2017-2018学年 高一下学期期中考试数学试卷
2017-2018年广西桂林十八中高一(下)期中数学试卷和答案
2017-2018学年广西桂林十八中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）sin（）=（）A．B．C．D．3．（5分）函数的定义域是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（2，3）∪（3，+∞）D．（3，4）∪（4，+∞）4．（5分）函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π5．（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为24，30，则输出的a（）A．2B．4C．6D．86．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1B．C．D．27．（5分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．x=π8．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．πB．C．D．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2B．C．6D．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增．若实数a满足，则a的最大值是（）A．1B．C．D．11．（5分）函数f（x）=x2﹣bx+c满足f（1+x）=f（1﹣x）且f（0）=3，则f（b x）和f（c x）的大小关系是（）A．f（b x）≤f（c x）B．f（b x）≥f（c x）C．f（b x）＞f（c x）D．大小关系随x的不同而不同12．（5分）在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且=λ，若•≥•，则λ的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）111正视图侧视图俯视图13．（5分）cos20°•cos10°﹣sin20°sin10°=．14．（5分）设，是两个不共线的向量，且向量=2与向量=+是共线向量，则实数λ=．15．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：y=x+b的距离为，则b取值范围为．16．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则实数m的取值范围是；x1+x2+x3的取值范围是．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知tanα=2，求（1）（2）18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF ⊥PA？请说明理由．19．（12分）已知向量，．（1）若，求x的值；（2）记，求f（x）的单调递增区间．20．（12分）已知函数的最小正周期为π，且点为f（x）图象上的一个最低点．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数，求g（x）的值域．21．（12分）已知圆E过圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0与直线y=x的交点，且圆E上任意一点关于直线y=2x﹣2的对称点仍在圆E上．（1）求圆E的标准方程；（2）若圆E与y轴正半轴的交点为A，直线l与圆E交于B，C两点（异于点A），且点H（2，0）满足AH⊥l，，求直线l的方程．22．（12分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）2017-2018学年广西桂林十八中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【解答】解：由x2﹣4x+3＜0得1＜x＜3，则集合B={x|1＜x＜3}，又集合A={1，2，3}，则A∩B=（2），故选：B．2．（5分）sin（）=（）A．B．C．D．【解答】解：因为sin（）=﹣sin=﹣sin（6π+）=﹣sin=﹣．故选：B．3．（5分）函数的定义域是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（2，3）∪（3，+∞）D．（3，4）∪（4，+∞）【解答】解：要使原函数有意义，则，即x＞3且x≠4．∴函数的定义域是（3，4）∪（4，+∞）．故选：D．4．（5分）函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【解答】解：函数f（x）=sin2x﹣cos2x=cos（2x+）所以函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是：T==π故选：B．5．（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为24，30，则输出的a（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：模拟程序的运行，可得a=24，b=30不满足a＞b，可得b=30﹣24=6，满足a＞b，可得a=24﹣6=18，满足a＞b，可得a=18﹣6=12，满足a＞b，可得a=12﹣6=6，此时，满足a=b=6，退出循环，输出a的值为6，故选：C．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1B．C．D．2【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB=1，AB=1，AD=1，∴BD=，PD==．PC═该几何体最长棱的棱长为：故选：C．7．（5分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．x=π【解答】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos（x﹣）的图象；再向右平移个单位，可得y=cos（x﹣﹣）=sin x 的图象．令x=kπ+，求得x=2kπ+π，k∈Z，令k=0，可得函数的一条对称轴为x=π，故选：D．8．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．πB．C．D．【解答】解：设与的夹角为θ，∵（﹣）⊥（3+2），||=||，∴（﹣）•（3+2）=3﹣﹣2=3•﹣•||cosθ﹣2 =0，∴cosθ=，∴θ=，故选：D．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2B．C．6D．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心C（2，1）在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，∴2+a﹣1=0，解得a=﹣1，∴A（﹣4，﹣1），∵过点A（﹣4，﹣1）作圆C的一条切线，切点为B，∴|AC|==，r==2，∴|AB|==6．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增．若实数a满足，则a的最大值是（）A．1B．C．D．【解答】解：f（x）是R上的偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增；∴f（32a﹣1）=f（﹣32a﹣1）；∴由得；∴；∴；∴；解得；∴a的最大值为．故选：D．11．（5分）函数f（x）=x2﹣bx+c满足f（1+x）=f（1﹣x）且f（0）=3，则f（b x）和f（c x）的大小关系是（）A．f（b x）≤f（c x）B．f（b x）≥f（c x）C．f（b x）＞f（c x）D．大小关系随x的不同而不同【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）图象的对称轴为直线x=1，由此得b=2．又f（0）=3，∴c=3．∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）．若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f（3x）＞f（2x）．∴f（3x）≥f（2x）．故选：A．12．（5分）在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且=λ，若•≥•，则λ的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，]【解答】解：∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：C（0，0），A（1，0），B（0，1），，∵=λ，∴λ∈[0，1]，，．•≥•，∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ．2λ2﹣4λ+1≤0，解得：，∵λ∈[0，1]∴λ∈[，1]故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）111正视图侧视图俯视图13．（5分）cos20°•cos10°﹣sin20°sin10°=．【解答】解：cos20°•cos10°﹣sin20°sin10°=cos（20°+10°）=cos30°=．故答案为：．14．（5分）设，是两个不共线的向量，且向量=2与向量=+是共线向量，则实数λ=﹣．【解答】解：设存在实数m使得，则=m（）=m+mλ，由平面向量基本定理，这样的表示是唯一的，∴m=2，mλ=﹣1，解得λ=﹣．故答案为：﹣．15．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：y=x+b的距离为，则b取值范围为[﹣2，2] ．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：x﹣y+b=0的距离为2，则圆心到直线的距离d=≤，∴﹣2≤b≤2，∴b的取值范围是[﹣2，2]，故答案为[﹣2，2]．16．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：，设f（x）=（2x ﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则实数m的取值范围是；x1+x2+x3的取值范围是．【解答】解：∵，∴f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=，则当x=0时，函数取得极小值0，当x=时，函数取得极大值故关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3时，实数m的取值范围是令f（x）=，则x=，或x=不妨令x1＜x2＜x3时则＜x1＜0，x2+x3=1∴x1+x2+x3的取值范围是故答案为：，三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知tanα=2，求（1）（2）【解答】解：（1）∵tanα=2，∴原式=．（2）∵tanα=2，∴原式=．18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF ⊥PA？请说明理由．【解答】（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．…（1分）∵E为PC的中点，∴EQ∥CD且EQ=CD．…（2分）又∵AB∥CD且AB=CD，∴EQ∥AB且EQ=AB．…（3分）∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AQ．…（4分）又∵BE⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD．…（5分）（2）解：棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，∴AD⊥平面PCD，∴DP是PA在平面PCD中的射影，∴PC=DC，PF=DF，∴CF⊥DP，∴CF⊥PA．19．（12分）已知向量，．（1）若，求x的值；（2）记，求f（x）的单调递增区间．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由得，，即：，所以，．…（6分）（2）=，由：，得：，可得：f（x）的单调递增区间为．……（12分）20．（12分）已知函数的最小正周期为π，且点为f（x）图象上的一个最低点．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数，求g（x）的值域．【解答】解：（1）根据f（x）=Asin（2ωx+φ）的最小正周期为π，可得，再根据f（x）图象上一个最低点为，可得A=2；又，∴，即，再由，得，∴；…（6分）（2）化简g（x）=2sin（2x+）﹣4sin2x=sin2x+cos2x﹣2（1﹣cos2x）=2sin（2x+）﹣2，当时，，故当，即时，函数g（x）取得最大值为2，当，即时，函数g（x）取得最小值为，故函数g（x）的值域为．21．（12分）已知圆E过圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0与直线y=x的交点，且圆E上任意一点关于直线y=2x﹣2的对称点仍在圆E上．（1）求圆E的标准方程；（2）若圆E与y轴正半轴的交点为A，直线l与圆E交于B，C两点（异于点A），且点H（2，0）满足AH⊥l，，求直线l的方程．【解答】（1）解法一：由，解得两交点分别为P（﹣1，﹣1），Q（2，2），PQ的中点为（，），斜率为1，则直线PQ的垂直平分线方程为，即y=﹣x+1，由联立解得圆心E（1，0），半径，所以得到圆E的标准方程为（x﹣1）2+y2=5；解法二：设圆E的方程为x2+y2+2x﹣4y﹣4+λ（x﹣y）=0，即为x2+y2+（2+λ）x﹣（4+λ）y﹣4=0，由条件知圆心在直线y=2x﹣2上，故，解得λ=﹣4．于是所求圆E的标准方程为（x﹣1）2+y2=5；（2）由题知A（0，2），H（2，0），k AH=﹣1，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为y=x+m，B（x1，y1），C（x2，y2），由，得2x2+2（m﹣1）x+m2﹣4=0，故x1+x2=1﹣m，，（*）又=（x1﹣2）x2+（x1+m）（x2+m﹣2）=2x1x2+（m﹣2）（x1+x2）+m（m﹣2）=0，将（*）代入得m2+m﹣6=0，解得m=2或m=﹣3，当m=2时，直线l：y=x+2过点A，不合题意；当m=﹣3时，直线l：y=x﹣3，经检验直线l与圆E相交，故所求直线l的方程为y=x﹣3．22．（12分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）【解答】解：（1）由题意得：f（x）的对称轴是x=﹣2，故f（x）在区间[﹣1，1]递增，∵函数在区间[﹣1，1]存在零点，故有，即，解得：0≤a≤8，故所求实数a的范围是[0，8]；（2）若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，a=0时，f（x）=x2+4x﹣5，x∈[1，2]的值域是[0，7]，下面求g（x），x∈[1，2]的值域，令t=4x﹣1，则t∈[1，4]，y=mt﹣2m+7，①m=0时，g（x）=7是常数，不合题意，舍去；②m＞0时，g（x）的值域是[7﹣m，2m+7]，要使[0，7]⊆[7﹣m，2m+7]，只需，解得：m≥7；③m＜0时，g（x）的值域是[2m+7，7﹣m]，要使[0，7]⊆[2m+7，7﹣m]，只需，解得：m≤﹣，综上，m的范围是（﹣∞，﹣]∪[7，+∞）；（3）由题意得，解得：t＜，①t≤﹣6时，在区间[t，2]上，f（t）最大，f（﹣2）最小，∴f（t）﹣f（﹣2）=t2+4t+4=6﹣4t，即t2+8t﹣2=0，解得：t=﹣4﹣3或t=﹣4+3（舍去）；②﹣6＜t≤﹣2时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（﹣2）最小，∴f（2）﹣f（﹣2）=16=6﹣4t，解得：t=﹣；③﹣2＜t＜时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（t）最小，∴f（2）﹣f（t）=﹣t2﹣4t+12=6﹣4t，即t2=6，解得：t=或t=﹣，故此时不存在常数t满足题意，综上，存在常数t满足题意，t=﹣4﹣3或t=﹣．。
2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(下)期中数学试卷
2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）两个平面重合的条件是（）A.有两个公共点B.有能组成三角形的三个公共点C.有三个公共点D.有无穷多个公共点2.（单选题，5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1= 1，S4=20，则S6=（）2A.16B.24C.36D.483.（单选题，5分）某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（）A. m11B. m1212 -1C. √m11 -1D. √m4.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的投影可能是（）A. ① ②B. ① ③C. ② ④D. ② ③5.（单选题，5分）数列1，12，22，13，23，33，…，1n，2n，3n，…，nn，…的前25项和为（）A. 20714B. 20914C. 21114D. 10676.（单选题，5分）若三角形ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，cosB=（）A. 34B. 1116C. √154D. 3√15167.（单选题，5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得√a m a n =4a1，则1m + 4n的最小值为（）A. 32B. 53C. 94D. 2568.（单选题，5分）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A. d＞83B. 83≤d≤3C. 83≤d＜3D. 83＜d≤39.（单选题，5分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a1•a5•a9=-8，b2+b5+b8=6π，则sin b4+b61−a3a7的值是（）A. 12B. −12C. √32D. −√3210.（单选题，5分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC=a，点M 在线段AB上，且∠ACM=∠BCM．若b=6CM=6，则cos∠BCM=（）A. √104B. 34C. √74D. √6411.（单选题，5分）给出下列命题：① 若b＜a＜0，则|a|＞|b|；② 若b＜a＜0，则a+b＜ab；③ 若b＜a＜0，则ba + ab＞2；④ 若b＜a＜0，则a2b＜2a-b；⑤ 若b＜a＜0，则2a+ba+2b ＞ab；⑥ 若a+b=1，则a2+b2≥ 12．其中正确的命题有（）A.2个B.3个C.4个D.5个12.（单选题，5分）已知a，b∈R，且a是2-b与-3b的等差中项，则ab2|a|+|b|的最大值为（）A. 19B. 29C. 23D. 4313.（填空题，5分）若关于x的不等式ax2+3x+a≥0的解集为空集，则实数a的取值范围是___ ．14.（填空题，5分）有一块多边形的花园，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形ABCD ，其中∠ABC=45°，AB=AD=2米，DC⊥BC ，则这块花园的面积为___ 平方米．15.（填空题，5分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，下列四个论断正确的是___ （把你认为正确论断的序号都写上） ① 若sinA a = cosBb，则B= π4；② 若B= π4 ，b=2，a= √3 ，则满足条件的三角形共有两个；③ 若a ，b ，c 成等差数列，sinA ，sinB ，sinC 成等比数列，则△ABC 为正三角形； ④ 若a=5，c=2，△ABC 的面积S △ABC =4，则cosB= 35．16.（填空题，5分）已知数列{a n }的通项公式为 a n ={(12)n−12，n 为奇数(12)n 2，n 为偶数，则数列{3a n +n-3}的前2n 项和的最小值为___ ．17.（问答题，10分）已知x ，y∈R +，且x 2+y 2=x+y ． （1）求 1x +1y 的最小值； （2）求x+y 的最大值．18.（问答题，12分）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱AB 、BC 、CC 1、C 1D 1的中点．（1）判断直线EF 与GH 的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线A 1D 与EF 所成的角的大小．19.（问答题，12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB= √3 b．（1）求角A；（2）已知a=2，求△ABC的面积的取值范围．20.（问答题，12分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；a n，求数列{b n}的前n项和S n．（Ⅱ）设b n=a n log1221.（问答题，12分）如图，某镇有一块空地△OAB，其中OA=2km，OB=2√3km，∠AOB=90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．（1）当AM=1km时，求防护网的总长度；（2）为节省资金投入，人工湖△OMN的面积要尽可能小，设∠AOM=θ，问：当θ多大时△OMN的面积最小？最小面积是多少？22.（问答题，12分）已知常数a≠0，数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n= S nn+a（n-1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=3n+（-1）n a n，且数列{b n}是单调递增数列，求实数a的取值范围；（3）若a= 12，c n= a n−1a n+2018，对于任意给定的正整数k，是否都存在正整数p、q，使得c k=c p c q？若存在，试求出p、q的一组值（不论有多少组，只要求出一组即可）；若不存在，请说明理由．2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）两个平面重合的条件是（）A.有两个公共点B.有能组成三角形的三个公共点C.有三个公共点D.有无穷多个公共点【正确答案】：B【解析】：在A中，这两个平面可能相交于过这两个公共点的一条直线；在B中，如果两个平行有有能组成三角形的三个公共点，则这两个平面一定重合；在C中，这两个平面可能相交于过这三个公共点的一条直线；在D中，这两个平面可能相交于过这无穷多个公共点的一条直线．【解答】：解：在A中，如果两个平面有两个公共点，则这两个平面可能相交于过这两个公共点的一条直线，故A不能确定两个平面重合；在B中，如果两个平面有有能组成三角形的三个公共点，则这两个平面一定重合，故B能确定两个平面重合；在C中，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面可能相交于过这三个公共点的一条直线，故C不能确定两个平面重合；在D中，如果两个平面有无穷多个公共点，则这两个平面可能相交于过这无穷多个公共点的一条直线，故D不能确定两个平面重合．故选：B．【点评】：本题考查两个平面重合的条件的判断，考查空间中两个平面的位置关系的判定定理、性质定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．，S4=20，则S6=（）2.（单选题，5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1= 12A.16B.24C.36D.48【正确答案】：D【解析】：结合已知条件，利用等差数列的前n项和公式列出关于d的方程，解出d，代入公式，即可求得s6．，S4=20，【解答】：解：∵ a1=12∴S4=2+6d=20，∴d=3，∴S6=3+15d=48．故选：D．【点评】：本题考查了等差数列的前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．3.（单选题，5分）某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（）A. m11B. m1212 -1C. √m11 -1D. √m【正确答案】：D【解析】：先假设增长率为p，再根据条件可得（1+p）11=m，从而可解．11−【解答】：解：由题意，该厂去年产值的月平均增长率为p，则（1+p）11=m，∴ p=√m 1，故选：D．【点评】：本题考查函数模型的选择，利用了有关增长率问题的函数模型，属于简单题．4.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的投影可能是（）A. ① ②B. ① ③C. ② ④D. ② ③【正确答案】：A【解析】：分析△PAC在该正方体各个面上的投影图形即可．【解答】：解：由正投影知识知，在四个侧面的正投影为图① ，在上、下底面的投影为② ．所以△PAC在该正方体各个面上的投影可能是① ② ．故选：A．【点评】：本题考查了平行投影及平行投影作图法问题，同一图形在不同投影面上的投影可能不同．5.（单选题，5分）数列1，12，22，13，23，33，…，1n，2n，3n，…，nn，…的前25项和为（）A. 20714B. 20914C. 21114D. 1067【正确答案】：B【解析】：直接利用数列的通项公式的应用求出结果．【解答】：解：数列1，12，22，13，23，33，…，1n，2n，3n，…，nn，…的前25项和为：T25=1+12+22+13+23+33+…+ 16+26+36+46+56+66+ 17+27+37+47，= 20914故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：数列的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．6.（单选题，5分）若三角形ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，cosB=（）A. 34B. 1116C. √154D. 3√1516【正确答案】：B【解析】：由正弦定理可得6a=4b=3c，进而可用a表示b，c，代入余弦定理化简可得答案．【解答】：解：∵6sinA=4sinB=3sinC，由正弦定理asinA =bsinB=csinC．∴由正弦定理可得6a=4b=3c．∴b= 32a，c=2a，由余弦定理可得cosB= a 2+c2−b22ac= a2+4a2−94a22a•2a=114a24a2=1116．故选：B．【点评】：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，是基础题．7.（单选题，5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得√a m a n =4a1，则1m + 4n的最小值为（）A. 32B. 53C. 94D. 256【正确答案】：A【解析】：由 a7=a6+2a5求得q=2，代入√a m a n=4a1求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．【解答】：解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，可得a1q6=a1q5+2a1q4，∴q2-q-2=0，∴q=2．∵ √a m a n=4a1，∴q m+n-2=16，∴2m+n-2=24，∴m+n=6，∴ 1 m +4n=16(m+n)(1m+4n)=16(5+nm+4mn)≥16(5+4)=32，当且仅当nm= 4mn时，等号成立．故1m +4n的最小值等于32，故选：A．【点评】：本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题．8.（单选题，5分）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A. d＞83B. 83≤d≤3C. 83≤d＜3D. 83＜d≤3【正确答案】：D【解析】：先设数列为{a n}公差为d，则a1=-24，根据等差数列的通项公式，分别表示出a10和a9，进而根据a10＞0，a9≤0求得d的范围．【解答】：解：设数列为{a n}公差为d，则a1=-24；a10=a1+9d＞0；即9d＞24，所以d＞83而a9=a1+8d≤0；即d≤3所以83＜d≤3故选：D．【点评】：本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．9.（单选题，5分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a1•a5•a9=-8，b2+b5+b8=6π，则sin b4+b61−a3a7的值是（）A. 12B. −12C. √32D. −√32【正确答案】：C【解析】：分别运用等差数列和等比数列的性质，结合三角函数的诱导公式，计算可得所求值．【解答】：解：数列{a n}是等比数列，若a1•a5•a9=-8，由a1a9=a52，即有a53=-8，可得a5=-2，则a3a7=a52=4，数列{b n}是等差数列，若b2+b5+b8=6π，由b2+b8=2b5，即有3b5=6π，即b5=2π，b4+b6=2b5=4π，则sin b4+b61−a3a7 =sin 4π1−4=-sin 4π3=sin π3= √32，故选：C．【点评】：本题主要考查等差数列和等比数列的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.（单选题，5分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC=a，点M 在线段AB上，且∠ACM=∠BCM．若b=6CM=6，则cos∠BCM=（）A. √104B. 34C. √74D. √64【正确答案】：B【解析】：运用正弦定理可得B= π2，设∠ACM=∠BCM=α，由S△ABC=S△ACM+S△BCM，运用三角形的面积的公式，化简整理，结合a=cosα，解方程即可得到所求值．【解答】：解：bcosC=a，由正弦定理可得sinBcosC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，即有cosBsinC=0，由sinC＞0，可得cosB=0，由0＜B＜π，可得B= π2，设∠ACM=∠BCM=α，由S△ABC=S△ACM+S△BCM，且b=6CM=6，可得12•6asin2α= 12•6•1•sinα+ 12asinα，即为12acosα=6+a，在直角三角形BCM中，a=cosα，则12cos2α-cosα-6=0，解得cosα= 34或- 23（舍去），故选：B．【点评】：本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11.（单选题，5分）给出下列命题：① 若b＜a＜0，则|a|＞|b|；② 若b＜a＜0，则a+b＜ab；③ 若b＜a＜0，则ba + ab＞2；④ 若b＜a＜0，则a2b＜2a-b；⑤ 若b＜a＜0，则2a+ba+2b ＞ab；⑥ 若a+b=1，则a2+b2≥ 12．其中正确的命题有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【正确答案】：D【解析】：利用不等式的基本性质和基本不等式逐一判断即可．【解答】：解： ① ∵b ＜a ＜0，∴|b|＞|a|，故 ① 不正确； ② ∵b ＜a ＜0，∴ab ＞0，∴a+b ＜ab ，故 ② 正确； ③ ∵b ＜a ＜0，∴ a b＞0，b a＞0 ，∴ b a+ a b＞2，故 ③ 正确； ④ ∵b ＜a ＜0，∴a 2+b 2＞2ab ，∴a 2＞b （2a-b ），∴a 2b＜2a −b ，故 ④ 正确；⑤ ∵b ＜a ＜0，∴b 2+2ab ＞a 2+2ab ，∴b （2a+b ）＞a （a+2b ），∴ 2a+ba+2b ＞ ab ，故 ⑤ 正确； ⑥ ∵ a 2+b 2≥(a+b )22，a+b=1，∴a 2+b 2≥ 12 ，当且仅当a=b= 12时取等号，故 ⑥ 正确．故选：D ．【点评】：本题考查了不等式的基本性质和基本不等式，属中档题．12.（单选题，5分）已知a ，b∈R ，且a 是2-b 与-3b 的等差中项，则 ab2|a|+|b| 的最大值为（ ） A. 19 B. 29 C. 23 D. 43【正确答案】：A【解析】：若 ab2|a|+|b| 取得最大值，则a ，b 同号，由条件可得 ab2|a|+|b| = ab2a+b = a (1−2a )b2−3b（0＜b ＜ 12 ）然后令t=2-3b ，换元后用基本不等式求出最大值即可．【解答】：解：由a 是2-b 与-3b 的等差中项，得2a=2-b-3b ，即a+2b=1． 若 ab 2|a|+|b| 取得最大值，则a ，b 同号， 不妨取a ，b 均大于0，∴当 ab2|a|+|b| 取得最大值时， ab2|a|+|b| = ab2a+b = a (1−2a )b 2−3b （0＜b ＜ 12）． 令t=2-3b ，则b= 2−t 3 （ 12＜t ＜2）， ∴ ab2|a|+|b| = 19 •−2t 2+5t−2t = 59−29(t +1t ) ≤ 59−29•2√t •1t =19 ．当且仅当t= 1t ，即t=1，也就是a=b= 13 时上式“=”成立． ∴ ab2|a|+|b| 的最大值为 19 ． 故选：A ．【点评】：本题考查基本不等式的应用，考查数学转化思想方法，训练了利用换元法求最值，属中档题．13.（填空题，5分）若关于x 的不等式ax 2+3x+a≥0的解集为空集，则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，- 32 ）【解析】：讨论a=0和a≠0时，利用判别式列不等式组求出a 的取值范围．【解答】：解：a=0时，不等式ax 2+3x+a≥0化为3x≥0，解得x≥0，解集不是空集，不满足题意；a≠0时，应满足 {a ＜0△＜0 ，即 {a ＜09−4a 2＜0 ，解得a ＜- 32 ；所以实数a 的取值范围是（-∞，- 32 ）． 故答案为：（-∞，- 32 ）．【点评】：本题考查了不等式解集的判断问题、不等式的解法，是基础题．14.（填空题，5分）有一块多边形的花园，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形ABCD ，其中∠ABC=45°，AB=AD=2米，DC⊥BC ，则这块花园的面积为___ 平方米．【正确答案】：[1] 8+2√2【解析】：求出直观图中，DC ，BC ，S 梯形ABCD ，然后利与用平面图形与直观图形面积的比是2 √2 ，求出平面图形的面积．【解答】：解：DC=ABsin 45°= √2，BC=ABsin 45°+AD= √2 +2，S梯形ABCD= 12（AD+BC）DC= 12（2+ √2+ 2）× √2 =2 √2 +1，这块花园的面积S=√2S梯形ABCD=8+2 √2．故答案为：8+2 √2．【点评】：本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．15.（填空题，5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，下列四个论断正确的是___ （把你认为正确论断的序号都写上）① 若sinAa = cosBb，则B= π4；② 若B= π4，b=2，a= √3，则满足条件的三角形共有两个；③ 若a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC为正三角形；④ 若a=5，c=2，△ABC的面积S△ABC=4，则cosB= 35．【正确答案】：[1] ① ③【解析】：根据正余弦定理和三角形内角和定理依次判断即可得答案．【解答】：解：对于① ：由正弦定理：asinA =bsinB，可得cosBsinA=sinBsinA，即cosB=sinB，0＜B＜π，∴B= π4．① 对．对于② ：由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB，即c2- √6 c-1=0，可得c= √6+√102，三角形只有1个；∴ ② 不对．对于③ ：a，b，c成等差数列，即2b=a+c，sinA，sinB，sinC成等比数列，即sin2B=sinAsinC．正弦定理，可得b2=ac．∴△ABC为正三角形；∴ ③ 对．对于④ ：a=5，c=2，△ABC的面积S△ABC= 12 acsinB=4，即sinB= 45，∵ √22＜45＜√32，∴ 2π3＜B ＜3π4或π4＜B＜π3．∴cosB= ±35．④ 不对故答案为：① ③ ．【点评】：本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，角的判断．属于中档题．16.（填空题，5分）已知数列{a n }的通项公式为 a n ={(12)n−12，n 为奇数(12)n2，n 为偶数，则数列{3a n +n-3}的前2n 项和的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] 32【解析】：由题意可得：a 2k-1= (12)k−1 ，a 2k = (12)k，k∈N *．可得数列{3a n +n-3}的前2n 项和=3[1+ 12 + (12)2 +……+ (12)n−1+ 12 + (12)2 +……+ (12)n]-2-1-0+1+……+（2n-3），利用单调性即可得出．【解答】：解：由题意可得：a 2k-1= (12)k−1 ，a 2k = (12)k，k∈N *．∴数列{3a n +n-3}的前2n 项和=3[1+ 12 + (12)2 +……+ (12)n−1 + 12 + (12)2 +……+ (12)n]-2-1-0+1+……+（2n-3） =3×[1−(12)n 1−12+12(1−12n )1−12]+2n (−2+2n−3)2=9（1- 12n ）+2 (n−54)2 - 258 =f （2n ）．n∈N *．可知f （2n ）单调递增，∴最小值为f （2）=9× 12 -3= 32 ． 故答案为： 32【点评】：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知x ，y∈R +，且x 2+y 2=x+y ． （1）求 1x +1y 的最小值； （2）求x+y 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1） 1x+1y =x+y xy=x 2+y 2xy≥2xy xy=2 ；（2）由重要不等式可得2x 2+2y 2≥x 2+2xy+y 2=（x+y ）2，则2（x+y ）≥（x+y ）2，解出即可．【解答】：解：（1）∵x ，y∈R +，x 2+y 2=x+y ∴ 1x +1y =x+y xy=x 2+y 2xy≥2xy xy=2 ，当且仅当x 2+y 2=x+y 且x=y 即x=y=1时取等号， ∴求 1x +1y 的最小值为2； （2）∵x 2+y 2≥2xy∴2x 2+2y 2≥x 2+2xy+y 2=（x+y ）2 又∵x 2+y 2=x+y ∴2（x+y ）≥（x+y ）2 即0≤x+y≤2右边取等条件为 {x ，y ∈R +x 2+y 2=x +y x =y 即x=y=1∴x+y 的最大值为2．【点评】：本题主要考查重要不等式和基本不等式的应用，要注意取等条件，属于基础题． 18.（问答题，12分）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱AB 、BC 、CC 1、C 1D 1的中点．（1）判断直线EF 与GH 的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线A 1D 与EF 所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）法一：取CD 的中点I ，推导出CF ∥=12 EI ，在平面ABCD 中，延长EF 与DC必交于C 右侧一点P ，且PC=CI ，同理，在平面CC 1D 1D 中，延长HG 与DC 必交于C 右侧一点Q，且QC=CI，由P与Q重合，得到直线EF与GH相交．法二：推导出EBC1H是平行四边形，从而EH ∥= BC1，再由FG ∥=12BC1，得EH || FG，EH≠FG，由此能推导出直线EF与GH相交．（2）推导出ACC1A1是平行四边形，AC || A1C1，EF || AC，从而EF || A1C1，A1D与EF所成的角即为A1D与A1C1所成的角，再由△A1C1D为等边三角形，能求出由直线A1D与EF所成的角的大小．【解答】：解：（1）解法一：取CD的中点I，∵E、F、I分别是正方形ABCD中AB、BC、CD的中点，∴CF ∥=12EI，∴在平面ABCD中，延长EF与DC必交于C右侧一点P，且PC=CI同理，在平面CC1D1D中，延长HG与DC必交于C右侧一点Q，且QC=CI，∴P与Q重合进而，直线EF与GH相交．解法二：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、H分别是AB、C1D1的中点，∴EB ∥=12CD ∥=HC1，∴EBC1H是平行四边形，∴EH ∥=BC1，又∵F、G分别是BC、CC1的中点，∴FG ∥=12BC1，∴EH || FG，EH≠FG，∴EF、GH是梯形EFGH的两腰，∴直线EF与GH相交．（2）解：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥=CC1，∴ACC1A1是平行四边形，∴AC || A1C1，又∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF || AC，∴EF || A1C1，∴A1D与EF所成的角即为A1D与A1C1所成的角，∴A1D与EF所成的角即为∠DA1C1及其补角中的较小角，又∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△A1C1D为等边三角形∴∠DA1C1=60°，∴由直线A1D与EF所成的角为60°．【点评】：本题考查两直线位置关系的判断，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.（问答题，12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB= √3 b ． （1）求角A ；（2）已知a=2，求△ABC 的面积的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理进行转化求解即可（2）结合三角形的面积公式求出面积的表达式，求出角的范围结合三角函数的有界性进行求解即可．【解答】：解：（1）由2asinB= √3 b 得2sinAsinB= √3 sinB 又∵sinB ＞0，sinA= √32 ，又∵△ABC 是锐角三角形，∴A= π3 ； （2）由正弦定理得2R= asinA = √3∴S △ABC = 12 bcsinA= 12 （2RsinB ）（2RsinC ）sinA= √3 sinBsinC= √3 cos （2B- 2π3 ）+ √3又∵△ABC 是锐角三角形，A= π3 ， ∴ {0＜B ＜π20＜2π3−B ＜π2 ，即 π6 ＜B ＜ π2 ， ∴2B - 2π3 ∈（- π3 ， π3 ）， ∴cos （2B- 2π3）∈（ 12，1]，△ABC 的面积的取值范围（2√33， √3 ]． 【点评】：本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及三角形的面积公式进行化简是解决本题的关键．20.（问答题，12分）已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =a n log 12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【正确答案】：【解析】：（I ）根据a 3+2是a 2，a 4的等差中项和a 2+a 3+a 4=28，求出a 3、a 2+a 4的值，进而得出首项和a 1，即可求得通项公式；（II ）先求出数列{b n }的通项公式，然后求出-S n -（-2S n ），即可求得的前n 项和S n ．【解答】：解：（I ）设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q∵a 3+2是a 2，a 4的等差中项∴2（a 3+2）=a 2+a 4代入a 2+a 3+a 4=28，得a 3=8∴a 2+a 4=20∴ {a 1q +a 1q 3=20a 3=a 1q 2=8∴ {q =2a 1=2 或 {q =12a 1=32 ∵数列{a n }单调递增∴a n =2n（II ）∵a n =2n∴b n = 2n •log 122n =-n•2n∴-s n =1×2+2×22+…+n×2n ①∴-2s n =1×22+2×23+…+（n-1）×2n +n2n+1 ②∴ ① - ② 得，s n=2+22+23+…+2n-n•2n+1=2n+1-n•2n+1-2【点评】：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般采取错位相减的办法．21.（问答题，12分）如图，某镇有一块空地△OAB，其中OA=2km，OB=2√3km，∠AOB=90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．（1）当AM=1km时，求防护网的总长度；（2）为节省资金投入，人工湖△OMN的面积要尽可能小，设∠AOM=θ，问：当θ多大时△OMN的面积最小？最小面积是多少？【正确答案】：【解析】：（1）在△OAB中求出∠OAB=60°，在△OAM中，由余弦定理得OM2=22+12-2×2×1×cos60°=3即OM=√3，再求出∠AOM=30°则△OAN为正三角形，其周长为6km（2）在△OAM中求出OM=√3sin(120°−θ)，在△OAN中，求出ON=√3cosθ，写出面积表达式，从而得出θ=15°时，△OMN的面积取最小值为(6−3√3)km2【解答】：解：（1）∵在△OAB中，OA=2，OB= 2√3，∠A0B=90°，∴∠OAB=60°．又∵在△OAM中，OA=2，AM=1，∴由余弦定理得OM2=22+12-2×2×1×cos60°=3，即OM=√3，∴OM2+AM2=OA2即OM⊥AN．∴∠AOM=30°∴△OAN为正三角形，其周长为6km．∴防护网的总长度为6km．……………………………………………………………………（5分）（2）由题得0°＜θ＜60°在△OAM中，OMsin60°=2sin(120°−θ)，即OM=√3sin(120°−θ)；在△OAN中，ONsin60°=2sin[180°−(θ+30°+60°)]即ON=√3cosθ；∴ S△OMN=12•OM•ON•sin∠MON = 12•√3sin(120°−θ)•√3cosθ•sin30° =2sin(120°−2θ)+√3．又∵0°＜θ＜60°，即0°＜120°-2θ＜120°，∴当且仅当120°-2θ=90°，即θ=15°时，△OMN的面积取最小值为(6−3√3)km2．………………………………………………（12分）【点评】：本题主要考查了解三角形的实际应用，以及三角函数求最值．考查了学生的数学建模思想，以及运算能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知常数a≠0，数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n= S nn+a（n-1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=3n+（-1）n a n，且数列{b n}是单调递增数列，求实数a的取值范围；（3）若a= 12，c n= a n−1a n+2018，对于任意给定的正整数k，是否都存在正整数p、q，使得c k=c p c q？若存在，试求出p、q的一组值（不论有多少组，只要求出一组即可）；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由已知可得：na n=S n+na（n-1）．利用递推关系、等差数列的通项公式．（2）由即（-1）n[1+a（2n-1）]＜3n，对n分类讨论，利用单调性即可得出．（3）由（1）．假设对任意k∈N*，总存在正整数p、q，使c k=c p c q，可得．令q=k+1，或q=2k，即可得出．【解答】：解：（1）∵a n= S nn+a（n-1）．∴na n=S n+an（n-1），∴（n-1）a n-1=S n-1+a （n-1）（n-2），相减得na n -（n-1）a n-1=a n +2a （n-1），即（n-1）a n -（n-1）a n-1=2a （n-1），其中n≥2，∴a n -a n-1=2a 为定值，∴{a n }是以2为首项2a 为公差的等差数列，∴a n =2+（n-1）2a=2a （n-1）+2；方法二：∵a n = S n n +a （n-1）．∴S n -S n-1= Sn n +a （n-1）， ∴ (n−1)S n n -S n-1=a （n-1），其中n≥2，∴ S n n - S n−1n−1 =a 为定值，∴{ S n n }是以2为首项a 为公差的等差数列，∴ S n n =2+（n-1）a∴a n = Sn n +a （n-1）=2a （n-1）+2； （2）由{b n }是单调递增数列，得b n ＜b n+1即3n +（-1）n [2a （n-1）+2]＜3n+1+（-1）n+1（2an+2），即（-1）n a ＜ 3n −(−1)n ×22n−1， 1°若n 为正奇数则-a ＜ 3n +22n−1 在n 为正奇数时恒成立，设f （n ）= 3n +22n−1， 则f （n ）-f （n+2）= 3n +22n−1 -3n+2+22n+3 =- 4[(4n−3)•3n −2](2n−1)(2n+3) ＜0， ∴f （1）＜f （3）＜f （5）＜…，∴-a ＜f （1）=5即a ＞-5，方法二：则f （n ）-f （n+1）= 3n +22n−1 -3n+1+22n+1=- 4[(n−1)3n −1](2n−1)(2n+1) ， 它在n=1时为正，在n≥2为负，∴f （1）＞f （2）＜f （3）＜f （4）＜f （5）＜…∴-a ＜min{f （1），f （3）}=min{5， 295 }=5即a ＞-5，2°若n 为正偶数，则a ＜ 3n −22n−1 在n 为正偶数时恒成立，设g （n ）= 3n −22n−1 ，∴g （n+2）-g （n ）= 3n+2−22n+3 - 3n −22n−1 = 4[(4n−3)3n +2](2n+1)(2n+3) ＞0， ∴g （2）＜g （4）＜g （6）＜…，∴a ＜g （2）= 73 ，方法二：则g （n+1）-g （n ）= 3n+1−22n+1 - 3n −22n−1 4[(n−1)3n +1](2n−1)(2n+1) ＞0， ∴g （1）＜g （2）＜g （3）＜g （4）＜…，∴a ＜g （2）= 73 ，综合1°2°及a≠0得-5＜a ＜ 73 且a≠0；（3）由（1）得a n =n+1，∴c n = n n+2009 ，∴c k =c p c q 可化为k k+2019 = p p+2019 • q q+2019 ， 方法一：即p= k (q+2019)q−k = 1×(kq+2019k )q−k = k (q+2019)q−k， 令 {q −k =1p =kq +2019k 得 {p =k 2+2020k q =k +1（或令 {q −k =k p =q +2019 得 {p =2k +2019q =2k，或交换前两组p ，q 的值，能够确定的有四组）， ∴存在满足要求的p ，q ，且有一组值为得 {p =k 2+2020k q =k +1， 方法二：即pq-kp-kq=2019k 即（p-k ）（q-k ）=k （k+2019）=1×（k 2+2019k ）=k×（k+2019），令 {p −k =1q −k =k 2+2019k 即 {p =k +1q =k 2+2020k， （或令 {p −k =k q −k =k +2019 即 {p =2k q =2k +2019，或交换前两组p ，q 的值，共能确定四组）， ∴存在满足要求的p ，q ，且有一组值为即 {p =k +1q =k 2+2020k ．【点评】：本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
安徽省宿州市十三校2016-2017学年高一下学期期中考试数学试卷
宿州市十三所重点中学2016-2017学年度第二学期期中质量检测高一数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13、 2 ；14、 ()),6(2,1+∞⋃- ；15、22 ；16、 13 ；三、17、解：（1）21cos -=∠ADC ； ………………………………5分（2）62=AB ………………………………10分 18、（1）2321+-=n a n………………………………3分1)21(-=n n b………………………………6分（2） 221454112+-+-=-n n n n S ………………………………12分19、（1）由Ab B a cos 3sin =A B B A cos sin 3sin sin =所以 3π=A 得……………………6分 （2）由余弦定理得32,3==b c ……………………10分 所以ABC ∆的面积为233……………………12分 20、（1）由.0111=+-+++n n n n n n b b b a b a得111=-++n nn n b a b a ,所以数列{}n c 是等差数列,所以n c n =……………………6分（2）由1122--⋅==n n n n n a b 得,由错位相减法得1)1(2+-=n S n n ………………12分21、（1）{⎭⎬⎫≤≤221x x………………………………4分（2）由题意得)1)((1)1()(2mx m x x m m x x f --=++-=m x m x m x m x 10)1)((21===--或的根为方程 (6)分当,1,10mm m <<<时不等式解集为{⎭⎬⎫≥≤m x m x x 1或 ……………………8分当,1,1m m m ==时不等式解集为R ……………………10分 当,1,1mm m >>时不等式解集为{⎭⎬⎫≥≤m x mx x 或1……………………12分22、（1）由题意当111-==t a n 得………………………………………2分n a t tS n n --=1 ①)1(111+--=∴++n a t tS n n ② ②-①得11-+=+t ta a n n 即()111+=++n n a t a ，{}1+n a 所以是以t 为首项,以t 为公比的等比数列 …………………………4分1-=nn t a 所以…………………6分。
北京市101中学2017_2018学年高一数学下学期期中试题
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 北京101中学2017－2018学年下学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题共10小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在等差数列{a n }中，如果a 1+a 2=25，a 3+a 4=45，则a 1=（ ） A. 5B. 7C. 9D. 102. tan （α－4π）=31，则tan α=（ ）A. 2B. －2C.21D. －21 3. 在△ABC 中，若bcosA=a sinB ，则∠A 等于（ ） A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 己知a=5，c=3，cosA=63，则b=（ ）A. 1B. 2C.25D. 65. 设a ，b ∈R ，下列不等式中一定成立的是（ ） A. a 2+3>2aB. a 2+b 2>0 C. a 3+b 3≥a 2b+ab 2D. a+a1≥2 6. 数列{a n }为公比为q （q ≠1）的等比数列，设b 1=a 1+a 2+a 3+a 4，b 2=a 5+a 6+a 7+a 8，…，b n =a 4n－3+a 4n －2+a 4n －1+a 4n ，则数列b n （ ） A. 是等差数列B. 是公比为q 的等比数列C. 是公比为q 4的等比数列D. 既非等差数列也非等比数列7. 在超市中购买一个卷筒纸，其内圆直径为4cm ，外圆直径为12cm ，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，令π=3.14，则这个卷筒纸的长度（精确到个位）为（ ）A. 17mB. 16mC. 15mD. 14m8. 已知数列{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和. 若6193=S S ，则126S S=（ ） A.101B.103C.105D.107 9. 下列函数中，最小值为4的函数是（ ）A. y=x 3+34xB. y=sinx+xsin 4 C. y=log 3 x+log x 81D. y=e x+4e －x10. 某商品的价格在近4年中价格不断波动，前两年每年递增20％，后两年每年递减20％，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（ ）A. 不增不减B. 约增1.4％C. 约减9.2％D. 约减7.8％二、填空题共6小题。
2017-2018学年宁夏银川一中高一下学期期中考试数学试卷
2017-2018学年宁夏银川一中高一下学期期中考试数学试卷命题人：第Ⅰ卷一、选择题：(每小题5分，共60分) 1．=34sinπ（ ） A ．23-B ．21 C ．23 D ．21-2．下列选项中叙述正确的是（ ）A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．锐角一定是第一象限的角C ．小于 90的角一定是锐角D ．终边相同的角一定相等3．若点)2018cos ,2018(sinP ，则P 在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4． 下列说法中正确的是（ ） A ．若→→>b a ，则→→>b a B ．若→→=b a ，则→→=b aC ．若→→=b a ，则→→b a //D ．若→→≠b a ，则→a 与→b 不是共线向量5．下列四式不能．．化简为AD 的是（ ） A ． →→→-+BM AD MB B ．)()(→→→→+++CM BC AD MB C ． →→→++BC CD AB )(D ． →→→+-CD OA OC6．若非零向量→a ，→b 满足||||→→→→-=+b a b a ，则（ ） A ．→→b a // B ．→→⊥b a C ．→→=b a D ．→→≥b a7．函数)90()36sin(2≤≤-=x x y ππ的最大值与最小值之和为（ ）A ．32-B ．0C ．－1D ．31-- 8．函数)2,230(cos |tan |ππ≠<≤=x x xx y 的图像是（ ）A B C D9．已知向量→a ，→b 不共线，若→→→+=b a AB 2→→→--=b a BC 4→→→--=b a CD 35，则四边形ABCD 是（ ） A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形10．若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )f x 等于( )A ．3cos 2x -B ．3cos 2x +C ．3sin 2x -D ．3sin 2x + 11．已知曲线1:cos C y x =22:sin(2)3C y x π=+，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C12．已知函数)0(cos sin )(>+=w wxwx x f 在)125,6(ππ上仅有一个最值，且为最大值，则实数w 的值不可能．．．为（ ） A ．54 B ．67 C ．23 D ．45第II 卷二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13．已知角α终边上有一点)1,(x P ，且21cos -=α，则=αtan ______． 14．已知向量(3,1),a =-(1,2),b =-(2,1),c =若(,),a xb yc x y R =+∈则x y +=______．15．已知向量a 与b 的夹角为60，且(2,6),a =--10,b =则a b ∙=________． 16．已知πϕ<<>00，w ,直线4π=x 和45π=x 是函数)sin()(ϕ+=wx x f 图象的两条相邻的对称轴，则=ϕ ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．(本小题满分10分)化简：(1))4sin()3cos()sin()cos(πααπαπα-----+(2))2cos()2sin()25sin()2cos(αππααππα--+-18．(本小题满分12分)已知(1,2)a =，(3,2)b =-，(1)k 为何值时，向量ka b +与3a b -垂直？ (2)k 为何值时，向量ka b +与3a b -平行？19．(本小题满分12分)设向量a 与b 满足||=||=1a b ，|3|=5a b - (1)求|3|a b +的值；(2)求3a b -与3a b +夹角的正弦值．20．(本小题满分12分)已知παβββαα<<<==0),sin ,(cos ),sin ,(cos b a．(1)若2||=-→→b a ，求证：⊥；(2)设)1,0(=→c ，若→→→=+c b a ，求βα，的值。
人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1
（1）求 BC 边长； （2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （ ）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（ ）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6
高一数学下学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
15．从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为______.
16．已知圆 ，圆 以 为中点的弦所在直线的斜率 __________.
三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）
17．如图，在三角形ABC中，顶点 ， 边所在直线的方程为 ， 边的中点 .
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ，
22．“中华好诗词”内蒙古赛区有40名选手参加初选，测试成绩（单位：分）分组如下：第1组 ，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ，得到频率分布直方图如图所示.
（1）求直方图中 的值，若90分（含90分）为晋级线，有多少同学晋级？（4分）
（2）根据频率分布直方图估计成绩的众数和平均值；（4分）
5887 3522 2468 3748 1685 9527 1413 8727 1495 5656
A．09B．02C．15D．18
6．小李同学从网上购买了一本数学辅导书，快递员计划周日上午 之间送货到家，小李上午有两节视频课，上课时间分别为 和 ，则辅导书恰好在小李同学非上课时间送到的概率为（）
A． B． C． D．
即 .
（2）（5分）因 ，所以点 在线段 的中垂线 上，
由 得 ，即 的坐标为 ，又点 ，
边所在直线的方程为 ，即 .
18．（1）（6分）设圆为 ： ，
代入 ， ， ，
有 ，
∴圆 的方程为 .
（2）（6分）联立 ，
即 ，解得：交点为 ， ，
故弦长 .
19．（1）（6分）因为点 是 的中点，
，即
又 ，即 .
所以点 的轨迹方程为 .
浙江省9+1高中联盟(台州中学、舟山中学等)2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷
浙江省9+1高中联盟(台州中学、舟山中学等)2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷浙江省9+1高中联盟(台州中学、舟山中学等)2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷2017学年第二学期9+1高中联盟试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 已知集合{|A x y == ，集合{|ln(1)}B x y x ==-，则B A 等于（ ▲ ）A ．(1,2)B ．[2,1)-C ．(2,1)-D ． (1,2]2. 如果1.20.3212()2log 2a b c ===,, ▲ ） A ．c b a >> B ．c a b >> C ．a b c >> D ．a c b >>3. 已知角α的终边过点)8,3(m P -- ，且4sin 5α=- ，则m 的值为（ ▲ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．24. 已知各项均为正数的等比数列{}na 中，1232a a a⋅⋅=，A ．4B ．8C ．16D ．24 5. 将函数πsin(4)3y x =+的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π6个单位，得到的函数图像的一个对称中心为（ ▲ ）A ．（π16，0） B ．（π9，0） C ．（π4，0）D ．（π2，0） 6. 设D 为ABC ∆ 所在平面内一点，1322AD AB AC =-+ ，若()BC CD R λλ=∈ ，则λ等于（ ▲ ）A ．2-B ．3-C ．2D ．3 7. 已知函数π()sin()3f x x ω=-,(ω>0)，点()A m n ,，(π)B m n +,(||1)n ≠都在曲线()y f x =上，且线段AB 与曲线()y f x =有)(12*N k k ∈+个公共点，则ω的值是（ ▲ ）A ．k 2B ．kC ．k 2D ．k1 8. 若函数xa xx f +=221)(在区间[3,4]和[]2,1--上均为增函数，则实数a 的取值范围是（ ▲ ）A ．[]4,6B ．[]6,4--C ．[]2,3D ．[]3,2-- 9. 设等差数列{}na 的前n 项和为nS ，且满足2017S> ，2018S<，若对任意正整数n ，都有n kS S ≤，则k 的值为（ ▲ ）A ．1007B ．1008C ．1009D ．101010. 在OAB ∆中，已知||2OB =，||1AB =，45oAOB ∠=，P 是OAB ∆所在平面内一点，若OP OA OBλμ=+，满足+2=2λμ，且0λ≥，0μ≥，则OA 在OP 上投影的取值范围是（ ▲ ）A ．,1]2B ．[1,2--C ．D ．[1]-二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. ） 11.已知扇形AOB （O 为圆心）的周长为4，半径为1，则=∠AOB ▲ ，扇形AOB 的面积是▲ ．12. 已知向量)2,1(),1,(-==OB k OA ，且OB OA ⊥，则=k ▲ ，= ▲ ． 13. 已知数列{}n a 满足1111-=+n n a a ，且11a = ，则=n a▲ ，数列{}n b 满足nnn a b 2=，则数列{}nb 的前n 项和=nS ▲ ． 14.已知函数)(log )(22x xx f +-=，则函数)(x f 的值域为▲ ，单调减区间为 ▲ ．15. 已知函数⎩⎨⎧<<-+>=03,420,log )(x x x x x f a的图象上有且仅有一对．．点．关于y 轴对称，则a 的取值范围是 ． 16. 已知函数()|cos |sin f x x x =⋅，下列说法正确的是 ▲ ．①()f x 图像关于4x π=对称； ②()f x 的最小正周期为2π； ③()f x 在区间35[,]44ππ上单调递减；④()f x 图像关于(,0)2π中心对称； ⑤|()|f x 的最小正周期为2π． 17. 已知向量d 及向量序列：123,,,...,,...na a a a 满足如下条件：1||2||2a d ==，11a d ⋅=，且*1 (2,)nn aa d n n N --=≥∈.当19k ≤≤且*k N ∈时，10k ka a -⋅的最大值为 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18. （本题满分14分）在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且b c =，2sin B A=．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积．19. （本题满分15分）已知向量(cos ,1)a x =-，1(3sin ,)2b x =-，函数()()2f x a b a =+⋅-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域．20. 已知数列{}na 的前n 项和为nS ，满足211++=--n n na S S，且31=a.（Ⅰ）求数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）设11+=n n na a b，求数列{}nb 的前n 项和nT ．21. 已知二次函数cbx x x f ++=2)(，)3()(x f x f -=，且)(x f 的零点21,x x 满足321=-xx .（I ）求)(x f 的解析式；（II ）当]2,1[∈x 时，不等式mx mmx x f --≥3)(恒成立，求实数m 的取值范围．22. （本题满分15分）已知数列{}na 和{}nb ，11a =，23a =，2*1112,(2)1n n nn n a a a a n N n a -+--+=∈≥+且，2*2log (1)5,()1n n n a b n N a +-=∈+.（I ）求3a ，4a ；（II ）猜想数列{}na 的通项公式，并证明；（Ⅲ）设函数1()2f x x x =++，若16|()|35nf b t -≤对任意*n N ∈恒成立，求t 的取值范围．2017学年第二学期9+1高中联盟参考答案一．选择题。
江苏省常州高级中学2018-2019高一下学期期中考试数学试卷 含答案
江苏省常州高级中学2017～2018学年第二学期期中质量检查高一年级数 学 试 卷说明：1. 以下题目的答案做在答卷纸上.2. 本卷总分160分，考试时间120分钟.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1.数列{}n a 中，)2(1,1111≥+==--n a a a a n n n ，则3a = ▲ ．2.在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则A 为 ▲ ．3.在函数①1y x x =+,②1sin sin y x x =+π0 2x ∈（，）,③222y x =+,④42x x y e e =+-中， 最小值为2的函数的序号是 ▲ ．4.设n S 是等差数列{a n }的前n 项的和．若27a =，77S =-，则7a 的值为 ▲ ．5.在ABC ∆中，若3,6==a A π，则=++++CB A cb a sin sin sin ▲6.已知数列{}n a 满足*1112,()1nn na a a n a ++==∈-N ，则2018a 的值为 ▲ ． 7.设正项等比数列{a n }满足4352a a a -=．若存在两项a n 、a m ，使得m n a a a ⋅=41，则n m + 的值为 ▲ ．8.在△ABC 中，若1a =，3b =，6π=A ，则△ABC 的面积是 ▲ ．9.已知数列{}n a 的通项公式,12+=n a n 则1132211111+-++⋅⋅⋅++n n n n a a a a a a a a = ▲ ． 10.在ABC ∆中,,2,60a x b B ===o,若该三角形有两解,则x 的取值范围为 ▲ ． 11.在△ABC 中，已知π32,4==A BC ，则AC AB ⋅的最小值为 ▲ ． 12.已知钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲13.已知数列{}n a 为公比不为1的等比数列，满足12()n n n a k a a ++=+对（第12题）任意正整数n 都成立，且对任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列，则k 的值为 ▲ ．14.已知,4,,=+∈b a R b a 则111122+++b a 的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分14分)在等比数列}{n a 中， 0n a >，公比)1,0(∈q ，252825351=++a a a a a a ， 且2是3a 与5a 的等比中项．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设n n a b 2log =，数列}{n b 的前n 项和为n S ，当nS S S n +++Λ2121最大时，求n 的值．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c B c C b +=cos sin 3 (1)求角B ； (2)若2b ac =，求11tan tan A C+的值．17．(本小题满分14分)某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为 1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．(本小题满分16分)已知0x >，0y >，24xy x y a =++. (1)当16a =时，求xy 的最小值； (2)当0a =时，求212x y x y+++的最小值.19．(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）． (1)求证：数列{}n a 为等比数列； (2)若数列{}n b 满足：11b =，1112nn n b b a ++=+，求数列{}n b 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和．20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 的首项1a a =（0a >），其前n 项和为n S ，设1n n n b a a +=+（n *∈N ）． (1)若21a a =+，322a a =，且数列{}n b 是公差为3的等差数列，求2n S ；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2n T n =．① 求数列{}n a 的通项公式；② 若对N n *∀∈，且2n ≥，不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +--≥-恒成立，求a 的取值范围．江苏省常州高级中学2017～2018学年第二学期期中质量检查高一年级数 学 试 卷(附加)命题人：徐惠杰 2018.4说明：1. 以下题目均为必做题，请将答案写在答卷纸上. 2. 本卷总分40分，考试时间30分钟. 一、 填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分． 1.等比数列{}na 中，若对任意正整数n 都有1221nn a a a ++⋅⋅⋅+=-，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+= ▲ ．2.在△ABC 中,A B 2=,则ab的取值范围是 ▲ ．3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且数列也为等差数列，则10a = ▲ ．4.正数y x ,满足111=+y x ，则1813-+-y y x x 的最小值是 ▲ ． 二、解答题：本大题共16分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 5.在数列{}n a 中，11a =，283a =，111(1)n n nn a a n λ++=++，λ为常数，*n ∈N ． （1）求λ的值； （2）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式； （3）是否存在正整数r s t ，，（r s t <<），使得r s t ，，与r s t a a a ，，都为等差数列？若存在，求r s t ，，的值；若不存在，请说明理由．江苏省常州高级中学2017～2018学年第二学期期中质量检查高一年级数 学 试 卷答案1.25 2.32π 3.④ 4. -13 5.326.-37.68.42 9.96+n n10.)334,2( 11.38-12.8 13.25- 14. 452+二、解答题15.解：⑴ 由252825351=++a a a a a a 得235()25a a +=.................2分0>n a ,得355a a +=因为354a a ⋅=得354,1a a ==, 求得12q =, ...................5分 所以52nn a -= ...........................................7分⑵ 2log 5n n b a n ==-．...........................................9分 因为对任意n N *∈，11n n b b +-=-，所以{}n b 是以4为首项，1-为公差的等差数列．所以292n n n S -=．..........................................12分9,90,90,90,2n n n n S S S S n n n n n n n n-=<>==><时，时，时， 所以nS S S n +++Λ2121最大为89n =或者． ...................14分16．解：（1）由正弦定理得sin cos sin sin B C B C C =+，ABC ∆中，sin 0C >，所以cos 1B B -=，................................................3分所以1sin()62B π-=，5666B πππ-<-<，66B ππ-=，所以3B π=；........................6分（2）因为2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，........................8分11cos cos cos sin sin cos sin()sin()sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C A C B B A C A C A C A C A C A C π++-+=+==== ...............................................................................................................12分所以，211sin 1tan tan sin sin B A C B B +==分 17(1)05x <≤时，利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-． ........................................................................................3分令20.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得，17x ≤≤，从而15x ≤≤，即min 1x =．.................6分 （2）当05x <≤时，由（1）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+，所以当4x =时，max 3.6y =（万元）． .....................................8分 当5x >时，利润()()()99()214.729.7333y P x x x x x x =-+=--+=--+--．...10分因为9363x x -+-≥（当且仅当933x x -=-即6x =时，取“=”）， 所以max 3.7y =（万元）． .......................................................... 13分 综上，当6x =时，max 3.7y =（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元． .......14分 18.（1）当16a =时，241616xy x y =++≥，.................3分即280-≥，4)0∴≥，4≥，16xy ∴≥，.......................................6分 当且仅当48x y ==时，等号成立。
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。
高一下册期中考试数学试卷及答案
高一下学期期中考试数学试卷试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（必修模块5） 满分100分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，23=a ，则=b （ ） A. 23 B. 3 C. 32 D. 342. 已知公比为2的等比数列}{n a 的各项都是正数，且16113=a a ，则=5a （ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 3. 不等式121+-x x 0≤的解集为（ ） A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C. ),1[21,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-Y D. ),1[21,+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-Y 4. 不等式0)12)(2(2>--+x x x 的解集为（ ）A. )4,2()3,(---∞YB. ),4()2,3(+∞--YC. ),3()2,4(+∞--YD. )3,2()4,(---∞Y5. 已知b a b a ,,0,0>>的等比中项是1，且ba n ab m 1,1+=+=，则n m +的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，15,555==S a ，则数列}1{1+n n a a 的前100项和为（ ） A. 100101 B.10099 C. 10199 D. 101100 7. 在△ABC 中，若C c B b A a sin sin sin <+，则△ABC 的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形 8. 若数列}{n a 满足121,211+-==+n n a a a ，则2013a ＝（ ） A. 31 B. 2 C. 21- D. －3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
人教版数学高一第三章直线与方程单元测试精选(含答案)3
d
Ax0 By0 C A2 B2
.已知点 P1, P2
到直线 l
的有向距离分别是 d1, d2 ，给出以下命题：
试卷第 6页，总 10页
①若 d1 d2 0 ，则直线 P1P2 与直线 l 平行； ②若 d1 d2 0 ，则直线 P1P2 与直线 l 平行； ③若 d1 d2 0 ，则直线 P1P2 与直线 l 垂直；④若 d1d2 0 ，则直线 P1P2 与直线 l 相交；
25．直线 l1：x＋my＋6=0 与 l2：(m－2)x＋3y＋2m=0，若 l1//l2 则 m =__________;
【来源】[中学联盟]山东省栖霞市第一中学 2017-2018 学年高一上学期期末测试数学试 题
【答案】 1 1
26．直线 y= x 关于直线 x＝1 对称的直线方程是________；
则 m 的倾斜角可以是：①15°;② 30°;③ 45°;④ 60°;⑤ 75°. 其中正确答案的序号是______.(写出所有正确答案的序号） 【来源】2011 届陕西省师大附中、西工大附中高三第七次联考文数
【答案】①或⑤
30．定义点 P(x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C 0( A2 B 2 0) 的有向距离为
评卷人 得分
二、填空题
22．在四边形 ABCD 中,AB = DC = (1,1),且 BA + BC =
|BA| |BC|
|B3BDD| ,则四边形 ABCD 的面积
为
．
【来源】2015 高考数学（理)一轮配套特训：4-3 平面向量的数量积及应用（带解析)
【答案】 3
23．直线 ax+2y-4=0 与直线 x+y-2=0 互相垂直，那么 a=______________ ;
第二学期高一数学期中试卷试题
第⼆学期⾼⼀数学期中试卷试题 有时间的我们要多做数学的题⽬，可能做多了就会了，今天⼩编就给⼤家分享⼀下⾼⼀数学吗，⼤家来多多参考哦 第⼆学期⾼⼀数学期中试题 1.在中，若 ,则⼀定为( ) 直⾓三⾓形等腰三⾓形等边三⾓形锐⾓三⾓形 2.某⼚去年年底的产值为，今年前两个⽉产值总体下降了36%，要想后两个⽉产值恢复到原来⽔平，则这两个⽉⽉平均增长( ) 18% 25% 28% 以上都不对 3.若，是两条不同的直线，，是两个不同的平⾯，则下列说法不正确的是( ) 若∥，，则 若∥，，则 若∥，，则 若 = ，且与，所成⾓相等，则 4.设点 ,若直线与线段没有交点，则的取值范围是( ) 5.三棱椎的三视图为如图所⽰的三个直⾓三⾓形，则三棱锥的表 ⾯积为( ) 6.如图为正四⾯体，⾯于点，点 , , 均在平⾯外，且在⾯的同⼀侧，线段的中点为 ,则直线与平⾯所成⾓的正弦值为( ) 7. 数列的⾸项为，为等差数列 .若，，则 ( ) 8.实数对满⾜不等式组，若⽬标函数 在时取最⼤值，则的取值范围是( ) 9. 已知等⽐数列满⾜则当时， ( ) 10.三棱锥中，顶点在底⾯内的射影为，若 (1)三条侧棱与底⾯所成的⾓相等， (2)三条侧棱两两垂直， (3)三个侧⾯与底⾯所成的⾓相等; 则点依次为垂⼼、内⼼、外⼼的条件分别是( ) (1)(2)(3) (3)(2)(1) (2)(1)(3) (2)(3)(1) 填空题(每⼩题5分，5⼩题，共25分) 11.有⼀块多边形的菜地，它的⽔平放置的平⾯图形的斜⼆测直观图是直⾓梯形(如图所⽰)， ,则这块菜地的⾯积为__________. 12.在三⾓形中， ,则的⾯积为 . 13.边长为1的正⽅体，它的内切球的半径为 ,与正⽅体各棱都相切的球的半径为 ,正⽅体的外接球的半径为，则 , , 依次为 . 14.在平⾯直⾓坐标系中，过点的直线与轴和轴的正半轴围成的三⾓形的⾯积的最⼩值为 . 15. (填“ ”或者“ ”). 解答题(6⼩题，共75分) 16.(12分)在中，求的⾯积的最⼤值. 17.(12分)已知满⾜， (1)求⼆次函数的解析式; (2)若不等式在上恒成⽴，求实数的取值范围. 18.(12分)在四棱锥中，四边形是平⾏四边形，分别是的中点， 求证：平⾯ ; 若且，求证平⾯平⾯ . 19.(13分)已知数列的前项和满⾜： , 设，证明数列为等⽐数列，并求数列的通项公式; 求数列的前项和 . 20.(13分)已知三个不同的平⾯两两相交，得三条不同的交线，求证：三条交线交于⼀点或彼此平⾏. 21.(13分)设数列的前项和为，，点在直线上, (1)求数列的通项公式; (2)设，求证： . ⾼⼀年级数学试卷参考答案 ⼀、单项选择题(每⼩题5分，10⼩题，共50分) 1—10 ⼆、填空题(每⼩题5分，5⼩题，共25分) 11. 12. 或 13. 14.4 15. 三、解答题(6⼩题，共75分) 16.(12分) 解：∵在中， 由余弦定理及基本不等式得 ∴∴ . 17.(12分) 解：(1)设 由得，由得 化简解得， ∴ . (2)由题在上恒成⽴， 即，则∴ . 18.(12分) (1)证明：取线段的中点为 ,连接 ,∵分别是的中点，则 , ∴四边形为平⾏四边形∴ , ⾯，⾯∴⾯ . (2)证明：设 , 交于∵四边形为平⾏四边形， ∴为，中点，， ,∴，∴⾯，⼜⾯∴⾯⾯ . 19.(13分) (1)由题时，①② ①-②得 即，，数列为公⽐为的等⽐数列; 当时， ， ; (2)由(1)得， ③ ④ ③-④化简得 . 20.(13分) 已知：，，， 求证：或 . 证明：，，或 若，则，， ⼜ 若，且，⼜且 . 21.(13分) (1)由题意，∴数列为公差是1的等差数列∴∴ 时，∴，也适合， ∴， ; (2) ，⼜为增函数， ∴的最⼩值为 ∴ . ⾼⼀数学下学期期中试题阅读 1.已知数列，则5是这个数列的( )A.第12项B.第13项C.第14项D.第25项 2.不等式的解集为( )A.[-1,0]B.C.D. 3.已知，则下列不等式⼀定成⽴的是( ) A. B. C. D. 4.在中，⾓所对的边分别为，若，则⾓为( )A. 或B. 或C. 或D. 或 5.设实数满⾜约束条件，则的最⼩值为( ) A. B.1 C. 3 D0 6.若的三个内⾓满⾜，则的形状为( )A.⼀定是锐⾓三⾓形B.⼀定是直⾓三⾓形 C⼀定是钝⾓三⾓形. D.形状不定 7.已知等差数列的公差且成等⽐数列，则 ( ) A. B. C. D. 8.若的三个顶点是，则的⾯积为( ) A. B.31 C.23 D.46 9.等⽐数列的各项均为正数，若，则A.12B.10C.8 D 10.设为等差数列的前项和，若，，则下列说法错误的是( ) A. B. C. D. 和均为的最⼤值 ⼆、填空题(共5题，每题5分) 11.设等差数列的前项和为，若，则 12.已知数列的前项和为，那么 13.如图，某⼈在电视塔CD的⼀侧A处测得塔顶的仰⾓为，向前⾛了⽶到达处测得塔顶的仰⾓为，则此塔的⾼度为__________⽶ 14.设点在函数的图像上运动，则的最⼩值为____________ 15.有以下五种说法： (1)设数列满⾜，则数列的通项公式为 (2)若分别是的三个内⾓所对的边长，，则⼀定是钝⾓三⾓形 (3)若是三⾓形的两个内⾓，且 ,则 (4)若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 (5)函数的最⼩值为4 其中正确的说法为_________(所有正确的都选上) 解答题(共75分) 16.已知⼆次函数，不等式的解集是 (1)求实数和的值; (2)解不等式 17.已知数列的前项的和为 (1)求证：数列为等差数列; (2)求 18.已知是的三边长，且 (1)求⾓ (2)若，求⾓的⼤⼩。
河南省郑州中学2017_2018学年高一数学下学期期中试题
郑州市第一〇六中学2017—2018学年高一下学期期中考试高一数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．()sin 240-的值等于 （ ） A ．12- B．．12 D2．已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．函数x y2sin -=，R x ∈是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 4．下列不等式中，正确的是 A ．tan 513tan 413ππ< B ．sin)7cos(5ππ-> C ．sin(π－1)<sin1oD ．cos)52cos(57ππ-< 5．若θ是△ABC 的一个内角，且81cos sin -=θθ，则θθcos sin -的值为（ ） A ．23-B ．23C ．25- D ．256．下列各式中，值为12的是（ ） A ．00sin15cos15 B ．22cos sin 1212ππ-C ．6cos 2121π+D ．020tan 22.51tan 22.5- 7．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为 （ ） A ．)322sin(2π+=x y B ．)32sin(2π+=x y C ．)32sin(2π-=x y D ．)32sin(2π-=x y8．化简：cos 20°1－cos 40°cos 50°的值为( )A ．12B ．22 C ． 2 D ．29．已知4πβα=+，则)tan 1)(tan 1(βα++的值是（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．410．如果一扇形 AOB 周长是4，则当扇形面积取得最大值时的弦AB 的长度为 A ．2sin1 B ．2 C ．4 D ．4sin1 11．已知tan(α+β) =53 , tan(β－4π )=41 ,那么tan(α+4π)为 （ ） A ．1813 B ．237 C ．2313D ．183 12．已知0<β<α<π2，点P(1,43)为角α的终边上一点，且14332cos cos 2sin sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-βπαβπα，则角β＝( ) A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．π3二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．已知sin(π＋α)＝－12,则cos(α－3π/2)的值为________。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 (6)
总分：150分 时间：120分钟一、选择题（共60分，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1.设a 、b 、R c ∈,且b a >，则（ ）A ．bc ac >B ．ba 11< C ．33b a > D ．22b a > 2.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．2=a ，4=b ，060=AB ．2=a ，2=c ，060=A C ．34=a ，6=b ，060=AD ．3=a ，4=b ，030=A3.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1010=S ，7030=S ，则40S =（ ）A ．80B ．110C ．130D ．150 4.在ABC ∆中，若2cossin sin 2AC B = ，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5.已知θtan ，ϕtan 是方程04332=++x x 的两根，且θ，ϕ)23,2(ππ∈，则ϕθ+的值为（ ）A ．34πB ．37πC ．34π或37πD ．35π或37π 6.各项均为正数的等差数列na n 的前}{项和为nS ，)1(0211>=-++-m a a a m m m ,m S m 则,3812=-等于A ．38 B ．20C ．10D ．9 （ ）7.已知数列}{n a 满足311=a ，n n n a a a -+=+111)(*N n ∈，则=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2019321a a a a （ ） A ．3- B ．2- C ．21-D ．31-8.已知不等式012≥+-bx ax 的解集是]41,31[-,则不等式02<+-a bx x 的解集是（ ）A ．)4,3(-B ．)31,41(- C ．),4()3,(+∞⋃--∞D ．),31()41,(+∞⋃--∞9.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，BC 边上的中线32=AD ，2=AB ,则ABC ∆的面积S 为（ ）A.3B.32C.33D.3410.如果ABC ∆的三个内角的正弦值分别等于DEF ∆的三个内角的余弦值，则下列正确的是（ ）A ．ABC ∆与DEF ∆都是锐角三角形B ．ABC ∆与DEF ∆都是钝角三角形 C ．ABC ∆是锐角三角形且DEF ∆是钝角三角形D ．ABC ∆是钝角三角形且DEF ∆是锐角三角形11.已知数列}{n a 满足12n n a a +-=，若不等式33221≤+⋅⋅⋅⋅⋅++n a a a 恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．912.已知数列}{n a 、}{m b 的通项公式分别为24-=n a n ),1001(*N n n ∈≤≤，46-=m b m （*N m ∈），由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求新数列的各项和（ ）A ．6788B ．6800C ． 6812D ．6824 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13.已知53)4cos(=+πx ，4743ππ<<x ，则x sin = ； 14.已知数列}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，若512≤≤a ，723≤≤a ，则6S 的取值范围是 ；15.已知数列}{n a 满足：1a ，21a a -，32a a -，⋅⋅⋅，1n n a a --，⋅⋅⋅是首项为1，公比为2的等比数列，则数列}{n a 的通项公式为 ；16.把正整数排成如图()a 的三角形阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图()b 三角形阵，现将图()b 中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{}n a ，若2019=k a ，则k = ；三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分10分)如图，在凸四边形ABCD 中，C ，D 为定点，CD =A ，B 为动点，满足2===BC AB DA ．（1cos 1C A -=；（2）设BCD ∆和ABD ∆的面积分别为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．18. (本小题满12分)函数2()3f x x ax =++（1）当[2,2]x ∈-时()f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当[4,6]a ∈时()0f x ≥恒成立，求实数x 的取值范围；19. (本小题满12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，A b A c B a cos cos 2cos -= 且32=a（1）若c b 2=，求B cos 的值； （2）求c b +21的取值范围.20. (本小题满12分)我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截止2018年年底该地区的绿化率只有103，计划从2019年开始使用无人机飞播造林，弹射的种子可以直接打入沙面里头，实现快速播种，每年原来沙漠面积的51将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的201还会被沙漠化。
人教版数学高三期中测试精选(含答案)8
【答案】A
9．设 a, b, c 是互不相等的整数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A．| a b || a c | | b c |
C．
|
a
b
|
a
1
b
2
B． a2
1 a2
a
1 a
D． a 3 a 1 a 2 a
【来源】上海市上海中学 2018-2019 学年高三上学期期中数学试题
x [2, 4] ，不等式 f (x) t 2 恒成立，则 t 的取值范围为__________．
【来源】山东省菏泽一中、单县一中 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（文)试
题 【答案】 (,10]
2x y 1 0,
12．设关于
x
，
y
的不等式组
x m 0,
表示的平面区域为 D ，若存在点
【答案】（1）见解析;(2) 2- n 2 n n2
2n
2
7x 5y 23 0
30．已知
x，y
满足条件：
x
7
y
11
0
，求：
4x y 10 0
（1） 4x 3y 的最小值； x y 1
（2） x 5 的取值范围.
【来源】上海市上海中学 2015-2016 学年高二上学期期中数学试卷
an
2n
的前
n
项和
Sn
．
【来源】江西省抚州市临川一中 2019-2020 届高三上学期第一次联合考试数学（文科)
试题
【答案】（1） an
1 2
n
；（2）
Sn
2n1
n2
n
2
.
34．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ， a2 a8 82 ， S41 S9 .
高一下学期数学期中考试试卷(附答案)
C. (4, −1)
D. (4, 1)
3. 角 θ 的终边过点 (3a − 9, a + 2)，且 sin 2θ ⩽ 0，则 a 的范围是 ( )
A. (−2, 3)
B. [−2, 3)
C. (−2, 3]
D. [−2, 3]
4. 已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2 弧度，则该扇形的面积为 ( )cm2 √
C. 仅有最大值的偶函数
D. 既有最大值又有最小值的偶函数
√
9. 定义行列式运算 a1 b1
a2 b2
= a1b2 − a2b1，将函数 f (x) =
3 1
sin 2x 的图象向左平移 t (t > 0) 个单位，所 cos 2x
得图象对应的函数为偶函数，则 t 的最小值为 ( )
A. π 12
B. π 6
A. −1
B. 1
C. − 2
D. 2
7. 已知向量
−→a
=
( cos
π
, sin
π
)，−→b
=
( cos
5π
, sin
5π
)2 ，则
−→a
−
−→ b
=(
2 )
A. 1
6 6√ B. 6
6
6
√
C. 3
√ D. 10
8.
函数
f
(x)
=
cos
2x
+
sin
( x
2 +
π
)
是
(
)
2
2
A. 非奇非偶函数
B. 仅有最小值的奇函数
α, β
∈
( −
山东省枣庄市第三中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题扫描版含答案
绝密★启用前枣庄三中2017〜2018学年度高一年级第二学期期中学情调査数学试题2018. 4本试卷分第1卷和第II 卷两部分・共4页•渦分150分.考试用时120分钟.答卷前，考生 务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名.考号.班级填写在答题纸规定的位賈.并用2B 怕笔填涂相关信息•考试结束后.将答题纸及时收回第I 卷（选择题共60分）注意事项：1. 第I 卷共12小题，每小题5分，共12分.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如爲改动， 用椽皮擦干净后.再选涂其它答案标号。
一、选择题：（本大题共12小题.每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中.只 有一项是符合题目要求的・）1. 化简sin 600,的值是（）D.2. 角 a 的终边过点 P(-4a,3a)(a # 0),则 2sina + cosa=()B.二53. a 是第二象限角，则上是（2A. 第一象限角4•已知扇形的弧长是4cm 9面积是2cm 2,则扇形的圆心角的弧度数是（） A. 1 B.2C.4D.1 或4己知向量 a = (sin(a + £), 1), 3 = (4,4 cos a -⑹,若a 丄 b,则 sin(a + 半)等于6 3A. -丄B. "，C.丄D.4444髙•年级学情调査 数学试題弟1页处4页C. ?或D.5与a 的值有关B.第二象限角 C ・第一象限 D.第一象限角或第二象限角高一年级学情调査 数学试题 第2页共4页sinllO* sin 20*心155'-血2155・的值为T T7・若a,b 是非零向量且满足(°_2方)丄(S_2a)丄5 ,则2与牙的夹角是(10•函数y = COS (6；X +(p)(a)> 0,0 < < ^)为奇函数，该函数的部分图欽如图所示,别为最髙点与最低点■并且两点间的距离为2近,则该函数的一条对称轴方程为(A ・ x = — nit 己知|刃1=1」方刃 方=0.点c 在ZJOB 内.且ZAOC = 30% 设 dC = mOA + nOB(m.neR)侧巴等于()n12. 己知；和J 为互相垂直的单位向量，a = Z-2；,6 = i+2),:与&的夹角为税角，则A.B. C.D.n 6338-设A.2n D. A ・沿x 轴向左平移兰个单位8B-沿、轴句右平畴个单位C.沿x 轴向左平移兰个单位4D.沿x 轴句右C. x = 2B ・ 3D. >/3 )y实数2的取值范围筑() >A (-8,-22 (-2,》B. (|,-KO) C. (-2,|)U(|,-KO) D. (-00,|)高一年级学情调査高一年级学情调査第II 卷（非选择题共9°分）注意事项X1. 第II 卷共2大共90分. 丄2.考生用0.5逢米的黑色签字笔将答案和计算步號、过程写在答題纸相“位直接在 试卷上作答的不计分.气二、填空風（本大題共4小题，毎小題5分，共20分.请把正确答案填心中横线上〉 a13. sin （〃-a ）=-亍.且a w （—今,0）,则 tana 的值是 —---- --- ・ 14. 己知向>a=（2t 3）, 6 = （-2,1）,则a 在〃方向上的投影等尸 ------------- -- 15・已知mn （x +兰）= 2.则史竺的值为 _______________ ・4 tan2x 16•①若a^b 为非零向且allb 时，则a^b 必与中之一的方向相同 ②若：为单位向童，④若a^b 共线.了与：共线，则：与2必共线;上述命题正确的有 ___________ ・（填序号）三.解答题：（本大题共6小题，共70分・17题10分，其余均为12分•解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤•）17. （本小題满分10分） tan 150°cos 210° sin (<-60°) sin(-30°)cosl20° sin(-a) cos (” + a) tan(2;r + a) cos(2” +a) sin(/r + a) tan(-a)18. （本小题满分12分）•—< —♦ —♦ 3 —♦ T己知加= （1,1）,向量农与向量加夹角为一;r ■且加・川=一1・ 4（1）求向量刀;⑵若向量力与向量？ = （1,0）的夹角为彳，向量p = （2sin^,4cos 2 y ）»求场+ ”的值.19・(本小题满分12分)巳 知 °为 坐 标 原 点⑤若平面内有则必有 JC +S 5 = BC +^5-(I )求值:（ID 化简:°A = (2 C°S 2 竝1),丙=(1, d sin 2x + a)(x ", a " a是常数),若/'(x)=刃•丽. (°求函数/(兀)的最小正周期和单调递减区间：(2〉若“[0冷]时，函数/(x)的最小值为2,求a的值.20・（本小题满分12分）已知一~<x<0, sinx + cosx =丄.2• 5（I）求sinx-cosx 的值：（II〉求4sinxcosx-8s2 x 的值.21. (本小题满分12分〉设函数/(x) = a ・b ■其中7 = (2 sin(- + x), cos 2x)^ = (sin(# + x)厂巧)，x w R ・4 q(1) 求/(x)的解析式；(2) 求/(x)的周期和单调递增区间；⑶若关于兀的力程/(E-心2在"眷冷匕有解，求实数加的取值范围・■22. (本小题满分12分)己知向量a = (cos|x,sin|x) . S =(8s务-sin专)，且 *e[</(恥打・2平-耳"为常数)，求F⑴0・&及”-6 $⑵若/⑴得最大值是斗求实数2的值。
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2017—2018学年第二学期高一期中考试试题
考试时间：120分钟
第I 卷
一：选择题：（每小题5分,共60分）
一个人连续射击两次的事件中“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
至多有一次中靶 B. 两次都中靶
C.只有一次中靶
D. 两次都不中靶
2．已知点(4,3)-是角α终边上的一点,则sin()πα-=（ ）
A ．35
B ．35-
C ．45-
D ．45
3下列式子中,不能化简为PQ 的是（ ）
A. AB PA BQ ++ B 、 AB PC BA QC ++- C 、PA AB BQ +- D 、QC CQ QP +-
4．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是85,
乙班学生成绩的中位数是83,则x
+y 的值为（ ） A ．7 B ．8
C ．9
D ．10
5、下列语句：
(1)两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;
(2)两个有共同终点的向量,一定是共线向量;
(3)向量AB 与向量CD 是共线向量,则点,,,A B C D 必在同一条直线上;
(4)有向线段就是向量,向量就是有向线段.
其中说法错误的个数是（ ）
A.1
B.2
C. 3
D.4
6.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称,则ϕ可能是（ ） A.2π B.
4π- C.4π D.34π 7.如图所示的程序框图,若输出的41S =,则判断框内应填入的条件是（ ）
A ．3?k >
B ．4?k >
C ．5?k >
D ．6?k >
8．函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示,则()f x 的单调递减区间为( )
A .⎝
⎛⎭⎫k π－14，k π＋34,k ∈Z B .⎝
⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34,k ∈Z C. ⎝
⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34,k ∈Z D. ⎝⎛⎭⎫k －14
，k ＋34,k ∈Z 第8题图 9．在函数①y ＝cos|2x|,②y ＝|cos x|,③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6,④y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x －π4中,最小正周期为π的所有函数为( )
A ．②④
B ．①③④
C ．①②③
D ．①③
10.将函数
的图象上各点的横坐标变为原来的π倍,将所得图象向右平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g （x ）的图象,则函数y=g （x ）的解析式是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 11. 在区间[]05，内随机选一个数,则它是不等式
2log (1)1x -<的解的概率是（ ） A. 15 B. 35 C.25 D. 4
5
12.要得到函数cos(2)3y x π
=-的图象,只需将sin 2y x =函数的图象（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π
个单位
C ．向左平移个单位
D ．向右平移个单位
第II 卷
二．填空题：（每小题5分,共20分）
13．将
300-化为弧度为_____________．
14．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14,则cos ⎝⎛⎭
⎫π6＋α＝________． 15．满足1cos 2α≤-
的角α的集合为________．
16．关于函数 ()4sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,有下列命题:
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍;
②y=f(x)的表达式可改写为
4cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭; ③y=f(x)的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称;
④y=f(x)的图象关于直线6x π=-
对称.
其中正确命题的序号是 .
三：解答题（共70分）.
（1)(5分)已知
51cos 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 求
)23cos()sin()23cos()2sin(]1)[sin(sin )sin(πθπθπθπθθπθθπ---+-+--+的值． (2)(5分)已知1cos sin sin -=-ααα,求22sin 2sin cos 2sin 1αααα++的值.
18.（12分)某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．
（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人？
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率．
19.（12分）已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫π3－2x , （1）求函数的周期;
（2）求函数单调增区间;
（3）求函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.
20（12分）已知函数()()sin f x x B
ωϕ=A ++（0A >,0ω>,2πϕ<,R x ∈）,在同一个周期内,当4x π=
时,函数取最大值3,当712x π=时,函数取最小值-1,
(1)求函数f （x ）的解析式;
(2)将()f x 的图象上所有点向左平移6π
个单位,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的
32倍,得到()g x 的图象,讨论()g x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.
21.（12分）某班同学利用寒假进行社会实践,对年龄在[25,55]的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（1）补全频率分布直方图,并求,,n x p 的值;
（2）从年龄在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取2人作为领队,求选取的2名领队中恰有1人年龄在[45,50)的概率.
22．（12分）已知函数253()sin cos 82f x x a x a =++-,a ∈R .
（1）当1a =时,求函数()f x 的最大值最小值及相应的x 的集合;
（2）如21世纪教育网果对于区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意一个x ,都有()1f x ≤成立,求a 的取值范围.。