画法几何与机械制图(第二版) 第2章

Z V
a’ (c)’
C
c”
A
W
X
o
a”
c
a
Y
A、C两点处于正前正后的位置，正面投影重合为一点
对正面的重影点
（X、Z方向的距离差为零，即XA－Xc＝0； ZA－Zc＝0 ）
两点处于正上正下的位置，水平投影重合为一点
对水平面的重影点
（X、Y方向的距离差为零，即XA－Xc＝0； YA－Yc＝0 ）
两点处于正左正右的位置，侧面投影重合为一点
A
过点A只能作一条P平面的
B
垂线，所以A点在投影面P上
C
的投影a是唯一的。
但a却不能唯一确定空间点A的 位置。因为过A所作的P平面的垂 线上所有各点的投影都重合在a上。
a（b、c） P
由此可得到一个结论： 一般情况下，点的一个投影不能确定空间点的位置。
两投影面体系
图a是由两个互相垂直的投影面构成的两投影面体系，可
W
xA O O
aY"W
45°yA
a YH
ay Y
a H
点的投影规律：
45°
yA
aYH
YH
1）a'a⊥OX（同反映X坐标）；
2）a'a"⊥OZ（同反映Z坐标）；
3）aaX=OaYH=OaYW=a"aZ（同反映Y 坐标）
推论：过a的水平线与过a”的垂线必 相 交于过O点的45°的斜线上。
[例1] 如图所示，已知点A的 两面投影a'和a"，求a。
中心投影法主要用于绘制富有真实感的立体图即透视 图，在建筑制图中用这种方法绘制透视图。
投射中心 S
B C
b
投射线 (投射方向)
A
a
c
P
2.1.2 平行投影法
若将投影中心S按指定的方向移到无穷远处，则所有的投射线可看
作互相平行的，这种投射线互相平行的投影法称为平行投影法。
(a) 斜投影法：投射线倾斜于投影面，称为斜投影法 平行投影法 (b) 正投影法：投射线垂直于投影面，称为正投影法
W
侧立投影面（简称侧面）
V、H、W的交点
原点O
X
V、H交线 OX轴
H、W交线 OY轴
V、W交线 OZ轴
O Y
2.2.3 点在三投影面体系中的投影
（注2.2.2节“点在两投影面体系中的投影”穿插在本节中）
a’ A点的正面投影（V面投影） xA
a
A点的水平投影（H面投影） yA
a” A点的侧面投影（W面投影） zA
Ⅱ
Ⅵ
Ⅰ Ⅲ
（Ⅶ） Ⅴ
三个相互垂直的投影
面，将空间划分成八个 分角，我国采用的是第 一分角投影，有些国家 采用的第三角投影。
Ⅳ
Ⅷ
八个分角的划分
第一分角的三个投影面，也可以看作在原有两投影 面的基础上，再增加一个与它们垂直的投影面构成的， 称为三投影面体系。
V
正立投影面（简称正面）
Z
H
水平投影面（简称水平面） V
A点的x坐标 A点到y坐标 A点的z坐标
V
1.点的投影与坐标的关系如下：
a'
A点到W面的距离 Aa” = xA （点的X坐标） X A点到V面的距离 Aa' = yA （点的Y坐标）
xA
ax
A点到H面的距离 Aa = zA （点的Z坐标）（立体图）
Z
az
zA
A(x,y,z)
O
a"
yA
a
ay
Y
实际作图时，将三个投影面展开在一个面上。
a'
Z
a"
[例2] 已知点A距离 H、 V、 W分 别为 13、12、10，作出其三面投 影a、a'、a"。
A(10,12,13)
Z
a'
a"
X
O
பைடு நூலகம்YW
X
O
YW
a
YH
a
YH
2.2.4 投影面和投影轴上的点
Z
V
Bb’
b”
X
c’ Dd’ d”
b
dO
Cc
W
c” Y
(a) 立体图
Z
b’
b”
c’ d’ d”
X b
2.1 投影法基础 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影 2.5 直线与平面、平面与平面之间的相对位置
退出
2.1 投影法基础
投影的基本概念：
投射中心 S
投射线
B
A
C
b
a
c
P 投影面
平面P称为投影面 S为不在P面上的一个点，称为投射中心 空间△ABC上任一点A与投影中心S的连线 SA称为投射线；
2.点的投影规律
Z
投影面展开
V
W
V面保持不动，沿OY轴将H面和W
a'
az
a"
面分开，H面绕OX轴向下旋转90°， W面绕OZ轴向后旋转90°，摊平为 同一平面。
X
aX
xA
zA yA
O
aYW
Y W
投影与投影面大小无关， 画 投影图时可不画图框
V aa’'
X X ax
a
ZZ
zA az
a”
A(x,y,z)
前后方向：yAyB
上下方向：zAzB
a YH
若已知两点的相对位置及其中 一点的投影即可作出另一点的投影。
[例3] 已知点A的三面投影a、a’、a”，B点在A之左10、
之上8、之前5；画出B点的三面投影。
b’
a' 10 X
Z
b”
a”
O
YW
a
b
YH
2.2.6 重影点
当两个点对某一投影面的 投影重合时，称这两个点为对 这一投影面的重影点。
A
B
投射线
C
投射方向
投射线 B
A
投
射
C
方 向
a
b
cP
a
b
cP
(a) 斜投影法 用斜投影法得到的投影－斜投影（画斜轴测图）
(b) 正投影法
用正投影法得到的投影－正投影
工程图样主要是用正投影，简称投影。
2.2 点的投影
2.2.1 投影面体系
过A作投影面P的垂线，得到垂足 a即为点A在投影面P上的正投影。
以反映空间点的三个坐标，即可用两投影面体系来确定空间
立体的位置。
V H
正立投影面（简称正面） 水平投影面（简称水平面） V、H交线
OX轴
图b是第一分角
（a）四个分角
（b）第一分角
三投影面体系
虽然在两投影面体系中已经能够确定空间点的位置，但是 对于立体来说，为了更清晰地表达其形状结构，也常将立体 放置在三个互相垂直的投影面体系中，画出立体的三面投影。
交点a称为空间点A在投影面P上的投影。
同理，可作出点B、C在平面P上的投 影b、c，连接△abc，△abc则为△ABC 在投影面P上的投影。
这种使空间形体在平面 上产生投影的方法称为投影法。
工程中常用的投影法为中心投影法和平行投影法
2.1.1 中心投影法
投射线从投射中心出发（即投射线相交于一点）的投影法， 称为中心投影法。
dO
c” Yw
c
YH
(b) 投影图
2.2.5 两点的相对位置
OX
为了比较两点的相对位置，我们作如下约定： OY
Z V a'
OZ
A b’
B a” W
X
O b”
b
a
Y
a'
b’ X
b
左右方向 前后方向 上下方向
Z a”
b”
O
YW
B在A之右、之后、之下 或者 A在B之左、之前、之上 坐标差： 左右方向：xAxB
对侧面的重影点
（Y、Z方向的距离差为零，即YA－Yc＝0； ZA－Zc＝0 ）
两点在同一投影面上的投影重合，就产生了投影的可见性的问题。