2020中考数学二次函数与圆综合

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二次函数与圆的综合题(中考数学必考压轴题)

二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考）例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是；（2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”）（3）若DQ恰好为⊙C的切线，①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想；②求二次函数的表达式．例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式．练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．练习5.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．以AB为直径作⊙M．（1）求出M的坐标并证明点C在⊙M上；（2）若P为抛物线上一动点，求出当CP与⊙M相切时P的坐标；练习6.在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的析式；（2）求点D的坐标：（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．练习7.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝n，OC＝m，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点．（1）求证：∠OCA＝∠OBC；（2）若A（x1，0），B（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝5，x1•x2＝4，求点C 的坐标和抛物线的解析式；（3）若△ACD≌△ABD，在四边形ABDC内有一点P，且点P到四边形四个顶点的距离之和P A+PB+PC+PD最小，求此时距离之和的最小值及P点的坐标（用含n的式子表示）．练习8.已知二次函数y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点；（2）这条抛物线与x轴交于两点A、B（A在B左），与y轴交于点C，顶点为D，sin∠ABD＝，⊙M过A、B、C三点，求⊙M的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使P A是⊙M的切线？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．练习9.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，当点P运动对，⊙P始终经过y轴上的一个定点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当⊙P的半径为时，⊙P与y轴交于M、N两点，求MN的长；（3）求定点E到直线y＝kx﹣8k的距离的最大值．练习10.已知：直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx （a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连接AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO＝2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习11.已知A是x轴正半轴上一个动点，以线段OA为直径作⊙B，圆心为点B，直径OA＝m，线段EF是⊙B的一条弦，EF∥x轴，点C为劣弧EF的中点，过点E作DE垂直于EF，交抛物线C1：y＝ax2+bx（a＞0）于点G，抛物线经过点O和点A．（1）求证：DG＝m；（2）拖动点A，如果抛物线C1与⊙B除点O和点A外有且只有一个交点，求b的值；（3）拖动点A，抛物线C1交⊙B于点O、E、F、A，①求证：DE＝m﹣；②直接写出FC2的值（用a，m的代数式表示）练习13.如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例4.如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B 为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．练习14.如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E 四点，B为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．练习15.如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB＝∠ABM，连接AE，求证：AE＝AD；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请求出k的值．例5.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；（2）如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标；（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．练习16.如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣5，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O 三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．练习17.如图1，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．①判断点C、D与⊙G的位置关系，并说明原因；②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段AQ的最小值．练习18.如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF＝AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．课后练习1.抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），点E是△ABP 的外接圆圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当P为抛物线的顶点时，求圆心E的坐标；（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，当P从C点出发，沿该抛物线运动到B点，求点Q在这个运动过程中的路径长．2.如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）求证：∠BDE＝90°；（2）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（3）如图2，AC与BE交于点F．①请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；②若，求点E坐标及a的值．。

2020-2021中考数学圆的综合(大题培优易错难题)含答案

2020-2021中考数学圆的综合(大题培优易错难题)含答案一、圆的综合1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形．（1）求证：AC=CE ；（2）求证：BC 2﹣AC 2=AB•AC ；（3）已知⊙O 的半径为3．①若AB AC =53，求BC 的长； ②当AB AC为何值时，AB•AC 的值最大？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；②32【解析】分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC ，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC ，据此得证；（2）以点C 为圆心，CE 长为半径作⊙C ，与BC 交于点F ，于BC 延长线交于点G ，则CF=CG=AC=CE=CD ，证△BEF ∽△BGA 得BE BG BF BA =，即BF•BG=BE•AB ，将BF=BC-CF=BC-AC 、BG=BC+CG=BC+AC 代入可得；（3）①设AB=5k 、AC=3k ，由BC 2-AC 2=AB•AC 知6k ，连接ED 交BC 于点M ，Rt △DMC 中由DC=AC=3k 、MC=126k 求得22CD CM -3，可知OM=OD-3，在Rt △COM 中，由OM 2+MC 2=OC 2可得答案．②设OM=d ，则MD=3-d ，MC 2=OC 2-OM 2=9-d 2，继而知BC 2=（2MC ）2=36-4d 2、AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=（3-d ）2+9-d 2，由（2）得AB•AC=BC 2-AC 2，据此得出关于d 的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．详解：（1）∵四边形EBDC 为菱形，∴∠D=∠BEC ，∵四边形ABDC 是圆的内接四边形，∴∠A+∠D=180°，又∠BEC+∠AEC=180°，∴∠A=∠AEC ，∴AC=CE；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，由（1）知AC=CE=CD，∴CF=CG=AC，∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，∴∠G+∠AEF=180°，又∵∠AEF+∠BEF=180°，∴∠G=∠BEF，∵∠EBF=∠GBA，∴△BEF∽△BGA，∴BE BGBF BA=，即BF•BG=BE•AB，∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；（3）设AB=5k、AC=3k，∵BC2﹣AC2=AB•AC，∴6k，连接ED交BC于点M，∵四边形BDCE是菱形，∴DE垂直平分BC，则点E、O、M、D共线，在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=126k，∴223CD CM k-=，∴OM=OD﹣DM=33k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（33）2+6k）2=32，解得：k=33或k=0（舍），∴62；②设OM=d，则MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，∴BC2=（2MC）2=36﹣4d2，AC2=DC2=DM2+CM2=（3﹣d）2+9﹣d2，由（2）得AB•AC=BC2﹣AC2=﹣4d2+6d+18=﹣4（d﹣34）2+814，∴当d=34，即OM=34时，AB•AC最大，最大值为814，∴DC2=272，∴AC=DC=362，∴AB=964，此时32ABAC=．点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．2．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180π⨯=2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3．图 1 和图 2 中，优弧»AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝23，点P为优弧»AB上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．发现：（1）点O 到弦AB 的距离是，当BP 经过点O 时，∠ABA′＝；（2）当BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿NP 折叠，分别得到点M，O 的对称点A′， O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图 3，判断A′C 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆O 相切，当α＝ °时，点O′落在»NP上．（3）当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时，直接写出β的取值范围．【答案】发现：（1）1，60°；（2）3；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】【分析】发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切；（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在»PB时，连接MO′，则可知NO′=12MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【详解】发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,∵⊙O的半径为2，AB=23，∴OH=22OB HB-=222(3)1-=在△BOH中，OH=1，BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．∴OG=12OB=1．∴3．∵OG⊥BP，∴3．∴3．∴折痕的长为3拓展：（1）相切．分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=12A'N=12MN=2∴A'C与半圆（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，∴α=45当O′在»PB上时，连接MO′，则可知NO′=12 MN，∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°，∴α=30°，故答案为：45°；30°．（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时NA′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．4．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。

初中数学中考复习第13关以二次函数与圆的问题为背景的解答题(原卷版)

第十三关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。

由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。

“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了．只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。

解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。

【典型例题】经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴【例1】（2019·黑龙江中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−53交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】（2019·广西中考真题）如图，直线3y x =-交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，点B 的坐标为(1,0)，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过,,A B C 三点，抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴的交点为点E ，点E关于原点的对称点为F ，连接CE ，以点F 为圆心，12CE 的长为半径作圆，点P 为直线3y x =-上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求BDP ∆周长的最小值；（3）若动点P 与点C 不重合，点Q 为⊙F 上的任意一点，当PQ 的最大值等于32CE 时，过,P Q 两点的直线与抛物线交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求四边形ABMN 的面积．【例3】（2018·青海中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是以AB 为直径的⊙M 的内接四边形，点A ，B 在x 轴上，⊙MBC 是边长为2的等边三角形，过点M 作直线l 与x 轴垂直，交⊙M 于点E ，垂足为点M ，且点D 平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【方法归纳】函数知识要理解好数形结合的思想，知识点的掌握中要理解文字解释和图像之间的关系，至于与圆、三角形、方程的综合题，往往最后一问难度大，要建立模型、框架，完善步骤，循序渐进. 【针对练习】1．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD 的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①√S=√S1+√S2；②√S=√S3+√S4；③“十字形”ABCD的周长为12√10．2．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线26y ax ax =+(a 为常数，a ＞0)与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(﹣3＜t ＜0)，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的⊙P 相交于点C ．（1）求点A 的坐标；（2）过点C 作⊙P 的切线CE 交x 轴于点E ．①如图1，求证：CE ＝DE ；②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a =∠CAE ＝∠OBE 时，求11OD OE -的值3．（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 分别交x 轴和y 轴于点()()3,0,0,3A B -. (1)如图1，已知P 经过点O ，且与直线1l 相切于点B ，求P 的直径长；(2)如图2，已知直线2: 33l y x =-分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线2l 上的一个动点，以Q 为圆心，.①当点Q 与点C 重合时，求证: 直线1l 与Q 相切；②设Q 与直线1l 相交于,M N 两点，连结,QM QN . 问:是否存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．（2018·山东中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P （x ，y ）的动圆经过点A （1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．5．（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.6．（2017·江苏中考真题）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A 的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．（1）求点P的坐标；（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．7．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点．其中AB两点的坐标分别为（-1，0），（0，-2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M 与y轴的另一个交点，过劣弧DE上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1．5．（1）求点D的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出⊿PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．（2019·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．9．（2018·山东中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2018·湖南中考真题）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ①S =1S 2S +；②S=3S 4S +；③“十字形”ABCD 的周长为1210．11．（2017·广西中考真题）已知抛物线y 1=ax 2+bx -4（a≠0）与x 轴交于点A （-1，0）和点B （4，0）．（1）求抛物线y 1的函数解析式；（2）如图①，将抛物线y 1沿x 轴翻折得到抛物线y 2，抛物线y 2与y 轴交于点C ，点D 是线段BC 上的一个动点，过点D 作DE ∥y 轴交抛物线y 1于点E ，求线段DE 的长度的最大值；（2）在（2）的条件下，当线段DE 处于长度最大值位置时，作线段BC 的垂直平分线交DE 于点F ，垂足为H ，点P 是抛物线y 2上一动点，⊙P 与直线BC 相切，且S ⊙P ：S △DFH =2π，求满足条件的所有点P 的坐标．12．（2018·山东中考真题）抛物线y =ax 2+bx +4（a ≠0）过点A （1，﹣1），B （5，﹣1），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB ，以CB 为边作▱CBPQ ，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，Q 为坐标平面内的一点，且▱CBPQ 的面积为30，求点P 的坐标；（3）如图2，⊙O 1过点A 、B 、C 三点，AE 为直径，点M 为上的一动点（不与点A ，E 重合），∠MBN 为直角，边BN 与ME 的延长线交于N ，求线段BN 长度的最大值．13．（2019·四川中考真题）如图，已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求MF的值．14．（2019·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点与轴交于点，⊙的半径为为⊙上一动点.（1）点的坐标分别为（），（）；（2）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接，若为的中点，连接，则的最大值= .15．（2017·黑龙江中考真题）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；（3）将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标．16．（2017·甘肃中考真题）如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴与点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点.(1)求抛物线的表达式；(2)连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以为顶点的四边形是矩形？求出此时点的坐标；②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求的最小值.17．（2017·湖南中考真题）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB 为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足，求二次函数的表达式．18．（2017·江苏中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点，，且与轴交于点，连接、、.(1)求此二次函数的关系式；(2)判断的形状；若的外接圆记为，请直接写出圆心的坐标；(3)若将抛物线沿射线方向平移，平移后点、、的对应点分别记为点、、，的外接圆记为，是否存在某个位置，使经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由.。

2020-2021中考数学二次函数综合练习题及答案

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？
（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？
【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）或．
则，
∴
∴直线BC的函数表达式为y=x-3；
（3）①∵AB=4，PQ= AB，
∴PQ=3
∵PQ⊥y轴
∴PQ∥x轴，
则由抛物线的对称性可得PM= ，
∵对称轴是直线x=1，
∴P到y轴的距离是，
∴点P的横坐标为− ，
∴P（− ，− ）
∴F（0，− ），
∴FC=3-OF=3#43;bx﹣3可得
解得
∴y＝x2﹣2x﹣3
（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）
设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入
解得
∴y＝﹣x﹣1
∴D（0，﹣1）
（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）
∴P点纵坐标为﹣2，
（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=- x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=- x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．
详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

2020中考数学二次函数-综合题(二)

二次函数-综合题（二）一．解答题（共40小题）1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．5．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B 点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG 面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．9．（2019•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC 相似，求点E的坐标．10．（2019•岳阳）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M 的面积；（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D 为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．12．（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．13．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．14．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．15．（2019•天水）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD 垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED 重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．16．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．17．（2019•乐山）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB＝．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．18．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B （4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．19．（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求C点坐标，并判断b的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．21．（2019•遂宁）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：∠BNM＝∠ONM．22．（2019•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D 在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．23．（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q 的坐标．25．（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．26．（2019•绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．27．（2019•武威）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？28．（2019•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．29．（2019•攀枝花）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求b，c的值；（2）直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．30．（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．31．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y 轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP 的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．33．（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．34．（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．35．（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A （﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2019•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．37．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c （a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．40．（2019•南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是．（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为36 ；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：0＜k＜4或﹣8＜k＜0 ；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．【解答】解：（1）由点A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的边长为6，∴正方形面积为36；有四个交点时0＜k＜4或﹣8＜k＜0；故答案为36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，y Q＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，当m＝﹣1，y Q最大＝4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），当m＜﹣1时，y Q随m的增大而增大，当m＝﹣2时，y Q最小＝3，当m＞﹣1时，y Q随m的增大而减小，当m＝4时，y Q最小＝﹣21，∴3＞﹣21，∴y Q最小＝﹣21，点Q在最低位置时的坐标（4，﹣21），∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），最低位置时的坐标为（4，﹣21）；②当双曲线y＝经过点B（﹣2，﹣2）时，k＝4，∴N（4，1），∵顶点P（m，n）在边BC上，∴n＝﹣2，∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）与边AB、DC分别交于点E、F，∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2），∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2，∴＝﹣，∴a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1），∵AE＝NF，点F在点N下方，∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2，∴12a（m﹣1）＝3，∴a（m﹣1）＝，∴＝；③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2），∴y M＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4），即y M＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），∵a＞0，∴对应每一个a（a＞0）值，当m＝1时，y M最小＝﹣2，当m＝﹣2或4时，y M最大＝9a﹣2，当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2，∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2），∵点E在边AB上，且此时不与B重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，∴0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，同理m＝﹣2时，y＝y＝a（x+2）2﹣2，∴E（﹣2，﹣2），F（4，36a﹣2），∵点F在边CD上，且此时不与C重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，解得0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，综上所述，抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方；2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．∴，解得：，∴G（）．3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝18，∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），∴CD2＝12+12＝2∴AD2＝22+42＝20∴AC2+CD2＝AD2∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．∵，∴F为AD的中点，∴，∴．②在Rt△ACD中，tan，在Rt△OBC中，tan，∴∠ACD＝∠OCB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠FAO＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，∴OF∥BC，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，设直线AD的解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝2x+6，∴，解得：，∴F（﹣）．当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，∵∠CAB＝45°，∴OF⊥AC，∴直线OF的解析式为y＝﹣x，∴，解得：，∴F（﹣2，2）．综合以上可得F点的坐标为（﹣）或（﹣2，2）．4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B＜y P＜y A∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜y P＜﹣3法二：整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0∴m＝＞0∵x＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵y P＝﹣x﹣2∴﹣4＜y P＜﹣35．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．【解答】解：（1）y＝﹣x+4…①，令x＝0，y＝4，令y＝0，则x＝4，故点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…②；（2）设点E（m，0），直线BC表达式中的k值为4，EF∥BC，则直线EF的表达式为：y＝4x+n，将点E坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：y＝4x﹣4m…③，联立①③并解得：x＝（m+1），则点F（，），S△BEF＝S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF＝×4×4﹣×4m﹣（4﹣m）×＝，解得：m＝，故点E（，0）、点F（2，2）；（3）△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，则点E′（，4），当x＝时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣（）2+3×+4≠4，故点E′不在抛物线上．6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1）∴顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1∵抛物线经过点C（0，3）∴4a﹣1＝3解得：a＝1∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3（2）解得：，∴A（1，0），B（4，3）∴AB＝设直线y＝x﹣1与y轴交于点E，则E（0，﹣1）∴OA＝OE＝1∴∠AEO＝45°∵S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S∴点Q、M、N到直线AB的距离相等如图，假设点M、N在直线AB上方，点Q在直线AB下方∴MN∥AB时，总有S△MAB＝S△NAB＝S要使只有一个点Q在直线AB下方满足S△QAB＝S，则Q到AB距离必须最大过点Q作QC∥y轴交AB于点C，QD⊥AB于点D∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45°∴△CDQ是等腰直角三角形∴DQ＝CQ设Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），则C（t，t﹣1）∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣）2+∴t＝时，CQ最大值为∴DQ最大值为∴S＝S△QAB＝AB•DQ＝（3）存在点P满足∠APB＝90°．∵∠APB＝90°，AB＝3∴AP2+BP2＝AB2设P（p，p2﹣4p+3）（1＜p＜4）∴AP2＝（p﹣1）2+（p2﹣4p+3）2＝p4﹣8p3+23p2﹣26p+10，BP2＝（p﹣4）2+（p2﹣4p+3﹣3）2＝p4﹣8p3+17p2﹣8p+16∴p4﹣8p3+23p2﹣26p+10+p4﹣8p3+17p2﹣8p+16＝（3）2整理得：p4﹣8p3+20p2﹣17p+4＝0p2（p2﹣8p+16）+4p2﹣17p+4＝0p2（p﹣4）2+（4p﹣1）（p﹣4）＝0（p﹣4）[p2（p﹣4）+（4p﹣1）]＝0∵p＜4∴p﹣4≠0∴p2（p﹣4）+（4p﹣1）＝0展开得：p3﹣4p2+4p﹣1＝0（p3﹣1）﹣（4p2﹣4p）＝0（p﹣1）（p2+p+1）﹣4p（p﹣1）＝0（p﹣1）（p2+p+1﹣4p）＝0∵p＞1∴p﹣1≠0∴p2+p+1﹣4p＝0解得：p1＝，p2＝（舍去）∴点P横坐标为时，满足∠APB＝90°．7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

湖南长沙市2020年中考数学试题(解析版)

2020年长沙市初中学业水平考试试卷数学一、选择题-2的值是（）1.()3A. 6-B. 6C. 8D. 8-【答案】D【解析】【分析】利用有理数的乘方计算法则进行解答.-2=-8，【详解】()3故选：D.【点睛】此题考查有理数的乘方计算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键.2.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后原图形重合．3.为了将“新冠疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展，据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中632400000000用科学记数法表示为（）A. 116.23410⨯B. 106.23410⨯C. 96.23410⨯D. 126.23410⨯ 【答案】A【解析】【分析】先将632400000000表示成a×10n 的形式，其中1＜| a |＜10，n 为将632400000000化成an×10n 的形式时小数点向左移动的位数．【详解】解：632400000000元=116.23410⨯元．故答案为A ．【点睛】本题考查了科学记数法，即将原数据写成a×10的形式，确定a 和n 的值是解答此类题的关键． 4.下列运算正确的是（）A. =B. 826x x x ÷=C. =D. ()257a a =【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；二次根式的乘法计算；幂的乘方，底数不变，指数相乘，利用排除法求解．【详解】解：A 25，故本选项错误；B 、826x x x ÷=，故本选项正确；C =≠，故本选项错误； D 、()25107a a a =≠，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的乘法，幂的乘方．很容易混淆，要熟练掌握运算法则．5.2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为6310m土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：3/m天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（）A.610vt= B. 610v= C. 26110v t= D. 6210v t=【答案】A【解析】【分析】由总量=vt，求出v即可．【详解】解（1）∵vt=106，∴v=6 10t，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．6.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（）A. 423米B. 143米C. 21米D. 42米【答案】A【解析】【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=423（米）.故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．7.不等式组1112xx+≥-⎧⎪⎨<⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先分别解出两个不等式，然后找出解集，表示在数轴上即可．【详解】解：11 12xx+≥-⎧⎪⎨<⎪⎩①②，由①得，x≥−2，由②得，x＜2，故原不等式组的解集为：−2≤x＜2．在数轴上表示为：故答案为：D．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集，在数轴上表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．8.一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个，下列说法中，错误的是（）A. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球C. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球D. 第一次摸出的球是红球的概率是13；两次摸出的球都是红球的概率是19【答案】A【解析】【分析】根据摸出球的颜色可能出现的情形及概率依次分析即可得到答案.【详解】A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故错误；B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故正确；C、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球，故正确；D、第一次摸出的球是红球的概率是13；两次摸到球的情况共有（红，红），（红，绿1），（红，绿2），（绿1，红），（绿1，绿1），（绿1，绿2），（绿2，红），（绿2，绿1），（绿2，绿2）9种等可能的情况，两次摸出的球都是红球的有1种，∴两次摸出的球都是红球的概率是19，故正确；故选：A.【点睛】此题考查了事件的可能性的大小及利用概率的公式、列举法求事件的概率，正确理解题中放回摇匀，明确每次摸出的球的颜色都有可能是解题的关键.9.2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“π（Day ）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中正确的是（）A. ②③B. ①③C. ①④D. ②④ 【答案】A【解析】【分析】圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可．【详解】解：①圆周率是一个有理数，错误；②π是一个无限不循环小数，因此圆周率是一个无理数，说法正确；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，说法正确；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比，说法错误；故选：A ．【点睛】本题考查了对圆周率的理解，解题的关键是明确其意义，并知道圆周率一个无限不循环小数，3.14只是取它的近似值．10.如图，一块直角三角板的60度的顶点A 与直角顶点C 分别在平行线,FD GH 上，斜边AB 平分CAD ∠，交直线GH 于点E ，则ECB ∠的大小为( )A. 60︒B. 45︒C. 30︒D. 25︒【答案】C【解析】【分析】利用角平分线的性质求得∠DAE的度数，利用平行线的性质求得∠ACE的度数，即可求解．【详解】∵AB平分CAD∠，∠CAB=60︒，∴∠DAE=60︒，∵FD∥GH，∴∠ACE+∠CAD=180︒，∴∠ACE=180︒-∠CAB-∠DAE=60︒，∵∠ACB=90︒，∴∠ECB=90︒-∠ACE=30︒，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．11.随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（）A.40050030x x=-B.40050030x x=+C.40050030x x=-D.40050030x x=+【答案】B【解析】【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间=工作总量÷工作效率，再结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程．【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：40050030x x =+．故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．12.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p 与加工煎炸的时间t （单位：分钟）近似满足函数关系式：2p at bt c =++（0,a ≠a ，b ，c 为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )A. 3.50分钟B. 4.05分钟C. 3.75分钟D. 4.25分钟【答案】C【解析】【分析】将图中三个坐标代入函数关系式解出a 和b ,再利用对称轴公式求出即可．【详解】将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入2p at bt c =++得:0.8930.91640.6255a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩①②③②－①和③－②得0.1=70.39a b a b +⎧⎨-=+⎩④⑤ ⑤－④得0.4=2a -,解得a =﹣0.2．将a =﹣0.2．代入④可得b =1.5．对称轴= 1.5 3.7522(0.2)b a --==⨯-．故选C ．【点睛】本题考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a 和b 即可得出答案．二、填空题13.长沙地铁3号线、5号线即将运行，为了解市民每周乘地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到了如下的统计表：这次调查的众数和中位数分别是___________________________．【答案】5、5【解析】【分析】根据众数和中位数的概念计算即可．【详解】从表格中可得人数最多的次数是5,故众数为5．100÷2=50,即中位数为从小到大排列的第50位,故中位数为5．故答案为5、5．【点睛】本题考查众数和中位数的计算,关键在于熟练掌握基础概念．14.某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A ，B ，C 三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：第一步，A 同学拿出三张扑克牌给B 同学；第二步，C 同学拿出三张扑克牌给B 同学；第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B 同学就拿出多少张扑克牌给A 同学，请你确定，最终B 同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________．【答案】9【解析】【分析】把每个同学的扑克牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案．【详解】设每个同学扑克牌的数量都是x ；第一步，A 同学的扑克牌的数量是3x -，B 同学的扑克牌的数量是3x +；第二步，B 同学的扑克牌的数量是33x ++，C 同学的扑克牌的数量是3x -；第三步，A 同学的扑克牌的数量是2(3x -)，B 同学的扑克牌的数量是33x ++-(3x -)；∴B 同学手中剩余的扑克牌的数量是：33x ++-(3x -)9=．故答案为：9．【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，解决此题的关键根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．15.若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是_____．【答案】3π．【解析】【分析】先求得圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式S =12lR 求得答案即可．【详解】解：圆锥的底面周长为：2×π×1＝2π，侧面积为：12×2π×3＝3π．故答案为：3π．【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算：正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．16.如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动，（点P 与M ，N 不重合）,PQ MN NE ⊥平分MNP ∠，交PM 于点E ，交PQ 于点F ．(1) PF PE PQ PM+=___________________． (2)若2PN PM PN =⋅，则MQ NQ=___________________．【答案】 (1). 1 (2). 1【解析】【分析】(1)过E 作GE MN ⊥于G ，可得90NGE ∠=︒，根据圆周角的性质可得90MPN ∠=︒，又NE 平分MNP ∠，根据角平分线的性质可得PE GE =；由PNE MNE ∠=∠，90PNE PEN ∠+∠=︒ ，90MNE QFN ∠+∠=︒，且QFN PFE ∠=∠，根据“等角的余角相等”可得PEN PFE ∠=∠ ，再根据等腰三角形的性质“等角对等边”可得PE PF =，即有GE PF =；由PQ MN ⊥，GE MN ⊥，可得//GE PQ ，从而可得在PMQ 中有EM GE PM PQ=，将EM PM PE =-、PE GE =、GE PF =代入可得，PM PF PF PM PQ -=，既而可求得PF PE PQ PM+的值．(2) 由2PN PM PN =⋅得PN PM =，又PQ MN ⊥，根据等腰三角形的性质可得PQ 平分MN ，即MQ NQ =，从而可求得MQ NQ．【详解】(1)如图所示，过E 作GE MN ⊥于G ，则90NGE ∠=︒，∵MN 为半圆的直径，∴90MPN ∠=︒，又∵NE 平分MNP ∠，90NGE ∠=︒,∴PE GE =．∵NE 平分MNP ∠，∴PNE MNE ∠=∠，∵90EPN FQN ∠=∠=︒，∴90,90PNE PEN MNE QFN ∠+∠=︒∠+∠=︒,又QFN PFE ∠=∠，∴90,90PNE PEN MNE PFE ∠+∠=︒∠+∠=︒，又∵PNE MNE ∠=∠，∴PEN PFE ∠=∠，∴PE PF =,又∵PE GE =，∴GE PF =．∵PQ MN ⊥，GE MN ⊥，∴//GE PQ ，∴在PMQ 中，EM GE PM PQ=, 又∵EM PM PE =-,∴PM PE GE PM PQ -=，∴将GE PF =，PE PF =，代入PM PE GE PM PQ-=得，PM PF PF PM PQ -=, ∴1PF PE PM PF PF PQ PM PM PM-+=+=，即1PF PE PQ PM+=． (2)∵2PN PM PN =⋅，∴PN PM =，又∵PQ MN ⊥，∴PQ 平分MN ，即MQ NQ =, ∴1MQ NQ=，故答案为：(1) 1PF PE PQ PM +=；(2) 1MQ NQ=．【点睛】本题综合考查了圆周角的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例的性质等知识．(1)中解题的关键是利用角平分线的性质和等腰三角形的性质求得GE PF =，PE PF =，再通过平行线分线段成比例的性质得到EM GE PM PQ=，进行等量代换和化简后即可得解；(2)中解题的关键是利用等腰三角形的性质得到MQ NQ =，即可得解．三、解答题17.计算：)10131454-︒⎛⎫--++ ⎪⎝⎭ 【答案】7【解析】【分析】根据绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式和负整数指数幂的运算法则分别对每项进行化简，再进行加减计算即可．【详解】解：)10131454-︒⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=3114-++=7【点睛】本题考查实数的混合运算、熟练掌握绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式和负整数指数幂的运算法则是解题的关键．18.先化简，再求值22296923x x x x x x x +-⋅--++-，其中4x = 【答案】33x -,3 【解析】【分析】先将代数式化简,再代入值求解即可．【详解】()()()22233292336923233333x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-++⋅-=⋅-=-=-++-+-----．将x=4代入可得:原式=333343x ==--．【点睛】本题考查代数式的化简求值,关键在于熟练掌握平方差公式和完全平方公式．19.人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：AOB ∠求作：AOB ∠的平分线做法：（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ，（2）分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在AOB ∠的内部相交于点C （3）画射线OC ，射线OC 即为所求．请你根据提供的材料完成下面问题：（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．①SSS ②SAS ③AAS ④ASA（2）请你证明OC 为AOB ∠的平分线．【答案】（1）①；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据作图的过程知道：OM=ON ，OC=OC ，CM=CM ，由“SSS ”可以证得△EOC ≌△DOC ；（2）根据作图的过程知道：OM=ON ，OC=OC ，CM=CM ，由全等三角形的判定定理SSS 可以证得△EOC ≌△DOC ，从而得到OC 为AOB ∠的平分线．【详解】（1）根据作图的过程知道：OM=ON ，OC=OC ，CM=CM ，所以由全等三角形的判定定理SSS 可以证得△EOC ≌△DOC ，从而得到OC 为AOB ∠的平分线；故答案为：①；（2）如图，连接MC 、NC ．根据作图的过程知，在△MOC 与△NOC 中，OM ON OC OC CM CN ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△MOC ≌△NOC （SSS ），∠AOC=∠BOC ，∴OC 为AOB ∠的平分线．【点睛】本题考查了作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL ．20.2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”，为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如下统计图表：（1）这次调查活动共抽取___________人；（2）_________;____________m n ==．（3）请将条形图补充完整（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．【答案】（1）200；（2）86，27；（3）图形见解析；（4）810人【解析】【分析】（1）用“1次及以下”的人数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数；（2）总人数乘以“3次”所占的百分比可得m 的值，“4次及以上”的人数除以总人数可得n%的值，即可求得n 的值；（3）总人数乘以“2次”所占的百分比可得“2次”的人数，再补全条形统计图即可；（4）用全校总人数乘以“4次及以上”所占的百分比即可．【详解】解：（1）这次调查活动共抽取：20÷10%＝200（人）故答案为：200．（2）m=200×43%=86（人），n%=54÷200=27%，n=27，故答案为：86，27．（3）200×20%=40（人），补全图形如下：（4）∵“4次及以上”所占的百分比为27%，∴3000×27%=810（人）．答：该校一周劳动4次及以上的学生人数大约有810人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及由样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上的一点，AD 与过点C 的直线互相垂直，垂足为D ，AC 平分DAB ∠．（1）求证：DC 为O 的切线；（2）若3,3AD DC ==，求O 的半径．【答案】（1）详见解析；（2）2【解析】【分析】（1）连接OC ，利用角平分线的性质及同圆半径相等的性质求出∠DAC=∠OCA ，得到AD ∥OC ，即可得到OC ⊥CD 得到结论；（2）连接BC ，先求出3tan CD DAC AD ∠==得到∠CAB=∠DAC=30°，AC=2CD=23再根据AB 为O 的直径得到∠ACB=90°，再利用三角函数求出AB.【详解】（1）连接OC ，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，∵AC 平分DAB ∠，∴∠DAC=∠OAC ，∴∠DAC=∠OCA ，∴AD ∥OC ，∴∠ADC+∠OCD=180°，∵AD ⊥CD ，∴∠ADC=90°，∴∠OCD=90°，∴OC ⊥CD ，∴DC 为O 的切线；（2）连接BC ，在Rt △ACD 中，∠ADC=90°，3,3AD DC ==，∴3tan CD DAC AD ∠==， ∴∠DAC=30°，∴∠CAB=∠DAC=30°，AC=2CD=23，∵AB 是O 的直径，∴∠ACB=90°，∴AB=4cos AC CAB =∠， ∴O 的半径为2.【点睛】此题考查角平分线的性质定理，圆的切线的判定定理，圆周角定理，锐角三角函数，直角三角形30°角的性质，正确连接辅助线解题是此题的关键.22.今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A ，B 两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区，具体运算情况如下：第一批第二批 A 型货车的辆数（单位：辆） 1 2（1）求A ，B 两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资；（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A 型号货车，试问至少还需联系多少辆B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．【答案】（1）A ，B 两种型号货车每辆满载分别能运10吨，6吨生活物资；（2）6.【解析】【分析】（1）设A ，B 两种型号货车每辆满载分别能运x ，y 吨生活物资，根据条件建立方程组求出其解即可；（2）设还需联系m 辆B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据题中的不等关系列出不等式解答即可．【详解】解：（1）设A ，B 两种型号货车每辆满载分别能运x ，y 吨生活物资依题意，得328,2550,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得10,6,x y =⎧⎨=⎩∴A ，B 两种型号货车每辆满载分别能运10吨，6吨生活物资（2）设还需联系m 辆B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地依题意，得310662.4m ⨯+≥.解得m ≥5.4又m 为整数，∴m 最小取6∴至少还需联系6辆B 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，一元一次不等式的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．23.在矩形ABCD 中，E 为DC 上的一点，把ADE ∆沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．（1）求证：ABF FCE ∆∆（2）若4AB AD ==，求EC 的长；（3）若2AE DE EC -=，记,BAF FAE αβ∠=∠=，求tan tan αβ+的值．【答案】（1）证明过程见解析；（223；（323．【解析】【分析】（1）只要证明∠B=∠C=90°，∠BAF=∠EFC 即可；（2）因为△AFE 是△ADE 翻折得到的，得到AF=AD=4，根据勾股定理可得BF 的长，从而得到CF 的长，根据△ABF ∽△FCE ，得到CE CF BF AB=，从而求出EC 的长；（3）根据△ABF ∽△FCE ，得到∠CEF=∠BAF=α，所以tan α+tan β=BF EF CE EF AB AF CF AF+=+，设CE=1，DE=x ，可得到AE ，AB ，AD 的长，根据△ABF ∽△FCE ，得到AB CF AF EF=，将求出的值代入化简会得到关于x 的一元二次方程，解之即可求出x 的值，然后可求出CE ，CF ，EF ，AF 的值，代入tan α+tan β=CE EF CF AF +即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴∠AFB+∠BAF=90°，∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90°，∴∠BAF=∠CFE ，∴△ABF ∽△FCE ．（2）解：∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴AF=AD=4，∴BF=()22224232AF AB -=-=，∴CF=BC-BF=AD-BF=2，由（1）得△ABF ∽△FCE ，∴CE CF BF AB=，∴223CE=，∴EC=233．（3）解：由（1）得△ABF∽△FCE，∴∠CEF=∠BAF=α，∴tanα+tanβ=BF EF CE EFAB AF CF AF+=+，设CE=1，DE=x，∵2AE DE EC-=，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，2244AE DE x-=+∵△ABF∽△FCE，∴AB CFAF EF=，2144xxx-=+，211121x x xxx++-=+，∴112xx+=，∴21x x=-，∴x2-4x+4=0，解得x=2，∴CE=1，213x-，EF=x=2，2244AE DE x-=+23∴tan α+tan β=CE EF CF AF +3=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会运用方程的思想思考问题．24.我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打“×” ①2y x =（） ②m y (m 0)x=≠（） ③31y x =-（）（2）若点()1,A m 与点(),4B n -关于x 的“H 函数” ()20y ax bx c a =++≠的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，求,,a b c 的值域或取值范围；（3）若关于x 的“H 函数” 223y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①0a b c ++=，②(2)(23)0c b a c b a +-++<，求该H 函数截x 轴得到的线段长度的取值范围．【答案】（1）√；√；×；（2）-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜0；（3）2＜12x x -＜．【解析】【分析】（1）根据“H 函数”的定义即可判断；（2）先根据题意可求出m,n 的取值，代入()20y ax bx c a =++≠得到a,b,c 的关系，再根据对称轴在x=2的右侧即可求解；（3）设“H 点”为（p,q ）和（-p,-q ）,代入223y ax bx c =++得到ap 2+3c=0,2bp=q ，得到a,c 异号，再根据a+b+c=0，代入(2)(23)0c b a c b a +-++<求出c a 的取值，设函数与x 轴的交点为（x 1,0）（x 2,0），t=c a，利用根与系数的关系得到12x x -=解．【详解】（1）①2y x =是 “H 函数”②m y (m 0)x =≠是 “H 函数”③31y x =-不是 “H 函数”；故答案为：√；√；×；（2）∵A,B 是“H 点”∴A,B 关于原点对称，∴m=4,n=1∴A(1,4），B （-1，-4）代入()20y ax bx c a =++≠得44a b c a b c ++=⎧⎨-+=-⎩解得40b ac =⎧⎨+=⎩ 又∵该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，∴-2b a＞2 ∴-42a ＞2 ∴-1＜a ＜0∵a+c=0∴0＜c ＜0，综上，-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜0；（3）∵223y ax bx c =++是“H 函数”∴设H 点为（p,q ）和（-p,-q ）, 代入得222323ap bp c q ap bp c q ⎧++=⎨-+=-⎩解得ap 2+3c=0,2bp=q∵p 2＞0∴a,c 异号，∴ac ＜0∵a+b+c=0∴b=-a-c ，∵(2)(23)0c b a c b a +-++<∴(2)(23)0c a c a c a c a -----+<∴(2)(2)0c a c a -+<∴c 2＜4a 2∴22c a＜4 ∴-2＜c a＜2 ∴-2＜c a＜0 设t=c a ，则-2＜t ＜0 设函数与x 轴的交点为（x 1,0）（x 2,0）∴x 1, x 2是方程223ax bx c ++=0的两根∴12x x -== 又∵-2＜t ＜0∴2＜12x x -＜．【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的性质及根与系数的关系．25.如图，半径为4的O 中，弦AB 的长度为点C 是劣弧AB 上的一个动点，点D 是弦AC 的中点，点E 是弦BC 的中点，连接DE ，OD ，OE ．（1）求AOB ∠的度数；（2）当点C 沿着劣弧AB 从点A 开始，逆时针运动到点B 时，求ODE ∆的外心P 所经过的路径的长度；（3）分别记,ODE CDE ∆∆的面积为12,S S ，当221221S S -=时，求弦AC 的长度．【答案】（1）120AOB ∠=︒；（2）43π；（3）153AC =-或153AC =+．【解析】【分析】（1）过O 作OH ⊥AB 于H ，由垂径定理可知AH 的长，然后通过三角函数即可得到OAB ∠，从而可得到AOB ∠的度数；（2）连接OC ，取OC 的中点G ，连接DG 、EG ，可得到O 、D 、C 、E 四点共圆，G 为△ODE 的外心，然后用弧长公式即可算出外心P 所经过的路径的长度；（3）作CN ∥AB 交圆O 于N ，作CF ⊥AB 交AB 于F ，交DE 于P ，作OM ⊥CN 交CN 于M ，交DE 于Q ，交AB 于H ，连接OC ，分别表示出ODE ∆，CDE ∆的面积为1S ，2S ，由221221S S -=可算出72OM =，然后可利用勾股定理求出结果．【详解】解：（1）如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，∵3AB =∴1232AH AB == ∴233AH cos OAH AO ===∠ ∴30OAH =︒∠，∵OA OB =，∴30OBH OAH ==︒∠∠，∴1803030120AOB =︒-︒-︒=︒∠；（2）如图，连接OC ，取OC 的中点G ，连接DG 、EG ，∵D 是弦AC 的中点，点E 是弦BC 的中点，OA OB OC ==，∴OD ⊥AC ，OE ⊥BC ，即∠ODC=∠OEC=90°， ∴122OG DG GE GC OC =====， ∴O 、D 、C 、E 四点共圆，G 为△ODE 的外心，∴G 在以O 为圆心，2为半径的圆上运动，∵120AOB ∠=︒，∴运动路径长为120241803ππ⨯=；（3）当点C 靠近A 点时，如图，作CN ∥AB 交圆O 于N ，作CF ⊥AB 交AB 于F ，交DE 于P ，作OM ⊥CN 交CN 于M ，交DE 于Q ，交AB 于H ，连接OC ，∵D 是弦AC 的中点，点E 是弦BC 的中点，∴1232DE AB == ∵30OAH =︒∠，4OA =，∴OH=2，设1OQ h =，2CP h =，由题可知12OM h h =+，12OH h h =-， ∴1112S DE h =⨯⨯，2212S DE h =⨯⨯， ∴()12121211112222S S DE h DE h DE h h DE OM +=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+=⨯⨯ ()12121211112222S S DE h DE h DE h h DE OH -=⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-=⨯⨯ ∵()()2212121221S S S S S S -=+-=，∴112122DE OM DE OH ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即1122122OM ⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得72OM =，∴2CM ==，即2FH =，由于AH =∴2AF =，又∵73222CF MH OM OH ==-=-=，∴AC ==同理当点C 靠近B 点时，可知AC ==综上所述，AC =AC =【点睛】本题是圆的综合问题，题目相对较难，属于中考压轴题类型，理解题意并能准确画出辅助线是解题的关键．。

2020年中考数学复习专题之二次函数的综合应用问题

二次函数的综合应用二次函数的实际应用（1）增长率问题一月a增长率为x 二月a(1+x)增长率为x三月a(1+x)2（2）利润问题在这个模型中，利润=（售价-成本）×销量（3）面积问题矩形面积=长×宽材料总长a 矩形长x矩形宽1(a-2x)2题型一二次函数的应用—销售问题例7.某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件)与销售单价x（元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=-20x+800，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设该公司每月获得利润为w（元)，求每月获得利润w（元)与销售单价x（元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；【答案与解析】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）•y＝（x﹣15）•（﹣20x+800）＝﹣20x2+1100x﹣12000，即w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）；（2）对于函数w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）的图象的对称轴是直线x＝27.5又∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下．∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，∴当x＝24时，W＝2880，答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．变式训练1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y元．（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？【思路点拨】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解；【答案与解析】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，∵20+2x≥44，∴x≥12，∵y随x的增大而减小，∴当x＝12时，获利最大值1232；答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴x＝10或x＝20，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，当10≤x≤20时，y≥1200，答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元.变式训练2.为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y（元)与x(m2)的函1数关系图象如图所示，栽花所需费用y（元)与x(m2)的函数关系式为2xy=-0.01x2-20x+30000(0剟1000)．2（1）求 y （元 ) 与 x(m 2) 的函数关系式；1（2）设这块1000m 2 空地的绿化总费用为W （元 ) ，请利用W 与 x 的函数关系式，求绿化总费用 W 的最大值．【思路点拨】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式（2）总费用为 W ＝y 1+y 2，列出函数关系式即可求解【答案与解析】解：（1）依题意当 0≤x≤600 时，y 1＝k 1x ，将点（600，18000）代入得 18000＝600k 1，解得 k 1＝30∴y 1＝30x当 600＜x≤1000 时，y 1＝k 2x+b ，将点（600，18000），（1000，26000）代入得，解得∴y 1＝20x+600综上，y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式为：（2）总费用为：W ＝y 1+y 2∴W＝整理得故绿化总费用 W 的最大值为 32500 元.变式训练 3.某公司生产的某种商品每件成本为 20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天内的日销售量 m （件 ) 与时间 t （天 ) 的关系如下表：时间 t （天 ) 1 3 5 10 36日销售量 m94 90 86 76 24（件 )未来 40 天内，前 20 天每天的价格 y 1（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为 y 1＝ t +25（1≤t ≤20 且 t 为整数），后20 天每天的价格 y 2（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为y 2＝﹣ t +40（21≤t ≤40 且 t 为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的 m （件 ) 与 t （天 ) 之间的表达式；（2）请预测未来 40 天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【思路点拨】（1）从表格可看出每天比前一天少销售 2 件，所以判断为一次函数关系式；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前 20 天和后 20 天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．【答案与解析】解：（1）经分析知：m 与 t 成一次函数关系．设 m ＝kt+b （k≠0），将 t ＝1，m ＝94，t ＝3，m ＝90代入，解得，∴m＝﹣2t+96；（2）前 20 天日销售利润为 P 1 元，后 20 天日销售利润为 P 2 元，则 P 1＝（﹣2t+96）（ t+25﹣20）＝﹣ （t ﹣14）2+578，∴当 t ＝14 时，P 1 有最大值，为 578 元．P 2＝（﹣2t+96）•（ t+40﹣20）＝﹣t 2+8t+1920＝（t ﹣44）2﹣16，∵当 21≤t≤40 时，P 2 随 t 的增大而减小，∴t＝21 时，P 2 有最大值，为 513 元． ∵513＜578，∴第 14 天日销售利润最大，最大利润为 578 元．题型二二次函数的应用—面积问题例 8.如图，用 30m 长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m ，设矩形的宽 AB为xm．（1）用含x的代数式表示矩形的长BC；（2）设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围；（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？【思路点拨】（1）设菜园的宽AB为xm，于是得到BC为（30﹣2x）m；（2）由面积公式写出y与x的函数关系式，进而求出x的取值范围；（3）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．【答案与解析】解：（1）∵AB＝CD＝xm，∴BC＝（30﹣2x）m；（2）由题意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；（3）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，∴当x＝7.5时，S有最大值，S＝112.5，最大此时这个矩形的长为15m、宽为7.5m．答：这个矩形的长、宽各为15m、7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．变式训练1.为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？【思路点拨】（1）三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，可知：2BC+8FC＝120，即FC＝，即可求解；（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675即可求解．【答案与解析】解：（1）∵三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，∴BC×DF＝BC×FC，∴2FC＝DC，2BC+8FC＝120，∴FC＝，∴y与x之间的函数关系式为y＝3FC×BC＝x（120﹣2x），即y＝﹣x2+45x，（0＜x＜60）；（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675可知：当BC为30米是，养殖区ABCD面积最大，最大面积为675平方米．变式训练 2.如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为米．（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．【思路点拨】（1）根据题意可得DG＝2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为64，进而可得矩形苗圃AEFG的面积为64，进而可得：﹣2x2+8x+64＝64再解方程即可；（3）根据二次函数的性质即可得到结论．【答案与解析】解：（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，故答案为：y＝﹣2x2+8x+64；（2）根据题意可得：﹣2x2+8x+64＝64，解得：x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），答：BE的长为4米；故答案为：y＝﹣2x2+8x+64（0＜x＜8）；（3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72，所以当x＝2时，y有最大值，∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．变式训练3.如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m)，用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB的长为x(m)，面积为y(m2)．（1）若y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；（2）若要围成的花圃的面积为45m2，则AB的长应为多少？【思路点拨】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式以及x的取值范围；（2）令y＝45代入（1）中的函数解析式，即可求得x的值，注意x的取值范围．【答案与解析】解：（1）由题意可得，y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，∵24﹣3x≤10，3x＜24，解得，x≥∴且x＜8，，即y与x之间的函数表达式是y＝﹣3x2+24x（（2）当y＝45时，45＝﹣3x2+24x，解得，x1＝3（舍去），x2＝5，答：AB的长应为5m．题型三二次函数的应用—抛物线问题）；例9.如图，已知排球场的长度O D为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.4米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.6米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.4米时，对方距离球网0.4m的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）【思路点拨】（1）根据此时抛物线顶点坐标为（6，3.4），设解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，再将点C坐标代入即可求得；由解析式求得x＝9.4时y的值，与他起跳后的最大高度为3.1米比较即可得；（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C坐标代入得到用h表示a的式子，再根据球既要过球网，又不出边界即x＝9时，y＞2.4且x＝18时，y≤0得出关于h的不等式组，解之即可得．【答案与解析】解：（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（6，3.4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，将点C（0，1.6）代入，得：36a+3.4＝1.6，解得：a＝﹣，∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y＝﹣（x﹣6）2+；由题意当x＝9.5时，y＝﹣（9.4﹣6）2+≈2.8＜3.1，故这次她可以拦网成功；（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C（0，1.6）代入，得：36a+h＝1.6，即a＝∴此时抛物线解析式为y＝（x﹣6）2+h，，变式训练1.一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=-x2+运行，然后准确落入篮筐内，根据题意，得：，解得：h≥3.025，答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．1752已知篮筐的中心距离底面的距离为3.05m．（1）求球在空中运行的最大高度为多少m？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？【思路点拨】（1）由抛物线的顶点坐标即可得；（2）分别求出y＝3.05和y＝2.25时x的值即可得出答案．【答案与解析】解：（1）∵y＝﹣x2+的顶点坐标为（0，），∴球在空中运行的最大高度为m；（2）当y＝3.05时，﹣0.2x2+3.5＝3.05，解得：x＝±1.5，∵x＞0，∴x＝1.5；当y＝2.25时，﹣0.2x2+3.5＝2.25，解得：x＝2.5或x＝﹣2.5，由1.5+2.5＝4（m），故他距离篮筐中心的水平距离是4米．变式训练2.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=-124时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的O水平距离为7m，离地面的高度为处时，乙扣球成功，求a的值．125m的Q【思路点拨】（1）①将点P（0，1）代入y＝﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x＝5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．【答案与解析】解：（1）①当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）2+h，将点P（0，1）代入，得：﹣解得：h＝；×16+h＝1，②把x＝5代入y＝﹣∵1.625＞1.55，∴此球能过网；（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，（2）把（0，1）、（7，，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：解得：，∴a＝﹣．变式训练3.小明跳起投篮，球出手时离地面20m，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并9在距出手点水平距离4m处达到最高4m．已知篮筐中心距地面3m，与球出手时的水平距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．)若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为3.19m，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？【思路点拨】（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，由球出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；（2）先计算当x＝8时，y的值是否等于3，把x＝8代入得：y＝，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣＝个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心；（3）将由y＝3.19代入函数的解析式求得x值，进而得出答案．【答案与解析】（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，）代入，得a（0﹣4）2+4＝，解得a＝﹣，∴所求的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+4；（2）令x＝8，得y＝﹣（8﹣4）2+4＝∴抛物线不过点（8，3），故不能正中篮筐中心；≠3，＝∵抛物线过点（8，），∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移 7/9 个单位长度，故小明需向上多跳 m 再投篮（即球出手时距离地面 3 米）方可使球正中篮筐中心．（3）由（1）求得的函数解析式，当 y ＝3.19 时，3.19＝﹣19（x ﹣4）2+4解得：x 1＝6.7（不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效），x 2＝1.3∴球员乙距离甲球员距离小于 1.3 米时，即可盖帽成功．题型四二次函数与图形面积的综合例 10.如图，抛物线 y = a(x + 1)2的顶点为 A ，与 y 轴的负半轴交于点 B ，且 OB = OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 C (-3,b ) 在该抛物线上，求 S∆ABC 的值．【思路点拨】（1）由抛物线解析式确定出顶点 A 坐标，根据 OA ＝OB 确定出 B 坐标，将 B坐标代入解析式求出 a 的值，即可确定出解析式；（2）将 C 坐标代入抛物线解析式求出 b 的值，确定出 C 坐标，过 C 作 CD 垂直于 x 轴，三角形 ABC 面积＝梯形 OBCD 面积﹣三角形 ACD 面积﹣三角形 AOB 面积，求出即可．【答案与解析】解：（1）由题意得：A （﹣1，0），B （0，﹣1），将 x ＝0，y ＝﹣1 代入抛物线解析式得：a ＝﹣1，则抛物线解析式为 y ＝﹣（x+1）2＝﹣x 2﹣2x ﹣1；（2）过 C 作 CD⊥x 轴，将 C （﹣3，b ）代入抛物线解析式得：b ＝﹣4，即 C （﹣3，﹣4），则 △S ABC ＝S 梯形 OBCD △﹣S ACD △﹣S A OB ×3×（4+1）﹣ ×4×2﹣ ×1×1＝3．变式训练1.如图，已知二次函数图象的顶点为(1,-3)，并经过点C(2,0)．（1）求该二次函数的解析式；（2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和∆AOB的面积；【思路点拨】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由待定系数法就可以求出结论；（2）由抛物线的解析式与一次函数的解析式构成方程组，求出其解即可求出B的坐标，进而可以求出直线AB的解析式，就可以求出AB与x轴的交点坐标，就可以求出△AOB的面积；【答案与解析】解：（1）抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由题意，得0＝a（2﹣1）2﹣3，解得：a＝3，∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2﹣3；（2）由题意，得，解得：．∵交点不是原点，∴B（3，9）．如图2，设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意，得，△+S，△+S△+S解得：，∴y＝6x﹣9．当y＝0时，y＝1.5．∴E（1.5，0），∴OE＝1.5，△∴SAOB＝SA OE BOE＝+，＝9．答：B（3，9），△AOB的面积为9；变式训练2.如图，抛物线y=x2+x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．【思路点拨】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．求出直线AC的解析式即可解决问题．（3）过点M作MN⊥x轴与点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN＝x+2，0N＝﹣x，0B＝1，0C＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，根据S四边形ABCM△＝SAOM OCM BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【答案与解析】解：（1）由y＝0，得x2+x﹣2＝0解得x＝﹣2x＝l，∴A（﹣2，0），B（l，0），由x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．△+S + ＝设直线 AC 为 y ＝kx+b ，则﹣2k+b ＝0，b ＝﹣2：得 k ＝﹣l ，y ＝﹣x ﹣2．对称轴为 x ＝﹣ ，当 x ＝﹣ 时，y ＝_（﹣ ）﹣2＝﹣ ，∴P（﹣ ，﹣ ）．（3）过点 M 作 MN⊥x 轴与点 N ，设点 M （x ，x 2+x ﹣2），则 AN ＝x+2，0N ＝﹣x ，0B ＝1，0C ＝2，MN ＝﹣（x 2+x ﹣2）＝﹣x 2﹣x+2，S四边形 ABCM△＝S AOM OCM △S BOC （x+2）（﹣x 2﹣x+2）+ （2﹣x 2﹣x+2）（﹣x ）+ ×1× 2＝﹣x 2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4．∵﹣1＜0，∴当 x ＝_l 时，S 四边形 ABCM 的最大值为 4．变式训练 3.如图，二次函数 y = ax 2 + b x 的图象经过点 A(2,4) 与 B(6,0) ．（1）求 a ， b 的值；（2）点 C 是该二次函数图象上 A ， B 两点之间的一动点，横坐标为 x (2 < x < 6) ，写出四边形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值．△＝△＝△＝△+S△+S【思路点拨】（1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值．【答案与解析】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2+bx，得，解得：；（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD、CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x 轴，垂足分别为E，F，SOADOD•AD＝×2×4＝4；SACDAD•CE＝×4×（x﹣2）＝2x﹣4；SBCDBD•CF＝×4×（﹣x2+3x）＝﹣x2+6x，则S＝SOAD ACD BCD＝4+2x﹣4﹣x2+6x＝﹣x2+8x，∴S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+8x（2＜x＜6），∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．。

2020年山东省德州市中考数学试题及参考答案(word解析版)

山东省德州市2020年初中学业水平考试数学试题（全卷满分150分，考试时间为120分钟）第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．|﹣2020|的结果是（）A．B．2020 C．﹣D．﹣20202．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．6a﹣5a＝1 B．a2•a3＝a5C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．a6÷a2＝a34．如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（）A．主视图B．主视图和左视图C．主视图和俯视图D．左视图和俯视图5．为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：一周做饭次数 4 5 6 7 8 人数7 6 12 10 5 那么一周内该班学生的平均做饭次数为（）A．4 B．5 C．6 D．76．如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）A．80米B．96米C．64米D．48米7．函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．8．下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2 B．a＜﹣2 C．a＞2 D．a≤210．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．24﹣4π B．12+4π C．24+8π D．24+4π11．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2B．3a+c＝0C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根D．当x≥0时，y随x的增大而减小12．如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148 B．152 C．174 D．202第Ⅱ卷（非选择题共102分）二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．﹣＝．14．若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是度．15．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为．16．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为．17．如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝+2，AD＝．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A'ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是﹣2；②弧D'D″的长度是π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是．三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（8分）先化简：（），然后选择一个合适的x值代入求值．20．（10分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：（1）本次比赛参赛选手共有人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为；（2）补全图2频数直方图；（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．21．（10分）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A 的俯角为60°，求楼房的高度．22．（12分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．23．（12分）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．（1）超市B型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y 关于x的函数关系式．（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？24．（12分）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：；（2）AD的取值范围是；方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．（4）如图3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段PA与PM的数量关系为，其理由为：．（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标…（﹣2，0）（0，0）（2，0）（4，0）…P的坐标…（0，﹣1）（2，﹣2）…猜想：（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是．验证：（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：（5）如图3，点B（﹣1，），C（1，），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标y D的取值范围．答案与解析第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．|﹣2020|的结果是（）A．B．2020 C．﹣D．﹣2020【知识考点】绝对值．【思路分析】根据绝对值的性质直接解答即可．【解题过程】解：|﹣2020|＝2020；故选：B．【总结归纳】此题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键，是一道基础题．2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【知识考点】轴对称图形；中心对称图形．【思路分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解题过程】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项不合题意；B、是中心对称图形但不是轴对称图形．故此选项符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项不合题意．故选：B．【总结归纳】此题主要中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．下列运算正确的是（）A．6a﹣5a＝1 B．a2•a3＝a5C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．a6÷a2＝a3【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】利用整式的四则运算法则分别计算，可得出答案．【解题过程】解：6a﹣5a＝a，因此选项A不符合题意；a2•a3＝a5，因此选项B符合题意；（﹣2a）2＝4a2，因此选项C不符合题意；a6÷a2＝a6﹣2＝a4，因此选项D不符合题意；故选：B．【总结归纳】考查整式的意义和运算，掌握运算法则是正确计算的前提．4．如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（）A．主视图B．主视图和左视图C．主视图和俯视图D．左视图和俯视图【知识考点】简单组合体的三视图．【思路分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．【解题过程】解：图1主视图第一层三个正方形，第二层左边一个正方形；图2主视图第一层三个正方形，第二层右边一个正方形；故主视图发生变化；左视图都是第一层两个正方形，第二层左边一个正方形，故左视图不变；俯视图都是底层左边是一个正方形，上层是三个正方形，故俯视图不变．∴不改变的是左视图和俯视图．故选：D．【总结归纳】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．5．为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：一周做饭次数 4 5 6 7 8 人数7 6 12 10 5 那么一周内该班学生的平均做饭次数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【知识考点】加权平均数．【思路分析】利用加权平均数的计算方法进行计算即可．【解题过程】解：＝＝6（次），故选：C．【总结归纳】本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义是正确解答的前提．6．如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）A．80米B．96米C．64米D．48米【知识考点】多边形内角与外角．【思路分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解题过程】解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，所以一共走了8×8＝64（米）．故选：C．【总结归纳】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．7．函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【知识考点】一次函数的图象；反比例函数的图象．【思路分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．【解题过程】解：在函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）中，当k＞0时，函数y＝的图象在第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，当k＜0时，函数y＝的图象在第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，故选：D．【总结归纳】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．8．下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【知识考点】命题与定理．【思路分析】根据平行四边形的判定、菱形的判定、正方形和矩形的判定判断即可．【解题过程】解：①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题；④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；故选：B．【总结归纳】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．9．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2 B．a＜﹣2 C．a＞2 D．a≤2【知识考点】解一元一次不等式组．【思路分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为x≤2可得关于a的不等式，解之可得．【解题过程】解：解不等式组，由①可得：x＜2，由②可得：x＜a，因为关于x的不等式组的解集是x＜2，所以，a≥2，故选：A．【总结归纳】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．24﹣4πB．12+4πC．24+8πD．24+4π【知识考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．【思路分析】设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB的面积，再根据S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）求解即可．【解题过程】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．由题意，OA＝OB＝AB＝4，∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，∴S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（•π•22﹣π+4）＝24﹣4π，故选：A．【总结归纳】本题考查正多边形和圆，扇形的面积，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2B．3a+c＝0C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根D．当x≥0时，y随x的增大而减小【知识考点】根的判别式；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【思路分析】根据二次函数的图象和性质分别对各个选项进行判断即可．【解题过程】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＜0，∴点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（﹣2，y1）与（4，y1）是对称点，∵当x＞1时，函数y随x增大而减小，故A选项不符合题意；把点（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0①，9a+3b+c＝0②，①×3+②得：12a+4c＝0，∴3a+c＝0，故B选项不符合题意；当y＝﹣2时，y＝ax2+bx+c＝﹣2，由图象得：纵坐标为﹣2的点有2个，∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根，故C选项不符合题意；∵二次函数图象的对称轴为x＝1，a＜0，∴当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小；故D选项符合题意；故选：D．【总结归纳】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．12．如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148 B．152 C．174 D．202【知识考点】规律型：图形的变化类．【思路分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．【解题过程】解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．【总结归纳】考查了规律型：图形的变化类，观察图形，发现后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共102分）二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．﹣＝．【知识考点】二次根式的加减法．【思路分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．【解题过程】解：原式＝3﹣＝2．故答案为：2．【总结归纳】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，难度一般．14．若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是度．【知识考点】圆锥的计算．【思路分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【解题过程】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π（cm），设圆心角的度数是n度．则＝4π，解得：n＝120．故答案为：120．【总结归纳】此题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．15．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为．【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；位似变换．【思路分析】直接利用位似图形的性质得出A′坐标，进而求出函数解析式．【解题过程】解：∵点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′，∴A′坐标为：（﹣4，2）或（4，﹣2），∵A'恰在某一反比例函数图象上，∴该反比例函数解析式为：y＝．故答案为：y＝．【总结归纳】此题主要考查了位似变换以及待定系数法求反比例函数解析式，正确得出对应点坐标是解题关键．16．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为．【知识考点】解一元二次方程﹣因式分解法；菱形的性质．【思路分析】解方程得出x＝4或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长．【解题过程】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣9x+20＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，解得：x＝4或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．故答案为：20．【总结归纳】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键．17．如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是．【知识考点】利用轴对称设计图案；几何概率．【思路分析】直接利用轴对称图形的性质结合概率求法得出答案．【解题过程】解：如图所示：当分别将1，2位置涂黑，构成的黑色部分图形是轴对称图形，故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是：＝．故答案为：．【总结归纳】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及几何概率，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝+2，AD＝．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A'ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是﹣2；②弧D'D″的长度是π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是．【知识考点】四边形综合题．【思路分析】由折叠的性质可得∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，可证四边形ADED'是正方形，可得AD＝AD'＝D'E＝DE＝，AE＝AD＝，∠EAD'＝∠AED'＝45°，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得AE＝A'E＝，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，可求A'F＝﹣2，可判断①；由锐角三角函数可求∠FED'＝30°，由弧长公式可求弧D'D″的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可求∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∠A'AF＝7.5°，可判断③；由“HL”可证Rt△ED'G≌Rt△ED''G，可得∴∠D'GE＝∠D''GE＝52.5°，可证△AFA'∽△EFG，可判断④，即可求解．【解题过程】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，∴∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，∴四边形ADED'是矩形，又∵AD＝AD'＝，∴四边形ADED'是正方形，∴AD＝AD'＝D'E＝DE＝，AE＝AD＝，∠EAD'＝∠AED'＝45°，∴D'B＝AB﹣AD'＝2，∵点F是BD'中点，∴D'F＝1，∴EF＝＝＝2，∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，∴AE＝A'E＝，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，∴A'F＝﹣2，故①正确；∵tan∠FED'＝＝＝，∴∠FED'＝30°∴α＝30°+45°＝75°，∴弧D'D″的长度＝＝π，故②正确；∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°，∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∴∠A'AF＝7.5°，∵∠AA'F≠∠EA'G，∠AA'E≠∠EA'G，∠AFA'＝120°≠∠EA'G，∴△AA'F与△A'GE不全等，故③错误；∵D'E＝D''E，EG＝EG，∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），∴∠D'GE＝∠D''GE，∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝105°，∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F，又∵∠AFA'＝∠EFG，∴△AFA'∽△EFG，故④正确，故答案为：①②④．【总结归纳】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式，等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（8分）先化简：（），然后选择一个合适的x值代入求值．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解题过程】解：＝＝＝，把x＝1代入．【总结归纳】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．（10分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：（1）本次比赛参赛选手共有人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为；（2）补全图2频数直方图；（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．【知识考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．【思路分析】（1）用“89.5～99.5”的人数除以它们所占的百分比可得到调查的总人数；59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比，即可得出答案；（2）求出“69.5～74.5”这一范围的人数为15﹣8＝7（人），“79.5～84.5”这一范围的人数为18﹣8＝10（人）；补全图2频数直方图即可：（3）求出成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%＝20（人），由88＞84.5，即可得出结论；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．【解题过程】解：（1）本次比赛参赛选手共有：（8+4）÷24%＝50（人），“59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为×100%＝10%，∴79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100%﹣24%﹣10%﹣30%＝36%；故答案为：50，36%；（2）∵“69.5～79.5”这一范围的人数为50×30%＝15（人），∴“69.5～74.5”这一范围的人数为15﹣8＝7（人），∵“79.5～89.5”这一范围的人数为50×36%＝18（人），∴“79.5～84.5”这一范围的人数为18﹣8＝10（人）；补全图2频数直方图：（3）能获奖．理由如下：∵本次比赛参赛选手50人，∴成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%＝20（人），又∵88＞84.5，∴能获奖；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，所以恰好选中1男1女的概率＝＝．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．21．（10分）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A 的俯角为60°，求楼房的高度．【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】过B作BE⊥CD交CD于E，由题意得，∠CBE＝30°，∠CAD＝60°，解直角三角形即可得到结论．【解题过程】解：过B作BE⊥CD交CD于E，由题意得，∠CBE＝30°，∠CAD＝60°，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan60°＝＝，∴AD＝＝20，∴BE＝AD＝20，在Rt△BCE中，tan∠CBE＝tan30°＝＝，∴CE＝20＝20，∴ED＝CD﹣CE＝60﹣20＝40，∴AB＝ED＝40（米），答：楼房的高度为40米．【总结归纳】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，用到的知识点是俯角的定义、特殊角的三角函数值，关键是作出辅助线，构造直角三角形．22．（12分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．【知识考点】圆周角定理；切线的判定与性质．【思路分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠AOD＝AOB＝90°，根据平行线的性质得到∠ODH＝90°，于是得到结论；（2）连接CD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝90°，推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB＝10，解直角三角形得到AC＝＝8，求得∠CAD＝∠DBH，根据平行线的性质得到∠BDH＝∠OBD＝45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解题过程】（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，∴∠AOD＝AOB＝90°，∵DH∥AB，∴∠ODH＝90°，∴OD⊥DH，∴直线DH是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵点D是半圆AB的中点，∴＝，∴AD＝DB，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB＝10，∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×＝5，∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠DBH+∠CBD＝180°，∴∠CAD＝∠DBH，由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，∴∠ACD＝45°，∵DH∥AB，∴∠BDH＝∠OBD＝45°，∴∠ACD＝∠BDH，∴△ACD∽△BDH，∴，∴＝，解得：BH＝．【总结归纳】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（12分）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．（1）超市B型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y 关于x的函数关系式．（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？【知识考点】分式方程的应用；一次函数的应用．【思路分析】（1）设超市B型画笔单价为a元，则A型画笔单价为（a﹣2）元．根据等量关系：第一次花60元买A型画笔的支数＝第二次花100元买B型画笔的支数列出方程，求解即可；（2）根据超市给出的优惠方案，分x≤20与x＞20两种情况进行讨论，利用售价＝单价×数量分别列出y关于x的函数关系式；（3）将y＝270分别代入（2）中所求的函数解析式，根据x的范围确定答案．【解题过程】解：（1）设超市B型画笔单价为a元，则A型画笔单价为（a﹣2）元．根据题意得，＝，解得a＝5．经检验，a＝5是原方程的解．答：超市B型画笔单价为5元；（2）由题意知，当小刚购买的B型画笔支数x≤20时，费用为y＝0.9×5x＝4.5x，当小刚购买的B型画笔支数x＞20时，费用为y＝0.9×5×20+0.8×5（x﹣20）＝4x+10．所以，y关于x的函数关系式为y＝（其中x是正整数）；（3）当4.5x＝270时，解得x＝60，∵60＞20，∴x＝60不合题意，舍去；当4x+10＝270时，解得x＝65，符合题意．答：若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买65支B型画笔．【总结归纳】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用等知识，解题的关键是：（1）理解题意找到等量关系列出方程；（2）理解超市给出的优惠方案，进行分类讨论，得出函数关系式；（3）根据函数关系式中自变量的取值范围对答案进行取舍．24．（12分）问题探究：。

2020年中考数学二轮专题——二次函数与几何图形综合(压轴)题型(含详细解答)

2020年中考数学二轮专题——二次函数与几何图形综合（压轴）题型一、基础过关1. (2019宿迁)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO.求点P的坐标；(3)如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM＋DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．第1题图2. (2019贺州)如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(－1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象经过A，B，C三点．(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P 的坐标及PD的最大值．第2题图二、能力提升1. (2019菏泽)如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C (0，－2)，点A 的坐标是(2，0)，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线x ＝－1.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 在第二象限内，且PE ＝14OD ，求△PBE 的面积；(3)在(2)的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图三、满分冲关1. (2019襄阳)如图，在直角坐标系中，直线y ＝－12x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点B ，点C ，对称轴为x＝1的抛物线过B , C 两点，且交x 轴于另一点A ，连接A C.(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标和抛物线的解析式；(2)已知点P 为第一象限内抛物线上一点，当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标； (3)抛物线上是否存在一点Q (点C 除外)，使以点Q ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2、(2019滨州)如图①，抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D .(1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点． ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠P AD 的值．3、(2019金牛区一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的两个交点分别为A (－3，0)、B (1，0)，与y 轴交于点D (0，3)，过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H .(1)求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；(2)连接AD 、CD ，若点E 为抛物线上一动点(点E 与顶点C 不重合)，当△ADE 与△ACD 面积相等时，求点E 的坐标；(3)若点P 为抛物线上一动点(点P 与顶点C 不重合)，过点P 向CD 所在的直线作垂线，垂足为点Q ，以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△ACH 相似时，求点P 的坐标．第1题图备用图参考答案一、基础过关1. 解：(1)把A (1，0)，C (0，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得，⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝－3， ∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3；(2)如解图，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′C ，作AD ⊥A ′C 于点D ， ∴点A ′的坐标为(－1，0)，则AA ′＝2，OC ＝3，A ′C ＝10， ∵S △A ′AC ＝12AA ′·OC ＝12A ′C ·AD ，∴AD ＝AA ′·OC A ′C ＝3105，在Rt △A ′AD 中，∵A ′D 2＋AD 2＝A ′A 2， ∴A ′D 2＋(3105)2＝22.解得A ′D ＝105(负值已舍去)， ∴DC ＝4105，∴tan ∠ACA ′＝AD DC ＝34. 由对称可得∠ACD ＝2∠ACO ，则∠P AB ＝∠ACA ′，设P (a ，a 2＋2a －3)，①如解图，当点P 在x 轴的上方时，作P 1H 1⊥x 轴于点H 1， ∴tan ∠P 1AB ＝P 1H 1AH 1＝a 2＋2a －31－a ＝34，解得a 1＝1(舍)，a 2＝－154，把a ＝－154代入得P (－154，5716)；②如解图，当点P 在x 轴的下方时，作P 2H 2⊥x 轴于点H 2， ∴tan ∠P 2AB ＝P 2H 2AH 2＝－a 2－2a ＋31－a ＝34，解得a 3＝1(舍)，a 4＝－94，把a ＝－94代入得P (－94，－3916)，综上所述，点P 的坐标为(－154，5716)或(－94，－3916)；第1题解图(3)是．设Q (m ，m 2＋2m －3)，则－3＜m ＜1. 设直线AQ 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，把A (1，0)，Q (m ，m 2＋2m －3)，代入解析式解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝m ＋3b 1＝m －3， ∴y ＝(m ＋3)x －m －3，当x ＝－1时，y ＝－2m －6，设直线BQ 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，把B (－3，0)，Q (m ，m 2＋2m －3)代入y ＝k 2x ＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝m －1b 2＝3m －3，∴y ＝(m －1)x ＋3m －3，当x ＝－1时，y ＝2m －2， ∴DM ＝2m ＋6，DN ＝－2m ＋2， ∴DM ＋DN ＝2m ＋6－2m ＋2＝8. 2. 解：(1)∵B (－1，0)， ∴OB ＝1.又∵OA ＝OC ＝4OB ， ∴OA ＝OC ＝4， ∴A (4，0)，C (0，－4)；(2)将A 、B 、C 三点坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得，⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝0a －b ＋c ＝0c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3c ＝－4， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x －4；(3)如解图，过点P 作PE ⊥x 轴交AC 于点E ， ∴PE ∥y 轴． ∵OA ＝OC ，∴∠PED ＝∠OCA ＝45°， ∴△DEP 为等腰直角三角形， ∴PD ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PD 取得最大值，易得直线AC 的解析式为y ＝x －4，设P (x ，x 2－3x －4)，则E (x ，x －4)，则PE ＝(x －4)－(x 2－3x －4)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∵0＜x ＜4，∴当x ＝2时，PE 取得最大值，最大值为4，此时PD 取得最大值，最大值为4×22＝22，∴点P 的坐标为(2，－6)．第2题解图二、能力提升1. 解：(1)∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为(2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝－1， ∴点B 的坐标为(－4，0)．∴设抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋4)(x －2)，将点C (0，－2)代入得－8a ＝－2，解得a ＝14.∴抛物线的函数表达式为y ＝14(x ＋4)(x －2)＝14x 2＋12x －2；(2)设点P 的坐标为(x ，14x 2＋12x －2)，则点D 的坐标为(x ，0)，设BC 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b ，将B (－4，0)，C (0，－2)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝－2， ∴BC 所在直线的表达式为y ＝－12x －2.∴点E 的坐标为(x ，－12x －2)．∴PE ＝14x 2＋x .∵PE ＝14OD ，∴14x 2＋x ＝－14x ，即14x 2＋54x ＝0，解得x ＝－5或x ＝0(舍)． ∴PE ＝54，BD ＝1，∴S △PBE ＝12PE ·BD ＝12×54×1＝58；(3)存在．①当DM ＝DB ＝1时，如解图①，过点M 作MF ⊥x 轴于点F ，设M (m ，－12m －2)，则MF ＝－12m －2，DF ＝－m －5，∵MF 2＋DF 2＝DM 2，∴(－12m －2)2＋(－m －5)2＝1，解得m ＝－285或m ＝－4(舍去)．∴点M 的坐标为(－285，45)；第1题解图①②当BD ＝BM ＝1时，如解图②，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ， ∵DE ⊥x 轴， ∴DE ∥MN ，∴BN ∶BD ＝BM ∶BE ，∴BN ∶1＝1∶BE . ∵E (－5，12)，∴DE ＝12，∴BE ＝52， ∴BN ∶1＝1∶52，解得BN ＝255. ∴点M 的横坐标为－4－255，将x ＝－4－255代入y ＝－12x －2，得y ＝55，即点M 的坐标为(－4－255，55)．综上所述，点M 的坐标为(－285，45)或(－4－255，55)．第1题解图②三、满分冲关1. 解：(1)A (－4，0)，B (6，0)，C (0，3)，抛物线的解析式为y ＝－18x 2＋14x ＋3；【解法提示】令y ＝－12x ＋3＝0，解得x ＝6，令x ＝0，得y ＝3，∴B (6，0)，C (0，3)．∵抛物线的对称轴为x ＝1，且过点B 、A ，∴抛物线与x 轴的另一交点A 坐标为(－4，0)，设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋4)(x －6)，将点C (0，3)代入得－24a ＝3，解得a ＝－18.∴y ＝－18(x ＋4)(x －6)＝－18x 2＋14x ＋3(2)如解图①，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，交BC 于点Q ，过点P 作PH ⊥BC 于点H . ∵OC ＝3，OB ＝6， ∴BC ＝OC 2＋OB 2＝3 5. 又∵∠HQP ＝∠GQB ， ∴∠HPQ ＝∠CBO ， ∴sin ∠HPQ ＝sin ∠CBO ＝55. 故点P 到直线BC 的距离最大，即PQ 最大．设P (m ，－18m 2＋14m ＋3)，Q (m ，－12m ＋3)，∴PQ ＝－18m 2＋14m ＋3－(－12m ＋3)＝－18(m －3)2＋98.∵－18＜0，∴当m ＝3时，PQ 有最大值为98.∴P (3，218)；第1题解图①(3)存在．由(1)得A (－4，0)、B (6，0)、C (0，3)， ∴AB ＝10，AC ＝32＋42＝5. 分为两种情况分类讨论：①当△ABC ∽△AQB 时，如解图②所示． ∴AC AB ＝ABAQ，∠CAB ＝∠BAQ . ∴AQ ＝AB 2AC ＝1025＝20，过点Q 作QD ⊥x 轴，垂足为点D ， ∴QD ＝AQ ·sin ∠BAQ ＝20×35＝12，AD ＝AQ ·cos ∠BAQ ＝20×45＝16.∴Q (12，－12)．第1题解图②②当△ABC ∽△BQA 时，如解图③所示， ∴AB BQ ＝ACAB，∠CAB ＝∠ABQ . ∴BQ ＝AB 2AC＝20，过点Q 作QE ⊥x 轴，垂足为E ，同理可得QE ＝BQ ·sin ∠ABQ ＝20×35＝12，BE ＝BQ ·cos ∠ABQ ＝20×45＝16， ∴Q (－10，－12)．综上所述，点Q 的坐标是(12，－12)或(－10，－12)．第1题解图③2、解：(1)抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4，令x ＝0，可得A 点的坐标为(0，4)，令y ＝0，可得B 点的坐标为(－4，0)，C 点的坐标为(8，0)．易得直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋4，∵OA ＝OB ，∴∠BAO ＝45°.又∵直线AD 由直线AB 逆时针旋转90°而来，∴∠BAD ＝90°，∴∠OAD ＝45°，△OAD 为等腰直角三角形，∴OD ＝OA ＝4，D (4，0)，易得直线AD 的函数解析式为y ＝－x ＋4；(2)①如解图①，过点P 作PE ⊥x 轴交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，第1题解图①易得△PEF 为等腰直角三角形，∴PF ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PF 取得最大值，设P (x ，－18x 2＋12x ＋4)，则E (x ，－x ＋4)，∴PE ＝－18x 2＋12x ＋4－(－x ＋4)＝－18x 2＋32x ＝－18(x －6)2＋92， ∴当x ＝6时，PE 有最大值92，此时PF 有最大值924， ∴当x ＝6时，－18x 2＋12x ＋4＝52， ∴当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标为(6，52)，最大距离为924； ②如解图②，连接AP ，过点P 作PE ⊥x 轴，交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，当点P 到AD 的距离为524时，PF ＝524，则此时PE ＝2PF ＝52，将PE ＝52代入PE ＝－18(x －6)2＋92中，解得x 1＝10，x 2＝2，∴此时点P 的坐标为(10，－72)或(2，92)，当点P 的坐标为(2，92)时，AP ＝22＋（92－4）2＝172， ∴sin ∠P AD ＝524172＝53434；当点P 的坐标为(10，－72)时， AP ＝102＋（－72－4）2＝252， ∴sin ∠P AD ＝PF AP ＝524252＝210. 综上，sin ∠P AD 的值是53434或210.3、1. 解：(1)把点A 、B 、D 的坐标分别代入抛物线的解析式中得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝09a －3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a＝－1， ∴点C 的坐标为(－1，4)；(2)如解图①，过点C 作CE ∥AD 交抛物线于点E ，交y 轴于点T ，则△ADE 与△ACD 面积相等，直线AD 过点D ，设其解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得：0＝－3m ＋3，解得m ＝1，则直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∵CE ∥AD ，设直线CE 的解析式为y ＝x ＋n ，将点C 的坐标代入上式得：4＝－1＋n ，解得n ＝5，则直线CE 的解析式为y ＝x ＋5，则点T 的坐标为(0，5)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋5，解得x ＝－1或x ＝－2(x ＝－1为点C 的横坐标)，即点E 的坐标为(－2，3)；在y 轴取一点H ′，使DT ＝DH ′＝2，过点H ′作直线E ′E ″∥AD ，则△ADE ′和△ADE ″都与△ACD 面积相等，同理可得直线E ′E ″的解析式为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋1，解得x ＝－3±172， ∴点E ″、E ′的坐标分别为(－3＋172，－1＋172)、(－3－172，－1－172)，综上，满足要求的点E 的坐标为(－2，3)或(－3＋172，－1＋172)或(－3－172，－1－172)；第1题解图①(3)如解图②，设点P 的坐标为(m ，n )，则n ＝－m 2－2m ＋3，把点C 、D 的坐标代入一次函数的解析式y ＝kx ＋b 得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝－k ＋b b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3，即直线CD 的解析式为y ＝－x ＋3，由(1)得，直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∴AD ⊥CD ，而直线PQ ⊥CD ，故直线PQ 的解析式中的k 值与直线AD 的解析式中的k 值相同，同理可得直线PQ 的解析式为y ＝x ＋(n －m )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝x ＋（n －m ），解得x ＝3＋m －n 2，即点Q 的坐标为(3＋m －n 2，3－m ＋n 2)，则PQ 2＝(m －3＋m －n 2)2＋(n －3－m ＋n 2)2＝（m ＋n －3）22＝12(m ＋1)2·m 2，同理可得：PC 2＝(m ＋1)2[1＋(m ＋1)2]，AH ＝2，CH ＝4，则AC ＝25，当△ACH ∽△CPQ 时，PC PQ ＝AC CH ＝52，即4PC 2＝5PQ 2，整理得3m 2＋16m ＋16＝0，解得m ＝－4或m ＝－43， ∴点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)；当△ACH ∽△PCQ 时，同理可得，点P 的坐标为(－23，359)或(2，－5)，综上所述，点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)或(－23，359)或(2，－5)．第1题解图②。

2024中考备考重难点01 二次函数与几何的综合训练(9大题型+限时分层检测)

重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。

所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。

2020中考数学考点必杀30题(填空题-压轴)(解析版)

2020中考考点必杀500题专练06（填空题-压轴）（30道）1．（2020·广东省初三一模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过点（12，0）和（m ，y ），对称轴为直线x ＝﹣1，下列5个结论：其中正确的结论为_____．（注：只填写正确结论的序号）①abc ＞0；①a +2b +4c ＝0；①2a ﹣b ＞0；①3b +2c ＞0；①a ﹣b ≥m （am ﹣b ）【答案】②②．【解析】解：②抛物线开口向上 ②0a >②抛物线对称轴为直线12bx a=-=- ②2b a =，则20a b -=，所以②错误； ②0b >②抛物线与y 轴的交点在x 轴下方 ②0c <②0abc <，所以②错误； ②12x =时，0y =②11042a b c ++=，即240a b c ++=，所以②正确； ②12a b =，0a b c ++> ②1202b bc ++>，即320b c +>，所以②正确； ②1x =-时，函数值最小②()21a b c m a mb c m -+≤-+≠②()a b m am b -≤-，所以②错误．故答案是：②② 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质，灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式． 2．（2020·南昌二中高新校区初三期中）给出下列命题及函数y=x ，y=x 2和y=1x的图象．（如图所示） ①如果1a＞a ＞a 2，那么0＜a ＜1； ①如果a 2＞a ＞1a，那么a ＞1； ①如果a ＞a 2＞1a，那么﹣1＜a ＜0； ①如果a 2＞1a＞a ，那么a ＜﹣1，则正确的是_____（填序号）【答案】②② 【解析】由图象可知，当反比例函数图象在最上面，二次函数图象在最下面时，自变量的取值范围是0＜x ＜1，则②正确；当二次函数图象在最上面，反比例函数图象在最下面时，自变量的取值范围是x ＞1和﹣1＜a ＜0，则②错误；没有一次函数图象在最上面，反比例函数图象在最下面的可以性，则②错误；当二次函数图象在最上面，一次函数图象在最下面时，自变量的取值范围是x ＜-1，则②正确，故答案为②②.3．（2020·重庆西南大学附中初三期末）已知二次函数()2223y m x mx m =-++-的图象与x 轴有两个交点()()12,0,,0x x ，则下列说法正确的有：_________________．(填序号) ①该二次函数的图象一定过定点()1,5--；①若该函数图象开口向下，则m 的取值范围为：625m <<； ①当2,m >且12x ≤≤时，y 的最大值为45m -；①当2,m >且该函数图象与x 轴两交点的横坐标12,x x 满足1232,10x x -<<--<<时，m 的取值范围为：21114m <<．【答案】①②④【解析】由题目中2(2)23y m x mx m =-++-可知：2a m =- ，2b m =，3c m =-，由题意二次函数图象与x 轴有两个交点，则：22444(2)(3)20240b ac m m m m ∆=-=---=->，即65m >， ②将1x =-代入二次函数解析式中，(2)235y m m m =--+-=-，则点(1,5)--在函数图象上，故正确；②若二次函数开口向下，则20m -<，解得2m <，且65m >，所以m 的取值范围为：625m <<，故正确；②当2m >时，20m ->，即二次函数开口向上，对称轴221122(2)2b m x a m m =-=-=--<---，对称轴在1x =-左侧，则当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大，当2x =时有最大值，4(2)43911y m m m m =-++-=-，故错误；②当2m >时，20m ->，即二次函数开口向上， ②132x -<<-，②当3x =-时，0y >，2x =-时，0y <，即()()9263042430m m m m m m ⎧--+->⎪⎨--+-<⎪⎩，解得：21114m <<， ②210x -<<，②当1x =-时，0y <，0x =时，0y >，即223030m m m m --+-<⎧⎨->⎩，解得：3m >，综上，21114m <<，故正确．故答案为：②②②．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，以及利用不等式组求字母取值范围，熟练掌握二次函数各系数与图象之间的关系是解题的关键．4．（2019·广东省金山中学初三月考）我们定义一种新函数：形如2y ax bx c =++（0a ≠，且240b a ->）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x 2-2x -3|223y x x =--的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为()1,0-，()3,0和()0,3；①图象具有对称性，对称轴是直线1x =；①当11x -≤≤或3x ≥时，函数值y 随x 值的增大而增大；①当1x =-或3x =时，函数的最小值是0；①当1x =时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是______.【答案】4 【解析】解：②②()1,0-，()3,0和()0,3坐标都满足函数223y x x =--，②②是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线1x =，因此②也是正确的；②根据函数的图象和性质，发现当11x -≤≤或3x ≥时，函数值y 随x 值的增大而增大，因此②也是正确的； ②函数图象的最低点就是与x 轴的两个交点，根据0y =，求出相应的x 的值为1x =-或3x =，因此②也是正确的；②从图象上看，当1x <-或3x >，函数值要大于当1x =时的2234y x x =--=，因此②是不正确的；故答案是：4【点睛】理解“鹊桥”函数2y ax bx c =++的意义，掌握“鹊桥”函数与2y ax bx c =++与二次函数2y ax bx c=++之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数2y ax bx c =++与x 轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握. 5．（2020·浙江省初三期末）如图，抛物线21322y x x =--的图象与坐标轴交于点A 、B 、D ，顶点为E ，以AB 为直径画半圆交y 轴的正半轴于点C ，圆心为M ，P 是半圆AB 上的一动点，连接EP ，N 是PE 的中点，当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是__________．【答案】π 【解析】解：22131(1)2222yx xx ，②点E 的坐标为（1，-2），令y=0，则213022x x =--，解得，11x =-，23x =， ②A （-1，0），B （3,0）， ②AB=4，由于E 为定点，P 是半圆AB 上的动点，N 为EP 的中点，所以N 的运动路经为直径为2的半圆，如图， ②点N 运动的路径长是12=2ππ⨯⨯.【点睛】本题属于二次函数和圆的综合问题，考查了运动路径的问题，熟练掌握二次函数和圆的基础是解题的关键. 6．（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线21322y x x =--的图象与坐标轴交于点A ，B ，D ，顶点为E ，以AB 为直径画半圆交y 正半轴交于点C ，圆心为M ，P 是半圆上的一动点，连接EP ．①点E 在①M 的内部；①CD 的长为32+①若P 与C 重合，则①DPE ＝15°；①在P 的运动过程中，若AP，则PE N 是PE 的中点，当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是2π．其中结论正确的是______________【答案】②②② 【解析】解：抛物线21322y x x =--的图象与坐标轴交于点A ，B ，D ，则点A 、B 、D 的坐标分别为：（-1，0）、（3，0）、（0，-32），则点M （1，0），顶点E 的坐标为：（1，-2），AB=4，CO=3，OD=32，故点D 不在②M 上； ②ME=2=AM ，②E 应该在②M 上，故不符合题；②C 是圆M 与y 轴交点，圆M 半径为2，M （1，0）由勾股定理得OC=3， CD=2×32=3，故CD 的长为332+，符合题意； ②如图1，连接DP 、ME ，点D 、E 均在②M 上，过点D 作DH②ME 于H ， ②DH=1，MD=R=2，故②DME=30°，则②DPE=15°，符合题意；②如图2，连接PB、PA、AE，②点B、E均在圆上，则②ABP=②AEP=α，sin②AEP=sin②ABP=AP6AB==sinα，则cosα=10，过点A作AK垂直于PE于K，则AK=AEsinα=22×64=3，EK=AEcosα═5，则PK=AK=3，故则PE=53+，符合题意；②如图3，图中实点G、N、M、F是点N运动中所处的位置，则GF是等腰直角三角形的中位线，GF=12AB=2，ME交AB于点R，则四边形GEFM为正方形，当点P在半圆任意位置时，中点为N，连接MN，则MN②PE，连接NR，则NR=12ME=MR=RE=RG=RF=12GF=1，则点N的运动轨迹为以R为圆心的半圆，则N运动的路径长=12×2πr=π，故不符合题意；故答案为：②②②．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，关键在于确定抛物线上有的点也同时在圆上即可，本题综合性强，难度较大．7．（2020·全国初二课时练习）如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与B ，C 重合），过点C 作CN 垂直DM 交AB 于点N ，连结OM ，ON ，MN .下列五个结论：①CNB DMC ∆≅∆；①ON OM =；①ON OM ⊥；①若2AB =，则OMN S ∆的最小值是1；①222AN CM MN +=.其中正确结论是_________.（只填序号）【答案】②②②② 【解析】②正方形ABCD 中，CD=BC ，②BCD=90°， ②②BCN+②DCN=90°，又②CN②DM ， ②②CDM+②DCN=90°， ②②BCN=②CDM ，又②②CBN=②DCM=90°，②②CNB②②DMC （ASA ），故②正确；根据②CNB②②DMC ，可得CM=BN ，又②②OCM=②OBN=45°，OC=OB ， ②②OCM②②OBN （SAS ）， ②OM=ON ，故②正确； ②②OCM②②OBN ②②COM=②BON②②COM+②BOM=②BON+②BOM=90°②ON②OM故②正确；②②OCM②②OBN，②四边形BMON的面积=②BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，②当②MNB的面积最大时，②MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2-x，②②MNB的面积=12x（2-x）=-12x2+x，②当x=1时，②MNB的面积有最大值12，此时S②OMN的最小值是1-12=12，故②不正确；②AB=BC，CM=BN，②BM=AN，又②Rt②BMN中，BM2+BN2=MN2，②AN2+CM2=MN2，故②正确；点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．8．（2020·安徽省初三其他）如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M、N，给出下列结论：①①AME=108°，①AN2=AM•AD；①MN=3①S①EBC1，其中正确的结论是_________（把你认为正确结论的序号都填上）．【答案】②②②【解析】解：②②BAE =②AED =108°．②AB =AE =DE ，②②ABE =②AEB =②EAD =36°，②②AME =180°﹣②EAM ﹣②AEM =108°，故②正确；②②AEN =108°﹣36°=72°，②ANE =36°+36°=72°，②②AEN =②ANE ，②AE =AN ，同理DE =DM ，②AE =DM ．②②EAD =②AEM =②ADE =36°，②②AEM ②②ADE ②AE AD =AM AE，②AE 2=AM •AD ； ②AN 2=AM •AD ；故②正确；②AE 2=AM •AD ，②22=（2﹣MN ）（4﹣MN ），解得：MN =3②正确；在正五边形ABCDE 中，②BE =CE =AD ②BH =12BC =1，②EH ，②S ②EBC =12BC •EH =12，故②错误；故答案为②②②．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．9．（2019·黑龙江省初三二模）如图，在ABC ∆中，D 在边BC 上，点E F 、在边AC 上，,, 75, 60AF BD AE DE ADF CDE ︒︒==∠=∠=，连接AD ， ,6,BF AD DF ==，则线段BF 的长为__________【答案】【解析】解：如图，过点F 作FG DF ，且32DF FG ，连接DG ，AG ，过点D 作DH AG ⊥于H ，32DF FG ，FG DF ，6DG，45FDG ∠=︒， 6AD DG ，120ADG ∠=︒，且DH AG ⊥，30DAG DGA，AH GH =， 132DH AD ，333AH DH ，63AG ，AE DE =，EADADE ， 180105AFDADF DAE DAE ， 195AFG AFD DFG DAE ，EDFADF ADE 75EDF DAE ，180()195BDFCDE EDF DAE ， BDF AFG ，且BD AF =，DF FG =，()AFG BDF SAS 63BF AG ，故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．10．（2020·青海省初三其他）如图，在Rt①AOB 中，①AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝4，①O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作①O 的一条切线PC （点C 为切点），则线段PC 长的最小值为_____．【答案】5【解析】连接OP 、OC ，如图所示，②PC 是②O 的切线，②OC②PC ，根据勾股定理知：PC 2＝OP 2﹣OC 2，②当PO②AB 时，线段PC 最短，②在Rt②AOB 中，OA ＝3，OB ＝4，②AB ＝5，②②S ②AOB ＝12OA•OB ＝12AB•OP ，即OP ＝345⨯＝125， ②OC ＝2，②PC 5，故答案为：5．【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．11．（2019·四川省初三二模）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，在ABC ∆内一点P ，已知123∠=∠=∠，将BCP ∆以直线PC 为对称轴翻折，使点B 与点D 重合，PD 与AB 交于点E ，连结AD ，将APD ∆的面积记为1S ，将BPE ∆的面积记为2S ，则21S S 的值为___________．【答案】12【解析】连结BD ，延长CP 交BD 于点F ，如下图所示：由翻折可知CF BD ⊥，BF DF =，BPF DPF ∠=∠②123∠=∠=∠，ABC ∆为等腰直角三角形，②1290ACP ACP ︒∠+∠=∠+∠=，2345PBC PBC ︒∠+∠=∠+∠=，②90APC ∠=︒，45BPF ∠=︒，②AP BD ∥，45DPF ∠=︒，DF FB PF ==，②90APC CFB PAC FCB AC BC α︒⎧∠=∠=⎪∠=∠=⎨⎪=⎩②APC CFB ∆∆≌，②AP CF =，CP BF PF ==，②AP BD =，②四边形ADBP 为平行四边形， ②2112S S =．【点睛】本题考查三角形全等的判断，以及平行四边形的证明，属综合中档题.12．（2020·山东省济南山大名师培训学校初三月考）如图，边长一定的正方形ABCD ，Q 是CD 上一动点，AQ 交BD 于点M ，过M 作MN①AQ 交BC 于N 点，作NP①BD 于点P ，连接NQ ，下列结论：①AM=MN ；①MP=12BD ；①BN+DQ=NQ ；①AB BN BM+为定值．其中一定成立的是_______．【答案】②②②②【解析】解：②如图1，作AU②NQ 于U ，交BD 于H ，连接AN ，AC ，②②AMN=②ABC=90°，②A ，B ，N ，M 四点共圆，②②NAM=②DBC=45°,②ANM=②ABD=45°，②②ANM=②NAM=45°，②AM=MN ；②由同角的余角相等知，②HAM=②PMN ，②Rt②AHM②Rt②MPN ， ②MP=AH=12AC=12BD ； ②②②BAN+②QAD=②NAQ=45°，②在②NAM 作AU=AB=AD ，且使②BAN=②NAU ，②DAQ=②QAU ，②②ABN②②UAN,②DAQ②②UAQ ，有②UAN=②UAQ ，BN=NU ，DQ=UQ ，②点U 在NQ 上，有BN+DQ=QU+UN=NQ ；②如图2，作MS②AB ，垂足为S ，作MW②BC ，垂足为W ，点M 是对角线BD 上的点，②四边形SMWB 是正方形，有MS=MW=BS=BW ，②②AMS②②NMW②AS=NW ，②AB+BN=SB+BW=2BW ，②BW:BM=1: ，②AB BN BM +==故答案为②②②②．【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质；熟练掌握正方形的性质，正确作出辅助线并运用有关知识理清图形中西安段间的关系，证明三角形全等是解决问题的关键．13．（2020·山东省初三月考）如图，在矩形ABCD 中，3AD =.将A ∠向内翻折，点A 落在BC 上，记为A '，折痕为DE .若将B 沿EA '向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B '，则AB =______．【解析】解：四边形ABCD 为矩形，90ADC C B ∴∠=∠=∠=︒，AB DC =，由翻折知，AED ∆≅②A ED '，②A BE '≅②A B E ''，90A B E B A B D ''''∠=∠=∠=︒，AED A ED '∴∠=∠，A EB A EB '''∠=∠，BE B E '=，1180603AED A ED A EB ''∴∠=∠=∠=⨯︒=︒， 9030ADE AED ∴∠=︒-∠=︒，9030A DE A EB '''∠=︒-∠=︒，30ADE A DE A DC ''∴∠=∠=∠=︒，又90C A B D ''∠=∠=︒，DA DA ''=，∴②()DB A DCA AAS '''≅∆，DC DB '∴=，在Rt AED ∆中，30ADE ∠=︒，3AD =，AE ∴设AB DC x ==，则BE B E x '==222AE AD DE +=，2223(x x ∴+=+，解得，1x =，2x =【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明60AED A ED A EB ''∠=∠=∠=︒．14．（2020·山东省初二期中）如图，在□ABCD 中，AB =10，BC =5，BN 平分①ABC 交CD 于点N ，交AD 的延长线于点M ，则下列结论：①DM =5；①线段BM 、CD 互相平分；①BD ①AM ；①①BCN 是等边三角形；①AN ①BM ，其中正确的有______________（填序号）．【答案】②②②【解析】②②四边形ABCD 是平行四边形②//AM BC ，//DC AB DC AB =，②MDN BCN ∠=∠，CNB ABN ∠=∠②BN 平分②ABC②ABN CBN ∠=∠②CNB CBN ∠=∠②CN CB =②BC =5，AB =10②5CN DN ==在MDN ∆与BCN ∆中MDN BCN DN CNCNB DNM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩②()MND BCN ASA ∆≅∆②5BC DM ==，故②正确；②②MND BCN ∆≅∆②BN MN =又②DN CN =②线段BM 、CD 互相平分，故②正确；②②由四边形ABCD 是平行四边形得55BC AD DM ===，②10AM AB ==但是题中条件不足以证明MB AB =，则无法根据三线合一求证BD ②AM ，故②错误；②由②可知CB CN =，但是无法证明NB CB CN ==，故②错误；②由②得AM AB=，由②得BN MN=，则由三线合一可知AN②BM，故②正确，综上，正确的有②②②，故答案为：②②②.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定，三线合一，角平分线等相关内容，熟练掌握三角形与平行四边形的综合求解方法是解决本题的关键.15．（2018·南京玄武外国语学校初二期中）如图，已知等腰①ABC中，AB=AC，①BAC=120°，AD①BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①①APO+①DCO=30°；①①OPC是等边三角形：①AC=DO+AP；①S①ABC=S四形形AOCP．其中正确的是_______．（填序号）【答案】②②②【解析】解：如图1，连接OB，②AB=AC，AD②BC，②BD=CD，②BAD=12②BAC=12×120°=60°，②OB=OC，②ABC=90°-②BAD=30°②OP=OC，②OB=OC=OP ，②②APO=②ABO ，②DCO=②DBO ，②②APO+②DCO=②ABO+②DBO=②ABD=30°；故②正确；②②APC+②DCP+②PBC=180°，②②APC+②DCP=150°，②②APO+②DCO=30°，②②OPC+②OCP=120°，②②POC=180°-（②OPC+②OCP ）=60°，②OP=OC ，②②OPC 是等边三角形；故②正确；如图2，在AC 上截取AE=PA ，②②PAE=180°-②BAC=60°，②②APE 是等边三角形，②②PEA=②APE=60°，PE=PA ，②②APO+②OPE=60°，②②OPE+②CPE=②CPO=60°，②②APO=②CPE ，②OP=CP ，在②OPA 和②CPE 中，PA PE APO CPE OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，②②OPA②②CPE （SAS ），②AO=CE，②AC=AE+CE=AO+AP；故②错误；如图3，过点C作CH②AB于H，②②PAC=②DAC=60°，AD②BC，②CH=CD，②S②ABC=12 AB•CH，S四边形AOCP=S②ACP+S②AOC=12AP•CH+12OA•CD=12AP•CH+12OA•CH=12CH•（AP+OA）=12 CH•AC，②S②ABC=S四边形AOCP；故②正确．故答案为：②②②.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．16．（2020·广东省初三其他）如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是线段AB、AD上的动点（不与端点重合），且AE＝DF，BF与DE相交于点G．给出如下几个结论：①①AED①①DFB；①①BGE大小会发生变化；①CG 平分①BGD ；①若AF ＝2DF ，则BG ＝6GF ；2BCDG S 四边形⑤．其中正确的结论有_____（填序号）．【答案】②②②．【解析】解：②②ABCD 为菱形，②AB ＝AD ，②AB ＝BD ，②②ABD 为等边三角形，②②A ＝②BDF ＝60°，又②AE ＝DF ，AD ＝BD ，②②AED ②②DFB （SAS ），故本选项②正确；②②②BGE ＝②BDG +②DBF ＝②BDG +②GDF ＝60°，为定值，故本选项②错误；②过点C 作CM ②GB 于M ，CN ②GD 于N （如图1），则②CBM②②CDN（AAS），②CN＝CM，②CG＝CG，②Rt②CNG②Rt②CMG（HL），②②DGC＝②BGC，②CG平分②BGD；故本选项②正确；②过点F作FP②AE交DE于P点（如图2），②AF＝2FD，②FP：AE＝DF：DA＝1：3，②AE＝DF，AB＝AD，②BE＝2AE，②FP：BE＝FP：2AE＝1：6，②FP②AE，②PF②BE，②FG：BG＝FP：BE＝1：6，即BG＝6GF，故本选项②正确；②②②BGE＝②BDG+②DBF＝②BDG+②GDF＝60°＝②BCD，即②BGD +②BCD ＝180°，②点B 、C 、D 、G 四点共圆，②②BGC ＝②BDC ＝60°，②DGC ＝②DBC ＝60°，②②BGC ＝②DGC ＝60°，过点C 作CM ②GB 于M ，CN ②GD 于N （如图1），则②CBM ②②CDN （AAS ），②S 四边形BCDG ＝S 四边形CMGN ，S 四边形CMGN ＝2S ②CMG ，②②CGM ＝60°，②GM ＝12CG ，CM ＝2CG ，②S 四边形CMGN ＝2S ②CMG ＝2×12×CG ×2CG ＝2CG 2，故本选项②错误；综上所述，正确的结论有②②②，共3个，故答案为②②②．【点睛】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造出全等三角形，学会把不规则图形的面积转化为两个全等三角形的面积解决问题．17．（2020·陕西省初三其他）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，①ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，将①AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，点B 恰好为OE 的中点，DE 与BC 交于点F ．若y =kx（k ≠0）图象经过点C ，且S ①BEF ＝1，则k 的值为________．【答案】24【解析】解：如图，连接OC，BD，②将②AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，②OA＝OE，②点B恰好为OE的中点，②OE＝2OB，②OA＝2OB，设OB＝BE＝x，则OA＝2x，②AB＝3x，②四边形ABCD是平行四边形，②CD＝AB＝3x，②CD②AB，②②CDF②②BEF，②133BE EF x CD DF x ===， ②S ②BEF ＝1，②S ②BDF ＝3，S ②CDF ＝9，②S ②BCD ＝12，②S ②CDO ＝S ②BDC ＝12，②k 的值＝2S ②CDO ＝24．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18．（2018·南京玄武外国语学校初二期中）在Rt①ABC 中，①ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将①AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____.【答案】15CP ≤≤【解析】如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小，此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，如图，当点F与点C重合时，CP的值最大，此时CP=AC，Rt②ABC中，②ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP的最大值为5，所以线段CP长的取值范围是1≤CP≤5，故答案为1≤CP≤5.【点睛】本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.19．（2020·江苏省初三期中）如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在①O上运动一周时，点B运动的路径长是_________．【答案】4π【解析】如图，以点A 为旋转中心，将AO 逆时针旋转60°，得到线段AO '，，②②APB 为等边三角形，②AP=AB ，②点P 是以O 为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，②点B 的运动轨迹为以点O '为圆心，2个单位长度为半径的圆，②点B 运动的路径长是224ππ⨯⨯=.【点睛】本题考查等边三角形的性质、点的轨迹，解题的关键是得出点B 的轨迹为以点O '为圆心，2个单位长度为半径的圆.20．（2019·河北省初三二模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，4AC =，点P 是线段AB 上一动点．将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转，得到11A B C ∆．点E 是1A C 上一点，且12A E =，则PE 长度的最小值为_________，最大值为_________．【答案】2- 2【解析】解：90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，4AC =，BC ∴=将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转，得到②11A B C14AC AC ∴==，且12A E = 2CE =∴∴点E 在以C 为圆心，CE 为半径的圆上，如图，当点C ，点E ，点P 共线，且PC AB ⊥时，PE 长度最小，PC AB ⊥，30ABC ∠=︒12PC BC ∴==PE ∴最小值为2当点P 与点B 重合，且点E 在PC 的延长线上时，PE 长度最大，PE ∴最大值为：2故答案为：2，2【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，确定点E的轨迹是本题的关键．21．（2020·哈尔滨德强学校初三一模）如图，Q为正方形ABCD外一点，连接BQ，过点D作DQ①BQ，垂足为Q，G、K分别为AB、BC上的点，连接AK、DG，分别交BQ于F、E，AK①DG，垂足为点H，AF ＝5，DH＝8，F为BQ中点，M为对角线BD的中点，连接HM并延长交正方形于点N，则HN的长为_____．【答案】7【解析】连接AC，则AC必过BD中点M．②四边形ABCD是正方形，②AB＝AD，②BAD＝②ADC＝90°，作BR②AK于R，连接MR，则②ABR +②BAR ＝②BAR +②DAH ＝90°，②②ABR ＝②DAH ，②DG ②AK 于H ，②②DHA ＝②ARB ＝90°，在②ABR 和②DAH 中：ARB DHA ABR DAH AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩②②ABR ②②DAH （AAS ），②BR ＝AH ，AR ＝DH ，②正方形对角线AC 、BD 交于点M ，②AM ＝BM ＝DM ，②BMA ＝②AMD ＝90°，②MBA ＝②MAB ＝②MAD ＝②MDA ＝45°，②②BRA ＝②BMA ，②AHD ＝②AMD ，②A 、B 、R 、M 四点共圆，A 、H 、M 、D 四点共圆，②②ARM ＝②ABM ＝45°，②DHM ＝②DAM ＝45°，②②RHM ＝②RHD ﹣②DHM ＝90°﹣45°＝45°，②②RHM ＝②HRM ＝45°，②②HMR是等腰直角三角形，②OM＝OH＝OR，作MO②HR，则HO＝OR，连接FM，②F为BQ中点，②FM为②BDQ的中位线，②FM②DQ，②DQ②BQ，②FM②BQ，②②BFM＝②BFR+MFO＝90°，又②②BFR+②FBR＝90°，②②FBR＝②MFO，②②MOF＝②FRB＝90°，②②BFR②②FMO，②MOFO＝FRBR，设FH＝x，OM＝OH＝OR＝y，②AF＝5，DH＝8，②BR＝AH＝AF+FH＝5+x，AR＝DH＝AF+FR＝5+x+2y＝8，②FR＝x+2y＝3，②yx y+＝25x yx++，解得：x＝y＝1，②AH＝AF+x＝6，作NP②DG于P，则②PND+②PDN＝②PDN+②ADH＝90°，②②ADH＝②PND，②②AHD＝②DPN＝90°，②②AHD②②DPN，②PDPN＝HAHD＝68＝34，设PD＝3k，PN＝4k，又②②DHM＝45°，②②HPN是等腰直角三角形，②PH＝PN＝4k，HN PH＝k，②DH＝PD+PH＝3k+4k＝7k＝8，②k＝87，②HN故答案为：7．【点睛】四边形综合题，主要考查了正方形的性质、四点共圆的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、中位线等重要知识点．解题关键是构造全等和相似三角形求出FH．22．（2019·山东省初三二模）如图，ABCD、CEFG 是正方形，E 在CD 上，直线BE、DG 交于H，且HE•HB＝4﹣，BD、AF 交于M，当 E 在线段CD（不与C、D 重合）上运动时，下列四个结论：①BE①GD；①AF、GD 所夹的锐角为45°；①GD＝AM；①若BE 平分①DBC，则正方形ABCD的面积为4，其中结论正确的是____（填序号）．【答案】②②②②【解析】解：②②BC=DC，CE=CG，②BCE=②DCG=90°，②②BEC②②DGC，②②EBC=②CDG，②②BDC+②DBH+②EBC=90°，②②BDC+②DBH+②CDG=90°，即BE②GD，故②正确；②由于②BAD、②BCD、②BHD都是直角，因此A、B、C、D、H五点都在以BD为直径的圆上，由圆周角定理知：②DHA=②ABD=45°，故②正确；②由②知：A、B、C、D、H五点共圆，则②BAH=②BDH，又②②ABD=②DBG=45°，②②ABM②②DBG，②AM AB DG BD ==， ②DG =，故②正确；②过H 作HN②CD 于N ，连接EG ，②BH 平分②DBG ，且BH②DG ， BH 垂直平分DG ，②DE=EG ，H 是DG 中点，HN 为②DCG 的中位线，设CG=x ，则HN=12x ，)1EG DE DC BC x ====，， ②HN②CD ，BC②CD ，②HN②BC ，②②NHB=②EBC ，②ENH=②ECB ，②②BEC②②HEN ，②BE BC =EH HN ，即②HE BH=BH⋅-BE BH ⋅=， ②②DBH=②CBE ，且②BHD=②BCE=90°，②②DBH②②EBC ，②DB BC=BE BH ⋅⋅2=②24BC =，②正方形ABCD 的面积为4，故②正确；故答案为：②②②②.【点睛】本题主要考查三角形相似和全等的判定及性质、正方形的性质以及圆周角定理等知识的综合应用，能够判断出A、B、C、D、H五点共圆是解题的关键．23．（2020·北京清华附中初三月考）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE①EF．有下列结论：①①BAE＝30°；①射线FE是①AFC的角平分线；①AE2＝AD•AF；①AF＝AB+CF．其中正确结论为是______．（填写所有正确结论的序号）【答案】②②②【解析】解：②在正方形ABCD中，E是BC的中点，②B＝②C＝90°，②AB＝BC，BE＝12 AB，②tan②B AE＝BEAB＝12，②tan30°②②BAE≠30°，故②错误；②②B＝②C＝90°，AE②EF，②②BAE＋②BEA＝90°，②BEA＋②CEF＝90°，②CFE＋②CEF＝90°，②②BAE＝②CEF，②BEA＝②CFE，②②ABE②②ECF，②AB CE BE CF=②AB＝2BE＝2CE，②EC＝2CF，设CF＝a，则EC＝BE＝2a，AB＝4a，②在Rt②ABE中，AE＝，在Rt②CEF中，EF a，tan②CFE＝2，②tan②AFE＝AEEF＝2，②②AFE＝②CFE，即射线FE是②AFC的角平分线，故②正确；②②AFE＝②CFE，②AEF＝②C，②②EAF＝②CEF，②②BAE＝②CEF，②②BAE＝②EAF，②②ABE②②AEF，②AE AB AF AE=，②AE2＝AB•AF，②AD＝AB，②AE 2＝AD •AF ，故②正确；作EG ②AF 于点G ，②FE 平分②AFC ，②C ＝90°，②EG ＝EC ，②EG ＝EB ，②②B ＝②AGE ＝90°，在Rt②ABE 和Rt②AGE 中AE AE EB EG =⎧⎨=⎩②Rt②ABE ②Rt②AGE （HL ）②AB ＝AG ，又②CF ＝GF ，AF ＝AG ＋GF ，②AF ＝AB ＋CF ，故②正确，由上可得，②②②正确，故答案为：②②②．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．24．（2020·济南育英中学初三一模）如图，正方形ABCD 的边长为1，AC 、BD 是对角线，将①DCB 绕着点D 顺时针旋转45°得到①DGH ，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ．则下列结论：①四边形AEGF 是菱形；①①HED 的面积是1﹣2；①①AFG ＝135°；①BC +FG _____．（填入正确的序号）【答案】②②②【解析】解：正方形ABCD 的边长为1，90BCD BAD ∴∠=∠=︒，45CBD ∠=︒，BD =，1AD CD ==．由旋转的性质可知：90HGD BCD ∠==︒，45H CBD ∠=∠=︒，BD HD =，GD CD =，1HA BG ∴==，45H EBG ∠=∠=︒，90HAE BGE ∠=∠=︒，HAE ∴和BGE 1的等腰直角三角形，AE GE ∴=．在Rt AED 和Rt GED 中，DE DE AD GD =⎧⎨=⎩， Rt AED ∴②()Rt GED HL ，()118067.52AED GED BEG ∴∠=∠=︒-∠=︒，AE GE =， 1801804567.567.5AFE EAF AEF AEF ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒=∠，AE AF ∴=．AE GE =，AF BD ⊥，EG BD ⊥，AF GE ∴=且//AF GE ，∴四边形AEGF 为平行四边形，AE GE =，∴平行四边形AEGF 是菱形，故①正确； 21HA =，45H ∠=︒，1AE ∴=，HED ∴的面积)11111122DH AE =⨯=+=-②正确；四边形AEGF 是菱形，267.5135AFG GEA ∴∠=∠=⨯︒=︒，故③正确；四边形AEGF 是菱形，1FG AE ∴==，11BC FG ∴+=+=④不正确．故答案为：②②②．【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．25．（2020·安徽省初三学业考试）如图，在Rt①ABC 中，①C =90°，AC =10，BC =15，点D ，E ，P 分别是边AC ，AB ；BC 上的点，且AD =4，AE =4EB ．若PDE ∆ 是等腰三角形，则CP 的长是__________．【答案】或143【解析】建立如图平面直角坐标系②AC=10,AD=4②6CD=②()D0,6②过E作EM②BC于M ②EM②AC②BM EM BE1 BC AC AB5 ===②BM=3，EM=2②CM=12②E（12，2）设P（x，0）②AD=4，AC=10②CD=6②D （0，6）P （x ，0）E （12，2）②222DE 124=+ ，222DP x 6=+ ，()222PE 12x 2=-+当DE=PD 时，22DE PD =②2222412x 6+=+②2x 124=②x == ②CP=当DE=PE 时，22DE PE =②()222212412x 2+=-+②12x 1212=+=-（负值舍去）②1x 1224=+>>CB②P 是边BC 上的点②当DE=PE 时，不符合题意；舍去当DP=PE 时，22DP PE =②()2222x 612x 2+=-+ ②143x = ②CP=143故答案为：或143【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等腰三角形存在性等问题，掌握利用长度公式解决等腰三角形问题是解题的关键．26．（2020·安徽省初三月考）如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则EFGH的值是________．【解析】解：如图，连接AC、BD、OF，AC与EF交于点I，设②O的半径是r，则OF＝r，②AO是②EAF的平分线，②②OAF＝30°，②OA＝OF，②②OFA＝②OAF＝30°，②②COF＝30°＋30°＝60°，②AC②EF，②FI＝r·sin60°＝2r，OI＝12r②EF＝2FI，CI＝12r，②AC②EF，AC②BD，②EF②BD，②②CGH②②CBD，②12 GH CIBD CO==，②GH＝12BD＝r，②EFGH r==．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，解答此题的关键是要明确圆内接正多边形的有关性质．27．（2020·湖北省初三三模）如图，在Rt①ABC中，①ACB＝90°，点D在AC上，DE①AB于点E，且CD ＝DE．点F在BC上，连接EF，AF，若①CEF＝45°，①B＝2①CAF，BF＝2，则AB的长为_____．【答案】10【解析】解：如图，以AC为轴将②ACF翻至②ACK，在AB边上截取BL＝BF＝2②②ACB＝90°，DE②AB②②BCE+②DCE＝90°，②BEC+②DEC＝90°②CD＝DE②②DCE＝②DEC②②BCE＝②BEC②BC＝BE②BF=BL=2②EL=CF设CF＝x，则EL＝CK＝x②BK＝2x+2，BC＝BE＝x+2设②B＝2②CAF＝2α则②CAK＝α，②K＝90°﹣α②②KAB＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α②②K ＝②KAB②BA ＝BK ＝2x +2在②CBL 和②EBF 中CB EB B B BL BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩②②CBL ②②EBF （SAS ）②②BCL ＝②BEF又②②CEF ＝45°，②BCE ＝②BEC②②ECL ＝②CEF ＝45°②②ALC ＝180°﹣45°﹣45°﹣②BEF ＝90°﹣②BEF②②ACL ＝90°﹣②BCL ，②BCL ＝②BEF②②ALC ＝②ACL②AC ＝AL ＝2x在Rt②ABC 中，由勾股定理得：（x +2）2+（2x ）2＝（2x +2）2解得x ＝4或x ＝0（舍）②AB ＝10故答案为：10．【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握等角对等边、等边对等角、全等三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．28．（2020·浙江省初三一模）如图，已知①ABC 中，①BAC ＝120°，AB ＝AC ＝．D 为BC 边一点，且BD ：DC ＝1：2．以D 为一个点作等边①DEF ，且DE ＝DC 连接AE ，将等边①DEF 绕点D 旋转一周，在整个旋转过程中，当AE 取得最大值时AF 的长为_____．【答案】【解析】解：如图，点E ，F 在以D 为圆心，DC 为半径的圆上，当A ，D ，E 在同一直线上时AE 取最大值，过点A 作AH②BC 交BC 于H ，②②BAC ＝120°，AB ＝AC ＝，②②B ＝②ACB ＝30°，BH ＝CH ，②在Rt②ABH 中，AH ＝12AB BH ＝3， ②BC ＝2BH ＝6，②BD ：DC ＝1：2，②BD ＝2，CD ＝4，②DH ＝BH ﹣BD ＝1，在Rt②ADH 中，AH DH ＝1，②tan②DAH ＝DH AH。

中考专题：圆与二次函数结合题

中考专题：圆与函数综合题1、如图，平面直角坐标系中，以点C （2，3）为圆心，以2为半径的圆与轴交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式．￥（2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线23y x bx c =-++过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB 若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．|~3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,0），（1a,16）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2），(1)求a,b,c 的值；~(2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交；（3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()212x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。

|4、如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.·（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.{.5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。

原题：如图1，在⊙O 中，MN 是直径，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，∠AOC =90°，AB =3，CD =4，则BD = 。

2020年浙江数学中考复习第三单元函数之第14课时二次函数综合题

∴mn＝x1x2(1－x1)(1－x2) ∵0＜x1＜x2＜1，
＝(x
1－x
21)(x
2－x
22)
＝[－(x
1－12)2＋14]·[－(x
2－12)2＋14]
，
∴∵0x＜1≠x－2，(x∴1－012＜)2m＋n14＜≤11614
，0＜－(x2－12 .
)2＋ 1 4
≤1 4
，∴0＜mn≤
1， 16
第14课时二次函数综合题
①当－4≤－ b ≤－2，即4≤b≤8时，
2 如解图①所示，x＝1时，函数取最大值y＝1＋3b；
当x＝－ b时，函数取最小值y＝ 8b－b2，∴(1＋3b)－ 8b－b2＝16，
2
4
4
即b2＋4b－60＝0.∴b1＝6，b2＝－10(舍去).
②当－2＜－ b ≤0，即0≤b<4时，如解图②所示，
2 x＝－5时，函数取最大值y＝25－3b；x＝－
当a＜0时，a(x－2)(x－1)＞0，即y1＞y2.
第14课时二次函数综合题
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4. (2018杭州22题12分)设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)． (1)判断该二次函数图象与x轴交点的个数，说明理由； (1)解：该二次函数图象与x轴有1个或2个交点. 理由如下：∵a≠0，Δ＝b2＋4a(a＋b)＝(b＋2a)2≥0， ∴该二次函数图象与x轴有1个或2个交点；
第14课时二次函数综合题
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(6)已知二次函数y＝mx2－2mx＋3，若P(－1，y1)，Q(4，y2)两点在此函数图象上，试比较y1，y2的大小．【思维教练】要比较函数图象上两点纵坐标的大小，只需求出抛物线的对称轴，分 m>0和m<0两种情况，根据两点到抛物线对称轴的距离即可判断．

2020年中考数学二轮专项特训——圆的综合应用(含详细解答)

2020年中考数学二轮专项特训——圆的综合应用专训1圆中常见的计算题型名师点金：与圆有关的计算主要涉及圆与其他几何图形结合，利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积等．有关角度的计算1．如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点．若∠DEF＝52°，则∠A的度数为()A．76°B．68°C．52°D．38°(第1题)(第2题) 2．如图，有一圆经过△ABC 的三个顶点，且弦BC 的中垂线与AC ︵相交于D点．若∠B ＝74°，∠C ＝46°，则AD ︵所对圆心角的度数为( )A ．23°B ．28°C ．30°D ．37°3．(中考·娄底)如图，在⊙O 中，AB ，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD ，BC ，BD.(1)求证：△ABD ≌△CDB ；(2)若∠DBE ＝37°，求∠ADC 的度数．(第3题)半径、弦长的计算4．(中考·南京)如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2 2 cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为________．(第4题)(第5题)5．如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是CF ︵的中点，弦CF 交AB 于点E.若⊙O 的半径为2，则CF ＝________.6．如图，在⊙O 中，直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，OD ＝30 cm .求直径AB 的长．(第6题)面积的计算7．(2015·丽水)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F.(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．(第7题)专训2圆中常用的作辅助线的方法名师点金：在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等．作半径，巧用同圆的半径相等1．如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为4 cm，求该半圆的半径．(第1题)连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足为H，求证：AP＝BH.(第2题)作直径，巧用直径所对的圆周角是直角3．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．(第3题)证切线时辅助线作法的应用4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．(第4题)遇弦加弦心距或半径5．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为()A．3 B．4 C．3 2 D．4 2(第5题)(第6题)6．(中考·贵港)如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝23，OH＝1，则∠APB＝________.遇直径巧作直径所对的圆周角7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC 于点D，E，且点D是BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形．(2)求DE的长．(第7题)遇切线巧作过切点的半径8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA 切⊙O于点A，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)已知PA＝3，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．(第8题)巧添辅助线计算阴影部分的面积9．(中考·自贡)如图，点B ，C ，D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 的延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB ＝∠OBD ＝30°，DB ＝6 3 cm .(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)求由弦CD ，BD 与BC ︵所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．(第9题)专训3圆的实际应用名师点金：与圆有关的知识在实际生活中有着广泛的应用，从实际生活中抽象出数学问题，并运用圆的相关知识解决这些问题，可以达到学以致用的目的．利用垂径定理解决台风问题1．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半径为200 km，B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P点320 km处．(1)试说明台风是否会影响B市；(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．(第1题)利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想)2．如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门．从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？(第2题)利用直线与圆的位置关系解决范围问题3．已知A，B两地相距1 km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，350 m为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？(第3题)利用圆锥侧面展开图解决材料最省问题4．如图，某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为20 cm，高为40 2 cm的圆锥形漏斗，要求只能有一条接缝(接缝忽略不计)，请问：选长、宽分别为多少厘米的矩形铁皮，才能使所用材料最省？(第4题)专训4与圆有关的动态问题名师点金：对于与圆有关的运动情形下的几何问题，在探究求值问题时，通常应对运动过程中所有可能出现的不同情形进行分析，如果符合某些条件的点、线等几何图形不唯一，要注意分类讨论，在探究确定结论成立情况下的已知条件时，可以把确定结论当作已知用．利用圆探究运动中形成的特殊几何图形问题1．如图，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿AB向点B以1 cm/s的速度移动，若AB长为10 cm，点O到BC的距离为4 cm.(1)求弦BC的长；(2)经过几秒△BPC是等腰三角形？(PB不能为底边)(第1题)2．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P 是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.(1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；(2)在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(第2题)利用圆探究运动中的特殊位置关系问题3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12 cm，AD ＝8 cm，BC＝22 cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动，P，Q分别从点A，C同时出发．当其中一动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t s．当t为何值时，PQ与⊙O相切？(第3题)利用圆探究运动中的面积问题4．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC＝4，∠OAC＝60°.(1)求∠AOC的度数；(2)如图，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO＝S△CAO时，求动点M所经过的弧长．(第4题)专训5几种常见的热门考点名师点金：圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点．本章题型广泛，主要考查圆的概念、基本性质以及圆周角定理及其推论，直线与圆的位置关系，切线的性质和判定，正多边形与圆的计算和证明等，通常以这些知识作为载体，与函数、方程等知识综合考查．垂径定理及其推论的应用1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为()A.95B.245C.185D.52(第1题)(第2题)2．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分．如果水面AB 的宽为8 cm，水的最大深度为2 cm，那么该输水管的半径为() A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm圆心角与圆周角3．如图所示，AB是⊙O的直径，AB⊥弦CD于点E，∠BOC＝70°，则∠ABD ＝()A．20°B．46°C．55°D．70°(第3题)(第4题)4．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°5．如图所示，C 为半圆上一点，AC ︵＝CE ︵，过点C 作直径AB 的垂线CP ，P 为垂足，弦AE 交PC 于点D ，交CB 于点F.求证：AD ＝CD.(第5题)点、直线与圆的位置关系6．已知⊙O的半径为4 cm，A为线段OP的中点，当OP＝7 cm时，点A 与⊙O的位置关系是()A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，r 为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为()A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm8．设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP＝m，且m使得关于x的方程2x2－22x＋m－1＝0有实数根，则直线l与⊙O()A．相离或相切B．相切或相交C．相离或相交D．无法确定切线的判定与性质(第9题)9．(中考·哈尔滨)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连结OC交⊙O于点D，连结BD，∠C＝40°，则∠ABD的度数是()A．30°B．25°C．20°D．15°10．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连结AD并延长，与BC相交于点E.(1)若BC＝3，CD＝1，求⊙O的半径；(2)取BE的中点F，连结DF，求证DF是⊙O的切线．(第10题)与圆有关的计算11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为()(第11题) A．25π－6B.252π－6C.256π－6D.258π－612．(2015·兰州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°，①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．(结果保留根号和π)(第12题)圆与其他知识的综合类型1：圆与三角形的综合13．(2015·成都)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF ＝BC.⊙O 是△BEF 的外接圆，连结BD.(1)求证：△ABC ≌△EBF ；(2)试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．(第13题)类型2：圆与四边形的综合14．(2015·天津)已知A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，四边形OABC 是平行四边形，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D.(1)如图①，求∠ADC 的大小；(2)如图②，经过点O 作CD 的平行线，与AB 交于点E ，与AB ︵交于点F ，连结AF，求∠FAB的大小．(第14题) 类型3：圆与函数的综合15．如图，直线y＝－34x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F.(1)如图①，当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；(2)如图②，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r；(3)在⊙C的移动过程中，能否使△OEF是等边三角形？(只回答“能”或“不能”)(第15题)专训6圆与二次函数的综合名师点金：圆与二次函数的综合，一般会涉及勾股定理、相似三角形的判定、求二次函数的表达式、求直线对应的函数表达式、切线的判定与性质，综合考察的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，关键还是基础知识的掌握，要能将所学知识融会贯通，有的问题的解法不止一种，同学们可以积极探索其他解法．二次函数中利用全等证明圆与直线的位置关系1．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C(－2，0)，D(－8，0)两点，与y轴相切于点B(0，4)．(1)求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数表达式；(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切．(第1题)利用直线与圆的位置关系求直线对应的函数表达式2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)以AB为直径作⊙M，一直线经过点E(－1，－5)，并且与⊙M相切，求该直线对应的函数表达式．(第2题)利用圆的有关性质求抛物线对应的函数表达式3．(2015·烟台节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、B两点的坐标分别为(－1，0)，(0，－2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧ED上的点F作FH⊥AD于点H，且FH＝1.5.(1)求点D的坐标及该抛物线对应的函数表达式；(2)若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标.(第3题)二次函数中利用勾股定理的逆定理证明直线与圆的位置关系4．如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C(0，4)，与x轴相交于A、B两点，且AB＝6.(1)求D点的坐标和圆D的半径；(2)求sin∠ACB的值和经过C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式；(3)设抛物线的顶点为F，证明直线AF与圆D相切．(第4题)答案专训1 1．A2．B 点拨：∵有一圆经过△ABC 的三个顶点，且弦BC 的中垂线与AC ︵相交于D 点，∴AB ︵所对的圆心角的度数＝2∠C ＝2×46°＝92°，ADC ︵所对的圆心角的度数＝2∠B ＝2×74°＝148°＝AD ︵所对的圆心角的度数＋DC ︵所对的圆心角的度数＝AD ︵所对的圆心角的度数＋BAD ︵所对的圆心角的度数＝AD ︵所对的圆心角的度数＋AB ︵所对的圆心角的度数＋AD ︵所对的圆心角的度数，∴AD ︵所对的圆心角的度数＝12(148°－92°)＝28°.故选B .3．(1)证明：∵AB ，CD 是直径，∴∠ADB ＝∠CBD ＝90°. 在Rt △ABD 和Rt △CDB 中， ⎩⎨⎧AB ＝CD ，BD ＝DB ，∴Rt △ABD ≌Rt △CDB(HL )．(2)解：∵BE 是切线，∴AB ⊥BE.∴∠ABE ＝90°. ∵∠DBE ＝37°，∴∠ABD ＝53°.∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠BAD ＝90°－53°＝37°，即∠ADC 的度数为37°.4．2 cm 点拨：连接OB ，∵∠BCD ＝22°30′，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝45°.∵AB ⊥CD ，∴BE ＝AE ＝12AB ＝12×22＝2(cm )，△BOE 为等腰直角三角形，∴OB ＝2BE ＝2 cm ，故答案为2 cm .5．2 36．解：连接OC.∵∠A ＝30°，∴∠COD ＝60°. ∵DC 切⊙O 于C ，∴∠OCD ＝90°.∴∠D ＝30°.∵OD ＝30 cm ，∴OC ＝12OD ＝15 cm . ∴AB ＝2OC ＝30 cm .(第7题) 7．(1)证明：如图，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ODB＝∠ACB.∴OD∥AC.∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD.∴DF⊥AC.(2)解：如图，连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝45°.∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°.∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE ＝4π，S△AOE＝8.∴S阴影＝S扇形AOE－S△AOE＝4π－8.专训2(第1题)1．解：连接OA ，OF ，如图．设OA ＝OF ＝r cm ，AB ＝a cm .在Rt △OAB 中，r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2，在Rt △OEF 中，r 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋a 22，∴a 24＋a 2＝16＋16＋4a ＋a24，解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)．∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＋82＝80，∴r 1＝45，r 2＝－45(舍去)，即该半圆的半径为4 5 cm .点拨：在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题．2．证明：连接AD ，BD.∵∠DAC ，∠DBC 是DC ︵所对的圆周角． ∴∠DAC ＝∠DBC.∵CD 平分∠ACM ，DP ⊥AC ，DH ⊥CM ，∴DP ＝DH. 在△ADP 和△BDH 中， ⎩⎨⎧∠DAP ＝∠DBH ，∠DPA ＝∠DHB ＝90°，DP ＝DH ，∴△ADP ≌△BDH ，∴AP ＝BH.点拨：本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC ＝∠DBC ，为证两三角形全等创造了条件．3．(1)证明：过点D 作⊙O 的直径DE ，连接AE ，EC ，AC. ∵DE 是⊙O 的直径，∴∠ECD ＝∠EAD ＝90°. 又∵CD ⊥AB ，∴EC ∥AB ， ∴∠BAC ＝∠ACE. ∴BC ︵＝AE ︵.∴BC ＝AE.在Rt △AED 中，AD 2＋AE 2＝DE 2， ∴AD 2＋BC 2＝4R 2.(2)解：过点O作OF⊥AD于点F.∵弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，∴AD＝5，BC＝1.由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，∴52＋12＝4R2，∴R＝26 2.∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，∴OF∥EA.又∵O为DE的中点，∴OF＝12AE＝12BC＝12，即点O到AD的距离为12.点拨：本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便．4．解：CD与⊙O相切，理由如下：如图，作直径CE，连接AE.∵CE是直径，∴∠EAC＝90°.∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E，∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.又OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．(第4题)(第7题) 5．C 6.60°7．(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC 的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形．(2)解：连接BE.∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC，∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线．∴DE＝12AB＝12×2＝1.8．(1)证明：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，即∠PAO＝∠PBO.又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB. 又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．(2)解：连接OP，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．∴OP为线段AB的垂直平分线，又∵BC⊥AB，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.∴∠OPA＝30°. 在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，即AO2＋3＝(2AO)2.又∵AO＞0，∴AO＝1.∴⊙O的半径为1.(第8题)(第9题) 9．(1)证明：如图，连接CO，交DB于点E，∴∠O＝2∠CDB＝60°.又∵∠OBE＝30°，∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°，即OC⊥AC.又∵点C在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．(2)解：∵OE⊥DB，∴EB＝12DB＝3 3 cm.在Rt△EOB中，∵∠OBE＝30°，∴OE＝12OB.∵EB＝3 3 cm，∴由勾股定理可求得OB＝6 cm. 又∵∠D＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB，∴△CDE≌△OBE，∴S△CDE ＝S△OBE，∴S阴影＝S扇形OCB＝60360π·62＝6π(cm2)．专训31．解：(1)如图，过B作BH⊥PQ于H，在Rt△BHP中，由条件易知：BP＝320 km，∠BPQ＝30°.∴BH＝12BP＝160 km<200 km.∴台风会影响B市．(2)如图，以B为圆心，200 km为半径作圆，交PQ于P1，P2两点，连接BP1，由垂径定理知P1P2＝2P1H.在Rt△BHP1中，BP1＝200 km，BH＝160 km，∴P1H＝2002－1602＝120(km)．∴P1P2＝2P1H＝240 km.∴台风影响B市的时间为24030＝8(h)．点拨：本题在图形中画出圆，可以非常直观地构造数学模型，然后利用垂径定理解决生活中的实际问题．(第1题)(第2题) 2．解：选择射门方式二较好，理由如下：设AQ与圆的交点为C，连接PC，如图所示．∵∠PCQ是△PAC的外角，∴∠PCQ>∠A.又∵∠PCQ＝∠B，∴∠B>∠A.∴在B点射门比在A点射门好．∴选择射门方式二较好．点拨：本题运用转化思想，将射门角度大小的问题，建模转化到圆中，根据圆周角的相关知识来解决实际问题．3．解：修建的这条水渠不会穿过公园．理由：过点C作CD⊥AB，垂足为D.∵∠CBA＝45°，∴∠BCD＝45°，CD＝BD.设CD＝x km，则BD＝x km.易知∠CAB＝30°，∴AC＝2x km，AD＝（2x）2－x2＝3x km.∴3x＋x＝1，解得x＝3－1 2，即CD＝3－12km≈0.366 km＝366 m＞350 m，也就是说，以点C为圆心，350 m为半径的圆与AB相离．即修建的这条水渠不会穿过公园．4．解：∵圆锥形漏斗的底面半径为20 cm，高为40 2 cm，∴圆锥的母线长为202＋（402）2＝60(cm)．设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，则有nπ×60180＝2π×20，解得n＝120.方案一：如图①，扇形的半径为60 cm，矩形的宽为60 cm，易求得矩形的长为60 3 cm.此时矩形的面积为60×603＝3 6003(cm2)．方案二：如图②，扇形与矩形的两边相切，有一边重合，易求得矩形的宽为60 cm，长为30＋60＝90(cm)，此时矩形的面积为90×60＝5 400(cm2)．∵3 6003>5 400，∴方案二所用材料最省，即选长为90 cm，宽为60 cm的矩形铁皮，才能使所用材料最省．(第4题)专训41．解：(1)作OD⊥BC于D.由垂径定理知，点D是BC的中点，即BD＝12BC，∵OB＝12AB＝5 cm，OD＝4 cm，由勾股定理得，BD＝OB2－OD2＝3 cm，∴BC＝2BD＝6 cm.(2)设经过t s，△BPC是等腰三角形．①当PC为底边时，有BP＝BC，即10－t＝6，解得t＝4；②当BC为底边时，有PC＝PB，此时P点与O点重合，t＝5.∴经过4 s或5 s△BPC是等腰三角形．2．解：(1)线段AB长度的最小值为4.理由如下：连接OP.∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB.取AB的中点C，则AB＝2OC，当OC＝OP时，OC最短，即AB最短，此时AB＝4.(2)存在．假设存在符合条件的点Q.如图①，设四边形APOQ为平行四边形，∵∠APO＝90°，∴四边形APOQ为矩形．又∵OP＝OQ，∴四边形APOQ为正方形，∴OQ＝QA.∴∠QOA＝45°，在Rt△OQA中，根据OQ＝2，∠AOQ＝45°，得Q点的坐标为(2，－2)．(第2题)如图②，设四边形APQO为平行四边形，连接OP，∵OQ∥PA，∠APO＝90°，∴∠POQ＝90°.又∵OP＝OQ，∴∠PQO＝45°，∵PQ∥OA，∴PQ⊥y轴．设PQ交y轴于点H，在Rt△OHQ中，根据OQ＝2，∠HQO＝45°，得Q点的坐标为(－2，2)．∴符合条件的点Q的坐标为(2，－2)或(－2，2)．3．解：如图，设PQ与⊙O相切于点H，过点P作PE⊥BC，垂足为E.(第3题)∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∴PE＝AB.由题意可知：AP＝BE＝t cm，CQ＝2t cm，∴BQ＝BC－CQ＝(22－2t) cm，EQ＝BQ－BE＝22－2t－t＝(22－3t) cm.∵AB 为⊙O 的直径，∠ABC ＝∠DAB ＝90°， ∴AD ，BC 为⊙O 的切线．∴AP ＝PH ，HQ ＝BQ. ∴PQ ＝PH ＋HQ ＝AP ＋BQ ＝t ＋22－2t ＝(22－t) cm . 在Rt △PEQ 中，PE 2＋EQ 2＝PQ 2， ∴122＋(22－3t)2＝(22－t)2，即 t 2－11t ＋18＝0，解得t 1＝2，t 2＝9.∵P 在AD 边运动的时间为AD 1＝81＝8(s )，而t ＝9>8，∴t ＝9(舍去)． ∴当t ＝2 s 时，PQ 与⊙O 相切．4．解：(1)∵在△ACO 中，∠OAC ＝60°，OC ＝OA ， ∴△ACO 是等边三角形． ∴∠AOC ＝60°. (2)如图，(第4题)①作点C 关于直径AB 的对称点M 1，连接AM 1，OM 1. 易得S △M 1AO ＝S △CAO ，∠AOM 1＝60°，∴AM 1︵＝4π180×60＝43π.∴当点M 运动到M 1时，S △MAO ＝S △CAO ，此时动点M 经过的弧长为43π.②过点M 1作M 1M 2∥AB 交⊙O 于点M 2，连接AM 2，OM 2，易得S △M 2AO ＝S △CAO ，∴∠OM 1M 2＝∠AOM 1＝60°.又∵OM 1＝OM 2，∴∠M 1OM 2＝60°，∴∠AOM 2＝120°.∴AM 2︵＝4π180×120＝83π.∴当点M 运动到M 2时，S △MAO ＝S △CAO ，此时动点M 经过的弧长为83π. ③过点C 作CM 3∥AB 交⊙O 于点M 3，连接AM 3，OM 3，易得S △M 3AO＝S △CAO ，∠AOM 3＝120°.∴AM 2M 3︵＝4π180×240＝163π.∴当点M 运动到M 3时，S △MAO ＝S △CAO ，此时动点M 经过的弧长为163π. ④当点M 运动到C 时，M 与C 重合，S △MAO ＝S △CAO ，此时动点M 经过的弧长为4π180×300＝203π.综上所述，当S △MAO ＝S △CAO 时，动点M 所经过的弧长为43π或83π或163π或203π.专训51．C 2.C 3.C 4.D(第5题)5．证明：如图，连结AC. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠DCB ＝90°. ∵CP ⊥AB 于点P ， ∴∠B ＋∠DCB ＝90°， ∴∠ACD ＝∠B.又∵AC ︵＝CE ︵，∴∠B ＝∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD. 6．A 7.B 8.B 9.B(第10题)10．(1)解：设⊙O 的半径为r ，∵AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线， ∴AB ⊥BC ，在Rt △OBC 中，∵OC 2＝OB 2＋CB 2， ∴(r ＋1)2＝r 2＋(3)2，解得r ＝1，∴⊙O 的半径为1. (2)证明：连结OF ， ∵OA ＝OB ，BF ＝EF ， ∴OF 是△BAE 的中位线， ∴OF ∥AE ，∴∠A ＝∠2，∠1＝∠ADO ，又∵∠ADO ＝∠A ，∴∠1＝∠2，在△OBF 和△ODF 中，⎩⎨⎧OB ＝OD ，∠2＝∠1，OF ＝OF ，∴△OBF ≌△ODF ， ∴∠ODF ＝∠OBF ＝90°，即OD ⊥DF ，又OD 是⊙O 的半径， ∴FD 是⊙O 的切线． 11．D(第12题)12．解：(1)相切，理由如下：如图，连结OD ， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3，∴OD ∥AC. 又∠C ＝90°，∴OD ⊥BC ， ∴BC 与⊙O 相切． (2)①设⊙O 的半径为r. ∵AC ＝3，∠B ＝30°，∴AB ＝6. 又OA ＝OD ＝r ，∴OB ＝2r.∴2r ＋r ＝6，解得r ＝2，即⊙O 的半径是2.②由①得OD ＝2，则OB ＝4，BD ＝23，S 阴影＝S △OBD －S 扇形ODE ＝12×23×2－60π×22360＝23－2π3.13．(1)证明：在Rt △CED 中，∠C ＋∠CED ＝90°，在Rt △BFE 中，∠EFB ＋∠BEF ＝90°.∵∠CED ＝∠BEF ，∴∠C ＝∠EFB.在Rt △ABC 和Rt △EBF 中， ⎩⎨⎧∠C ＝∠EFB ，BC ＝BF ，∠ABC ＝∠EBF ，∴△ABC ≌△EBF.(2)解：BD 与⊙O 相切，理由如下：连结BO ，∵OB ＝OF ， ∴∠OBF ＝∠OFB.∵FD 垂直平分AC ，∴D 为AC 的中点，又∵△ABC 为直角三角形． ∴BD ＝CD ，∴∠DCB ＝∠DBC.由(1)知∠ACB ＝∠EFB ， ∴∠DBC ＝∠DFB ＝∠OBF.∵∠CBF ＝∠CBO ＋∠OBF ＝90°， ∴∠DBO ＝∠CBO ＋∠DBC ＝90°， ∴BD 为⊙O 的切线．14．解：(1)∵CD 是⊙O 的切线，C 为切点， ∴OC ⊥CD ，即∠OCD ＝90°. ∵四边形OABC 是平行四边形，(第14题)∴AB ∥OC ，即AD ∥OC. ∴∠ADC ＋∠OCD ＝180°， ∴∠ADC ＝180°－∠OCD ＝90°.(2)如图，连结OB ，则OB ＝OA ＝OC. ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ＝AB ， ∴OA ＝OB ＝AB.即△AOB 是等边三角形．于是，∠AOB ＝60°.由OF ∥CD ，又∠ADC ＝90°，得∠AEO ＝∠ADC ＝90°.∴OF ⊥AB ，有BF ︵＝AF ︵.∴∠FOB ＝∠FOA ＝12∠AOB ＝30°.∴∠FAB ＝12∠FOB ＝15°.15．解：(1)∵直线y ＝－34x ＋3与x 轴交于点A(4，0)，与y 轴交于点B(0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3，∴AB ＝32＋42＝5.连结CF ，∵四边形OBCE 是矩形，∴CE ＝OB ＝3.设OE ＝x ，则由切线长定理知AF ＝AE ＝x ＋4，∴BF ＝x ＋4－5＝x －1.在Rt △CBF 中，∵BC ＝OE ＝x ，CF ＝CE ＝3，BF ＝x －1，BC 2＝CF 2＋BF 2，∴x 2＝32＋(x －1)2，解得x ＝5，即OE ＝5，∴点C 的坐标为(－5，3)．(2)连结CE ，CD ，易知四边形CEOD 是正方形，∴OE ＝OD ＝r.由切线长定理知BF ＝BD ＝3－r ，AE ＝AF ，又∵AE ＝AO ＋OE ＝4＋r ，AF ＝AB ＋BF ＝5＋3－r ＝8－r ，∴4＋r ＝8－r ，∴r ＝2.(3)不能．专训61．(1)解：设过点B 、C 、D 三点的抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx＋c ，则⎩⎨⎧4＝c ，0＝4a －2b ＋c ，0＝64a －8b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝52，c ＝4.∴经过B 、C 、D 三点的抛物线对应的函数表达式为y ＝14x 2＋52x ＋4. (2)证明：∵y ＝14x 2＋52x ＋4＝14(x ＋5)2－94，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－94. 设直线CE 对应的函数表达式为y ＝mx ＋n ，直线CE 与y 轴交于点G ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＝－2m ＋n ，－94＝－5m ＋n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝34，n ＝32，∴直线CE 对应的函数表达式为y ＝34x ＋32. 在y ＝34x ＋32中，当x ＝0时，y ＝32，∴点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.如图，连结AB 、AC 、AG ，则BG ＝OB －OG ＝4－32＝52，CG ＝OC 2＋OG 2＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝52，∴BG ＝CG.又∵AB ＝AC ，AG ＝AG ， ∴△ABG ≌△ACG ， ∴∠ACG ＝∠ABG.∵⊙A 与y 轴相切于点B(0，4)， ∴∠ABG ＝90°，。

二次函数背景下的与圆有关的问题(解析版)

备战2020年中考数学压轴题之二次函数专题10 二次函数背景下的与圆有关的问题【方法综述】圆和二次函数都是初中数学重点知识，是压轴题中的常见题目。

而二次函数与圆的结合则常常是高难度的压轴题。

以二次函数为背景的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内容。

解答要点是结合相关知识，对于已知条件进行数形结合。

【典例示范】类型一圆的基本性质应用例1：如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +m 的图象经过点P （4，5），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，且S △P AB ＝10．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点Q 使得△P AQ 和△PBQ 的面积相等？若存在，求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过A 、P 、C 三点的圆与抛物线交于另一点D ，求出D 点坐标及四边形P ACD 的周长．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）点Q 的坐标为：（﹣2，5）或（﹣13，﹣209）；（3）．【思路引导】（1）因为抛物线y ＝ax 2﹣2ax +m ，函数的对称轴为：x ＝1，S △P AB ＝10＝12×AB ×y P ＝12AB ×5，解得AB=4，即可求解；（2）分A 、B 在点Q （Q′）的同侧；点A 、B 在点Q 的两侧两种情况，分别求解即可；（3）过点P 作PO′⊥x 轴于点O′，则点O′（4，0），则AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，故圆O′是过A 、P 、C 三点的圆，即可求解．【详解】解：（1）y＝ax2﹣2ax+m，函数的对称轴为：x＝1，S△P AB＝10＝12×AB×y P＝12AB×5，解得：AB＝4，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点P的坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）①当A、B在点Q（Q′）的同侧时，如图1，△P AQ′和△PBQ′的面积相等，则点P、Q′关于对称轴对称，故点Q′（﹣2，5）；②当A、B在点Q的两侧时，如图1，设PQ交x轴于点E，分别过点A、B作PQ的垂线交于点M、N，△P AQ和△PBQ的面积相等，则AM＝BN，而∠BEN＝∠AEM，∠AME＝∠BNE＝90°，∴△AME≌△BNE（AAS），∴AE＝BE，即点E是AB的中点，则点E（1，0），将点P、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PQ的表达式为：y＝53x﹣53…②，联立①②并解得：x＝﹣13或4（舍去4），故点Q（﹣13，﹣209），综上，点Q的坐标为：（﹣2，5）或（﹣13，﹣209）；（3）过点P作PO′⊥x轴于点O′，则点O′（4，0），则AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，故圆O′是过A、P、C三点的圆，设点D（m，m2﹣2m﹣3），点O′（4，0），则DO′＝5，即（m﹣4）2+（m2﹣2m﹣3）2＝25，化简得：m（m+1）（m﹣1）（m﹣4）＝0，解得：m＝0或﹣1或1或4（舍去0，﹣1，4），故：m＝1，故点D（1，﹣4）；四边形P ACD的周长＝P A+AC+CD+PD＝【方法总结】本题考查了二次函数与三角形面积、三点共圆、四边形的周长、长度公式，综合性较强，灵活运用二次函数的知识是解题的关键.针对训练1．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于A、B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点（1）若k的值；（2）若OQ长的最大值为32，求k的值；（3）若过点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值．【答案】（1）2；（2）3225；（3）a的值为-3或2或-4或1．【解析】（1）设A(m，n)，∵∴m2+n2=5，∵一次函数y=2x的图象经过A点，∴n=2m，∴m2+(2m)2=5，解得m=±1，∵A在第一象限，∴m=1，∴A(1，2)，∵点A在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，∴k=1×2=2；（2）如图，连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，∴OQ=12 BP，∵OQ长的最大值为32，∴BP长的最大值为32×2=3，如图2，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，∵CP=1，∴BC=2，∵B在直线y=2x上，设B(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，∴22=(t+2)2+(-2t)2，t=0(舍)或-45，∴B(-45，-85)，∵点B在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，∴k=-45×(-85)=3225；（3）∵抛物线经过点C(-2，0)，∴4a-2b+c=0，又∵a+b+c=0，∴b=a，c=-2a，∴y=ax2+ax-2a=a(x+12)2-94a，∵-12＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜-12，当x=a时，取得最大值4a，则a•a2+a•a-2a=4a，解得a=-3或2，当x=a+1时，取得最大值4a，则a(a+1)2+a(a+1)-2a=4a，解得a=-4或1，综上所述所求a的值为-3或2或-4或1．2．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q和图形G，给出如下定义：点P，Q都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标互换后得到点Q，则称点P，Q是图形G的一对“关联点”．例如，点P（1，2）和点Q（2，1）是直线y＝﹣x+3的一对关联点．（1）请写出反比例函数y＝6的图象上的一对关联点的坐标：；x（2）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，﹣1）．点A，B是抛物线y＝x2+bx+c 的一对关联点，直线AB与x轴交于点D（1，0）．求A，B两点坐标．（3）⊙T的半径为3，点M，N是⊙T的一对关联点，且点M的坐标为（1，m）（m＞1），请直接写出m的取值范围．【答案】（1）（2，3），（3，2）．（2）A，B两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）1＜m≤1+3√2．【解析】解：（1）∵2×3＝3×2＝6，∴点（2，3），（3，2）是反比例函数y＝6的图象上的一对关联点．x故答案为：（2，3），（3，2）．（2）∵抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，＝1，∴﹣b2解得：b＝﹣2．∵抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点C（0，﹣1），∴c＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．由关联点定义，可知：点A，B关于直线y＝x对称．又∵直线AB与x轴交于点D（1，0），∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x ＋1．联立直线AB 及抛物线解析式成方程组，得：{y ＝﹣x ＋1y ＝x 2﹣2x ﹣1，解得：{x 1=−1y 1=2 ，{x 2=−1y 2=2， ∴A ，B 两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）由关联点定义，可知：点M ，N 关于直线y ＝x 对称，∴⊙T 的圆心在直线y ＝x 上．∵⊙T 的半径为3，∴M 1M 2＝√22×2×3＝3√2，∴m 的取值范围为1＜m≤1＋3√2． .3．已知：直线y=-x -4分别交x 、y 轴于A 、C 两点，点B 为线段AC 的中点，抛物线y=ax 2+bx 经过A 、B 两点，（1）求该抛物线的函数关系式；（2）以点B 关于x 轴的对称点D 为圆心，以OD 为半径作⊙D ，连结AD 、CD ，问在抛物线上是否存在点P ，使S △ACP =2S △ACD ？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若E 为⊙D 上一动点(不与A 、O 重合)，连结AE 、OE ，问在x 轴上是否存在点Q ，使∠ACQ ：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12x2+2x；（2）P坐标为(-3)或(-3+，7)；（3）Q坐标为8，0)、(--8，0)、(4，0)．【解析】解：（1）∵直线y=-x-4中，y=0时，x=-4；x=0时，y=-4，∴A(-4，0)，C(0，-4)，∵点B为AC中点，∴B(-2，-2)，∵抛物线y=ax2+bx经过A、B两点，∴1640 422a ba b-=⎧⎨-=-⎩，解得：122ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的函数关系式为y=12x2+2x．（2）在抛物线上存在点P使S△ACP=2S△ACD．如图1，连接AD并延长交y轴于点F，∵y=12x2+2x=12(x-2)2-2，∴点B为抛物线的顶点，∵点D为点B关于x轴的对称点，∴D(-2，2)在抛物线的对称轴上，∴DA=DO，∠DAO=∠DOA=45°，∵OA=OC=4，∠AOC=90°，∴∠OAC=45°，∴∠DAC=∠DAO+∠OAC=90°，∴S △ACD =12AC•AD ， ∵∠AOF=90°，∴AF 为⊙D 直径，即点F 在⊙D 上，∴AF=2AD ，OF=OA=4即F(0，4)，∵S △ACP =2S △ACD =2•12AC•AD=12AC•2AD=12AC•AF ， ∴点P 在过点F 且平行于直线y=-x -4的直线上，∴直线PF 解析式为y=-x+4， ∵24122y x y x x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：1137x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩；2237x y ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩∴点P 坐标为(-3)或(-7；（3）在x 轴上存在点Q 使∠ACQ ：∠AEO=2：3． ∵∠OAD=∠ODA=45°，∴∠ADO=90°，∵点E 在⊙D 上且不与A 、O 重合，∠ACQ ：∠AEO=2：3． ①如图2，当点E 在优弧AO 上时，∠AEO=12∠ADO=45°， ∴∠ACQ=23∠AEO=30°，过点Q作QG垂直直线AC于点G，设QG=t，∴Rt△CQG中，CQ=2QG=2t，．∴∠GAQ=∠OAC=45°，∴Rt△AGQ中，AG=QG=t，t．i)若点Q在线段AO上时，如图2：则，解得：-，∴(4=，∴x Q=-8；ii)若点Q在线段OA延长上时，如图3：则AC=CG-t-t=4，解得：t=，∴(4=，∴x Q=-4--8，②当点E在劣弧AO上时，∠AEO=12(360°-∠ADO)=135°，∴∠ACQ=23∠AEO=90°．∵∠CAO=45°，△ACO是等腰直角三角形，∴Q点与A点对称，A (-4，0)∴x Q=4．综上所述：满足条件的点Q有三个，坐标分别为8，0)、(--8，0)、(4，0)4．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x=−m的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P2的值．的半径记为r，求lr【答案】（1）证明见解析；（2）①定点F的坐标为（0，1）；②10+6√5．5【解析】（1）令y＝0，则x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，∵m＞0，∴△＞0，∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）令y＝0，则x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，∴x＝2或x＝﹣（m+2），∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），∴OA＝2，OB＝m+2，令x＝0，则y＝﹣2（m+2），∴C（0，﹣2（m+2）），∴OC＝2（m+2），①通过定点（0，1）理由：如图，∵点A，B，C在⊙P上，∴∠OCB＝∠OAF，在Rt△BOC中，tan∠OCB=OBOC =m+22（m+2）=12，在Rt△AOF中，tan∠OAF=OFOA =OF2=12，∴OF＝1，∴点F的坐标为（0，1）；②如图1，由①知，点F（0，1）．∵D（0，1），∴点D在⊙P上，∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，∴∠DCE＝90°，∴DE是⊙P的直径，∴∠DBE＝90°，∵∠BED ＝∠OCB ，∴tan ∠BED =12，设BD ＝n ，在Rt △BDE 中，tan ∠BED =BD BE =n BE =12， ∴BE ＝2n ，根据勾股定理得：DE =√BD 2+BE 2=√5n ，∴l ＝BD+BE+DE ＝（3+√5）n ，r =12DE =√52n ， ∴l r =√5）√52n =10+6√55． 5．．如图①，已知抛物线2139424y x x =-+的顶点为点P ，与y 轴交于点B ．点A 坐标为（3，2）．点M 为抛物线上一动点，以点M 为圆心，MA 为半径的圆交x 轴于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）．（1）如图②，当点M 与点B 重合时，求CD 的长；（2）当点M 在抛物线上运动时，CD 的长度是否发生变化？若变化，求出CD 关于点M 横坐标x 的函数关系式；若不发生变化，求出CD 的长；（3）当△ACP 与△ADP 相似时，求出点C 的坐标．【答案】（1） CD=4；（2）不发生变化，CD=4；（3）点C 坐标为：（1,0），()1-，()1+ 【解析】（1）如图：连结BC ，BD ，由题意得：904B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，（3，2），∴AB =∴2OC ==，∴CD=2OC=4；（2）如图：作MH ⊥x 轴，连结MA ，MC ，设()M x y ，，则半径AM =∴CH ====2=， ∵MH ⊥CD ，∴CD=2CH=4，（3）①当△APC ∽△APD ，即全等时，∴PC=PD ，P 与M 重合，∵P （3，0），CD=4，∴C （1，0）②如图，点M 在点P 的左侧，△APC ∽△DPA ，2PA PD PC =⨯，设PC=x ，x （x -4）=4，解得2x =±，∴()1C -， ③如图，点M 在点P 的右侧△APC ∽△DPA ，2PA PD PC =⨯，设PC=x ，x （x+4）=4，解得2x =-±，∴()C ，综上所述，点C 坐标为：C （1，0）；()1C -；()C ； 6．已知抛物线 C 1：y ＝ax 2 过点（2，2）(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图，△ABC 的三个顶点都在抛物线C 1 上，且边 AC 所在的直线解析式为y ＝x +b ，若 AC 边上的中线 BD 平行于 y 轴，求AC 2BD 的值；(3)如图，点 P 的坐标为（0，2），点 Q 为抛物线上C 1 上一动点，以 PQ 为直径作⊙M ，直线 y ＝t 与⊙M 相交于 H 、K 两点是否存在实数 t ，使得 HK 的长度为定值？若存在，求出 HK 的长度；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=12x 2 ;(2)16;(3)见解析.【解析】（1）把点（2，2）坐标代入y ＝ax2，解得：a ＝12，∴抛物线的解析式为y ＝x2；（2）把y ＝x+b 和y ＝12x2得：x2﹣2x ﹣2b ＝0，设A 、C 两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2b ，点D 坐标为（x 1+x 22，y 1+y 22），即D （1，﹣b ），B 坐标为（1，12）， AC2＝[√2（x2﹣x1）]2＝16b+8，BD ＝12+b ， ∴AC 2BD ＝16；(3)设点Q 坐标为（a ，12a2），点P 的坐标为（0，2），由 P 、Q 坐标得点M 的坐标为（a 2，14a2+1），设圆的半径为 r ，由P （0，2）、M 两点坐标可得r2＝a 24+（14a2﹣1）2＝116a4﹣14a2+1，设点M 到直线y ＝t 的距离为d ，则d2＝（a2+1﹣t ）＝116a4+12a2+1+t2﹣2t ﹣12a2t ，则 HK ＝2√r 2−d 2＝2√(12t −34)a 2+2t −t 2，当12t −34＝0 时，HK 为常数，t ＝32， HK ＝√3．7．（浙江省湖州市南浔区2017-2018学年九年级上学期期末）已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，如图1，直角三角板△MON 中，OM=ON=√3，OQ=1，直线l 过点N 和点N ，抛物线y=ax 2+2√33x+c 过点Q 和点N ．（1）求出该抛物线的解析式；（2）已知点P 是抛物线y=ax 2+2√33x+c 上的一个动点．①初步尝试若点P 在y 轴右侧的该抛物线上，如图2，过点P 作PA ⊥y 轴于点A ，问：是否存在点P ，使得以N 、P 、A 为顶点的三角形与△ONQ 相似．若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；②深入探究若点P 在第一象限的该抛物线上，如图3，连结PQ ，与直线MN 交于点G ，以QG 为直径的圆交QN 于点H ，交x 轴于点R ，连结HR ，求线段HR 的最小值．【答案】（1）y=﹣√33x2+2√33x+√3（2）①（1，4√33）、（3，0）、（5，﹣4√3）②3√2+64【解析】（1）由题意可知，Q （﹣1，0），N （0，√3），∴c=√3，即y=ax2+2√33x+√3，将Q （﹣1，0）代入解析式得0=a ﹣2√33+√3，解得a=﹣√33， ∴抛物线解析式是y=﹣√33x2+2√33x+√3；（2）①分三种情况，如图2，情况一：点P 在第一象限时，△APN ∽△ONQ ，设AN=m ，则AP=√3m ，则P 的坐标（√3m ，m+√3），而点P 在抛物线上，代入可得m+√3=﹣√33（√3m ）2++2√33（√3m ）+√3，解得m=√33，∴P1（1，4√33）；情况二：点P 恰好在x 轴上，P2（3，0），情况三：P 在第四象限内，同情况一方法可解得P3（5，﹣4√3），②连结CH 和CR ，如图3，∵∠NQ0=60°，∴∠HCR=120°，∵CH=CR ，∴HR=√3CH ，∴HR 最小时，只需要半径最小，即直径最小即可，∴过Q作NM的垂线，垂直时，QG最小，∴用面积法求出，QG=√6+√22，HR最小值=3√2+64．8．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为(−8, 0)，B点坐标为(2, 0)，以AB为直径的圆P与y轴的负半轴交于点C．（1）求图象经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）设M点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与⊙P的关系，并说明理由．【答案】（1）14x2+32x−4；（2）直线MC与⊙P相切，理由见解析【解析】解：（1）连接AC、BC；∵AB是⊙P的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，∵∠BCO+∠CBO=90°，∴∠CBO=∠ACO，∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB，∴AOOC =OC OB，∴OC2=OA·OB=16，∴OC=4，故C(0，﹣4)，设抛物线的解析式为：y=a(x+8)(x ﹣2)，代入C 点坐标得：a(0+8)(0﹣2)=﹣4，a=14，故抛物线的解析式为：y=14(x+8)(x ﹣2)=14x 2+32x ﹣4；(2)由(1)知：y=14x 2+32x ﹣4=14(x +3)2﹣254；则M(﹣3，﹣254)，又∵C(0， ﹣4)，P(﹣3， 0)，∴MP=254，PC=5，MC=154，∴MP 2=MC 2+PC 2，即△MPC 是直角三角形，且∠PCM=90°，故直线MC 与⊙P 相切．9．已知抛物线y=ax 2+bx 过点A （1，4）、B （﹣3，0），过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，在x 轴上有一点D （4，0），连接CD ．（1）求抛物线的表达式；（2）若在抛物线上存在点Q ，使得CD 平分∠ACQ ，请求出点Q 的坐标；（3）在直线CD 的下方的抛物线上取一点N ，过点N 作NG ∥y 轴交CD 于点G ，以NG 为直径画圆在直线CD 上截得弦GH ，问弦GH 的最大值是多少？（4）一动点P 从C 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿C ﹣A ﹣D 运动，在线段CD 上还有一动点M ，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）直线CE 的表达式为y=﹣43x ﹣43；（2）点Q 的坐标为（﹣13，﹣89）；（3）弦GH 的最大值81√580；（4）存在，t 的值为3或7【解析】解：（1）∵抛物线y=a x 2+bx 过点A （1，4）、B （﹣3，0），∴{a +b ＝49a −3b ＝0，解得：a=1,b=3, ∴抛物线的表达式为y=x 2+3x ．（2）当y=4时，有x 2+3x=4，解得：x 1=﹣4，x 2=1，∴点C 的坐标为（﹣4，4），∴AC=1﹣（﹣4）=5．∵A （1，4），D （4，0），∴AD=5．取点E （﹣1，0），连接CE 交抛物线于点Q ，如图1所示．∵AC=5，DE=4﹣（﹣1）=5，AC ∥DE ，∴四边形ACED 为平行四边形，∵AC=AD ，∴四边形ACED 为菱形，∴CD 平分∠ACQ ．设直线CE 的表达式为y=mx+n （m≠0），将C （﹣4，4）、E （﹣1，0）代入y=mx+n ，得：{−4m +n ＝4−m +n ＝0 ，解得：{m =−43n =−43， ∴直线CE 的表达式为y=﹣43x ﹣43．联立直线CE 与抛物线表达式成方程组，得：{y =−43x −43y =x 2+3x，解得：{x 1=−4y 1=4 ,{x 2=−13y 2=−89 ， ∴点Q 的坐标为（﹣13，﹣89）．（3）设直线CD 的表达式为y=kx+c （k≠0），将C （﹣4，4）、D （4，0）代入y=kx+c ，得：{−4k +c ＝44k +c ＝0 ，解得：{k =−12c =2 ， ∴直线CD 的表达式为y=﹣12x+2．设点N 的坐标为（x ，x2+3x ），则点G 的坐标为（x ，﹣12x+2），∴NG=﹣12x+2﹣（x2+3x ）=﹣x2﹣72x+2=﹣（x+74）2+8116，∵﹣1＜0，∴当x=﹣74时，NG 取最大值，最大值为8116．以NG 为直径画⊙O′，取GH 的中点F ，连接O′F ，则O′F ⊥BC ，如图2所示．∵直线CD 的表达式为y=﹣12x+2，NG ∥y 轴，O′F ⊥BC ， ∴tan ∠GO′F=GF O′F =12， ∴GF O′G =√12+22=√55， ∴GH=2GF=2√55 O′G=√55NG ，∴弦GH 的最大值为√55×8116=81√580．（4）取点E（﹣1，0），连接CE、AE，过点E作EP1⊥AC于点P1，交CD于点M1，过点E作EP2⊥AD 于点P2，交CD于点M2，如图3所示．∵四边形ACED为菱形，∴点A、E关于CD对称，∴AM=EM．∵AC∥x轴，点A的坐标为（1，4），∴EP1=4．由菱形的对称性可知EP2=4．∵点E的坐标为（﹣1，0），∴点P1的坐标为（﹣1，4），∴CP1=DP2=﹣1﹣（﹣4）=3，又∵AC=AD=5，∴t的值为3或7．10．如图，在平面直角坐标系中，点A(10, 0)，以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB 并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．(1)∠OBA=________°．(2)求抛物线的函数表达式．(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？【答案】(1)90;(2)y=−18x2+54x;(3) 以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．【解析】解：(1)90；(2)连接OC，如图1所示，∵由(1)知OB⊥AC，又AB=BC，∴OB是AC的垂直平分线，∴OC=OA=10，在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6，∴C(6, 8)，B(8, 4)∴OB所在直线的函数关系为y=12x，又∵E点的横坐标为6，∴E点纵坐标为3，即E(6, 3)，抛物线过O(0, 0)，E(6, 3)，A(10, 0)，∴设此抛物线的函数关系式为y=ax(x−10)，把E点坐标代入得：3=6a(6−10)，解得a=−18．∴此抛物线的函数关系式为y=−18x(x−10)，即y=−18x2+54x；(3)设点P(p, −18p2+54p)，①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2，OP 所在直线函数关系式为：y =(−18p +54)x∴当x =6时，y =−34p +152，即Q 点纵坐标为−34p +152， ∴QE =−34p +152−3=−34p +92，S 四边形POAE =S △OAE +S △OPE =S △OAE +S △OQE −S △PQE =12⋅OA ⋅DE +12QE ⋅OD −12⋅QE ⋅P x •=12×10×3+12×(−34p +92)×6−12•(−34p +92)⋅(6−p )， =−38p 2+94p +15， ②若点P 在CD 的右侧，延长AP 交CD 于Q ，如右图3，P(p, −18p 2+54p)，A(10, 0) ∴设AP 所在直线方程为：y =kx +b ，把P 和A 坐标代入得，{10k +b =0pk +b =−18p 2+54p，解得{k =−18p b =54p． ∴AP 所在直线方程为：y =−18px +54p ，∴当x =6时，y =−18p ⋅6+54p =12P ，即Q 点纵坐标为12P ，∴QE =12P −3，∴S 四边形POAE=S △OAE +S △APE =S △OAE +S △AQE −S △PQE =12⋅OA ⋅DE +12⋅QE ⋅DA −12⋅QE •(P x −6)=12×10×3+12⋅QE •(DA −P x +6)=15+12•(12p −3)⋅(10−p) =−14p 2+4p =−14(p −8)2+16，∴当P 在CD 右侧时，四边形POAE 的面积最大值为16，此时点P 的位置就一个，令−38p 2+94p +15=16，解得，p =3±√573， ∴当P 在CD 左侧时，四边形POAE 的面积等于16的对应P 的位置有两个，综上所知，以P 、O 、A 、E 为顶点的四边形面积S 等于16时，相应的点P 有且只有3个．类型二与圆有关的位置关系例2．如图1，二次函数y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ．（1）求顶点D 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）若以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E 是y 轴负半轴上一点，连接BE ，将△OBE 绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN （点P 、M 、N 分别和点O 、B 、E 对应），并且点M 、N 都在抛物线上，作MF ⊥x 轴于点F ，若线段MF ：BF ＝1：2，求点M 、N 的坐标；③点Q 在抛物线的对称轴上，以Q 为圆心的圆过A 、B 两点，并且和直线CD 相切，如图3，求点Q 的坐标．【答案】（1）（1，﹣4a ）；（2）①y=﹣x 2+2x+3；②M （52，74）、N （32，154）；③点Q 的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣）．【思路引导】（1）将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D 的坐标．（2）①以AD为直径的圆经过点C，即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出△ACD 是个直角三角形，且∠ACD＝90°，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a表达出来，在得出AC、CD、AD 的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出a的值．②将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，说明了PM正好和x轴平行，且PM＝OB＝1，所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标；首先根据①的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF＝2MF作为等量关系进行解答即可．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，由C、D两点的坐标不难判断出∠CDQ＝45°，那么△QGD为等腰直角三角形，即QD ²＝2QG ²＝2QB ²，设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长，根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标．【解析】（1）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，∴D（1，﹣4a）．（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；由y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，化简，得：a2=1，由a＜0，得：a=﹣1，②∵a=﹣1，∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3，D（1，4）．∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，∴PM∥x轴，且PM=OB=1；设M（x，﹣x2+2x+3），则OF=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；∵BF=2MF，∴x+1=2（﹣x2+2x+3），化简，得：2x2﹣3x﹣5=0解得：x1=﹣1（舍去）、x2=5 2 .∴M（52，74）、N（32，154）．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如下图：∵C （0，3）、D （1，4），∴CH =DH =1，即△CHD 是等腰直角三角形，∴△QGD 也是等腰直角三角形，即：QD 2=2QG 2；设Q （1，b ），则QD =4﹣b ，QG 2=QB 2=b 2+4；得：（4﹣b ）2=2（b 2+4），化简，得：b 2+8b ﹣8=0，解得：b =﹣；即点Q 的坐标为（1，4-+）或（1，4--．【方法总结】此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点；后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD 和⊙Q 半径间的数量关系是解题题目的关键．针对训练1．抛物线y ＝﹣23x 2+73x ﹣1与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为D ．将抛物线位于直线l ：y ＝t (t ＜2524)上方的部分沿直线l 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M ”形的新图象．(1)点A ，B ，D 的坐标分别为，，；(2)如图①，抛物线翻折后，点D 落在点E 处．当点E 在△ABC 内(含边界)时，求t 的取值范围；(3)如图②，当t ＝0时，若Q 是“M ”形新图象上一动点，是否存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （12，0）；B （3，0）；D （74，2524）；（2）1548≤t≤2548；（3）存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ，点P的坐标为（75-0）、（311，0）、（1，0）或（75+，0）．【解析】解：（1）当y=0时，﹣23x 2+73x ﹣1=0，解得x 1=12,x 2=3, ∴点A 的坐标为（12，0），点B 的坐标为（3,0）， ∵y=﹣23x 2+73x ﹣1=﹣23（x -74）2+2524, ∴点D 的坐标为（74，2524）；（2）∵点E 、点D 关于直线y=t 对称，∴点E 的坐标为（74，2t ﹣2524）．当x=0时，y=﹣23x 2+73x ﹣1=﹣1， ∴点C 的坐标为（0，﹣1）．设线段BC 所在直线的解析式为y=kx+b ，将B （3，0）、C （0，﹣1）代入y=kx+b ，301k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：131k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴线段BC 所在直线的解析式为y=13x ﹣1． ∵点E 在△ABC 内（含边界），∴2520242517212434tt⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⨯-⎪⎩，解得：1548≤t≤2548．（3）当x＜12或x＞3时，y=﹣23x2+73x﹣1；当12≤x≤3时，y=﹣23x2+73x﹣1．假设存在，设点P的坐标为（12m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜12或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣23x2+73x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣23m2+73m）2=14m2+1+14m2+（﹣23m2+73m﹣1）2，整理，得：m1，m2，∴点P 0，0）； ②当12≤m≤3时，点Q 的坐标为（m,23x 2-73x +1）（如图2）， ∵以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ， ∴CP ⊥PQ ，∴CQ 2=CP 2+PQ 2，即m 2+（23m 2﹣73m+2）2=14m 2+1+14m 2+（23m 2﹣73m+1）2，整理，得：11m 2﹣28m+12=0，解得：m 3=611，m 4=2， ∴点P 的坐标为（311，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ，点P 0）、（311，0）、（1，0）或（75+，0）． 2．如图1，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点（0，5），且过点（﹣3，114），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：（应用）问题1，如图2，线段AB ＝d （定值），将其弯折成互相垂直的两段AC 、CB 后，设A 、B 两点的距离为x ，由A 、B 、C 三点组成图形面积为S ，且S 与x 的函数关系如图所示（抛物线y ＝ax 2+bx+c 上MN 之间的部分，M 在x 轴上）：（1）填空：线段AB 的长度d ＝；弯折后A 、B 两点的距离x 的取值范围是；若S ＝3，则是否存在点C ，将AB 分成两段（填“能”或“不能”）；若面积S ＝1.5时，点C 将线段AB 分成两段的长分别是；（2）填空：在如图1中，以原点O 为圆心，A 、B 两点的距离x 为半径的⊙O ；画出点C 分AB 所得两段AC 与CB 的函数图象（线段）；设圆心O 到该函数图象的距离为h ，则h ＝，该函数图象与⊙O 的位置关系是．（提升）问题2，一个直角三角形斜边长为c （定值），设其面积为S ，周长为x ，证明S 是x 的二次函数，求该函数关系式，并求x 的取值范围和相应S 的取值范围．【答案】抛物线的解析式为：y ＝﹣14x 2+5；（1）＜x ＜；（2，相离或相切或相交；（3）相应S 的取值范围为S ＞14c 2．【解析】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点（0，5）， ∴y ＝ax 2+5，将点（﹣3，114）代入，得114＝a×（﹣3）2+5， ∴a ＝14﹣ ， ∴抛物线的解析式为：y ＝2154x +﹣ ；（1）∵S 与x 的函数关系如图所示（抛物线y ＝ax 2+bx+c 上MN 之间的部分，M 在x 轴上），在y ＝2154x +﹣，当y ＝0时，x 1＝x 2＝﹣∴M （0），即当x ＝S ＝0，∴d 的值为∴弯折后A 、B 两点的距离x 的取值范围是0＜x ＜当S ＝3 时，设AC ＝a ，则BC ＝a ，∴12a （a ）＝3，整理，得a 2﹣＝0， ∵△＝b 2﹣4ac ＝﹣4＜0， ∴方程无实数根；当S ＝1.5时，设AC ＝a ，则BC ＝a ，∴12a （a ）＝1.5，整理，得a 2﹣＝0，解得1a 2a∴当a +a当a a +∴若面积S ＝1.5时，点C 将线段AB +故答案为：0＜x ＜+（2）设AC ＝y ，CB ＝x ，则y ＝﹣1所示的线段PM ，则P （0，，M （0）， ∴△OPM 为等腰直角三角形，∴PM OP ＝，过点O 作OH ⊥PM 于点H ，则OH ＝12PM ，∴当0＜x 时，AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相离；当x 时，AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相切；＜x ＜AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相交；，相离或相切或相交；（3）设直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，则222-a b c a b x c ++＝，＝， ∵（a+b ）2＝a 2+b 2+2ab ， ∴（x ﹣c ）2＝c 2+2ab ，∴2111242ab x cx =-，即S ＝()22211114244x cx x c c -=-+，∴x 的取值范围为：x ＞c ，则相应S 的取值范围为S ＞214c ．3．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213y x x 222=+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：422316420a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则抛物线的解析式为：213y x x 222=+-； ()2过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04'''2k b b =-+⎧⎨=-⎩，解得：1'2'2k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，则直线BC 的表达式为：1y x 22=--，设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 22BMC1113SMK OB 2x 2x x 2x 4x 2222⎛⎫=⋅⋅=----+=-- ⎪⎝⎭， a 10=-<，BMC S∴有最大值，当bx 22a=-=-时， BMCS最大值为4，点M 的坐标为()2,3--；()3如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ，过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -，点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1tan OCA OC 2∠==， QH //y 轴，QHN OCA ∠∠∴=，1tan QHN2∠∴=，则sin QHN ∠=，将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：02m n n +=⎧⎨=-⎩，则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-，则点()H 2,6--，在Rt QNH 中，QH m 6=+，QN OQ ===QN sin QHNQHm 6∠===+，解得：m 4=或1-，即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--．4．如图1，对于平面内的点P 和两条曲线L 1、L 2给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与L 1、L 2交于Q 1、Q 2，总有PQ 1PQ 2是定值，我们称曲线L 1与L 2“曲似”，定值PQ1PQ 2为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O ′为圆心，半径分别为r 1、r 2(都是常数)的两个同心圆C 1、C 2，从点O ′任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有O ′MO ′N =r 1r 是定值，所以同心圆C 1与C 2曲似，曲似比为r1r 2，“曲心”为O ′．(1)在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与抛物线y=x2、y=12x2分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；(2)在(1)的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O 与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；(3)在(1)、(2)的条件下，若将“y=12x2”改为“y=1mx2”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．【答案】（1）两抛物线曲似，理由详见解析；（2）存在k值，使⊙O与直线BC相切，k=±√3；（3）m>1，k2=m2−1．【解析】(1)是，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C，依题意可得A(k,k2)、B(2k,2k2)，因此D(k,0)、C(2k,0)，∵AD ⊥x 轴、BC ⊥x 轴， ∴AD//BC ， ∴OA OB=OD OC=k 2k=12，∴两抛物线曲似，曲似比为12；(2)假设存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切，则OA =OC =2k ，又∵OD =k 、AD =k 2，并且OD 2+AD 2=OA 2， ∴k 2+(k 2)2=(2k)2，解得：k =√3(负值舍去)，由对称性可取k =−√3，综上，k =±√3；(3)根据题意得A(k,k 2)、B(mk,mk 2)，因此D(k,0)、C(mk,0)， ∵⊙O 与直线BC 相切， ∴OA =OC =mk ，由OA >OD 可得mk >k ，则m >1，由OD =k 、AD =k 2，并且OD 2+AD 2=OA 2， ∴k 2+(k 2)2=(mk)2，整理，得：k 2=m 2−1．5．已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与二次函数的图象交于A B ，两点（A 在B 的左侧），且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 t 个单位（t ＞0），二次函数的图象与x 轴交于 M ，N 两点，一次函数图象交y 轴于 F 点．当 t 为何值时，过 F ，M ，N 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？【答案】（1）一次函数的解析式为314y x =-+；二次函数解析式为214y x =．（2）相切，证明见解析（3）当3t =时，过F M N ，，三点的圆面积最小，最小面积为4π．【解析】()1把()4,4A -代入1y kx =+得34k =-∴一次函数的解析式为314y x =-+ ∴二次函数图象的顶点在原点,对称轴为y 轴，∴二次函数的解析式为2y ax =,将()4,4A -代入解析式得14a =-∴二次函数的解析式为214y x =-()2由231414y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得44x y =-⎧⎨=⎩或114x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，11,4B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，取,A B 的中点317,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过P 作直线l 的垂线,垂足为N ,则3,12N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1725188PN ∴=+=，而直径254AB ∴==12PN AB ∴=，即圓心到直线l 的距离等于半径，以AB 为直径的圆与直线l 相切.()3平移后二次函数的解析式为()2124y x t =--,令0,y =得()212120,224x t x x --==-=过,,F M N 三点的國的圆心C 一定在平移后抛物线的对称轴.上,要使圓面积最小,圆半径应等于点F 到直线2x =2的距离,点C 坐标为()2,1. 此时,半径为2,面积为4π设圆心为,C MN 的中点为E ,连接,CE CM ,则1CE =，在三角形CEM 中，ME =MN ∴=2134MN x x t =-=∴= ∴当3t 4=时，过,,F M N 三点的圓面积最小,最小面积为4π. 6．如图，在平面角坐标系中，抛物线C 1：y=ax 2+bx ﹣1经过点A （﹣2，1）和点B （﹣1，﹣1），抛物线C 2：y=2x 2+x+1，动直线x=t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ．（1）求抛物线C 1的表达式；（2）直接用含t 的代数式表示线段MN 的长；（3）当△AMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C 1与y 轴交于点P ，点M 在y 轴右侧的抛物线C 2上，连接AM 交y 轴于点k ，连接KN ，在平面内有一点Q ，连接KQ 和QN ，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP 时，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）抛物线C1：解析式为y=x 2+x ﹣1；（2）MN=t 2+2；（3）t 的值为1或0；（4）满足条件的Q 点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（35，195）、（45，125）【解析】（1）∵抛物线C1：y=ax 2+bx ﹣1经过点A （﹣2，1）和点B （﹣1，﹣1），∴{1=4a −2b −1−1=a −b −1，解得：{a =1b =1 ， ∴抛物线C1：解析式为y=x 2+x ﹣1；（2）∵动直线x=t 与抛物线C1交于点N ，与抛物线C2交于点M ，∴点N 的纵坐标为t 2+t ﹣1，点M 的纵坐标为2t 2+t+1，∴MN=（2t 2+t+1）﹣（t 2+t ﹣1）=t 2+2；（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN 时，由已知N （t ，t 2+t ﹣1），A （﹣2，1），∴AN=t ﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t 2+2，∴t 2+2=t+2，∴t1=0（舍去），t2=1，∴t=1；②当∠AMN=90°，AN=MN 时，由已知M （t ，2t 2+t+1），A （﹣2，1），∴AM=t ﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t 2+2，∴t 2+2=t+2，∴t 1=0，t 2=1（舍去），∴t=0，故t 的值为1或0；（4）由（3）可知t=1时M 位于y 轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K （0，3），B 、O 、N 三点共线，∵A （﹣2，1），N （1，1），P （0，﹣1），∴点K 、P 关于直线AN 对称，设⊙K 与y 轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2），∴Q2与点O 关于直线AN 对称，∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP ，则NQ2延长线与⊙K 交点Q1，Q1、Q2关于KN 的对称点Q3、Q4也满足∠KNQ=∠BNP ，由图形易得Q1（﹣1，3），设点Q3坐标为（a ，b ），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2√2，由∵⊙K 半径为1，∴{(a −1)2+(b −1)2=(2√2)2a 2+(b −3)2=12，解得：{a 1=35b 1=195 ，{a 2=−1b 2=3 ，同理，设点Q4坐标为（a ，b ），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=√2，∴{(a −1)2+(b −1)2=(√2)2a 2+(b −3)2=12 ，解得：{a 3=45b 3=125 ，{a 4=0b 4=2 ， ∴满足条件的Q 点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（35，195）、（45，125）.7．如图，直线2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ．（1）当四边形CODM 是菱形时，求点D 的坐标；（2）若点P 为直线OD 上一动点，求APB ∆的面积；（3）作点B 关于直线MD 的对称点B '，以点M 为圆心，MD 为半径作M ，点Q 是M上一动点，求2QB '+的最小值．【答案】（1）；（2）3；（3【解析】(1) (,)D m m，OD =，菱形CODM2OD OC ∴===m ∴= (2)①2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于,A B 两点，∴联立，222y x mx m m =-++，2y x =+解得1111x m y m =-⎧⎨=+⎩，2224x m y m =+⎧⎨=+⎩ ∵点A 在点B 的左侧(1,1)A m m ∴-+，(2,4)B m m ++AB ∴==∴直线OD 的解析式为y x =，直线AB 的解析式为2y x =+//AB OD ∴，两直线,AB OD 之间距离22h =⨯=11322APBS AB h ∴=⋅=⨯=(3) (1,1)A m m -+，(2,4)B m m ++1AM ∴==2BM ==由M 点坐标(,2)m m +，D 点坐标(,)m m 可知以MD 为半径的圆的半径为(2)2m m +-=取MB 的中点N ，连接,,QB QN QB '，则12MN BM ==⨯=MN QMMN QM QM BM ==QMN BMQ ∠=∠， ~MNQ MQB ∴，2QN MN OB OM ∴==，QN ∴=由三角形三边关系，当,,Q N B '三点共线时QB '+最小， ∵直线AB 的解析式为2y x =+，∴直线AB 与对称轴夹角为45°，∵点,B B '关于对称轴对称， 90BMB '︒∴∠=，由勾股定理得，2QB '+最小值===.8．如图，已知以E(3，0)为圆心，5为半径的☉E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)经过A ，B ，C 三点，顶点为F.(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点F 的坐标；(3)已知M 为抛物线上的一动点(不与C 点重合)，试探究：①若以A ，B ，M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标；②若探究①中的M 点位于第四象限，连接M 点与抛物线顶点F ，试判断直线MF 与☉E 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）A(-2，0)，B(8，0)，C(0，-4)；（2）抛物线的解析式为y=14x 2-32x -4，F (3，−254)；(3)①所点M 的坐标为(6，-4)，(√41+3，4)，(-√41+3，4)；②若M 点位于第四象限，则M 点即为M1点，此时直线MF 和☉E 相切，理由见解析.【解析】(1)由题图可得点A 的横坐标为3-5=-2，点B 的横坐标为3+5=8，连接CE ，则CE=5，又OE=3，。

2023年中考数学压轴题专题10 二次函数与圆存在性问题【含答案】

专题10二次函数与圆存在性问题二次函数是初中数学代数部分最重要的概念之一，是中考数学的重难点；而圆是初中几何中综合性最强的知识内容，它与二次函数都在中考中占据及其重要的地位，两者经常作为压轴题综合考查，能够很好的考查学生的数学综合素养以及分析问题、解决问题的能力.圆心与抛物线的关系、圆上的点和抛物线的关系，其本质就是把位置关系向数量化关系转化.二次函数与圆的综合要数形结合，在读题之前要想到圆中的相关概念、性质及定理，比如圆的定义、垂径定理、圆周角、圆心角、内心、外心、切线、四点共圆的、隐藏圆等；对于二次函数，要熟练掌握解析式的求法和表达形式、顶点、最值、与方程之间的关系，线段长与点的坐标之间的数量转化等.【例1】（2022•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．（1）求抛物线的表达式；（2）以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．当⊙G与⊙E内切时．①试证明EF与EB的数量关系；②求点F的坐标．【例2】（2022•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．【例3】（2022•武汉模拟）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c（c＞0）．（1）如图1，抛物线与直线l相交于点M（﹣1，0），N（2，6）．①求抛物线的解析式；②过点N作MN的垂线，交抛物线于点P，求PN的长；（2）如图2，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A，B，C，D（0，n）四点在同一圆上，求n的值．【例4】（2022•上海模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+2（a＜0）交y轴于点A，抛物线的对称轴交x轴于点P，联结PA．（1）求线段PA的长；（2）如果抛物线的顶点到直线PA的距离为3，求a的值；（3）以点P为圆心、PA为半径的⊙P交y轴的负半轴于点B，第一象限内的点Q在⊙P上，且劣弧＝2．如果抛物线经过点Q，求a的值．1．（2021•广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF 相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．2．（2021•张家界）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B （8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．3．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．4．（2020•雨花区校级一模）如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．5．（2020•汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B （3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．6．（2021•开福区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），①求点M的坐标及⊙M的半径；②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．7．（2020•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．8．（2020•百色）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求证：直线AB与⊙O相切．（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．9．（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；＝，求点P的坐标；（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△P AC（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．10．（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．11．（2021•嘉兴二模）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；（3）已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．12．（2021•常州二模）如图1：抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．（3）如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F（点F在x 轴上方），若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．13．（2021•乐山模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值14．（2021•河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x 轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．15．（2021•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，经过C（1，1），且与x轴正半轴交于A，B两点．（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝，若∠OBN＝∠ONA，且，求抛物线的解析式；（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，与y轴交于（0，5），经过点C的直线l：y＝kx+m （k＞0）与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，求k的取值范围．16．（2021秋•上城区校级期中）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．17．（2021秋•西湖区校级期中）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；（2）已知点E是“蛋圆”上的一点（不与点A，点B重合），点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；（3）点P是“蛋圆”外一点，满足∠BPC＝60°，当BP最大时，直接写出点P的坐标．18．（2021•雨花区二模）如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B 为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．19．（2020•东海县二模）如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝x2+x上，点A的坐标为（﹣4，m），点B的坐标为（n，﹣2）．（点A在点B的左侧）（1）则m＝，n＝．（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M．①求圆心M的坐标；②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A'、C除外）．20．（2022•绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3）．其中，m≠0．（1）当m＝1时．①该二次函数的图象的对称轴是直线．②求该二次函数的表达式．（2）当|m|≤x≤|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．（3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．21．（2022•炎陵县一模）抛物线：y＝﹣x2+bx+c与y轴的交点C（0，3），与x轴的交点分别为E、G两点，对称轴方程为x＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点C作y轴的垂线交抛物线于另一点D，F为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OC 上一动点．若PD⊥PF，求点P的坐标．（3）如图1，如果一个圆经过点O、点G、点C三点，并交于抛物线对称轴右侧x轴的上方于点H，求∠OHG的度数；（4）如图2，将抛物线向下平移2个单位长度得到新抛物线L，点B是顶点．直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．与对称轴交于点G，若△BMN的面积等于2，求k的值．22．（2022•杨浦区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴相交于点A （4，0），与y轴相交于点B（0，3），在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，过P作PM⊥AB，垂足为点M．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，如果，求点P的坐标；（3）如果以N为圆心，NA为半径的圆与以OB为直径的圆内切，求m的值．【例1】（2022•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．（1）求抛物线的表达式；（2）以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．当⊙G与⊙E内切时．①试证明EF与EB的数量关系；②求点F的坐标．【分析】（1）根据点A、B的坐标，设抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），再将点C代入即可求出a的值，从而得出答案；（2）①分两种情形，当r⊙G＞r⊙E时，则GB﹣EF＝GE，则EF＝EB，当r⊙G＜r⊙E时，则EF﹣GB＝GE，设EF＝5t，FG＝3t，GE＝4t，则5t﹣GB＝4t，则GB＝t＜GE＝4t，从而得出矛盾；②由．设BD＝t，则DE＝，利用勾股定理得BE＝，则F坐标为（3﹣t，3t），代入抛物线解析式，从而解决问题．【解答】解：（1）∵点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．设抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），∵抛物线经过点C（0，4），∴4＝﹣3a．解得．∴抛物线的表达式是；（2）①由于⊙G与⊙E内切，当r⊙G＜r⊙E时，则EF﹣GB＝GE，设EF＝5t，FG＝3t，GE＝4t，则5t﹣GB＝4t，∴GB＝t＜GE＝4t，∴点E在线段CB的延长线上．又∵已知点E在线段BC上，∴矛盾，因此不存在．当r⊙G＞r⊙E时，则GB﹣EF＝GE，又∵GE＝GB﹣EB，∴EF＝EB；②∵OC⊥OB，FD⊥OB，∴∠COB＝∠EDB＝90°．∴．∴设BD＝t，则DE＝；在Rt△BED中，由勾股定理得，．∴，∴F坐标为（3﹣t，3t），∵F点在抛物线上，∴，∴解得，t＝0（点F与点B重合，舍去）．∴F坐标为（，）．【例2】（2022•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．【分析】（1）等腰直角三角形斜边中线等于斜边一半，点的坐标，不难求出A、B两点坐标，把点A、B、C 代入二次函数解析式，解三元一次方程组就可得到函数解析式．（2））通过设过点D（2，0）的直线MN解析式为y＝k（x﹣2）＝kx﹣2k，得到关于x、关于y的方程，利用跟与系数的关系，再得到圆的解析式，待定系数法确定定点的x、y的值，确定定点的坐标．【解答】解：连接AC、BC，过点C作CP垂直于x轴于点P．在Rt△CAB中，AC＝BC，CP⊥AB，点C（2，﹣4），∴CP＝AP＝PB＝4，OP＝2，∴OA＝AP﹣OP＝4﹣2＝2，OB＝OP+PB＝4+2＝6，∴点A（﹣2，0），点B（6，0），把点A（﹣2，0），点B（6，0），点C（2，﹣4）代入函数解析式得，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3．故答案为：y＝x2﹣x﹣3．（2）设过点D（2，0）的直线MN解析式为y＝k（x﹣2）＝kx﹣2k，联立直线与抛物线解析式得关于x的等式：kx﹣2k＝x2﹣x﹣3，化简得＝0，x N+x M＝﹣＝4（k+1），x N x M＝＝8k﹣12..........①，联立直线与抛物线解析式得关于y的等式：y＝（+2）2﹣（+2）﹣3，化简得y2+（﹣﹣1）y﹣4＝0，y M+y N＝4k2，y M y N＝﹣16k2................②，线段MN的中点就是圆的圆心，∴x O＝（x N+x M）＝2（K+1），代入直线方程得y O＝2k2，∴圆心坐标为（2k+2，2k2），直径MN＝＝，把①、②代入上式化简整理得直径MN＝，设圆上某一点（x，y）到圆心的距离等于半径，∴＝，化简整理得16k2+12﹣8k＝x2﹣4kx﹣4x+y2﹣4k2y＝﹣4yk2﹣4kx+x2﹣4x+y2，圆过定点，所以与k值无关，看作是关于k的二次等式，k2、k的系数，常量对应相等，得﹣8＝﹣4x，x＝2，16＝﹣4y，y＝﹣4，由以上分析，所以以MN为直径的圆过定点（2，﹣4）．故答案为：以线段MN为直径的圆过定点（2，﹣4）．【例3】（2022•武汉模拟）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c（c＞0）．（1）如图1，抛物线与直线l相交于点M（﹣1，0），N（2，6）．①求抛物线的解析式；②过点N作MN的垂线，交抛物线于点P，求PN的长；（2）如图2，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A，B，C，D（0，n）四点在同一圆上，求n的值．【分析】（1）①把点M（﹣1，0），N（2，6）代入到y＝﹣2x2+bx+c中，可得b和c的值．②设P（a，﹣2a2+4a+6），再利用M（﹣1，0），N（2，6），得到MN、PM、PN的表达式，最后利用勾股定理求得a的值．（2）令C（0，c），当y＝0时，代入抛物线得x A x B＝﹣，根据两角对应相等，可得△AOC∽△DOB，然后再找到对应线段成比例，即得到n的值．【解答】解：（1）①把M（﹣1，0）N（2，6）代入y＝﹣2x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；②由①，抛物线解析式为：y＝﹣2x2+4x+6，设P（a，﹣2a2+4a+6）∵M（﹣1，0），N（2，6），∴MN＝＝3，∴PM＝，PN＝，又∵PN⊥MN，则PM2＝MN2+PN2，（﹣1﹣a）2+（2a2﹣4a﹣b）2＝（3）2+（2﹣a）2+（2a2﹣4a）2．整理得：4a2﹣9a+2＝0，∴（a﹣2）（4a﹣1）＝0．∴a1＝2，a2＝．当a＝2时，P与N重合，∴a＝，PN＝．（2）证明：设OA＝﹣x A，OB＝x B，OD＝﹣n当y＝0时，﹣2x2+bx+c＝0，∴x A x B＝﹣，∴OA•OB＝﹣x A x B＝．∵∠CAO＝∠BDO，∠ACO＝∠DBO∴△AOC∽△DOB∴＝∴OA•OB＝OC•OD∴＝c•（﹣n）．∵c≠0∴n＝﹣．【例4】（2022•上海模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+2（a＜0）交y轴于点A，抛物线的对称轴交x轴于点P，联结PA．（1）求线段PA的长；（2）如果抛物线的顶点到直线PA的距离为3，求a的值；（3）以点P为圆心、PA为半径的⊙P交y轴的负半轴于点B，第一象限内的点Q在⊙P上，且劣弧＝2．如果抛物线经过点Q，求a的值．【分析】（1）分别求出P（，0），A（0，2），由两点间距离公式可求；＝×PM×OP＝×AP×3，可得a＝﹣；（2）抛物线的顶点为M（，2﹣a），由S△APM（3）连接PQ，BP，AM，设Q（t，at2﹣3at+2），求出M（﹣1，0），由垂径定理可得AM＝AQ，＝①，PQ＝AP，得②，联立①②可得a＝．【解答】解：（1）y＝ax2﹣3ax+2＝a（x﹣）2+2﹣a，∴抛物线的对称轴为x＝，∴P（，0），令x＝0，则y＝2，∴A（0，2），∴PA＝；（2）由（1）可知抛物线的顶点为M（，2﹣a），∵a＜0，∴2﹣a＞0，∴S △APM ＝×PM ×OP ＝×AP ×3，∴（2﹣a ）×＝×3，解得a ＝﹣；（3）连接PQ ，BP ，AM ，∵MP ⊥AB ，∴＝，∵＝2，∴＝，∴AM ＝AQ ，设Q （t ，at 2﹣3at +2），∵AP ＝，P （，0），∴M （﹣1，0），∴＝①，∵PQ ＝AP ，∴②，联立①②可得t ＝或t ＝﹣1（舍），将t ＝代入①，可得a ＝．1．（2021•广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF 相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标；（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，运用勾股定理即可求出答案；（3）如图2，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，可得DF＝t2﹣2t﹣3，BF＝t﹣3，AF＝t+1，运用圆内接四边形的性质可得∠DAF＝∠BEF，进而证明△AFD∽△EFB，利用＝，即可求得答案．【解答】解：（1）根据表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）；（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝＝＝，∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，∴AQ+QP+PC的最小值为+1；（3）线段EF的长为定值1.如图2，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，∵EF⊥x轴，∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，∵F（t，0），∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF+∠BED＝180°，∵∠BEF+∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴＝，∴＝，∴EF＝＝＝1，∴线段EF的长为定值1．2．（2021•张家界）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B （8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E 的运动时间t的最小值．【分析】（1）运用待定系数法即可求出答案；（2）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，得出顶点坐标，运用待定系数法求出直线AB的函数表达式；（3）方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），得出△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，即可得出答案，方法2：由△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），运用勾股定理及逆定理即可得出答案；（4）以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，根据t＝AP+PB＝PD+PB，可知当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由t＝DB＝即可求出答案．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），∴c＝0，二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx（a≠0），将C（2，﹣3），B（8，0）代入y＝ax2+bx得：，解得：，∴二次函数的表达式为；（2）∵＝（x﹣4）2﹣4，∴抛物线的顶点A（4，﹣4），设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，将A（4，﹣4），B（8，0）代入，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；（3）△ABO是等腰直角三角形．方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，∴△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，∴OA＝AB＝4，∠OAF＝∠BAF＝45°，∴∠OAB＝90°，∴△ABO是等腰直角三角形．方法2：∵△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），∴OB＝8，OA＝＝＝，AB＝＝＝，且满足OB2＝OA2+AB2，∴△ABO是等腰直角三角形；（4）如图2，以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：动点E的运动时间为t＝AP+PB，在OA上取点D，使OD＝，连接PD，则在△APO和△PDO中，满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，∴△APO∽△PDO，∴＝＝2，从而得：PD＝AP，∴t＝AP+PB＝PD+PB，∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由于，且△ABO为等腰直角三角形，则有DG＝1，∠DOG＝45°∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝DB＝＝＝5．3．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）△BCE是直角三角形．运用勾股定理逆定理即可证明；（3）如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，∴BE2＝BC2+CE2，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是直角三角形；（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．理由如下：连结CP，∵CP为半径，∴＝＝，又∵∠FCP＝∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴＝＝，即FP＝EP，∴BF＝BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．∵CF＝CE，E（2，8），∴由比例性质，易得F（，），∴BF＝＝．4．（2020•雨花区校级一模）如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．【分析】（1）令y＝0，求得抛物线与x轴的交点A、B的坐标，令x＝0，用a表示C点的坐标，再由三角函数列出a的方程，便可求得a的值；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，用d表示出M的坐标，根据MA＝MC，列出a、d的关系式，再通过关系式求得结果；（3）取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当P 为直线y＝x与⊙M的切点时，∠APB达到最大，利用圆圆周角性质和解直角三角形的知识求得结果便可．【解答】解：（1）连接BC，令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，解得，x＝4或8，∴A（4，0），B（8，0），令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，∴C（0，32a），又∠ABC＝30°，∴tan∠ABC＝，解得，a＝；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，如图2，∴AH＝BH＝＝2，∴OH＝6，设M（6，d），∵MA＝MC，∴4+d2＝36+（d﹣32a）2，得2ad＝32a2+1，∴d＝16a+＝，∴当4时，有，即当a＝时，有；（3）∵P（t，t），∴点P在直线y＝x上，如图3，取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当⊙M与直线y＝x相切时，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，∴∠APB最大，此时相切点为P，设M（6，d），而T（6，0），∴S（6，6），∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，又MP＝MB＝，∴MS＝＝，∵MS+MT＝ST＝6，∴，解得，d＝2（负根舍去），经检验，d＝2是原方程的解，也符合题意，∴M（6，2），∴MB＝2，∵∠AMB＝2∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，∴∠AMT＝∠BMT＝∠AMB＝∠APB，∴sin∠APB＝sin∠BMT＝．5．（2020•汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B （3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．【分析】（1）将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得a、b、c，便可得抛物线的解析式；（2）1°用待定系数法求出直线BC的解析式，再设M的横坐标为t，用t表示MN的距离，再根据二次函数的性质求得MN的最大值；2°分三种情况：当∠PMN＝90°时；当∠PNM＝90°时；当∠MPN＝90°时．分别求出符合条件的P点坐标便可．【解答】解：（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）1°设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设M（t，﹣t+3）（0＜t＜3），则N（t，t2﹣4t+3），∴MN＝﹣t2+3t＝﹣，∴当t＝时，MN的值最大，其最大值为；2°∵△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上，∴△PMN为直角三角形，由1°知，当MN取最大值时，M（），N（），①当∠PMN＝90°时，PM∥x轴，则P点与M点的纵坐标相等，∴P点的纵坐标为，当y＝时，y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝，或x＝（舍去），∴P（）；②当∠PNM＝90°时，PN∥x轴，则P点与N点的纵坐标相等，∴P点的纵坐标为﹣，当y＝﹣时，y＝x2﹣4x+3＝﹣，解得，x＝，或x＝（舍去），∴P（，）；③当∠MPN＝90°时，则MN为△PMN的外接圆的直径，∴△PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，∴Q（），半径为，过Q作QK∥x轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图②，令y＝，得y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝＜（舍），或x＝，∴K（，），∴QK＝＞，即K点在以MN为直径的⊙Q外，设抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为点L，则l（2，﹣1），连接LK，如图②，则L到QK的距离为，LK＝，设Q点到LK的距离为h，则，∴＝，∴直线LK下方的抛物线与⊙Q没有公共点，∵抛物线中NL部分（除N点外）在过N点与x轴平行的直线下方，∴抛物线中NL部分（除N点外）与⊙Q没有公共点，∵抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，∴抛物线K点右边部分与⊙Q没有公共点，综上，⊙Q与MN右边的抛物线没有交点，∴在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使△PMN的外接圆圆心Q在MN边上；综上，点P的坐标为（）或（）．6．（2021•开福区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），①求点M的坐标及⊙M的半径；②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．【分析】（1）c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣4b﹣2，解得：b＝﹣，即可求解；。

中考数学复习：二次函数和圆的综合题（含答案）

1 二次函数和圆中考综合题【例题1】已知圆P 的圆心在反比例函数ky x =(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点．且始终与y 轴相切于定点C (0，1)．(1)求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式; (2)若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．【例题2】在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，是矩形，OA=4OA=4OA=4，，AB=2AB=2，直线，直线32y x =-+与坐标轴交于D 、E 。

设M 是AB 的中点，的中点，P P 是线段DE 上的动点上的动点. .（1）求M 、D 两点的坐标；（2）当P 在什么位置时，在什么位置时，PA=PB PA=PB PA=PB？求出此时？求出此时P 点的坐标；（3）过P 作PH PH⊥⊥BC BC，垂足为，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙为直径的⊙F F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积的面积. .【例题3】在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y 轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．的解析式；（1）求直线CB的解析式；（2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；，求该抛物线的解析式；（3）试判断点C是否在抛物线上？是否在抛物线上？相似？直接写出两组这样的点．（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC相似？直接写出两组这样的点．【例题4】如图，已知抛物线y= ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．的值及抛物线的解析式；（1）求m的值及抛物线的解析式；（a－b）的值；）的值；sin（（2）设∠DBC = a，∠CBE = b，求sin（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指的坐标；若不存在，请说明理由．出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例题5】如图，点M （4，0），以点M 为圆心、为圆心、22为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）点Q （8，m ）在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值．最小值．（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．所在直线的解析式．【例题6】如图所示，如图所示，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，M 经过原点O ，且与x 轴、y 轴分别相交于A （-8,0），B （0，-6）两点．）两点．（1）请求出直线AB 的函数表达式；的函数表达式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数表达式；函数表达式；（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D E ，两点，在抛物线上是否存在点P ，使得115PDE ABC S S =△△？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．（4）点H 是抛物线对称轴上的一个动点，且在点M 的下方，请问抛物线上是否存在另一点Q ，使得△ABH 与△ABQ 全等。

2020中考数学函数及其图象综合训练(含答案)

2020中考数学函数及其图象综合训练（含答案）一、选择题（本大题共6道小题）1. 已知A，B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米/时，若用x表示行走的时间(小时)，y表示余下的路程(千米)，则y关于x的函数解析式是()A.y=4x(x≥0)B.y=4x-3x≥34C.y=3-4x(x≥0)D.y=3-4x0≤x≤342. 二次函数y=x2-ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x=2，下列结论不正确的是()A.a=4B.当b=-4时，顶点的坐标为(2，-8)C.当x=-1时，b>-5D.当x>3时，y随x的增大而增大3. 正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随着x的增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是 ()4. 在平面直角坐标系中，点P(-3，m2+1)关于原点的对称点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5. 已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点，且当x<-1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是() A.a<2 B.a>-1 C.-1<a≤2D.-1≤a<26. 已知m>0，关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1，x2(x1<x2)，则下列结论正确的是()A.x1<-1<2<x2B.-1<x1<2<x2C.-1<x1<x2<2D.x1<-1<x2<2二、填空题（本大题共6道小题）7. 若二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，则a0(填“=”或“>”或“<”).8. 如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是x=.9. 如图，直线y=kx+b(k<0)经过点A(3，1)，当kx+b<13x时，x的取值范围为.10. 已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是.11. 如图，点A，C分别是正比例函数y=x的图象与反比例函数y=4x的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为.12. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足下表:x…-1 0 1 2 3 …y… 3 0 -1 0 m…(1)观察上表可求得m的值为;(2)这个二次函数的解析式为;(3)若点A(n+2，y1)，B(n，y2)在该抛物线上，且y1>y2，则n的取值范围为.三、解答题（本大题共5道小题）13. 点P(1，a)在反比例函数y＝kx的图象上，它关于y轴的对称点在一次函数y＝2x＋4的图象上，求此反比例函数的解析式．14. 某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元，240元)浮动时，每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表:x(元) …190 200 210 220 …y(间) …65 60 55 50 …(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象.(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.(3)设客房的日营业额为w(元)，若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大?最大为多少元?15. 如图，▱ABCD中，顶点A的坐标是(0，2)，AD∥x轴，BC交y轴于点E，的图象经过点B和D，顶点C的纵坐标是-4，▱ABCD的面积是24.反比例函数y=kx求:(1)反比例函数的表达式;(2)AB所在直线的函数表达式.16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(-2，0)的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D，C.(1)若OB=4，求直线AB的函数关系式;(2)连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长.17. 如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(-1，4)，点B的坐标为(4，n).(1)根据图象，直接写出满足k1x+b>k2x的x的取值范围;(2)求这两个函数的表达式;(3)点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP=1∶2，求点P的坐标.2020中考数学函数及其图象综合训练-答案一、选择题（本大题共6道小题）1. 【答案】D2. 【答案】C[解析]选项A，由对称轴为直线x=2可得--a2=2，∴a=4，正确;选项B，∵a=4，b=-4，∴代入解析式可得，y=x2-4x-4，当x=2时，y=-8，∴顶点的坐标为(2，-8)，正确;选项C，由图象可知，x=-1时，y<0，即1+4+b<0，∴b<-5，∴错误;选项D，由图象可以看出当x>3时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，正确，故选C.3. 【答案】A[解析]因为正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随着x的增大而减小，所以k<0，所以一次函数y=x+k的函数值y随着x增大而增大，图象与y轴交于负半轴，故选A.4. 【答案】D [解析]m 2是非负数，m 2+1一定是正数，所以点P (-3，m 2+1)在第二象限.关于原点对称的两个点横、纵坐标都互为相反数.由此得点P 关于原点的对称点在第四象限.5. 【答案】D[解析]y=(x -a -1)(x -a +1)-3a +7=x 2-2ax +a 2-3a +6，∵抛物线与x 轴没有公共点，∴Δ=(-2a )2-4(a 2-3a +6)<0，解得a<2. ∵抛物线的对称轴为直线x=--2a 2=a ，抛物线开口向上，而当x<-1时，y 随x 的增大而减小，∴a ≥-1，∴实数a 的取值范围是-1≤a<2.故选D .6. 【答案】A[解析]关于x 的一元二次方程(x +1)(x -2)-m=0的解为x 1，x 2，可以看作二次函数m=(x +1)(x -2)的图象与x 轴交点的横坐标，∵二次函数m=(x +1)(x -2)的图象与x 轴交点坐标为(-1，0)，(2，0)，如图: 当m>0时，就是抛物线位于x 轴上方的部分，此时x<-1，或x>2. 又∵x 1<x 2， ∴x 1<-1，x 2>2， ∴x 1<-1<2<x 2，故选A .二、填空题（本大题共6道小题） 7. 【答案】<8. 【答案】2[解析]考查一元一次方程与一次函数的关系，即关于x 的方程ax +b=0的解就是一次函数y=ax +b 的图象与x 轴交点(2，0)的横坐标2.9. 【答案】x>3[解析]当x=3时，13x=13×3=1，∴点A 在一次函数y=13x 的图象上，且一次函数y=13x 的图象经过第一、三象限，∴当x>3时，一次函数y=13x 的图象在y=kx +b 的图象上方，即kx +b<13x.10. 【答案】74[解析]∵抛物线y=ax 2+4ax +4a +1(a ≠0)过点A (m ，3)，B (n ，3)两点， ∴m+n 2=-4a2a =-2.∵线段AB 的长不大于4，∴4a +1≥3，∴a ≥12，∴a 2+a +1的最小值为:122+12+1=74. 11. 【答案】8 [解析]由{y =x ，y =4x，得{x =2，y =2或{x =-2，y =-2，， ∴A 的坐标为(2，2)，C 的坐标为(-2，-2).∵AD ⊥x 轴于点D ，CB ⊥x 轴于点B ，∴B (-2，0)，D (2，0)，∴BD=4，AD=2， ∴四边形ABCD 的面积=12AD ·BD ×2=8.12. 【答案】解:(1)3[解析]观察表格，根据抛物线的对称性可得x=3和x=-1时的函数值相等，∴m 的值为3，故答案为:3.(2)y=(x -1)2-1 [解析]由表格可得，二次函数y=ax 2+bx +c 图象的顶点坐标是(1，-1)，∴y=a (x -1)2-1.又当x=0时，y=0，∴a=1，∴这个二次函数的解析式为y=(x -1)2-1.(3)n>0 [解析]∵点A (n +2，y 1)，B (n ，y 2)在该抛物线上，且y 1>y 2，∴结合二次函数的图象和性质可知n>0.三、解答题（本大题共5道小题）13. 【答案】解：点P(1，a )关于y 轴的对称点是(－1，a )． ∵点(－1，a )在一次函数y ＝2x ＋4的图象上， ∴a ＝2×(－1)＋4＝2.∵点P(1，2)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝2.∴反比例函数的解析式为y ＝2x .14. 【答案】解:(1)如图所示.(2)设y=kx +b (k ≠0)，把(200，60)和(220，50)代入，得{200k +b =60，220k +b =50，解得{k =-12，b =160.∴y=-12x +160(170≤x ≤240).(3)w=x ·y=x ·-12x +160=-12x 2+160x.∴函数w=-12x 2+160x 图象的对称轴为直线x=-1602×(-12)=160，∵-12<0，∴在170≤x ≤240范围内，w 随x 的增大而减小. 故当x=170时，w 有最大值，最大值为12750元.15. 【答案】解:(1)∵AD ∥x 轴，AD ∥BC ，∴BC ∥x 轴. ∵顶点A 的坐标是(0，2)，顶点C 的纵坐标是-4， ∴AE=6，又∵▱ABCD 的面积是24， ∴AD=BC=4，则D (4，2)， ∴k=4×2=8，∴反比例函数的表达式为y=8x . (2)由题意知B 的纵坐标为-4， ∴其横坐标为-2，则B (-2，-4). 设AB 所在直线的表达式为y=k'x +b ，将A (0，2)，B (-2，-4)的坐标代入，得:{b =2，-2k '+b =-4，解得:{k '=3，b =2，所以AB 所在直线的函数表达式为y=3x +2.16. 【答案】解:(1)因为OB=4，且点B 在y 轴正半轴上，所以点B 的坐标为(0，4).设直线AB 的函数关系式为y=kx +b ，将点A (-2，0)，B (0，4)的坐标分别代入，得{b =4，-2k +b =0，解得{b =4，k =2，所以直线AB 的函数关系式为y=2x +4. (2)设OB=m ，因为△ABD 的面积是5，所以12AD ·OB=5.所以12(m +2)m=5，即m 2+2m -10=0. 解得m=-1+√11或-1-√11(舍去). 因为∠BOD=90°，所以点B 的运动路径长为14×2π×(-1+√11)=-1+√112π.17. 【答案】解:(1)x<-1或0<x<4.(2)把A (-1，4)的坐标代入y=k2x ，得k 2=-4.∴y=-4x .∵点B (4，n )在反比例函数y=-4x 的图象上，∴n=-1.∴B (4，-1).把A (-1，4)，B (4，-1)的坐标代入y=k 1x +b ，得{-k 1+b =4，4k 1+b =-1，解得{k 1=-1，b =3.∴y=-x +3.(3)设直线AB 与y 轴交于点C ， ∵点C 在直线y=-x +3上，∴C (0，3). S △AOB =12OC ·(|x A |+|x B |)=12×3×(1+4)=7.5，又∵S △AOP ∶S △BOP =1∶2， ∴S △AOP =13×7.5=2.5，S △BOP =5. 又S △AOC =12×3×1=1.5，1.5<2.5， ∴点P 在第一象限.∴S △COP =2.5-1.5=1. 又OC=3，∴12×3×x P =1，解得x P =23. 把x P =23代入y=-x +3，得y P =73. ∴P23，73.。

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翻折后的劣弧落在⊙ D 内，它所在的圆恰与 OD 相切，求⊙ D 半径的长及抛物线的解析式； ⑶设点 B 是满足( 2 )中条件的优弧上的一个动点，抛物线在 x 轴上方的部分上是否存在这样的点 P ，使得
∠POA 4∠OBA ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 3
题 9．如图 1， O 的半径为1 ，正方形 ABCD 顶点 B 坐标为 5，0 ，顶点 D 在 O 上运动．
例题 2.
在平面直角坐标系中，抛物线经过
O(0, 0)
、
A(4,
0)
、
B
3,
2
3 3
三点.
（1）求此抛物线的解析式；（2）以 OA 的中点 M 为圆心，OM 的长为半径作 M ，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点 P，过点 P 作 M 的
切线 l，且 l 与 x 轴的夹角为 30 ？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果保
例题 6. 如图所示，抛物线与 x 轴交于点 A(1, 0) 、 B(3, 0) 两点，与 y 轴交于点 C(0, 3) ．以 AB 为直径作 M ，过抛物线上一点 P 作 M 的切线 PD，切点为 D，并与 M 的切线 AE 相交于点 E，连结 DM 并延长交 M 于点 N，连结 AN、AD．
（Ⅰ）若 x1x2 0 ，且 m 为正整数，求抛物线 M 的解析式；（Ⅱ）若 x1 1，x2 1 ，求 m 的取值范围；（ Ⅲ ）试判断是否存在 m ，使经过点 A 和点 B 的圆与 y 轴相切于点 C(0，2) ，若存在，求出
M : y x2 (m 1)x (m 2) 的值；若不存在，试说明理由；（Ⅳ）若直线 l : y kx b 过点 F (0，7) ，与（Ⅰ）中的抛物线 M 相交于 P，Q 两点，且使 PF 1 ，求直线 l 的
留根号）
例题 3. 如图，抛物线 y 1 x2 x 3 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，顶点为点 D，对称轴 l 与直线 BC 交于 4
点 E，与 x 轴交于点 F．（1）求直线 BC 的解析式．（2）设点 P 为该抛物线上的一个动点，以点 P 为圆心、r 为半径作⊙P ． ①当点 P 运动到点 D 时，若⊙P 与直线 BC 相交，求 r 的取值范围； ②若 r 4 5 ，是否存在点 P 使⊙P 与直线 BC 相切？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
物线的对称轴是直线 x 2 ．（1）求直线 AC 及抛物线的函数表达式；（2）如果 P 是线段 AC 上的一点，设三角形 ABP、三角形 BPC 的面积分别为 S△ABP 、 S△BPC ，且 S△ABP:S△BPC 2 : 3 ，
求点 P 的坐标；（3）设 Q 的半径为 1，圆心 Q 在抛物线上运动，则在运动的过程中是否存在 Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设 Q 的半径为 r，圆心 Q 在抛物线上运动，则当 r 取何值时， Q 与两坐标轴同时相切？
（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；（2）若四边形 EAMD 的面积为 4 3 ，求直线 PD 的函数关系式；（3）抛物线上是否存在点 P，使得四边形 EAMD 的面积等于 △DAN 的面积？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
例题 7.已知：抛物线 M : y x2 (m 1)x (m 2) 与 x 轴相交于 A(x1，0)，B(x2，0) 两点，且 x1 x2 ．
请求出 4-2
例题 5. 如图，已知点 A 的坐标是 (1, 0) ，点 B 的坐标是 (9, 0) ，以 AB 为直径作 O ' ，交 y 轴的负半轴于点 C，连接 AC，BC，过 A，B，C 三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是 AC 延长线上一点， BCE 的平分线 CD 交 O ' 于点 D，连接 BD，求直线 BD 的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点 P，使得 PDB CBD ？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
2020 中考数学二次函数与圆综合
例题 1. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为 (3, 0) ，若将经过 A、C 两点的直线 y kx+b 沿 y 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点，且抛
5
例题 4. 已知，如图 4-1，抛物线 y ax2 bx c 经过点 A(x1, 0) ，B(x2 , 0) ，C(0, 2) ，其顶点为 D．以 AB 为直径的 M 交 y 轴于点 E、F，过点 E 作 M 的切线交 x 轴于点 N． ONE 30 ， |x1 x2| 8 ．
（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）如图 4-2，点 Q 为 E BF 上的动点（Q 不与 E、F 重合），连结 AQ 交 y 轴于点 H，问： AH AQ 是否为定值？若是，
FQ 2 解析式．
例题 8.已知：在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y kx 4k 的图象与 x 轴交于点 A ，抛物线 y ax2 bx c 经过 O ， A 两点．
⑴试用含 a 的代数式表示 b ； ⑵设抛物线的顶点为 D ，以 D 为圆心， DA 为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿 x 轴翻折，
1.如图，已知抛物线 y = ax2 + bx－3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，经过 A、B、C 三点的圆的圆心 M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为 5 ．设⊙M 与 y 轴交于 D，抛物线的顶点为 E．（1）求 m 的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC = ，∠CBE = ，求 sin（－）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 P、A、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点 P 的位置，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
⑴ 当点 D 运动到与点 A 、 O 在同一条直线上时，试证明直线 CD 与 O 相切； ⑵ 当直线 CD 与 O 相切时，求 OD 所在直线对应的函数关系式； ⑶ 设点 D 的横坐标为 x ，正方形 ABCD 的面积为 S ，求 S 与 x 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值与最小
值．
例题 10.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ax2 bx c 交 x 轴于 A(2, 0) ，B(6, 0) 两点，交 y 轴于点 C(0, 2 3) ．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线 y 2x 交于点 D，作 D 与 x 轴相切，D 交 y 轴于点 E、F 两点，求劣弧 EF 所对圆心角的度数；（3）P 为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，试确定 P 点的位置，使得 △PGA 的面积被直线 AC 分为 1:2 两部分．