7滑移线法分析
7滑移线法全解
18.2 滑移线法slip field theory内容：滑移线法原理及应用。
重点：滑移线场slip field 的合理建立。
滑移线： 塑性变形物体内各质点的最大切应力迹线特点： 滑移线（成对出现，相互正交）→滑移线场适用范围：理想刚塑性材料的平面变形问题再适当推广满足条件：静力学+运动学（速度场条件）18.2.1 基本概念18.2.1.1 平面变形的应力⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⇒=+3212000000031σσεσσ231σσσ+=m塑变屈服时()K =-=3121max σστ莫尔圆为：⎪⎩⎪⎨⎧±=+=-=ωτωσσωσσ2cos 2sin 2sin k k k xym y m x ⎪⎩⎪⎨⎧-==+==k k m mm σσσσσσω32145时18.2.2 最大切应力迹线——滑移线变形平面xoy ，取点P 1及邻近点P 2，P 3，……P 61τ为P 1点最大切应力方向2τ为P 2点的（1τ为P 1P 2折线）当P 1P 2无限邻近时，曲线变为光滑曲线即滑移线。
α族，β族18.2.2.1 ωβα及.1）逆时针方向线组成顺时针方向族线西侧的最大切应力,.βα 图7-32）角方向成线为线4531σσβα3）()同坐标轴逆时针正轴正向为起始顺时针负角以,ox ω18.2.2.2 滑移线方程()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+==族βωωωπctg tg tg dxdy dx dy 2Hencky 方程：ωσ~m平面应变应力平衡微分方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂00yxy x y y x x y xσττσ将屈服准则式代入有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--∂∂=+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂02cos 2sin 20)2sin 2(cos 2yx m y x m k y k x ωωωωωωσωωσ 未知数：m σ，ω，但难求。
变换坐标系：取滑移线本身作坐标轴轴轴βα,注意：此坐标系具有当沿α线运动时β值不变，即坐标系轴是弯曲的！在α点无限近处有：0=ω αds dx = βds dy =αs x ∂∂=∂∂βs y ∂∂=∂∂0≠∂∂αωs 0≠∂∂βωs 因此变为：()线线βωσαωσββαα02)(02=∂∂+∂∂=∂∂-∂∂s k s s k s m m积分后得：()()⎩⎨⎧=+=-线线βηωσαξωσk k m m 22此式即汉基应力方程（Hencky ）18.2.3 滑移线特性18.2.3.1 沿线特性沿α线：ωσ∆=∆k m 2 沿β线：ωσ∆-=∆k m 2证：设一条α线上有a 、b 两点ξωσξωσ=-=-b mb a ma k k 22 ()02=---∴b a mb ma k ωωσσωσ∆=∆∴k m 218.2.3.2 跨线特性()()⎩⎨⎧∆=∆∆=∆C B m D A m BC AD ,σσωω， 证明：先沿α线，A →B 有B B m A mA k K ωωσσ22-=-沿β线B →C 有：c mc B mB k k ωωσσ22+=+ ()c A B mA mc k ωωωσσ--=-∴22（a ） 再沿A →D （β1线）D mD A mA k k ωσσω22+=+D →C （沿线2α）c mc D mD k k ωωσσ22-=-()D C A mA mc k ωωωσσ22-+=-∴（b ） 由于a,b 式相等D B B A ωωωω+=+∴或：B c A D ωωωω-=-⎪⎭⎪⎬⎫-=-∆=∆mB mC mA mD BC AD σσσσωω:同理可证即上式即汉基第一定理即在滑移线网格中，若已知三个结点的m σ、ω值则第四个结点m σ、ω值可以求出。
第八章-滑移线
第8章 滑移线理论及应用§8. 1 平面应变问题和滑移线场滑移线理论是二十世纪20年代至40年代间，人们对金属塑性变形过程中，光滑试样表面出现 “滑移带”现象经过力学分析，而逐步形成的一种图形绘制与数值计算相结合的求解平面塑性流动问题变形力学问题的理论方法。
这里所谓“滑移线”是一个纯力学概念，它是塑性变形区内，最大剪切应力max (τ）等于材料屈服切应力（k ）的轨迹线。
对于平面塑性流动问题，由于某一方向上的位移分量为零（设du Z =0），故只有三个应变分量（x d ε、y d ε、xy d γ），也称平面应变问题。
根据塑性流动法则，可知p m y x Z -==+==σσσσσ2/)(2 （8-1）式中，m σ为平均应力；p 称为静水压力。
根据塑性变形增量理论，平面塑性流动问题独立的应力分量也只有三个（x σ、y σ、xy τ）（见图8-1a ），于是平面应变问题的最大切应力为：2231max ]2/)[(2/)(xy y x τσσσστ+-=-= （8-2）可见，这是一个以max τ为半径的圆方程，这个圆便称为一点的应力状态的莫尔圆（见图8-1c ）。
图中设x σ<y σ<0（即均为压应力，因塑性加工中多半以压应力为主）。
值得注意的是绘制莫尔圆时，习惯上规定：使体素顺时针旋转的切应力为正，反之为负。
因此图8-1c 中的yx τ为正值；而xy τ取负值。
根据平面流动的塑性条件，k =max τ（对Tresca 塑性条件2/T k σ=；对Mises 塑性条件3/T k σ=.于是，由图8-1(C)的几何关系可知，有 Φ--=2sin k p x σΦ+-=2sin k p y σ （8-3）Φ=2cos k xy τ式中，)2/)((y x m p σσσ+-=-=——静水压力Φ——定义为最大切应力)(max k =τ方向与坐标轴Ox 的夹角。
通常规定为Ox 轴正向为起始轴逆时针旋转构成的倾角Φ为正，顺时针旋转构成的倾角Φ为负（图8-1中所示Φ均为正）。
滑移线法
理想刚塑性体的平面应变问题1金属塑性加工变形的特点：材料的塑性变形很大弹性变形可以忽略冲模对金属块状材料的作用（塑性成形）塑性极限状态的荷载理论分析方法：滑移线法213滑移线的几何性质当滑移线沿着与之相交的另一族滑移线过渡到同族的另一条滑移线时，和的变化为常量。
θσHencky 第一定理：沿滑移线性质：9沿着滑移线平均应力的变化与夹角的变化成比例θσ9当滑移线为直线，均沿着滑移线为常数θσ9在被两根滑移线所截的另一族滑移线中，若某一段为直线，则被截的所有滑移线段都为直线简单滑移线场1. 均匀滑移线场αβ和线为两族相互正交的直线，代表均匀应力状态2. 中心扇形滑移线场滑移线场为同心圆族和在圆心共点的直线族组成，代表简单应力状态18滑移线场求解问题的例题1. 刚性平冲头压入半平面的极限荷载2. 单边受压力的楔形体3. 两侧带缺口板条的拉伸19212. Geiringer 速度方程速度场满足的条件：0=⋅+⋅dy dv dx dv y x 沿线：αβ沿线：0tan =⋅+y x dv dv θ0cot =⋅−y x dv dv θ沿线：αβ沿线：0=⋅−θβαd v dv 0=⋅+θαβd v dv Geiringer 方程几何意义：沿滑移线方向线应变率为零23 应力场必须满足平衡条件塑性区的应力满足屈服条件;刚性区应力点不在屈服面之外 应力要满足应力边界条件¾塑性区速度和应变率是连续的, 而在刚性区应变率为零;¾体积不可压缩¾速度满足速度边界条件¾在力边界，速度使外力所做的功大于零塑性区应力和应变率满足Levy-Mises 方程解的性质。
滑移线理论及应用PPT课件
17
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另 一族（例如β族）的任一条滑移线（例如β1和β2线）的两个 交点上，其切线夹角△ω与平均应力的变化△σm 均保持常数， 如下图所示:
对于图中的节点(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)有：
点P1，平面塑性变形时，
最大切应力成对出现，并
相交。
6
三、滑移线和ω 角规定
α 与β 滑移线规定
设α 与β 线构成右手坐标系，
设代数值最大的主应力σ1 作用线在第一与三象限，则：
α 线两侧最大切应力顺时针
方向。 β线两侧最大切应力逆
时针方向。
Hale Waihona Puke 或：σ1方向顺时针转45°得到α线
由σ1的方位线顺时针转45°到达的滑移线称α线，而由σ3线 的方位线顺时针转45°到达的滑移线称为β线。α线与β的方向
代入平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0
x y
xy y 0
x y
11
m
x
2k c os2
x
sin2
y
0
m
x
2k s in2
x
cos2
y
0
取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移 线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标 轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β 从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。
将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、 y分别与滑移线的切线x` 、y`重合。
第八章 滑移线法
摩擦切应力为 K的接触面
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
α
0 β α α σm σ1 K σ3 σ3 K K β
0
β σm σ1 α
K β σm 0
σm K
σm
代数值最大的 σm 主应力σ1的作用线
σ1
0
K σm
K
σ3
σm
K
σ1
σ3
摩擦切应力为K的接触表面的滑移线
（4）库仑摩擦接触表面:摩擦力为某一中间值的接触表面
σ1方向（第一主方向）
K
K
σ3方向
π
4
σ3方向
K
σ1方向
K
α K
σ1 K
β σ1
π
K
判断σ1、σ3方向 判断变化趋势
β
确定滑移线族别
4
α
按最大切应力K的时针转向或按第一主方向确定滑移线族别
8. 2
汉基应力方程
汉基应力方程
σ m − 2kω = C1 → 沿α 线 σ m + 2 k ω = C 2 → 沿β 线
-----(9)
k ( k − p ) − ( −k ) = −2（ p = 2（ + ） k1 2
（5）、平冲头单位长度上的极限压力
π
π
+ ） 4 4
π
P = 2b × 1 × p = 2kb（2 + π）
3、用图解法和数值积分法建立滑移线场
建立滑移线场从已知的边界条件开始 已知两相交滑移线OA和OB，作出该两条滑移线所包围的塑性区 OACB内的滑移线场 （1）图解法：滑移线场的节点编号是用一有序数组（m，n）表 示，其中m为 线的序号 n为β 线的序号
潜在滑移线法分析边坡滑动面及稳定性
本文确定潜在滑移线的思路和方法 , 与传统滑移
线理论完全不同 。其求解思路为 :
(1) 应力求解
根据弹塑性有限元法求解单元高斯点的应力 。
(2) 应力场的连续处理
根据高斯点的应力反推出单元节点应力 , 单元节
点应力经平滑处理后得平滑后的单元结点应力 , 再由
平滑后的节点应力插值单元内部点的应力 , 这样得到
的关系 (1) 式 , 可得潜在滑移线坐标增量
d y = Dk [ n1 tan (45°+ θmaxΠ2) + n3 ]
d x = Dk [ m1 tan (45°+ θmaxΠ2) + m3 ]
(2)
其中 Dk ———为充分小的任意数 。
在局部坐系中潜在滑移线坐标增量为
9y
9x
dr =
9y 9s
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第 35 卷 第 6 期
张国祥等·潜在滑移线法分析边坡滑动面及稳定性
·85 ·
(5) 本文提出潜在滑移线理论的分析结果与实际 情况相符 , 完全可用于边坡工程的设计与分析 , 还可 推广应用于其它岩土工程领域 。
有列车通过 , 所得滑移线网如图 4～6 所示 , 其 边 坡 稳 定 性 安 全 系 数 分 别 为 116074 , 116180 , 116056 。而常规分析方法所得的为 116199 。
图 7 ν= 012 时的潜在滑移线场
图 4 ν= 012 , 加列车荷载时的 潜在滑移线场
图 8 ν= 013 时潜在滑移线场
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塑性理论第九章滑移线法
摩擦切应力为 K的接触面
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
α
0 β α α σm σ3 σ3 K β β
0
σm K σ1 α
σ1 K β σm
K
σm 0 K
σm
代数值最大的 σm 主应力σ1的作用线
σ1
0
K σm
K
σ3
σm
K
σ1
σ3
摩擦切应力为K的接触表面的滑移线
（4）摩擦力为某一中间值的接触表面 1 1 xy cos 0 xy K 2 K
1 ( 1 3 ) k 2 1 ( 1 3 ) m 2
z σz= σm= σ2
σm +K
σy
σ1 τyx -K
σ1作用线
τxy
σm σx σ3
0 σx x
σy τxyτyx
y
P
τ
σy （σm,+K） y τyxቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
1 m k 2 m 3 m k
xy
0
y
r
y
y
m
K
xy
m
K
3
2
1
xy
0
x
xy
K K
xy
x
x
a
m
x
m
m
y
xy
a)
b)
摩擦切应力为某一中间值的接触面处的滑移线
2、常见的滑移线场类型
直线滑移线场，两族直线 简单滑移线场，一直一曲 有心和无心扇形场 直线与简单滑移线场组合 正交曲线滑移线场
《材料成型原理》.
7.3
（一）汉基第一定理 在同一族的两条滑移线（例如α1和 α2线）与另一族的任一条滑移线（ β1或 β2线）的两个交点上，其切线夹角 与 平均应力的变化均保持常数。 在图6-4中，由α族的α1转到α2时， 则沿β族的β1 、β2 ，有 Δ ω =ω2，1 -ω1，1=ω2，2 -ω1，2 =…=常数 Δ σቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=σm2，1 -σm1，1=σm2，2 -σm1，2=…=常 数
x xy 0 x y y xy 0 y x
m 2K cos 2 sin 2 0 x x y m 2K sin 2 cos 2 0 y x y
m 2K 1 S
m 2 K 2 S
7.2 汉基（Hencky）应力方程
如果以上两式分别沿滑移线积分,则
1 S 常数
沿线积分 沿线积分
2 S 常数
则汉基（Hencky）应力方程
m 2K m 2K
X轴和y轴设在滑移线上,则:
0, dx dS , dy dS
, x S y S
7.2 汉基（Hencky）应力方程
m 2K 0 S S m 2K 0 S S
m 2K 0 S m 2K 0 S
汉基积分或汉基方程为： m 2 K （沿α线） m 2 K （沿β线） 汉当沿α族（或β族）中同一条滑移线移动时，任意函数ξ（或 η）为常数，只有从一条滑移线转到另一条时， ξ（或η）值才 变。由汉基积分可以推出，沿同一滑移线上平均应力的变化， 与滑移线的转角成正比，比例常数为2K。 即为： a bb沿滑移线的转角，而 ma 表示从点 mb 2K - ωb) a 过渡到点 即式中 (ωa σma- σmb表示相应点间平均应力的变化。此式指出了滑移线 上平均应力的变化规律。当滑移线的转角愈大时，平均应力的 变化愈大。若滑移线为直线，即转角为零，则各点的 平均应力相等。
7-1 滑移线概念及应力场理论
1 m K 2 m 3 m K
x m K sin 2 y m K sin 2 xy K cos 2
τ
σy
+K
O σ3
σ2
2ω x σx
－K σ2=σm
tan 2 x y 2 xy
其中：ω为最大切应力τmax方向与坐标ox轴的夹角。
y
σ1
σ
金属塑性成形原理
过点P并标注其应力分量的微分面称为物理平面。 ➢应力莫尔圆上一点对应一个物理平面； ➢应力莫尔圆上两点之间的夹角为相应物理平面间 夹角的两倍。
将一点的代数值最大的主应力的指向称为第一主 方向( σ1作用线)。由第一主方向顺时针转π/4所确定 的最大切应力，符号为正，其指向称为第一剪切方 向。另一最大切应力方向的指向称为第二剪切方向， 两者相互正交。
由坐标轴ox正向转向第一剪切方向的角度ω称为 第一剪切方向的方向角(也就是以后提到的滑移线的 方向角)，由ox轴正向逆时针转得ω为正。
当相邻点无限接近时，这两条折线就成了相互正 交的光滑曲线，这就是滑移线。它连续，并一直延伸 到塑性变形区边界。通过塑性变形区内的每一点都可 得到这样两条正交的滑移线，在整个变形区域可得到 有两族互相正交的滑移线组成的网络，即滑移线场。
滑移线与滑移线场
金属塑性成形原理
两族滑移线： 一族称为 α 滑移线，另一族称为 β 滑移线。
塑性区内各点的最大切应力K为材料常数，而
应力状态的区别在于σm不同。
O
b d
a c
ωb
ωa
x
金属塑性成形原理
亨盖（ Hencky ）应力方程是滑移线场理论中很重要的公式，根据亨盖应 力方程可推导出滑移线场的一些主要特性。
沿α线 m 2K 沿β线 m 2K
塑性加工理论滑移线法
3
m k
O
1
k
m 3
m
图 9-19 无摩擦的接触表面
n=m 摩 擦 切 应 力
=k
为k 的接触面
O
xy k cos 2 0,
1 k m 3
n=m 摩 擦 切 应 力
=k
为k 的接触面
O
4
3 k m 1
k m
O
m
k
k
O
m
m
k
3
k m
1
（a）
1 m k 3 （b）
图 9-20 摩擦切应力达最大值 k 的接触表面
β β
β
O
α
O′
α
α
a) 中心扇形场 b) 无中心扇形场 图 9-23 简单滑移线场
（3）滑移线场由两族互相正交的光滑曲 线构成
属于这一类的滑移线场有以下几种
（a）当圆形界面为自由表面或作用有均 匀载荷时,其滑移线场为两族正交的对数 螺线所构成(如图9-24a所示)；
β α
(a)对数螺旋线场
（b）在粗糙平行刚性模板间压缩 时, 相应于接触面上摩擦切应力达 到最大值的那一段滑移线场为正 交的圆摆线(如图9-24b所示)
1 arccos xy 1 arccos f
2
k2
k
y
=xy
0
y
m
xy k
m k
x
O xy
xy
x
k
k m
m
xy
y
（a）
y
r
y
3
1 O
xy
2 x
x
m
（b）
图 9-21 当 0 f k 时的接触表面
第七章 滑移线理论及应用
§7. 1 滑移线的概念
K
sin
2
xy K cos 2
对于主应力状态有
4
1
2
m m
K
3 m K
对于理想刚塑性材料，由于 K 为常值，因此
，塑性变形体内各点的应力莫尔圆大小相等，
应力状态的差别只在于平均应力值 m的不同
，即各点应力莫尔圆的圆心在 轴上的位置
最大切应力的方向与第一主应力 的夹角为
与 ox 轴成 夹角；
4
，
作用在最大切应力平面上的正应力大小等于中间主应 力或平均应力 ：
2
m
1 2
(
1
2)
1 2
(
x
y )
由应力状态和应力莫尔圆可知，各应力分量
可以 m 、
用表示
x y
m m
K sin 2
这是给定两条相交的滑移线为初始线，求 作整个滑移线场的边值问题，即所谓黎曼 （Riemann）问题。就是根据已知两条相交 的滑移线，要求进一步求出一个区域内的 滑移线场。
已知两条滑移线 O' A 和 O' B 要求出区
域 O' ACB 的滑移线场
按给定的转角 等分成若干微小段，得到
相应滑移线网的节点，并分别给与编号，沿
7工程塑性理论滑移线法2
接触面
1
k
（a）
（b）
接触表面
图 9-20
摩擦切应力达最大值 k 的接触表面
xy k cos 2 k , 0或
2
（4）当0<τf<k时的接触表面
y =xy 0 y m x xy m xy k O k xy y （ a） k m （b） xy x k m 3 y 1 O 2 x m
（3）滑移线场由两族互相正交的光滑曲 线构成 属于这一类的滑移线场有以下几种 （a）当圆形界面为自由表面或作用有均 匀载荷时,其滑移线场为两族正交的对数 螺线所构成(如图9-24a所示)；
β α
(a)对数螺旋线场
（b）在粗糙平行刚性模板间压缩 时, 相应于接触面上摩擦切应力达 到最大值的那一段滑移线场为正 交的圆摆线(如图9-24b所示)
x y tan2 2 xy
x
y 4
2
2 xy
4k
2
xy k cos2
xy k cos2
x y tan2 2 xy
x y 2k sin 2
m
1 x y 2
x m k sin 2 y m k sin 2 xy k cos2
式(9-85)是汉盖于1923年首先推导出来的， 该方程给出了同一条滑移线上平均应力与 转角之间的关系。称为汉盖应力方程。
从式(9-85)中可以看出，若滑移线场已确 定，则转角也就被确定了，此时如果已知 某一条滑移线上一点的平均应力，则沿该 条滑移线上任意一点的平均应力均可由式 (9-85)求出。
k 3 方向 1 方向 (第一主方向) k 判断 1、3 方向 k
塑性成形原理-70-滑移线场理论简介
二、速度间断、速度间断线、速度间断面 速度间断面两侧法向速度分量相等，切向
速度分量可以间断！
52
三、速度矢端图（速端图）
1） 对于平面应变问题，工件各点只有x、y两 个方向的速度；
2） 同一条滑移线上各点有不同的速度值；
3） 以x、y两个方向的速度为坐标轴，从坐标 原点开始按同一比例画出滑移线上各点的 速度矢量，并将速度矢量端点连接成线即 得速度矢端曲线和速度矢端图；
13
二、滑移线场理论的基本内容
● 应力场理论：确定塑性变形区内的应力分 布，以及与模具接触面上的 应力分布。
● 速度场理论：确定塑性变形区内的速度分 布。
14
三、适用范围 严格地说，这种方法仅适用于理想刚塑性
体的平面应变问题。但在一定的条件下，也可 推广到平面应力、轴对称问题及硬化材料。
15
四、求解方法 针对具体的塑性成形过程，首先建立滑移
33
注意：分析上模边缘处工件的应力状态 ↓
应力奇异点！
34
2、已知顶部被削平的楔体，承受均布载荷q的
作用而产生塑性变形，若楔体夹角为 2 ，
且 AB 2a ，求均布载荷q的大小。 35
分析：本题目中当 2 ＝180度的情况。 36
3、足够长厚壁圆筒内半径为r，外半径R，在内 压p 的作用下产生塑性变形。已知其滑移线
v (v dv ). cos(d) (v dv ).sin(d)
49
由于 d 很小，前式化简得：
dv v.d 0 同理 dv v.d 0
(沿线)
(沿线)
上式即为 H.Geiringer速度方程。
50
推论：
1） 若某条滑移线为直线，则该线上各点的速 度为一常数；
弹性与塑性力学基础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法
➢ 滑移线的基本概念
作用于最大剪应力面上的正应力13恰等于平均应力m或中间主应
力2 ，即
1 3 m 2 1 2 (13 ) 1 2 (xy)
任一点应力状态可用静水压(平均
应力)与最大剪切力K相叠加来表
2020/10/16
弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 ➢ 滑移线的基本概念 塑性变形体（或变形区）内任一点的应力状态如图所示
2020/10/16
弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
压力容器、管道、挤压凹模等) 2020/10/16轴对称平面问题
应力分析：
rz、θr为零 θ 、 r为主应力，仅随 r 变化； 平衡微分方程：
dr r 0 (6-1)
dr r
弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算
弹性与塑性力学基础
第六章
塑性力学解题方法及应用举例
2020/10/16
弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
1、塑性力学问题求解现状
(1) 在塑性状态物体内应力的大小与分布求解比较弹性状态困难； (2) 非线性塑性应力应变关系方程； (3) 联解平衡方程和屈服准则，补充必要的物理方程和几何方程，在
代入式(6-12)得
z =s
滑移线法
m 0 , n m 0 , 0
2 K p K 1 2 n
0 , 0 0 , n
沿n 线从（0， n ）点到（m，n）点，每转一点减少 - ；
m n m m n 4 4
4
求AB面上的平均单位压力
沿滑移线MN，M点中心角为 。
N ; mN K;
4 M ; mM ? 2
汉基方程
2 K 2 K
m M M m N N
2 K K 2 K 4 2
BQ OP h cos 4
冲头总压力
F 2 pl sin pl cos
2 pl sin cos
； 2 K 1 =0， 时， p 4
； K 1 2 =K， = 0 时， ABC将消失，角增加，p
mB mE E B
2 K K 2 K
楔面上B点正应力
y
K sin 2 K 1 2 K sin 2 2
K 1 2 sin 2
m B B
p K 1 2 sin 2 y
三、速度矢端图（速端图）
在速度平面 Vx-Vy上以坐
标原点 o为极点，将塑性
流动平面内位于同一条 滑移线上各点的速度矢 量按同一比例均由极点 绘出，然后依次连接各
速度适量的端点，形成
一条曲线。
7.5 用滑移线法求解塑性成形问题
一、冲头压入半无限体
1、平冲头压入半无限体 冲头压入变形体，变形区长度远 大于宽度，类似于平面应变问题。 建立滑移线场
第四章-材料成形力学-滑移线场理论及其应用-多媒体课件
塑性区
v 0
v 2v0
AC v0 v AF v AC cos 45 v AC
1 2
(3) 单位压力公式
pD 2kD pC 2kC
pC D 2k(C D )
D
p
4
pD k
C
3p
4
pC
k
2k(3p
4
p)
4
k(1 p )
y
pC
k sin 2C
k(1 p )
k sin 3p
② 同族滑移线必须具有 相同方向的曲率.
③ 如果一族滑移线是直 线，那么与其正交的 另一族滑移线将具有 如图所示的4种类型
A 平行直线场
B 有心扇形场
C 一般简单应力场
边
界
线
D 具有边界线的简单应力场
均匀应力状态区的相邻区域一定是简单应力 状态的滑移线场。
线 S
B
线 A
L
o C
B 线
线 A
4.4 盖林格尔速度方程与速端图
x
y
1 4
x
y
2
2 xy
1
max
1 2
1
3
1 4
x
y
2
2 xy
2
屈服时
1 2
p
p
k
3 p k
4.1.2 基本假设
假设变形材料为各向同性的刚－塑性材料 即 假设塑性区各点的变形抗力是常数
4.1.3 基本概念 (1) 滑移线、滑移线网和滑移线场
max
1 4
4.3 滑移线场的几何性质
性质1 在同一条滑移线上，由点a 到点b，静水压力的变化与 滑移线的切线的转角成正比.
第10章滑移线理论及应用分析解析
ω=0,dx=dsα,dy=dsβ
m 2k 0 s s m 2k 0 s s
m 2k （沿线） m 2k （沿线）
当沿 族a（或β族）中同一条滑移线移动时，任意函数 ξ（或η）为常数，只有从一条滑移线转到另一条时，ξ （或η）值才改变。
ma mb 2ka b
结论1：同一滑移线平均应力 2k
具有重要的意义，它指出了滑移线上平均应力的变
化规律。 当滑移线的转角越大时，平均应力的变化越大。若 滑移线为直线，即转角为零，则各点的平均应力相 等。
xy
0
xy
2G
2G
xz
yz 1 1 0 z ( y x ); 0 E 2 2G 1 z ( y x ) 得： 2
平均应力为： m
1 1 1 ( x y z ) ( x y ) ( x y ) z 3 3 2
m2,1
1 1 1 1 ( ) (2 2 ) 2,2 (2 1 ) m2,2 (2 2 ) 2,1 4 K 1 2 4K 2 2
→
2,1 1,1 2, 2 1, 2 ＝常数
m m 2,1 m 1,1 m 2, 2 m 1, 2＝常数
结论2：若滑移线场确定，只要知道任一点的 平均应力，其余节点的平均应力即可求得。
汉基第一定理
汉盖第一定理： 同一族滑移线与另一族滑移线相交，在两交点 处的切线间夹角∆ω与平均应力变化∆σm均为常 数。
a b c d const ma b mdc const
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另
滑移线方法
根据质点的变形趋势判断
滑移线法就是针对具体的变形工序或变形过 程，建立滑移线场，然后利用其某些特性， 来求解塑性成形问题，如确定变形体内的应 力分布、计算变形力、分析变形和决定毛坯 的合理外形、尺寸等。
塑性加工理论及应用
6 滑移线法
6.2 汉基（Hencky）应力方程
料常数，故只要能找到沿滑移线上的 σm的变化规律，即可求得整个变形体（或变 形区）的应力分布。这就是应用滑移线法求解平面问题的实质。 汉基应力方程给出了滑移线场内平均应力的变化与滑移线转角的关系式。其推 导过程如下 已知平面应变时的平衡方程为
对于理想刚塑材料，材料的屈服切应力k为常数。因此塑性变形区内各点莫 尔圆半径（即最大切应力 ）等于材料常数k。
由图6-2可知，滑移线的微分方程为：
dy tg dx
对 线
dy tg( /) ctg dx
对
线
图6-2 x-y坐标系与滑移线网络
滑移线基本概念
滑移线的判断
滑移线的主要特点
2、Hencky第一定理
同族的两条滑移线截另一族任意一条滑移线相交两点的 倾角差和静水压力变化量均保持不变。 ma mb 2K (a b )
沿α 1从（1，1），（1，2）
m1,1 m1,2 2K (1,1 1,2 )
沿β 2从（1，2），（2，2）
上述已知，平面塑性应变状态下的应力分量完全可由σm和K来表示，而K为材
x xy 0 x y y xy 0 y x
塑性加工理论及应用
6 滑移线法
滑移线法解题步骤::
1 建立滑移线场,确定x,y坐标轴: 2 在自由表面取一点,分析应力状态:
工程法,滑移线,上限法
§7.4 极坐标平面应变问题解析
不变薄拉深（极坐标平面应 变问题 ）。不变薄拉深时， 由于板厚不变化，变形区主 要是在凸缘部分，发生周向 的压缩及径向延伸的变形， 因而凸缘部分的变形是一种 适用于极坐标描述的平面应 变问题。由于变形的对称性， r 、 均为主应力。
因此平衡微分方程为：
d r r 0
r)]
3．停滞区
一般粘着区与停滞区的分界面可近似取 rc h ，
于是得：
d z 2 s dr 3
r h2
0
积分得：k c r / h s / 3 r / h
当 r rc h 时， z zc ，代入上式得：
于是 式中
z s / 3 r2 / h2 C3
X 0即Rx-Tx-Qx＝0
式中 Rx d d sin 2 sin 2 Tx k4 sin d sin d cos Qx sin d sin d sin
dr
h
上式积分得：
z
C1
exp
2 fr h
当r=R时， r 0 ，将近似塑性条件 z s
代入上式，得积分常数C1
C1
s
exp
2
f h
R
因此：
z
s
exp
2f h
(R r)
2．粘着区 将 k s / 3 代入平衡方程得： d z 2 s 0
属在该区内处于三向压应力状态。
Tk1
根据定径区的力平衡条件 X 0 ，得
a d 2 k1 dld
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18.2 滑移线法slip field theory
内容：滑移线法原理及应用。
重点：滑移线场slip field 的合理建立。
滑移线： 塑性变形物体内各质点的最大切应力迹线
特点： 滑移线（成对出现，相互正交）→滑移线场
适用范围：理想刚塑性材料的平面变形问题再适当推广
满足条件：静力学+运动学（速度场条件）
18.2.1 基本概念
18.2.1.1 平面变形的应力
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⇒=+32
120
00000
03
1σσεσσ
23
1σσσ+=
m
塑变屈服时()K =-=3121
max σστ
莫尔圆为：
⎪⎩⎪
⎨⎧±=+=-=ω
τω
σσω
σσ2cos 2sin 2sin k k k xy
m y m x ⎪⎩⎪⎨⎧-==+==k k m m
m σσσσσσω3
2145时
18.2.2 最大切应力迹线——滑移线
变形平面xoy ，取点P 1及邻近点P 2，P 3，……P 6
1τ为P 1点最大切应力方向
2τ为P 2点
的
（1τ为P 1P 2折线）当P 1P 2无限邻近时，曲线变为光滑曲线即滑移线。
α族，β族
18.2.2.1 ωβα及.
1）
逆时针方向
线组成顺时针方向族线西侧的最大切应力,.βα 图7-3
2）角方向成线为线
4531σσβα
3）
()同坐标轴逆时针正轴正向为起始顺时针负角以,ox ω
18.2.2.2 滑移线方程
()()⎪⎩
⎪⎨⎧-=+==族βωωω
πctg tg tg dx
dy dx dy 2
Hencky 方程：ωσ~m
平面应变应力平衡微分方程为：
⎪⎩
⎪⎨⎧=+
=+∂∂∂∂∂∂∂∂00y
x
y x y y x x y x
σττσ
将屈服准则式代入有
()
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--∂∂=+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂02cos 2sin 20)2sin 2(cos 2y x m y x m k y
k x ωωω
ωωωσ
ωωσ 未知数：m σ，ω，但难求。
变换坐标系：取滑移线本身作坐标轴
轴轴βα,
注意：此坐标系具有当沿α线运动时β值不变，即坐标系轴是弯曲的！
在α点无限近处有：0=ω αds dx = βds dy =
α
s x ∂∂=∂∂
β
s y ∂∂=∂∂
0≠∂∂α
ω
s 0≠∂∂β
ω
s 因此变为：()线线βωσαωσβ
βα
α02)(02=∂∂+∂∂=∂∂-∂∂s k s s k s m m
积分后得：()
()⎩⎨⎧=+=-线线βη
ωσαξωσk k m m 22
此式即汉基应力方程（Hencky ）
18.2.3 滑移线特性
18.2.3.1 沿线特性
沿α线：ωσ∆=∆k m 2 沿β线：ωσ∆-=∆k m 2
证：设一条α线上有a 、b 两点
ξ
ωσξωσ=-=-b mb a ma k k 22 ()0
2=---∴b a mb ma k ωωσσ
ωσ∆=∆∴k m 2
18.2.3.2 跨线特性
()()⎩
⎨⎧∆=∆∆=∆C B m D A m BC AD ,σσωω， 证明：先沿
α
线，A →B 有
B B m A mA k K ωωσσ22-=-
沿β线B →C 有：c mc B mB k k ωωσσ22+=+ ()c A B mA mc k ωωωσσ--=-∴22（a ） 再沿A →D （β1线）D mD A mA k k ωσσω22+=+
D →C （沿线2α）c mc D mD k k ωωσσ22-=-
()D C A mA mc k ωωωσσ22-+=-∴（b ） 由于a,b 式相等D B B A ωωωω+=+∴或：B c A D ωωωω-=-
⎪⎭
⎪⎬
⎫
-=-∆=∆mB mC mA mD BC AD σσσσωω:同理可证即上式即汉基第一定理
即在滑移线网格中，若已知三个结点的m σ、
ω值则第四个结点m σ、ω值可以求出。
18.2.4 应力边界条件
一般在边界上 已知正应力n σ切应力τ，需转化为边界处m σ、ω
ω的确定：由于有：
ωτ2cos k xy ±= 因此有：()k τ
ω12
1cos
-±=
m σ的确定：分以下五种：
18.2.4.1 自由表面
自由表面、法向n σ，切向τ均为0。
1）k 21=σ 03=σ
2）01=σ k 23-=σ 4π
ω±=
18.2.4.2 无摩擦接触表面
45±=ω 03≠σ （α、β判断需比
较1σ，3σ值大小）
18.2.4.3 摩擦切应力达到最大值K 的接触表面
k
±=τ得
=ω或
2πω=
m n σσ= 来历
⎪⎩
⎪
⎨⎧∂±=∂+=∂-=ω
τω
σσω
σσcos sin sin k k k m y m x 0=∴ω 或
2
π，
m y x σσσ==∴
18.2.4.4 摩擦切应力介于其一中间值的接触面
k τ
ωarccos 21±= 若y σ已知则可
判断α线、β线。
18.2.4.5 变形体对称轴
对称轴上切应力为0 4π
ω±= 再确定α、β线。
18.2.5 滑移线场建立方法
18.2.5.1 常见的滑移线场
A 均匀应力场
两族正交直线
B 简单应力场
一族直线，另一族为与之正交的曲
线
1）同心圆与半径族（有心扇形场）
2）无心扇形场一族直线为包络线
的切线。
另一族曲线为极限曲线（包络
线）的渐开线
C 均匀应力场与简单场组合
注意：与均匀场相邻的区域只能是简
单场
D 两族正交曲线滑移线场
1）圆形边界为自由表面或其上作用
有均布的法向应力时为正交对数螺族
线场
2）粗糙平板压缩时（相当于τ=k）
滑移线场为：正交圆摆线
3）两等半径圆弧构成（扩展有心扇
形场）
近似图解法建立滑移线场
18.2.6 滑移线法解题
18.2.6.1 冲头压入半无限体
（1）平冲头压入
解题过程：1）建立滑移线场
2）判断α或β线族，确定目标点和边界点
3）应用Hencky方程
4）确定各点的σm和ω参数值
5）解出目标值
（2）楔形冲头压入
（3）圆弧冲头压入
18.2.6.2 平砧压缩高坏料
18.2.6.3 粗造平板间压缩长坏料
18.2.6.4 平面变形挤压
1）挤压比为2
2）挤压比不等于2
3）锥形凹模正挤压
4）反挤压
18.2.6.5圆筒件拉深
18.2.6.6盒形件坯料
习题 18章 1213 14 16。