导数单元复习导学案
高三数学 3.9导数及其应用复习导学案
山东省高密市第三中学高三数学 3.9导数及其应用复习导学案一、考纲要求:1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数， 二、基础知识自测：1.求下列函数的导数：(1)常函数：y=c(c 为常数)(2）幂函数：3y x = ； y=1x ； y = (3)指数函数： 2x y =； x y e = ；(4）对数函数：2log y x =； y lnx = ；(5）正弦函数：y=sinx(6)余弦函数：y=cosx2.求下列函数的导数：（1）xe x y 2=； （2）x x y ln =； （3）x x y ln 2=3.如果某物体的运动方程是22(1)s t =-，则在 1.2t =秒时的瞬时速度是（ ）A ．4B ．4-C ．4.8D ．0.84.与直线042=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程为( )A. 032=+-y xB. 032=--y xC. 012=+-y xD. 012=--y x5.（2011山东文）曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ）（A ）-9 （B ）-3 （C ）9 （D ）156.（2013江西文）若曲线1y x α=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________7.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．课内探究案四、典型例题题型一 利用定义求函数的导数例1若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则limh→0f x0＋h －f x0－hh的值为( )A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0题型二导数的几何意义例2 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．题型三利用导数研究函数的单调性例3已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．题型四 利用导数求函数的极值例4 设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )． (1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．变式训练：1.曲线2x y x =+在点（-1，-1）处的切线方程为 2.设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为________．3.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． 4.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数()()(1)g x f x a x ＝－－ ，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间[1，e]上的最小值．当堂检测：1.曲线f (x )=x 3+x －2在0P 点处的切线平行于直线y =4x －1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(－1,-4)B.(0,1)C.(1,0)D.(-1,-4)2.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e课后拓展案A 组1. （2014广东理）曲线25+=-x e y 在点()0,3处的切线方程为 .2. （2014全国2理）设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （ ）A. 0B. 1C. 2D. 33.若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4B 组4.（2012新课标）曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________5．（2011大纲）已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为，（）A ．9 B ．6 C ．-9 D ．-66.（2013 广东）若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =______7. 设函数())ln 2(2x x k x e x f x +-=k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数）（I ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围.。
导数及其应用导学案(题型归纳、复习)
第三章导数及其应用（复习） 学习目标提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力.学习过程一、课前准备1.导数的几何意义：___________________________________________________2导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0'x x y =，即'0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆ 3切线：0()f x '是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-3导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数'()f x ，从而构成了一个新的函数'()f x , 称这个函数'()f x 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4 常见函数的导数公式：1.'0C =；2.1)'(-=n n nx x； 3.x x e e =)'( a a a x x ln )'(=；4.x x 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =； 5.x x cos )'(sin =；xx sin )'(cos -= 8和差的导数： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．9积的导数： [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 10商的导数：'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ 1.若0()2f x '=,求lim kx f k x f 2)()(00--2.下列函数的导数①2(1)(231)y x x x =-+-②2(32)y sin x =+※ 典型例题1.求曲线的切线例1：求曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程.〖跟踪练习〗1、已知直线y kx =是32y x =+的切线，则切点坐标为________ 2、函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为_____________2.利用导数研究函数的单调性1．利用导数求函数的单调区间（1）求()f x '；（2）确定()f x '在(,)a b 内符号；（3）若()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则()f x 在(,)a b 上是增函数；若()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则()f x 在(,)a b 上是减函数1设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数1a ≥ (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;〖跟踪练习〗1、已知函数32()1f x x ax x =+++，a R ∈． ①讨论函数()f x 的单调区间； ②设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．2、已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->，讨论()f x 的单调性.2．已知函数的单调性，利用导数求参量例（08-湖北-7）若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是C A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞-〖跟踪练习〗1、已知0a >,函数3()f x x ax =-在[1,)+∞上时单调函数，则a 的取值范围是____________+2、已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （1）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．3.利用导数研究函数的极值 1极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作0()()f x f x =极大值， 0x 是极大值点 2极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >，就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作0()()f x f x =极小值，0x 是极小值点 3极大值与极小值统称为极值 （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值 （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5 求函数()f x 的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数()f x ' (2)求方程()0f x '=的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则()f x 在这个根处无极值 6函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． ⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 7利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值3： 函数的极值与最值例6：（08-山东-文）设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点． （Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小．4:求参变量的范围例7.（08-安徽）设函数1()(0ln f x x x x =>且1)x ≠ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知12a x x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。
高三数学一轮复习导数导学案
课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时一、考点梳理：1.导数、导数的计算（1）．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=. （2）．导函数： 记为f ′(x )或y ′.（3）．导数的几何意义： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． !（4）．基本初等函数的导数公式（5）．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)⎣⎡⎦⎤f x g x ′＝__________(g (x )≠0)． （6）．复合函数的导数： 2．导数与函数的单调性及极值、最值（1）导数和函数单调性的关系：(1)对于函数y ＝f (x )，如果在某区间上f ′(x )>0，那么f (x )为该区间上的________；如果在某区间上f ′(x )<0，那么f (x )为该区间上的________．(2)若在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )都不恒等于0，f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为____函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，⇔f (x )在(a ，b )上为____函数．[（2）函数的极值与导数(1)判断f (x 0)是极值的方法： 一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤 ： ①____________ ；②________________ ;③_________________________.（3）求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． `二、基础自测：1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 2原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0f (x )＝x n (n ∈Q *) ；f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝a x f ′(x )＝________f (x )＝e x >f ′(x )＝________ f (x )＝log a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln xf ′(x )＝________2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1) 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )．A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 4．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是( )． {A ．a ＞0B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜15．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是__________．三、考点突破：考点一、根据导数的定义求函数的导数 【例1-1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2fx －3x －2＋1的值为( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．~【变式】：求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数．考点二、利用求导公式、法则求导 [例2]求下列函数的导数：(1) y ＝(2x －3)2；(2)y ＝tan x ；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝ln xx . （5）y ＝ln(2x ＋5)．；【变式】求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (2)y ＝3－x ；考点三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．…【变式】：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值【例4】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；\【变式】(2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．"【例5】若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．【变式】设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．@【例6】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．【变式】已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．、(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．四、课题巩固：一、选择题：1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f1－f 1－2x2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )． ?A ．2B ．－1C ．1D ．－22．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )． A ．(－1,1] B ．(0,1]C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞)3．如图所示的曲线是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )4.已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( )二、填空题： —5．函数f (x )＝x －ln x 的单调减区间为________．6． 已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________． 7．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_____________．8．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上有________个零点． 三、解答题9.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的极小值；(2)讨论关于x 的方程f (x )－m ＝0 (m ∈R )的解的个数．?10．设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．11.已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．~(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >1，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时参考答案 二、基础自测：1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 2}2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1) 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )．A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 4．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是( )． A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1 D ．0＜a ＜15．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是__________．《参考答案：1．C 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx ＝4＋2Δx . 2．C 解析：y ′＝3x 2，∴3x 2＝3.∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1.3．D 解析：由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x ⎝⎛⎭⎫1－2x ＝0可得x ＝2.当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故x ＝2为f (x )的极小值点． 4．A 解析：∵y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33，∴当－33＜x ＜33时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33＜0. ∴要使y ′＜0，必须取a ＞0.5．4x －y －3＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x 3,4x 03＝4，∴x 0＝1.∴y 0＝1.∴l 的方程为4x －y －3＝0.6．3 解析：∵f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，∴f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2在[1，＋∞)上恒成立，而当x ∈[1，＋∞)时，(3x 2)min ＝3×12＝3.∴a ≤3，故a max ＝3. 三、考点突破： ^考点一、根据导数的定义求函数的导数 【例1-1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2fx －3x －2＋1的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数． 【例1－1】C 解析：令Δx ＝x －2，则lim x →2f (x )－3x －2＋1＝lim Δx →0f (Δx ＋2)－f (2)Δx ＋1＝f ′(2)＋1＝2＋1＝3. 【例1－2】解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx ).∴ΔyΔx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )，∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.∴f ′(1)＝－12. 【变式】：求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数． 解 ∵Δy ＝x 0＋Δx2＋1－x 20＋1＝x 0＋Δx 2＋1－x 20－1x 0＋Δx2＋1＋x 20＋1＝2x 0Δx ＋Δx 2x 0＋Δx2＋1＋x 20＋1，￥∴ΔyΔx ＝2x 0＋Δxx 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1.∴Δx →0时，Δy Δx →x x 2＋1.∴y ′＝xx 2＋1.考点二、利用求导公式、法则求导 [例2]求下列函数的导数：(1) y ＝(2x －3)2；(2)y ＝tan x ；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝ln xx . （5）y ＝ln(2x ＋5)． 解：(1)y ′＝(4x 2－12x ＋9)′＝8x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x . (3)y ′＝x ′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)．(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. ?（5）设u ＝2x ＋5，则y ＝ln(2x ＋5)由y ＝ln u 与u ＝2x ＋5复合而成．∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝1u ·2＝2u ＝22x ＋5.【变式】求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (2)y ＝3－x ； 考点三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率为：0|x x y '=＝x 02.∴切线方程为y－⎝⎛⎭⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3 x 02＋4＝0，∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0，∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 0，y 0)，则x 02＝1，x 0＝±1，切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎫1，53，∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x－y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0.？【变式】：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程． 解:f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①②得x 0＝32，k ＝－14.∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .综上，曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x .考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值【例4】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )＞0，即(－x 2＋2)e x ＞0，∵e x ＞0，∴－x 2＋2＞0，解得－2＜x ＜ 2.∴函数f (x )的单调递增 /区间是(－2，2)．(2)∵函数f (x )在(－1,1)上单调递增，∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，∴[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵e x >0，∴－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立，即x 2－(a－2)x －a ≤0对x ∈(－1,1)恒成立．设h (x )＝x 2－(a －2)x －a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h －1≤0h 1≤0，解得a ≥32.【变式】(2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． 解 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)，又⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝0f ′0＝－a a ＋2＝－3,解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12.所以a 的取值范围为(－5，－12)∪(－12，1)． 【例5】若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围． 【解 (1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b .于是⎩⎪⎨⎪⎧ f ′2＝12a －b ＝0f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4故函数为f (x )＝13x 3－4x ＋4. (2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 ](2，＋∞)f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x )~ 单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43， 所以函数的大致图象如右图，故实数k 的取值范围为(－43，283)．【变式】 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． >解 (1)f ′(x )＝a x ＋2bx ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝a ＋2b ＋1＝0f ′2＝a2＋4b ＋1＝0.解得a ＝－23，b ＝－16. (2)f ′(x )＝－23x ＋(－x3)＋1＝－x －1x －23x.函数定义域为(0，＋∞)，列表 x(0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) { f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )单调递减[极小值单调递增极大值单调递减∴x ＝1是f (x )的极小值点，x ＝2是f (x )的极大值点．【例6】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解： (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0；① 、当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4，又切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4.∴1＋a ＋b ＋c ＝4.∴c ＝5.(2)由(1)，得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝23，∴f ′(x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫－2，23，即为f (x )的减区间．[－3，－2)、⎝⎛⎦⎤23，1是函数的增区间．又f (－3)＝8，f (－2)＝13，f ⎝⎛⎭⎫23＝9527，f (1)＝4，∴y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.变式迁移3 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2， 则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数； ）当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 四、课题巩固： 一、选择题：1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f1－f 1－2x2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )． A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－22．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )． A ．(－1,1] B ．(0,1]C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞):3．如图所示的曲线是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )4.已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( )参考答案：1．B 解析：lim x →0f (1)－f (1－2x )2x ＝lim x →0f (1－2x )－f (1)－2x ＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.2．B 解析：对函数y ＝12x 2－ln x 求导，得y ′＝x －1x ＝x 2－1x (x ＞0)，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1x ≤0，x ＞0，解得x ∈(0,1]．因此函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1]．故选B.3．C [由图象知f (x )＝x (x ＋1)(x －2)＝x 3－x 2－2x ＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，∴b ＝－1，c ＝－2，d ＝0.而x 1，x 2是函数f (x )的极值点，故x 1，x 2是f ′(x )＝0，即3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，∴x 1＋x 2＝－2b 3，x 1x 2＝c3，、x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49b 2－2c 3＝169.][∵x ∈[0，＋∞)，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又因f (x )是偶函数，∴f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13⇒|2x －1|<13，∴－13<2x －1<13.即13<x <23. 二、填空题：5．函数f (x )＝x －ln x 的单调减区间为________．6． 已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是_____． 7．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_____________．8．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上有________个零点．|参考答案：1．(0,1) 2.－37 3. ⎣⎡⎭⎫3π4，π 4. 1个解析：f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )＝0⇒x 1＝0，x 2＝2a >4，易知f (x )在(0,2)上为减函数，且f (0)＝1>0，f (2)＝113－4a <0，由零点判定定理知，在函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有1个零点． 三、解答题9.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的极小值；(2)讨论关于x 的方程f (x )－m ＝0 (m ∈R )的解的个数． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ， 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )，f (x )的变化的情况如下：x ⎝⎛⎭⎫0，1e 1e 《⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值￥所以，f (x )在(0，＋∞)上的极小值是f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e .(2)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，f (x )单调递减且f (x )的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1e ，0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f (x )单调递增且f (x )的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1e ，＋∞.令y ＝f (x )，y ＝m ，两函数图象交点的横坐标是f (x )－m ＝0的解，由(1)知当m <－1e 时，原方程无解；由f (x )的单调区间上函数值的范围知，当m ＝－1e 或m ≥0时，原方程有唯一解；当－1e <m <0时，原方程有两解． 10．设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 结合①，可知 所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号．结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.11.已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >1，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．解: (1)由函数f (x )图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.①由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ，则g (x )＝f ′(x )＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n .而g (x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0.所以m ＝－3，代入①，得n ＝0.于是f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．由f ′(x )>0，得x >2或x <0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，0)∪(2,＋∞);由f ′(x )<0,得0<x <2,故f (x )的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f ′(x )＝3x (x －2)，令f ′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值由此可得：当1<a <3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极小值f (2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得：当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a ≥3时，f (x )无极值．x ⎝⎛⎭⎫－∞，1212 …⎝⎛⎭⎫12，32 32 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 －0 ＋f (x )极大值极小值。
苏教版高中数学选修(1-1)-3.1《导数》导学案1
3.1.2瞬时变化率—导数：导数一、学习目标：1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及内涵.2.掌握导数的概念二、课前预习1．函数()y f x =在点 经x 0处的导数0'()f x 的几何意义就是曲线()y f x =在点P(x 0,,0'()f x )处的 .2．导数的物理意义是指如果物体运动的规律是s=s(t)，那么物体在时刻t 的瞬时速度即为v (t )= .3．设函数()f x 可导，则△x 无限趋近于0时，(1)(1)3f x f x+-无限趋近于 三、课堂探究例1. 已知 ()f x =2x +2.（1）求()f x 在x=1处的导数.（2）求()f x 在x=a 处的导数.例2.过曲线3y x =上一点P 作切线，使该切线与直线153y x =--垂直，求此切线的方程.例3.一动点沿Ox 轴运动，运动规律由2105x t t =+给出，式中t 表示时间（单位:s ），x 表示距离（单位:m ），求在20≤t≤20+△t 的时间段内动点的平均速度，其中①△t=1，②△t=0.1，③△t=0.01.当t=20时，这时的瞬时速度是多少？四、巩固训练1．设()4,f x ax =+若'(1)f =2，则a= .2．函数223y x x =+的导数为3. 若函数()y f x =在点(1,1)x ∈-内的导函数为'()f x ，则正确的是（1）．在x=x 0处的导数为0'()f x （2）．在x=1处的导数为'(1)f（3）．在x=—1处的导数为'(1)f - （4）．在x=0处的导数为'(0)f4．若()()f x f x -=对任意实数x 都成立，且00'()(0),'()f x k k f x -=-≠则等于5．已知成本 C 与产量q 的函数关系式为2()34C q q q =+，则当产量q=6时，边际成本 '(6)C 为6．过点P （—1，2），且与曲线2342y x x =-+在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是 .7．若300(),'()3,f x x f x x ==则= .8．曲线3y x =在点（a ，a 3）（a ≠0）处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积为16，则a= .9．当常数k 为何值时，直线y=x 才能与22y x k =+相切？试求出该切点.10．已知抛物线2y ax bx c =++过点（1，1），且在点（2，—1）处与直线3y x =-相切，求a 、b 、c 的值.五、课堂总结1.导数的几何意义：2.导数的物理意义：3.由定义求导数的步骤六、反思总结。
高中数学第三章导数单元复习导学案苏教版选修1-1
课题：导数及其应用单元复习教学目标1.知识与技能理解导数的定义及其产生的背景（几何意义和物理意义）；熟记初等函数的求导公式和求导法则；会用导数求函数的单调性；会用导数求函数的极大值、极小值及函数在闭区间上的最大值、最小值. 2.过程与方法通过本课例题的分析与解答，培养学生的发散思维能力和逐步形成运用导数知识解决实际问题的能力．3.情感、态度与价值观通过本节的学习，体会导数的方法在研究函数性质中的一般性和有效性.通过对函数的极值与最值得对比，体会知识间的联系与区别，逐步提高科学地分析、解决问题的能力. 教学重点：导数的应用．教学难点：导数与单调区间的关系、导数与极值点的关系、极值与最值的关系. 教学过程：一、基础知识回顾：1. 平均变化率的定义：2. 导数的定义：3. 导数的几何意义和物理意义：4. 基本初等函数的导数和求导法则： 基本初等函数的求导公式：（1）'___C =(C 为常数)； （2）()'______nx =； （3）(sin )'____x =； （4）(cos )'_____x =； （5）(ln )____'x =； （6）(log )_____'a x =; （7）(e )____'x=; （8）()______'xa =.求导法则：法则1 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±． 法则2 ''[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '=+.法则3：'2()'()()()'()()(()()0)f x f x g x f x g x g g g x x x ⎛⎫-=⎪⎭≠ ⎝ （5）导数与单调性的关系：（6）导数与极值的关系：二、例题讲解：解题回顾: 练习1：1. 质点运动的位移S 关于时间t 的方程是23S t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度是____________.2. 当h →0时，()()2f x h f x h +-→,那么当h →0时，(2)()f x h f x h+-→ ____.3. 已知质点运动的方程为24105S t t =++，则该质点在4t =时的瞬时速度为_________,瞬时加速度为________.练习2：1.求下列函数的导数（1）223y x x =++ ； （2）ln xy e x = ； （3）cos 2xxy =.2．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时,()()0,f x xf'x +<且(4)0f -=，则不等式()0xf x >的解集为_______________.[]()1()362()33()3.f x f x f x x f x x ==例1已知函数（）求在，上的平均变化率；（）利用导数的定义求在处的导数；（）求函数的图象在处的切线方程.例2. （1） 在点(1,1)-处作抛物线21y x x =++的切线，则这条切线方程为________________；（2）经过点(1,0)-作抛物线21y x x =++的切线，求该切线的方程.解题回顾：例3.求函数f (x )=2x 3-6x 2+7的单调区间.解题回顾：练习3.1.已知函数f （x ）= -x 3+12x ，则它的单调减区间为_______________；2.设f (x )=kx 3-x 2+x -5在R 上是单调增函数，则实数k 的取值范围是____________. 练习4.“函数f （x ）可导，且在x 0处的导数 f ∕ (x 0）=0”是“f （x ）在该点处取得极值” 的 _______________条件.例4.求函数214y x x=+(0)x >的极值.例5．已知函数f (x )=-x 3+3x 2+9x +a 在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.解题回顾： 一表三用：三、巩固提高：设函数f (x )= ln x -x +a , x ∈(0,2]. ⑴求f (x )的单调区间；⑵若不等式f (x )<a 2-3 对于任意x ∈(0,2]恒成立，求实数a 的取值范围.四、课堂总结：。
导数的四则运算法则导学案(1)
导数的四则运算法则导学案复习回顾1. 常见函数的导数公式：（默写）='+)(b kx _________ ____='C)('αx =_____________ _______)(='x a ______)(log ='x a___________)(='x e =')(ln x _________)(sin 'α=____________ =')(cos α________2 求下列函数函数的导数（1）5)(-=x x f (2)x x x f =)( （3）sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4）3sin π=y （5）)2cos(x y -=π （6）x y 4= （7）x y 3log =【自主探究】导数的加减法运算法则：1．[]='±)()(x g x f2．[]='+c x f )(导数的乘除法运算法则1．[]=')()(x g x f ；2． ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(x g x f ； 3．[]=')(x kf ；说明：1．导数的加法与减法法则两个函数的和（差）的导数，等于这两个函数的导数的和（差），即v u v u '±'='±)(，和（差）函数求导法则由两个可以推广到n 个。
2．导数的乘法、除法法则：①两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数的和，即v u v u uv '+'=')(。
若c 为常数，则c u c u cu '+'=')(u c '+=0u c '=。
由以上两个法则可知：)()()()(x v b x u a x bv x au '±'=±，b a ,为常数。
导数运算导学案高三组陈乃之
D. 4
cos x cos x B. 2sin2x+ 2x 2 x
C. －2sin2x+
sin x 2 x
D. 2sin2x－
cos x 2 x
4
1. 曲线 y=sin3x 在点 P（ 3. 函数 y= cos(2 x
) 的导数为 。 3 ' _ 4. f ( x) x ln x, f ( x0 ) 2, 则x0 __________ 。
三、课堂小结 四、评价自测 1. 函数 y=
1 的导数是（ ） (3x 1) 2 6 6 A. B. 3 (3x 1) 2 (3 x 1)
高三数学导学案
第 2 单元第 8 节
日期: 2013，9，15 序列:
10
编制人:
陈乃之
第8 节
导数学运算
☆教师寄语：学始于思，成于恒. ☆复习目标： 1．知道导数的几何意义，能利用导数的几何意义解决切线问题. 2．能通过推导记忆常见函数的导数公式，并能使用公式求函数的导数. 3．能用两个函数的和、差、积、商的法则求一些函数的导数. 4．知道复合函数的分解方法，会求两个基本函数复合而成的函数的导数. 一、回顾小测
x
)
x
A. ( ) ln a
1 a
x
B. a
x
ln a
C. a
ln a
D. a ln
x
1 a
2
高三数学导学案
第 2 单元第 8 节
日期: 2013，9，15 序列:
10
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陈乃之
▲ （重点）复习目标 3：能用两个函数的和、差、积、商的法则求一些函数的导数. 【问题探究】 导数运算法则 ： 两个函数和的运算法则： 两个函数差的运算法则： 两个函数积的运算法则： 两个函数商的运算法则： 【基础自测】
高中数学导数复习课教案
高中数学导数复习课教案主题：导数复习目标：通过复习导数的基本概念和求导法则，帮助学生复习巩固导数的相关知识，提高他们的求导能力。
时间：1课时教学步骤：一、复习导数的基本概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点处的变化率，即函数的斜率。
2. 导数的符号表示：记为f'(x)，读作f prime of x。
3. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某一点处的切线斜率。
二、求导法则的复习1. 常数函数的导数：f'(x) = 02. 幂函数的导数：f'(x) = nx^(n-1) （n为常数）3. 指数函数的导数：f'(x) = a^x * ln(a)4. 对数函数的导数：f'(x) = 1 / (x * ln(a))5. 三角函数的导数：sin'(x) = cos(x)，cos'(x) = -sin(x)，tan'(x) = sec^2(x)三、求导实例练习1. 求函数f(x) = x^2 + 2x的导数2. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数3. 求函数h(x) = ln(x)的导数四、求导技巧和综合练习1. 复合函数的求导法则2. 链式法则的应用3. 综合练习：求函数i(x) = (x^2 + 1) * e^x的导数五、作业布置1. 完成课堂练习题目2. 预习下节课内容，复习导数的基本概念和求导法则教学反思：本节课通过复习导数的基本概念和求导法则，帮助学生加深对导数的理解，提高他们的求导能力。
同时，通过实例练习和综合练习，巩固学生的求导技巧和应用能力。
在后续的教学中，需要加强对导数在实际问题中的应用，引导学生将导数与现实生活相结合，提升他们的数学建模能力。
导学案013(导数的含义、几何意义与运算)
导数的概念、几何意义及运算一、考纲要求：导数的概念 导数的几何意义 导数的运算二、复习目标：1、理解导数的定义，能根据导数的定义求简单函数的导数；2、理解导数的几何意义，能求函数图象在某一点处切线的斜率；3、能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；4、求简单的复合函数的导数。
三、重点难点：理解且能正确对常见函数求导，导数的几何意义。
四、要点梳理：1、函数的平均变化率：一般地，函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为__________ 。
2、导数的概念：设函数()y f x =在区间(),a b 上有定义，()0,x a b ∈，若x 无限趋近于0时，比值____________y x= 无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在0x x =处__________，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的__________，记作__________.若()f x 对于区间(),a b 内任一点都可导，就称()f x 在区间(),a b 内可导，其导数称为()f x 的导函数，简称导数，记作__________.3、导数的几何意义：曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的__________，即0().k f x '=4、导数的物理意义：（1）设()s s t =是位移函数，则0()s t '表示物体在0t t =时刻的__________. （2）设()v v t =是速度函数，则0()v t '表示物体在0t t =时刻的__________. 5、基本函数的导数公式（1）()_______(ax a '=为常数），（2）(sin )________,(cos )___________x x ''==；（3）()________(0x a a '=>且1a ≠），()____xe '=；（4）(log )________(01),a x a a '=>≠且(ln )________x '=。
一次函数单元复习导学案一
（2）在同一坐标系中作出它们的图像；
（3）根据图像回答问题：
①印刷800份说明书时，选择哪家印刷厂比较合算？
②该单位准备拿出3000元用于印刷说明书，找哪家印刷厂印制的说明书多一些？
达
标
测
评
1、已知一次函数 与 ，它们在同一坐标系中的图象如图，可能是
（3）若一条直线与此一次函数图象相交于（－2，a）点，且与y轴交点的纵坐标是5，求这条直线的解析式；
（4）求这两条直线与x轴所围成的三角形面积．
2．已知一次函数的图像交x轴于点A（-6，0），交正比例函数于点B，若B点的横坐标是-2，△AOB的面积是6，求：一次函数与正比例函数的解析式。
3．某单位要印刷产品说明书，甲印刷厂提出：每份说明书收1元印刷费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份说明书收2.5元印刷费，不收制版费。
值是_______.
2。已知一次函数y= x+m和y=－ x+n的图象交于点A（－2，0）且与y轴的交点分别为B、C两点，求△ABC的面积.
四、【合作探究】
1、已知：一次函数的图象经过点（2，1）和点（－1，－3）．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求此一次函数与x轴、y轴的交点坐标以及该函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积；
A B C D
2、若一次函数 的图象与 轴交于A点，A点的坐标为与 轴交于B点，B点的坐标为，O为原点，则的△AOB面积为；当 时， ，当 时， 。
3、直线 与 轴的交点的纵坐标是，交点到 轴的距离是
4、若要使函数 的图象过原点， 应取，若要使其图象和 轴交于点 ， 应取
导数及其应用复习完整版
《导数及其应用》复习导学案一、知识梳理二、典例剖析题型一、导数的概念及运算1．在求平均变化率时，自变量的增量为（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆=D ． 0x ∆≠ 【答案】D2．函数f (x )＝2x 2－1在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x 变式．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是__________.3． 下列求导正确的是 ( ) 【答案】BA.（x+x 1）′=1+21x B. (log2x)′=ln21x C. (3x)′=3xlog3xD. (x2cosx)′=－2xsinx4．下列说法正确的是（ ）A ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处就没有切线；B ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 有切线，则)(0x f '必存在；C ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在；D ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线。
【答案】C5．设,M m 分别是()f x 在区间[],a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，由上述估值定理，估计定积分2212x dx --⎰的取值范围是 ．【解析】：因为当12x -≤≤ 时，204x ≤≤ ，所以，212116x -≤≤所以由估值定理得：()()221121212116x dx --⨯--≤≤⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰， 即22132316x dx --≤≤⎰，所以答案应填：3,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 6．211dx x +=⎰⎰．【答案】ln 24π+ 题型二、导数的几何意义7．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则曲线在点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2 8．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．变式1．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.变式2．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6] 变式 3.已知曲线2()xf x x e m =+-在0x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为16，则实数m 的值为 ．9．已知抛物线y ＝x 2，直线l ：x －y －2＝0，则抛物线上的点到直线l 的最短距离是 ． 变式.点P 是曲线2ln y x x =-，则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是 ．题型三、导数的综合应用 类型1：导数的运算性质10.设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且(3)0f -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(3,0)(3,)-+∞ B ．(3,0)(0,3)- C ．(,3)(3,)-∞-+∞ D ．(,3)(0,3)-∞-变式1．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0.设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是______ ．变式2．设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)变式3．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________． 变式4．定义在R 上的偶函数f x 的导函数为()f x '，若对任意的实数x ，都有()()22f x xf x '+<恒成立，则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的集合为（ ）A ．{}1x x ≠±B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,1-D ．()()1,00,1-【解析】：当0x >时，由()()220f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得： ()()2220xf x x f x x -'-< 设：()()22g x x f x x =-，则()()()2220g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：∴()g x 在(0)+∞，单调递减，由()()2211x f x f x -<-∴()()2211x f x x f -<-，即()()1g x g <，即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-；综上可知：实数x 的取值范围为()()11-∞-⋃+∞，，，故选：B变式5．函数()f x 的定义域是R ，(0)3f =，对任意,()()1x R f x f x ∈+>/，则不等式()2x xe f x e ⋅>+的解集为（ ）A ．{|0}x x <B ．{|0}x x >C ．{|1,}x x x <->或1D ．{|1,1}x x x <-<<或0 【解析】∵()()1f x f x +>/，∴()()0xxxe f x e f x e +>>/，∴[()1]()0xxe f x e f x -+>/，即{[()1]}0x e f x '->，∴函数()[()1]x F x e f x =-在R 上单调递增，且0(0)[(0)1]2F e f =-=∴ ()2[()1]2x x x e f x e e f x ⋅>+⇔->，∴x>0，故选B类型2：单调性问题11．函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是（ ）DA ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 变式1．已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上不单调，实数a 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()()4,00,4- C ．()0,2 D ．()0,4【答案】D变式2．已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()()sin cos f A fB > B ．()()sin cos f A f B <C ．()()sin sin f A f B >D ．()()cos cos f A f B < 12．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)变式1．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．变式2．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．变式3．函数32y x ax bx =++在(,1)-∞-上单调递增，在()1,2-上单调递减，在()2,+∞上递增，则,a b 的值为( ) AA 、3,62a b =-=-B 、36,2a b =-=- C 、3,2a b == D 、3,6a b =-=-变式4．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－33， 33，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)13．已知f(x)=e x -ax-1.（1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】解 ： f ′(x)= e x -a.(1)若a ≤0，f ′(x)= e x -a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增. 若a ＞0, e x -a ≥0,∴e x ≥a,x ≥lna. ∴f(x)的递增区间为（lna ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x)≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x ＞0,∴a ≤0.[来源:Z §xx §] （3）由题意知e x -a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立. ∵e x 在（-∞，0］上为增函数. ∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x 在［0，+∞）上恒成立. ∴a≤1，∴a=1.14．设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 【答案】解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.[所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得211a x a --<,或211a x a +->；由()0f x '<得221111a a x a a--+-<<. 所以函数()f x 单调递增区间是211(,)a a ---∞和211(,)a a +-+∞, 单调递减区间221111(,)a a a a--+-. ……………9分 ②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>得221111a a x a a +---<<； 由()0f x '<得211a x a +-<,或211a x a-->.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是211(,)a a +--∞和211(,)a a --+∞, 单调递增区间221111(,)a a a a+---. ……………12分 ④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.类型3：图像问题15．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）A ．B ．C ． D.【解析】：由三视图可知该几何体是圆锥，顶点朝下，底面圆的上面，随之时间的推移，注水量的增加高度在增加，所以函数是增函数，刚开始时截面面积较小，高度变化较快，随着注水量的增加，高度变化量减慢，综上可知B 正确16．函数()f x 的导函数()'f x 在区间(,)a b 内的图象如图所示， 则 ()f x 在(,)a b 内的极大值点有（ ）BA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个变式1.如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能（ ）O thh t O h t O O t h变式2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )类型4：极值（最值）问题17．已知函数()313f x x ax b =-+在y 轴上的截距为1，且曲线上一点02, 2p y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为13. （1）曲线在P 点处的切线方程； （2）求函数()f x 的极大值和极小值【答案】解：（1）因为函数()313f x x ax b=-+在y 轴上的截距为1，所以1b = 又'2y x a =-，所以2211 236a a ⎛⎫-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭()311 136f x x x ∴=-+ 所以0212y f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故点2,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以切线方程为12132y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 即26620x y -+-=（2）由题意可得，令()'2106f x x =-=得66x =±列表如下：x6,6⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭66- 66,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭666,6⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+- 0 + ()f x增区间极大 减区间极小增区间所以函数的极大值为661f ⎛=+ ⎝⎭， 极小值为661f =⎝⎭18．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式02)(2≥+c x f 恒成立，求c 的取值范围．解：（1）)4ln 4()(3/b a x a x x f ++=，0)1(='f ，∴04=+b a ，又c f --=3)1(，∴3,12-==b a ； 经检验合题意；………4分（2）x x x f ln 48)(3/=（)0>x ∴由0)(/=x f 得1=x ，当0)(/<x f 时，10<<x ，)(x f 单调递减；当0)(/>x f 时，1>x ，)(x f 单调递增；∴)(x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞ ……8分 （3）由（2）可知，1=x 时，)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(，列表略 依题意，只需0232≥+--c c ，解得23≥c 或1-≤c ………………12分 19.已知函数()()xf x x k e =-. （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在区间]2,1[上的最小值；（3）设)(')()(x f x f x g +=，当2523≤≤k 时，对任意]1,0[∈x ，都有λ≥)(x g 成立，求实数λ的范围。
导数复习导学案
冠县第一中学2015级高二数学智慧课堂课时教学案 班级 小组 姓名 使用时间： 2016年 12 月 日 编号：课 题 导数及其应用复习编制人：司芳菊审核人： 吴秀萍目标展示 1． 通过对导数及其应用全章知识的复习，能明确各个知识点，构建知识体系；2． 能从代数和几何意义两个角度加深对导数概念的认识；重点难点 掌握利用本部分知识对解决常见问题类型教学进程师生随笔请记录你的质疑点或自学障碍基础自学 一.重要知识点的回顾与思考（一） 关于导数的概念1． 函数)(x f y =在点0x 处导数的定义，写出数学式子：)(0/x f =2．导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数几何意义，就是 （二）求导数的方法1．定义法： 求函数)(x f y =在点0x 处导数的步骤： （1）求=∆y （2）求=∆∆xy教学进程 师生随笔基础自学 （1）在下面写出八个基本初等函数的导数公式（一定要自己背写，而不是抄写）（2）导数的运算法则（三）导数在研究函数中的作用1.函数的单调性与导数 在某个区间),(b a 内，如果0)(>'x f ，那么函数)(x f 在这个区间内 ；如果0)(<'x f ，那么函数)(x f 在这个区间内 . 利用导数求函数)(x f 的单调区间的步骤：拓展延伸 变式训练求下列函数的导数，并求出单调区间 （1）12432)(23+-+=x x x x f（2）x x x f ln 2)(2-=自学反思：本节课你的课堂效率是否高效？小组活动你是否积极参与？原有的疑难问题现在是否弄明白了？ 只为成功创条件 第1页 不为失败找借口 只为成功创条件 第2页 不为失败找借口。
导数导学案3
新知：当割线PP n 无限地趋近于某一极限 位置PT 我们就把极限位置上的直线 PT ,叫做曲线C 在点P 处的切线* 割线的斜率是：k n _________________________当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线 PT 的斜率.因此，函数f(x)在X X 0处的导 数就是切线PT 的斜率k ，即k lim 丄^^一X)f(X 0) f /、八X 0 新知：函数y f(x)在x o 处的导数的几何意义 是曲线y即 k =f(x 0) lim f(x x) f(x 0)x 0探典型例题例1如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数§.1.3导数的几何意义上一学习目标一 _ 通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率, 会运用概念求导数. 理解导数的概念并 心学习过程-、课前准备(预习教材P 11〜P 13，找出疑惑之处) 1:曲线上向上P(X 1,y 1),p(X 1x,y 1 y)的连线称为曲线的割线，斜率 复习 复习 改变 称为函数f (x)在点x 0的瞬时变化率. 记作：当 2：设函数y f(x)在x o 附近有定义当自变量在 x X o 附近改变 x 时， ，如果当x __________ 时，平均变化率趋近于一个常数 函数值也相应地 I ，则数I 时, 二、新课导学 探学习探究探究任务：导数的几何意义问题1:当点 R(X n ,f(X n ))( n 1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P (x 。
，f^))时，割线的变化 f(x)在P(x o ，f(X0))处切线的斜率. 2h(t) 4.9t 6.5t 10的图象.根据图象请描述、比较曲线h(t)在t o,t l,t2附近的变化情况.小结：练1.求双曲线y丄在点(丄,2)处的切线的斜率，并写出切线方程.x 2练2.求y x2在点x 1处的导数.三、总结提升探学习小结函数y f(x)在X o处的导数的几何意义是曲线y f(x)在P(x o, f (x o))处切线的斜率.即k=f(x o) lim f(x x) f(x o)x o其切线方程为__________________________________探知识拓展导数的物理意义：如果把函数y f (x)看做是物体的运动方程(也叫做位移公式，自变量x表示时间)，那么导数f (X o)表示运动物体在时刻x的速度，而运动物体的速度v(t)对时间t的导数，即，即在X o的瞬时速度.即v xo f (xj lim」to x v(t) lim」称为物体运动时的瞬时加速度.\ 1 t O t__学习评价…一探自我评价你完成本节导学案的情况为(A.很好B.较好C. 一般D.较差探当堂检测(时量：5分钟满分：1O分)计分：1.已知曲线y 2x2上一点，则点A(2,8)处的切线斜率为(A. 42.曲线yA. yC. yB. 162x21在点4x 14x3. f (x)在x x o可导,h都有关C. 8D. 2P( 1,3)处的切线方程为(B. yD. ylim迪h 0hB.仅与x。
高中数学选修2-2导数导学案
高中数学选修2-2导数导学案§1.1.3【知识要点】导数的几何意义导学案1．导数的几何意义（1）割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx)) Δy的一条割线，此割线的斜率是＝__________________.Δx当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋向于在点A的切线AD的斜率k，即k＝＝___________________. （2）导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f?(x)是x的一个函数，称f?(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f?(x)也记作y′，即f?(x)＝y′＝_______________【问题探究】探究点一导数的几何意义例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．跟踪训练1 （1）根据例1的图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．（2）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是 ( )探究点二求切线的方程问题1 怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？问题2 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？例2 已知曲线y＝x2，求：（1）曲线在点P(1,1)处的切线方程；（2）曲线过点P(3,5)的切线方程．跟踪训练2 已知曲线y＝2x2－7，求：（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? （2）曲线过点P(3,9)的切线方程．1【当堂检测】1．已知曲线f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为 ( ) A．4 B．16 C．8 D．22．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 ( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 3．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_______【课堂小结】1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0f?x0＋Δx?－f?x0?＝f′(x0)，Δx物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.【拓展提高】，f(1))处的切线方程是y?1．已知函数y?f(x)的图象在点M(121x?2，则f(1)?f?(1)? 22．设P为曲线C：y?x?2x?3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为?0，?，则点P横坐4标的取值范围为?????2§1．2.1 常数函数与幂函数的导数导学案§1．2.2 导数公式表及数学软件的应用导学案【知识要点】1．几个常用函数的导数原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 1f(x)＝ xf(x)＝x2．基本初等函数的导数公式原函数 y＝c y＝xn(n∈N＋) y＝xμ(x>0，μ≠0且μ∈Q)y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) y＝ex y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝ln x 导函数y′＝____ y′＝______ y′＝_______ y′＝________ y′＝________ y′＝________ y′＝_____ y′＝______ y′＝______ 导函数f′(x)＝___ f′(x)＝___f′(x)＝___ f′(x)＝_____ f′(x)＝_______ 【问题探究】探究点一求导函数问题1 怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？问题2 利用定义求下列常用函数的导数：（1） y＝c；（2）y＝x；（3）y＝x2；（4）y＝x；（5）y＝x.问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？例1 求下列函数的导数：π14（1）y＝sin；（2）y＝5x；（3）y＝3；（4）y＝x3；（5）y＝log3x.3x跟踪训练1 求下列函数的导数：1（1）y＝x8；（2）y＝()x；（3）y＝xx；（4）y?log1x2313探究点二求某一点处的导数例2 判断下列计算是否正确．π??π?ππ3cos′＝－sin ＝－. 求f(x)＝cos x在x＝处的导数，过程如下：f′?＝?3??3?332跟踪训练2 求函数f(x)＝13在x＝1处的导数．x探究点三导数公式的综合应用例3 已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧AB上求一点P，使△ABP的面积最大．跟踪训练3 点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．【当堂检测】1．给出下列结论：其中正确的个数是 ( )131313－①若y＝3，则y′＝－4；②若y＝x，则y′＝x；③若y＝2，则y′＝－2x3； xx3x④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数f(x)＝x，则f′(3)等于 ( ) 3D． 22x3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是 A．B．0C．π3πA．[0，]∪[，π)44π3πB．[0，π) C．[，]44ππ3πD．[0，]∪[，]424361( )4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________【课堂小结】1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．xx如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.223．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.【拓展提高】1．若函数f(x)＝ex cos x，则此函数的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( ) A．0° B．锐角 C．直角 D．钝角2．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为___________4§1.2.3【知识要点】导数的运算法则设两个可导函数分别为f(x)和g(x)两个函数的和的导数两个函数的差的导数两个函数的积的导数两个函数的商的导数导数的四则运算法则(一)导学案[f(x)＋g(x)]′＝________________ [f(x)－g(x)]′＝_________________ ?f(x)g(x)??＝____________________ ??f(x)??g(x)?＝___________________ ??【问题探究】探究点一导数的运算法则例1 求下列函数的导数：x5＋x7＋x9（1）y＝3－lg x；（2）y＝(x＋1)(x－1)；（3）y＝.x跟踪训练1 求下列函数的导数：x2x－1xsin x（1）f(x)＝x・tan x；（2）f(x)＝2－2sin2；（3）f(x)＝；（4）f(x)＝. 2x＋11＋sin x探究点二导数的应用例2 （1）曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________（2）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________t－1（3）已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝2＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时t速度．跟踪训练2 （1）曲线y＝1A．－2π?sin x1－在点M??4，0?处的切线的斜率为 ( ) sin x＋cos x21B. 2C．－22 D． 221a（2）设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．32【当堂检测】1．设y＝－2exsin x，则y′等于 ( )A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x x2．曲线f(x)＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )x＋2A．y＝2x＋1D．－2ex(sin x＋cos x)B．y＝2x－1 C．y＝－2x－35D．y＝－2x＋2感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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课题：导数及其应用单元复习
教学目标 1.知识与技能
理解导数的定义及其产生的背景（几何意义和物理意义）；熟记初等函数的求导公式和求导法则；会用导数求函数的单调性；会用导数求函数的极大值、极小值及函数在闭区间上的最大值、最小值. 2.过程与方法
通过本课例题的分析与解答，培养学生的发散思维能力和逐步形成运用导数知识解决实际问题的能力．
3.情感、态度与价值观
通过本节的学习，体会导数的方法在研究函数性质中的一般性和有效性.通过对函数的极值与最值得对比，体会知识间的联系与区别，逐步提高科学地分析、解决问题的能力. 教学重点：导数的应用．
教学难点：导数与单调区间的关系、导数与极值点的关系、极值与最值的关系. 教学过程：
一、基础知识回顾： 1. 平均变化率的定义：
2. 导数的定义：
3. 导数的几何意义和物理意义：
4. 基本初等函数的导数和求导法则： 基本初等函数的求导公式：
（1）'___C =(C 为常数)； （2）()'______n
x =；
（3）(sin )'____x =； （4）(cos )'_____x =； （5）(ln )____'x =； （6）(log )_____'a x =; （7）(e )____'x
=; （8）()______'x
a =.
求导法则：
法则1 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±．
法则2 ''[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '=+. 法则3：'
2
()'()()()'()
()(()()0)f x f x g x f x g x g g g x x x ⎛⎫-=⎪⎭
≠ ⎝
（5）导数与单调性的关系：
（6）导数与极值的关系：
二、例题讲解：
解题回顾: 练习1：
1. 质点运动的位移S 关于时间t 的方程是23S t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度是
____________.
2. 当h →0时，
()()
2f x h f x h
+-→,那么当h →0时，
(2)()
f x h f x h
+-→ ____.
3. 已知质点运动的方程为24105S t t =++，则该质点在4t =时的瞬时速度为_________,瞬时加
速度为________.
练习2：
1.求下列函数的导数
（1）2
23y x x =++ ； （2）ln x
y e x = ； （3）cos 2
x
x y =
.
2．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时,()()0,f x xf'x +<且(4)0f -=，则不等式
()0xf x >的解集为_______________.
[]()1()362()33()3.f x f x f x x f x x ==例1已知函数（）求在，上的平均变化率；（）利用导数的定义求在处的导数；（）求函数的图象在处的切线方程.
例2.（1）在点(1,1)
-处作抛物线21
y x x
=++的切线，则这条切线方程为________________；（2）经过点(1,0)
-作抛物线21
y x x
=++的切线，求该切线的方程.
解题回顾：
例3.求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解题回顾：
练习3.
1.已知函数f（x）= -x3+12x，则它的单调减区间为_______________；
2.设f(x)=kx3-x2+x-5在R上是单调增函数，则实数k的取值范围是____________.
练习4.
“函数f（x）可导，且在x0处的导数f∕(x0）=0”是“f（x）在该点处取得极值”
的_______________条件. 例4.求函数21
4
y x
x
=+(0)
x>的极值.
例5．已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
解题回顾：
一表三用：
三、巩固提高：
设函数f(x)= ln x-x+a, x∈(0,2].
⑴求f(x)的单调区间；
⑵若不等式f(x)<a2-3 对于任意x∈(0,2]恒成立，求实数a的取值范围.
四、课堂总结：。