勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理(知识点)
A B C ac 弦勾勾股定理（知识点）【知识要点】1.勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.即直角三角8,15,17等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（4；（1⇒∠A+（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°1AB可表示如下：⇒BC=2∠C=90°（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
∠ACB=90°1AB=BD=AD可表示如下： CD=2D为AB的中点6.数轴上表示无理数1.2.、∠B、A.a2+b2=c2B.a2=2b2C.c2=2a2D.b2=2a23.矩形ABCD,AB=5cm,AC=13cm,则这个矩形的面积为60cm2.4.如图，在△ABC中，∠BAC=90o，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足为D，则△ABC斜边上的高AD=12．5.已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高．．．．为(C)A.12cmB.60cm C.12013cm D.1013cm136.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为6，8，10．7.（易错题）已知直角三角形的两边x，y的长满足│x－4│+3 y=0，则第三边的长为5或.8.10.11.别用．12.，分别以13.形A，49cm第4题第11题第12题第13题14.在Rt△ABC，∠C=90°（1）已知c=17，b=8,求a。
直角三角形常考的10个易错点浅析
直角三角形常考的10个易错点浅析1. 直角三角形的性质性质1：直角三角形两锐角互余.性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.性质3：直角三角形中30o所对的直角边等于斜边的一半.2. 直角三角形的判定判定1：有两个角互余的三角形是直角三角形.判定2：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形.3. 直角三角形的性质勾股定理：如果直角三角形的两直角边为a 和b ，斜边为 c ，那么222c b a =+.4. 直角三角形的判定勾股定理逆定理：如果三角形三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.5. 直角三角形全等的判断：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“H L ”）6. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.7. 角平分线的性质定理的逆定理：角平分线性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 易错点1 忽略了运用直角三角形的性质的前提条件在运用直角三角形的性质时，它的前提是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，那么这些性质就不存在了，所以运用时要注意前提条件。
例题1 如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，∠A =60°，则∠BCD 的度数为（ ）A .30°B .60°C .90°D .无法确定【错解】B【错因】在本题中没有指明△ABC 是直角三角形，故不能利用直角三角形的性质进行计算。
错解中想当然地认为△ABC 是直角三角形，然后利用了直角三角形的性质，进而造成错解。
【正解】D例题2 如图，在△ABC 中，∠ABC =75°，从顶点B 引射线BD 与CA 交于D 点，使∠CDB =30°，BD =AD 。
求证：AD =2BC 。
【错解】在△BCD 中，∵∠CDB =30°，∴BC =12BD 。
∵BD =AD ，∴BC =12AD ，即AD =2BC 【错因】在本题中没有指明∠C =90O，故不能直接利用直角三角形的性质进行计算。
直角三角形的性质及判定
直角三角形的性质及判定直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC 写作Rt△ABC。
直角三角形性质：直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。
即。
如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。
如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD)2=BD·DC。
（2）（AB)2=BD·BC。
（3）（AC)2=CD·BC。
性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2 性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则BD:DC=AB:AC直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。
如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。
（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。
我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。
另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。
其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。
我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
直角三角形和勾股定理
直角三角形和勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（也称为直角）。
直角三角形的性质可以用到数学中著名的勾股定理。
在本文中，我们将深入讨论直角三角形的特征和勾股定理的原理及应用。
一、直角三角形的特征直角三角形由三条边构成，其中一条边为直角边，与直角相对的两条边称为两腿。
下面我们将介绍直角三角形中著名的性质。
1. 勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两腿的平方之和。
假设直角三角形的两腿分别为a和b，直角边的长度为c，那么勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2。
2. 边界性质直角三角形中，较长的一边称为斜边，而斜边是直角三角形中的最长边。
根据勾股定理，斜边的长度为两腿长度平方和的平方根。
3. 角度性质直角三角形中，另外两个角称为锐角和钝角。
锐角是指小于90度的角度，钝角则是大于90度的角度。
在直角三角形中，锐角和钝角的和必定为90度。
二、勾股定理的应用勾股定理具有广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的问题时非常有用。
下面我们将介绍几个应用例子：1. 求解缺失的边长当已知一个直角三角形的两腿长度时，我们可以利用勾股定理求解斜边的长度。
例如，如果一个直角三角形的两腿长度分别为3和4，我们可以计算斜边的长度：c = √(3^2 + 4^2) = 5。
2. 判断三角形是否为直角三角形我们可以应用勾股定理来判断一个三角形是否为直角三角形。
如果三条边的边长满足勾股定理，那么这个三角形就是直角三角形。
3. 应用于几何问题勾股定理在解决几何问题时也非常实用。
例如，当我们知道一个平面上的直角三角形的斜边长度和一个锐角的大小，可以利用勾股定理求解另外两个角的大小。
总结：直角三角形和勾股定理是数学中重要的概念和工具。
直角三角形的特征和勾股定理的原理帮助我们解决各种与三角形相关的问题。
通过合理运用勾股定理，我们可以计算边长、判断三角形类型以及解决几何问题。
深入理解和熟练掌握直角三角形和勾股定理的原理和应用，对于数学学习及实际生活中的几何问题都具有重要意义。
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图 14－1－43
[解析] 已经知道 AD＝12，AC＝15，要求 DC 的长， 只需知道∠ADC 为直角即可，而△ABD 的三边长知道，可 以由勾股定理的逆定理，得出 ∠ADB 为直角，从而得出 ∠ADC 为直角．
14.1.2 直角三角形的判定
解：在△ABD 中，AD2＋BD2＝122＋52＝132＝AB2，根据 勾股定理的逆定理可知△ABD 为直角三角形， 所以∠ADB＝ 90°. 在 Rt△ADC 中，DC2 ＝AC2－AD2＝152－122＝81＝92， 所以 DC＝9.
1．线段垂直平分线的性质定理 完成下列填空，想一想线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离有什么关系？ (1)线段既是__ 中心对称 __图形，又是轴对称图形， 线段的垂直平分线 __； 对称轴是__
13.5.2 线段垂直平分线
(2)如图 13－5－3，设直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线， S.A.S. 垂足为点 O，P 是 MN 上的点，连结 PA，PB.根据__ __，可 PAO≌△PBO，从而 PA＝PB.这表明：线段垂直平分线上 得△____ 的点到这条线段两个端点的距离相等 ____．
14.1.2 直角三角形的判定
[归纳总结] 判定直角三角形的一般步骤： (1)先找出三角 形中最长的边 c；(2)分别计算 a2＋b2 和 c2 的值；(3)判断 a2 ＋b2 和 c2 是否相等．若相等则是直角三角形；若不相等，则 不是直角三角形．
14.1.2 直角三角形的判定
[备选例题] 如图 14－1－43，在△ABC 中，D 是 BC 边上的点，已知 AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求 DC 的长．
14.1.2 直角三角形的判定
14.1.2 直角三角形的判定
勾股定理与三角形
勾股定理与三角形勾股定理是数学中的基本定理之一，它描述了直角三角形三条边的关系。
本文将介绍勾股定理的原理和应用，以及它与三角形的关联。
1. 勾股定理的原理勾股定理由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，它的原理可以用以下公式表示：在一个直角三角形中，设两直角边分别为a和b，斜边为c，则有：a² + b² = c²。
2. 勾股定理的应用勾股定理具有广泛的应用价值，在几何学和物理学中常被使用。
以下是其中的几个应用场景：2.1 计算直角三角形的边长已知直角三角形的两条边长，可以通过勾股定理来计算斜边的长度。
同样地，已知斜边和一条直角边的长度，也可以通过勾股定理求解剩余的边长。
2.2 判断三条边是否构成直角三角形根据勾股定理，如果三条边的边长满足 a² + b² = c²，那么这三条边可以构成一个直角三角形。
通过勾股定理，我们可以快速验证一个三角形是否为直角三角形。
2.3 判断三角形的形状对于一个非直角三角形，我们可以通过勾股定理判断其形状。
如果a² + b² < c²，那么该三角形为钝角三角形；如果 a² + b² > c²，那么该三角形为锐角三角形。
3. 勾股定理与三角形的关联勾股定理与三角形有着密切的联系，三角形的性质可以通过勾股定理来研究。
利用勾股定理，我们可以推导出正弦定理和余弦定理。
其中，正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中A、B、C为三角形的角度。
余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中C为三角形的夹角，a、b为两边的边长。
通过正弦定理和余弦定理，我们可以更全面地研究三角形的性质和关系，进一步拓宽勾股定理的应用范围。
结语勾股定理是数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形边长的关系。
勾股定理判定条件
勾股定理判定条件勾股定理是初中数学中比较基础的知识点之一，其应用广泛，被广泛地运用于各个领域。
勾股定理给出了一个直角三角形边长之间的关系，它可以通过勾股定理判定条件来判断一个三角形是否为直角三角形，从而判断出三角形的性质。
本文将详细介绍勾股定理及其判定条件。
一、勾股定理简介勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在一个直角三角形中，三条边满足勾股定理的条件：斜边的平方等于直角边的平方和。
具体而言，设三角形的三条边分别为a,b,c，且c 为斜边，若满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，且直角所对应的边为斜边。
该定理得名于古希腊哲学家毕达哥拉斯。
二、勾股定理的证明勾股定理得名于古希腊哲学家毕达哥拉斯，但自公元前两千年左右起，许多文化都已经独立地发现过这一定理。
勾股定理的证明，可以使用不同的方法，下面介绍其中的两种：1.图形法证明将正方形按照对角线断开，将原正方形分成四个直角三角形，其中三个直角三角形的三边分别为a,b,c，而第四个直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c的平方，此时，c²由直角三角形的两个直角边的长度计算得到，而a²+b²则是三个直角三角形的面积之和，因此有c²=a²+b²。
2.代数法证明首先假设a²+b²=c²成立，令x=c/a，则b²=a²(1-x²)，由此可以推导出b²的值。
然后，假设不成立，即a²+b²>c²或a²+b²<c²，如果a²+b²>c²，则假设存在一个数e，使得c²=(a+e)²+b²，代入a²+b²=c²中得到a²+2ae+e²+c²-b²=c²，化简后可得2ae+e²>c²-b²，因此e²>(c-b)(c+b-2a)，由于c>b>a，因此(e/a)² > 2，与x=c/a < 1矛盾。
20 直角三角形与勾股定理
第四章 三角形
20 直角三角形与勾股定理
知识盘点
考点一 直角三角形的性质
考点二 直角三角形的判定
考点三 勾股定理的证明
真题探源
► 类型之二 实际问题中勾股定理的应用
命题角度：
1. 求最短路线问题； 2. 求有关长度问题． 例3 如图22－2，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙
面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面
爬到柜角C1处．
(1)请你画出蚂蚁能够最
快到达目的地的可能路径；
(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，
求蚂蚁爬过的最短路径的长；
(3)求点B1到最短路是两个矩形ACC1A1和ABC1′D1. 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC1′和AC1. (2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1′，爬过的路径的长是
l1＝ 42＋（4＋5）2＝ 97. 蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是
l2＝ （4＋4）2＋52＝ 89.
l1>l2，最短路径的长是l2＝ 89.
(3)作B1E⊥AC1于E，
则B1E＝BA1CC11·AA1＝
4
20
89·5＝89
89，
即点B1到最短路径的距离为2809 89.
直角三角形与勾股定理
FI直角三角形与勾股定理【知识梳理】一、直角三角形的判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形．2、勾股定理逆定理． 二、直角三角形的性质1、直角三角形两锐角互余．2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2． 由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC 中， (1)若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝90°； (2)若c 2＜a 2＋b 2，则∠C ＜90°； (3)若c 2＞a 2＋b 2，则∠C ＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2那么这个三角形是直角三角形．6、勾股数的定义：如果三个正整数a 、b 、c 满足等式a 2＋b 2＝c 2，那么这三个正整数a 、b 、c 叫做一组勾股数．简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41．【典例精析】一、勾股定理的证明 例1、《几何原本》中关于勾股定理的证明方法：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，分别以a ，b ，c 为边长向外作正方形，求证：a 2＋b 2＝c 2变式练习：CD 是△ABC 中AB 边上的高，且CD 2=AD •DB ，试说明∠ACB=︒90AA CB AO YB D 例2、如图所示，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=︒30，∠ADC=︒60，AD=DC ．证明：222BC AB BD +=二、勾股定理的应用特殊直角三角形的三边之比三边之比为 三边之比为例3、在△ABC 中，∠B=︒45，∠A=︒105，AC=6，求AB 的长．变式练习：如图，已知∠XOY=︒60，M 是∠XOY 内的一点，它到边OX 的距离MA=2，到边OY 的距离MB=11，求OM 的长．DA BBC 例4、如图所示，P 为△ABC 边BC 上一点，且PB PC 2=，已知∠ABC=︒45，∠APC=︒60，求∠ACB 的度数例5、如图，△ABC 三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC 内的点P 向△ABC 的三条边分别作垂线PD 、PE 、PF(D 、E 、F 为垂足)，且BD+CE+AF=27，求BD+BF 的长．三、勾股定理的逆定理例6、在△ABC 中，a BC b AC c AB ===，，，设c 为最长边，当a 2＋b 2＝c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2＋b 2≠c 2时，利用代数式a 2＋b 2和c 2的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）．（1）当△ABC 三边分别为6、8、9时△ABC 为 三角形；当△ABC 三边分别为6、8、11时△ABC 为 三角形.（2）猜想：当a 2＋b 2 c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2＋b 2 c 2时，△ABC 为钝角三角形．（3）判断当24==a b ，时，三角形△ABC 的形状，并求出对应的c 的取值范围．M CD A B B'变式练习：已知△ABC 中，a BC b AC c AB ===，，，BC 边的高为a h ，b h AC 边的高为，b a h b h a ≤≤，且有求△ABC 的三个内角度数．四、用勾股定理建立方程，用方程思想解决实际问题例7、如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，B ’为CD 边上的点，B ’C=3，将纸片沿某一条直线折叠，使点B 落在B ’处，点A 的对应点为A ’，折痕分别与AD 、BC 边交于点M 、N ，求BN 和AM 的长．变式练习1、如图， 矩形中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点， 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，求AP 的长为.五、综合运用例8、已知△ABC 中，AC AB例9、在直线l 上摆放着三个正方形，（1）如图1，已知水平放置的两个正方形的边长依次是a ，b ，斜着放置的正方形的面积为S= ，两个直角三角形的面积之和为 ；（均用a ，b 表示） （2）如图2，小正方形面积S 1=1，斜着放置的正方形的面积S=4，求图中两个钝角三角形的面积1m 和2m ，并给出图中四个三角形的面积关系；（3）如图3是由五个正方形所搭成的平面图，T 与S 分别表示所在的三角形与正方形的面积，试写出T 与S 的关系式，并说明理由．例10、求9)12(422+-++a a 的最小值B C DAP CD A1997过关测试1．如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACD'重合，若AP ＝3，则PD 的长等于 ．2．在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D ＝90°，BC=2，CD=3，则AB=3．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=13，边BC 上的中线AD=6，则BC4．如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为 ．5．在锐角△ABC 中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是CDA6．如图，∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，BC=4，CD=23，求AC 的长．7．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD ，求证：BD 2=AB 2+BC 2．BDA。
直角三角形的边长关系
直角三角形的边长关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度，被称为直角。
直角三角形的边长关系是指三条边之间的关系，即勾股定理。
勾股定理是数学中的重要定理，它描述了直角三角形的边长之间的数学关系。
本文将详细介绍直角三角形的边长关系及其应用。
一、勾股定理勾股定理是直角三角形中最常用的定理之一，描述了直角三角形的两个直角边（两个与直角相邻的边）的平方和等于斜边（与直角不相邻的边）的平方。
勾股定理可以用数学公式表示如下：c² = a² + b²其中，a和b代表两个直角边的长度，c代表斜边的长度。
例如，如果直角三角形的一条直角边长为3，另一条直角边长为4，则斜边的长度可以通过勾股定理计算得出：c² = 3² + 4²= 9 + 16= 25开平方根得到c的长度为5。
勾股定理可以应用于求解直角三角形中的任意一条边长，只需已知另外两条边长即可。
二、特殊直角三角形在直角三角形中，存在一些特殊的边长关系。
最常见的特殊直角三角形是3-4-5三角形。
这种三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度为5。
3-4-5三角形是勾股定理的一个特例。
还有一些其他的特殊直角三角形，如5-12-13三角形、8-15-17三角形等，它们的边长满足勾股定理。
特殊直角三角形在几何学中有着重要的应用，可以用于简化计算和推导其他平面几何问题。
三、推导直角三角形的边长关系直角三角形的边长关系可以通过勾股定理的推导得出。
假设直角三角形的两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。
我们可以利用平方的性质来进行推导。
根据勾股定理，有 c² = a² + b²。
将a²和b²拆分为其因式，得到 c² = (a+b)(a-b)。
再进一步拆分为 (a+b)² - 2ab = (a-b)²。
化简得到 (a+b)² - (a-b)² = 2ab。
直角三角形的性质及勾股定理
直角三角形的性质及勾股定理一、直角三角形的定义与性质1.1 直角三角形的定义：一个三角形如果有一个角是直角（即90度），那么这个三角形就被称为直角三角形。
1.2 直角三角形的特征：直角三角形有一个直角和两个锐角，直角所对的边叫做斜边，其余两边叫做直角边。
1.3 直角三角形的分类：根据直角所在的位置，直角三角形可以分为锐角直角三角形、钝角直角三角形和等腰直角三角形。
1.4 直角三角形的性质：(1)直角三角形的三个内角之和为180度；(2)直角三角形的两个锐角的乘积等于直角边的乘积；(3)直角三角形的斜边长度大于任何一条直角边的长度；(4)在直角三角形中，斜边上的高将斜边平分，且等于直角边的乘积除以斜边长度。
二、勾股定理的定义与证明2.1 勾股定理的定义：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和，即a² + b² = c²，其中c为斜边长度，a和b为直角边长度。
2.2 勾股定理的证明：(1)几何证明：通过构造直角三角形ABC，其中∠C为直角，AC和BC为直角边，AB为斜边，再构造两个相似的直角三角形ADE和BCF，利用相似三角形的性质可以证明勾股定理；(2)代数证明：通过设直角三角形ABC的直角边为a和b，斜边为c，然后根据三角形内角和定理和直角三角形的性质列出方程，最后通过代数变换证明勾股定理。
三、勾股定理的应用3.1 直角三角形的边长求解：已知直角三角形的两个直角边长度，可以通过勾股定理求出斜边长度；已知直角三角形的斜边和其中一个直角边长度，也可以通过勾股定理求出另一个直角边长度。
3.2 直角三角形的面积计算：直角三角形的面积可以通过两条直角边的长度计算得出，面积=1/2 * a * b，其中a和b为直角边长度。
3.3 实际应用：勾股定理在工程、建筑、物理等领域有广泛的应用，例如在测量土地面积、计算建筑物的稳定性等方面都需要运用勾股定理。
四、直角三角形的判定4.1 利用勾股定理的逆定理判定：如果一个三角形的三边长度满足a²+ b²= c²，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
1、 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、如何判定一个三角形是直角三角形 （1）先确定最大边（如c ）（2）验证2c 与22b a +是否具有相等关系（3）若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。
3、勾股数满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41(一)勾股定理公式变式：1. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A ．5，7，9B ．6，8，10C ．7，24，25D ．8，15，17例1. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．9，21，26B ．10，56，87C ．13，84，85D ．12，40，461. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．9，16，20B ．15，112，113C ．11，50，52D ．14，60，762. 以下是按规律排列的数组，则第五组数应是：①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41； ⑤ ， ， ； ……辅助线作法：例2 已知某学校有一块四边形空地ABCD ，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A ＝90︒，AB ＝3m ，BC ＝12m ，CD ＝13m ，DA ＝4m ，若每平方米草皮需100元，问需投入多少元?变式：1..如图，有一块地，已知AD ＝4m ，CD ＝3m ，∠ADC ＝90︒，AB ＝13m ，BC ＝ 12m ．求这块地的面积．例3： 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则CE= cm ．68CEABD变式：1．如图，已知Rt ABC △中，90C ∠=，4AC =cm ，3BC =cm ．现将ABC △进行折叠，使顶点A B ，重合，则折痕DE = cm ．例4： 如图，64，400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是_____．变式：1. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_____cm 2．（二）直角三角形的判定1、下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2, c=3 B 、a=7,b=24,c=25C 、a=6, b=8, c=10D 、a=3,b=4,c=52、三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定3、已知2226810500x y z x y z ++---+= 求由此z y x ,,为三边的三角形的面积。
勾股定理和直角三角形全等的判定
勾股定理和直角三角形全等的判定知识导引本讲主要是掌握勾股定理及勾股定理的逆定理，并能运用勾股定理解决简单的问题。
勾股定理是直角三角形的性质定理，直角三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，则有222c b a =+。
勾股定理是现阶段求线段长度的主要方法，如果图形缺乏执教条件，则可以通过作辅助垂线的方法构造出直角三角形，为勾股定理创造条件。
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，而且可以判断三角形中哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法，利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，这中间体现了一种代数方法解几何问题的思想，即数形结合思想。
勾股定理是我们研究和解决几何问题的重要理论依据之一，也是人们在生产实践和生活中广泛应用的基本原理，许多求线段长度、角的大小；线段与线段。
角与角，线段与角间的关系等问题，常常用勾股定理或其逆定理来解决，因此，勾股定理及其应用是中考中考查的重要内容。
典例分析例1：如图，已知△ABC 三条边AC ＝20cm ，BC ＝15cm ，AB ＝25cm ，CD⊥AB，则CD ＝ 。
例2：如图，直角三角形纸片ABC ，∠C＝90°，AC ＝6，BC ＝8，折叠△ABC 的一角，使点B 与点A 重合，展开的折痕DE ，求BD 的长。
例2—1：如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求CE 的长。
例3：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的值。
例3—1：已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上任意一点，则22AD22+，请说明理由。
BD=CD例4：《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”。
直角三角形的判定定理
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。
那么这个三角形为直角三角形。
判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
参考直角三角形斜边中线定理判定7：一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。
扩展资料等腰直角三角形的边角之间的关系：（1）三角形三内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；（3）三角形的一外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.（1）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.（三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等）.（2）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
（3）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
（4）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。
（5）三角形的一条内角平分线与两条外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
《直角三角形判定》例题及讲解
直角三角形的判断1．勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理的内容：假如三角形的三边长a，b，c知足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．(2)勾股定理的逆定理的释疑：许多的同学对知道三角形三边知足a2＋b2＝c2能获得直角三角形这样的一种结论拥有思疑的态度，其实经过三角形的全等能够很简单地证明出来．比方：假如在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，而且知足a2＋b2＝c2(以下图)，那么∠C＝90°.作△A1B1C1，使∠C1＝90°，B1C1＝a，C1A1＝b，则∵a2＋b2＝c2，∴A1B1＝c(A1B1＞0)．在△ABC和△A1B1C1中，∵BC＝a＝B1C1，CA＝b＝C1A1，AB＝c＝A1B1，∴△ABC≌△A1B1C1.∴∠C＝∠C1＝90°.222 A1B1＝a＋b.辨误区勾股定理的逆定理的条件(1)不可以说成在直角三角形中，由于还没有确立直角三角形，自然也不可以说“斜边”和“直角边”．(2)当知足a2＋b2＝c2时，c是斜边，∠C是直角．利用勾股定理的逆定理判断一个三角形能否为直角三角形的思路是：先确立最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，假如最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．对啊！到当前为止判断直角三角形的方法有：①说明三角形中有一个直角；②说明三角形中有两边相互垂直；③勾股定理的逆定理.【例1】以下图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，问：1/6AD⊥AB吗？试说明原因．解：AD⊥AB.原因：依据勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝5.在△ABD中，AB2＋AD2＝52＋122＝169，BD2＝132＝169，所以AB2＋AD2＝BD2.由勾股定理的逆定理知△ABD为直角三角形，且∠BAD＝90°.故AD⊥AB.2．勾股定理的逆定理与勾股定理的关系勾股定理是经过“形”的状态来反应“数”的关系的，而勾股定理的逆定理是经过“数”的关系来反应“形”的状态的．(1)勾股定理是直角三角形的性质定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判断定理，二者是互逆的．(2)联系：①二者都与a2＋b2＝c2相关，②二者所议论的问题都是直角三角形问题．(3)差别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，从而获得这个直角三角形三边的数目关系“a2＋b2＝c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边知足a2＋b2＝c2”为条件，从而获得这个三角形是“直角三角形”．(4)二者关系可列表以下：定理勾股定理勾股定理的逆定理假如直角三角形的两直角边长分别假如三角形的三边长a，b，c知足内容为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角＝c2三角形直角三角形的两直角边长分别为a，三角形的三边长a，b，c知足a2＋题设b，斜边长为c b2＝c22/6结论a2＋b2＝c2三角形是直角三角形用途是直角三角形的一个性质判断直角三角形的一种方法【例2】如图，在△ABC中，D为BC边上的点，已知：AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC.剖析：先用勾股定理的逆定理判断形状，而后用勾股定理求数据．解：∵AD2＋BD2＝122＋52＝132＝AB2，∴由勾股定理的逆定理知△ADB为直角三角形．∴AD⊥BC.在Rt△ADC中，由勾股定理，得DC2＝AC2－AD2＝152－122＝92.∴DC＝9.3．勾股数勾股数：知足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．(1)由定义可知，一组数是勾股数一定知足两个条件：①知足a2＋b2＝c2；②都是正整数．二者缺一不行．(2)将一组勾股数同时扩大或减小同样的倍数所得的数仍知足a2＋b2＝c2(但不必定是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比方以cm为边长的三角形是直角三角形．【例3】①7,24,25；②8,15,19；③；④3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)．上边各组数中，勾股数有______组．()．A．1B．2C．3D．4分析：①√∵72＋242＝252，且7,24,25都是正整数，∴7,24,25是勾股数．②×∵82＋152≠2，∴8,15,19不是勾股数．19③×∵不是正整数，∴，，不是勾股数．∵(3n)2＋(4n)2＝25n2＝(5n)2(n＞1，且为自然数)，且它们都是④√正整数，∴3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)是勾股数.答案：B3/6析规律勾股数的判断方法判断勾股数要看两个条件，一看可否知足a2＋b2＝c2，二看能否都是正整数．这二者缺一不行．4．勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理在解决实质问题中有着宽泛的应用，能够用它来判断是不是直角．家里建房时，常需要在现场画出直角，在没有丈量角的仪器的状况下，工人师傅经常利用勾股定理的逆定理作出直角．【例4】如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后丈量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你帮他看一下，挖的地基能否合格？剖析：此题是数学识题在生活中的实质应用，所以我们要把实质问题转变成数学识题来解决，运用直角三角形的判断条件，来判断它能否为直角三角形．解：∵AD2＋DC2＝62＋82＝100，AC2＝92＝81，∴△ADC不是直角三角形，∠ADC≠90°.又∵按标准应为长方形，四个角应为直角，∴该农民挖的地基不合格．5．利用非负数的性质判断三角形的形状在由一个等式求三角形的三边长时，常常先把等式化为a2＋b2＋c2＝0的形式，再由a＝0，b＝0，c＝0，求得三角形三边之长，利用计算来判断△ABC是不是直角三角形．谈要点判断三角形的形状由条件等式来判断三角形的形状，就是将已知的条件等式变形，再依据它的构造特色，得出a，b，c的关系，从而判断三角形的形状．4/6【例5】假如一个三角形的三边长a，b，c知足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试说明这个三角形是直角三角形．剖析：此题需要将已知等式进行变形，配成完整平方式，求出a，b，c的值，而后再说明．解：将式子变形，得a2＋b2＋c2＋338－10a－24b－26c＝0，即a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0.整理，得(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0.所以a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0，∴a＝5，b＝12，c＝13.∵a2＋b2＝52＋122＝132＝c2，∴这个三角形是直角三角形．6．勾股定理及其逆定理的综合应用(1)利用勾股定理解决生活中的实质问题时，要点是利用转变的思想把实质问题转变为数学模型(直角三角形)来解决．(2)综合运用勾股定理及其逆定理，将不规则图形转变为规则图形是常用的数学方法，在这里，一方面要熟记常用的勾股数；另一方面要注意到：假如一个三角形的三边长已知或拥有某些比率关系，那么就能够用勾股定理的逆定理去考证其是不是直角三角形．【例6】以下图，在四边形ABCD中，AD＝3cm，AB＝4cm，∠BAD＝90°，BC＝12cm，CD＝13cm.求四边形ABCD的面积．剖析：依据AD＝3cm，AB＝4cm，∠BAD＝90°，可连结BD组成直角三角形，经过判断△BCD是直角三角形解决问题．5/6解：连结BD，在△ABD中，∵AD＝3cm，AB＝4cm，∠BAD＝90°，依据勾股定理，得BD2＝AD2＋AB2＝32＋42＝52，∴BD＝5cm.在△BCD中，∵BD＝5cm，BC＝12cm，CD＝13cm，BD2＋BC2＝CD2，∴△BCD是直角三角形．∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝12×3×4＋12×5×12＝36cm2.6/6。
直角三角形的特点及勾股定理
直角三角形的特点及勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为90度，这个角称为直角。
直角三角形有一些独特的特点，并且满足勾股定理。
本文将介绍直角三角形的特点以及勾股定理的原理和应用。
一、直角三角形的特点1. 直角：直角三角形必须有一个内角为90度的直角。
直角是一种特殊的角度，它被定义为两条相交线段所围成的角度为90度。
在直角三角形中，直角位于两条边的交汇处。
2. 斜边：直角三角形的斜边是直角的对边，也是直角三角形中最长的一条边。
在直角三角形中，斜边的长度可以根据两条直角边的长度使用勾股定理计算。
3. 直角边：直角三角形中不是斜边的两条边被称为直角边。
在直角三角形中，直角边与斜边的长度关系可以使用勾股定理进行计算。
二、勾股定理勾股定理是描述直角三角形边长关系的数学定理。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于直角边的平方和。
具体表达式如下：c² = a² + b²其中，c表示斜边的长度，a和b分别表示直角边的长度。
勾股定理可以用来解决与直角三角形相关的实际问题，例如计算直角三角形的边长或者判断一个三角形是否是直角三角形。
三、勾股定理的应用1. 计算直角三角形的边长：如果已知直角三角形的一条直角边和斜边的长度，可以利用勾股定理计算另一条直角边的长度。
根据勾股定理的表达式，将已知的边长代入公式，求解未知的边长。
2. 判断一个三角形是否为直角三角形：如果一个三角形的三条边满足勾股定理，即c² = a² + b²，那么这个三角形就是直角三角形。
3. 解决与角度有关的问题：勾股定理不仅适用于直角三角形，它还可以在其他情况下使用。
例如，如果已知一个三角形的两边长度和它们之间的夹角，可以利用勾股定理计算第三边的长度。
四、实例应用例1：已知一个直角三角形的一个直角边的长度是3，斜边的长度是5，求另一个直角边的长度。
根据勾股定理：c² = a² + b²代入已知值：5² = 3² + b²化简得：25 = 9 + b²解方程可得：b² = 16因此，另一个直角边的长度为4。
勾股定理-讲义
勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题+基础练习1. 勾股定理．【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2 2. 等腰直角三角形．【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．三、课堂练习1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二、经典例题+基础练习1.勾股定理的逆定理．【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用：方向角．【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C 地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．三、课堂练习1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．四、能力提升1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．勾股定理中的折叠问题一、经典例题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。
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勾股定理及直角三角形的判定
知识要点分析
1、勾股定理
222，即直角三角形两直角边的平方和等于+b=c，斜边为a、bc，那么一定有a如果直角三角形两直角边分别为斜边的平方。
2、勾股定理的验证
勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。
我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。
另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
222，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理+b=cb、c有关系：a3、如果三角形的三条边a、（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。
其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。
我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数
222的三个正整数a、b、c称为勾股数。
满足条件a+b =c友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】
考点一：勾股定理
例1：在△ABC中，∠C=90°，
（1）若a=3，b=4，则c=__________；
（2）若a=6，c=10，则b=__________；
（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.
例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：
考点二：勾股定理的验证
例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）
是以c为直角边的等腰三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。
（2）用这个图形证明勾股定理。
（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼接后的示意图。
（无需证明）
【思路分析】将三个图形拼接在一起，可得到一个直角梯形，用两种方法表示出该直角梯形的面积，利用面积相等即可验证勾股定理。
解：（1）如下图。
直角梯形
. . . .
（2））用4个全等的直角三角形，可以拼出如下图形。
（3
考点三：直角三角形的判别条件2222是否为直角，试判断△ABCn是正整数，且m＞，b=2mn，c=m+nn，其中m例4：已知△ABC中，a=m，－n?
三角形. 思路分析】本题关键是确定最大边，然后根据直角三角形的判别条件来判定该三角形为直角三角形【解：⊥BD. ⊥AD，说明BCAB：如图，已知AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，例5 B C AD
解：222 ABC+c的形状。
+200=12a+16b+20c、b、c满足条件a+b，试判断△例6：若△ABC的三边长a的关系，、c的值，然后确定a、b欲判断△ABC的形状，先将条件中的等式变形，求出a、b、c【思路分析】ABC的形状。
从而判断出△考点四：勾股数的考查7：下列各组数是勾股数吗？为什么？例0.5 0.4，）0.3，，24，25 （2（1）7 解：60分钟）【模拟试题】（答
题时间：一、选择题）121. 若一直角三角形两边长分别为和5，则第三边长为（119D.
15
C. 13或 B. 1315 或 A. 13
），斜边长为5，则面积为（ 2. 直角三角形的周长为12D. 6
B. 10
C. 8 A. 12
）2，则斜边长的平方为（ 3. 如果一个等腰直角三角形的面积是24 D. A. 2 B. 4 C. 8
）5㎝，12㎝，则斜边上的高为（*4. 若直角三角形两条直角边长分别为6080 D.
㎝㎝ C. 8 A. 6㎝ B.
㎝1313），腰长为*5. 等腰三角形底边长1013，则此三角形的面积为（D. 70 C.
60 A. 40 B. 50
）6. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（
. . . .
222 15∶13B∶∠C=12∶－∠A. bB =c －aD. ∠A∶∠B. a∶b∶c=3∶4∶5C. ∠C=∠
A22ab?c?2(a?b)*7. 三角形的三边长为），则这个三角形是（
D. 锐角三角形C. 直角三角形 A. 等边三角形 B. 钝角三角形
都应为直角，将量得的这个零件的各边尺寸标和∠BDC*8. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A ）注在图中，由此可知（
都不符合要求都符合要求D. ∠A 和∠BDC A. ∠A符合要求B. ∠BDC符合要求C. ∠A 和∠BDC
6米处，则旗杆折断前高（）*9. 一根旗杆在离地面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部 B. 7.5米 C. 12米 D. 8米 A. 10.5米4如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑10.
）分米，那么梯子将平滑（D. 8分米C. 5 B. 15分米分米 A. 9分米二、填空题：，其中、b、c 之间应满足边是直角所对的边. a11. 假如有一个三角形是直角三角形，那么三边*12. 如图，已知△ABC中，∠C=90°，BA=15，AC=12，以直角边BC为
直径作半圆，则这个半圆的面积是.
13. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数，，.
*14. 若一个三角形的三边之比为3：4：5，且周长为60cm，则它的面积为.
15. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方2.
的面积之和为_______cmC，D，形A，B
*16. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_____海里. 三、计算题：
、已知：如图，△ABC中，∠C＝90o，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．求
AC的长．*17
. . . .
18. 如果a，b，c是一组勾股数，且a，b，c没有大于1的因子，那么我们称这一组勾股数为基础勾股数，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41都是基础勾股数。
观察这些基础勾股数，你发现各数组中的勾与股及其积各有何特点？勾、股、弦三者的积有何特点?写出你的发现结果。
**19. 如图所示，隔湖有两点A，B，从与BA 方向成直角的BC上的C点，测得CA=50米，CB=40米。
求：（1）A，B两点的距离。
（2）你能知道B点到直线AC的最短距离吗？
. . . .。