7滑移线法分析

18.2 滑移线法slip field theory

内容：滑移线法原理及应用。

重点：滑移线场slip field 的合理建立。

滑移线： 塑性变形物体内各质点的最大切应力迹线

特点： 滑移线（成对出现，相互正交）→滑移线场

适用范围：理想刚塑性材料的平面变形问题再适当推广

满足条件：静力学+运动学（速度场条件）

18.2.1 基本概念

18.2.1.1 平面变形的应力

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⇒=+32

120

00000

03

1σσεσσ

23

1σσσ+=

m

塑变屈服时()K =-=3121

max σστ

莫尔圆为：

⎪⎩⎪

⎨⎧±=+=-=ω

τω

σσω

σσ2cos 2sin 2sin k k k xy

m y m x ⎪⎩⎪⎨⎧-==+==k k m m

m σσσσσσω3

2145时

18.2.2 最大切应力迹线——滑移线

变形平面xoy ，取点P 1及邻近点P 2，P 3，……P 6

1τ为P 1点最大切应力方向

2τ为P 2点

的

（1τ为P 1P 2折线）当P 1P 2无限邻近时，曲线变为光滑曲线即滑移线。

α族，β族

18.2.2.1 ωβα及.

1）

逆时针方向

线组成顺时针方向族线西侧的最大切应力,.βα 图7-3

2）角方向成线为线

4531σσβα

3）

()同坐标轴逆时针正轴正向为起始顺时针负角以,ox ω

18.2.2.2 滑移线方程

()()⎪⎩

⎪⎨⎧-=+==族βωωω

πctg tg tg dx

dy dx dy 2

Hencky 方程：ωσ~m

平面应变应力平衡微分方程为：

⎪⎩

⎪⎨⎧=+

=+∂∂∂∂∂∂∂∂00y

x

y x y y x x y x

σττσ

将屈服准则式代入有

()

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--∂∂=+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂02cos 2sin 20)2sin 2(cos 2y x m y x m k y

k x ωωω

ωωωσ

ωωσ 未知数：m σ，ω，但难求。

变换坐标系：取滑移线本身作坐标轴

轴轴βα,

注意：此坐标系具有当沿α线运动时β值不变，即坐标系轴是弯曲的！

在α点无限近处有：0=ω αds dx = βds dy =

α

s x ∂∂=∂∂

β

s y ∂∂=∂∂

0≠∂∂α

ω

s 0≠∂∂β

ω

s 因此变为：()线线βωσαωσβ

βα

α02)(02=∂∂+∂∂=∂∂-∂∂s k s s k s m m

积分后得：()

()⎩⎨⎧=+=-线线βη

ωσαξωσk k m m 22

此式即汉基应力方程（Hencky ）

18.2.3 滑移线特性

18.2.3.1 沿线特性

沿α线：ωσ∆=∆k m 2 沿β线：ωσ∆-=∆k m 2

证：设一条α线上有a 、b 两点

ξ

ωσξωσ=-=-b mb a ma k k 22 ()0

2=---∴b a mb ma k ωωσσ

ωσ∆=∆∴k m 2

18.2.3.2 跨线特性

()()⎩

⎨⎧∆=∆∆=∆C B m D A m BC AD ,σσωω， 证明：先沿

α

线，A →B 有

B B m A mA k K ωωσσ22-=-

沿β线B →C 有：c mc B mB k k ωωσσ22+=+ ()c A B mA mc k ωωωσσ--=-∴22（a ） 再沿A →D （β1线）D mD A mA k k ωσσω22+=+

D →C （沿线2α）c mc D mD k k ωωσσ22-=-

()D C A mA mc k ωωωσσ22-+=-∴（b ） 由于a,b 式相等D B B A ωωωω+=+∴或：B c A D ωωωω-=-

⎪⎭

⎪⎬

⎫

-=-∆=∆mB mC mA mD BC AD σσσσωω:同理可证即上式即汉基第一定理

即在滑移线网格中，若已知三个结点的m σ、

ω值则第四个结点m σ、ω值可以求出。

18.2.4 应力边界条件

一般在边界上 已知正应力n σ切应力τ，需转化为边界处m σ、ω

ω的确定：由于有：

ωτ2cos k xy ±= 因此有：()k τ

ω12

1cos

-±=

m σ的确定：分以下五种：

18.2.4.1 自由表面

自由表面、法向n σ，切向τ均为0。

1）k 21=σ 03=σ

2）01=σ k 23-=σ 4π

ω±=

18.2.4.2 无摩擦接触表面

45±=ω 03≠σ （α、β判断需比

较1σ，3σ值大小）

18.2.4.3 摩擦切应力达到最大值K 的接触表面

k

±=τ得

=ω或

2πω=

m n σσ= 来历

⎪⎩

⎪

⎨⎧∂±=∂+=∂-=ω

τω

σσω

σσcos sin sin k k k m y m x 0=∴ω 或

2

π，

m y x σσσ==∴

18.2.4.4 摩擦切应力介于其一中间值的接触面

k τ

ωarccos 21±= 若y σ已知则可

判断α线、β线。

18.2.4.5 变形体对称轴

对称轴上切应力为0 4π

ω±= 再确定α、β线。