2020中考数学 二次函数与圆综合

请求出这个定值；若不是，请说明理由．
图 4-1
图 4-2
例题 5. 如图，已知点 A 的坐标是 (1, 0) ，点 B 的坐标是 (9, 0) ，以 AB 为直径作 O ' ，交 y 轴的负半轴于点 C，连接 AC，BC，过 A，B，C 三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式； （2）点 E 是 AC 延长线上一点， BCE 的平分线 CD 交 O ' 于点 D，连接 BD，求直线 BD 的解析式； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点 P，使得 PDB CBD ？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在， 请说明理由．
5
例题 4. 已知，如图 4-1，抛物线 y ax2 bx c 经过点 A(x1, 0) ，B(x2 , 0) ，C(0, 2) ，其顶点为 D．以 AB 为直径的 M 交 y 轴于点 E、F，过点 E 作 M 的切线交 x 轴于点 N． ONE 30 ， |x1 x2| 8 ．
（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）如图 4-2，点 Q 为 E BF 上的动点（Q 不与 E、F 重合），连结 AQ 交 y 轴于点 H，问： AH AQ 是否为定值？若是，
例题 6. 如图所示，抛物线与 x 轴交于点 A(1, 0) 、 B(3, 0) 两点，与 y 轴交于点 C(0, 3) ．以 AB 为直径作 M ，过抛 物线上一点 P 作 M 的切线 PD，切点为 D，并与 M 的切线 AE 相交于点 E，连结 DM 并延长交 M 于点 N，连 结 AN、AD．
翻折后的劣弧落在⊙ D 内，它所在的圆恰与 OD 相切，求⊙ D 半径的长及抛物线的解析式； ⑶设点 B 是满足( 2 )中条件的优弧上的一个动点，抛物线在 x 轴上方的部分上是否存在这样的点 P ，使得
∠POA 4∠OBA ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 3
题 9．如图 1， O 的半径为1 ，正方形 ABCD 顶点 B 坐标为 5，0 ，顶点 D 在 O 上运动．
（Ⅰ）若 x1x2 0 ，且 m 为正整数，求抛物线 M 的解析式； （Ⅱ）若 x1 1，x2 1 ，求 m 的取值范围； （ Ⅲ ） 试 判 断 是 否 存 在 m ， 使 经 过 点 A 和 点 B 的 圆 与 y 轴 相 切 于 点 C(0，2) ， 若 存 在 ， 求 出
M : y x2 (m 1)x (m 2) 的值；若不存在，试说明理由； （Ⅳ）若直线 l : y kx b 过点 F (0，7) ，与（Ⅰ）中的抛物线 M 相交于 P，Q 两点，且使 PF 1 ，求直线 l 的
例题 2.
在平面直角坐标系中，抛物线经过
O(0, 0)
、
A(4,
0)
、
B
3,
2
3 3
wk.baidu.com三点.
（1）求此抛物线的解析式； （2）以 OA 的中点 M 为圆心，OM 的长为半径作 M ，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点 P，过点 P 作 M 的
切线 l，且 l 与 x 轴的夹角为 30 ？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果保
2020 中考数学 二次函数与圆综合
例题 1. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于 点 C，点 A 的坐标为 (3, 0) ，若将经过 A、C 两点的直线 y kx+b 沿 y 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点，且抛
1.如图，已知抛物线 y = ax2 + bx－3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，经过 A、B、C 三点的圆的圆心 M（1，m） 恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为 5 ．设⊙M 与 y 轴交于 D，抛物线的顶点为 E．（1）求 m 的值及抛物线的解 析式；（2）设∠DBC = ，∠CBE = ，求 sin（－）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 P、A、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点 P 的位置，并直 接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
FQ 2 解析式．
例题 8.已知：在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y kx 4k 的图象与 x 轴交于点 A ，抛物线 y ax2 bx c 经过 O ， A 两点．
⑴试用含 a 的代数式表示 b ； ⑵设抛物线的顶点为 D ，以 D 为圆心， DA 为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿 x 轴翻折，
（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； （2）若四边形 EAMD 的面积为 4 3 ，求直线 PD 的函数关系式； （3）抛物线上是否存在点 P，使得四边形 EAMD 的面积等于 △DAN 的面积？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在， 说明理由．
例题 7.已知：抛物线 M : y x2 (m 1)x (m 2) 与 x 轴相交于 A(x1，0)，B(x2，0) 两点， 且 x1 x2 ．
⑴ 当点 D 运动到与点 A 、 O 在同一条直线上时，试证明直线 CD 与 O 相切； ⑵ 当直线 CD 与 O 相切时，求 OD 所在直线对应的函数关系式； ⑶ 设点 D 的横坐标为 x ，正方形 ABCD 的面积为 S ，求 S 与 x 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值与最小
值．
例题 10.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ax2 bx c 交 x 轴于 A(2, 0) ，B(6, 0) 两点，交 y 轴于点 C(0, 2 3) ． （1）求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线的对称轴与直线 y 2x 交于点 D，作 D 与 x 轴相切，D 交 y 轴于点 E、F 两点，求劣弧 EF 所对圆 心角的度数； （3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，试确定 P 点的位置，使得 △PGA 的面积 被直线 AC 分为 1:2 两部分．
留根号）
例题 3. 如图，抛物线 y 1 x2 x 3 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，顶点为点 D，对称轴 l 与直线 BC 交于 4
点 E，与 x 轴交于点 F． （1）求直线 BC 的解析式． （2）设点 P 为该抛物线上的一个动点，以点 P 为圆心、r 为半径作⊙P ． ①当点 P 运动到点 D 时，若⊙P 与直线 BC 相交，求 r 的取值范围； ②若 r 4 5 ，是否存在点 P 使⊙P 与直线 BC 相切？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
物线的对称轴是直线 x 2 ． （1）求直线 AC 及抛物线的函数表达式； （2）如果 P 是线段 AC 上的一点，设三角形 ABP、三角形 BPC 的面积分别为 S△ABP 、 S△BPC ，且 S△ABP:S△BPC 2 : 3 ，
求点 P 的坐标； （3）设 Q 的半径为 1，圆心 Q 在抛物线上运动，则在运动的过程中是否存在 Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求 出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设 Q 的半径为 r，圆心 Q 在抛物线上运动，则当 r 取何值时， Q 与两坐标轴同时相切？