北京市海淀区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题

海淀区2018-2019高一年级期末统一考试

数 学

2019.01

学校 班级 姓名 成绩

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合{1,2}A =，{|02}B x x =<<，则A

B = ( )

（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{02}x x <≤ （2）已知向量(,6)m =a ，(1,3)=-b ，且a

b ，则m = ( )

（A ）18 （B ）2 （C ）18- （D ）2-

（3）下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上是增函数的是 （ ）

（A ）()2x f x -= （B ）3()f x x = （C ）()lg f x x = （D ）()sin f x x =

（4）命题2:2,10p x x ∀>->，则p ⌝是 （ ）

（A ）22,10x x ∀>-≤ （B ）22,10x x ∀≤-> （C ）22,10x x ∃>-≤ （D ）22,10x x ∃≤-≤ （5）已知3

tan 4

α=

，sin 0α<，则cos α= （ ） （A ）

35 （B ）35- （C ）45 （D ）45

- （6）若角α的终边经过点0(1,)y ，则下列三角函数值恒为正的是（ ）

（A ）sin α （B ）cos α

（C ）tan α

（D ）sin(π)α+

（7）为了得到函数π

sin()3

y x =--的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点

（ ）

（A ） 向左平移

2π3个单位长度 （B ） 向左平移π

3个单位长度 （C ） 向右平移π3个单位长度 （D ） 向右平移5π

3

个单位长度

（8）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 相交于点P .过

点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为()f α. 则下列关

于函数()f α的说法正确的是 （ ）

（A ）()f α的定义域是π

{|2π,}2k k αα≠+

∈Z （B ）()f α的图象的对称中心是π

(π,0),2

k k +∈Z

（C ）()f α的单调递增区间是[2π,2ππ],k k k +∈Z （D ）()f α对定义域内的α均满足(π)()f f αα-= 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.

（9）已知()ln f x x =，则2

(e )f = .

（10）已知(1,2)=a ，(3,4)=b ，则⋅=a b ______；2-=a b ______. （11）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5}B =，集合S 满足S A ¹

Ì，S

B A =.则一个满足条

件的集合S 是 .

（12）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ³

时，()f x x =

，则不等式

()20f x ->的解集是 .

（13）如图，扇形AOB 中，半径为1，AB 的长为2，则AB 所对的圆心角的大小为 弧

度；若点P 是AB 上的一个动点，则当OA OP OB OP ⋅-⋅取得

最大值时，,OA OP <>= .

（14）已知函数122, ,()2,.

x x a f x x a x a -⎧<=⎨-+≥⎩

（Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是________；

（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在

2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =.

在①12-

； ②12；③1

；⑤3

2

中，函数()f x 的包容数是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）

三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

.

B

O

（15）（本小题共11分） 已知函数π

()2sin(2)3

f x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；

（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数ππ

()([,])66

f x x T ∈--+的简图，并直接写出函数()f x 在区间π2

[,

π]63

上的取值范围.

(16)（本小题共10分）

已知函数2

()f x x bx c =++，存在不等于1的实数0x 使得00(2)()f x f x -=.

（Ⅰ）求b 的值；

（Ⅱ）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用单调性定义证明；

（Ⅲ）直接写出(3)c f 与(2)c

f 的大小关系.

(17)（本小题共11分）

如图，在四边形OBCD 中，2CD BO =，2OA AD =，90D ∠=︒，且1BO AD ==. （Ⅰ）用,OA OB 表示CB ；

（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且3AB AP =，求cos PCB ∠的值.

(18)（本小题共12分）

设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得

12()()2f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的ℱ区间.

（Ⅰ）判断(,)-∞+∞是否是函数31x

y =+的ℱ区间;

（Ⅱ）若1[,2]2

是函数log a y x =（其中0,1a a >≠）的ℱ区间，求a 的取值范围; （Ⅲ）设ω为正实数，若[π,2π]是函数cos y x ω=的ℱ区间，求ω的取值范围.