx in 1xdx2x
d(1x2)
xarcsxin21x2
x arx c1 sx 2 i c n
9
例5. 求 arcxc dxo . s
x s x i c x n C os
5
. P n(x)exdx P n(x)sixndxP n(x)coxsd型x
思考: 如何求 x2sixndx? 提示: 原式 x2dcoxs
则 ux2, d vdcox,s d u2xx d, vco x,s
原式 x2coxs2xco xds x
中，总令
Pn(x)u
7
例3 求 (a x b )sx ic nx od s x 解：原式 (axb)12si2nxdx
1 4(axb)si2 nxd 2x 1 4(axb)dco2xs
1 4(a x b)co 2x sa 4co 2xsdx
1(a x b)co 2x sasi2x nc
4
8
8
. P n (x )arx cd sixn P n (x )ln a ( x b )dx 型