北京市海淀区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题
人教版数学高一下册期末测试精选(含答案)1
人教版高一下册期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设,m n 为两条不同的直线，,,αβγ为三个不重合平面，则下列结论正确的是( ) A ．若m αP ，n αP ，则m n P B ．若m α⊥，m n P ，则n α⊥ C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥D ．若m α⊥，αβ⊥，则m βP【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B2．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆中，32BA BC AC ===，2PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( )A ．B ．22πC ．12πD ．20π【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B3．直线10x -+=的倾斜角为（ ） A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 【来源】山西省康杰中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文)试题 【答案】B4．鲁班锁是中国古代传统土木建筑中常用的固定结合器，也是广泛流传于中国民间的智力玩具，它起源于古代中国建筑首创的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，外观看上去是严丝合缝的十字几何体，其上下､左右､前后完全对称，十分巧妙.鲁班锁的种类各式各样，其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.九根的鲁班锁由如图所示的九根木榫拼成，每根木榫都是由一根正四棱柱状的木条挖一些凹槽而成.若九根正四棱柱底面边长均为1，其中六根最短条的高均为3，三根长条的高均为5，现将拼好的鲁班锁放进一个球形容器内，使鲁班锁最高的三个正四棱柱形木榫的上､下底面顶点分别在球面上，则该球形容器的表面积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为（ ）A ．24πB ．25πC ．26πD ．27π【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】D 5．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】湖南省邵阳市邵东县创新实验学校2019-2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】C6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【来源】北京市西城区2018年1月高三期末考试文科数学试题 【答案】B7．已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．B ．2C ．D 【来源】西藏自治区拉萨中学2018届高三第七次月考数学（文)试题 【答案】D8．如果直线l 上的一点A 沿x 轴在正方向平移1个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位后，又回到直线l 上，则l 的斜率是（ ） A ．3 B ．13C ．-3D ．−13【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】C9．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为1的正方形，则原平面四边形的面积等于（ ） A ．√2 B ．2√2 C ．8√23D ．8√2【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】B10．直线y =kx +3与圆(x −2)2+(y −3)2=4相交于M,N 两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（ ）A ．[−√3,√3]B ．(−∞,−√3]∪[√3,+∞)C ．[−√33,√33] D ．[−23,0]【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】A11．已知点P(2,1)在圆C:x 2+y 2+ax −2y +b =0上，点P 关于直线x +y −1=0的对称点也在圆C 上，则实数a,b 的值为（ ）A ．a =−3,b =3B ．a =0,b =−3C ．a =−1,b =−1D ．a =−2,b =1 【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】B12．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π【来源】山西省2019-2020学年高二上学期10月联合考试数学（理)试题 【答案】B13．在三棱锥A BCD -中，AD CD ⊥，2AB BC ==，AD =CD =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．8πB ．9πC ．10πD ．12π【来源】辽宁省辽阳市2019-2020学年高三上学期期末考试数学（文)试题 【答案】A14．直线()2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =（ ） A ．2B ．2或3-C ．3-D ．2-或3-【来源】江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是为1BC ，1CD 的中点，则下列判断错误的是（ ）A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与11A B 平行【来源】2015届福建省三明市一中高三上学期半期考试理科数学试卷（带解析) 【答案】D16． (2017·黄冈质检)如图，在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是( )A ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PADB ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为3C ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30° D ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30°【来源】2014-2015学年湖北省安陆市一中高一下学期期末复习数学试卷（带解析)【答案】D17．如图，在直角梯形ABCD 中，0190,//,12A AD BC AD AB BC ∠====，将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD .在四面体A BCD -中，下列说法正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ACD ⊥平面ABC C ．平面ABC ⊥平面BCDD ．平面ACD ⊥平面BCD【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 【答案】B18．已知直线l ：()y t k x t -=-()2t >与圆O ：224x y +=有交点，若k 的最大值和最小值分别是,M m ，则log log t t M m +的值为( ) A ．1B ．0C ．1-D ．222log 4t t t ⎛⎫⎪-⎝⎭【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】B19．若x 2+y 2–x +y –m =0表示一个圆的方程，则m 的取值范围是 A ．m >−12 B ．m ≥−12 C ．m <−12D ．m >–2【来源】2018年12月9日——《每日一题》高一 人教必修2-每周一测 【答案】A20．如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③【来源】二轮复习 专题12 空间的平行与垂直 押题专练 【答案】B二、多选题21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4=AD ，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为()4,5,3B ．点1C 关于点B 对称的点为()5,8,3- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为()0,5,3 D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】ACD三、填空题22．若直线:l y x m =+上存在满足以下条件的点P :过点P 作圆22:1O x y +=的两条切线(切点分别为,A B ),四边形PAOB 的面积等于3，则实数m 的取值范围是_______ 【来源】福建省厦门市2018-2019学年度第二学期高一年级期末数学试题【答案】-⎡⎣23．点E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ,BC ,11B C 的中点,则下列命题中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多可以四个面都是直角三角形; ②点P 在直线FG 上运动时,总有AP DE ⊥;③点Q 在直线11B C 上运动时,三棱锥1A D QC -的体积是定值;④若M 是正方体的面1111D C B A ,（含边界）内一动点,且点M 到点D 和1C 的距离相等,则点M 的轨迹是一条线段.【来源】湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中)2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】①②④24．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论:①异面直线AC 与BD 所成的角为定值. ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°.④三棱锥M -ACN 体积的最大值为48. 以上所有正确结论的序号是__________.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】①③④25．已知两点(2,0)M -，(2,0)N ，若以线段MN 为直径的圆与直线430x y a -+=有公共点，则实数a 的取值范围是___________.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】[]10,10-26．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为点M 是棱BC 的中点，点P在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.【来源】北京市海淀区2018届高三第一学期期末理科数学试题27．某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为__________．【来源】黄金30题系列 高一年级数学（必修一 必修二) 小题好拿分 【答案】20328．设直线3450x y +-=与圆221:9C x y +=交于A ， B 两点，若2C 的圆心在线段AB 上，且圆2C 与圆1C 相切，切点在圆1C 的劣弧AB 上，则圆2C 半径的最大值是__________.【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】229．已知直线240x my ++=与圆22(1)(2)9x y ++-=的两个交点关于直线0nx y n +-=对称，则m n -=_______.【来源】辽宁省辽阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】3- 30．给出下列命题： ①任意三点确定一个平面；②三条平行直线最多可以确定三个个平面；③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行； ④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； 其中说法正确的有_____（填序号）.【来源】河南省三门峡市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】②③31．设直线2y x a =+与圆22220x y ay +--=相交于A ，B 两点，若||AB =，则a =________【来源】吉林省吉林市吉化第一高级中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】四、解答题32．已知圆C 的一般方程为22240x y x y m +--+=. (1)求m 的取值范围;(2)若圆C 与直线240x y +-=相交于,M N 两点，且OM ON ⊥(O 为坐标原点)，求以MN 为直径的圆的方程.【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)5m <;(2)224816555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33．如图4，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB .（1）证明：EB FD ⊥； （2）求点B 到平面FED 的距离.【来源】2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷)文科数学全解全析 【答案】（1）证明见解析（2）d =34．已知圆的方程为228x y +=，圆内有一点0(1,2)P -，AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦．（1）当135α=︒时，求AB 的长；（2）当弦AB 被点0P 平分时，写出直线AB 的方程． 【来源】2019年12月14日《每日一题》必修2-周末培优【答案】（1（2）250x y -+=．35．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，M 是AC 与BD 的交点.求证：(1)1//D M 平面11A C B (2)求1BC 与1D M 的所成角的正弦值.【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)见解析；(2)1036．如图所示,直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB ⊥,22AE AB BC AD ====,四边形EDCF 为矩形,CF =（1）求证:平面ECF ⊥平面ABCD ;（2）在线段DF 上是否存在点P ,使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为10,若存在,求出线段BP 的长,若不存在,请说明理由.【来源】湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中)2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】（1）见解析；（237．已知圆C 的圆心在直线390x y --=上，且圆C 与x 轴交于两点(50)A ，，0(1)B ，. （1）求圆C 的方程；（2）已知圆M :221(1)12x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，设(,)P m n 为坐标平面上一点，且满足:存在过点(,)P m n 且互相垂直的直线1l 和2l 有无数对，它们分别与圆C 和圆M 相交，且圆心C 到直线1l 的距离是圆心M 到直线2l 的距离的2倍，试求所有满足条件的点(,)P m n 的坐标【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）22(3)4x y -+=（2）79,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 38．如图，四棱锥S -ABCD 的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长P 为侧棱SD 上的点.（1）求证:AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P -AC -D 的大小.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）30°39．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，侧棱1AA =E ，F 分别是BC ，1CC 的中点.（1）求证:1//BC 平面AEF ；（2）求异面直线AE 与1A B 所成角的大小.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）45°40．已知直线1:2l y x =-+，直线2l 经过点(40)，，且12l l ⊥.（1）求直线2l 的方程；（2）记1l 与y 轴相交于点A ，2l 与y 轴相交于点B ，1l 与2l 相交于点C ，求ABC V 的面积.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）40x y --=（2）941．已知曲线x 2+y 2+2x −6y +1=0上有两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)关于直线x +my +4=0对称，且满足x 1x 2+y 1y 2=0．（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程．【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析)【答案】（1）m =−1；（2）y =−x +1.42．如图，边长为4的正方形ABCD 与矩形ABEF 所在平面互相垂直，,M N 分别为,AE BC 的中点，3AF =．（1）求证：DA ⊥平面ABEF ；（2）求证：//MN 平面CDEF ；（3）在线段FE 上是否存在一点P ，使得AP MN ⊥？若存在，求出FP 的长；若不存在，请说明理由．【来源】2014届北京市东城区高三上学期期末统一检测文科数学试卷（带解析)【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，94FP = 43．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，且60BAD ︒∠=，PD ⊥平面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PD 的中点.（1）证明：//EF 平面PBC .（2）若四棱锥P ABCD -的体积为A 到平面PBC 的距离.【来源】湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见详解；（2.44．已知圆22:6200C x y y +--+=.（1）过点的直线l 被圆C 截得的弦长为4，求直线l 的方程；（2）已知圆M 的圆心在直线y x =-上，且与圆C 外切于点，求圆M 的方程.【来源】湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）x =0x +-=；（2）224x y +=.45．已知ABC V 的顶点坐标分别为()1,2A ，()2,1B --，()2,3C -．（1）求BC 边上的中线所在的直线的方程；（2）若直线l 过点B ，且与直线AC 平行，求直线l 的方程．【来源】四川省凉山彝族自治州西昌市2019-2020学年高二上学期期中数学（理)试题【答案】（1）420x y --=；（2）5110x y ++=46．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，090BAP CDP ∠=∠=，E 为PC 中点,（1）求证：//AP 平面EBD ；（2）若PAD ∆是正三角形，且PA AB =.(Ⅰ)当点M 在线段PA 上什么位置时，有DM ⊥平面PAB ？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点N 在线段PB 上什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ？【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）详见解析；（2）(Ⅰ) 点M 在线段PA 中点时；(Ⅱ) 当14PN PB =时. 47．已知点P 是圆22:(3)4C x y -+=上的动点，点(3,0)A - ，M 是线段AP 的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹与直线:20l x y n -+=交于,E F 两点，且OE OF ⊥，求n 的值.【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）221x y +=；（2）n =. 48．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，AC BD O =I ，22AO OC ==，PA PB AB ===AC PB ⊥.(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A PD B --的余弦值.【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】(1)证明见解析；49．若圆C 经过点3(2,)A -和(2,5)B --，且圆心C 在直线230x y --=上，求圆C 的方程.【来源】2010年南安一中高二下学期期末考试（理科)数学卷【答案】22(1)(2)10x y +++=50．如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰在CD 上，即1A O ⊥平面DBC .（1）求证：1BC A D ⊥；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ；（3）求点C 到平面1A BD 的距离.【来源】吉林省吉林市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）245。
【百强校】北京101中学2018-2019学年上学期高一年级期末考试数学试卷
绝密★启用前【百强校】北京101中学2018-2019学年上学期高一年级期末考试数学试卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若sin =，0< <，则cos =（ ） A ．B ．C ．D ．2．集合M={Z}，N={Z}，则（ ）A ．M NB ．N MC ．M N=D ．M N=R 3．下列命题中正确的是（ ）A ．共线向量都相等B ．单位向量都相等C ．平行向量不一定是共线向量D ．模为0的向量与任意一个向量平行 4．下列函数为奇函数，且在（－ ，0）上单调递减的是（ ） A ． B ． C ． D ．5．已知函数（ R ， >0）的最小正周期为 ，为了得到函数的图象，只要将 的图象（ ） A ．向左平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度C ．向左平移 个单位长度D ．向右平移个单位长度 6．如图所示，函数 （且）的图象是（ ）…………线…………○………………线…………○……A ． B ．C ．D ．7．函数 （ >0）在区间[0，1]上至少出现10次最大值，则 的最小值是（ ） A ．10 B ．20 C ．D ．8．设偶函数 在（－ ，0）上是增函数，则 与 的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．不确定第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．求值：2+=____________。
10．已知向量a=（1，1），b=（sinx，），∈（0，），若a∥b，则x的值是_______。
11．若tan=3，则2 sin2－sin cos－cos2=________。
12．若函数=cos（x+）（∈N*）图象的一个对称中心是（，0），则的最小值为_________。
13．函数的值域是__________。
14．已知点O为△ABC内一点，+2+3=0，则=_________。
北京市海淀区2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题
海淀区高一年级第一学期期末练习数 学2014.1学校 班级 姓名 成绩 本试卷共100分.考试时间90分钟.一.选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4},{1,2},{2,3},U A B ===则 ( )U A B =ð （ ）A.{2,3}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}2.代数式sin120cos210的值为 （ ）A.34-C.32-D.143.已知向量2(1,1),(,2),x x ==+a b 若,a b 共线,则实数x 的值为 （ ） A.1-B.2C.1或2-D.1-或2 4.函数1()lg 1f x x =-的定义域为 （ ）A.(0,)+∞B.(0,1)(1,)+∞C.(1,)+∞D.(0,10)(10,)+∞5.如图所示,矩形ABCD 中,4,AB = 点E 为AB 中点,若DE AC ⊥,则||DE = （ ）A.52B. C.3 D.6.函数41()log 4x f x x =-的零点所在的区间是 （ ）A.(10,2)B.(1,12) C.(1,2) D.(2,4)7.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π(,π)2上为减函数的是 （ ）EDCBAA.2|sin |y x =B.sin2y x =C.2|cos |y x =D.cos2y x =8.已知函数||()||x af x x a -=-,则下列说法中正确的是 （ ）A.若0a ≤，则()1f x ≤恒成立B.若()1f x ≥恒成立，则0a ≥C.若0a <，则关于x 的方程()f x a =有解D.若关于x 的方程()f x a =有解，则01a <≤二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. 9. 已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴，终边经过点(1,,则 cos ____.α=10.比较大小：sin1 cos1(用“>”,“<”或“=”连接). 11.已知函数()13,(,1)x f x x =-∈-∞,则()f x 的值域为 . 12.如图，向量1,4BP BA =若+,OP xOA yOB = 则____.x y -= 13.已知sin tan 1αα⋅=，则cos ____.α=14.已知函数π()sin 2f x x =，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m ，记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论： ①函数()h t 为偶函数； ②函数()h t的值域为[1-； ③函数()h t 的周期为2；④函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z .其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）POB A三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分10分）已知函数2()f x x bx c =++，其中,b c 为常数. （Ⅰ）若函数()f x 在区间[1,)+∞上单调，求b 的取值范围；（Ⅱ）若对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x -+=--成立，且函数()f x 的图象经过点(,)c b -，求,b c 的值.16.（本小题满分12分）y11 xO 已知函数()sin(2)3f x x π=-.（Ⅰ）请用“五点法”画出函数()f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值.17.（本小题满分12分）已知点(1,0),(0,1)A B -，点(,)P x y 为直线1y x =-上的一个动点.（Ⅰ）求证：APB ∠恒为锐角；（Ⅱ）若四边形ABPQ 为菱形，求BQ AQ ⋅的值.18.（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为[0,1]，且()f x 的图象连续不间断. 若函数()f x 满足：对于给定的m （m ∈R 且01m <<），存在0[0,1]x m ∈-，使得00()()f x f x m =+，则称()f x 具有性质()P m .（Ⅰ）已知函数21()()2f x x =-，[0,1]x ∈，判断()f x 是否具有性质1()3P ，并说明理由；（Ⅱ）已知函数 141, 0,413()41, ,44345, 1.4x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩若()f x 具有性质()P m ，求m 的最大值；（Ⅲ）若函数()f x 的定义域为[0,1]，且()f x 的图象连续不间断，又满足(0)(1)f f =，求证：对任意*k ∈N 且2k ≥，函数()f x 具有性质1()P k.海淀区高一年级第一学期期末练习数 学参考答案及评分标准 2014．1一、选择题（本大题共8小题,每小题4分,共32分）二、填空题（本大题共4小题,每小题4分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（本小题满分10分）解：(I)因为函数2()f x x bx c =++，所以它的开口向上，对称轴方程为2bx =- ………………2分 因为函数()f x 在区间[,)2b -+∞上单调递增，所以12b-≤，所以2b ≥- ………………………4分（Ⅱ）因为(1)(1)f x f x -+=--， 所以函数()f x 的对称轴方程为1x =-，所以2b = ………………………6分又因为函数()f x 的图象经过点(,)c b -，所以有 222c c c ++=- ………………………8分即2320c c ++=，所以2c =-或1c =- ………………………10分9．12 10． > 11. (2),1-12．21-13． 14．③④说明：14题答案如果只有③ 或④，则给2分，错写的不给分16．（本小题满分12分） 解：（I ） 令23X x π=-，则1()23x X π=+．填表：………………………2分………………4分（Ⅱ）令222(232k x k ππππ-≤-Z ………………………6分解得()1212k x k k π5ππ-≤≤π+∈Z 所以函数sin(2)3y x π=-的单调增区间为5[,]()1212k k k πππ-π+∈Z ………………………8分（Ⅲ）因为[0,]2x π∈，所以2[0,]x ∈π，(2)[,]333x ππ2π-∈- ………………10分 所以当233x ππ-=-，即0x =时，in(2)3y s x π=-取得最小值2- 当232x ππ-=，即12x 5π=时，sin(2)3y x π=-取得最大值1 ……………………12分17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点(,)P x y 在直线1y x =-上，所以点(,1)P x x - ………………………1分所以(1,1),(,2)PA x x PB x x =---=--， 所以1O yx1222132222(1)=2[()]24PA PB x x x x x ⋅=-+=-+-+>………………………3分所以c |P PP⋅<………………………4分若,,A P B 三点在一条直线上，则//PA PB ，得到(1)(2)(1)0x x x x +---=，方程无解，所以0APB ∠≠ …………………5分 所以APB ∠恒为锐角. ………………………6分 （Ⅱ）因为四边形ABPQ 为菱形， 所以|A B B P=，即………………………8分化简得到2210x x -+=，所以1x =，所以(1,0)P ………………………9分设(,)Q a b ，因为PQ BA =， 所以(1a b -=--，所以01a b =⎧⎨=-⎩………………………11分(0,2)(1,1)2BQ AQ ⋅=-⋅-=………………………12分18.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设01[0,1]3x ∈-，即02[0,]3x ∈ 令001()()3f x f x =+, 则2200111()()232x x -=+- 解得013x =2[0,]3∈, 所以函数()f x 具有性质1()3P ………………………3分 （Ⅱ）m 的最大值为12首先当12m =时，取012x =则01()()12f x f ==，011()()(1)122f x m f f +=+==所以函数()f x 具有性质1()2P ………………………5分 假设存在112m <<，使得函数()f x 具有性质()P m则1012m <-<当00x =时，01(,1)2x m +∈，00()1,()1f x f x m =+>，00()()f x f x m ≠+当0(0,1]x m ∈-时，01(,1]2x m +∈，00()1,()1f x f x m <+≥，00()()f x f x m ≠+所以不存在0[0,1]x m ∈-，使得00()()f x f x m =+ 所以，m的最大值为12………………………7分 （Ⅲ）任取*,2k k ∈≥N设1()()()g x f x f x k =+-，其中1[0,]k x k-∈ 则有 1(0)()(0)g f f k=-121()()()g f f k k k=-232()()()g f f k k k =- (1)()()()t ttg f f k k k k =+-……11()(1)()k k g f f k k --=-以上各式相加得：11(0)()...()...()(1)(0)0t k g g g g f f k k k -+++++=-= 当11(0),(),...,()k g g g k k -中有一个为0时，不妨设为()0,{0,1,2,...,1}ig i k k =∈-，即1()()()0i i ig f f k k k k =+-=则函数()f x 具有性质1()P k 当11(0),(),...,()k g g g k k -均不为0时，由于其和为0，则必然存在正数和负数， 不妨设()0,()0,i jg g k k >< 其中i j ≠，,{0,1,2,...,1}i j k ∈-由于()g x 是连续的，所以当j i >时，至少存在一个0(,)i jx k k ∈（当j i <时，至少存在一个0(,)i jx k k ∈）使得0()0g x =， 即0001()()()0g x f x f x k =+-=所以，函数()f x 具有性质1()P k ………………………10分说明： 若有其它正确解法，请酌情给分，但不得超过原题分数.。
2022-2023学年北京市海淀区一零一中学高一上学期数学统练试题(一)(解析版)
2022-2023学年北京市海淀区一零一中学高一上学期数学统练试题（一）一、单选题1．已知{}1,0,1M =-，{}20N x x x =+=，则能表示M 、N 之间关系的Venn 图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】化简集合，可得N M ，进而即得.【详解】因为{}1,0,1M =-，{}{}201,0N x x x =+==-，所以N M . 故选：C.2．已知全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，{}04B x x =<<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}4,5D ．{}5【答案】C【分析】根据韦恩图中阴影部分所表示的含义，由集合的补集和交集定义可得. 【详解】集合{}1,2,3,4,5A =，{}04B x x =<<，图中阴影部分表示UA B ，又{|4,UB x x =≥或0}x ≤，所以{}4,5UAB =．故选：C3．已知a ，b ，c 都是实数，则“a b <”是“22ac bc <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分、必要条件的定义，结合不等式的性质判断题设条件间的推出关系，即可知条件间的充分、必要关系.【详解】当a b <时，若0c 时22ac bc <不成立； 当22ac bc <时，则必有a b <成立， ∴“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件. 故选：B4．22x y >是x y >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】举例说明，结合充分条件和必要条件的定义即可得出结果. 【详解】当2,1x y =-=-时，22x y >成立，x y >不成立， 所以“22x y >”不能推出“x y >”；当1,2x y =-=-时，x y >成立，22x y >不成立； 所以“x y >”不能推出“22x y >”，所以“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件. 故选：D5．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ） A ．所有不能被2整除的整数都是偶数 B ．所有能被2整除的整数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 【答案】D【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的否定的求法直接得出结果. 【详解】命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定为： “存在一个能被2整除的整数不是偶数”. 故选：D6．已知命题p ：x ∃∈R ，220x x +<，则p ⌝为（ ）A ．x ∃∈R ，220x x +≤B ．x ∃∈R ，220x x +>C ．x ∀∈R ，220x x +≥D ．x ∀∈R ，220x x +<【答案】C【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得解.【详解】把存在改为任意，把结论否定，p ⌝为x ∀∈R ，220x x +≥. 故选：C7．若集合{}2320A x ax x =-+=至多含有一个元素，则a 的取值范围是（ ）．A ．(]9,0,8⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】把题意转化为方程2320ax x -+=无实根或两相等实根或一个实根，然后通过分类讨论求a 的取值范围.【详解】因为集合{}2320A x ax x =-+=至多含有一个元素，所以0a =时，{}{}223203203A x ax x x x ⎧⎫=-+==-+==⎨⎬⎩⎭，此时满足题意；当0a ≠时，要满足题意，需方程2320ax x -+=无实根或两相等实根， 即980a ∆=-≤，所以98a ≥.综上知，a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B.8．已知全集U ，集合A B ⊆，那么下列等式错误的是（ ） A ．A B A = B ．UAA =∅C ．UB A B ⋂= D ．A B B ⋃=【答案】C【分析】由已知条件结合集合的运算可判断各选项的正误. 【详解】如图，已知全集U ，集合A B ⊆， 所以A B A =，A B B ⋃=，UA A ⋂=∅，则BUB A A B ⋂=≠.故选：C.9．已知命题:p x ∃∈R ，2210ax x ++=，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{|1}a aB ．{|1}a a <C ．{|1}a aD ．{|1}a a ≤【答案】C【解析】由命题p 为假命题，得到命题p ⌝为真命题，从而求出使p ⌝为真的参数的取值范围.【详解】∵:p x ∃∈R ，2210ax x ++=， ∴:p x ⌝∀∈R ，2210ax x ++≠.∵命题p 为假命题，∴命题p ⌝为真命题， ∴当x ∈R 时，方程210ax ax ++=没有实数根， ∴440a ∆=-<，即1a >. ∴实数a 的取值范围是{|1}a a .故选：C.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定、二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.10．当一个非空数集G 满足“若a 、b G ∈，则a b +，-a b ，ab G ∈，且0b ≠时，aG b∈”时，我们就称G 是一个数域，以下四个关于数域的命题： ①0是任何数域中的元素；②若数域G 有非零元素，则2019G ∈； ③集合{}2,Z P x x k k ==∈是一个数域； ④有理数集是一个数域 其中真命题有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【分析】①根据b a =时，0a a G -=∈，①正确； ②先得到1aG a=∈，进而推导出2019G ∈，②正确； ③可推出2P ∈，则212P =∈，③错误； ④由有理数的特征可推出正确.【详解】由,a b G ∈，a b G -∈得：b a =时，0a a G -=∈，①正确； 若数域G 中有非零元素，当0b a =≠时，由数域的定义可知，若,a b G ∈则有1aG b=∈，若1G ∈，则11232019G G G +=∈⇒∈⇒⇒∈，②正确；集合P 表示偶数集，显然2P ∈，则212P =∈，这与P 表示偶数集矛盾，③错误； 由于有理数进行四则运算结果仍然为有理数，故④正确. 故选：C二、填空题 11．已知集合21,2,4m Mm ，且5M ∈，则m 的值为________．【答案】1或33或1 【分析】根据题意得到25m ，245m ，解方程再验证得到答案.【详解】21,2,4m M m ，5M ∈，当25m 时，3m =，此时1,9,13M ，满足条件；当245m 时，1m =±，1m =-时，不满足互异性，排除；1m =时，1,3,5M，满足条件.综上所述：1m =或3m =. 故答案为：1或3. 12．已知集合M 满足{}{}1,21,2,3,4,5M ⊆，则满足要求的M 的个数是______．【答案】7【分析】根据给定条件分析出集合M 中一定有的元素及可能有的元素即可得解. 【详解】因为{}{}1,21,2,3,4,5M ⊆，于是得1,2M ∈，且集合M 中至少包含集合{3,4,5}中的元一个素，因此，集合M 的个数就是集合{3,4,5}的非空子集个数， 而集合{3,4,5}的非空子集个数为3217-=， 所以集合M 的个数为7. 故答案为：7.13．设集合{}237A x x =-≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若A B A ⋃=，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】(,3]-∞【分析】解绝对值不等式得[2,5]A =-，再分B =∅和B ≠∅两种情况讨论求解即可. 【详解】由A 中的不等式得：7237x -≤-≤，解得：25x -≤≤，即[2,5]A =-. 当B =∅时，121m m +>-，即2m <；当B ≠∅时，∵ [1,21]B m m =+-，A B A ⋃=，∴ 12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得：23m ≤≤，综上，m 的取值范围是(,3]-∞. 故答案为：(,3]-∞.14．“2a >且2b >”是“4a b +>且4ab >”的______条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）． 【答案】充分不必要【分析】由不等式的同向可加性和同向正可乘性可判断充分性，取特值可判断必要性. 【详解】若2a >且2b >，则由不等式的同向可加性可得：4a b +>， 由不等式的同向正可乘性可得：224>⨯=ab ， 即“2a >且2b >”是“4a b +>且4ab >”的充分条件，反之，“4a b +>且4ab >”，则“2a >且2b >”不一定成立，如110,2a b ==. 所以，“2a >且2b >”是“4a b +>且4ab >”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要.15．设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题：①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ⋂≠∅，则12A A ⋂具有性质P ； ③若12,A A 具有性质P ，则12A A ⋃具有性质P ； ④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则A R不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________. 【答案】①②④【分析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法判断④，元素0是关键.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈⋂，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈⋂⋂，所以12A A ⋂具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A ∈，23A ∈，但1223A A +∉⋃，故③错误；对于④，若A 具有性质P ，且A ≠R ，假设A R也具有性质P ，设0A ∈，在A R中任取一个,0x x ≠，此时可证得x A -∈，否则若R x A -∈，由于A R也具有性质P ，则()0R x x A +-=∈，与0A ∈矛盾，故x A -∈， 由于A 具有性质P ，A R也具有性质P ，所以()22,R x A x A -∈∈，而()22x x -=，这与R A A ⋂=∅矛盾， 故当0A ∈且A 具有性质P 时，则A R不具有性质P ，同理当0R A ∈时，也可以类似推出矛盾，故④正确. 故答案为：①②④【点睛】集合新定义题目，关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于难题.三、解答题16．设集合{}17U x x =-≤≤，{}03A x x =<<，{}21B x a x a =-≤≤+，若N a +∈，且UB A ⊆，求a 的值．【答案】5或6【分析】根据补集的定义求出UA ，利用集合间的基本关系即可求出结果.【详解】由题意知，{}17{03}U x x A x x =-≤≤=<<，， 则{10UA x x =-≤≤或37}x ≤≤，由UB A ⊆，若B =∅，则21a a ->+，得21->，不成立，故B ≠∅，得1021a a +≤⎧⎨-≥-⎩或1723a a +≤⎧⎨-≥⎩，解得56a ≤≤，又N a +∈，所以5a =或6.17．设全集I R =,已知集合(){}{}22|30,|60M x x N x x x =+≤=+-=（1）求()I C M N ⋂；（2）记集合(),I A C M N =⋂已知集合{}|15,,B x a x a a R =-≤≤-∈若A B A ⋃=,求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}2；（2）{}|3a a ≥．【分析】（1）通过解不等式和方程求得集合M,N ，再进行集合的补集、交集运算； （2）由（1）知集合{}2A =，根据集合关系B A A ⋃=，得B φ=或{}2B =，利用分类讨论求出a 的范围.【详解】（1）∵(){}{}2|303,M x x =+≤=- {}2{|60)3,2,N x x x =+-==-{|I C M x x R ∴=∈且3},x ≠-(){}12C M N ∴⋂=（2）由题意得(){}2I A C M N =⋂=． ∵,A B A ⋃=B A ∴⊆,∴B =∅或{}2,B =①当B =∅时, 15a a ->-,得3a >;②当{}2B =时,解得3a =．综上所述,所求a 的取值范围为{}|3a a ≥．【点睛】该题考查的是与集合相关的参数的取值范围的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有集合的交集，集合的补集，以及集合之间的包含关系，正确得出其满足的式子是解题的关键.18．在①A B ⋂≠∅，A C ⋂=∅，②()C A B ⊆⋃这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答，已知集合{}22130A xx ax a =++-=∣，{}260B x x x =+-=∣，{}2680C x x x =-+=∣，若 ，求a 的值及A B .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分， 【答案】答案见解析【分析】先求出集合,B C ，若选①，结合A B ⋂≠∅，A C ⋂=∅，可判断出2A ∉，3A -∈，再求出对应a 值，验证合理性即可；若选②，则4A ∈，再求出对应a 值，即可求解 【详解】解：选①，由题意可得{}3,2B =-，{}2,4C =. 因为A C ⋂=∅， 所以2A ∉. 因为A B ⋂≠∅， 所以3A -∈，所以293130a a -+-=，即2340a a --=， 即()() 410a a -+=，解得4a =或1a =-.当4a =时，{}{}243|03,1A x x x =++==--，符合题意，此时，3,12{,)A B =--；当1a =-时，{}{}212|03,4A x x x =--==-，此时，{}4A C =，与A C ⋂=∅矛盾， 所以1a =-不符合题意.综上，4a =，{}3,1,2A B =--； 选②，由题意可得{}3,2B =-，{}2,4C =. 因为()C A B ⊆⋃， 所以4A ∈.所以2164130a a ++-=，即2430a a ++=， 即()()310a a ++=，解得3a =-或1a =-.当3a =-时，{}{}2|3401,4A x x x =--==-，则{}3,1,2,4A B =--； 当1a =-时，{}{}212|03,4A x x x =--==-，则{}3,2,4A B =-.综上，当3a =-时，A B ={-3，-1，2，4}；当1a =-时， {}3,2,4A B =-.19．设集合*S ⊆N ，且S 中至少有两个元素，若集合T 满足以下三个条件：①*T ⊆N ，且T 中至少有两个元素；②对于任意,x y S ∈，当y x ≠，都有xy T ∈；③对于任意,x y T ∈，若y x >，则yS x∈；则称集合T 为集合S 的“耦合集”.（1）若集合{}11,2,4S =，求集合1S 的“耦合集”1T ；（2）若集合2S 存在“耦合集”2T ，集合{}21234,,,S p p p p =，且4321p p p p >>>，求证：对于任意14i j ≤<≤，有2j ip S p ∈；（3）设集合{}1234,,,S p p p p =，且43212p p p p >>>≥，求集合S 的“耦合集”T 中元素的个数.【答案】（1）{}12,4,8T =；（2）证明见详解；（3）5个 【解析】（1）根据“耦合集”定义可得.（2）由条件②可知2T 的可能元素为：121314232434,,,,,PP PP PP P P P P P P ；由条件③可知13212PP S PP ∈得322P S P ∈同理其它比得证； （3）由（2）知21P S P ∈得211P P P =即221P P =，同理343141,P P P P ==，故{}3456711111,,,,T P P P P P =共5个元素.【详解】解：（1）由已知条件②得1T 的可能元素为：2，4，8；又满足条件③，所以{}12,4,8T =；（2）证明：因为{}21234,,,S p p p p =，由已知条件②得2T 的可能元素为：121314232434,,,,,PP PP PP P P P P P P ，由条件③可知13212PP S PP ∈得322P S P ∈，同理得324442222211123,,,,P P P P PS S S S S P P P P P ∈∈∈∈∈，所以对于任意14i j ≤<≤，有2j i p S p ∈； （3）因为43212p p p p >>>≥，由（2）知21P S P ∈得211P P P =即221P P =，同理342311,P P P P P P ==，所以343141,P P P P ==，又因为T 的可能元素为：121314232434,,,,,PP PP PP P P P P P P ，所以{}3456711111,,,,T P P P P P =共5个元素.【点睛】解题关键是正确理解“耦合集”的定义.。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A ．i-B ．1-C ．3i -D ．3-3．已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-4．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A ．B ．4C ．5D ．5．在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为4π，则该四棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．43D ．236．已知22:210C x x y ++-= ，直线()10mx n y +-=与C 交于A ，B 两点．若ABC △为直角三角形，则（）A ．0mn =B ．0m n -=C ．0m n +=D ．2230m n -=7．若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A ．10B ．eC ．2D ．548．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0->αα”是“120k k >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，n S 为其前n 项和．若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．下图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设1BC =，GPI IPK ∠=∠KPG =∠=θ10928'≈︒，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3=-θ，tan2=θ）A ．B ．2C ．2D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．在51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______．12．已知双曲线221x my -=0y -=，则该双曲线的离心率为______．13．已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=______；点C 到直线AB 的距离为______．14．已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数，公差为d ，则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和（1n =，2，…）的一组1a ，d 的值为1a =______，d =______．15．已知函数()cos f x x a =+．给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2f x f x a +-=；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭≠；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥．（Ⅰ）求证：1C M ∥平面11ADD A ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值．17．（本小题14分）在ABC △中，2cos 2c A b a =-．（Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）若c =ABC △存在，求AC 边上中线的长．条件①：ABC △的面积为条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系．19．（本小题15分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）过点()3,0A ，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程，并求其短轴长；（Ⅱ）过点()1,0P 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆E 于两点C ，D ，连接CO 并延长交椭圆E 于点M ，直线AM 与l 交于点N ，Q 为OD 的中点，其中O 为原点．设直线NQ 的斜率为k ，求k 的最大值．20．（本小题15分）已知函数()2sin f x ax x x b =-+．（Ⅰ）当1a =时，求证：①当0x >时，()f x b >；②函数()f x 有唯一极值点；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 在某公共点处的切线重合，则称该切线为1C 和2C 的“优切线”．若曲线()y f x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“优切线”，求a ，b 的值．21．（本小题15分）对于给定的奇数m （3m ≥），设A 是由m m ⨯个实数组成的m 行m 列的数表，且A 中所有数不全相同，A 中第i 行第j 列的数{}1,1ij a ∈-，记()r i 为A 的第i 行各数之和，()c j 为A 的第j 列各数之和，其中{},1,2,,i j m ∈⋅⋅⋅．记()()()()2212m r r m f r A -++⋅⋅⋅+=．设集合()()(){}{},00,,1,2,,ij ij H i j a r a c j i m i j =⋅<⋅<∈⋅⋅⋅或，记()H A 为集合H 所含元素的个数．（Ⅰ）对以下两个数表1A ，2A ，写出()1f A ，()1H A ，()2f A ，()2H A 的值；1A 2A （Ⅱ）若()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数．求证：()2H A mt ms ts ≥+-；（Ⅲ）当5m =时，求()()H A f A 的最小值．海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A7．D8．B9．B10．D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．5-12．213．1-514．11（答案不唯一）15．②④三、解答题（共6小题，共85分）16．（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD ．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =．因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =．所以11C D AM ∥，11C D AM =．所以四边形11MAD C 为平行四边形．所以11MC AD ∥．因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1C M ∥平面11ADD A ．（Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥．因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ．所以1AA AD ⊥．因为1AD B M ⊥，1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ．所以AD AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -．不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M ．所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =．设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n C B n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩令2x =，则1y =-，2z =．于是()2,1,2n =-．因为1116cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值为69．17．（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-．①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．②由①②得2sin sin sin 0A C A -=．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠．所以1cos 2C =．因为()0,πC ∈，所以π3C =．（Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=．由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠．所以2πsin sin sin sin 3B A A A -=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin sin 22A A A =+-31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．所以ππ36A -=，即π6A =．所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形．因为c =2πsin sin 3AB AC C ===．所以AC 边上的中线的长为1．选条件③：2222b a -=．由余弦定理得223a b ab +-=．设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=．所以AC 边上的中线的长为1．18．（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则()310P A =．（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．所以X 的所有可能取值为0，1，2．()202426C C 10C 15P X ===，()112426C C 81C 15P X ⋅===，()022426C C 22C 5P X ===．所以X 的分布列为X 012P11581525所以()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）()()()213D Y DY D Y >>．19．（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3a =，2c =．所以c =，2224b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22194x y +=，其短轴长为4．（Ⅱ）设直线CD 的方程为1x my =+，()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,M x y --．由221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22498320m y my ++-=．所以122849m y y m -+=+．由()3,0A 得直线AM 的方程为()1133y y x x =-+．由()11331y y x x x my ⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩，得11123y y x my -=+-．因为111x my =+，所以12y y =-，112122y my x m ⎛⎫⎭-=⎪⎝- =+．所以112,22my y N --⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为Q 为OD 的中点，所以221x my =+，所以221,22my y Q +⎛⎫⎪⎝⎭．所以直线NQ 的斜率()212212221212884922128112912249m y y y y m m k my my m m y y m m -+++====+--+-+--+．当0m ≤时，0k ≤．当0m >时，因为912m m+≥=，当且仅当2m =时，等号成立．所以281299m k m =≤+．所以当2m =时，k取得最大值9．20．（共15分）解：（Ⅰ）①当1a =时，()()2sin sin f x x x x b x x x b =-+=-+．记()sin g x x x =-（0x ≥），则()1cos 0g x x '=-≥．所以()g x 在[)0,+∞上是增函数．所以当0x >时，()()00g x g >=．所以当0x >时，()()sin f x x x x b b =-+>．②由()2sin f x x x x b =-+得()2sin cos f x x x x x '=--，且()00f '=．当0x >时，()()1cos sin f x x x x x '=-+-．因为1cos 0x -≥，sin 0x x ->，所以()0f x '>．因为()()f x f x ''-=-对任意x ∈R 恒成立，所以当0x <时，()0f x '<．所以0是()f x 的唯一极值点．（Ⅱ）设曲线()y f x =与曲线cos y x =-的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-．因为()cos sin x x '-=，所以1212sin sin 1x x k k ⋅==-．所以{}{}12sin ,sin 1,1x x =-．不妨设1sin 1x =，则1π2π2x k =+，k ∈Z ．因为()1111112sin cos k f x ax x x x '==--，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin ax x x x x --=．所以1124ππa x k ==+，k ∈Z ．由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-，所以0b =．当24ππa k =+，k ∈Z ，0b =时，取1π2π2x k =+，2π2π2x k =--，则()11cos 0f x x =-=，()22cos 0f x x =-=，()11sin 1f x x ='=，()22sin 1f x x ='=-，符合题意．所以24ππa k =+，k ∈Z ，0b =．21．（共15分）解：（Ⅰ）()110f A =，()112H A =；()212f A ，()215H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变．因为m 为奇数，{}1,1ij a ∈-，所以()1r ，()2r ，…，()r m ，()1c ，()2c ，…，()c m 均不为0．（Ⅱ）当{}0,s m ∈或{}0,t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =⋅⋅⋅．若0t =，结论显然成立；若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则(),i j H ∈，1,2,,i m =⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()H A mt ≥，结论成立．当{}0,s m ∉且{}0,t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =⋅⋅⋅，()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <．因为当1,2,,i s =⋅⋅⋅，1,2,,j t t m =++⋅⋅⋅时，()0r i >，()0c j <，所以()()()()()()20ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅=⋅⋅⋅<⋅．所以(),i j H ∈．同理可得：(),i j H ∈，1,2,,m i s s =++⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-．（Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89．对于如下的数表A ，()()89H A f A =．下面证明：()()89H A f A ≥．设()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数，{},0,1,2,3,4,5s t ∈．①若{}0,5s ∈或{}0,5t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =⋅⋅⋅．所以当1ij a =时，(),i j H ∈．由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且()()()()251252r r r f A +++⋅⋅⋅+=()252252a a a +--==，()H A a ≥．所以()()819H A f A ≥>．②由①设{}0,5s ∉且{}0,5t ∉．若{}2,3s ∈或{}2,3t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥．因为()()()()251250122r r r f A -++⋅⋅⋅+<=≤，所以()()118129H A f A ≥>．③由①②设{}0,2,3,5s ∉且{}0,2,3,5t ∉．若{}{},1,4s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=．因为()012f A <≤，所以()()178129H A f A ≥>．若s t =，{}1,4s ∈，不妨设1s t ==，()10r >，()10c >，且()()1H A f A<，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥．所以()()8f A H A >≥．若数表A 中存在ij a （{},2,3,4,5i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表A '．因为()()1H A H A '=-，()()1f A f A '≥-，所以()()()()()()11H A H A H A f A f A f A '-≤<'-．所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小．所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）．因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤，。
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷(含答案)
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。
北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷Word版含解析
北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y 2=2，则其圆心和半径分别为（ ）A ．（1，0），2B ．（﹣1，0），2C ．D ．2．抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为（ ）A ．B ．1C ．2D ．43．双曲线4x 2﹣y 2=1的一条渐近线的方程为（ ）A ．2x+y=0B ．2x+y=1C ．x+2y=0D ．x+2y=14．在空间中，“直线a ，b 没有公共点”是“直线a ，b 互为异面直线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知A ，B 为圆x 2+y 2=2ax 上的两点，若A ，B 关于直线y=2x+1对称，则实数a=（ ）A ．B ．0C ．D ．16．已知直线l 的方程为x ﹣my+2=0，则直线l （ ）A ．恒过点（﹣2，0）且不垂直x 轴B ．恒过点（﹣2，0）且不垂直y 轴C ．恒过点（2，0）且不垂直x 轴D ．恒过点（2，0）且不垂直y 轴7．已知直线x+ay ﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a 的取值是（ ）A ．2B ．±2C ．﹣2D ．08．已知两直线a ，b 和两平面α，β，下列命题中正确的为（ ）A ．若a ⊥b 且b ∥α，则a ⊥αB ．若a ⊥b 且b ⊥α，则a ∥αC ．若a ⊥α且b ∥α，则a ⊥bD ．若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ． 12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 ．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 ．14．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 的两组对边均不平行．①在平面PAB 内不存在直线与DC 平行；②在平面PAB 内存在无数多条直线与平面PDC 平行；③平面PAB 与平面PDC 的交线与底面ABCD 不平行；上述命题中正确命题的序号为 ．15．已知向量，则与平面BCD 所成角的正弦值为 ．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为 ，表面积为 ．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC 的三个顶点坐标为A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．19．已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C．D．【考点】圆的标准方程．【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线的渐近线方程y=±x，即可得到所求结论．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．故选：A．4．在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中两直线的位置关系直接求解．【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0 C．D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，C的坐标并代入直线2x+y+a=0，再解关于a的方程，即可得到实数a的值．【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴 B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x即可得出定点，再利用斜率即可判断出与y轴位置关系．【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，故选：B．7．已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2 B．±2 C．﹣2 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得1×4﹣a•a=0，解得a值排除重合可得．【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A8．已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥α B．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D ，若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β或者a 在平面β内，故D 错误；故选：C ．9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出P 的坐标，设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==，可得∠APB=120°，即可求出cos ∠APB ．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P 的横坐标为3，不妨取点P （3，2），设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==， ∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos ∠APB=﹣． 故选：C ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B 1P 的长度的最大值．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设P （a ，b ，0），则D 1（0，0，2），E （1，2，0），B 1（2，2，2），=（a ﹣2，b ﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2）， ∵B 1P ⊥D 1E ，∴=a ﹣2+2（b ﹣2）+4=0，∴a+2b ﹣2=0，∴点P 的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD 中点F ，则点P 在线段AF 上，当A 与P 重合时，线段B 1P 的长度为：|AB 1|==2； 当P 与F 重合时，P （0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B 1P 的长度||==3， 当P 在线段AF 的中点时，P （1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B 1P 的长度||==． ∴线段B 1P 的长度的最大值为3．故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ∃x ∈R ，x 2＜0 ． 【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ：∃x ∈R ，x 2＜0． 故答案为：∃x ∈R ，x 2＜0．12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 6 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆化为标准方程，求得a=3，即可得到长轴长2a ．【解答】解：椭圆x 2+9y 2=9即为+y 2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 （2，+∞） ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由题意可得m ＞0且m ﹣2＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【考点】棱锥的结构特征．【分析】①用反证法利用线面平行的性质即可证明．②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，即可判断；③用反证法利用线面平行的性质即可证明．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出平面BCD的法向量，利用向量法能求出与平面BCD所成角的正弦值．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥，棱锥底面为等腰三角形，底边为2，底边的高为1，棱锥的高为．棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率；圆的一般方程．【分析】（1）证明•=﹣16+16=0，可得⊥，即可证明△ABC 是直角三角形；（2）求出△ABC 的外接圆的方程，利用△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，可得圆心到直线的距离d=4，即可求m 的值．【解答】（1）证明：∵A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC 是直角三角形；（2）解：△ABC 的外接圆是以BC 为直径的圆，方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=25，∵△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出CC 1∥AA 1，AD ∥BC ，从而平面AA 1D ∥平面CC 1B ，由此能证明AE ∥平面CC 1B ． （Ⅱ）法1：推导出AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD ，以AB ，AD ，AA 1分别x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A 1D ⊥平面ABE ．法2：推导出AA 1⊥AB ，AB ⊥AD ，从而AB ⊥A 1D ，再由AE ⊥A 1D ，能证明A 1D ⊥平面ABE ．（Ⅲ）推导出平面EFD ⊥平面ABE ，从而二面角D ﹣EF ﹣B 为90°，设，且λ∈[0，1]，则G （2，2，3λ），再由A 1D ⊥BG ，能求出CG 的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，所以CC 1∥AA 1，因为ABCD 是正方形，所以AD∥BC，因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），，，因为，所以，所以A1D⊥平面ABE．法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，所以AB⊥A1D．因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，所以A1D⊥平面ABE．（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，所以平面EFD⊥平面ABE．因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．19．已知椭圆G ：的离心率为，经过左焦点F 1（﹣1，0）的直线l 与椭圆G 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C 点，且点C 在线段AB 上．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若|AF 1|=|CB|，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b 2=a 2﹣c 2=3，则椭圆G 的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），由消y ，并化简整理得（4k 2+3）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，因为点C ，F 1都在线段AB 上，且|AF 1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=（x 2，y 2﹣y C ），所以﹣1﹣x 1=x 2，即x 1+x 2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)3
【答案】A
15．设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a5
A． 12
B． 10
C．10
D．12
【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷)
【答案】B
16．若圆的半径为 4，a、b、c 为圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2 ，则三角形的
b
c
a
A．都大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
【来源】2015-2016 湖南常德石门一中高二下第一次月考文科数学卷（带解析)
【答案】D
5． ABC 中， A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c ，给出下列四个结论： ①以 1 、 1 、 1 为边长的三角形一定存在；
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC 中， a 2 3 0°或150
B． 60 或120
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【来源】2013-2014 学年河南省郑州一中高二上学期期中考试文科数学试卷（带解析)
【答案】C
21．在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 4 ，那么 cosC 等于 （ ）
2
A．
3
B． 2 3
【答案】D
10．在锐角 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，a b cosC 3 c sin B ， 3
第2章 一元二次函数、方程和不等式高一数学上学期期中期末考试满分全攻略(人教A 版2019)解析版
若 ，则角 不为直角 ，有可能 是直角，所以必要条件不成立，“ 不是直角三角形”是“ ”的充分不必要条件
答案选A
【点睛】命题真假的判断也可通过逆否命题进行判断
4．（2020·浙江高一单元测试）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个正整数，则实数a的取值范国是（ ）
故选：D
8．（2021·浙江）已知函数 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将不等式化简，参变分离，利用换元法构造新函数并求出值域，可得实数a的取值范围．
【详解】 ，即
当 时，不等式恒成立， ；
当 时， ，则
令 ，则
即 ，解得
故选：B
9．（2020·全国高一单元测试）已知不等式 对任意实数 、 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知， ，将代数式 展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于 的不等式，解出即可.
【详解】 .
若 ，则 ，从而 无最小值，不合乎题意；
若 ，则 ， .
①当 时， 无最小值，不合乎题意；
②当 时， ，则 不恒成立；
③当 时， ，
当且仅当 时，等号成立.
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查不含参数的一元二次不等式的求解；考查不等式在实数集上恒成立问题，涉及二次函数的最值和简单绝对值不等式的求解，属基础题，难度一般.
22．（2021·全国高一单元测试）已知不等式 的解集为 ．
（1）解不等式 ；
（2）b为何值时， 的解集为R？
北京市海淀区2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
海淀区高一年级练习数学（答案在最后）2024.07学校__________班级__________姓名__________考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若复数z 满足i 2z ⋅=，则z 的虚部为（）A.2- B.2C.i- D.i2.已知向量()310,1,,22a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，则cos ,a b = （）A.0B.12C.22D.323.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则其解析式为（）A.()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()1π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4.若3sin 5α=，且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A .34-B.17C.34D.75.在ABC 中，点D 满足BD BC λ=，若3144AD AB AC =+ ，则λ=（）A.13B.14C.3D.4-6.已知1sin 2()sin cos xf x x x+=+，则下列直线中，是函数()f x 对称轴的为（）A.0x = B.π16x = C.π4x =D.π2x =7.在平面直角坐标系xOy 中，点(A -，点()cos ,sin P θθ，其中π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．若OA OP += ，则θ=（）A.π6 B.π4C.π3D.π28.在ABC 中，已知π2,3a A ==．则下列说法正确的是（）A.当1b =时，ABC 是锐角三角形B.当3b =时，ABC 是直角三角形C.当32b =时，ABC 是钝角三角形 D.当53b =时，ABC 是等腰三角形9.已知,a b 是非零向量，则“a b ⊥”是“对于任意的R λ∈，都有a b a b λλ+=- 成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.定义域为[]a b 、的函数()y f x =的图象的两个端点分别为(,()),(,())A a f a B b f b ．点(),M x y 是()y f x =的图象上的任意一点，其中()()101x a b λλλ=+-≤≤，点N 满足向量()1ON OA OB λλ=+-，点O 为坐标原点．若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()y f x =在[],a b 上为k 函数．已知函数()22f x x x =-+在[]0,1上为k 函数，则实数k 的取值范围是（）A.()0,+∞ B.14,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.[)1,+∞二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.知复数z 满足1i 0z +-=，则z =__________，z =__________．12.在ABC 中，π,23C CA CB ∠===，P 满足2CP CA CB =- ，则CP CB ⋅= ____________．13.在ABC 中，若sin a B kb =，则k 的一个取值为__________；当π2A =时，k =__________．14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A ，B ，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m ，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为30 ,45 ,60 ,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为__________m ．15.已知函数()sin(),()cos f x x g x x ϕ=+=，给出下列四个结论：①对任意的ϕ∈R ，函数()()y f x g x =+是周期函数；②存在0ϕ∈R ，使得函数()()y f x g x =+在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；③存在0ϕ∈R ，使得函数()()y f x g x =的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；④对任意的ϕ∈R ，记函数()()()F x f x g x =的最大值为()M ϕ，则()12M ϕ>．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数()ππsin sin 62f x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求()0f 的值和()f x 的零点；（2）求()f x 的单调递增区间．17.已知π,,1,,4OA a OB b a b a b ===== ．（1）求2a b -；（2）若OQ tOA =，求()AQ OQ OB ⋅- 的最小值．18.在ABC 中，cos 2cos 0A A +=．（1）求A 的大小；（2）若7a =，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 最长边上高线的长．条件①：sin 14C =；条件②：ABC 的面积为；条件③：10b =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19.已知n 维向量()12,,,n a a a a =，给定{}1,2,,1k n ∈- ，定义变换k ϕ；选取{}0,1,1i n ∈- ，再选取一个实数x ，对a的坐标进行如下改变：若此时i k n +≤，则将12,,,i i i k a a a +++⋅ 同时加上x ．其余坐标不变；若此时i k n +>，则将12,,,i i n a a a ++ 及12,,,i k n a a a +-⋅⋅⋅同时加上x ，其余坐标不变．若a 经过有限次变换k ϕ（每次变换所取的i ，x 的值可能不同）后，最终得到的向量()12,,,n t t t 满足12n t t t ==，则称a为k 阶可等向量．例如，向量()1,3,2经过两次变换2ϕ可得：2,11,1(1,3,2)(2,3,3)(2,2,2)i x i x ====-−−−→−−−−→，所以()1,3,2是2阶可等向量．（1）判断()1,2,3是否是2阶可等向量？说明理由；（2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量()1234,,,a a a a 是2阶可等向量，求13a a +；（3）若任取12,,,n a a a 的一个排序得到的n 维向量均为k 阶可等向量．则称()12,,,n a a a ⋅⋅⋅为k 阶强可等向量．求证：向量()1,2,3,4,5,6,7是5阶强可等向量．海淀区高一年级练习数学2024.07学校__________班级__________姓名__________考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若复数z 满足i 2z ⋅=，则z 的虚部为（）A.2-B.2C.i- D.i【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部.【详解】因为i 2z ⋅=，所以222i2i i iz ===-，所以z 的虚部为2-.故选：A2.已知向量()10,1,,22a b ⎛⎫==⎪⎝⎭，则cos ,a b = （）A.0B.12C.2D.2【答案】B 【解析】【分析】根据向量的数量积的坐标表示计算．【详解】由题意1012cos ,112a b a b a b+⋅===⨯ ，故选：B ．3.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则其解析式为（）A.()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.()1π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由最小值求得A ，由(0)1f =求得ϕ，再结合最小值点和周期求得ω．【详解】由图象知A =，()01f =1ϕ=，则π2π,Z 4k k ϕ=+∈或3π2π,Z 4k k ϕ=+∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=，5ππ)44ω+=，5ππ3π2π442k ω+=+，815kω=+，Z k ∈，又5π4T >，2π85T ω=<，已知0ω>，所以1ω=，所以π())4f x x =+，故选：D ．4.若3sin 5α=，且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.34-B.17C.34D.7【答案】D 【解析】【分析】根据正弦得到正切值，利用正切差角公式计算出答案.【详解】因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以cos 0α<，又3sin 5α=，所以4cos 5α==-，故4sin 3tan cos ααα==-，所以π3tantan 1π44tan 7π341tan tan 144ααα-+⎛⎫-=== ⎪⎝⎭+-.故选：D5.在ABC 中，点D 满足BD BC λ=，若3144AD AB AC =+ ，则λ=（）A.13B.14C.3D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量的三角形法则即可得解【详解】如图，因为在ABC 中，BD BC λ=，所以()()1AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC λλλλ=+=+=+-=-+ ，又3144AD AB AC =+ ，所以()31144AB AC AB AC λλ-+=+ ,所以14λ=，故选：B.6.已知1sin 2()sin cos xf x x x+=+，则下列直线中，是函数()f x 对称轴的为（）A.0x = B.π16x = C.π4x =D.π2x =【答案】C 【解析】【分析】举例说明判断ABD ；利用轴对称的意义判断C.【详解】依题意，sin cos 0x x +≠，解得ππ,Z 4x k k ≠-+∈，对于A ，π(12f -=-，π(12f =，则函数()f x 的图象关于0x =不对称，A 不是；对于B ，(0)1f =，π1sinπ4()1ππ8sincos 88f +=≠+，则函数()f x 的图象关于π16x =不对称，B 不是；对于C ，π3ππ24x k -≠-，即ππ(1)π,Z 24x k k -≠-+-∈，π1sin 2()π1sin 22()()ππ2cos sin sin()cos()22x x f x f x x x x x +-+-===+-+-，则函数()f x 的图象关于π4x =对称，C 是；对于D ，(0)1f =，(π)1f =-，则函数()f x 的图象关于π2x =不对称，D 不是.故选：C7.在平面直角坐标系xOy中，点(A -，点()cos ,sin P θθ，其中π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．若OA OP += ，则θ=（）A.π6 B.π4C.π3D.π2【答案】A 【解析】【分析】先OA OP +的坐标，然后求出模长，然后结合辅助角公式化简，建立关于θ的方程，解方程即可得解.【详解】因为平面直角坐标系xOy中，点(1A -，点()cos ,sin P θθ所以()1cos si n OA OP θθ+-=+所以OA OP += 又OA OP +==2cos 0θθ-=所以π4sin 06θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以π06θ-=，即π6θ=，8.在ABC 中，已知π2,3a A ==．则下列说法正确的是（）A.当1b =时，ABC 是锐角三角形B.当3b =时，ABC 是直角三角形C.当32b =时，ABC 是钝角三角形 D.当53b =时，ABC 是等腰三角形【答案】B 【解析】【分析】根据边长应用正弦定理计算分别判断各个选项.【详解】对于A:因为1b =11,sin sin 422B B ==<,当5ππ6B >>时，ABC 是钝角三角形,当ππ,π62BA AB =--时，ABC 是钝角三角形,A 选项错误；对于B:因为3b =,π3,sin 1,sin 2B B B ===,所以ABC 是直角三角形,B 选项正确；对于C:因为32b =,312,sin sin 822B B ==>当ππ62B <<时，ππ2C A B =--<,ABC 是锐角三角形,C 选项错误；对于D:因为53b =,55333,sin sin 12232B B ==<,b a <,π3B A <<,cos 12B ===()1sin sin sin cos cos sin 12212224C B A B A B A =+=+=⨯+⨯=因为,B C A C ≠≠，所以ABC 不是等腰三角形,D 选项错误；9.已知,a b 是非零向量，则“a b ⊥”是“对于任意的R λ∈，都有a b a b λλ+=- 成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可.【详解】因为,a b是非零向量，若a b ⊥ ，则0a b ⋅=，所以a b λ+==a b λ-=所以对于任意的R λ∈，都有a b a b λλ+=-成立，故充分性成立；若对于任意的R λ∈，都有a b a b λλ+=-成立，则22a b a b λλ+=- ，即22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+ ，所以20a b λ⋅= ，所以0a b ⋅= ，所以a b ⊥，故必要性成立；所以“a b ⊥”是“对于任意的R λ∈，都有a b a b λλ+=- 成立”的充要条件.故选：C10.定义域为[]a b 、的函数()y f x =的图象的两个端点分别为(,()),(,())A a f a B b f b ．点(),M x y 是()y f x =的图象上的任意一点，其中()()101x a b λλλ=+-≤≤，点N 满足向量()1ON OA OB λλ=+-，点O 为坐标原点．若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()y f x =在[],a b 上为k 函数．已知函数()22f x x x =-+在[]0,1上为k 函数，则实数k 的取值范围是（）A.()0,+∞ B.14,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.[)1,+∞【答案】B 【解析】【分析】先求出两个端点()()0,0,1,1A B ，设M 的横坐标为11x λ=-，纵坐标为211y λ=-+，进一步确定()1,1ON λλ=-- ，从而求出()20,MN λλ=- ，求出22111244MN λλλ⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭ ，得到答案.【详解】()22f x x x =-+在[]0,1上的两个端点分别为()()0,0,1,1A B ，设M 的横坐标为1x ，纵坐标为1y ，则1011x λλλ=⋅+-=-，故()()2222111212112221y x x λλλλλλ=-+=--+-=-+-+-=-+，()()()()()10,011,11,1ON OA OB λλλλλλ=+-=+-=-- ，故()()()221,11,10,MN λλλλλλ=-----+=- ，01λ≤≤，所以22111244MN λλλ⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭ ，当12λ=时，等号成立，故实数k 的取值范围为14,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.知复数z 满足1i 0z +-=，则z =__________，z =__________．【答案】①.1i -+；②.1i --.【解析】【分析】根据复数的运算法则，及共轭复数的定义即可求解【详解】因为1i 0z +-=，所以1i z =-+；所以z 的共轭复数1i z =--，故答案为：1i -+，1i --12.在ABC 中，π,23C CA CB ∠===，P 满足2CP CA CB =- ，则CP CB ⋅= ____________．【答案】0【解析】【分析】根据已知及数量积运算律，即可求解.【详解】由题意可知，()2·CP CB CA CB CB ⋅=- 222222cos6020CA CB CB =⋅-=⨯⨯⨯-= .故答案为：013.在ABC 中，若sin a B kb =，则k 的一个取值为__________；当π2A =时，k =__________．【答案】①.12（答案不唯一）②.1【解析】【分析】根据正弦定理，可以进行边化角，然后得到sin A k =，根据()0,πA ∈，可得k 的取值，又π2A =，即可得到k 的具体值.【详解】因为sin a B kb =，由正弦定理可得，sin sin sin A B k B =，又()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，所以sin A k =，又()0,πA ∈，取π6A =，所以12k =，所以当π2A =时，πsin sin 12k A ===，故答案为：12，1.14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A ，B ，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m ，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为30 ,45 ,60 ,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为__________m ．【答案】【解析】【分析】首先根据几何关系表示边长，再根据余弦定理求解.【详解】由题意可知，200AB BC ==，30PAO ∠= ，45PBO ∠= ，60PCO ∠= ，设PO x =，则OA =，OB x =，3OC x =，根据cos cos 0OBC OBA ∠+∠=，则222222120020033022002200x x x x x x+-+-+=⨯⨯，解得：1006x =所以塔尖距离底面的高度为1006.故答案为：100615.已知函数()sin(),()cos f x x g x x ϕ=+=，给出下列四个结论：①对任意的ϕ∈R ，函数()()y f x g x =+是周期函数；②存在0ϕ∈R ，使得函数()()y f x g x =+在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；③存在0ϕ∈R ，使得函数()()y f x g x =的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；④对任意的ϕ∈R ，记函数()()()F x f x g x =的最大值为()M ϕ，则()12M ϕ>．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①②③【解析】【分析】根据周期函数的定义可以证明①，取5π6ϕ=时可以判断②，取0ϕ=时可以判断③、④.【详解】对于①，令()()()H x f x g x =+，则()()()()()2π2π2πsin(2π)cos 2πsin()cos H x f x g x x x x x H x ϕϕ+=+++=++++=++=，所以对任意的ϕ∈R ，函数()()y f x g x =+是周期函数，故①正确；对于②，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，0cos 1x ≤≤，所以()cos cos g x x x ==所以()()sin()cos y f x g x x x ϕ=+=++，当5π6ϕ=时，()()5π5π5π3sin()cos sin cos cos sin cos sin cos 66622y f x g x x x x x x x x =+=++=++=-+即πsin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，所以πππ,336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，易知πsin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，即存在0ϕ∈R ，使得函数()()y f x g x =+在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故②正确；对于③，当0ϕ=时，令()()()G x y f x g x ==，即()sin cos G x x x =，易知()G x 定义域为R.因为()()()()πsin πcos πsin cos G x x x x x G x -=--==所以()G x 图象关于π2x =轴对称；又因为()()()()sin cos sin cos G x x x x x G x -=--=-=-，所以()G x 为奇函数，图象关于原点中心对称，所以存在0ϕ∈R ，使得函数()()y f x g x =的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；故③正确；对于④，假设④为假命题，则它的否定：“存在ϕ∈R ，记函数()()()F x f x g x =的最大值为()M ϕ，则()12M ϕ≤”为真命题，由③知，当0ϕ=时()()()1sin 2,cos 02sin cos 1sin 2,cos 02x x F x f x g x x x x x ⎧≥⎪⎪===⎨⎪-<⎪⎩，所以()max 12F x =，所以，存在ϕ∈R ，函数()()()F x f x g x =的最大值为()M ϕ，则()12M ϕ≤，所以假设成立，即④为假命题，故答案为：①②③.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数()ππsin sin 62f x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求()0f 的值和()f x 的零点；（2）求()f x 的单调递增区间．【答案】（1）()102f =，()f x 的零点为ππ,6x k k =-∈Z ；（2）()f x 的单调递增区间为2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z .【解析】【分析】（1）先应用诱导公式及两角和差化简，再根据正弦函数的对称中心求出零点即可；（2）应用正弦函数的单调区间求解即可.【小问1详解】()ππ110sin sin 16222f ⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()ππsin sin 62f x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin coscos sin cos 66x x x =-+ππsin cos cos sin 66x x =+πsin 6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令ππ6x k +=，所以ππ6x k =-．所以()f x 的零点为ππ,6x k k =-∈Z 【小问2详解】因为sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π,22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 所以πππ2π2π262k x k -<+<+．所以2ππ2π2π33k x k -<<+所以函数()f x 的单调递增区间为2ππ2π,2π,33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z17.已知π,,1,,4OA a OB b a b a b ===== ．（1）求2a b - ；（2）若OQ tOA = ，求()AQ OQ OB ⋅- 的最小值．【答案】（1；（2）18-.【解析】【分析】（1）先求⋅ a b ，然后直接求2a b - 的平方即可得解；（2）利用向量的运算律，将()AQ OQ OB ⋅- 转化为关于t 的二次函数，然后求出最值即可.【小问1详解】因为π1,,4a b a b === ，πcos ,1cos 14a b a b a b ⋅=⋅=⨯= ，因为2222222(2)4441412a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⨯+⨯=所以2a b -= ，【小问2详解】由（1）知，1OA OB a b =⋅=⋅ ，因为()()()()()AQ OQ OB OQ OA OQ OB tOA OA tOA OB ⋅-=-⋅-=-⋅- ()()221t t OA t OA OB =---⋅ ()()221t t t =---2231t t =-+23112488t ⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭所以当3t 4=时，()AQ OQ OB ⋅- 的最小值为18-18.在ABC 中，cos 2cos 0A A +=．（1）求A 的大小；（2）若7a =，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 最长边上高线的长．条件①：53sin 14C =；条件②：ABC 的面积为；条件③：10b =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π3A =；（2【解析】【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，化简求值；（2）若选择条件①，方法一，根据正弦定理和余弦定理求三边，判断最长边，再根据几何关系求高，方法二，根据边长和角，根据大角对大边，直接判断最长边，再求高；若选择条件②，根据面积求bc ，再根据余弦定理求边长，再求最长边的高；如选择条件③，根据正弦定理，判断ABC 是否存在.【小问1详解】因为cos2cos 0A A +=，所以22cos cos 10A A +-=所以()()2cos 1cos 10A A -+=，所以1cos ,cos 12A A ==-，因为()0,πA ∈，所以cos 1A =-舍所以1cos 2A =，则π3A =；【小问2详解】选择①因为π3A =，由正弦定理sin sin c a C A=142=，得5c =法一：由余弦定理2222cos a b c bc A=+-代入得214925252b b =+-⋅⋅所以()()850b b -+=所以8b =或=5b -（舍），所以AC 边最长，AC 边上的高线sin 2h c A =⋅=法二：因为5,7c a ==，所以C A <，所以π3C <，所以π3B >，所以b 为最长边AC 边上的高线sin 2h c A =⋅=选择②因为1sin 2S bc A ==所以40bc =因为π3A =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-所以22224940b c bc b c =+-=+-所以85b c =⎧⎨=⎩或58b c =⎧⎨=⎩所以最长边上的高线5sin 2h A =⋅=，若选择③，7,10,60a b A === ，根据正弦定理，sin sin a b A B =，则sin sin 1b A B a=>，不成立，此时ABC 不存在.19.已知n 维向量()12,,,n a a a a = ，给定{}1,2,,1k n ∈- ，定义变换k ϕ；选取{}0,1,1i n ∈- ，再选取一个实数x ，对a的坐标进行如下改变：若此时i k n +≤，则将12,,,i i i k a a a +++⋅ 同时加上x ．其余坐标不变；若此时i k n +>，则将12,,,i i n a a a ++ 及12,,,i k n a a a +-⋅⋅⋅同时加上x ，其余坐标不变．若a 经过有限次变换k ϕ（每次变换所取的i ，x 的值可能不同）后，最终得到的向量()12,,,n t t t 满足12n t t t ==，则称a 为k 阶可等向量．例如，向量()1,3,2经过两次变换2ϕ可得：2,11,1(1,3,2)(2,3,3)(2,2,2)i x i x ====-−−−→−−−−→，所以()1,3,2是2阶可等向量．（1）判断()1,2,3是否是2阶可等向量？说明理由；（2）若取1，2，3，4的一个排序得到的向量()1234,,,a a a a 是2阶可等向量，求13a a +；（3）若任取12,,,n a a a 的一个排序得到的n 维向量均为k 阶可等向量．则称()12,,,n a a a ⋅⋅⋅为k 阶强可等向量．求证：向量()1,2,3,4,5,6,7是5阶强可等向量．【答案】（1）是2阶可等向量，理由见解析；（2）5；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据k ϕ的定义即可求解，（2）根据k ϕ的定义即可求解，()()()()()()132413241324a a a a a a x a a x a a a a ''''+-+=++-++=+-+，即可结合()1234,,,a a a a 是2阶可等向量求解，（3）根据()12,,,n a a a 是k 阶可等向量，等价于()12,,,n a y a y a y +++ 是k 阶可等向量，即可根据变换5ϕ求证.【小问1详解】()1,2,3是2阶可等向量．例如经过两次变换2ϕ可得：()()()3,11,11,2,32,3,32,2,2i x i x ====-−−−→−−−−→【小问2详解】设()1234,,,a a a a 进行一次变换2ϕ后得()1234,,,a a a a ''''，当0i =时，()()12341234,,,,,,a a a a a x a x a a ''''=++当1i =时，()()12341234,,,,,,a a a a a a x a x a ''''=++当2i =时，()()12341234,,,,,,a a a a a a a x a x ''''=++当3i =时，()()12341234,,,,,,a a a a a x a a a x ''''=++综上，我们得到()()()()()()132413241324a a a a a a x a a x a a a a ''''+-+=++-++=+-+．因为()1234,,,a a a a 是2阶可等向量，即1234t t t t ===所以()()()()132413240a a a a t t t t +-+=+-+=．所以132413241234522a a a a a a a a +++++++=+===【小问3详解】任取()1,2,,7 的一个排序，记为()127,,,b b b b = ．注意到，()12,,,n a a a 是k 阶可等向量，等价于()12,,,n a y a y a y +++ 是k 阶可等向量．变换5ϕ即对连续五个维度的坐标（首尾也看成连续）同时加上x ，相当于对剩余两个连续维度的坐标同时加上x -．对234567,;,;,b b b b b b 依次加上x -，相当于对1b 单独加上x ；对345671,;,;,b b b b b b 依次加上x -，相当于对2b 单独加上x ；……基于上述分析，相当于可以对127,,,b b b 分别单独加上127,,,b b b --- ．所以b 为5阶可等向量，()1,2,,7 为5阶强可等向量．【点睛】方法点睛：对于新型定义，首先要了解定义的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。
北京市各区县2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题分类汇编三角恒等变换
北京市各区县2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题分类汇编三角恒等变换（2015年1月·顺义期末·4．cos80cos 20sin80sin 20+的值等于A.14 D. 12（2015年1月·房山期末·3）cos 25cos35sin 25sin35-的值为（A ）0（B ）12（C ）2（D （2015年1月·丰台期末·5．已知βα,都是锐角，31tan ,21tan ==βα，则βα+的值为（ ）A ．π4B ．π3C ．π2 D ．3π4（2015年1月·东城期末·4. ︒⋅︒+︒-︒15cos 15sin 215sin 15cos 22的值为A.213+ B.32D.21+43 （2015年1月·东城期末·7. 为了得到函数ππsin 3cos cos3sin 33y x x =+的图象，可以将函数sin3y x =图象 A.向右平移π9个单位 B.向右平移π个单位 C.向左平移π9个单位D.向左平移π个单位（2015年1月·石景山期末·8. 下列函数中，既是偶函数，又在[0,1]上单调递增的是 （ ）A ．cos y x =B ．2y x =-C ．2sin cos y x x = D ．|sin |y x =（2015年1月·石景山期末·9．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 （ ）A ．cos 2y x =B ．22cos y x =C ．sin(2)4y x π=+D ．22sin y x =（2015年1月·昌平期末·5）函数2()2sin f x x =的周期是（A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π（2015年1月·昌平期末·8）已知sincos22αα-=且cos 0α<，则tan α=（A （B ）（C （D ）（2015年1月·东城期末·14. 若1tan()42πθ+=,则tan θ=________.13-（2015年1月·昌平期末·12）已知4cos 5α=，则cos2α=_________ . 725（2015年1月·延庆期末·9．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是 A ． C B A sin )sin(=+ B ．C B A cos )cos(=+ C ．C B A tan )tan(=+D ．2sin 2sinCB A =+ （2015年1月·西城期末·5．函数2(sin cos )y x x =-的最小正周期为（ ） （A ）2π （B ）3π2（C ）π （D ）π2（2015年1月·石景山期末·1． 对于任意的R α∈，sin2α= （ ）A ．2sin αB ．2sin cos ααC ．2cos αD ．22cos sin αα-（2015年1月·西城期末·8．当[0,π]x ∈时，函数()cos f x x x =-的值域是（ ）（A ）[2,1]-（B ）[1,2]-（C ）[1,1]-（D ）[-（2015年1月·延庆期末·14．已知sin cos αα-=sin 2α=_1-___.（2015年1月·顺义期末·4．0sin 45sin 75cos 45sin165+的值为A.12-B.2-C.12D.2（2015年1月·西城期末·15．函数2()sin sin cos f x x x x =+⋅的最大值是_____（2015年1月·顺义期末·17. （本小题共13分已知sin()410x π-=，3(,)24x ππ∈. （Ⅰ）求cos()4x π-和cos x 的值； （Ⅱ）求sin(2)3x π+的值.解：（Ⅰ）Q324x ππ<<，∴442x πππ<-<，∴cos()410x π-==————４分∴cos cos ()cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤=-+=---⎢⎥⎣⎦＝35-．—７分（Ⅱ）由（Ⅰ）得3cos 5x =-，Q 324x ππ<<，∴4sin 5x =，———８分 24sin 22sin cos 25x x x ==-，27cos 22cos 125x x =-=-————１０分∴24sin(2)350x π++=-————１３分 （2015年1月·西城期末·17．（本小题满分12分）已知tan 2=-α，其中(,)2π∈πα． （Ⅰ）求πtan()4-α的值； （Ⅱ）求sin 2α的值． 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为 tan 2=-α，所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】 3=. 【 6分】（Ⅱ）解：由π(,π)2∈α，tan 2α=-， 得sin α=， 【 8分】cos α=. 【10分】所以 4sin 22sin cos 5==-ααα. 【12分】（2015年1月·西城期末·19．（本小题满分10分）已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a ∈Z ，b ∈Z ．设集合{|()0}A x f x ==，{|(())0}B x f f x ==，且A B =．（Ⅰ）证明：0b =； （Ⅱ）求a 的最大值．（Ⅰ）证明：显然集合A ≠∅．设 0x A ∈，则0()0f x =． 【 1分】 因为 A B =，所以 0x B ∈， 即 0(())0f f x =，所以 (0)0f =， 【 3分】 所以 0b =． 【 4分】 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin f x a x =，a ∈Z ．① 当0a =时，显然满足A B =． 【 5分】 ② 当0a ≠时，此时{|sin 0}A x a x ==；{|sin(sin )0}B x a a x ==， 即{|sin ,}B x a x k k ==π∈Z ． 【 6分】因为 A B =，所以对于任意x ∈R ，必有sin a x k ≠π (k ∈Z ，且0)k ≠成立． 【 7分】所以对于任意x ∈R ，sin k x aπ≠，所以 1k a π>， 【 8分】 即 ||||a k <⋅π，其中k ∈Z ，且0k ≠．所以 ||a <π， 【 9分】 所以整数a 的最大值是3． 【10分】（2015年1月·密云期末·16. （本小题满分14分）已知sin θ=. 其中θ是第三象限角. （Ⅰ）求cos ,tan θθ的值；（Ⅱ）求⎪⎭⎫⎝⎛π-θ4tan 的值； (III) 求πθπθθ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭sin 2sin()cos 22的值. 解：（Ⅰ）sin θ=θ是第三象限角，cos 5θ∴==- ----------------2分 sin tan 2.cos θθθ∴== ----------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ），tan tan 4tan()41tan tan4πθπθπθ--=+⋅----------------6分211.1213-==+⨯ ----------------9分(III)πθπθθ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭sin 2sin()cos 22θθθ=++-2cos 2sin 2cos 1 ----------------12分=-+-+--22(2(1555=-3.5 ----------------14分（2015年1月·顺义期末·18．（本小题满分已知函数2()cos cos f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]122ππ上的取值范围； （Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.解：（Ⅰ）因为()fx 1cos 2sin 222x x +=+ π1sin(2)62x =++． ---------------------------------------------------4分所以函数()f x 的最小正周期为π．---------------------------------5分（Ⅱ）π1()sin(2)62f x x =++．因为122x ππ≤≤，所以ππ7π2366x ≤+≤， 所以1πsin(2)126x -+≤≤，因此π130sin(2)622x ++≤≤，即()f x 的取值范围为3[0]2，-----------------------------10分（Ⅲ）()f x 在[,]1212π11π-上的图象如图所示. ----------------------------14分（其它周期上的图象同等给分） （个别关键点错误酌情给分）（2015年1月·顺义期末·19．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2sin f x x x =-.（I ）求(0)f 的值；（II ）求函数()f x 的最大值和最小值，并分别写出使函数取得最大值和最小值时的x 值.解：（I ）2(0)cos0sin 01f =-=.------------------------------------------------------------------6分（II ）2222()cos 2sin 12sin sin 3sin 1f x x x x x x =-=--=-+， -------------------8分所以)(x f 最大值是1，最小值是2-. ------------------------------------------------10分 当sin 0x =时，即()x k k Z π=∈时函数()f x 取得最大值1， 当sin 1x =±时，即()2x k k Z ππ=+∈时函数()f x 取得最小值2-.-------13分（2015年1月·顺义期末·18．（本小题满分已知函数2()cos cos f x x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]122ππ上的取值范围；（Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.解：（Ⅰ）因为()f x 1cos 222x x +=+ π1sin(2)62x =++． ---------------------------------------------------4分所以函数()f x 的最小正周期为π．---------------------------------5分（Ⅱ）π1()sin(2)62f x x =++．因为122x ππ≤≤，所以ππ7π2366x ≤+≤， 所以1πsin(2)126x -+≤≤，因此π130sin(2)622x ++≤≤，即()f x 的取值范围为3[0]2，-----------------------------10分（Ⅲ）()f x 在[,]1212π11π-上的图象如图所示. ----------------------------14分（其它周期上的图象同等给分） （个别关键点错误酌情给分）（2015年1月·顺义期末·19．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2sin f x x x =-.（I ）求(0)f 的值；（II ）求函数()f x 的最大值和最小值，并分别写出使函数取得最大值和最小值时的x 值.解：（I ）2(0)cos0sin 01f =-=. -------------------6分（II ）2222()cos 2sin 12sin sin 3sin 1f x x x x x x =-=--=-+， -------------------8分所以)(x f 最大值是1，最小值是2-. --------------------------10分 当sin 0x =时，即()x k k Z π=∈时函数()f x 取得最大值1， 当sin 1x =±时，即()2x k k Z ππ=+∈时函数()f x 取得最小值2-.-------13分。
【数学】北京市海淀区2021-2022学年高一上学期期末考试试题(解析版)
北京市海淀区2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣3＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．（0，1）C．（0，2）D．{0，1，2}2．命题“∀x∈R，都有x2﹣x+3＞0”的否定为（）A．∃x∈R，使得x2﹣x+3≤0B．∃x∈R，使得x2﹣x+3＞0C．∀x∈R，都有x2﹣x+3≤0D．∃x∉R，使得x2﹣x+3≤03．已知a＜b＜0，则（）A．a2＜b2B．＜C．2a＞2b D．ln（1﹣a）＞ln（1﹣b）4．已知函数f（x）＝﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．4×100米接力赛是田径运动中的集体项目，一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合．已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（）A．p1p2p3B．1﹣p1p2p3C．（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）D．1﹣（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）6．下列函数中，在R上为增函数的是（）A．y＝2﹣x B．y＝x2C．y＝D．y＝lg x7．已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为C＝Q2+3000，设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（）A．30B．60C．900D．18008．逻辑斯蒂函数f（x）＝二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类，下列关于函数f（x）的说法错误的是（）A．函数f（x）的图象关于点（0，f（0））对称B．函数f（x）的值域为（0，1）C．不等式f（x）＞的解集是（0，+∞）D．存在实数a，使得关于x的方程f（x）﹣a＝0有两个不相等的实数根9．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（）A．甲得分的极差大于乙得分的极差B．甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数C．甲得分的平均数小于乙得分的平均数D．甲得分的标准差小于乙得分的标准差10．已知函数f（x）＝2x2+bx+c（b，c为实数），f（﹣10）＝f（12）．若方程f（x）＝0有两个正实数根x1，x2，则+的最小值是（）A．4B．2C．1D．二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分.11．函数f（x）＝log0.5（x﹣1）的定义域是．12．已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝ln x，则f（﹣）的值是．13．定义域为R，值域为（﹣∞，1）的一个减函数是．14．已知函数f（x）＝|log5x|，若f（x）＜f（2﹣x），则x的取值范围是．15．已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），给出下列四个结论：①存在实数a，使得f（x）有最小值；②对任意实数a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的减函数；③存在实数a，使得f（x）的值域为R；④若a＞3，则存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＝f（﹣x0）．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16．（9分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|x﹣4a≤0}．（Ⅰ）当a＝1时，求A∩B；（Ⅱ）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．17．（10分）已知函数f（x）＝a x+b•a﹣x（a＞0且a≠1），再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，说明理由；（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）若f（|m|﹣3）不大于b•f（2），直接写出实数m的取值范围．条件①：a＞1，b＝1；条件②：0＜a＜1，b＝﹣1．18．（10分）某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4：1，现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）．一等品二等品甲生产线76b乙生产线a2（Ⅰ）写出a，b的值；（Ⅱ）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；（Ⅲ）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取10件产品，记P1表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，P2表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较P1和P2的大小．（只需写出结论）19．（11分）已知定义域为D的函数f（x），若存在实数a，使得∀x1∈D，都存在x2∈D满足＝a，则称函数f（x）具有性质P（a）．（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质P（0），说明理由；①f（x）＝2x；②f（x）＝log2x，x∈（0，1）．（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为D，且具有性质P（l），则“f（x）存在零点”是“2∈D”的条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）（Ⅲ）若存在唯一的实数a，使得函数f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]具有性质P（a），求实数t的值．选做题：20．2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖．屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了疟疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康、减少病痛发挥了难以估量的作用．当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效．后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用．已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值．人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变，现用t表示时间（单位：h），在t＝0时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：μg/ml），根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数．已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值．请根据以上描述完成下列问题：（Ⅰ）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是；①C（t）＝②C（t）＝③C（t）＝④C（t）＝（Ⅱ）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1μg/mL，则称青蒿素药片是合格的．基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片；（填“合格”、“不合格”）（Ⅲ）记血药浓度的峰值为C max，当C≥C max时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间是．【参考答案】一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．A【解析】集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣3＜x＜2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：A．2．A【解析】根据题意，命题“∀x∈R，都有x2﹣x+3＞0”是全称命题，其否定为：∃x∈R，使得x2﹣x+3≤0．故选：A．3．D【解析】∵a＜b＜0，∴，ln（1﹣a）＞ln（1﹣b）．故选：D．4．C【解析】函数f（x）＝﹣log2x，是减函数，又f（2）＝﹣log22＝＞0，f（3）＝1﹣log23＜0，可得f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知：函数f（x）＝﹣log2x，包含零点的区间是：（2，3）．故选：C．5．C【解析】∵该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，∴三次交接棒不失误的概率分别为1﹣p1，1﹣p2，1﹣p3，∴假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）．故选：C．6．C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2﹣x是指数函数，在R上为减函数，不符合题意，对于B，y＝x2，是二次函数，在（﹣∞，0）上为减函数，不符合题意，对于C，y＝，在R上为增函数，符合题意，对于D，y＝lg x，是对数函数，定义域为（0，+∞），不符合题意，故选：C．7．B【解析】由题意可得该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）＝，则f（Q）＝＝60，当且仅当，即Q＝100时取等号，此时f（Q）的最小值为60，故选：B．8．D【解析】对于A：f（x）＝＝，f（﹣x）＝，f（x）+f（﹣x）＝1，所以函数f（x）的图象关于点（0，）对称，又f（0）＝，所以函数f（x）的图象关于点（0，f（0））对称，故A正确；对于B：f（x）＝，易知e﹣x＞0，所以1+e﹣x＞1，则（0，1），即函数f（x）的值域为（0，1），故B正确；对于C：由f（x）＝容易判断，函数f（x）在R上单调递增，且f（0）＝，所以不等式f（x）＞的解集是（0，+∞），故C正确；对于D：因为函数f（x）在R上单调递增，所以方程f（x）﹣a＝0不可能有两个不相等的实数根，故D错误．故选：D．9．B【解析】对于A，乙组数据最大值为29，最小值为5，极差为24，甲组数据最大值小于29，最小值大于5，故A错误；对于B，甲得分的75%分位数是＝22.5，乙得分的75%分位数是17，故B正确；对于C，甲组具体数据不易看出，不能判断甲得分的平均数与乙得分的平均数的大小关系，故C错误；对于D，乙组数据更集中，标准差更小，故D错误．故选：B．10．B【解析】根据题意，函数f（x）＝2x2+bx+c为二次函数，若f（﹣10）＝f（12），则f（x）的对称轴为x＝1，若方程f（x）＝0有两个正实数根x1，x2，则有x1+x2＝2，则+＝（+）（x1+x2）＝（2++）≥（2+2）＝2，当且仅当x1＝x2＝1时等号成立，即+的最小值是2，故选：B．二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分.11．（1，+∞）【解析】要使函数有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，即函数的定义域为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．12．1【解析】∵当x＞0时，f（x）＝ln x，且f（x）是奇函数，∴f（﹣）＝﹣f（）＝﹣ln＝1，故答案为：1．13．y＝1﹣2x（答案不唯一）【解析】根据题意，要求函数可以为指数函数变换形式，如y＝1﹣2x；故答案为：y＝1﹣2x（答案不唯一）．14．（1，2）【解析】∵函数f（x）＝|log5x|的定义域为（0，+∞），∴，∴0＜x＜2，①当x＝1时，f（x）＝f（2﹣x），不符合题意，②当0＜x＜1时，2﹣x＞1，则f（x）＜f（2﹣x）等价于|log5x|＜|log5（2﹣x）|，∴﹣log5x＜log5（2﹣x），∴log5（2﹣x）+log5x＞0，即log5[x（2﹣x）]＞0，∴x（2﹣x）＞1，∴x2﹣2x+1＜0，此方程无解，③当1＜x＜2时，0＜2﹣x＜1，则f（x）＜f（2﹣x）等价于|log5x|＜|log5（2﹣x）|，∴log5x＜﹣log5（2﹣x），∴log5（2﹣x）+log5x＜0，即log5[x（2﹣x）]＜0，∴x（2﹣x）＜1，∴x2﹣2x+1＞0，即x≠1，则1＜x＜2符合题意，综上所述，x的取值范围是（1，2）．15．①②④【解析】对于①，当a＝3时，函数f（x）＝，函数有最小值﹣1，故①正确；对于②，若f（x）是R上的减函数，则，解得a∈∅，∴对任意实数a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的减函数，故②正确；对于③，若f（x）的值域为R，需，得a∈∅，故③错误；对于④，若a＞3，函数f（x）＝的图象如图所示：直线y＝（a﹣2）x与曲线y＝a x﹣1一定有交点，即存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＝f（﹣x0），故④正确．∴正确结论的序号是①②④．故答案为：①②④．三、解答题：共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．解：（Ⅰ）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x﹣4a≤0}．当a＝1时，B＝{x|x≤4}，∴A∩B＝{x|x＜﹣1或3＜x≤4}；（Ⅱ）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x﹣4a≤0}，A∪B＝R，∴4a＞3，解得a＞，∴实数a的取值范围是（，+∞）．17．解：选择条件①：（Ⅰ）a＞1，b＝1，函数f（x）是偶函数，理由如下：f（x）的定义域为R，对任意x∈R，则﹣x∈R，∵f（﹣x）＝a﹣x+a x＝f（x），∴函数f（x）是偶函数．（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则x1+x2＞0，∵a＞1，∴，，∴f（x1）﹣f（x2）＝﹣（）＝（）（1﹣）＝（）•＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．（Ⅲ）实数m的取值范围是[﹣5，﹣1]∪[1，5]．选择条件②：0＜a＜1，b＝﹣1，（Ⅰ）函数f（x）是奇函数，理由如下：f（x）的定义域为R，对任意x∈R，则﹣x∈R，∴f（﹣x）＝a﹣x﹣a x＝﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是减函数．证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∵0＜a＜1，∴＞0，，∴f（x1）﹣f（x2）＝﹣（）＝（）（1+）＝（）•＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调减函数．（Ⅲ）实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．18．解：（Ⅰ）由题意知，解得a＝4，b＝18．（Ⅱ）记样本中甲生产线的4件二等品为A1，A2，A3，A4，乙生产线的2件二等品为B1，B2，从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A2，A3），（A2，A4），（A3，A4）（A1，B1），（A2，B1），（A3，B1），（A4，B1），（A1，B2），（A2，B2），（A3，B2），（A4，B2），（B1，B2），记C为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果只有一个，是（B1，B2），∴至少有1件为甲生产线产品的概率为P＝1﹣P（）＝1﹣＝．（Ⅲ）p1＜p2．19．解：（Ⅰ）①函数f（x）＝2x不具有性质P（0）．理由如下：对于a＝0，x1＝1，∵，x2∈R，∴不存在x2∈R满足＝0，∴函数f（x）＝2x不具有性质P（0）．②函数f（x）＝log2x，x∈（0，1）具有性质P（0）．理由如下：对于∀x1∈（0，1），取x2＝，则x2∈（0，1），∵＝＝0，∴函数f（x）＝log2x，x∈（0，1）具有性质P（0）．（Ⅱ）“f（x）存在零点”是“2∈D”的充分而不必要条件．理由如下：（i）若f（x）存在零点，令f（x）＝3x﹣1，x∈[0，1]，则f（）＝0，∵∀x1∈[0，1]，取x2＝1﹣，则x2∈[]，且＝＝1，∴f（x）具有性质P（1），但2∉[0，1]．（ii）若2∈D，∵f（x）具有性质P（1），取x1＝2，则存在x2∈D，使得＝＝1，∴f（x2）＝0，∴f（x）存在零点x2，综上，“f（x）存在零点”是“2∈D”的充分而不必要条件．故答案为：充分而不必要．（Ⅲ）记函数f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的值域为F，函数g（x）＝2a﹣x，x∈[0，2]的值域为A＝[2a﹣2，2a]，∵存在唯一的实数a，使得函数f（x2）＝2a﹣x1成立，∴F＝A．（i）当t＝0时，f9x）＝x+4，x∈[0，2]，其值域F＝[4，6]，由F＝A，得a＝3．（ii）当﹣≤t，且t≠0时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]是增函数，∴其值域F＝[4，4t+6]，由F＝A，得t＝0，舍去．（iii）当﹣时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的最大值为f（﹣）＝4﹣，最小值为4，∴f（x）的值域为F＝[4，4﹣]．由F＝A，得t＝﹣，舍去．当t＜﹣时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的最大值为f（﹣）＝4﹣，最小值为f（2）＝4t+6，∴f（x）的值域为F＝[4t+6，4﹣]，由F＝A，得t＝（舍去t＝）．选做题：20．解：（Ⅰ）根据题意，得函数C（t）同时满足以下条件：A．函数C（t）在[0，1.5）上单调递增，在（1.5，+∞）上单调递减；B．当t＝1.5时，函数C（t）取得最大值；函数C（t）的最小值非负；C．函数C（t）是一个连续变化的函数，不会发生骤变．选择①：，因为C（3）＝0.75﹣0.3×3＝﹣0.15不满足条件B，所以①不能描述青蒿素血药浓度变化过程；选择②：C（t）＝当0≤t＜15时，，当t＝1时，函数C（t）取得最大值，不满足条件B，所以②不能描述青蒿素血药浓度变化过程；选择③：因为，，所以不满足条件C，所以③不能描述青蒿素血药浓度变化过程；选择④：因为，且当t≥1.5时，C（t）＞0，所以C（t）同时满足三个条件，即④能描述青蒿素血药浓度变化过程；综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是④．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：函数④：，因为，即血药浓度的峰值大于0.1μg/ml，所以此青蒿素药片合格，即答案为：合格；（Ⅲ）当0≤t＜1.5时，令0.2ln（t+1）≥0．ln2.5，所以ln（t+1）2≥ln2.5，即，即2t2+4t﹣3≥0，解得或，即当t≥1.5时，令，则，解得t≤3，即1.5≤t≤3；综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间为．。
北京市2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
北京市东城区2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x33．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是．12．（5分）sin的值为．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为．（写出符合条件的一个函数即可）14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．2020-2021学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M【分析】利用集合与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，∴M⫋N．故选：C．【点评】本题考查集合的关系的判断，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|，是偶函数，符合题意；对于B，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C，y＝e x，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝x3，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．3．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．【分析】直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果．【解答】解：根据函数y＝sin x的单调递增区间：[]（k∈Z），当k＝0时，单调增区间为[]，由于为[]的子区间，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为∃x∈A，2x∉B，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．【分析】直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：由于a＞b，且a和b的正负号不确定，所以选项ACD都不正确．对于选项：B由于函数y＝2x为单调递增函数，且a＞b，故正确故选：B．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解．【解答】解：在A中，sin＞0＞sin＝﹣sin，故A错误；在B中，＜cos，故B正确；在C中，＞，故C错误；在D中，＞cos＝sin，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】可以取特殊值讨论充要性．【解答】解：若a，b为正实数，取a＝1，b＝1，则a+b＝2，则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的不充分条件；若a+b＞2，取a＝1，b＝0，则b不是正实数，则“a+b＞2”是“a，b为正实数''的不必要条件；则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查命题充要性，以及不等式，属于基础题．8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9【分析】由题意令V＝2m/s，0m/s，则可求出耗氧量，求出之比．【解答】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v＝2＝，即，即，即o＝8100，鲑鱼静止时耗氧量为：令v＝0＝，即，即o'＝100，故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为，故选：C．【点评】本题考查对数求值，属于中档题．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况，进一步确定结果．【解答】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A：当t＜0或t≥2时，有0个交点，故正确．②对于选项B：当t＝0或时，有1个交点，故正确．③对于选项C：当t＝时，只有一个交点，故错误．④对于选项D：当，只有一个交点，故错误．故选：AB．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用，利用函数的图象求参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）＝4|x|+x2+a，①对于选项A：由于x∈R，且f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数．故选项A正确．②对于选项B：由于x2≥0，所以，故4|x|+x2≥1所以当x＝0时a＝﹣2时，f（x）＜0，故选项B错误．③对于选项C：由于函数f（x）的图象关于y轴对称，在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，故选项C正确．④对于选项D：由于函数的图象关于y轴对称，且在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故存在实数a＝0时，当x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）时，不等式成立，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．【分析】解不等式1﹣x2＞0即可．【解答】解：令1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．12．（5分）sin的值为﹣．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：sin＝sin（2π﹣）＝﹣sin＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为f（x）＝．（写出符合条件的一个函数即可）【分析】由函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，即是符合要求的一个函数．【解答】解：∵函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，∴函数f（x）＝（）x即是符合要求的一个函数，故答案为：f（x）＝（）x．【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．【分析】①利用交集定义直接求解．②利用并集定义直接求解．【解答】解：①设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B．故答案为：A∩B．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．故答案为：A∪C．【点评】本题考查并集、交集的求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝0或1 ．【分析】结合已知函数解析式，把x＝﹣2代入即可求解f（﹣2），结合已知函数解析式及f（t）＝1，对t进行分类讨论分别求解．【解答】解：f（x）＝则f（﹣2）＝2﹣2＝，∵f（t）＝1，①当t≥1时，可得＝1，即t＝1，②当t＜1时，可得2t＝1，即t＝0，综上可得t＝0或t＝1．故答案为：；0或1【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有①②④．（注：请写出所有正确结论的序号）【分析】直接利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．【解答】解：浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t ﹣1（a＞0且a≠1），函数的图象经过（2，2）所以2＝a2﹣1，解得a＝2．①当x＝0时y＝，故选项A正确．②当第8个月时，y＝28﹣1＝27＝128＞60，故②正确．③当t＝1时，y＝1，增加0.5，当t＝2时，y＝2，增加1，故每月的增加不相等，故③错误．④根据函数的解析式，解得t1＝log210+1，同理t2＝log220+1，t3＝log230+1，所以2t2＝2log220+2＝log2400+2＞t1+t2＝log2300+2，所以则2t2＞t1+t3．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．【分析】（1）根据题意，求出集合A，进而由补集的性质分析可得答案；（2）根据题意，结合集合间的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为A＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}．因为全集U＝R，所以∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，（2）根据题意，∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，若B⊆∁U A，当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2，即m≥0或m≤﹣2，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．【点评】本题考查集合的补集运算，涉及集合的子集关系，属于基础题．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用函数值，转化求解函数的解析式，推出函数的周期；（2）利用函数的自变量的范围，求出相位的范围，然后求解正弦函数的最值．【解答】解：（1）因为，所以．又因为φ∈，所以φ＝．所以．所以f（x）最的小正周期．（2）因为x∈[0，2π]，所以．当，即时，f（x）有最大值2，当，即x＝2π时，f（x）有最小值．【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得tanβ的值．（2）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：（1）因为β的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为，所以．因为，所以．所以．（2）因为α的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为，所以．因为，所以，故＝＝＝．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．【分析】（1）定义域为R，然后求出f（﹣x），得f（﹣x）＝﹣f（x），所以为奇函数；（2）直接由指数函数的单调性可判断函数f（x）的单调性；（3）不等式变形，由奇函数的性质得出ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，令关于a的函数g（a）＝xa+1﹣x＞0在（﹣∞，2]上恒成立，g（a）一定单调递减，所以满足则只需解出x的范围．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．因为f（x）定义域为R，，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．所以f（x）为奇函数；（2）在（﹣∞，+∞）是增函数．因为y＝3x在（﹣∞，+∞）是增函数，且y＝3﹣x在（﹣∞，+∞）是减函数，所以在（﹣∞，+∞）是增函数，（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且f（x）（﹣∞，+∞）是增函数．又因为f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0，所以f（ax﹣1）＞﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2）．所以ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立．令g（a）＝xa+（1﹣x），a∈（﹣∞，2]．则只需，解得所以﹣1＜x≤0．所以x的取值范围为（﹣1，0]．【点评】考查函数的奇函数的判断即函数的单调性，使用中档题．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．【分析】（1）由新定义的元素即可求出f A（1）与f B（1）的值，再分情况求出A*B；（2）对x是否属于集合A，B分情况讨论，即可证明出f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．【解答】解：（1）∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴f A（1）＝﹣1，f B（1）＝1，∴A*B＝{1，4，5}；（2）①当x∈A且x∈B时，f A（x）＝f B（x）＝﹣1，所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），②当x∈A且x∉B时，f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），③当x∉A且x∈B时，f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1．所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．④当x∉A且x∉B时，f A（x）＝f B（x）＝1．所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．综上，f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）因为A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，B*A＝{x|f B（x）•f A（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为（A*B）*C＝{x|f A*B（x）•f C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，A*（B*C）＝{x|f A（x）•f B*C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，所以（A*B）*C＝A*（B*C）．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．。
北京市海淀区2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含解析
北京2023-2024学年第一学期12月练习高一数学2023.12（答案在最后）说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1.已知命题:0p x ∀>，25410x x -+≥，则命题p 的否定为（）A.0x ∀>，25410x x -+< B.0x ∀<，25410x x -+<C.0x ∃>，25410x x -+< D.0x ∃<，25410x x -+<【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：命题:0p x ∀>，25410x x -+≥的否定为：0x ∃>，25410x x -+<.故选：C2.设集合{}33x A x =>，{}230B x x x =-<，则A B = （）A.()1,3 B.[)1,3C.()0,3 D.[)0,3【答案】A【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再根据集合的运算得解.【详解】由33x >，即133x >，因为3x y =是R 上的单调递增函数，所以1x >，{}1A x x ∴=>；又230x x -<，解得03x <<，{}03B x x ∴=<<；()1,3A B ∴⋂=.故选：A.3.以下函数既是偶函数又在(0,)+∞上单调递减的是（）A.4()f x x =B.()f x =C.1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.12()log f x x =【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性的定义和指数函数、对数函数、幂函数的性质，对选项逐一判断即可.【详解】选项A 中，4()f x x =，满足()44()()f x x x f x -=-==，()f x 是偶函数，但由幂函数性质知4()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故不符合题意；选项B 中，由幂函数性质知，()f x =在定义域[)0,∞+内单调递增，0x <无意义，故不具有奇偶性，不符合题意；选项C 中，由指数函数性质可知，1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，但1()()22x x f x f x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭=≠，故不是偶函数，不符合题意；选项D 中，12()log f x x =定义域()(),00,-∞⋃+∞，满足1122()log log ()f x x x f x -=-==，故()f x 是偶函数，当0x >时，12()log f x x =，由对数函数性质可知，12()log f x x =在(0,)+∞上单调递减，故12()log f x x =符合题意.故选：D.4.已知x y <，则下列不等式一定成立的是（）A.33x y < B.11x y >C.22x y--< D.()()22lg 1lg 1x y +<+【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，幂函数，指数函数和对数函数的性质判断．【详解】对A ，根据幂函数3y x =在R 上单调递增得x y <时，33x y <，故A 正确；对B ，当0x y <<时，11x y<，B 错；对C ，x y <，则x y ->-，根据指数函数2x y =在R 上单调递增得22x y -->，故C 错误；对D ，x y <时，例如，2,1x y =-=，则2211x y +>+，根据对数函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，则()()22lg 1>lg 1x y ++，因此D 错；故选：A ．5.函数()lg 1y x =-的图象是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】将函数lg y x =的图象进行变换可得出函数()lg 1y x =-的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =-的图象，再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =-的图象.故合乎条件的图象为选项C 中的图象.故选：C.【点睛】结论点睛：两种常见的图象翻折变换：()()x x x f x f x −−−−−−−−−−−−→保留轴上方，将轴下方的图象沿轴对称，()()y y y f x f x −−−−−−−−−−−−−→保留轴右方图像，将轴右方图象沿着轴对称.6.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，则满足不等式()10x f x ⋅-<的x 的取值范围是（）A.()3,1-B.()1,5C.()()3,01,5-D.()(),31,5-∞- 【答案】C【解析】【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，0x >时，()f x 单调递增，且()40f =，所以当()(),40,4x ∈-∞-⋃时，()0f x <，当()()4,04,x ∈-⋃+∞时，()0f x >，不等式()10x f x ⋅-<，则当0x <时，有()10f x ->，即410x -<-<或14x ->，解得31x -<<或5x >，又0x <，30x ∴-<<；当0x >时，有()10f x -<，即14x -<-或014x <-<，又0x >，解得15x <<；综上，不等式()10x f x ⋅-<的解集为()()3,01,5- .故选：C.7.已知函数2,1(),1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件是a ∈A.(0,2]B.(1,2]C.(1,2)D.(0,1]【答案】C【解析】【分析】根据()f x 单调性，结合已知条件，求得()f x 有两个零点的充要条件，再结合选项进行选择即可.【详解】2,1(),1x a x f x x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩ ()f x ∴在,1∞（-）上单调递增，在1+∞（，）上单调递减．故“函数()f x 有两个零点”(1)20,0,(1)10f a a f a ⇔=-≥-<>-+>，解得12a <≤，“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件必须为(1,2]的子集，只有C 符合，故选：C ．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及由函数零点个数求参数范围问题，属综合基础题.8.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n .如果m ，n 满足1m n -≤，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A.14 B.38 C.12 D.58【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的计算公式，结合绝对值不等式进行求解即可.【详解】根据题意，m ，n 的情况如下：()()()()()()()()6,6,6,7,6,8,6,9,7,6,7,7,7,8,7,9,()()()()()()()()8,6,8,7,8,8,8,9,9,6,9,7,9,8,9,9,共16种情况，其中m ，n 满足1m n -≤的情况如下：()()()()()()()()()()6,6,6,7,7,6,7,7,7,8,8,7,8,8,8,9,9,8,9,9,共10种情况，所以两人“心领神会”的概率是105168=，故选：D9.函数()213log 3y x ax =-+在[1,2]上恒为正数，则实数a 的取值范围是（）A.a <<B.72a <<C.732a <<D.3a <<【答案】D【解析】【分析】根据底数是13，213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，进而解不等式就可以了．【详解】解：由于底数是13，从而213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，即23x a x x x+<<+由于[1,2]x ∈，3x x +≥=当且仅当3x x =即x =由对勾函数的性质可知，函数()2g x x x =+在⎡⎣上单调递减，在2⎤⎦上单调递增，且()()123g g ==所以3a <<故选：D ．【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题．10.形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（）(参考数据:lg 2≈0.3010)A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】【分析】32521F =+,设322m =,两边取常用对数估算m 的位数即可.【详解】32521F =+ ,设322m =，则两边取常用对数得32lg lg 232lg 2320.30109.632m ===´=.9.63291010m =»，故5F 的位数是10，故选：B ．【点睛】解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2lg 51+=简化计算.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.函数()2lg 54y x x =-+的定义域为__________.【答案】()()4,,1+∞⋃-∞【解析】【分析】利用对数函数真数大于零，解不等式即可求得结果.【详解】由对数函数定义可得2540x x -+>，解得>4x 或1x <，所以函数定义域为()()4,,1+∞⋃-∞.故答案为：()()4,,1+∞⋃-∞12.某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为__________人.【答案】3600【解析】【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解.【详解】由题意可知：高三年级抽取了3615129--=人，由于高三共有900人，所以抽样比为1100，所以高中学生总数为361003600⨯=，故答案为：360013.令0.76a =，60.7b =，0.7log 6c =，则三个数a ，b ，c 的大小顺序是______.（用“<”连接）【答案】c b a<<【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值0,1即可确定大小关系.【详解】0.7000.60.70.76610.70.70log 1log 6>==>>=> ，c b a ∴<<.故答案为：c b a <<.14.为了解本书居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为______.（用“<”连接）【答案】231s s s <<【解析】【分析】根据平均数公式及方差公式分别计算21s 、22s 、23s ，即可判断；【详解】由图甲：平均值为()150012500.000617500.000422500.000227500.000232500.0006x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2200=，22221(12502200)(175021200)(22502200)0.30.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.10.3(27502200)(32502200+-⨯⨯-+672500=，212500.117500.222500.427500.232500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2250=，22222(12502250)(175024250)(22502250)0.10.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.20.1(27502250)(32502250+-⨯⨯-+300000=，312500.217500.222500.327500.232500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2150=，22223(12502150)(175023150)(22502150)0.20.20.s =-+⨯+⨯⨯--22)0.20.1(27502150)(32502150+-⨯⨯-+390000=，则标准差231s s s <<，故答案为：231s s s <<.15.如图，在等边三角形ABC 中，AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9；③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是____.【答案】①②【解析】【分析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解.【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根故正确的是①②.故答案为：①②【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知集合213A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}221,B x m x m m =-≤≤+∈R .（1）当6m =时，求集合A B ⋃；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{313}A B xx =<≤ ∣（2）(),3-∞-【解析】【分析】（1）直接代入计算，再根据并集含义计算即可；（2）分集合B 是否为空集讨论即可.【小问1详解】由()()222311005303333x x x x x x x ->⇒->⇒->⇒--<----解得{35}A xx =<<∣.当6m =时，{}413B x x =≤≤∣，则{313}A B xx =<≤ ∣【小问2详解】由A B B = ，得B A ⊆.当B =∅时，有221m m ->+，解得3m <-.当B ≠∅时，有323215m m m ≥-⎧⎪->⎨⎪+<⎩，无解.综上，(),3m ∈-∞-.17.已知函数()22f x x =+.（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）求函数()f x 在区间[](),1t t t +∈R 上的最小值.【答案】17.定义域为R ，值域为[)2,+∞18.答案见解析【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质可得答案；（2）讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数性质可得答案.【小问1详解】由题意定义域为R ，因为20x ≥，所以222x ≥+，即值域为[)2,+∞.【小问2详解】()f x 图象的对称轴为0x=，当10t +≤时，即1t ≤-时，()f x 在区间[],1t t +上单调递减，则()f x 在区间[],1t t +上的最小值为()2(1)12f t t +=++；当01t t <<+时，即10t -<<时，()f x 在[),0t 上单调递减，在(]0,1t +上单调递增，则()f x 在区间[],1t t +上的最小值为(0)2f =；当0t ≥时，()f x 在区间[],1t t +上单调递增，()f x 在区间[],1t t +上的最小值为2()2f t t =+；综上可得1t ≤-时，最小值为()212t ++；10t -<<时，最小值为2；0t ≥时，最小值为22t +.18.在新高考背景下，北京高中学生需从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6个科目中选择3个科目学习并参加相应的等级性考试.为提前了解学生的选科意愿，某校在期中考试之后，组织该校高一学生进行了模拟选科.为了解物理和其他科目组合的人数分布情况，某教师整理了该校高一（1）班和高一（2）班的相关数据，如下表：物理+化学物理+生物物理+思想政治物理+历史物理+地理高一（1）班106217高一（2）班.159316其中高一（1）班共有40名学生，高一（2）班共有38名学生.假设所有学生的选择互不影响.（1）从该校高一（1）班和高一（2）班所有学生中随机选取1人，求此人在模拟选科中选择了“物理+化学”的概率；（2）从表中选择“物理+思想政治”的学生中随机选取2人参加座谈会，求这2人均来自高一（2）班的概率；（3）该校在本学期期末考试之后组织高一学生进行了第二次选科，现从高一（1）班和高一（2）班各随机选取1人进行访谈，发现他们在第二次选科中都选择了“物理+历史”.根据这一结果，能否认为在第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化？说明理由.【答案】（1）2578（2）310（3）答案见解析【解析】【分析】（1）（2）根据古典概型的概率公式即可求解，（3）根据小概率事件即可求解.【小问1详解】依题意得高一（1）班和高一（2）班学生共有403878+=人，即该随机试验的样本空间有78个样本点.设事件A =“此人在模拟选科中选择了“物理+化学”，则事件A 包含101525+=个样本点，所以()2578P A =.【小问2详解】依题意得高一（1）班选择“物理+思想政治”的学生有2人，分别记为12,A A ；高一（2）班选择“物理+思想政治”的学生有3人，分别记为123,,B B B .该随机试验的样本空间可以表示为：Ω={12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B }即()Ω10n =.设事件B =“这2人均来自高一（2）班”，则{}121323,,B B B B B B B =，所以()3n B =，故()()()3Ω10n B P B n ==.【小问3详解】设事件C =“从高一（1）随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件D =“从高一（2）班随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，事件E =“这两人在第二次选科中都选择了“物理+历史”.假设第二次选科中选择“物理+历史”的人数没有发生变化，则由模拟选科数据可知，()()11,4038P C P D ==.所以()()()()11140381520P E P CD P C P D ===⨯=.答案示例1：可以认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生变化.理由如下：()P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化.答案示例2：无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否发生变化.理由如下：事件E 是随机事件，()P E 虽然比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，所以无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否有变化.19.已知函数()2log 2ax f x x -=+（0a >且1a ≠）．（1）求()f x 的定义域；（2）若当2a =时，函数()()g x f x b =-在()2,+∞有且只有一个零点，求实数b 的范围；（3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，若存在，求出实数a 的范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()(),22,∞∞--⋃+（2）(),0∞-（3）存在；3220,2a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由202x x ->+可得()f x 的定义域；（2）注意到()24122x t x x x -==-++在()2,∞+上单调递增，则()f x 在()2,∞+，即b 的范围是就是()f x 在()2,∞+上的值域；（3）由题可得01a <<，则问题转化为22x ax x -=+在()2,∞+上有两个互异实根，即可得答案.【小问1详解】由202x x ->+，得<2x -或2x >．∴()f x 的定义域为()(),22,∞∞--⋃+；【小问2详解】令()24122x t x x x -==-++，因函数42=+y x 在()2,∞+上单调递减，则()t x 在()2,∞+上为增函数，故()t x 的值域为()0,1.又2a =，∴()f x 在()2,∞+上为增函数；函数()()g x f x b =-在()2,∞+有且只有一个零点，即()f x b =在()2,∞+有且只有一个解，∵函数()f x 在()2,∞+的值域为(),0∞-，∴b 的范围是(),0∞-．【小问3详解】假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，由m n <且1log a n +1log a m <+，可得01a <<．又由（2）()412t x x =-+在()2,∞+上为增函数，log a y x =在()2,∞+上为减函数.则()f x 在()2,∞+上为减函数，得()()()()2log 1log log 22log 1log log 2a a a aa a m f m m am m n f n n an n -⎧==+=⎪⎪+⎨-⎪==+=⎪+⎩.即22x ax x -=+在()2,∞+上有两个互异实根，因()2221202x ax ax a x x -=⇒+-+=+即()()2212g x ax a x =+-+，有两个大于2的相异零点.设()g x 零点为12,x x ，则()()()()212122180Δ02144220221240a a a x x a x x a aa ⎧⎪-->⎧>⎪-⎪⎪+>⇒->⎨⎨⎪⎪-->⎩⎪-++>⎪⎩.解得302a -<<．又∵01a <<，故存在这样的实数30,2a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭符合题意．20.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，且00x ≠，满足()()00f x f x -=，则称()f x 为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“弱奇函数”.（1）判断函数()31,0,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）（2）已知函数()()21g x x x =-+，试判断()g x 为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足()()00g x g x -=-的0x 的值，若不是，请说明理由；（3）若()43,4x h x x x ≥=+<⎪⎩为其定义域上的“弱奇函数”.求实数m 取值范围.【答案】（1）弱奇函数（2）()g x 不是其定义域上的“弱奇函数”.（3）15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可；（2）对x 分类讨论即可；（3）首先由20x mx -≥在[)4,+∞上恒成立，求出m 的取值范围，依题意存在实数0x 使得()()00h x h x -=-，分04x ≥、044x -<<、04x ≤-三种情况讨论，分别结合方程有解求出m 的取值范围，即可得解.【小问1详解】当0x <时，则0x ->，若31x x=-，无实数解，舍去；若31x x=--，解得=1x -（正舍），当0x >时，则0x -<，若31x x-=，无实数解，舍去；若31x x-=-，解得1x =（负舍），则存在实数01x =±，满足()()00f x f x -=-，则()f x 是“弱奇函数”，【小问2详解】假设()()21g x x x =-+为其定义域上的“弱奇函数”，则()()2121x x x x -+=+-，若1x >，则()()()()2121x x x x -+=+-，则0x =，舍去；若11x -≤≤，则()()()()2121x x x x -+=+-，则x =若1x ≤-，则()()()()2121x x x x -+=+-，则0x =，舍去；从而()()00g x g x -=-无解，所以()g x 不是其定义域上的“弱奇函数”.【小问3详解】由20x mx -≥在[)4,+∞上恒成立，转化为m x ≤在[)4,+∞上恒成立，即4m ≤.因为()43,4x h x x x ≥=+<⎪⎩为其定义域上的“弱奇函数”，所以存在实数0x 使得()()00h x h x -=-，当04x ≥时，则04x -≤-，所以03x -+=，即03x -=，所以()220003x x mx -=-，0069x mx -+=-，即096m x =-在[)4,+∞有解可保证()f x 是“弱奇函数"，所以15,64m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，又因为4m ≤，所以15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当044x -<<时，044x -<-<，此时()00330x x -+--=，不成立；当04x ≤-时，则04x -≥()03x =-+，则22000069x mx x x +=++，即()069m x -=，即096m x =+在(],4-∞-有解可保证()f x 是“弱奇函数”，所以15,64m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由4m ≤可知15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上所述，实数m 的取值范围为15,44m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题属于新定义问题，对于新定义问题，关键是理解所给定义，将问题转化为方程有解，分段函数注意分类讨论.。
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(答案+解析)(4)
2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则A∩（∁U B）=（）A．{5} B．{2，4} C．{2，4，5，6} D．{1，2，3，4，5，7}2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是（）A．y=sin x B．y=cos x C．y=ln x D．y=x33．（5分）已知平面向量=（1，﹣2），=（2，m），且∥，则m=（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣44．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．5．（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．， B．，C．，D．，6．（5分）已知a=sin80°，，，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a7．（5分）已知cosα+cosβ=，则cos（α﹣β）=（）A．B．﹣C．D．18．（5分）已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是（）A．（0，﹣2] B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2] D．[2，+∞）10．（5分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）和g（x）均为奇函数，h（x）=af（x）+bg（x）+2在区间（0，+∞）上有最大值5，那么h（x）在（﹣∞，0）上的最小值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．﹣3 D．512．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2017）B．（1，2018）C．[2，2018] D．（2，2018）二、填空题13．（5分）已知tanα=3，则的值．14．（5分）已知，则的值为．15．（5分）已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到y=g（x）的图象，则g（x）在上的值域为．16．（5分）下列命题中，正确的是．①已知，，是平面内三个非零向量，则（）=（）；②已知=（sin），=（1，），其中，则；③若，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的值为2；④O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．三、解答题17．（10分）已知=（4，3），=（5，﹣12）．（Ⅰ）求||的值；（Ⅱ）求与的夹角的余弦值．18．（12分）已知α，β都是锐角，，．（Ⅰ）求sinβ的值；（Ⅱ）求的值．19．（12分）已知函数f（x）=cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．20．（12分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0．当x＞0时，f（x）=﹣4x+8×2x+1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣3，﹣1]时，求f（x）的最大值和最小值．21．（12分）已知向量=（），=（cos），记f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若，求的值；（Ⅲ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，若函数y=g（x）﹣k在上有零点，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值；（3）是否存在m，使f（2（）2﹣4）+f（4m﹣2（））＞0对任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，B={1，3，5，7}，∴C U B={2，4，6}，又A={2，4，5}，则A∩（C U B）={2，4}．故选B.2．A【解析】y=sin x为奇函数，且以2π为最小正周期的函数；y=cos x为偶函数，且以2π为最小正周期的函数；y=ln x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3为奇函数，不为周期函数．故选A．3．D【解析】∵∥，∴m+4=0，解得m=﹣4．故选：D．4．A【解析】∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ），又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z），∵，∴取k=0，得φ=﹣，故选：A．5．B【解析】对于A，，，是两个共线向量，故不可作为基底．对于B，，是两个不共线向量，故可作为基底．对于C，，，是两个共线向量，故不可作为基底．．对于D，，，是两个共线向量，故不可作为基底．故选：B．6．B【解析】a=sin80°∈（0，1），=2，＜0，则b＞a＞c．故选：B．7．B【解析】已知两等式平方得：（cosα+cosβ）2=cos2α+cos2β+2cosαcosβ=，（sinα+sinβ）2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ=，∴2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，即cosαcosβ+sinαsinβ=﹣，则cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣．故选B.8．C【解析】由已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），可得•（2+）=2+=0，设与的夹角为θ，则有2+||•4||•cosθ=0，即cosθ=﹣，又因为θ∈[0，π]，所以θ=，故选：C．9．B【解析】；∴有；所以根据对数函数log0.4x的图象即可得到：=﹣2；∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．故选B．10．A【解析】图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．11．B【解析】令F（x）=h（x）﹣2=af（x）+bg（x），则F（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，h（x）≤5，∴x∈（0，+∞）时，F（x）=h（x）﹣2≤3．又x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），∴F（﹣x）≤3⇔﹣F（x）≤3⇔F（x）≥﹣3．∴h（x）≥﹣3+2=﹣1，故选B．12．D【解析】作出函数的图象，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2017x=1，解得x=2017，即x=2017，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2017，因此可得2＜a+b+c＜2018，即a+b+c∈（2，2018）．故选：D．二、填空题13．【解析】===，故答案为：.14．﹣1【解析】∵，∴f（）==，f（）=f（）﹣1=cos﹣1=﹣=﹣，∴==﹣1．故答案为：﹣1．15．[﹣1，]【解析】将函数=sin2x+﹣=sin（2x+）的图象，向左平移个单位长度后得到y=g（x）=sin（2x++）=﹣sin2x的图象，在上，2x∈[﹣]，sin2x∈[﹣，1]，∴﹣sin（2x）∈[﹣1，]，故g（x）在上的值域为[﹣1，]，故答案为：[﹣1，]．16．②③④【解析】①已知，，是平面内三个非零向量，则（）•=•（）不正确，由于（）•与共线，•（）与共线，而，不一定共线，故①不正确；②已知=（sin），=（1，），其中，则•=sinθ+=sinθ+|sinθ|=sinθ﹣sinθ=0，则，故②正确；③若，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）=1﹣tanα﹣tanβ+tanαtanβ=1﹣tan（α+β）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ=1﹣（﹣1）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ=2，故③正确；④∵，λ∈（0，+∞），设=，=，=+λ（+），﹣=λ（+），∴=λ（+），由向量加法的平行四边形法则可知，以，为邻边的平行四边形为菱形，而菱形的对角线平分对角∴直线AP即为A的平分线所在的直线，即一定通过△ABC的内心，故④正确．故答案为：②③④.三、解答题17．解：（Ⅰ）根据题意，=（4，3），=（5，﹣12）．则+=（9，﹣9），则|+|==9，（Ⅱ）=（4，3），=（5，﹣12）．则•=4×5+3×（﹣12）=﹣16，||=5，||=13，则cosθ==﹣．18．解：（Ⅰ）∵α，β都是锐角，且，．∴cos，sin（α+β）=，∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=；（Ⅱ）=cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2×．19．解：f（x）=cos2x﹣2sin x cos x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）（1）T=π（2）∵∴20．解：由f（x）+f（﹣x）=0．当，则函数f（x）是奇函数，且f（0）=0，当x＞0时，f（x）=﹣4x+8×2x+1．当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣4﹣x+8×2﹣x+1．由f（x）=﹣f（﹣x）所以：f（x）=4﹣x﹣8×2﹣x﹣1．故得f（x）的解析式；f（x）=（Ⅱ）x∈[﹣3，﹣1]时，令，t∈[2，8]，则y=t2﹣8t﹣1，其对称轴t=4∈[2，8]，当t=4，即x=﹣2时，f（x）min=﹣17．当t=8，即x=﹣3时，f（x）max=﹣1．21．解：（Ⅰ）f（x）==sin cos+=sin+=sin（+）+，由2kπ+≤+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，所以f（x）的单调递减区间是[4kπ+，4kπ+]．（Ⅱ）由已知f（a）=得sin（+）=，则a=4kπ+，k∈Z．∴cos（﹣a）=cos（﹣4kπ﹣）=1．（Ⅲ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）=sin（﹣）+的图象，则函数y=g（x）﹣k=sin（﹣）+﹣k．∵﹣≤﹣≤π，所以﹣sin（﹣）≤1，∴0≤﹣sin（﹣）+≤．若函数y=g（x）﹣k在上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，]上有交点，所以实数k的取值范围为[0，]．22．（1）证明：令x=0，y=0，则f（0）=2f（0），∴f（0）=0．令y=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x），∴﹣f（x）=f（﹣x），即f（x）为奇函数；（2）解：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵当x＞0时，f（x）＞0，且x1＜x2，∴f（x2﹣x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数，∴当x=﹣2时，函数有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．当x=6时，函数有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3；（3）解：∵函数f（x）为奇函数，∴不等式可化为，又∵f（x）为增函数，∴，令t=log2x，则0≤t≤1，问题就转化为2t2﹣4＞2t﹣4m在t∈[0，1]上恒成立，即4m＞﹣2t2+2t+4对任意t∈[0，1]恒成立，令y=﹣2t2+2t+4，只需4m＞y max，而（0≤t≤1），∴当时，，则．∴m的取值范围就为．。
2023-2024学年北京市海淀区高一上学期期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高一上学期期末考试数学试题一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则()A. B. C. D.2.某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了()A.150人B.200人C.250人D.300人3.命题“”的否定是()A. B.C. D.4.方程组的解集是()A. B.C. D.5.某部门调查了200名学生每周的课外活动时间单位：，制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是，并分成五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h的人数是()A.56B.80C.144D.1846.若实数a，b满足，则下列不等式成立的是()A. B. C. D.7.函数的零点所在的区间为()A. B. C. D.8.在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是()A. B.C. D.9.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是()A. B. C. D.10.已知，则实数a，b，c的大小关系是()A. B. C. D.11.已知函数，则“”是“为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知函数，则不等式的解集为()A. B. C. D.13.科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是()A. B. C.1 D.14.已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
海淀区2018-2019高一年级期末统一考试数 学2019.01学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,2}A =，{|02}B x x =<<，则AB = ( )（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{02}x x <≤ （2）已知向量(,6)m =a ，(1,3)=-b ，且ab ，则m = ( )（A ）18 （B ）2 （C ）18- （D ）2-（3）下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上是增函数的是 （ ）（A ）()2x f x -= （B ）3()f x x = （C ）()lg f x x = （D ）()sin f x x =（4）命题2:2,10p x x ∀>->，则p ⌝是 （ ）（A ）22,10x x ∀>-≤ （B ）22,10x x ∀≤-> （C ）22,10x x ∃>-≤ （D ）22,10x x ∃≤-≤ （5）已知3tan 4α=，sin 0α<，则cos α= （ ） （A ）35 （B ）35- （C ）45 （D ）45- （6）若角α的终边经过点0(1,)y ，则下列三角函数值恒为正的是（ ）（A ）sin α （B ）cos α（C ）tan α（D ）sin(π)α+（7）为了得到函数πsin()3y x =--的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点（ ）（A ） 向左平移2π3个单位长度 （B ） 向左平移π3个单位长度 （C ） 向右平移π3个单位长度 （D ） 向右平移5π3个单位长度（8）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 相交于点P .过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为()f α. 则下列关于函数()f α的说法正确的是 （ ）（A ）()f α的定义域是π{|2π,}2k k αα≠+∈Z （B ）()f α的图象的对称中心是π(π,0),2k k +∈Z（C ）()f α的单调递增区间是[2π,2ππ],k k k +∈Z （D ）()f α对定义域内的α均满足(π)()f f αα-= 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）已知()ln f x x =，则2(e )f = .（10）已知(1,2)=a ，(3,4)=b ，则⋅=a b ______；2-=a b ______. （11）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5}B =，集合S 满足S A ¹Ì，SB A =.则一个满足条件的集合S 是 .（12）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ³时，()f x x =，则不等式()20f x ->的解集是 .（13）如图，扇形AOB 中，半径为1，AB 的长为2，则AB 所对的圆心角的大小为 弧度；若点P 是AB 上的一个动点，则当OA OP OB OP ⋅-⋅取得最大值时，,OA OP <>= .（14）已知函数122, ,()2,.x x a f x x a x a -⎧<=⎨-+≥⎩（Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是________；（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =.在①12-； ②12；③1；⑤32中，函数()f x 的包容数是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.BO（15）（本小题共11分） 已知函数π()2sin(2)3f x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数ππ()([,])66f x x T ∈--+的简图，并直接写出函数()f x 在区间π2[,π]63上的取值范围.(16)（本小题共10分）已知函数2()f x x bx c =++，存在不等于1的实数0x 使得00(2)()f x f x -=.（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）直接写出(3)c f 与(2)cf 的大小关系.(17)（本小题共11分）如图，在四边形OBCD 中，2CD BO =，2OA AD =，90D ∠=︒，且1BO AD ==. （Ⅰ）用,OA OB 表示CB ；（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且3AB AP =，求cos PCB ∠的值.(18)（本小题共12分）设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得12()()2f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的ℱ区间.（Ⅰ）判断(,)-∞+∞是否是函数31xy =+的ℱ区间;（Ⅱ）若1[,2]2是函数log a y x =（其中0,1a a >≠）的ℱ区间，求a 的取值范围; （Ⅲ）设ω为正实数，若[π,2π]是函数cos y x ω=的ℱ区间，求ω的取值范围.附加题：（本题满分5分。
所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）声音靠空气震动传播，靠耳膜震动被人感知.声音可以通过类似于图①和图②的波形曲线来描述，图①和图②是一位未成年女性和一位老年男性在说“我爱中国”四个字时的声波图，其中纵坐标表示音量（单位：50分贝），横坐标代表时间（单位：52.310-⨯秒）.声音的音调由其频率所决定，未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2倍.下面的图③和图④依次为上面图①和图②中相同读音处的截取的局部波形曲线，为了简便起见，在截取时局部音量和相位做了调整，使得二者音量相当，且横坐标从0开始.已知点()800,0位于图④中波形曲线上.（Ⅰ）描述未成年女性声音的声波图是_____；（填写①或②）（Ⅱ）请你选择适当的函数模型()[],0,2000y f x x =∈来模仿图④中的波形曲线：()f x =___________________________（函数模型中的参数取值保留小数点后2位）.高一年级期末统一练习数 学参考答案及评分标准 2019．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）2 （10）11（11）{1,2,3,4}（或{1,2,4,5}或{1,2,4}） （12）{|1,x x <-或1}x > （13）2；0 （14）0a <或2a >；②③ 注：两空的题，每空2分；（12）题对一半（只答出1x <-，或1x > ），给2分；（14）题第一空，答对一半给1分，第二空，有错选，此空得0分，若只少选一个给1分。
三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分11分） 解：（Ⅰ）2ππ2T ==. ……………………2分 （Ⅱ）由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z 得 ……………………4分5ππππ1212k x k -+≤≤+， k ∈Z . 所以 函数()f x 的单调递增区间是：5ππ[π,π]1212k k -++，k ∈Z . ……………………6分（Ⅲ）函数ππ()([,])66f x x T ∈--+的简图如图所示. ……………………8分函数()f x 在区间π2[,π]63上的取值范围是[-. ……………………11分注：[-中每一个端点正确给1分，括号正确1分。
（16）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为 实数0x 使得00(2)()f x f x -=，所以 220000(2)(2)x b x c x bx c -+-+=++， ……………………1分即0(24)(1)0b x +-=. 因为 01x ≠，所以 240b +=，即2b =-. ……………………3分 经检验，2b =-满足题意，所以 2b =-.（Ⅱ）函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，证明如下： ……………………4分 任取1x ，2x (1,)∈+∞，当12x x <时，12120,20x x x x -<+->.所以 1212()(2)0x x x x -+-<. ……………………6分所以 22121122()()2(2)f x f x x x x x -=--- ……………………7分2212121212(22)()(2)0x x x x x x x x =---=-+-<，即12()()f x f x <.所以 函数()f x 在(1,)+∞上单调递增. ……………………8分（Ⅲ）当0c =时，(3)(2)c cf f =；当0c ≠时，(3)(2)c cf f >. ……………………10分注：直接答(3)(2)c c f f ≥，给2分；若只有(3)(2)c cf f >，给1分。
（17）（本小题满分11分）（Ⅰ）因为 2OA AD =， 所以32DO AO =……………………1分因为 2CD BO =，所以=++CB CD DO OB……………………3分322BO AO OB =++ 32OA OB =--. ……………………5分（Ⅱ）因为 2CD BO =， 所以 OBCD . ……………………6分因为 2OA AD =， 所以 点,,O A D 共线. 因为 90D ∠=︒， 所以 90O ∠=︒.以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 因为 1BO AD ==，2CD BO =，2OA AD =， 所以 (2,0), (0,1), (3,2)A B C .所以 (1,2)AC =，(2,1)AB =-. ……………………7分 因为 点P 在线段AB 上，且3AB AP =， 所以 121(,)333AP AB ==- . ……………………8分 所以 55(,)33CP AP AC =-=--. ……………………9分 因为 (3,1)CB =--，所以553cos 55CP CB PCB CP CB+⋅∠===⋅. ……………………11分 （18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）(,)-∞+∞不是函数31xy =+的ℱ区间，理由如下： ……………………1分因为 对(,)x ∀∈-∞+∞，30x>，所以 311x+>. ……………………2分 所以 12,(,)x x ∀∈-∞+∞均有12(31)(31)2x x+++>， 即不存在12,(,)x x ∈-∞+∞，12x x ≠，使得12()()2f x f x +=.所以 (,)-∞+∞不是函数31xy =+的ℱ区间. ………………………3分 （Ⅱ）由1[,2]2是函数log a y x =（其中0,1a a >≠）的ℱ区间，可知 存在121,[,2]2x x ∈，12x x ≠，使得12log log 2a a x x +=.所以 212x x a =. ……………………4分因为 121212,212,2,x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪≠⎪⎪⎩所以12144x x <<，即2144a <<. ……………………5分 又因为 0a >且1a ≠， 所以 1(,1)(1,2)2a ∈. ……………………6分（Ⅲ）因为 [π,2π]是函数cos y x ω=的ℱ区间，所以 存在12,[π,2π]x x ∈，12x x ≠，使得12cos cos 2x x ωω+=.所以 12cos 1,cos 1.x x ωω=⎧⎨=⎩ ……………………7分所以 存在,k l ∈Z ，使得122π,2π.x k x l ωω=⎧⎨=⎩不妨设12π2πx x ≤<≤. 又因为 0ω>， 所以 12π2πx x ωωωω≤<≤. 所以 222k l ωω≤<≤.即在区间[,2]ωω内存在两个不同的偶数. ……………………8分 ①当4ω≥时，区间[,2]ωω的长度24ωω-≥，所以 区间[,2]ωω内必存在两个相邻的偶数，故4ω≥符合题意.……………………9分 ②当04ω<<时，有02228k l ωω<≤<≤<， 所以 2,2{2,4,6}k l ∈.（i ）当24,26k l =⎧⎨=⎩时，有4,62,ωω≤⎧⎨≤⎩即34ω≤≤.所以 34ω≤<也符合题意. ……………………10分 （ii ）当22,24k l =⎧⎨=⎩时，有2,42,ωω≤⎧⎨≤⎩即2ω=.所以 2ω=符合题意.（iii ）当22,26k l =⎧⎨=⎩时，有2,62,ωω≤⎧⎨≤⎩即2,3.ωω≤⎧⎨≥⎩此式无解.综上所述，ω的取值范围是{2}[3,)+∞. ……………………12分 附加题（Ⅰ）② ……………………2分 （Ⅱ）cos0.03x （答案不唯一） ……………………5分注：对于其它正确解法，相应给分.。