等差数列和等比数列的综合应用

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等差数列和等比数列的综合应用

1．等差数列的常用性质：

⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ．

⑵ {a n }是等差数列， 则{a kn } (k ∈N *，k 为常数)是 数列． ⑶ S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列．

2．在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．

⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组 ⎩⎨

⎧<≥+00

1n n a a 可解得S n 达到最 值时n 的值． ⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组

⎪⎩

⎪

⎨⎧可解得S n 达到最小值时n 的值．

3．等比数列的常用性质：

⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ． ⑵ {a n }是等比数列，则{a 2n }、{

n

a 1

}是 数列． ⑶ 若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列． 4．求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： （1）．等差数列的前n 项和公式： S n ＝ ＝ ．

（2）．等比数列的前n 项和公式： ① 当q ＝1时，S n ＝ ． ② 当q≠1时，S n ＝ ．

（3）．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．

（4）．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．

例1. 数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3

1S n ，n ＝1，2，3…… 求：⑴ a 2、a 3、a 4的值及{a n }的通项公式；

⑵ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值.

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解析：(1)由a 1＝1，a n ＋1＝31S n ，n ＝1，2，3，…得a 2＝31S 1＝31a 1＝3

1，a 3＝3

1S 2＝3

1(a 1＋a 2)＝9

4，a 4＝3

1S 3＝3

1(a 1＋a 2＋a 3)＝

27

16 由a n ＋1－a n ＝3

1(S n －S n －1)＝3

1a n (n≥2)，得a n ＋1＝3

4a n (n≥2)，又a 2＝3

1

，∴a n ＝31·(3

4)n －

2(n≥2)

∴ {a n }通项公式为a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅=-2)3

4(311

12n n n

(2) 由(1)可知a 2、a 4、…a 2n 是首项为31，公比为(3

4)2，项数为n 的等比数列.

∴ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝31×2

2)3

4(1)34

(1--n ＝73[(3

4

)2n －1] 变式训练1.设数列{}n a 的前n 项的和14122333

n n n S a +=

-⨯+，......3,2,1=n 求首项1a 与通项n a 。

解析：（I ）2111412

2333a S a ==

-⨯+，解得：12a = ()21111441

22333n n n n n n n a S S a a +++++=-=---()11242n n n n a a ++⇒+=+

所以数列{}

2n n a +是公比为4的等比数列

所以：

()11

1224n n n a a -+=+⨯

得：42n n

n a =- （其中n 为正整数

例2. 已知数列：1，⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+211，⎪⎭

⎫ ⎝

⎛++412

11，⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+++814

1211，

…，⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+++-12141

211n ，求它的前n 项的和S n ．

3

解：∵ a n ＝1＋2

1

＋4

1＋……＋

1

21-n

＝⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=--

n n 21122

11211 ∴a n ＝2－121-n

则原数列可以表示为：

(2－1)，⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-212，⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-2212，⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-3212，…⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

--12

12n

前n 项和S n ＝(2－1)＋⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-212＋⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-2212＋…＋⎪⎭

⎫ ⎝

⎛--12

12n

＝2n －⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++

+-1221212

1

1n ＝2n －2

1211-

-

n ＝2n －2⎪⎭⎫

⎝⎛-n 211 ＝

1

2

1-n ＋2n －2

变式训练2.数列 ,16

1

4,813,412

,211前n 项的和为 （ ）

A ．2212n n n ++

B ．12212+++-n

n n C ．2212n n n ++- D ． 22

121n

n n -+-+

答案:B 。解析：2111(1)11234122222

n

n n n n S n +=++++++

+=+- 例3. 求S n ＝1＋

211+＋3211++＋…＋n

++++ (3211)

．