Normal Distribution34正态分布
正态分布
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汉漢▼正态分布概率密度函数绿线代表标准正态分布累积分布函数颜色与概率密度函数同参数μlocation（real）σ2 > 0 squared scale（real）支撑集概率密度函數累积分布函数期望值μ中位数μ众数μ方差σ2偏度0峰度 3信息熵动差生成函数特性函数正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：X∼N(μ,σ2),则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布（见右图中绿色曲线）。
目录• 1 概要o 1.1 历史• 2 正态分布的定义o 2.1 概率密度函数o 2.2 累积分布函数o 2.3 生成函数▪ 2.3.1 动差生成函数▪ 2.3.2 特征函数• 3 性质o 3.1 标准化正态随机变量o 3.2 矩(英文:moment)o 3.3 生成正态随机变量o 3.4 中心极限定理o 3.5 无限可分性o 3.6 稳定性o 3.7 标准偏差• 4 正态测试• 5 相关分布• 6 参量估计o 6.1 参数的极大似然估计▪ 6.1.1 概念一般化o 6.2 参数的矩估计•7 常见实例o7.1 光子计数o7.2 计量误差o7.3 生物标本的物理特性o7.4 金融变量o7.5 寿命o7.6 测试和智力分布•8 计算统计应用o8.1 生成正态分布随机变量•9 参见•10 引用条目•11 外部连接[编辑]概要正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型。
正态分布的理论原理及应用
正态分布的理论原理及应用正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是概率统计学中最重要的概率分布之一，也是最常见的连续概率分布之一、正态分布在理论研究和实际应用中都起到了重要的作用。
1.中心极限定理：中心极限定理是正态分布理论的基础，它指出，独立同分布的随机变量的和的极限分布依近似于正态分布。
这意味着，对于大量独立随机变量的和，即使这些变量的分布不同，其总体分布也会接近于正态分布。
2.正态分布的概率密度函数：正态分布的概率密度函数由两个参数决定，即均值（μ）和标准差（σ）。
其概率密度函数可以表示为：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-((x-μ)^2/(2σ^2)))3.正态分布的特性：-均值μ是分布的中心，标准差σ决定了分布的离散程度。
-68%的观测值在均值左右一个标准差范围内，95%的观测值在均值左右两个标准差范围内，99.7%的观测值在均值左右三个标准差范围内。
1.统计分析：正态分布广泛应用于统计分析中。
很多统计模型都需要基于正态分布的假设。
例如，参数估计、假设检验、方差分析等都需要基于正态分布进行推断。
2.质量控制：质量控制中常常使用正态分布。
通过收集样本数据，计算平均值和标准差，可以对产品的质量进行控制和评估。
例如，正态分布常用于确定产品的上下公差。
3.自然科学：正态分布在自然科学中也有应用。
例如，生物学中研究身高、体重等指标时可以使用正态分布。
物理学中粒子运动的速度和位置分布也可以近似为正态分布。
4.金融与经济学：金融市场和经济领域中，许多变量的分布近似为正态分布。
例如，股票收益率、利率、汇率等可以建模为正态分布。
这使得研究人员能够使用正态分布的属性来做出预测和决策。
5.归一化处理：正态分布是进行归一化处理的常用工具之一、通过将数据转化为标准正态分布，可以对不同数据进行比较和分析。
正态分布的种类
3. 非正态分布的原因
非对称或非正态分布的问题是在现场经常出现的问题,其潜在的原因 如下
1) 具有自然界限的数据 2) 筛选检查时不良品的选别 3) 分布的混合 4) 输入变量与输出变量间的非线性关系 5) 输入变量间的交互作用 • 按照时间的工程变化 • 缺乏独立性或周期的变化 • 测定器精密度问题 • 具有异常点(Outliers)的数据
.
尖度(Skewness)的解释
急尖或平尖分布的平均的分布在中心,但左,右两边的尾巴比正态分布 短或长. Kurtosis称为尖度,表示分布形态的平或尖的程度
正态分布时 Kurtosis为0, 急尖分布时(+),平尖分布时(-) 值. 在左图中Kurtosis值为3.082, 是(+)值,可以看出是平尖分布
.
1) 具有自然界限的情况
在物理上或不可避地存在无法测定数据的最小值或最大值时,例如时间,
不纯度,平坦度.主要 形成左边或右边斜型的分布.
100
工程与自然界限有一定9800 距离时
빈 70
150
도
60 50
수 40
30
频 100
20
率
10
150
数
50
0
0
2
4
6
8
10 12
频 100 率 数 50
用几台机器生产时, 因特定机器的故障 等发生的分布
一般的双重峰
极端的双重峰
.
斜型(Skewness)的解释
如柱型图,斜型分布是平均的分布从分布的中心偏向左或右,是左右 非对称的 Skewness表示数据偏移的程度
正态分布时 Skewness为0, 右边斜型分布是(+),左边斜型 分布是(-)值. 在左边图中Skewness值为2.186, 是(+)值,因此是右边斜型分布
统计学 正态分布
正态分布曲线的数学函数表达式： 如果随机变量 的分布服从概率密度函数：
( X − µ)2 1 , − ∞ < X < ∞ f (X ) = exp − 2 2σ σ 2π π＝ .14159， 是以 .72818为底的自然对数指数 3 exp 2 X ~ N(µ,σ 2 ), µ为X的总体均数，σ为总体标准差 f ( X )称为概率密度函数（probabilit y density function ） 以f ( X )为纵坐标，X为横坐标，绘制的曲线就是 正态曲线（norm curve ） al
为伽玛函数； 圆周率； 式中 Γ(•)为伽玛函数； 圆周率； V 为 自由度（ freedom）， ），是 自由度（degree of freedom），是t分布的 唯一参数； 为随机变量。 唯一参数；t为随机变量。 为纵轴, 以t (•)为横轴，f(t)为纵轴,可绘制t分布 Γ 为横轴， 曲线。 曲线。
查t 界值表
举例： 举例：
， α t ①ν =10 单 =0.05， 0.05,10 =1.812 ，则有
P(t ≤ −1.812) = 0.05 或 P(t ≥1.812) = 0.05
， α t ②ν =10 双 =0.05， 0.05/2,10 = 2.228 ，则有
P(t ≤ −2.228) + P(t ≥ 2.228) = 0.05
（正态分布是对称分布，但对称分布不一定是正态分布） 正态分布是对称分布，但对称分布不一定是正态分布） 2. 实 际 频 数 分 布 ： 中 间 频 数 多 ， 两 端 越 来 越少， 越少，且左右大致对称 理论频数分布：正态分布曲线。 理论频数分布：正态分布曲线。
4 频数分布逐渐接近正态分布示意
03正态分布与医学参考值范围 (1)
44556677777888888899 10 10 10 10 10 10 10 10 11 11 11 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 14 14 14 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 18 18 18 18 19 20 20 20 20 21 21 22 22 22 23 24 24 25 25 26 26 26 27 27 28 28 29 30 30 31 31 32 32 32 33 35 41 44 50 51
X2
1.96
1.96
P1.96 z 1.96 1.96 1.96 1 1.96 1.96
1 2 1.96 1 20.025 0.95
Standard normal distribution
2
e dx X
1 2
X
2
Normal distribution
正态分布是单峰分布，以 X 为中心左右完全对称
正态曲线在 X 处有拐点，呈现为钟型
正态分布由两个参数 和 σ 决定
是位置参数，决定着正态曲线在X轴上的位置
σ 是形状参数，决定着正态曲线的分布形状
细胞计数低于 4×102/L 者约占该地正常成年男子总
数的2.02%
Standard normal distribution ② 红细胞计数在4.0×1012/L～5.5×1012/L者占该地
什么是正态分布？
什么是正态分布？正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是概率论和统计学中最重要的连续型概率分布之一。
它的形状呈钟形曲线，两侧尾部逐渐趋于无穷远，中间部分较为集中。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，被认为是一种理想的分布模型。
正态分布的概率密度函数可以用以下公式表示：$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$其中，$x$ 是随机变量的取值，$\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。
正态分布的均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
正态分布具有以下特点：1. 对称性：正态分布的概率密度函数关于均值对称，即曲线在均值处取得最大值，两侧的面积相等。
2. 唯一性：正态分布由均值和标准差唯一确定。
3. 稳定性：正态分布在多次独立抽样下，样本均值的分布仍然服从正态分布。
4. 中心极限定理：当样本容量足够大时，无论总体分布是什么形状，样本均值的分布都接近正态分布。
正态分布在实际应用中具有广泛的意义和重要性。
首先，许多自然现象和社会现象都服从正态分布，例如人的身高、体重、智力水平等。
其次，正态分布在统计推断中起到了重要的作用。
根据正态分布的特性，我们可以利用正态分布进行参数估计、假设检验、置信区间估计等统计推断方法。
此外，正态分布还在工程、经济学、金融学等领域中广泛应用，例如风速、股票收益率等。
正态分布的应用不仅限于单变量情况，还可以推广到多变量情况。
多变量正态分布是指多个随机变量同时服从正态分布的情况。
多变量正态分布的概率密度函数可以用多元高斯分布的形式表示。
多变量正态分布在多元统计分析中具有重要的地位，常用于描述多个变量之间的相关关系。
总之，正态分布是概率论和统计学中最重要的分布之一，具有对称性、唯一性、稳定性和中心极限定理等特点。
正态分布
正态分布(Normal distribution)随机变量的概率分布随机变量的类型(数理统计)连续型变量：变量在某一实区间内任意取值；离散型变量：变量只能取有限个数或可列个数。
应用统计分为：数值变量和分类变量，对应于定量资料和定性资料（含等级资料）。
描述随机变量的两个函数●概率密度函数用f(X)表示，对于离散型变量f(X)是变量取X值的概率，常用P(X)表示。
●分布函数变量取小于等于X值所占的比例，显然：有()0F X≥'()()F X f X=()()xF X f X dX-∞=⎰正态分布正态分布（normal distribution ），也称高斯分布（Gaussian dist.），是最常见、最重要的一种连续型分布。
若一个随机变量的概率密度函数为则称这种分布为正态分布。
式中，π为圆周率；e 为自然对数的底。
其中的参数µ是均数，σ是标准差，正态分布可记为X ～Ν(µ,σ)。
正态分布的分布函数为：de Moivre(德)首先提出正态分布的概率曲线具有下述特点（1）正态分布只有一个高峰，高峰的位置在X＝μ处。
（2）分布以均数为中心，中间高，两头低，左右完全对称的钟型曲线。
（3）正态分布的两个参数（μ和σ）分别决定了分布的位置和形状。
其中μ是位置参数，σ是形状参数。
当σ恒定时，μ愈大，正态曲线向右移动；反之，μ愈小，正态曲线向左移动。
若μ恒定，σ愈大（数据愈离散），正态曲线显得愈“矮胖”；反之，σ愈小(数据愈集中），正态曲线显得愈“瘦高”。
（5）对任一正态变量X 进行如下线性变换则u 一定服从于均数为零，标准差为1的正态分布，记为u ～N （0，1），称为标准正态分布（standard normal distribution ），其密度函数u 被称为标准正态变量或标准正态离差（standard normal deviate ）。
此性质在实际工作中极为重要，给应用工作者提供了极大的方便。
正态分布的概念和特征
正态分布的概念和特征正态分布（normal distribution），又称高斯分布（Gaussian distribution），是概率统计学中最为重要和常见的一种连续概率分布。
起初，正态分布是由德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）于18世纪末发现并进行了深入研究，因而得名。
1. 均值（mean）：正态分布的均值决定了其分布的位置，是分布曲线的对称轴。
在正态分布中，均值位于分布的最高峰处，对称地分布于左右两侧。
记作μ。
2. 方差（variance）：正态分布的方差决定了分布的形态宽窄，方差越大，分布曲线越扁平。
方差是各观测值与均值差的平方的平均数，可表示为σ²。
3. 标准差（standard deviation）：标准差是方差的平方根，用于衡量分布的离散程度，即观测值偏离均值的程度。
标准差越大，分布曲线越扁平，表示数据的散布越广。
标准差记作σ。
1.正态分布的曲线是对称的，即分布曲线两侧关于均值对称。
2.曲线的最大值位于均值处，即分布的峰值。
3.正态分布过程的结果是连续的变量，其取值范围无限。
4.正态分布的总体分布是平滑的，没有突变的点。
5.正态分布由两个参数确定，即均值和标准差，均值决定了分布的位置，标准差决定了分布的形态。
正态分布在实际中具有广泛的应用，原因如下：1.中心极限定理：正态分布是中心极限定理的基础。
中心极限定理指出，当独立随机变量的个数足够大时，这些随机变量的均值的分布将近似于正态分布。
因此，正态分布被广泛用于描述各种自然现象和现实生活中的变量。
2.数据分布：许多自然现象和人类行为都可以由正态分布进行描述。
例如，人类身高和体重的分布通常近似于正态分布，许多生物和地理量的测量也遵循正态分布。
3.统计推断：正态分布在统计推断中扮演着重要的角色。
通过对样本数据进行正态分布检验，可以判断样本数据是否服从正态分布，从而决定使用何种统计方法进行推断。
总之，正态分布是概率统计学中最为重要和常见的分布之一、其具有对称、平滑、以及由均值和标准差决定的特征，广泛应用于模型拟合、数据分析和统计推断等领域。
高中正态分布知识点
高中正态分布知识点正态分布（Normal distribution）在高中数学中起着重要的作用，它具有许多特点和应用。
正态分布是一种连续概率分布，其特征是以均值为中心对称，并且呈钟型分布。
它在统计学、概率论、自然科学等领域都有广泛的应用。
一、正态分布的特点正态分布的特点主要有三个方面：对称性、均值、标准差。
1. 对称性：正态分布的曲线以均值为中心对称，即曲线两侧的面积相等。
这意味着在正态分布中，均值附近的数值出现的概率较大，而离均值较远的数值出现的概率较小。
2. 均值：正态分布的均值是曲线的中心位置，也是分布的期望值。
在正态分布中，均值的取值是有用的参考，可以帮助我们了解数据集的中心倾向。
3. 标准差：正态分布的标准差决定了曲线的宽度，标准差较小意味着数据集的值相对集中，标准差较大意味着数据集的值相对分散。
标准差还可以用来衡量数据的离散程度。
二、正态分布的应用正态分布在实际生活中有广泛的应用，以下是几个常见的场景：1. 身高和体重：人类的身高和体重通常服从正态分布。
这使得我们可以通过计算均值和标准差来了解人群的平均身高和体重，也能够判断某个个体身高和体重是否在正常范围之内。
2. 考试成绩：考试成绩常常呈正态分布。
通过对成绩分布的分析，教师可以了解学生的表现情况，设计适合学生的教学方案。
3. 生物学实验数据：生物学实验中的许多测量结果，如细胞数量、药物浓度等，往往服从正态分布。
通过对实验结果的分析，科研人员可以评估实验的准确性和稳定性。
4. 财经领域：股市收益率、商品价格等经济指标常常符合正态分布。
金融机构和投资者可以利用正态分布来进行风险评估和预测。
三、正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，以下是其中几个常见的性质：1. 中心极限定理：中心极限定理是正态分布的一个重要应用。
它表明，当样本容量足够大时，样本均值的分布会接近于正态分布。
2. 正态分布的标准化：对于给定的正态分布，我们可以通过标准化处理将其转化为标准正态分布。
正态分布(normal distribution)
(normal distribution)
3.1 随机变量
变量和随机变量
变量取值的相对频率说明了具有某个性质 的观察对象的出现的可能性。
随机变量
离散型：性别、血型、子女数、事故数 连续型：身高、体重
随机变量的概率分布
概率函数（Probability Function)，或者 说概率密度函数（Probability Density Function) 、密度函数 分布函数(Distribution Function)。用此 函数的大小来说明变量取某些值的可能性 当变量的取值包括了所有可能的取值时， 分布函数值为1 当变量具备了以上两个函数之后，称它具 有某种分布（Distribution)
正态分布图示
f(x)
.4
.3
.2
.1
0
x
方差相等、均数不等的正态分布图示
2 1 3
3
1
2
均数相等、方差不等的正态分布图示
2 3 1 2 1
3
3.2.4正态曲线下面积的分布规律
-
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
f (X )
1
2
e
( X 值表 表中的面积是指p(u<x), 也记作 φ（x）
标准正态分布曲线下面积(u)
u 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
u 0
-3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010
3.2.5 正态分布的应用
1．估计参考值范围(reference interval) 参考值范围又称正常值范围(normal range)。 什么是参考值范围：
正态分布
正态分布科技名词定义中文名称：正态分布英文名称：normal distribution 定义1：概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。
该分布由两个参数——平均值和方差决定。
概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小，分布越集中在均值附近。
应用学科：生态学（一级学科）；数学生态学（二级学科）定义2：一种最常见的连续性随机变量的概率分布。
应用学科：遗传学（一级学科）；群体、数量遗传学（二级学科）以上内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布求助编辑百科名片正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ= 1的正态分布。
目录正态分布历史发展研究过程曲线应用频数分布医学参考值统计的理论基础正态分布历史发展研究过程曲线应用频数分布医学参考值统计的理论基础展开编辑本段正态分布正态分布的由来normal distribution 正态分布一种概率分布。
正态分布是具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ^2 )。
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。
它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ=0，σ^2 =1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
正态分布数学公式
正态分布数学公式正态分布（Normal Distribution）是概率论和统计学中重要的连续概率分布之一，也被称为高斯分布（Gaussian Distribution）。
它的数学公式是一个关于均值和方差的函数，通常用符号N(μ, σ^2)表示，其中μ是均值，σ^2是方差。
正态分布的概率密度函数具有钟形曲线的特点，呈现对称分布。
在曲线的中心点（均值处），概率密度最大；随着离均值的距离增大，概率密度逐渐减小。
同时，正态分布具有标准差的特性，标准差越大，曲线越扁平；标准差越小，曲线越陡峭。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在。
例如，人的身高、体重、智力水平等都可以用正态分布来描述。
在工程领域，正态分布被广泛应用于可靠性分析、质量控制和风险评估等方面。
正态分布具有许多重要的性质和应用。
首先，正态分布是连续型随机变量的极限分布，也是中心极限定理的基础。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，任何总体都可以近似地看作正态分布。
这使得正态分布在统计推断和假设检验中有着重要的地位。
正态分布的均值、方差和标准差是其重要的统计指标。
均值决定了曲线的位置和对称性，方差和标准差则描述了数据的离散程度。
通过对正态分布的参数进行调整，可以灵活地调整曲线的形态和位置，以适应不同的数据分布。
正态分布还具有一些重要的性质。
例如，正态分布是唯一一个均值和方差都已知的连续概率分布。
对于任意正态分布的随机变量，68%的观测值落在均值的一个标准差范围内，95%的观测值落在均值的两个标准差范围内，99.7%的观测值落在均值的三个标准差范围内。
这种特性使得正态分布在统计分析和预测中得到广泛应用。
正态分布的应用十分广泛。
在金融领域，股票价格、汇率波动等变动趋势都可以用正态分布来描述。
在医学研究中，正态分布被用来分析药效、疾病发病率等因素。
在教育评估中，学生的考试成绩常常服从正态分布。
此外，在质量控制、工程设计、经济预测等领域，正态分布也发挥着重要的作用。
正态分布[2-2]
![正态分布[2-2]](https://img.taocdn.com/s3/m/bb3e54a60029bd64783e2cf5.png)
(X − X) u=
S
3.曲线下对称于 的区间，面积相等。 曲线下对称于0的区间，面积相等。 曲线下对称于 的区间 4.曲线下横轴上的面积为 曲线下横轴上的面积为100%或1。 曲线下横轴上的面积为 或 。
正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线 正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=µ， ， 即均数位置，理论上： 即均数位置，理论上： µ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的68.27% µ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的95% 范围内曲线下的面积占总面积的 µ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的99% 范围内曲线下的面积占总面积的 实际应用中： 实际应用中： 范围内曲线下的面积占总面积的68.27% ±1 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的95% ±1.96 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的99% ±2.58 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的
u=
X −µ
σ
二、正态分布的特征
1. 关于 心，左右对称。 左右对称。 2. 在 在 处取得概率密度函数的最大值， 处取得概率密度函数的最大值， 处有拐点，表现为钟形曲线。 处有拐点，表现为钟形曲线。即正 拐点 对称。 对称。即正态分布以均数为中
态曲线在横轴上方均数处最高。 态曲线在横轴上方均数处最高。
双侧---过高、 双侧 过高、过低均异常 过高
异常
正常
正常
异常
异常
正常
异常
正态分布与标准正态分布公式的详解整理
正态分布与标准正态分布公式的详解整理正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是统计学中最重要的概率分布之一。
正态分布的形状呈钟型曲线，分布的中心对称，因此也被称为钟形曲线。
正态分布在各个领域的应用非常广泛，特别是在自然科学、社会科学及工程技术方面。
一、正态分布的定义与特点正态分布的定义如下：若一个随机变量X服从正态分布（记作X~N(μ,σ^2)），则其概率密度函数为：f(x) = (1/(sqrt(2π)*σ)) * exp(-((x-μ)^2)/(2σ^2))其中，μ是分布的均值，σ^2 是方差。
正态分布的特点如下：1. 正态分布的曲线是关于均值μ对称的，具有唯一的峰值，且下方与上方的面积相等。
2. 标准差越小，曲线越陡峭；标准差越大，曲线越平坦。
3. 正态分布的总体均值、中位数和众数都相等。
4. 正态分布的分布范围是(-∞, +∞)，但在实际应用中，一般只考虑3倍标准差内的数据，这部分数据占据了整个分布曲线的99.7%。
二、标准正态分布标准正态分布，又称标准高斯分布，是正态分布的一种特殊情况，均值μ为0，方差σ^2为1。
标准正态分布的概率密度函数为：φ(x) = (1/√(2π)) * exp(-x^2/2)标准正态分布在统计学中有着重要的应用。
为了方便计算和比较，通常将实际数据转化为标准正态分布进行处理。
三、正态分布与标准正态分布的转化将正态分布的随机变量X转化为标准正态分布的随机变量Z，可以通过计算Z的值来实现。
这一过程称为标准化。
标准化的公式如下：Z = (X - μ) / σ其中，Z为标准化后的随机变量，X为原始随机变量，μ为正态分布的均值，σ为正态分布的标准差。
通过标准化，我们可以将不同均值和标准差的正态分布转化为标准正态分布，方便进行比较和计算。
四、标准正态分布的应用标准正态分布广泛应用于统计学和假设检验中，常用于计算正态分布中某个特定范围内的概率。
正态分布计算公式
正态分布计算公式正态分布（NormalDistribution）又称高斯分布，它源自18世纪德国数学家兼发明家克劳德高斯（Karl Friedrich Gauss）。
正态分布用一个简单的数学方程来描述某种变量的分布情况，它表示这种变量有一个均值和标准差，同时它的概率密度函数在数轴上有一个峰值，而两侧则呈指数状衰减。
正态分布既可以应用于数据的分布情况，也可以用于描述多种实际现象，如人体活动（诸如跳跃高度）、力学（如摩擦力），以及许多天文学上的现象（如行星轨道）。
在统计学中，正态分布是最基本、最常用的分布之一，在理论、科学和实际工程中都有着非常广泛的应用。
无论是统计学还是实际科学应用，正态分布的计算公式都是一个必备的工具，它可以用来计算概率、检验假设、估计参数等。
正态分布的计算公式可以从内在数学性质和概率密度函数两个角度来描述：（1）内在数学性质：正态分布的数学性质是它有一个均值和方差，这表明它在数轴上是一个对称的分布，且其峰值在均值处，它的概率最大化。
（2）概率密度函数：正态分布的概率密度函数可以通过以下公式表示：f(x)=1/(σ√2π)exp[-(x-μ)2/2σ2]其中，μ表示均值，σ表示标准差，π表示圆周率，x表示单个数据点，exp[-(x-μ)2/2σ2]表示以x为中心，以σ为半径的指数函数。
此外，由于正态分布是完全对称的，因此它可以用另一种形式来表示，即标准正态分布：f(x)=1/(√2π)exp[-x2/2]其中π表示圆周率，x表示单个数据点，exp[-x2/2]表示以0为中心，以1为半径的指数函数。
正态分布在现实生活中的应用极为广泛。
例如在金融领域，它可以用来描述某类资产的收益率；在社会学和心理学方面，正态分布可以用来描述人群的智力水平或者描述性格特质；在政治科学中，正态分布可以用来描述投票行为偏好；在公司管理方面，正态分布可以用来描述一个公司的生产力；在公司运营中，正态分布可以用来描述企业客户群体特征；在市场营销中，正态分布可以用来用来描述客户购买行为；在病理学领域，正态分布可以用来描述肿瘤的大小等等。
正态分布的概念与计算
正态分布的概念与计算正态分布（Normal Distribution），也称高斯分布（Gaussian Distribution），是概率论与统计学中非常重要的一种连续型概率分布。
它在自然界和人类社会的各个方面都有广泛应用，是描述随机变量分布的重要工具。
本文将介绍正态分布的概念，并说明如何计算正态分布。
一、正态分布的概念正态分布由其概率密度函数来定义，符号表示为：N(N, N²)，其中N为均值，N²为方差。
概率密度函数的形式为：N(N) = 1 / (N√2N) * N^(-((N−N)² / (2N²)))特点：1. 正态分布的图像呈钟形，中心对称，左右两边曲线对称，均值、中位数和众数相等，即N。
2. 在均值处有最高点，随着离均值的距离增加，曲线下降缓慢。
3. 标准差N的大小决定了曲线的陡峭程度，标准差越大，曲线越平缓。
二、正态分布的计算1. 概率密度计算：对于给定的正态分布N(N, N²)，可以通过概率密度函数计算任意N处的概率密度值。
例如，计算某个值N的概率密度，可以使用如下公式：N(N) = 1 / (N√2N) * N^(-((N−N)² / (2N²)))其中，N(N)表示N处的概率密度值。
2. 累积概率计算：对于给定的正态分布N(N, N²)，可以计算N≤ N的累积概率N(N≤ N)。
此时，可以使用标准正态分布表格或统计软件来查找概率值。
3. 标准化与反标准化：在实际计算过程中，常常需要将正态分布转化为标准正态分布，即N(0, 1)。
标准正态分布的均值N为0，方差N²为1。
标准化公式如下：N = (N−N) / N其中，N表示标准化后的值。
反标准化则是将标准正态分布转化为任意正态分布。
反标准化公式如下：N = N + NN4. 百分位数计算：对于给定的正态分布N(N, N²)，可以计算N对应的百分位数。
正态分布及其应用 (normal distribution)
➢二．图形 正态分布密度函数
f(X) 21 exp((X 2 2)2)
其中参数 为均值， 为标准差，由此
决定的正态分布记作 N(三．特征
➢ 正态分布是单峰曲线，形状呈钟型，中间高，两
端低，以 X 为对称轴，左右完全对称。
➢ 在 X 处，f (X) 取得最大值。
➢ 有两个参数：位置参数 和变异度参数 。 一定， 越大，数据越分散，曲线越平坦； 一
定， 增大，曲线沿 X 轴向右平移。因此，不
同的 ，不同的 ，对应不同的正态分布。
不同均值正态分布示意图
1.5 1
不同标准差的正态分布示意图
➢ 正态曲线下面积的分布规律
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1。理论上：
• 根据正态 分布的对称性知，外侧尾部面 积 u2.21与外侧尾部面积 u2.21 相同，查附表1，得对应的概率为0.0136， 体重在50kg以上的12岁儿童占1.36%。
第三节 医学参考值范围的制定
➢医学参考值范围Reference Range 指某 群体“正常人”的解剖、生理、生化等 各种指标大多数个体值的波动范围。
附表1给出了标准正态分布曲线下从的面积根据正态分布的对称性我们可以求出任何一个区间内标准正态分布曲线下的面积也就是落在任何一个区间内的概率
正态分布及其应用
(normal distribution)
第一节 正态分布的概念和特征
➢一.概念 正态分布又称高斯（Gauss）分布，
是最常见、最重要的一种连续型分布， 医学资料中有许多指标的频数分布都呈 正态分布，如身高、体重、脉搏、血红 蛋白、血清总胆固醇等。
限和上限，即双侧界值；有些指标如
肺活量通常只以过低为异常，血铅以
正态分布函数表达式推导
正态分布函数表达式推导正态分布函数（NormalDistribution）是数学统计学中最常用的概率分布，它可以提供最重要的信息，包括一般抽样分布的均值和方差，以及一些特定随机变量的概率密度。
此外，正态分布还可以用于描述现实世界中的多种随机过程，如外观质量、财务报表质量等，从而被广泛用于实际工作和研究中。
本文将从表达式来推导正态分布函数，从而更深入地理解正态分布以及如何用它来描述实际现象。
首先，正态分布函数的表达式是一个非常复杂的概率密度函数。
它可以表示为：$$N(x ; mu,sigma^2) = frac {1}{sqrt {2 pi sigma ^2}}e^{frac{-(x - mu)^2}{2 sigma^2}}$$其中，μ是正态分布的均值，σ2表示方差。
可以看出，此表达式与已知的指数函数形式有所不同。
为了更好地理解正态分布函数的概念，我们假设μ和σ2的值都固定，将上述表达式展开并展示如下： $$ N(x ; mu,sigma^2) = frac{1}{sqrt {2 pi sigma^2}}{e^{-frac {(x-mu)^2}{2 sigma^2}}} = frac{1}{sqrt {2 pi sigma ^2}}{ (1- frac{(x-mu)^2}{2 sigma^2})^{-frac{1}{2}} } $$ 其中，指数项称为正态分布函数的多项式因子，可以通过幂级数来表示：$$N(x ; mu,sigma^2) = frac {1}{sqrt {2 pi sigma ^2}} sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{2^n cdot n!} cdot (x -mu)^{2n}$$接下来，我们可以将正态分布函数的多项式因子以紧凑方式表示出来，即：$$N(x ; mu,sigma^2) = frac {1}{sqrt {2 pi sigma ^2}} cdot e^{-frac {(x-mu)^2}{2 sigma^2}} cdot left( 1 +frac{(x-mu)^2}{sigma^2} + frac{(x-mu)^4}{2 sigma^4} +frac{(x-mu)^6}{6 sigma^6} + frac{(x-mu)^8}{24 sigma^8} + cdotsright) $$以上，就是正态分布函数的表达式，它可以用来描述多种实际情况，比如外观质量、财务报表质量等。
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TEST – Tuesday Jan. 12, 2010
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3.4 Normal Distribution
≡ a symmetrical, bell-shaped histogram used in statistical analysis Not perfectly found “in the real world”
Approximate only Approaches normal distribution with enough data
RULE OF THUMB • ~68% of data w/in 1σ of the mean • ~95% of data w/in 2σ of the mean • ~99.7% of data w/in 3σ of the mean
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2
3.4 Normal Distributions
Notation used to describe normal distribution, of variable X, is:
Mean, median, mode are equal and fall on line of symmetry
Notation:
X~N(x,2)
Mean Variance
x
2
Area under any normal curve is 1
The percent of data lies between 2 values is equal to area under curve b/t these values
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1
3.4 Normal Distributions
Characteristics of NORMAL Distributions
Symmetrical • Mean, median, & mode all fall on the line of symmetry (in theory)
Bell-shaped • Middle peak • Sloping down toward both sides • Approaches zero at extremes
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5
3.4 Normal Distributions
Examples 1. Using the normal distribution, find the % of the population with measures µ=0 & σ=1
a) x<1 b) x<-2 c) 1<x<2
h
6
3.4 Normal Distributions
b) Number of females that weight less than 45 kg
c) Range weights that include 99.7% of the females in the study {ie P(a<x<b) – find a & b}
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7
3.4 Normal Distributions
2. Given the normal distribution of 10,000 females where the mean is 55 kg and standard deviation is 5 kg, find:
a) The number of females that weigh between 50 & 60 kg
X~N(x,2)
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3.4 Normal Distributions
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4
3.4 Normal Distributions (SUMMARY)
Symmetrical & approach zero near ends
Of the data: 68% of data falls w/in one sigma of mean 95% of data falls w/in two sigma of mean 99.7% of data falls w/in three sigma of mean