人教版高中数学必修4作业 第2课时 弧度制

第2课时 弧度制

课时目标

1.了解度量角的单位制，即角度制与弧度制．

2．理解弧度制的定义，能够对弧度和角度进行正确的换算．

识记强化

1．我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.

2．弧长计算公式：l ＝|α|·r (α是圆心角的弧度数)；扇形面积公式S ＝12l ·r 或S ＝1

2

|α|·r 2(α

是弧度数且0<α<2π)．

3．角度与弧度互化

度数 360° 180° 1° (180π

)° 弧度数 2π π π180

1

课时作业

一、选择题 1．－315°化为弧度是( )

A ．－43π

B ．－5π3

C ．－7π4

D ．－76π

答案：C

解析：－315°×π180＝－7π

4

2．在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为π

3

cm ，它所对的圆心角为( )

A.π6

B.π3

C.π2

D.2π3 答案：A

解析：设圆心角为θ，则θ＝π32＝π

6

.

3．与角－π

6

终边相同的角是( )

A.5π6

B.π3

C.11π6

D.2π3 答案：C

解析：与角－π6终边相同的角的集合为αα＝－π6＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，α＝－π

6

＋2π

＝11π

6

，故选C.

4．下列叙述中正确的是( )

A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧

B ．1弧度是长度为半径的弧

C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和

D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 答案：D

解析：由弧度的定义，知D 正确．

5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 为( ) A ．∅

B ．{α|－4≤α≤π}

C ．{α|0≤α≤π}

D ．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π} 答案：D

解析：求出集合A 在[－4,4]附近区域内的x 的数值，k ＝0时，0≤x ≤π；k ＝1时，4<2π≤x ≤3π；在k ＝－1时，－2π≤x ≤－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A ∩B .

6．下列终边相同的一组角是( )

A ．k π＋π

2

与k ·90°，(k ∈Z )

B ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，(k ∈Z )

C ．k π＋π6与2k π±π

6，(k ∈Z )

D.k π3与k π＋π

3，(k ∈Z ) 答案：B

解析：(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z ，都表示π的奇数倍．

二、填空题

7．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad. 答案：2

解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为4

2

＝2 rad.

8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫

αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.

答案：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫－5

6π，－π3，π6，23π

解析：由－π

6π，－π3，π6，23π.

9．时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了________弧度． 答案：－23π

3

解析：时钟共走了3小时50分钟，分针旋转了－⎝⎛⎭⎫3×2π＋56·2π＝－23π

3

三、解答题

10．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车以30 km/h的速度通过，求火车经过10 s后转过的弧度数．

解：∵圆弧半径R＝2 km＝2 000 m，

火车速度v＝30 km/h＝

25

3m/s，

∴经过10 s后火车转过的弧长l＝

25

3×10＝

250

3(m)，

∴火车经过10 s后转过的弧度数|α|＝

l

R＝

250

3

2 000＝

1

24.

11．已知角α＝2010°.

(1)将α改写成θ＋2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角；

(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角；

(3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角．

解：(1)2 010°＝2 010×

π

180＝

67π

6＝5×2π＋

7π

6.

又π<

7π

6<

3π

2，角α与角

7π

6的终边相同，故α是第三象限角．

(2)与α终边相同的角可以写为r＝

7π

6＋2kπ(k∈Z)．

又－5π≤r<0，

∴k＝－3，－2，－1.

∴与α终边相同的角为－

29

6

π，－

17

6

π，－

5

6

π.

(3)令0≤r＝

7

6

π＋2kπ＜5π，

∴k＝0,1，

∴与α终边相同的角为

7

6

π，

19

6

π.

能力提升

12．如下图所示，在某机械装置中，小正六边形沿着大正六边形的边顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，射线OA围绕点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则θ等于()

A．－4πB．－6π

C．－8πD．－10π

答案：B

解析：小正六边形沿着大正六边形滚动一条边并且到下一条边上时，射线OA旋转了

π

3

＋