基本初等函数考点总结及习题
基本初等函数复习课知识总结[1]
![基本初等函数复习课知识总结[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/092fb10976232f60ddccda38376baf1ffc4fe3cf.png)
⑤在R上是增函数.
⑤在R上是减函数.
底数互为
倒数的两个 指数函数
y = ax, y = (1)x a
的函数图像 关于y轴对称。
2、对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
a＞1
y
图
象
o
x
0＜a＜1
y
o
x
①x∈ (0,+∞) ； ② y∈ R;
③过定点(1, 0)
性 ④当x＞ 1时,y＞ 0, 质 0＜ x＜ 1时, y＜ 0
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
(2)log323与 log565；
【解析】∵y1＝40.9＝21.8，y2＝80.44＝21.32， y3＝12－1.5=21.5 ,1.8>1.5>1.32.
∴根据指数函数的性质可得，y1>y3>y2.故选D.
知识结构及知识梳理
指数与指数函数
N次方根及其性质 根式及其性质 指数 分数指数幂 有理数指数幂的运算性质
定义
指数函数
图像及性质
基本初等函数
定义 对数 运算性质
对数与对数函数
换底公式
对数函数 定义 图像和性质
定义 幂函数
图像和性质
根式的性质
(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次
方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号n a 表示.
(2) 已知 log2 3 = a,log3 7 = b,试用a,b表示 log14 56.
指数函数与对数函数 1、指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x
高中数学必修一基本初等函数知识点与典型例题总结
( a ,c ( 0 ,1 ) U ( 1 , ) ,b 0 )
c
2) 对数恒等式
a lo g a N N ( a 0 且 a 1 , N 0 )
3) 四个重要推论
①logabllggabllnnab; ②logamNnm nlogaN;
③logablog1ba;
④ lo g ab lo g bc lo g ac.
由f x是奇函数,图像关于原点对称.
所以f x在( ,- a )是增函数,
在(- a ,0)是减函数.
综上,函数 f x x a(a>0)的单调
区间是
x f x在(- a ,0),(0, a )是减函数.
在( ,- a ),( a ,+)是增函数,
单调区间的分界点为: a的平方根
5.函数f x x a (a>0)的值域
①找不到证明问题的切入口．如第(1)问，很 多考生不知道求其定义域．
②不能正确进行分类讨论．若对数或指数的 底数中含有参数，一般要进行分类讨论.
一般地，函数 y x x 是 自 变 量 ， 是 常 数
叫做幂函数
y
y x, y x2, y x3,
1
y x2, y x1
的图象.
O
x
幂函数的性质
当x1x2 >a时,由x1,x2是任意的,知x1,x2可 无限接近.而x1,x2在同一个区间取值, 知x1,x2 ( a,+)时,x1x2 >a都成立. 此时,f(x2 )>f (x1). 所以x ( a,+)时,f(x)是增函数.
同时可知,x (0, a )时,f(x)是减函数.
⑵. 当x∈ (-∞,0)时,确定某单调区间
第二章 函数概念与基本初等函数(题)1-3
第二章函数概念与基本初等函数第一节函数及其表示最新考纲：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用．知识梳理1．函数与映射的概念提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集．2．函数的相关概念(1)函数的三要素是定义域、值域和对应关系．(2)相等函数如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等．问题探究2：如果两个函数的定义域与值域相同，则它们是否为相等函数？提示：不一定，如函数f(x)＝x和函数g(x)＝－x的定义域和值域均为R，但两者显然不是同一函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．基础自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝x 2－2x 与函数f (t )＝t 2－2t 是同一个函数．( ) (2)函数y ＝1与函数y ＝x 0是相同函数．( )(3)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数为相同函数．( ) (4)函数是特殊的映射．( )(5)分段函数的定义域等于各段函数定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．( ) 2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是( )A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝|x |，g (t )＝t 23．(2015·江西重点中学一联)函数f (x )＝3xx －2＋lg(3－x )的定义域是( )A ．(3，＋∞)B ．(2,3)C ．[2,3)D ．(2，＋∞)4．(2016·沈阳二中阶段验收)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f [g (1)]＝1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．－15．若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为 ．考点一 函数的表示方法1．表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．2．解析法就是把变量x ，y 之间的关系，用一个关系式y ＝f (x )来表示，通过关系式可以由x 的值求出y 的值．列表法是将变量x ，y 的取值列成表格，由表格直接反映出二者的关系；图象法就是把x ，y 之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x ，y 的值．提醒:用解析式表示函数的优点是简明扼要，规范准确；列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系；用图象表示函数的优点是形象直观，能清晰呈现函数的增减变化，点的对称，最大(或最小)值等性质．例1:(1)(2016·河南洛阳期中)下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是( )(2)已知函数f(x)＝x－1，若f(a)＝3，则实数a＝ .点拨:集合A中任意一个x都有唯一确定的值f(x)与之对应，是判断函数的关键．对点训练1．下列函数中与函数y＝－2x3相同的是( )A．y＝x－2x B．y＝－x－2x C．y＝－2x3 D．y＝x2－2 x2．设函数f：x→－x2＋2x是实数集R到实数集R的映射，若对于实数t∈R，t不存在原象，则t的取值范围是 ( )A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则f[g(1)]＝ .考点二求函数的定义域确定函数定义域的原则(1)当函数y＝f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合．(2)当函数y＝f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合．(3)当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合．(4)当函数y＝f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定．提醒:确定函数的定义域是解决函数问题的关键．例2: (1)(2015·郑州第二次模拟)函数f (x )＝12x2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) (2)(2015·银川模拟)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，则f (x )的定义域是 ．点拨:(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集；(2)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．[拓展探究] (1)本例(2)改为f (x )的定义域为(0,1)，求f (2x ＋1)的定义域，又如何求呢？ (2)本例(2)的条件不变，求f (1－x )的定义域，如何求？考点三 分段函数对于分段函数给定自变量求函数值时，应根据自变量的范围，利用相应的解析式直接求解；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内．提醒:分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应关系，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．例3:(1)(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12(2)(2016·银川一中月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f [f (a )]≤2，则实数a 的取值范围是 ．点拨:解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，亦即应用分类讨论思想解决． 对点训练1．(2016·江西吉安一中上学期期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．4B ．14C ．－4D ．－142．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)3．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为 ．———————方法规律总结————————[方法技巧]1．判断对应是否为A 到B 的映射，即看A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”． 2．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域相同；二是对应法则相同． 3．在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集． [易错点睛]1．判断A 到B 的函数时，A 中不同元素可有相同的象，即可以多对一，不可以一对多；B 中元素可以无原象，即B 中元素可以有剩余．2．函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚持定义域优先的原则．课时跟踪训练(四)一、选择题1．(2015·苏州模拟)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝x －2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lgx1002．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．如图，是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是 ( )4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B ．45C ．2D ．9 5．(2015·湖南岳阳质检(二))设函数f (x )＝lg 3＋x 3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 的定义域为( )A ．(－9,0)∪(0,9)B ．(－9，－1)∪(1,9)C ．(－3，－1)∪(1,3)D ．(－9，－3)∪(3,9) 6．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，347.已知实数m ≠0,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )=f (2＋m ),则实数m 的值为( )A ．－83B ．8C ．－83或8D ．－83或8或08．(2016·潍坊质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x <5，f x －，x ≥5，则f (2 014)＝( )A ．26B ．17C ．10D ．59．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－2)＝f (0), f (－1)＝－3，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数(x ∈R )，如：[－1.3]＝－2，[0.8]＝0，[3.4]＝3.定义{x }＝x －[x ]，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 014＋⎩⎨⎧⎭⎬⎫22 014＋⎩⎨⎧⎭⎬⎫32 014＋…＋⎩⎨⎧⎭⎬⎫2 0142 014＝( ) A ．2 013 B ．2 0132 C ．1 007 D ．2 014二、填空题11．(2015·合肥二次质检)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x －1的定义域是 ． 12．(2015·南京模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，f x －＋2，x >0，则f (9)＝ .13．若集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，其中a ∈N *，k ∈N *，f ：x →y ＝3x ＋1，x ∈A ，y ∈B 是从定义域A 到值域B 的一个函数，则a ＋k ＝ . 三、解答题14．记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为集合N ，求：(1)集合M 、N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N .15．如图，点M 是边长为1的正方形ABCD 的边CD 的中点．当点P 在正方形的边上沿A —B —C 运动时，点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6， x ≥0，3x ＋4， x <0，若互不相等的实数x 1、x 2、x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．第二节 函数的值域与解析式最新考纲：1.了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域；2.会求一些简单函数的解析式．知识梳理1．函数的值域(1)在函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域． (2)基本初等函数的值域 ①y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a .③y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ∈R 且y ≠0}． ④y ＝a x(a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . ⑥y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． ⑦y ＝tan x 的值域是R .问题探究：函数的值域由什么决定？ 提示：函数的值域由对应关系和定义域决定． 2．函数解析式的求法 (1)换元法：若已知f []gx的表达式，求f (x )的解析式，通常是令g (x )＝t ，从中解出x＝φ(t )，再将g (x )、x 代入已知解析式求得f (t )的解析式，即得函数f (x )的解析式，这种方法叫作换元法，需注意新设变量“t ”的范围．(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数．(3)消去法：若所给解析式中含有f (x )、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (x )、f (－x )等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f (x )．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．基础自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数的解析式相同，定义域不同，值域也一定不同．( ) (2)同一函数的解析式是唯一确定的．( ) (3)函数y ＝1x 2＋1的值域为(－∞，1]．( ) (4)函数y ＝1－2xx ＋1的值域为{y |y ≠－2}．( )(5)若f (x )＝x ＋1，则f (x )＝x 2＋1，x ∈R .( ) 2．函数f (x )＝33x－3的值域为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)∪(0，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 4．(2016·西安质检(一))函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1，的值域为( )A ．[－1,2]B ．(－∞，2)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－2)5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝ .考点一 求函数的值域求函数值域的常用方法：(1)观察法；(2)换元法；(3)配方法；(4)单调性法；(5)基本不等式法；(6)分离常数法；(7)数形结合法．提醒:(1)求函数值域，一定要注意到定义域的范围；(2)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围．例1:求下列函数的值域： (1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝x －3x ＋1；(3)y ＝x －1－2x ； (4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.点拨:(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与均值不等式有关，可考虑用均值不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．[拓展探究] (1)本例中(2)变为y ＝x －3x ＋1，x ∈[1，＋∞)时，其值域如何求？ (2)本例中(2)变为y ＝x 2＋3x ＋1(x >－1)时，其值域如何求？考点二 求函数的解析式函数的解析式是表示函数的一种方法，对于不是y ＝f (x )的形式，可根据题目的条件转化为该形式．提醒:求函数解析式时要关注定义域．例2:(1)已知 f (x ＋1)＝x ＋2x ，求 f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(3)已知 f (x )满足2 f (x )＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )．点拨:求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域． 对点训练1．已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式．2．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式．考点三 函数的定义域、值域及解析式的综合应用函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的部分，函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定，函数解析式是表示函数的一种方法，对于不是y ＝f (x )的形式，可根据题目的具体条件转化为该种形式．对于求出的解析式，一定要注意定义域的变化．提醒:解决函数的综合问题时，一般采取“定义域优先”的原则．例3:(1)(2015·山东卷)已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝ .(2)(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是 ．点拨:(1)对定义域、值域的综合问题，要注意定义域对函数值域的限制作用．即在定义域内用相应方法求值域；(2)若解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影响，即要考虑分类讨论；(3)解题时要注意数形结合思想的应用，即借助图象确定函数的值域． 对点训练1．(2016·江西宜春期末统考)函数y ＝x 2－2x ＋3在定义域[m,3]上的值域为[2,6]，则m 的取值范围是( )A ．(0,3]B ．[0,3)C ．[－1,1]D ．[0,1]2．(2016·广东深圳第二次调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x >2，x ＋a 2，x ≤2.若f (x )的值域为R ，则常数a的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．[－1,2]C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D ．[－2,1] 3．若函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为 ．———————方法规律总结————————[方法技巧]1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，要树立函数定义域优先意识．2．函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围．利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域． [易错点睛]1．利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．2．利用换元法求函数解析式时，切记新元的范围即为函数的定义域．课时跟踪训练(五)一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，f x －，x >0，则f (5)等于( )A ．32B ．16 C.12 D ．1322．(2016·济南质检)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞) 3．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x4．(2016·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2x D ．3＋sin 2x 5．(2015·河北唐山期中)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x＋1B ．y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x D ．y ＝1－2x6．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．(2015·湖南衡阳六校联考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x ＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1 D ．x 2＋x ＋18．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若存在实数a 使f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3) 9．(2015·浙江十二校二联)函数f (x )＝sin x 2－cos x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 B ．[－1,1] C ．[－2,2] D ．[－3，3] 10．(2015·浙江温州十校联考)设函数g (x )是二次函数，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，若函数f [g (x )]的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D ．[1，＋∞) 二、填空题11．(2015·合肥模拟)函数y ＝1－x2x ＋5的值域为 ．12．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为 ．13．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则函数f (x )的解析式为 ． 三、解答题14．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x＋1；(4)y＝x＋4－x2.15．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝2bxax－1(a≠0), f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个，求函数f(x)的解析式．16．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a、b是常数，且a≠0)满足条件：f(2)＝0，且方程f(x)＝x 有两个相等实根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m,2n]？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由．第三节函数的单调性与最值最新考纲：1.理解函数的单调性及其几何意义，会运用基本初等函数的图象分析函数的性质；2.理解函数最大值、最小值及其几何意义，会运用函数图象理解和研究函数的最值．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫作f(x)的单调区间．问题探究1：函数f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为[a，b]含义相同吗？提示：含义不同．f(x)在区间[a，b]上单调递增并不能排除f(x)在其他区间单调递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着f(x)在其他区间不可能单调递增．2．函数的最值问题探究2：函数的单调性、最大(小)值反映在其函数图象上有什么特征？提示：函数单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值．基础自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝1x在定义域上为减函数．( )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (4)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( ) (5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x3．函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)4．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2 D ．a ≥2 5．已知函数f (x )＝2|x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是 ．考点一 函数单调性的判断与证明1．定义法用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差：即f (x 2)－f (x 1)(或f (x 1)－f (x 2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．(3)定号：根据给定的区间和x 2－x 1的符号，确定差f (x 2)－f (x 1)(或f (x 1)－f (x 2))的符号．当符号不确定，可以进行分类讨论． (4)判断：根据定义得出结论．2．导数法f ′(x )≥0(x ∈A )⇔f (x )在A 上为增函数，(使f ′(x )＝0的x 仅是个别值)； f ′(x )≤0(x ∈A )⇔f (x )在A 上为减函数，(使f ′(x )＝0的x 仅是个别值)．提醒:应熟记常用函数的单调性，为函数的应用提供依据．例1:判断函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．点拨:判断函数单调性的方法(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之；(2)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数；若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]为减函数． 对点训练1．(2016·太原质检)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 2．试讨论函数f (x )＝axx 2－1，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)．考点二 求函数的单调区间1．求函数的单调区间 (1)利用已知函数的单调性．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象给出的，或者f (x )的图象易作出，可直接由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间． 2．求复合函数 y ＝f [g (x )]的单调区间的步骤 (1)确定定义域．(2)将复合函数分解成基本初等函数：y ＝f (u )，u ＝g (x )． (3)分别确定这两个函数的单调区间．(4)若这两个函数同增或同减，则 y ＝f [g (x )]为增函数；若一增一减，则 y ＝f [g (x )]为减函数，即“同增异减”．提醒:函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y ＝1x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．例2: (1)(2015·合肥第二次质检)函数y ＝|x 2－4x ＋3|的单调递增区间是 ．(2)(2015·洛阳第二次模拟)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1]点拨:带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合；二是画出这个分段函数图象，结合函数的图象、性质进行直观的判断．[拓展探究] (1)若将本例(1)中的函数变为“y ＝x 2－4|x |＋3”，则结果如何？ (2)若将本例(2)中的“0<a <1”改为“a >1”，则函数g (x )的单调递减区间如何？考点三 利用单调性求最值若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )； 若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．提醒:运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法成为首选方法．例3:已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞), f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．点拨:利用函数的性质求恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，确定函数在所给区间上的单调性，得到区间上对应的函数最值．对点训练已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．考点四 函数单调性的应用函数的单调性主要应用在以下几方面 (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．提醒:熟练掌握基本初等函数的单调性是解决这类问题的关键．例4:(1)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 (2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围是 ．点拨:已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．对点训练1．(2015·沈阳模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]2．(2016·衡水中学月考)函数f (x )＝log a (2－ax 2)在(0,1)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B ．(1,2) C ．(1,2] D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 3．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是 ．———————方法规律总结————————[方法技巧]1．利用定义判断或证明函数的单调性注意定义的如下两种等价形式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，那么 (1)f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导函数．3．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数． 简称：同增异减．4．函数的最值与函数的值域有着密切的联系．事实上，若在函数的值域中存在最大数(最小数)，则这个数就是函数的最大值(最小值)，因此可借助函数值域的求法确定最值． [易错点睛]1．函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意”两个字是必不可少的．如果只用其中两点的函数值(比如说端点值)进行大小比较是不能确定函数的单调性的． 2．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．3．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．课时跟踪训练(六)一、选择题1．下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是( ) A ．y ＝－x ＋1 B ．y ＝11－xC ．y ＝－(x －1)2D ．y ＝31－x2．(2016·安徽宿州一检)下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( )A ．f (x )＝12B ．f (x )＝x 2－4x ＋4C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝log 12x3．函数f (x )＝11－x－x的最大值是( )A.45 B ．54 C.34 D ．434．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，2] D ．[1,2].5．(2016·东北三校联考(一))设函数f (x )＝x 2＋(a －2)x －1在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．26．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)＝f (2) B ．f (a ＋1)>f (2) C ．f (a ＋1)<f (2) D ．不能确定7．(15郑州第二次质检)已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，5) C ．(－5，－2) D ．(－5，－2)∪(2，5)8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x >1.是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 9．已知函数f (x )＝4－mxm －1(m ≠1)在区间(0,1]上是减函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4) C ．(1,4] D ．(－∞，0)∪(1,4]10．(2016·浙江嘉兴测试一)偶函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，若不等式f (ax －1)<f (2＋x 2)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－23，2)B ．(－2,2)C ．(－23，23)D ．(－2,23) 二、填空题11．函数y ＝log 12|x －3|的单调递减区间是 ．12．(2015·东北三校联考)若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．13．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是 ． 三、解答题14．(2016·重庆诊断测试)已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 的图象与函数h (x )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求m 的值；(2)若g (x )＝f (x )＋a4x在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．15．(2016·江苏徐州期中)已知a ∈R ，函数f (x )＝x |x －a |.(1)当a ＝2时，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)当a >2时，求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值．16．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．。
考点03 指对数运算及基本初等函数复习(解析版)
考点03 指对数运算及基本初等函数复习一、单选题1．设集合(){}ln 1A y y x ==-，{B y y ==，则A B =（ ）A ．[)0,2B ．()0,2C ．[]0,2D ．[)0,1【答案】A 【解析】 【分析】先分别利用对数型函数以及指数型函数求值域的方法求出集合,A B ，注意集合中的代表元素，再利用集合的交集运算求解即可. 【详解】∵(){}ln 1A y y x R ==-=，{[)0,2B y y ===，∴[)0,2AB =.故选：A. 【点睛】本题主要考查了集合间的运算以及对数函数和指数函数.属于较易题.2．已知3log 2a =，5log 6b =，ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与性质，求得(0,1)a c <∈，(1,)b ∈+∞，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数的性质，可得3log 2(0,1)a =∈，5log 6(1,)b =∈+∞， 又由321log 2log 3a ==，21ln 2log c e==，因为3e >，所以22log 3log 1e >>，可得1a c <<， 所以a c b <<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．已知3x=5y=a ，且 1 x +1 y=2，则a 的值为（ ）A B ．15C ．D ．225【答案】A 【解析】 【分析】把指数式化为对数式，再利用对数的运算法则即可得出答案 【详解】35x y a == lg3lg5lg x y a ∴==1lg 31lg 5,lg lg x a y a∴== 则11lg 3lg 5lg152=lg lg x y a a++== 2lg lg15,0a a ∴=>a ∴=故选A 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，在求解过程中指数与对数的互化是解题关键，属于基础题 4．已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b>B ．()2log 0a b ->C ．1132a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．21a b -<【答案】C 【解析】 【分析】根据22log log a b >，利用对数函数的单调性得到0a b >>，然后利用不等式的基本性质判断A ；利用特殊值判断B ；利用指数函数和幂函数的单调性判断C ；利用指数函数的单调性判断D 即可. 【详解】因为22log log a b >， 所以0a b >>， 所以11a b<，0221a b ->= ， 当3,12a b ==时，()221log log 102a b -==-<，由指数函数和幂函数的单调性得111332abb⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数、指数函数和幂函数的单调性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 5．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递增，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()f x 的性质可知，只需分析31log 4，322-，232-的大小关系，绝对值越大函数值越大.因为函数()f x 为偶函数且在()0,∞+递增，所以()f x 在(),0-∞上递减， 又3311log log 143<=-，则31log 14>，23320221--<<<，所以23233102lo 2g 4--<<<， 所以233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的性质比较函数值的大小关系，较简单.6．已知函数())3ln 2f x x x =+-，则()()20202020f f +-=（ ）A ．2B ．0C ．2-D ．4-【答案】D 【解析】 【分析】引入函数())3lng x x x =+，它是奇函数，则()2020g +()20200g -=，由此可计算(2020)(2020)f f +-．【详解】设())3lng x x x =+.则()()g x g x -=-，即()g x 为奇函数，所以()2020g +()20200g -=，所以()()()()202020202020202044f f g g +-=+--=-. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义与性质是解题关键．7．已知0x >,0y >,lg 4lg 2lg8x y+=,则142x y+的最小值是（ ）. A ．3 B ．94 C ．4615D ．9【解析】 【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可得23x y +=,从而根据()141142232x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,展开后利用基本不等式可得解. 【详解】0x ,0y >,428x y lg lg lg +=,所以428x y =,即23x y +=,则()14114181255232323y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝3=, 当且仅当82y x x y =且23x y +=即12x =,2y =时取等号, 则142x y+的最小值是3. 故选：A 【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值,要注意应用条件的配凑.属于中档题.8．若函数122log (3),1,()6,1m x x f x x x m x ⎧-<⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ，则m 的取值范围为（ ） A ．(0，8] B ．(0，9]2C ．9[2，8]D ．(-∞，1](0-⋃，9]2【答案】B 【解析】 【分析】讨论0m >和0m 时函数的单调区间，得到0m 时不成立，0m >时需满足f （3）129(31)m mlog m =--=-，解出即可.【详解】①若0m >时，则当1x <时，12()(3)mf x log x =-单调递增，当1x 时，22()6(3)9f x x x m x m =-+=-+-在(3,)+∞上单调递增，在[1，3)上单调递减， 若函数值域为R 则需12(31)(3)9mlo f m g m --==-，解得902m <；②若0m 时，则当1x <时，12()(3)mf x log x =-单调递减，当1x 时，22()6(3)9f x x x m x m =-+=-+-在(3,)+∞上单调递增，在[1，3)上单调递减，不满足函数值域为R ，不符合题意，舍去， 综上：m 的取值范围为(0，9]2， 故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的值域，考查分类讨论思想、函数思想，属于中档题.二、多选题9．下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有( )A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数B ．当0α=时函数图象是一条直线C ．当2α=时函数是偶函数D ．当3α=时函数有一个零点0【答案】CD 【解析】 【分析】根据幂函数的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】 对于A 选项，1y x=，在(),0-∞和()0,∞+上递减，不能说在定义域上递减，故A 选项错误. 对于B 选项，0y x =，0x ≠，图象是：直线1y =并且除掉点()0,1，故B 选项错误. 对于C 选项，2yx ，定义域为R ，是偶函数，所以C 选项正确.对于D 选项，3y x =，只有一个零点0，所以D 选项正确.故选：CD 【点睛】本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题. 10．下列四个函数中过相同定点的函数有（ ） A ．2y ax a =+- B ．21a y x -=+C ．()310,1x y aa a -=+>≠D ．()()log 210,1a y x a a =-+>≠【答案】AB 【解析】 【分析】分别求出各个函数的定点，即可判断. 【详解】对于2y ax a =+-，当1x =时，2y =，则2y ax a =+-过定点()1,2；对于21a y x -=+，当1x =时，2y =，则21a y x -=+过定点()1,2；对于()310,1x y aa a -=+>≠，当3x =时，2y =，则()310,1x y a a a -=+>≠过定点()3,2；对于()()log 210,1a y x a a =-+>≠，当1x =时，1y =，则()()log 210,1a y x a a =-+>≠过定点()1,1,故A ，B 中的函数过相同的定点. 故选：AB. 【点睛】本题考查函数定点的判断，属于基础题. 11．在同一坐标系中,函数()0ay xa =≠和1y ax a=-的图像不可能是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】 已知函数()0ay xa =≠和1y ax a=-，对于选项A 和D ，通过幂函数过第一象限且是减函数对一次函数的图像与其是否相符进行判断，对于选项B ，通过幂函数是增函数确定a 的正负性，进而对其进行判断，对于选项C ，根据幂函数是偶函数且过一、二象限对其进行判断，进而得出最终答案. 【详解】对于选项A 和D ，由于幂函数的图像过第一象限，且是减函数，0a <，与一次函数是增函数和一次函数在y 轴上的截距为负矛盾，故错误；对于选项B ，由于幂函数的图像过第一、三象限，且是增函数，1a >，与一次函数的图像不相符，故错误； 对于选项C ，由于幂函数图像过第二象限，且是偶函数，0a >，与-次函数的图像相符，故正确. 故选：ABD . 【点睛】这是一道考查函数图像的题目，解题的突破口是对幂函数图像的性质进行应用，考查学生对幂函数的理解，是中档题.12．下列选项中说法正确的是（ ）A ．函数()()22log 2f x x x =-的单调减区间为(),1-∞B ．幂函数()f x mx α=过点12⎛⎝⎭，则32m α+= C ．函数()y f x =的定义域为[]1,2，则函数()2xy f =的定义域为[]2,4D ．若函数()()2lg 54f x ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是250,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BD 【解析】 【分析】对于A 选项：由对数函数的定义域和复合函数的单调可判断；对于B 选项：由幂函数的定义和函数过的点可判断；对于 C 选项：由复合函数的定义域可判断；对于 D 选项：由对数函数的值域可判断. 【详解】对于A 选项：由22>0x x -得>2x 或0x <，所以()()22log 2f x x x =-中函数的定义域为()()02-∞+∞，，，又函数22t x x =-在(),1-∞上单调递减，函数2log y t =在()0,∞+上单调递增，所以函数()()22log 2f x x x =-的单调减区间为(),0-∞，故A 不正确；对于B 选项：因为幂函数()f x mx α=过点1,22⎛ ⎝⎭，所以212m α⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1m =，解得12α=，所以32m α+=，故B 正确； 对于 C 选项：因为函数()y f x =的定义域为[]1,2，所以122x ≤≤，解得01x ≤≤，所以函数()2xy f =的定义域为[]0,1，故C 不正确；对于 D 选项：因为函数()()2lg 54f x ax x =++的值域为R ，所以当0a =时，()()lg 54f x x =+，满足其值域为R ， 当0a ≠时，需>0a 且25160a ∆=-≥，解得25016a <≤， 所以实数a 的取值范围是250,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确，故选：BD. 【点睛】本题考查函数的定义域，复合函数的单调性，对数函数的值域和幂函数的定义，属于中档题.三、填空题13．设102a =，lg3b =，则5log 12=________.【答案】21a ba【解析】 【分析】首先变指数式为对数式求得a ，把2log 6运用乘积的对数等于对数的和展开后，再运用换底公式转化成含有2lg 和3lg 的式子，代入a 和b 后可的结果． 【详解】解：由102a =，得：2a lg =，又因为3b lg =，所以()25lg 32lg12lg32lg 22log 1210lg5lg10lg 21lg 2b aa ⨯++====--⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：21b aa+-． 【点睛】本题主要考查对数值的求法，以及对数的运算，考查了对数的换底公式，关键是从102a =，求得a 的值，属于基础题．14．已知函数41,(,1)()2log ,(1,)xx f x x x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪∈+∞⎩，则()1f x >的解集为________.【答案】()(),04,-∞+∞【解析】 【分析】根据分段函数解析式，分类讨论分别计算，再取并集即可； 【详解】解：当1x <时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()1f x >，所以1121xx ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪<⎩解得0x <，当1x >时，4()log f x x =时，因为()1f x >，所以4log 11x x >⎧⎨>⎩，解得4x >综上可得不等式的解集为()(),04,-∞+∞故答案为：()(),04,-∞+∞【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，分段函数不等式的解法，考查分类讨论思想，属于中档题.15．已知点(2,9)在函数()xf x a =（0a >且1a ≠）图象上，对于函数()y f x =定义域中的任意1x ，()212x x x ≠，有如下结论：①()()()1212f x x f x f x +=⋅； ②()()()1212f x x f x f x ⋅=+； ③()()12120f x f x x x -<-；④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 上述结论中正确结论的序号是___________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】先求出a ，根据指数运算与指数函数性质依次讨论即可逐项排除得到答案. 【详解】点(2,9)在函数()xf x a =（0a >且1a ≠）图象上，即29a =，3a ∴=，()3x f x =， ∵对于函数()3xf x =定义域中的任意的()1212,x x x x ≠，有()()()12121212333x x x x f x x f x f x ++==⋅=∴结论（1）正确；又()12123x xf x x =，()()121233xxf x f x +=+，()()()1212f x x f x f x ∴≠+，∴结论（2）错误；又()3xf x =是定义域R 上的增函数，∴对任意的12,x x ，不妨设12x x <，则()()12f x f x <，120x x ∴-<，()()120f x f x -<，()()12120f x f x x x -∴->，∴结论（3）错误；又1212232x xx x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()12123322x x f x f x ++= ()()12211212121222122213312()(33)22332x x x x x x x x x x f x f x x x f --+++∴=+=++⎛⎫⎪⎝⎭，12x x ≠122122332x x x x --∴+>，()()1212212f x f x x x f +∴>+⎛⎫ ⎪⎝⎭∴结论（4）正确； 故答案为：（1），（4）. 【点晴】本题考查命题真假判断，实质上是考查函数的性质．对于这种给出具体函数式的问题，只要把函数式代入一一验证即可，解决此类问题不能限入误区，认为这类问题都是有难度，没处下手，事实上最简单的方法反而是最好的方法．16．已知2()24,()xf x x xg x a =-+=（0 a >且1a ≠），若对任意的1[1,2]x ∈，都存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x <成立，则实数a 的取值范围是______________ 【答案】1(0,)(2,)4+∞【解析】 【分析】由题意，只要()g x 在[1,2]-上的最大值大于()f x 在[1,2]上的最大值即可，再分01a << 和1a >两种情况讨论可得答案. 【详解】因为()221()24+3f x x x x -=-+=，1[1,2]x ∈，所以()()211()242f f x x x f ≤=-+≤，所以13()4f x ≤≤，要使对任意的1[1,2]x ∈，都存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x <成立， 则需()g x 在[1,2]-上的最大值大于()f x 在[1,2]上的最大值，即max ()>4g x ，当01a <<，()xg x a =在[1,2]-上单调递减，所以max 1()(1)>4g x g a=-=，解得104a <<，当>1a ，()xg x a =在[1,2]-上单调递增，所以2max ()(2)>4g x g a ==，解得>2a ，所以实数a 的取值范围是1(0,)(2,)4+∞，故答案为：1(0,)(2,)4+∞.【点睛】本题考查任意和存在的问题，注意辨别函数的最值之间的大小关系，属于中档题.四、解答题17．求下列各式的值.（1）()100.2531.8201927-⨯---（2）7log 5229814log log 7log 43-++ 【答案】（1）2-；（2）294. 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可求出； （2）运用对数的运算性质即可得出. 【详解】 （1） （2）原式22214log 3log 81log 454221294log 34log 32544. 【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题. 18．已知命题p ：指数函数()()26xf x a =-在R 上是单调减函数；命题q ：关于x 的方程223210x ax a -++=有实根，（1）若p 为真，求a 的范围 （2）若q 为真，求a 的范围（3）若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的范围. 【答案】（1）732a <<；（2）2a ≤-或2a ≥；（3）2a ≤-或72a ≥ 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性，即可求出命题p 为真时a 的取值范围；（2）利用判别式，求出命题q 为真时a 的取值范围；（3）根据题意知，p 、q 一真一假，求出p 真q 假和p 假q 真时a 的取值范围，再取并集． 【详解】解：（1）命题p ：指数函数()()26xf x a =-在R 上是单调减函数；若p 为真，则0261a <-<，解得732a <<， ∴a 的取值范围是：732a <<； （2）命题q ：关于x 的方程223210x ax a -++=有实根， 若q 为真，则()2294210aa ∆=-+≥，解得：2a ≤-或2a ≥，∴a 的取值范围是2a ≤-或2a ≥；（3）若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假；当p 真q 假时，73222a a ⎧<<⎪⎨⎪-<<⎩，解得：a ∈∅；当p 假q 真时，73222a a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≤-≥⎩或或，解得：2a ≤-或72a ≥；综上，实数a 的取值范围是：2a ≤-或72a ≥. 【点睛】本题考查了复合命题的真假性判断与应用问题，还考查了指数函数的单调性以及一元二次方程的根的判别式，是中档题．19．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增.（1）求m 的值；（2）当[]1,2x ∈时，记()f x 的值域为集合A ，若集合[]2,4B k k =--，且=A B ∅，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0m =；（2）3k >或2k <-. 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义可得；（2）求出()f x 的值域，再由集合交为空集的含义可得k . 【详解】（1）∵()f x 为幂函数，∴()211m -=，∴0m =或2.当0m =时，()2f x x =在()0,∞+上单调递增，满足题意.当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上单调递减，不满足题意，舍去.∴0m =.（2）由（1）知，()2f x x =.∵()f x 在[]1,2上单调递增，∴[]1,4A =由于此题中B ≠∅，要满足=A B ∅，只需4124k k -<->或，32k k ><-或.【点睛】此题考查幂函数概念、空集概念、集合交运算，属于基础题.20．已知函数()()2101x x f x m m -=>+，且()325f =. （1）求m 的值，并指出函数()y f x =在R 上的单调性（只需写出结论即可）； （2）证明：函数()f x 是奇函数； （3）若()()2230f mf m +-<，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2，()f x 在R 上为增函数；（2）证明见解析；（3）（3-，1）.【解析】 【分析】 （1）由()325f =，代入解析式，解方程求出m 的值，利用指数函数的单调性即可求解. （2）利用函数的奇偶性定义即可判断. （3）利用函数为奇函数，将不等式转化为()()232f m f m <-，再利用函数为增函数可得232mm <-，解不等式即可求解. 【详解】（1）因为()325f =，所以2221315m -=+，即24m =，因为0m >，所以2m =.函数()21212121x x xf x -==-++在R 上为增函数. （2）由（1）知()2121x x f x -=+定义域为(),-∞+∞.对任意(),x ∈-∞+∞，都有()()211221211221x x x x xx f x f x --------====-+++. 所以函数()f x 是奇函数， （3）不等式()()2230f mf m +-<等价于()()223f m f m <--，因为函数()f x 是奇函数， 所以()()232f mf m <-，又因为函数()f x 在R 上为增函数， 所以232m m <-，即2230m m +-<. 解得31m -<<.所以实数m 的取值范围为（3-，1）. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性、利用函数的单调性解不等式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.21．已知函数()21log 1axf x x +=-（a 为常数）是奇函数. （1）求a 的值与函数()f x 的定义域.（2）若当()1,x ∈+∞时，()()2log 1f x x m +->恒成立.求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1a =，定义域为{1x x <-或}1x >；（2）(],1-∞. 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，得到()()f x f x -=-，求出1a =，再解不等式101xx +>-，即可求出定义域； （2）先由题意，根据对数函数的性质，求出()()2log 1f x x +-的最小值，即可得出结果. 【详解】（1）因为函数()21log 1axf x x +=-是奇函数， 所以()()f x f x -=-，所以2211log log 11ax axx x -+=----， 即2211log log 11ax x x ax--=++， 所以1a =，令101xx +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数的定义域为{1x x <-或}1x >； （2）()()()22log 1log 1f x x x +-=+，当1x >时，所以12x +>，所以()22log 1log 21x +>=. 因为()1,x ∈+∞，()()2log 1f x x m +->恒成立， 所以1m ，所以m 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型.22．已知2()x f e ax x =-，a R ∈．⑴求()f x 的解析式；⑵求(0,1]x ∈时，()f x 的值域；⑶设0a >，若()[()1]log x h x f x a e =+-⋅对任意的3112,[,]x x e e --∈，总有121()()3h x h x a -≤+恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2()(ln )ln (0)f x a x x x =->（2）1(,]4a -∞-（3）13115a ≤≤ 【解析】试题分析：(1)由题已知2()x f e ax x =-，求()f x ，可利用换元法，即：x e t =，ln 0x t =>，将条件中的x ，换为t 得：2()(ln )ln f t a t t =-，求出()f x（2）由（1）得2()(ln )ln (0)f x a x x x =->，可继续换元，ln (0)x m m =≤ 得：2()()f x g m am m ==-，需对a 进行分类讨论，而化为熟悉的二次函数的值域问题解决.（3）由121()()3h x h x a -≤+恒成立，可转化为()h x 在31[,]e e --满足max min 1()()3h x h x a -≤+，则需对()h x 的单调性进行分析，由(1)()ln 1ln a h x a x x-=-+，采用换元法ln ([3,1])x s s =∈--，得：1()()1ah x r s as s-==+-，由0a >，借助函数的单调性，对a 进行分类讨论，分别得出a 的取值范围，取各种情况的并集，得出结果.试题解析：⑴设x e t =，则ln 0x t =>，所以2()(ln )ln f t a t t =-，所以2()(ln )ln (0)f x a x x x =->；⑵设ln (0)x m m =≤，则2()()f x g m am m ==- 当0a =时，()()f x g m m ==-，()g m 的值域为[0,)+∞ 当0a ≠时，2211()()()(0)24f x g m am m a m m a a==-=--≤ 若0a >，102a>，()g m 的值域为[0,)+∞ 若0a <，102a <，()g m 在1(,]2a -∞上单调递增，在1[,0]2a上单调递减， ()g m 的值域为1(,]4a-∞-综上，当0a ≥时()f x 的值域为[0,)+∞，当0a <时()f x 的值域为1(,]4a-∞-； ⑶因为(1)()ln 1ln a h x a x x -=-+对任意3112,[,]x x e e --∈总有121()()3h x h x a -≤+所以()h x 在31[,]e e --满足max min 1()()3h x h x a -≤+设ln ([3,1])x s s =∈--，则1()()1ah x r s as s-==+-，[3,1]s ∈-- 当10a -<即1a >时()r s 在区间[3,1]--单调递增 所以1(1)(3)3r r a ---≤+，即8412()333a a ----≤+，所以35a ≤(舍) 当1a =时，()1r s s =-，不符合题意当01a <<时， 1≤即112a ≤<时，()r s 在区间[3,1]--单调递增所以1(1)(3)3r r a ---≤+，则1325a ≤≤若13<<即11102a <<时()r s 在[3,-递增，在[1]-递减所以，得11102a <<3≥即1010a <≤时()r s 在区间[3,1]--单调递减所以1(3)(1)3r r a ---≤+，即8412333a a --+≤+，得111110a ≤<综上所述：13115a ≤≤. 考点：1.换元法求函数解析式； 2.换元法与二次函数的值域问题及分类思想. 3.恒成立中的函数思想及分类思想.。
高中数学必修一基本初等函数知识点+练习题含答案解析(非常详细)
第一部分基本初等函数知识点整理第二章 基本初等函数一、指数函数 （一）指数1、 指数与指数幂的运算：复习初中整数指数幂的运算性质： a m *a n =a m+n(a m )n=a mn(a*b)n =a n b n2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。
此时，a 的n 次方根用符号 表示。
当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。
此时正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 的次方根用符号 表示。
正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成 （a>0）。
注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n。
当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
3、 分数指数幂正数的分数指数幂的)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、 有理数指数米的运算性质（1）r a ·s r ra a+=),,0(R s r a ∈>； （2）rss r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂a a（a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。
有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。
（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？（1）在[a ，b]上，值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当a>1时，若X 1<X 2 ,则有f(X 1)<f(X 2)。
高中数学必修一基本初等函数小结与复习
（M，N＞0） （M，N＞0） （M＞0）
③logaMn=n logaM
logbN 7、对数的换底公式：logaN= log a b
n= n log b 重要推论： logab·logba=1， loga b m a m
8、 以10为底的对数叫做常用对数。 以e为底的对数叫做自然对数
m
1 an
n
（a≠0，n∈N）
（a＞0，n＞1，m、n∈N）
④正分数指数幂：a
n
= √
m
am 1 am
n
⑤负分数指数幂：a－ 2、幂的运算法则：
n
=
√
（a＞0，n＞1，m、n∈N）
①am．an=am＋n
③（am）n=amn
② am÷an=am－n
④（ab）m=ambm
（a≠0）
3、对数：如果ab=N，那么b叫做以a为底N的对数， 记为b=logaN。 ab=N b=logaN。（a＞0且 a≠1） logaN 4、对数恒等式：a = N（a＞0且a≠1，N＞0） 5、对数的性质：①0和负数没有对数；②loga1=0； ③logaa=1。 6、对数的运算法则： ①loga (MN)= logaM＋ logaN ② loga
2
x 1
( x 1), 对任意1 x1 x2 , 有
所以f ( x)在(1， +)上为增函数.
x 1 1 x (3)设g ( x) log 1 ( ) , 2 x 1 2 1 x 又因为y ( ) 在［3,4］上是减函数， 2 x 1 1 x 所以g ( x) log 1 ( ) 在［3,4］上是增函数. 2 x 1 2 9 所以g ( x) min g (3) . 8 1 x 又因为f ( x)>( ) m恒成立即g ( x) m恒成立， 2 9 9 所以m , 即所求m的取值范围是( ， ). 8 8
基本初等函数经典复习题答案
())1,,,0(.4*>∈>=n N n m a a a n m n mxN N a a x =⇔=log 必修1基本初等函数 复习题1、幂的运算性质（1）s r s r a a a +=⋅),(R s r ∈； （2）rs s r a a =)(；),(R s r ∈ （3）()r r r ab b a =⋅)(R r ∈ 2、对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1()N M N M a a a log log log +=⋅； ○2 N M NM a a a log log log -=； ○3()R n M n M a n a ∈=,log log ． ④1log ,01log ==a a a换底公式：abb c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ） （1）b mnb a n a m log log =；（2）a b b a log 1log =．求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)偶次方根的被开方数不小于零； (2)对数式的真数必须大于零； (3)分式的分母不等于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 4、函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． (B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性:复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”1、 下列函数中，在区间()0,+∞不是增函数的是（ ） A.x y 2= B. x y lg = C. 3x y = D. 1y x= 2、函数y ＝log 2x ＋3（x≥1）的值域是（ ）A.[)+∞,2B.（3，＋∞）C.[)+∞,3D.（－∞，＋∞） 3、若{|2},{|x M y y P y y ====，则M∩P （ ） A.{|1}y y > B. {|1}y y ≥ C. {|0}y y > D. {|0}y y ≥ 4、对数式2log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ） A.a>5,或a<2 B.2<a<5 C.2<a<3,或3<a<5 D.3<a<45、 已知x a x f -=)( )10(≠>a a 且，且)3()2(->-f f ，则a 的取值范围是（ ）A. 0>aB. 1>aC. 1<aD. 10<<a 6、函数|log |)(21x x f =的单调递增区间是 ( )A 、]21,0( B 、]1,0( C 、（0，+∞） D 、),1[+∞7、图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =，l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ） A 、0<a<b<1<d<c B 、0<b<a<1<c<d C 、0<d<c<1<a<b D 、0<c<d<1<a<b 8、已知幂函数f(x)过点（2，22），则f(4)的值为 ( )A 、21 B 、 1 C 、2 D 、8 9、6.0log 5.0=a ，5.0log 2=b ，5log3=c ，则( )A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.a ＜c ＜bD.c ＜a ＜b 10、已知)2(log ax y a -=在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是1.a 0a ,1)2(212≠>⎪⎭⎫⎝⎛>--且其中x x a a A.(0，1) B.(1，2) C.(0，2) D.［2，+∞］ 11、函数)1(log 21-=x y 的定义域为 .12. 设函数()()()()4242xx f x x f x ⎧≥⎪=⎨<+⎪⎩，则()2log 3f =13、计算机的成本不断降低，如果每隔5年计算机的价格降低31，现在价格为8100元的计算机，15年后的价格可降为 14、函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定点15、求下列各式中的x 的值1)1x (ln )1(<-16.点（2，1）与（1，2）在函数()2ax bf x +=的图象上，求()f x 的解析式。
高考基本初等函数知识点总结
基本初等函数综合复习一、知识点总结 1. 对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 . 2. 对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质定义 y ＝log a x (a >0，且a ≠1)底数a >10<a <1图象定义域 值域 R单调性 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性 图象过定点 ，即x ＝1时，y ＝0函数值特点x ∈(0,1)时，y ∈ ；x ∈[1，＋∞)时，y ∈ x ∈(0,1)时，y ∈ ；x ∈[1，＋∞)时，y ∈ 对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log ax 的图象关于 对称【易错题1】 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在 函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x （a ＞1）的图象上，则实数a 的值为________。
【题模1】 函数图象（1）底数与图像位置关系：1、指数函数图象恒过（0，1）在第一象限是“底大图高”，2、对数函数图象恒过（1，0）：在直线1x =的右侧，当1a >时，底数越大，图象越靠近x 轴；当01a <<时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．3、幂函数图象恒过（1，1），在（1，1）右侧：是“指大图高”.2）函数图象变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 y ＝f (ax )．②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变 y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去 y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象 y ＝f (|x |)． 【讲透例题】1．设0,1a a >≠且，函数2log (2)a y x =++的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(3,2)-D ．(3,2)2、不论a 为何值时,函数图象恒过一定点,这个定点坐标是 .3． 函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ． C ． D ．5、设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( ) A ．y ＝f (|x |) B ．y ＝－|f (x )| C ．y ＝－f (－|x |) D ．y ＝f (－|x |)6．(多选)若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有( )A ．a >1B ．0<a <1C ．b >0D ．b <07、已知指数函数()x f x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（ ） A ．32B ．23C ．33D ．3【相似题练习】1． 已知函数2(log )y x a b =++的图象不经过第四象限，则实数a b 、满足( ) A ．1,0a b ≥≥ B ．0,1a b >≥ C ． 2log 0b a +≥ D ．20b a +≥ 2．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )3、 已知()g x 图像与x y e =关于y 轴对称，将函数()g x 的图像向左平移1个单位长度，得到()f x ，则()f x =（ ）A. 1x e +B.1x e -C.1x e -+D. 1x e -- 4、（多选题）为了得到函数ln()y ex =的图象，可将函数ln y x =的图象（ ）A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e 倍B ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1eC ．向上平移一个单位长度D ．向下平移一个单位长度 5、函数y =a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点（ ， ） 6、函数(其中且的图象一定不经过第 象限。
高一必修一基本初等函数知识点总结归纳
高一必修一函数知识点（）〖〗指数函数（1）根式的概念n叫做根指数，a叫做被开方数．②当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a≥．③根式的性质：n a=；当n为奇数时，a=；当n为偶数时，(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N+=>∈且1)n>．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m mn na a m n Na-+==>∈且1)n>．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r sa a a a r s R+⋅=>∈②()(0,,)r s rsa a a r s R=>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R=>>∈（4）指数函数例：比较〖〗对数函数（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（3）几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-=③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（5）对数函数(6) 反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=； ③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（7）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=即，若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上． ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．函数基本性质——奇偶性知识点及经典例题一、函数奇偶性的概念：①设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 且()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数。
必修一基本初等函数练习题(含详细答案解析)
必修一基本初等函数练习题（含详细答案解析）一、选择题1．对数式log32－(2＋3)的值是()．A．－1 B．0 C．1 D．不存在1．A解析：log32－(2＋3)＝log32－(2－3)－1，故选A．2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图象是()．A B C D2．A解析：当a＞1时，y＝log a x单调递增，y＝a－x单调递减，故选A．3．如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是()．A．(1－a)31＞(1－a)21B．log1－a(1＋a)＞0C．(1－a)3＞(1＋a)2D．(1－a)1+a＞13．A解析：取特殊值a＝21，可立否选项B，C，D，所以正确选项是A．4．函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是()．A．1＜d＜c＜a＜bB．c＜d＜1＜a＜bC．c＜d＜1＜b＜aD．d＜c＜1＜a＜b4．B解析：画出直线y＝1与四个函数图象的交点，它们的横坐标的值，分别为a，b，c，d的值，由图形可得正确结果为B．(第4题)5．已知f (x 6)＝log 2 x ，那么f (8)等于( )． A ．34 B ．8 C ．18 D ．21 5．D6．如果函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎪⎭⎫⎝⎛121 ，上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )．A ． a ≤2B ．a ＞3C ．2≤a ≤3D ．a ≥36．D7．函数f (x )＝2－x －1的定义域、值域是( )． A ．定义域是R ，值域是RB ．定义域是R ，值域为(0，＋∞)C ．定义域是R ，值域是(－1，＋∞)D ．定义域是(0，＋∞)，值域为R7．C＋∞)．8．已知－1＜a ＜0，则( )．A ．(0.2)a ＜a⎪⎭⎫⎝⎛21＜2aB ．2a ＜a⎪⎭⎫⎝⎛21＜(0.2)aC ．2a ＜(0.2)a ＜a⎪⎭⎫⎝⎛21D ．a⎪⎭⎫⎝⎛21＜(0.2)a ＜2a8．B9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧+-1 log 1≤413＞ ，，)(x x x a x a a是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )．A ．(0，1)B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛310，C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3171，D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡171，9．C解析：由f (x )在R 上是减函数，∴ f (x )在(1，＋∞)上单减，由对数函数单调性，即0上是减函数，为了满足单调区间的定义，f (x )在(－∞，1］上的最小值7a －1要大于等于f (x )在［1，＋∞)上的最大值0，才能保证f (x )在R 上是减函数．10．已知y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )． A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(0，2) D ．［2，＋∞)10．B解析：先求函数的定义域，由2－ax ＞0，有ax ＜2，因为a 是对数的底，故有a ＞0且若0＜a ＜1，当x 在［0，1］上增大时，2－ax 减小，从而log a (2－ax )增大，即函数 y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是单调递增的，这与题意不符.若1＜a ＜2，当x 在［0，1］上增大时，2－ax 减小，从而log a (2－ax )减小，即函数 y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是单调递减的．所以a 的取值范围应是(1，2)，故选择B ． 二、填空题11．满足2－x ＞2x 的 x 的取值范围是 ．11．参考答案：(－∞，0)． 解析：∵ －x ＞x ，∴ x ＜0．12．已知函数f (x )＝log 0.5(－x 2＋4x ＋5)，则f (3)与f (4)的大小关系为 ． 12．参考答案：f (3)＜f (4)．解析：∵ f (3)＝log 0.5 8，f (4)＝log 0.5 5，∴ f (3)＜f (4)． 13．64log 2log 273的值为_____．14．已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧，≤ ，，＞，020log 3x x x x 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f 的值为_____．15．函数y ＝)－(34log 5.0x 的定义域为 ．16．已知函数f (x )＝a －121+x，若f (x )为奇函数，则a ＝________． 解析：∵ f (x )为奇函数，三、解答题17．设函数f (x )＝x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ，满足f (－1)＝－2，且任取x ∈R ，都有f (x )≥2x ，求实数a ，b 的值．17．参考答案：a ＝100，b ＝10．解析：由f (－1)＝－2，得1－lg a ＋lg b ＝0 ①，由f (x )≥2x ，得x 2＋x lg a ＋lg b ≥0 (x ∈R )．∴Δ＝(lg a )2－4lg b ≤0 ②．联立①②，得(1－lg b )2≤0，∴ lg b ＝1，即b ＝10，代入①，即得a ＝100．18．已知函数f (x )＝lg (ax 2＋2x ＋1) ．(1)若函数f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．18．参考答案：(1) a 的取值范围是(1，＋∞) ，(2) a 的取值范围是[0，1]． 解析：(1)欲使函数f (x )的定义域为R ，只须ax 2＋2x ＋1＞0对x ∈R 恒成立，所以有⎩⎨⎧0 ＜440a －a ＞，解得a ＞1，即得a 的取值范围是(1，＋∞)； (2)欲使函数 f (x )的值域为R ，即要ax 2＋2x ＋1 能够取到(0，＋∞) 的所有值．②当a ≠0时，应有⎩⎨⎧0 ≥440a －a ＝＞Δ⇒ 0＜a ≤1．当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)时满足要求(其中x 1，x 2是方程ax 2＋2x ＋1＝0的二根)．综上，a 的取值范围是[0，1]．19．求下列函数的定义域、值域、单调区间： (1)y ＝4x ＋2x +1＋1； (2)y ＝2＋3231x －x ⎪⎭⎫⎝⎛．19．参考答案：(1)定义域为R ．令t ＝2x (t ＞0)，y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1， ∴ 值域为{y | y ＞1}．t ＝2x 的底数2＞1，故t ＝2x 在x ∈R 上单调递增；而 y ＝t 2＋2t ＋1在t ∈(0，＋∞)上单调递增，故函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1在(－∞，＋∞)上单调递增．20．已知函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)，其中a＞0，a≠1．(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；(2)判断f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)求使f(x)－g(x)＞0成立的x的集合．20．参考答案：(1){x |－1＜x＜1}；(2)奇函数；(3)当0＜a＜1时，－1＜x＜0；当a＞1时，0＜x＜1．(2)设F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(－1，1)，且F(－x)＝f(－x)－g(－x)＝log a(－x＋1)－log a(1＋x)＝－［log a(1＋x)－log a(1－x)］＝－F(x)，所以f(x)－g(x)是奇函数．(3)f(x)－g(x)＞0即log a(x＋1)－log a(1－x)＞0有log a(x＋1)＞log a(1－x)．。
完整版)基本初等函数经典复习题+答案
完整版)基本初等函数经典复习题+答案1、幂的运算性质1) $a^r\cdot a^s=a^{r+s}$，其中$r,s\in R$；2) $(a^r)^s=a^{rs}$，其中$r,s\in R$；3) $a^r\cdot b^r=(ab)^r$，其中$r\in R$；4) $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$，其中$a>0,n\in N^*,n>1$。
2、对数的运算性质若$a>0$且$a\neq 1$，$M>0,N>0$，则有：1) $a^x=N\iff \log_a N=x$；2) $\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$；3) $\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$；4) $\log_a M^n=n\log_a M$，其中$n\in R$；5) $\log_a 1=0$；6) 换底公式：$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$，其中$a>0,a\neq 1,c>0,c\neq 1,b>0$。
3、函数的定义域能使函数式有意义的实数$x$的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时，需要注意以下几点：1) 偶次方根的被开方数不小于零；2) 对数式的真数必须大于零；3) 分式的分母不等于零；4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1.4、函数单调区间与单调性的判定方法A) 定义法：1.任取$x_1,x_2\in D$，且$x_1<x_2$；2.作差$f(x_1)-f(x_2)$；3.变形（通常是因式分解和配方）；4.定号（即判断差$f(x_1)-f(x_2)$的正负）；5.下结论（指出函数$f(x)$在给定的区间$D$上的单调性）。
B) 图象法（从图象上看升降）。
C) 复合函数的单调性：复合函数$f[g(x)]$的单调性与构成它的函数$u=g(x),y=f(u)$的单调性密切相关，其规律为“同增异减”。
基本初等函数基础题(答案解析)
基本初等函数基础题汇总一、单选题（共15小题）1.若a＞b，则下列各式中恒正的是（）A．lg（a﹣b）B．a3﹣b3C．0.5a﹣0.5b D．|a|﹣|b|【解答】解：选项A：令a＝1，b＝，则a﹣b＝，而lg＝﹣lg2＜0，A错误，选项B：因为函数y＝x3在R上单调递增，又a＞b，所以有a3＞b3，则a3﹣b3＞0，B正确，选项C：因为函数y＝0.5x在R上单调递减，又a＞b，所以有0.5a＜0.5b，即0.5a﹣0.5b＜0，C错误，选项D：令a＝1，b＝﹣2，则|a|﹣|b|＝1﹣2＝﹣1＜0，D错误，故选：B【知识点】指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、幂函数的性质2.设a＝40.4，b＝log0.40.5，c＝log50.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵a＝40.4＞1，0＜b＝log0.40.5＜log0.40.4＝1，c＝log50.4＜0，∴c＜b＜a．故选：D．【知识点】对数值大小的比较3.设lg2=a，lg3=b，则log512等于（）A．B．C．D．【解答】C【知识点】对数的运算性质4.已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（）的值为（）A．B．C．2D．8【解答】解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数），∵幂函数f（x）的图象过点（2，），∴，∴，∴f（x）＝＝，∴f（）＝＝，故选：A．【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域5.已知幂函数y＝（k﹣1）xα的图象过点（2，4），则k+α等于（）A．B．3 C．D．4【解答】解：∵幂函数y＝（k﹣1）xα的图象过点（2，4），∴k﹣1＝1，2α＝4，∴k＝2，α＝2，∴k+α＝4，故选：D．【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域6.已知x＞0，y＞0，a≥1，若a•（）y+log2x＝log8y3+2﹣x，则（）A．ln|1+x﹣3y|＜0 B．ln|1+x﹣3y|≤0C．ln（1+3y﹣x）＞0 D．ln（1+3y﹣x）≥0【解答】解：由题意可知，a•（）3y+log2x＝log2y+，∴＝＜≤，令f（x）＝，则f（x）＜f（3y），易知f（x）在（0，+∞）上为增函数，由f（x）＜f（3y）得：x＜3y，∴3y﹣x＞0，∴1+3y﹣x＞1，∴ln（1+3y﹣x）＞ln1＝0，故选：C．【知识点】对数的运算性质7.若a，b，c满足，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵2a＝3，∴a＝log23，∵1＝log22＜log23＜log25，∴b＞a＞1，∵3c＝2，∴c＝log32，∵0＝log31＜log32＜log33＝1，∴0＜c＜1，∴b＞a＞c，故选：D．【知识点】对数值大小的比较8.已知实数a，b，c∈R，满足＝＝﹣＜0，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【解答】解：易知，a，b，c＞0．由﹣＜0，则c＞1，不妨令c＝e．则＜0，故0＜2a＜1，0＜b＜1．因为，故，所以，而函数f（x）＝，，易知0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上递增，故0＜a＜b＜1．所以c＞b＞a．故选：A．【知识点】对数值大小的比较9.函数f（x）＝a x﹣2﹣ax+2a+1恒过定点P，则点P的坐标为（）A．（2，1）B．（2，2）C．（3，1）D．（2，2）或（3，1）【解答】解：①令x﹣2＝0，得x＝2，此时y＝1﹣2a+2a+1＝2，所以定点P（2，2），②令x﹣2＝1，得x＝3，此时y＝a﹣3a+2a+1＝1，所以定点P（3，1）综上所述，点P的坐标为（2，2）或（3，1），故选：D．【知识点】指数函数的单调性与特殊点10.若函数为对数函数，则a＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵函数为对数函数，∴a2﹣3a+2＝0，则a＝1（舍去）或a＝2，故选：B．【知识点】对数函数的定义11.若实数a，b满足2a＝2﹣a，log2（b﹣1）＝3﹣b，则a+b＝（）A．3 B．C．D．4【解答】解：由2a＝2﹣a可知，a为函数y＝2x与y＝2﹣x的交点A的横坐标，由log2（b﹣1）＝3﹣b＝2﹣（b﹣1）可知，b﹣1为函数y＝log2x与y＝2﹣x的交点B的横坐标，如图所示：，∵函数y＝2x与函数y＝log2x关于直线y＝x对称，∴点A与点B关于点（1，1）对称，∴a+b﹣1＝2，即a+b＝3，故选：A．【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质12.函数f（x）＝a x﹣2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，点P又在幂函数g（x）的图象上，则g（3）的值为（）A．4 B．8 C．9 D．16【解答】解：∵f（x）＝a x﹣2+3，令x﹣2＝0，得x＝2，∴f（2）＝a0+3＝4，∴f（x）的图象恒过点（2，4）．设幂函数g（x）＝xα，把P（2，4）代入得2α＝4，∴α＝2，∴g（x）＝x2，∴g（3）＝32＝9，故选：C．【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域13.已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x在（0，+∞）上是减函数，则f（m）的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x在（0，+∞）上是减函数，则m2﹣2m﹣2＝1，且m2+m﹣2＜0，求得m＝﹣1，故f（x）＝x﹣2＝，故f（m）＝f（﹣1）＝＝1，故选：C．【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域、幂函数的性质14.已知对数函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点P（3，﹣1），则幂函数y＝x a的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵对数函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点P（3，﹣1），∴﹣1＝log a3，∴a＝，故幂函数y＝x a＝，它的图象如图D所示，故选：D．【知识点】幂函数的图象15.从2，4，6，8，10这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）A．20 B．18 C．10 D．9【解答】解：首先从2，4，6，8，10这五个数中任取两个不同的数排列，共A52＝20有种排法，又，，∴从2，4，6，8，10这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb＝的不同值的个数是：20﹣2＝18．故选：B．【知识点】对数的运算性质二、填空题（共10小题）16.设函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞1）的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（2）＝1，则f（2）＝【解答】解：由题意得：函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞1）过（1，2），将（1，2）代入f（x）得：a2﹣2＝2，解得：a＝2，故f（x）＝2x+1﹣2，故f（2）＝6，故答案为：6．【知识点】反函数17.若函数y＝f（x）的反函数f﹣1（x）＝log a x（a＞0，a≠1）图象经过点（8，），则f（﹣）的值为．【解答】解：由已知可得log a8＝，即a＝8，解得a＝4，所以f﹣1（x）＝log4x，再令log4x＝﹣，即4＝x，解得x＝，由反函数的定义可得f（﹣）＝，故答案为：．【知识点】反函数、函数的值18.若函数y＝log2（x﹣m）+1的反函数的图象经过点（1，3），则实数m＝．【解答】解：∵函数y＝log2（x﹣m）+1的反函数的图象经过点（1，3），∴函数y＝log2（x﹣m）+1的图象过点（3，1），∴1＝log2（3﹣m）+1∴log2（3﹣m）＝0，∴3﹣m＝1，∴m＝2．故答案为：2．【知识点】反函数19.已知幂函数y＝（n∈N*）的定义域为（0，+∞），且单调递减，则n＝．【解答】解：∵幂函数y＝（n∈N*）的定义域为（0，+∞），且单调递减，∴，解得n＝2．故答案为：2．【知识点】幂函数的性质20.已知函数y＝f（x）在定义域R上是单调函数，值域为（﹣∞，0），满足f（﹣1）＝﹣，且对于任意x，y∈R，都有f（x+y）＝﹣f（x）f（y）．y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若将y＝kf（x）（其中常数k＞0）的反函数的图象向上平移1个单位，将得到函数y＝f﹣1（x）的图象，则实数k的值为（）【解答】解：由题意，设f（x）＝y＝﹣a x，根据f（﹣1）＝﹣，解得a＝3，∴f（x）＝y＝﹣3x，那么x＝log3（﹣y），（y＜0），x与y互换，可得f﹣1（x）＝log3（﹣x），（x＜0），则y＝kf（x）＝﹣k•3x，那么x＝，x与y互换，可得y＝，向上平移1个单位，可得y＝+1，即log3（﹣x）＝，故得k＝3，故答案为：3．【知识点】反函数21.若函数y＝log a（x﹣7）+2恒过点A（m，n），则＝（）【解答】解：∵函数y＝log a（x﹣7）+2恒过点A（m，n），令x﹣7＝1，求得x＝8，y＝2，可得函数的图象经过定点（8，2）．若函数y＝log a（x﹣7）+2恒过点A（m，n），则m＝8，n＝2，则＝＝2，故答案为：2．【知识点】对数函数的单调性与特殊点22.已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x1﹣m是幂函数，在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m的值为．【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x1﹣m是幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，求得m＝2，或m＝﹣1．∵当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x1﹣m是上是减函数，∴1﹣m＜0，故m＝2，f（x）＝x﹣1＝，故答案为：2．【知识点】幂函数的性质23.已知函数f（x）＝x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，若函数y＝f（x）在其定义域内有反函数，则实数t的取值范围是（）【解答】解：函数f（x）＝x2﹣3tx+1的对称轴为x＝，若≤0，即 t≤0，则 y＝f（x）在定义域上单调递增，所以具有反函数；若≥15，即 t≥10，则 y＝f（x）在定义域上单调递减，所以具有反函数；当3≤≤12，即 2≤t≤8时，由于区间[0，3]关于对称轴的对称区间是[3t﹣3，3t]，于是当或，即t∈[2，4）或t∈（6，8]时，函数在定义域上满足1﹣1对应关系，具有反函数．综上，t∈（﹣∞，0]∪[2，4）∪（6，8]∪[10，+∞）．【知识点】反函数24.如图所示，正方形ABCD的四个顶点在函数y1＝log a x，y2＝2log a x，y3＝log a x+3（a＞1）的图象上，则a＝（）【解答】解：设B（x1，2log a x1），C（x1，log a x1+3），A（x2，log a x2），D（x2，2log a x2），则log a x2＝2log a x1，∴，又2log a x2＝log a x1+3，，即x1＝a，，∵ABCD为正方形，∴|AB|＝|BC|；可得a2﹣a＝2，解得a＝2．故答案为：2．【知识点】对数函数的图象与性质25.已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，若f（x）＝x+log2（2x+2），则满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是．【解答】解：∵函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，f（x）＝x+log2（2x+2），设y＝x+，则y﹣x＝，∴2y﹣x＝2x+2，∴2y＝22x+2x+1，∴2x＝＝﹣1，x＝．互换x，y，得g（x）＝，∵f（x）＞log23＞g（x），∴x+log2（2x+2）＞log23＞，解得0＜x＜log215．∴满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是（0，log215）．故答案为：（0，log215）．【知识点】反函数三、解答题（共10小题）26.计算以下式子的值：（1）2lg2+lg25；（2）；（3）（2）0+2﹣2•（2）﹣（0.01）0.5．【解答】解：（1）原式＝lg4+lg25＝lg（4×25）＝lg100＝2；（2）原式＝＝＝＝＝1；（3）原式＝．【知识点】对数的运算性质、有理数指数幂及根式27.求值：（1）；（2）log354﹣log32+log23•log34．【解答】解：（1）原式＝+4+1+＝7；（2）原式＝log327+•＝3+2＝5．【知识点】有理数指数幂及根式、对数的运算性质28.计算下列各式的值：（1）；（2）lg25+4．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝2lg5+2lg2﹣2log23•log32＝2（lg5+lg2）﹣2＝2﹣2＝0．【知识点】对数的运算性质、有理数指数幂及根式29.已知幂函数f（x）＝（m∈N*），经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．【解答】解：∵幂函数f（x）经过点（2，），∴＝，即＝∴m2+m＝2．解得m＝1或m＝﹣2．又∵m∈N*，∴m＝1．∴f（x）＝，则函数的定义域为[0，+∞），并且在定义域上为增函数．由f（2﹣a）＞f（a﹣1）得解得1≤a＜．∴a的取值范围为[1，）．【知识点】幂函数的性质30.（1）化简：（a，b均为正数）；（2）求值：lg4+2lg5+π0﹣4ln+．【解答】解：（1）＝＝＝．（2）lg4+2lg5+π0﹣4ln+＝＝2+1﹣4×＝22．【知识点】对数的运算性质、有理数指数幂及根式31.已知函数f（x）为函数y＝a x（a＞0，a≠1）的反函数，f（5）＞f（6），且f（x）在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1．（1）求a的值；（2）解关于x的不等式．【解答】解：（1）∵f（x）为函数y＝a x的反函数，∴f（x）＝log a x，又∵log a5＞log a6得：0＜a＜1，由f（x）在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，得：log a a﹣log a3a＝1，解得：a＝；（2）∵0＜a＜1，∴，∴1＜x≤2．【知识点】反函数、指、对数不等式的解法32.计算：（1）．（2）已知，，求实数B的值．【解答】解：（1）原式＝＝．（2）由题意知：，，∴3B＝9B﹣6＝（3B）2﹣6，解得3B＝3或﹣2（舍），∴B＝1．【知识点】对数的运算性质33.已知函数f（x）＝log a（kx2﹣2x+6）（a＞0且a≠1）．（1）若函数的定义域为R，求实数k的取值范围；（2）若函数f（x）在[1，2]上恒有意义，求k的取值范围；（3）是否存在实数k，使得函数f（x）在区间[2，3]上为增函数，且最大值为2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳 第5讲 基本初等函数、函数与方程(解析版)
第5讲 基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质． 【知识要点】1．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)(1)定义域为R ，值域为R ； (2)图象如图所示，为一条直线；(3)k ＞0时，函数为增函数，k ＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b ＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y ＝kx ＋b 的零点为⋅-kb2．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为⋅-++=a b ac ab x a y 44)2(22 (1)定义域为R ：当a ＞0时，值域为),44[2+∞-a b ac ；当a ＜0时，值域为]44,(2ab ac --∞；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --．当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下． (3)当a ＞0时，]2,(a b --∞是减区间，),2[+∞-ab是增区间； 当a ＜0时，]2,(a b --∞是增区间，),2[+∞-ab是减区间． (4)当且仅当b ＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式∆＝b 2－4ac ＞0时，函数有两个变号零点aacb b 242-±-；当判别式∆＝b 2－4ac ＝0时，函数有一个不变号零点ab 2-； 当判别式∆＝b 2－4ac ＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1) (1)定义域为R ；值域为(0，＋∞)．(2)a ＞1时，指数函数为增函数；0＜a ＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根． 负数没有偶次方根．),1()(+∈>=N n n a a n n ；⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a nn|,|,)( (2)分数指数幂，)0(1>=a a a n n；,0()(>==a a a a n m m n nm n ，m ∈N *，且nm为既约分数)． *N ,,0(1∈>=-m n a aanm nm ，且nm为既约分数)． (3)幂的运算性质a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，a 0＝1(a ≠0)．(4)一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N ， 即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)． (5)对数恒等式：Na alog ＝N ．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式：N M NMN M MN a a aa a a log log log ;log log )(log -=+=； M M a a log log αα=； bNN a a b log log log =.(其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，21,1x y xy ==这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．函数的图象 在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗．因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法．【知识要点】作函数图象最基本的方法是列表描点作图法．常用的函数图象变换有：1．平移变换y＝f(x＋a)：将y＝f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移｜a｜个单位可得．y＝f(x)＋a：将y＝f(x)的图象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移｜a｜个单位可得．2．对称变换y＝－f(x)：作y＝f(x)关于x轴的对称图形可得．y＝f(－x)：作y＝f(x)关于y轴的对称图形可得．3．翻折变换y＝｜f(x)｜：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变即得．y＝f(｜x｜)：此偶函数的图象关于y轴对称，且当x≥0时图象与y＝f(x)的图象重合．【复习要求】1．能够在对函数性质作一定的讨论之后，用描点法作出函数的图象．2．能够对已知函数y＝f(x)的图象，经过适当的图象变换得到预期函数的图象．3．通过读图能够分析出图形语言所表达的相关信息(包括函数性质及实际意义)，运用数形结合的思想解决一些与函数有关的问题．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【例题分析】1.＝（）A．2B．C．D．﹣2【考点】有理数指数幂及根式．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用根式与有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质求解即可．【解答】解：原式＝．故选：B．【点评】本题考查了有理数指数幂及根式的运算，主要考查了有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质，属于基础题．2.函数y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【答案】C【分析】本题可利用指数函数的值域．【解答】解：∵y＝2x（x≤0）为增函数，且2x＞0，∴20＝1，∴0＜y≤1．∴函数的值域为（0，1]．故选：C．【点评】本题考查的是函数值域的求法，关键是要熟悉指数函数的单调性，本题计算量极小，属于容易题．3.如果函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（）A．b＜﹣1B．﹣1＜b＜0C．0＜b＜1D．b＞1【考点】指数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用函数图象的平移变换，得到关于b的不等式，再求出b的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，∴函数f（x）＝3x+b是由函数f（x）＝3x的图象向下平移|b|个单位长度得到，且|b|＜1，又∵图象向下平移，∴b＜0，∴﹣1＜b＜0，故选：B．【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，是基础题．函数的最值最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一．函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起．函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的． 【知识要点】本节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用．1．基本初等函数在特定区间上的最值(或值域)问题．解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值(或值域)．2．一些简单的复合函数的最值问题．解决这类问题的方法通常有： (1)通过作出函数图象变成第1类问题； (2)通过换元法转化成第1类问题； (3)利用平均值定理求最值；(4)通过对函数单调性进行讨论进而求出最值．其中讨论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识(导数的方法在后面相应章节复习)； (5)转化成几何问题来求解，如线性规划问题等． 【复习要求】从整体上把握求函数最值的方法，明确求最值的一般思路．函数与方程【知识要点】1．如果函数y ＝f (x )在实数a 处的值等于零，即f (a )＝0，则a 叫做这个函数的零点． 函数零点的几何意义：如果a 是函数y ＝f (x )的零点，则点(a ，0)一定在这个函数的函数图象上，即这个函数与x 轴的交点为(a ，0)． 2．零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是不间断的，而且f (a )f (b )，则这个函数在区间[a ，b ]上至少有一个零点．这也是二分法的依据．注意：上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件．这种判定零点方法主要适用于在无法对函数进行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下．如果可以画出函数的图象(这时判断函数零点的方法将是非常直观的)，如果函数所对应的方程可以求根，那么就可以用“作图”和“求根”的方法判断零点． 3．用二分法求函数y ＝f (x )，x ∈D 零点的一般步骤为：第一步、确定初始区间，即在D 内取一个闭区间[a ，b ]，使得f (a )f (b )＜0； 第二步、求中点及其对应的函数值，即求)(21b a x +=＜0以及f (x )的值，如果f (x )＝0，则计算终止，否则进一步确定零点所在的区间；第三步、计算精确度，即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等，若相等，则计算终止，否则重复第二步．【复习要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2、能够用二分法求相应方程的近似解．考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在性定理判断法．(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法【例题分析】1.函数f（x）＝﹣lnx的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【答案】B【分析】由函数的解析式可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数满足f（2）＝＞0，f（3）＝1﹣ln3＜0，∴f （2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选：B ．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 2.已知函数f （x ）＝﹣log 2x ，在下列区间中，函数f （x ）有零点的是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，4）D ．（4，+∞）【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用． 【答案】B【分析】首先判断函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续；从而由零点的判定定理判断即可．【解答】解：易知函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续； f （1）＝1﹣0＝1＞0，f （2）＝﹣1＝﹣＜0； 故函数f （x ）有零点的区间是（1，2）； 故选：B ．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用及零点的判定定理的应用，注意掌握基本初等函数的性质．3.函数24,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩是奇函数，则函数()f x 的零点是 2± ．【答案】2±．【考点】函数的零点；函数奇偶性的性质与判断【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】由已知函数解析式及奇函数的对称性即可求解． 【解答】解：当0x >时，()240x f x =-=， 解得，2x =，根据奇函数的对称性可知，2x =-也是函数()f x 的零点， 故答案为：2±．【点评】本题主要考查了函数零点的求解，属于基础题．考点3 函数零点的判定定理 【例题分析】1.在下列区间中，存在函数3()2f x lnx x =-+的零点的是( )A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】AD【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据题意，求出函数的导数，分析()f x 的单调区间，由函数零点判断定理依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，3()2f x lnx x =-+，其定义域为(0,)+∞，其导数11()1xf x x x -'=-=，在区间(0,1)上，()0f x '>，()f x 为增函数， 在区间(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 为减函数， 依次分析选项：对于A ，()f x 在1(0,)2上递增，2222111311()022f ln e e e e =-+=--<，1113()12022222ef ln ln ln =-+=-=>，在()f x 在1(0,)2上存在零点，A 正确，对于B ，()f x 在1(2，1)上递增，1()1202f ln =->，f （1）3111022ln =-+=>，在()f x 在1(2，1)上不存在零点，B 错误，对于C ，()f x 在(1,2)上递减，f （1）102=>，f （2）31222022ln ln =-+=->， 在()f x 在(1,2)上不存在零点，C 错误， 对于D ，()f x 在(2,3)上递减，f （2）1202ln =->，f （3）33333022ln ln =-+=-<， 在()f x 在(2,3)上存在零点，D 正确， 故选：AD ．【点评】本题考查函数的零点判断定理，解题的关键是确定区间端点对应的函数值异号，属于基础题．2.函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是( ) A ．(4,5) B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)【答案】D【考点】函数零点的判定定理【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】由函数解析式，判断f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：因为2()2log f x x x =-+， 所以f （1）212log 110=-+=-<， f （2）222log 210=-+=>，所以f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理可得，函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是(1,2)． 故选：D ．【点评】本题考查了函数零点的问题，主要考查了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．3.利用二分法求方程20lnx x +-=的近似解，已求得()2f x lnx x =+-的部分函数值的数据如表：A ．1.55B ．1.62C ．1.71D ．1.76【答案】A【考点】函数零点的判定定理【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】利用表格中的数据，在结合零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：根据表中的数据可得，(1.5)0.0945f =-，(1.5625)0.0088f =， 故函数()f x 的零点在区间(1.5,1.5625)之间， 只有1.55符合要求． 故选：A ．【点评】本题考查了函数零点的求解，涉及了零点存在性定理的应用，解题的关键是熟练掌握函数零点的存在性定理，属于基础题． 函数零点与方程根的关系 【例题分析】1.已知函数2,12()1,21log x x f x x x <⎧⎪=⎨>⎪-⎩，若方程()0f x a -=至少有两个实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，2)D ．[0，2]【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；数形结合；转化思想；演绎法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】首先将问题转化为两个函数交点个数的问题，然后数形结合即可确定实数a的取值范围．【解答】解：原问题等价于函数y a与函数()f x至少有两个交点，绘制函数图象如图所示，观察可得，实数a的取值范围是(0,1)．故选：A．【点评】本题主要考查由函数的零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于基础题．2.若方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则实数b的取值范围是．【考点】函数的零点；函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】（2，+∞）∪{0}．．【分析】根据函数与方程之间的关系，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数y＝|2x﹣2|的图象如图：要使方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则函数y＝|2x﹣2|与y＝b有一个交点，则b＞2或b＝0，故实数b的取值范围是b＞2或b＝0，即（2，+∞）∪{0}．故答案为：（2，+∞）∪{0}．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．3.已知关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =，则实数a 的值是() A ．5 B ．6 C ．7 D ．15【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】方程思想；转化法；高考数学专题；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据条件可得3log (10)(010)x a a =±<<，然后由212x x =，得到33log (10)2log (10)a a +=-或33log (10)2log (10)a a -=+，再求出a 的值．【解答】解：关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，∴由|310|x a -=，可知010a <<，3log (10)(010)x a a ∴=±<<，关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =， 33log (10)2log (10)a a ∴+=-或33log (10)2log (10)a a -=+ 210(10)a a ∴+=-或210(10)a a -=+，6a ∴=±或15a =±，又010a <<， 6a ∴=．故选：B ．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属基础题．。
第二章 函数的概念与基本初等函数1-3节有答案
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ①得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，②①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x .即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a －7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]． 答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反；(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52(3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4， 即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3，又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a >0，所以a >3. 答案：(3，＋∞)3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三 函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)， 可知函数f (x )的周期是4， 所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14.答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x 1－x＝－ln1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选B 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y轴对称．3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.4．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，。
(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质
指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算 （一）根式的观点1、假如 x na, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时， a的 n 次方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 na 表示，负的 n 次方根用符号 na 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．2、式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a0 ．3 、 根 式 的 性 质 ： ( n a )na ； 当 n 为 奇 数 时 ， n a na ； 当 n 为 偶 数 时 ，na n|a |a (a 0) ． a (a 0)（二）分数指数幂的观点mna m (a 0,m, n1、正数的正分数指数幂的意义是：a n N , 且 n1) ．0 的正分数指数幂等于 0．mm1)m (a2、正数的负分数指数幂的意义是：a n( 1) nn ( 0, m, n N , 且 n 1)． 0 的负aa分数指数幂没存心义．注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 ( a 0) a p1/a p ( a 0； p N )4、指数幂的运算性质a r a sa r s (a 0, r , s R)( a r )s a rs (a 0, r , s R)( ab) r a r b r (a 0, b0, r R)5 、 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无心义。
二、指数函数的观点一般地，函数 xy a ( a 0, 且a 1) 叫做指数函数，此中 x是自变量，函数的定义域为R．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义；○2 注意指数函数的底数的取值范围不可以是负数、零和 1．三、指数函数的图象和性质 函数名称指数函数定义函数 ya x ( a 0 且 a 1) 叫做指数函数a 10 a 1y图象y 1Oya xya xy(0,1) y 1(0,1)xOx定义域 R值域 （ 0,+ ∞）过定点 图象过定点（ 0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性 非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y ＞ 1(x ＜ 0),y=1(x=0),y=1(x=0),变化状况0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)0 ＜ y ＜ 1(x ＞ 0)a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高， 越凑近 在第一象限内， a 越小图象越高， 越凑近y 轴； a 越大图象越低， 越凑近 y 轴；a 越小图象越低， 越凑近图象影响 在第二象限内， 在第二象限内， x 轴． x 轴．注意：利用函数的单一性，联合图象还能够看出：（ 1）在 [a ， b] 上， f (x )a x (a 0且 a 1) 值域是 [ f (a), f ( b)] 或 [ f (b), f (a)] （ 2）若 x 0，则 f (x ) 1； f ( x) 取遍全部正数当且仅当 x R （ 3）对于指数函数 f (x ) a x (a 0 a 1)，总有 f (1) a 且（ 4）当 a 1 时，若 x 1 x 2 ，则 f (x 1 ) f ( x 2 )四、底数的平移对于任何一个存心义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
基本初等函数经典总结.doc
基本初等函数经典总结第十二讲基本初等函数一：教学目标1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质；2、理解基本初等函数的性质；3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数二：教学重难点教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用；教学难点：基本初等函数基本性质的应用三：知识呈现1.指数与指数函数1).指数运算法则：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）2).指数函数：形如指数函数0四：典型例题考点一：指数函数例1已知，则x的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵，∴函数在上是增函数，∴，解得．∴x的取值范围是．评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．例2函数在区间上有最大值14，则a的值是_______．分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围．解：令，则，函数可化为，其对称轴为．∴当时，∵，∴，即．∴当时，．解得或（舍去）；当时，∵，∴，即，∴时，，解得或（舍去），∴a的值是3或．评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．例3求函数的定义域和值域．解：由题意可得，即，∴，故．∴函数的定义域是．令，则，又∵，∴．∴，即．∴，即．∴函数的值域是．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．例4求函数y＝的单调区间.分析这是复合函数求单调区间的问题可设y＝,u＝x2-3x+2，其中y＝为减函数∴u＝x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增)u＝x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)解：设y＝,u＝x2-3x+2,y关于u递减，当x∈(-∞，)时，u为减函数，∴y关于x 为增函数；当x∈［，+∞)时，u为增函数，y关于x为减函数.考点二：对数函数例5求下列函数的定义域（1）y=log2（x2-4x-5）;（2）y=logx+1（16-4x）（3）y=．解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0，故定义域为｛x｜x＜-1，或x＞5｝．（2）令得故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝．（3）令，得故所求定义域为｛x｜x＜-1-，或-1-＜x＜-3,或x≥2｝．说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零．例6比较大小：（1）log0．71．3和log0．71．8．（2）（lgn）1．7和（lgn）2（n＞1）．（3）log23和log53．（4）log35和log64．解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以log0．71．3＞log0．71．8．（2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论．若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2；若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里x=3，所以log23＞log53．（4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解．因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64．评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论．例7已知f（x）=2+log3x，x∈［1，9］，求y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，及y取最大值时，x的值．分析要求函数y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域．解：∵f（x）=2+log3x，∴y=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2=（2+log3x）2+2+2log3x=log23x+6log3x+6=（log3x+3）2-3．∵函数f（x）的定义域为［1，9］，∴要使函数y=［f（x）］2+f（x2）有定义，就须，∴1≤x≤3．∴0≤log3x≤1∴6≤y=（log3x+3）2-3≤13∴当x=3时，函数y=［f（x）］2+f（x2）取最大值13．说明本例正确求解的关键是：函数y=［f（x）］2+f（x2）定义域的正确确定．如果我们误认为［1，9］是它的定义域．则将求得错误的最大值22．其实我们还能求出函数y=［f（x）］2+f（x2）的值域为［6，13］．例8求函数y=log0．5（-x2+2x+8）的单调区间．分析由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x2+2x+8（-2＜x＜4）的单调性相反．解．∵-x2+2x+8＞0，∴-2＜x＜4，∴原函数的定义域为（-2，4）．又∵函数u=-x2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2，1］上为增函数，在［1，4）上为减函数，∴函数y=log0．5（-x2+2x+8）在（-2，1］上为减函数，在［1，4）上为增函数．评析判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．考点三：幂函数例9．比较大小：（1）（2）（3）（4）解：（1）∵在上是增函数，，∴（2）∵在上是增函数，，∴（3）∵在上是减函数，，∴；∵是增函数，，∴；综上，（4）∵，，，∴例10．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，∴，∴；∵，∴，又函数图象关于原点对称，∴是奇数，∴或．例11、求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．解析：设t ＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．当t＝－1时，ymin＝3．∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．五：课后练习1、若a＞1在同一坐标系中，函数y=a和y=log的图像可能是（）ABCD2．求值+-（）-=3.下列函数在上为减函数的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｂ4.已知x=,y=,求-的值5．若a＜a，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a＞0C．1＞a＞0D．1≥a≥0解析：运用指数函数的性质，选C．答案：C6.下列式子中正确的是（）Alog=log-logB=log-logC=logDlog-log=log-8-。
人教B版高中数学必修一第三章《基本初等函数I》讲解与例题+综合测试(7份).docx
3.4函数的应用(II)QJy I (.Hl / H?S li IJHi E \ J I \ L \1.函数模型所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无木质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.本节涉及的函数模型有：⑴指数函数模型：y=G//+c(b>0, bHl, aHO),当b>\, d>0时，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，常形象地称为指数爆炸.(2)对数函数模型:y=mlog(l x+n(m^O f a>0, aHl),当aAl,加>0时，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢.(3)帚函数模型：y=a-x n+b(a^O),其中最常见的是二次函数模型y=ax2+bx~\~c(a0), 当d>0时，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后増大.在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图彖的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等.【例1 — 1】据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度，设2012年的冬季冰雪覆盖面积为加，从2012年起，经过兀年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积)，与x的函数关系式是()A. ^=0.9550 -mB. >,=(l-O.O55O)-mC. y=0.9550_x-/?zD. y=(l-O.O55O_v)-/n解析：设每年的冰雪覆盖面积减少率为d.・・・50年内覆盖面积减少了5%,1・・・(1—a)5°=l—5%,解得0=1 — 0.9550.1 △・••从2012年起，经过x年后，冰雪覆盖面积尸加1一(1一0.95巧F二加095込答案：A【例1一2】某公司为应对金融危机的影响，拟投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率1%,按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率3%,按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题.可先按单利和复利讣算5年后的本利和分别是多少，再通过比较作答.解：本金100万元，年利率1%,按单利计算，5年后的本利和是100X(l + l%X5) = 105(万元).本金100万元，年利率3%,按每年复利一次计算，5年后的本利和是100X(1 + 3%『a 115.93(万元).由此可见按年利率3%每年复利一次投资要比按年利率1%单利投资更有利，5年后多得利息约10.93万元.谈重点利息的计算利息分单利和复利两种.单利是只有木金牛息，利息不再牛息，而复利是把前一期的本利 和作为本金再牛息，两种情况要注意区分.我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计•息的储蓄，如某人存入本金。
高频考点之基本初等函数及性质题型归纳
基本初等函数及性质题型归纳一、零点存在性问题解题思想：①.<0；②f(x)在（a,b ）上连续不断。
则f(x)在（a,b ）上有零点。
例1．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为（）A．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B．12,23⎛⎫⎪⎝⎭C．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭练习：1.(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0，2π]的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.52.在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋3x －4的零点所在的区间为()A.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.312⎛⎫ ⎪⎝⎭，二、初等函数例2．（2021·四川省绵阳第一中学一模（文））函数27x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ，P 在幂函数()f x x α=的图象上，则(3)f =_______；练习：（2021·广东·湛江二十一中高三阶段练习）若函数()25log 212a f x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有最大值，则a的取值范围为（）A．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C．21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭D．()1,2三、函数性质例3．（2022·北京密云·高三期末）下列函数中，既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（）A．cos y x =B．211y x =+C．22x x y -=-D．ln y x=练习：2.（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末）已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x a x a f x =+++，则()2f -=（）A．﹣2B．2C．﹣6D．62．（2022·河南南乐·高三阶段练习（文））已知函数()2f x +是R 上的偶函数，且()f x 在[)2,+∞上恒有()()()1212120f x f x x x x x -<≠-，则不等式()()ln 1f x f >的解集为（）A．()()3,e e ,∞∞-⋃+B．1,e 2C．()3e,eD．()e,∞+3．（2022·海南·模拟预测）若函数22,,()4,x x m f x x x x m-⎧=⎨+>⎩ 是定义在R 上的增函数，则实数m 的取值范围是（）A．(,2]-∞-B．[1,)-+∞C．(]{},21∞--⋃-D．{}[)21,∞-⋃-+四、函数零点问题解题思路：①分参法；②换元法；③分类讨论法；④初等函数图像交点法例4．（2021·安徽·淮南第一中学高三阶段练习（理））已知函数()()()24,532,3x x f x f x x ⎧+-≤<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，若函数()()log a g x f x x =-有9个零点，则实数a 的取值范围为（）A．()5,7B．(]5,7C．(]9,11D．()9,11练习：1．（2022·河南·温县第一高级中学高三开学考试（文））已知函数()22,0lg ,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()()11g x f x =--的零点个数为（）.A．1B．2C．3D．42.（2022·安徽淮北·一模（文））已知函数()2ln ,12,1x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（）A．3242ln2,e 1⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B．3242ln2,e 1⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C．323,e 1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．323,e 1⎡⎫-⎪⎢⎣⎭五、函数图像问题解题思路：①看定义域；②奇偶性；③赋值法例5．（2022·山东菏泽·高三期末）已知函数()2e e 2x xf x x x --=+-的图象可能为（）A．B．C．D．六、抽象函数的性质例6．（2022·安徽淮北·一模（理））已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为奇函数，()21f x +为偶函数，则（）A．()20f -=B．()10f -=C．()10f =D．()30f =练习：（2021·安徽·高三阶段练习（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()41f x x x =-，则当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是（）A．181-B．127-C．19-D．13-七、比较大小解题思想：①指数、对数、幂函数的基本性质；②构造函数；③作出函数图像例8．（2022·辽宁丹东·高三期末）设345log 5,log 9,log 7a b c ===，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b<<练习：1．（2021·安徽·泾县中学高三阶段练习（文））已知11231111,,log 23ea b c π-⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a<<2.（2022·广东茂名·一模）已知,,x y z 均为大于0的实数，且523log x yz ==，则,,x y z 大小关系正确的是（）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>3．（2022·江西赣州·高三期末（理））实数a ，b ，c 满足22,ln e,33+=+=+=a c a b b c ，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a<<4.（2022·江西上饶·一模（理））设150a =，ln 7100b =，512ln 50c =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<八、函数综合问题解题思想：数形结合思想；分类讨论思想；函数思想等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数、基本初等函数及函数的应用自主学习导引
1．(2012·四川)函数y＝a x－1
a(a＞0，且a≠1)的图象可能是( D )
2．(2012·湖北)函数f(x)＝x cos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( D )
A．2 B．3 C．4 D．5
、
考题分析
对于基本初等函数，高考主要考查其图象与性质，题目较容易；基本初等函数的应用、函数与方程是近几年高考的热点，考查内容一般为函数的实际应用题、函数零点个数的判定或根据零点的个数求参数的范围．题型一般为选择题或填空题，难度中等．
网络构建
高频考点突破
考点一：二次函数
}
【例1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
）
2．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，如果f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)＝
A ．－b 2a
B ．－b
a C ．c 答案 C
考点二：指数函数、对数函数及幂函数 <
【例2】(1)(2012·威海模拟)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a ＞0，a ≠1)的图象如图所示，则a 、b 满足的关系是 ( D )
A ．0＜a －1＜b －1＜1
B ．0＜b ＜a －1＜1
C ．0＜b －1＜a ＜1
D ．0＜a －1＜b ＜1
【规律总结】
利用幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质求参数的范围(值)
(1)幂、指、对函数的参数一般与其单调性有关，故解题时要特别关注函数的单调性； {
(2)在涉及函数的图象时，需注意应用函数图象与坐标轴的交点、对称性或函数图象的变换求解．
[易错提示] (1)涉及对数函数与幂函数时，需注意其定义域； (2)在幂函数的有关计算中，要注意参数值的验证．
3．若x ∈(e －1 ,
1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12ln x ，c ＝e ln x ，则
A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞b ＞c
D ．b ＞c ＞a
4.（北京卷2）若0.52a =，πlog 3b =，22π
log sin 5
c =，则（ A ） A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
(
5.设323log ,log 3,log 2a b c π===
A. a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. b c a >>
4．(2012·北京东城二模)已知函数f (x )＝x 1
2，给出下列命题：
①若x ＞1，则f (x )＞1；②若0＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1；③若0＜x 1＜x 2，则x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)；④若0＜x 1＜x 2，则
f x 1
＋f
x 2
2
＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22. 其中，所有正确命题的序号是________．
5.已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 (A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞
》
考点三：函数的零点
【例3】(1)已知f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋3， x ≤1，
－x 2＋2x ＋3， x ＞1，
则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(2)(2012·大同模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x －1， x ＞0，
2－|x |＋1， x ≤0，若关于x 的方程f (x )＋2x －k
＝0有且只有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为________．
—
【规律总结】
1．涉及函数的零点问题的常见类型 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：①数值的确定；②所在区间的确定；③个数的确定．解决这类问题的常用方法有解方程，根据区间端点函数值的符号数形结合，尤其是那些方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解． 2．确定函数零点的常用方法
(1)解方程判定法：若方程易解时应用此法． (2)利用零点的存在性定理． ,
(3)利用数形结合法，尤其是当方程两端对应的函数类型不同时如绝对值、分式、指数、对数以及三角函数等方程多以数形结合法求解． 【变式训练】
5．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)
答案 B 6．(2012·泉州模拟)已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的定义域及值域均为[－a ，a ](常数a ＞0)，其图象如图所示，则方程f [g (x )]＝0根的个数为
,
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
考点四：函数的实际应用 【例4】 (2012·莆田模拟)如图，需在一张纸上印上两幅大小完全相同，面积都是32 cm 2的照片．排版设计为纸上左右留空各3 cm ，上下留空各 cm ，图间留空为1 cm.照此设计，则这张纸的最小面积是________cm 2.
[审题导引] 设照片的长为x cm ，则这张纸的面积可用x 来表示，即可求得其最小值．
[规范解答] 设照片的长为x cm ，则宽为32
x cm ， ~
所以纸的面积y ＝(x ＋6)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2×32x ＋6
＝2(x ＋6)⎝ ⎛⎭⎪⎫
32x ＋3(x ＞0)，
y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋192x ＋18＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋64x ＋6
≥6⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ×64x ＋6＝6(16＋6)＝132 cm 2，当且仅当x ＝64x ，即x ＝8时等号成立． [答案] 132
【规律总结】
~
应用函数知识解应用题的步骤
(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类．
(2)用相关的函数知识进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解． (3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．
【变式训练】
7．(2012·日照模拟)已知正方形ABCD 的边长为22，将△ABC 沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B －ACD .若O 为AC 边的中点，M 、N 分别为线段DC 、BO 上的动点(不包括端点)，且BN ＝CM .设BN ＝x ，则三棱锥N －AMC 的体积y ＝f (x )的函数图象大致是
答案 B
【押题2】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2， x ＞m ，
x 2＋4x ＋2 x ≤m ，的图象与直线y ＝x 恰有三
个公共点，则实数m 的取值范围是
A ．(－∞，－1]
B ．[－1,2)
C ．[－1,2]
D ．[2，＋∞)
答案 B。