微分方程习题及解答

第十二章 微分方程

§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程

一、单项选择题

1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．

(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；

(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B).

2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．

(A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C).

3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．

(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；

(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).

4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．

(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；

(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A).

5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．

(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；

(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D).

二、填空题

1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 .

2．微分方程3d d 0,4x x y y y x

=+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252

x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =.

5．微分方程'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+．

6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y

e x

=． 三、解答题

1．求下列微分方程的通解．

(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x

++= 解： 解：

2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2

sin ln ,x y x y y y e π='==；

解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4)

d 10d x y y x +=． 解： 解： 3*．设连续函数20()d ln 22x t

f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =⋅．

§12.2 一阶线性微分方程、全微分方程

一、单项选择题

1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).

2d (A)3(ln )d y y x y x x

+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x

=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．

(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；

(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程． 答(D).

3. 方程y y x y x ++='22是( )．

(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；

(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).

二、填空题

1．微分方程

d d x y y

e x

-+=的通解为 ． 答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 ． 答：3

3

x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 ． 答：ln()x y x y C --+=． 三、简答题

1．求下列微分方程的通解：

(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x

=； 解： 解：

(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=； 解： 解： (5) 2d (6)20d y y x y x

-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=； 解： 解：

(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．

解：

2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x

=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==． 解： 解： 3*．求伯努利方程

2d 3d y xy xy x -=的通解． 解：

§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程

一、单项选择题

1. 方程x y sin ='''的通解是( ).

(A)

32212

1cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=； (C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).

(A)2(1)y x =-； (B)2

12124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭； (C)211(1)22y x =-+； (D)2

1524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝

⎭． 答(C). 3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )． (A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解；

(C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解． 答(B).

4. 下列函数组线性相关的().是

(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ；

(C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ． 答(A).

5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．

(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；

(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=． 答(D). 6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )．

(A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+；

(C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；

(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关． 答(D).

7. 下列函数组线性相关的().是

22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；

(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ． 答(A).

二、填空题

1．微分方程sin y x x ''=+的通解为

． 答： 312sin .6x y x C x C =-++ 2．微分方程y y x '''=+的通解为

．

答： 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题

1．求下列微分方程的通解．

(1) 21()y y '''=+； (2) 21()2y y '''=．

解： 解：

2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．

解： §12.4 二阶常系数线性齐次微分方程

一、单项选择题

1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．

(A)sin y x =； (B)cos y x =；

(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+． 答(C).

2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )．