杨辉三角与二项式定理
杨辉三角和二项式定理
杨辉三角和二项式定理杨辉三角和二项式定理是数学中经典的基本概念和定理，被广泛应用于组合数学、数理统计、微积分等领域。
本文将介绍杨辉三角和二项式定理的定义、性质以及应用。
一、杨辉三角杨辉三角是一种数学图形，是由数字排列成三角形的形式，数字排列的规律性很强，主要是由二项式系数的各个项的系数构成的，又称为帕斯卡三角。
杨辉三角的构造方法如下：1.第一行写上数字1；2.从第二行开始，每相邻的两个数字都是上一行数字的相邻两个数字之和；例子：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1二、二项式定理二项式定理是代数学中的基本定理，它阐述了将一个二项式求幂的基本方法。
二项式定理的全称为“任意实数a和b以及非负整数n，有：(a+b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + … + C(n, n)b^n”其中C(n, k)为组合数，在组合数学中有明确的定义，即从n个不同元素中选取k个元素的不同组合数。
组合数用符号C(n, k)表示，其计算公式为：C(n, k) = n! / [k! (n-k)!]这样，我们就得到了二项式定理的定义。
三、杨辉三角和二项式定理的联系和应用二项式定理中的系数C(n, k)可以在杨辉三角中找到，这也是杨辉三角的一个重要应用。
具体来说，杨辉三角的第n行第k个数就是C(n, k)。
另外，杨辉三角还可以用来计算排列组合中的一些问题。
例如，需要在n个元素中选取m个元素的不同组合数，这就可以通过杨辉三角中的组合数来解决。
杨辉三角和二项式定理还可以应用于微积分中的泰勒公式、数理统计中的二项分布等问题。
在统计学中，二项分布是一个离散的概率分布，用来计算在n个独立的是/非试验中成功k次的概率。
杨辉三角和二项式定理在数学中属于基本概念和基本定理，对于理解和应用数学知识是非常重要的。
通过了解杨辉三角和二项式定理的定义和性质，可以更好地应用它们来解决实际问题。
杨辉三角与二项式定理
杨辉三⾓与⼆项式定理⾸先杨辉三⾓是啥：利益⽅⾯，把（a + b）^n 展开，将会得到⼀个关于x的多项式： （a + b）^0 = 1 （a + b）^1 = a + b （a + b）^2 = a^2 + 2*a*b + b^2 （a + b）^3 = a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 （a + b）^4 = a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4系数正好跟杨辉三⾓⼀致。
⼀般的，有⼆项式定理：所以，（a + b）^n 是n个括号连乘，每个括号⾥任选⼀项乘起来都会对最后的结果有⼀个影响。
如果选择了 k 个 a，就⼀定会选择 n - k个 b,最后的项也就是 a^(n-k)*b^k 。
然⽽从n个a⾥选择k个有多少种⽅法呢？有 C（k ， n）种⽅法，这就是组合数的定义。
给定 n ,如何求出（a + b）^n 中所有项的系数呢？⼀个⽅法是⽤递归，根据杨辉三⾓中不难发现的规律，可以写出程序：1 memset(c,0,sizeofcv));2for(int i = 0;i <= n;i++){3 c[i][0] = 1;4for(int j = 1;j <= i;j++)5 c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];6 }（以上的算法的时间复杂度是O（n^2））另⼀个⽅法是利⽤等式C( k, n) = ( n - k + 1) / ( k ) * C( k-1, n)，从C( 0, n) = 1开始从左往右递推，如下：c[0] = 1;for(int i = 1;i <= n;i++)c[i] = c[i-1]*(n-i+1)/i;可能不明显，却容易⽤组合数公式 C（k , n）= n! /( k! * (n - k)! )。
第3节 二项式定理与杨辉三角
第3节二项式定理与杨辉三角知识梳理1.二项式定理及相关概念一般地，当n是正整数时，有(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n.上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为(a＋b)n的展开式，它共有n＋1项，其中C k n a n－k b k是展开式中的第k＋1项(通常用T k＋1表示)，C k n称为第k＋1项的二项式系数，我们将T k＋1＝C k n a n－k b k称为二项展开式的通项公式.2.二项式系数的性质(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.3.杨辉三角具有以下性质(1)每一行都是对称的，且两端的数都是1；(2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和；(3)当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.(a＋b)n的展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.，C n n.(4)二项式系数从C0n，C1n，一直到C n－1n诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k是二项展开式的第k 项．( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 二项展开式中C k n an －k b k 是第k ＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确．2．(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A ．C m nB ．C m ＋1nC ．C m －1nD ．(－1)m －1C m －1n答案 D解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n (－1)m －1. 3．C 02022＋C 12022＋C 22022＋…＋C 20222022C 02021＋C 22021＋C 42021＋…＋C 20202021的值为( ) A ．2 B ．4C ．2022D ．2021×2022答案 B 解析 原式＝2202222021－1＝22＝4.4．(2020·北京卷)在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10 答案 C 解析T r ＋1＝C r 5(x )5－r(－2)r＝C r 5x5－r2·(－2)r，令5－r2＝2，∴r ＝1.x 2的系数为C 15(－2)1＝－10.故选C.5．(多选题)(2021·淄博调研)对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n(n ∈N *)，以下判断正确的有( )A ．存在n ∈N *，展开式中有常数项B ．对任意n ∈N *，展开式中没有常数项C ．对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项D ．存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项 答案 AD解析 该二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －k(x 3)k ＝C k n x 4k －n，∴当n ＝4k 时，展开式中存在常数项，A 选项正确，B 选项错误；当n ＝4k －1时，展开式中存在x 的一次项，D 选项正确，C 选项错误．故选AD.6．(2020·浙江卷)二项展开式(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 4＝__________，a 1＋a 3＋a 5＝__________. 答案 80 122解析 由题意，得a 4＝C 45×24＝5×16＝80.当x ＝1时，(1＋2)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243，① 当x ＝－1时，(1－2)5＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1.② 由①－②，得2(a 1＋a 3＋a 5)＝243－(－1)＝244， 可得a 1＋a 3＋a 5＝122.考点一 通项公式及其应用角度1 求二项展开式中的特定项 【例1】(1)(2021·新高考8省联考)(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数是( )A.60B.80C.84D.120(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 10的展开式中所有的有理项为________． 答案 (1)D (2)454x 2，－638，45256x －2解析 (1)(利用公式C m n ＋C m ＋1n ＝C m ＋1n ＋1)(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数为C 22＋C 23＋…＋C 29＝C 33＋C 23＋…＋C 29＝C 310＝120.(2)二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－12kx由题意10－2k3∈Z ，且0≤k ≤10，k ∈N . 令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数．∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2， －638，45256x －2.感悟升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．角度2 求二项展开式中特定项的系数【例2】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．20(2)已知(1＋ax )3＋(1－x )5的展开式中含x 3的系数为－2，则a 等于( ) A.2 3 B.2 C.－2 D.－1(3)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 (1)C (2)B (3)C解析 (1)法一 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x ＋y )5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x 5＋5x 4y ＋10x 3y 2＋10x 2y 3＋5xy 4＋y 5)，∴x 3y 3的系数为10＋5＝15.法二 当x ＋y 2x 中取x 时，x 3y 3的系数为C 35，当x ＋y 2x 中取y 2x 时，x 3y 3的系数为C 15，∴x 3y 3的系数为C 35＋C 15＝10＋5＝15.故选C.(2)(1＋ax )3＋(1－x )5的展开式中x 3的系数为C 33a 3＋C 35(－1)3＝a 3－10＝－2，则a 3＝8，解得a ＝2.(3)法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.法二 (x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积．∴x 5y 2可从其中5个因式中，两个取因式中x 2，剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，因此x 5y 2的系数为C 25C 13C 22＝30.感悟升华 1.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可． 2．求几个多项式和的特定项：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并，通常要用到方程或不等式的知识求解．3．三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形． 【训练1】 (1)(2020·长沙调研)若(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2，x 3的系数之和为－10，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1(2)(2021·合肥质检)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4＋4x 5的展开式中，x 2的系数为________．(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －18x 38的展开式中的常数项为________． 答案 (1)B (2)－960 (3)28解析 (1)由(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5，得x 2的系数为C 25＋a C 15＝5a ＋10，x 3的系数为C 35＋a C 25＝10a ＋10，又由展开式中x 2，x 3的系数之和为(5a ＋10)＋(10a ＋10)＝15a ＋20＝－10，解得a ＝－2.故选B.(2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4＋4x 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）2x 5＝（x －2）10x 5，所以x 2的系数为C 310(－2)3＝－960.(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －18x 38的通项为T r ＋1＝C r 8(2x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18x 3r＝C r 828－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－18r·x 8－4r . 令8－4r ＝0，得r ＝2， ∴常数项为T 3＝C 2826⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝28. 考点二 二项式系数的和与各项系数的和 问题【例3】 (1)(2021·郑州模拟)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( ) A ．－1 B ．1 C ．27 D ．－27(2)(多选题)(2021·武汉模拟)若(1－2x )2021＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2021x 2021(x ∈R )，则( ) A ．a 0＝1B ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝32021＋12 C ．a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2020＝32021－12 D.a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202122021＝－1 答案 (1)A (2)ACD解析 (1)依题意得2n ＝8，解得n ＝3.取x ＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.(2)由题意，当x ＝0时，a 0＝12021＝1，当x ＝1时，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2021＝(－1)2021＝－1， 当x ＝－1时，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2021＝32021， 所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝－32021＋12， a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2020＝32021－12，a 12＋a 222＋…＋a 202122021＝a 1×12＋a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋a 2021×⎝ ⎛⎭⎪⎫122021，当x ＝12时，0＝a 0＋a 1×12＋a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋a 2021×⎝ ⎛⎭⎪⎫122021，所以a 1×12＋a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋a 2021×⎝ ⎛⎭⎪⎫122021＝－a 0＝－1.感悟升华 1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法． 2．若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.【训练2】 (1)(2020·山西八校联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A ．29 B ．210 C ．211 D ．212(2)(多选题)(2021·济南调研)若(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则下列结论中正确的是( ) A ．a 0＝1B ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2C ．a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35D ．a 0－|a 1|＋a 2－|a 3|＋a 4－|a 5|＝－1 答案 (1)A (2)ACD解析 (1)由题意知C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.(2)令x ＝0，则a 0＝15＝1，故A 正确；令x ＝1得－1＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－a 0＝ －2，故B 错误；令x ＝－1得35＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，故C 正确；因为二项式(1－2x )5的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(－2)r x r ， 所以当r 为奇数时，C r 5(－2)r 为负数，即a i ＜0(其中i 为奇数)，所以a 0－|a 1|＋a 2－|a 3|＋a 4－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1，故D 正确． 考点三 二项式系数的最值问题【例4】已知(3x －1)n 展开式的第5项的二项式系数最大，且n 为偶数，则(3x －1)n 展开式中x 2的系数为( )A ．－252B ．252C ．－28D ．28 答案 B解析 由题意可得n ＝8，则(3x －1)8的展开式的通项是T r ＋1＝C r 8(3x )8－r·(－1)r ，令8－r ＝2，解得r ＝6，则展开式中x 2的系数为C 6832＝252.感悟升华 二项式系数最大项的确定方法：当n 为偶数时，展开式中第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为2n nC；当n 为奇数时，展开式中第n ＋12项和第n ＋32项的二项式系数最大，最大值为或.【训练3】⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A ．63x B.4xC ．4x 6x D.4x 或4x 6x答案 A解析 令x ＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n ＜32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2＝63x .考点四 二项式定理的逆用【例5】设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12022x ＋C 22022x 2＋C 32022x 3＋…＋C 20222022x 2022等于( )A ．0B ．－2C ．－1＋iD ．－1－i 答案 B解析 x ＝2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋i ，由于C 12022x ＋C 22022x 2＋C 32022x 3＋…＋C 20222022x2022＝(1＋x )2022－1＝i 2022－1＝－1－1＝－2.感悟升华 根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．【训练4】已知－C 1100(2－x )＋C 2100(2－x )2－C 3100(2－x )3＋…＋C 100100(2－x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99的值是( )A ．－1B ．－2C ．299－1D.299－12答案 B解析 记f (x )＝1－C 1100(2－x )＋C 2100(2－x )2－C 3100(2－x )3＋…＋C 100100(2－x )100－1＝[1－(2－x )]100－1＝(x －1)100－1，即(x －1)100－1＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100. 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝－1.令x ＝0，得a 0＝0，又易知a 100＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝－2.A 级 基础巩固一、选择题 1．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5，则x 等于( )A.17 B ．－17 C ．7 D ．－7 答案 B解析 由T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，得x ＝－17. 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20 答案 A解析 T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r ·(－2y )r ＝C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ·(－2)r ·x 5－r ·y r .当r ＝3时，展开式中x 2y 3的系数为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫122×(－2)3＝－20.故选A. 3．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．120答案 B解析 由2n ＝64，得n ＝6，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 6－2r (0≤r ≤6，r ∈N )． 由6－2r ＝0，得r ＝3.∴T 4＝C 36＝20.4．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 B解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.5．若(1－x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝( )A ．1B ．513C ．512D ．511答案 D解析 令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝－1，得|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.6．(多选题)(2021·威海调研)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式中x 3的系数是－160，则( ) A ．a ＝－12B ．所有项系数之和为1C ．二项式系数之和为64D ．常数项为－320答案 ABC解析 对选项A ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式中x 3项为C 36(x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 3， 所以C 36·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＝－160，解得a ＝－12，故A 正确； 由A 知：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6， 令x ＝1，所有项系数之和为(1－2)6＝1，故B 正确；对选项C ，二项式系数之和为26＝64，故C 正确；对选项D ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的常数项为C 26(x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 4＝24C 26＝240，故D 错误． 7．若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( )A ．2n B.3n －12 C ．2n ＋1D.3n ＋12答案 D 解析 设f (x )＝(1＋x ＋x 2)n ，则f (1)＝3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ①，f (－1)＝1＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2n ②，由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝f (1)＋f (－1)，所以a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝f （1）＋f （－1）2＝3n ＋12. 8．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记a n 为图中第n 行各数之和，则a 5＋a 11的值为( )A ．528B ．1020C ．1038D ．1040答案 D 解析 a 5＝C 04＋C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝24＝16，a 11＝C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1024，所以a 5＋a 11＝1040.故选D.二、填空题9．(2020·天津卷)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 25的展开式中，x 2的系数是__________． 答案 10解析 ∵T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 5x 5－3r ，令5－3r ＝2，得r ＝1，∴T 2＝2C 15x 2＝10x 2，∴x 2的系数是10.10．在(1－3x )7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6的展开式中，若x 2的系数为19，则a ＝________． 答案 2解析 (1－3x )7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6的展开式中含x 2的项为C 67(－3x )6＋C 16(x )5⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1＝C 67x 2＋C 16x 2a ，则a C 16＋C 67＝19，解得a ＝2.11．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于________．答案 63解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.12．若(1－4x )2022＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2022·x 2022，则a 12＋a 222＋…＋a 202222022＝________．答案 0解析 取x ＝0，则a 0＝1；取x ＝12，则(－1)2022＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 202222022，所以a 12＋a 222＋…＋a 202222022＝1－a 0＝0.B 级 能力提升13．(2021·长春模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－14的展开式中，常数项为( ) A ．12 B ．11 C ．－11 D ．－12答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－14的通项为T k ＋1＝C k 4(－1)4－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2k，要求常数项，需求 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2k (k ＝0，1，2，3，4)的展开式中的常数项，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2k 的展开式的通项为 T r ＋1＝C r k ·x k －r ·x －2r ＝C r k ·xk －3r ，令k －3r ＝0⇒k ＝3r ，即k 是3的倍数，所以k ＝0或3.当k ＝0时，C 04(－1)4－0＝1；当k ＝3时，r ＝1，C 34·C 13·(－1)4－3＝－12，所以原式展开后的常数项为1＋(－12)＝－11，故选C.14．已知m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 B解析 由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1.∵13a ＝7b ，∴13·（2m ）！m ！m ！＝7·（2m ＋1）！m ！（m ＋1）！， 即137＝2m ＋1m ＋1，解得m ＝6. 15．9192除以100的余数是________．答案 81解析 9192＝(90＋1)92＝C 0929092＋C 1929091＋…＋C 9092902＋C 919290＋C 9292＝k ×100＋92×90＋1＝k ×100＋82×100＋81(k 为正整数)，所以9192除以100的余数是81.16．(2021·重庆调研)设(1－ax)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022，若a1＋2a2＋3a3＋…＋2022a2022＝2022a(a≠0)，则实数a＝________．答案2解析已知(1－ax)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022·x2022，两边同时对x求导，得2022(1－ax)2021(－a)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2022a2022x2021，令x＝1得，－2022a(1－a)2021＝a1＋2a2＋3a3＋…＋2022a2022＝2022a，又∵a≠0，所以(1－a)2021＝－1，即1－a＝－1，故a＝2.。
杨辉三角的规律以及推导公式
精心整理杨辉三角的规律以及定理二项式定理与杨辉三角1与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。
2的展开式来探讨。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)222此代数式的系数为：121由上式得出：(a+b)+2ab+b＝由此可发现，此代数式的系+3+b+3ab(a+b 的展开式是什么呢？答案为(a+b的展开式。
为133但似乎没有什么规律，所以让我们再来看b2+4a展开式为由此又可发现，代数式的系数为+4+b+6464似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1)1(1)11(112) 121(113) 1331(114) 14641(115) 15101051(116) 1615201561(11）1,4,6,4,1,（,1,2,1）（1,3,3,1）1,杨辉三角形的系数分别为：（1,1）,（：所以（）,1,7,21,35,35,21,7,1）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,17642547765233(a+b)=ab+7ab+21a+bb+35a+7abb+35a。
b+21a n的次数依次上b-n，n-n 等于a的次数依次下降、n-1、2...n由上式可以看出，(a+b) (2)方。
系数是杨辉三角里的系数。
、、升，01 杨辉三角的幂的关系2 精心整理．精心整理首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1(1)11(1+1=2)121(1+2+1=4)1331(1+3+3+1=8)14641(1+4+6+4+1=16)15101051(1+5+10+10+5+1=32)1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64)…相加得到的数136…刚好，6，…次幂，即杨辉三角行个数之和等n-次杨辉三角中斜行和水平行之间的关(1)1(2)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051n=61615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20精心整理．精心整理把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
杨辉三角与二项式系数(优秀课件1)
0 n
1 n
2 n
n n
知识探究3:
C
函数角度： r n 可以看成以r为自变量的函数
（2）增减性与最大值
f（r），其定义域是｛0,1,·,n｝。 · ·
图象法解释
f（r） 20
f（r） 35 30
n为奇数； 如n=7
15
20
10
6 1 O O
n 2
n
3 n4
2
7
r
n
n为偶数； 如n=6
①关于r=n/2对称
n1 2
C CC CC CC
0 6
1 6
2 6
3 6
4 6
5 6
6 6
1
6 15 20 15
6
1
课堂练习：
1） (a b) 的展开式中，二项式系数的最大值 是 ；
9
2）若 (a b) 的展开式中的第十项和第十一 项的二项式系数最大，则n= ；
n
二项式系数的性质
（a＋b） C a ＋C a ＝
且 a : b=3 : 1 ，那么 n =_____ （95上海高考）
11
一般地， a b)n 展开式的二项式系数 (
C , C ,C 有如下性质：
（1）C
m n
0 n
1 n
n n
C
nm n
（2）
n 2 n
C C
m n
m1 n
C
m n1
（3）当n为偶数时， C
当n为奇数时， C （4）
0 n 1 n
最大
n 1 2 = n
C
n 1 2 n
n
且最大
C C C 2
二项式定理(三)杨辉三角
倒序相加法
1.当n10时常用杨辉三角处理二项式 系数问题; 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值; 3.常用赋值法解决二项式系数问题.
学习小结:
求展开式的系数和 设(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.
求:(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值;
二项式定理(三)─杨辉三角
二项式定理(三)─杨辉三角
把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，当 n依次取1，2，3，…时，可列成下表： 在我国,很早 1 就有人研究过二 1 1 1 (a+b) → 项式系数表 , 南 1 2 1 (a+b)2→ 宋数学家杨辉在 1 3 3 1 (a+b)3→ 其所著的《详解 1 4 6 4 1 九章算法》中就 (a+b)4→ (a+b)5→ 1 5 10 10 5 1有出现. (a+b)6→ 1 6 15 20 15 6 1
课前复习：
1.二项式定理：
(a b) C a C a b C a b C b Tr 1 C a b ,(r 0,1,2, n) 第(r+1)项 2.通项规律：
n 0 n n n n n
1 n1 n r n r r n
r n r r n
3.二项式系数： C
n
0 1 2 Cn , Cn , Cn , r n , Cn ，, Cn .
C
f(r),其定义域是{0,1,2,…,n},当 n=6时，其图象是右图中的7个孤立 点.
r n 可看成是以r为自变量的函数
16108642-
. .. .. . .
3
6
9
r
杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思
杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思1. 引言1.1 介绍杨辉三角和二项式定理的概念杨辉三角是中国古代数学家杨辉创制的一种数字图形，它是通过不断累加上一行两个数字得到下一行中间的数字，形成一个三角形状的数字图案。
杨辉三角的特点是每个数字等于它上方两个数字之和。
这个数学工具不仅可以用来展示数字规律，还可以用来解决各种数学问题。
而二项式定理是代数学中的一个基本定理，它描述了两个数之和的幂被展开成一系列的多项式的规律。
简而言之，二项式定理即为幂的展开公式。
利用二项式定理，我们可以简单地计算高次幂的展开式，也可以帮助解决各种代数问题。
杨辉三角和二项式定理之间有着密切的联系。
在杨辉三角中，每行的数字可以视为二项式系数，而每一行之间的关系可以通过二项式定理来解释。
结合杨辉三角和二项式定理可以帮助学生更好地理解数学规律，提高他们的数学思维能力。
在教学实践中融入二项式定理，可以帮助学生更加直观地理解抽象的代数概念，激发他们对数学的兴趣和学习动力。
1.2 阐述融入二项式定理的重要性融入二项式定理是杨辉三角教学中至关重要的环节。
二项式定理是高中数学重要的概念之一，它可以帮助学生理解和运用数学知识，提高他们的数学思维能力和解题技巧。
将二项式定理融入杨辉三角教学中，可以更好地帮助学生理解数学概念，从而更深入地掌握知识点。
通过将杨辉三角和二项式定理进行结合教学，可以帮助学生建立起数学知识之间的联系，深化他们对数学概念的理解。
这种教学方法也可以激发学生对数学的兴趣，提高他们学习数学的积极性。
融入二项式定理对于杨辉三角教学的重要性不言而喻，它可以有效提升教学效果，让学生在学习过程中获得更多的知识和启发。
2. 正文2.1 教学实践一：引导学生观察杨辉三角的规律杨辉三角是数学中一种十分有趣且具有规律性的数列图形，它展示了组合数学中的一些重要概念。
在教学实践一中，我们要引导学生通过观察杨辉三角的结构和特点来理解其中的规律。
让学生观察杨辉三角的每一行数字是如何生成的。
二项式定理 杨辉三角
二项式定理杨辉三角杨辉三角的构造非常简单，每一行的数字都是由上一行的数字相加得到的。
首先，我们从顶部开始，写下两个数字1，然后每一行的两边都是1。
接下来，我们通过将上一行相邻两个数字相加得到下一行中间的数字。
这个过程一直继续下去，直到我们得到一个完整的杨辉三角形。
杨辉三角的排列规律非常有趣，它展示了数字之间的关系和规律。
在二项式定理中，我们研究的是一个二项式的幂的展开式。
一个二项式是由两个项组成的代数表达式，形式为(a+b)^n，其中a和b是实数，n是一个非负整数。
二项式定理告诉我们，当n为非负整数时，(a+b)^n可以展开为一系列项的和，每一项的形式为C(n,k) * a^(n-k) * b^k，其中C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
杨辉三角和二项式定理之间有着紧密的联系。
事实上，杨辉三角的每一行中的数字可以看作是展开式中的系数。
第n行的数字是(a+b)^n中的第n+1项的系数。
这是因为在展开式中，每一项的指数和为n，而杨辉三角的第n行中的数字正好是C(n,k)的值，其中k 取遍0到n。
因此，杨辉三角可以帮助我们理解和计算二项式的幂的展开式。
杨辉三角和二项式定理在数学中有着广泛的应用。
它们在代数、组合数学、概率论等领域都有重要的作用。
例如，在代数中，二项式定理可以用于计算多项式的乘方。
在组合数学中，杨辉三角可以帮助我们计算组合数，解决排列组合问题。
在概率论中，二项式定理可以用于计算二项分布的概率。
除了数学领域，杨辉三角和二项式定理还可以应用于其他学科和实际问题中。
例如，在计算机科学中，杨辉三角可以用于优化算法和图形处理。
在物理学中，二项式定理可以用于描述粒子的运动和能量转换。
在经济学中，它可以用于建模和预测市场走势。
这些都是杨辉三角和二项式定理的重要应用领域。
杨辉三角和二项式定理是数学中的重要概念和工具。
通过杨辉三角的构造和二项式定理的应用，我们可以更好地理解和计算代数表达式的展开式。
杨辉三角和二项式系数的关系
1 二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b) 2 的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b) 2 2+2ab+b 2 ＝a此代数式的系数为：1 2 1则(a+b) 3 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的展开式是什么呢？答案为：a由此可发现，此代数式的系数为：1 3 3 1但4似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)的展开式。
展开式为：a 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4 由此又可发现，代数式的系数为：1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 (11 0)1 1 (11 1)1 2 1 (11 2)1 3 3 1 (11 3)1 4 6 4 1 (11 4)1 5 10 10 5 1 (11 5)1 6 15 20 15 6 1 (11 6)杨辉三角形的系数分别为：1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（1,3,3,1 ）,（1,4,6,4,1 ）（1,5,10,10,5,1 ）,（1,6,15,20,15,6,1 ）,（1,7,21,35,35,21,7,1 ）所以：(a+b) 7=a 7+7a 6 b+21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7。
由上式可以看出，(a+b) n 等于a 的次数依次下降n 、n-1 、n- 2? n -n ，b 的次数依次上升，0、1、2? n 次方。
系数是杨辉三角里的系数。
2 杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，? 刚好是2 的0，1，2，3，4，5，6，? n 次幂，即杨辉三角第n 行中n 个数之和等于2 的n-1 次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7 行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2) 中第7 行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3) 中第7 行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4) 中第7 行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5) 中第7 行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6) 中第7 行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7 行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思
杨辉三角融入二项式定理的教学实践及反思1. 引言1.1 背景介绍杨辉三角是古代中国数学家杨辉创制的一种数学算法，它以一个等腰三角形的形式呈现，其中每个数字等于它上方两个数字之和。
杨辉三角不仅在数学研究中有着重要的应用，而且在教学实践中也常被用来帮助学生理解数学概念和规律。
而二项式定理则是代数学中的一个基本定理，它描述了两个数之和的幂展开的规律。
杨辉三角和二项式定理之间存在着密切的联系，通过对杨辉三角的分析可以更好地理解二项式定理的推导和应用。
在教学中将杨辉三角融入二项式定理的教学中，不仅可以帮助学生更好地掌握数学知识，还可以激发学生对数学的兴趣和研究欲望。
本文将探讨如何将杨辉三角融入二项式定理的教学实践中，以及通过实施效果评估和解决实际问题来增强教学效果和改进课程设计。
1.2 研究意义研究杨辉三角融入二项式定理的教学实践还具有推广价值。
教师可以借鉴相关教学方法和经验，将这种教学方式应用到其他数学知识的教学中，从而提高整体教学质量。
通过对教学实践的研究，可以探索更多具有启发性和创新性的教学方法，为数学教育的改革和发展提供新的思路和实践经验。
研究杨辉三角融入二项式定理的教学实践具有重要的理论和实践意义。
【内容已达到200字】1.3 研究方法研究方法是指本文所采用的研究途径和方法论。
本研究将采用文献综述、案例分析和实地调研相结合的方法，以系统性的方式探讨杨辉三角与二项式定理的联系，并通过教学实践来验证研究结果。
具体来说，我们将首先通过文献综述的方式，梳理和分析过往研究成果，找出现有研究中存在的问题和不足之处。
然后，我们将选取几个典型案例进行深入分析，探讨杨辉三角如何融入二项式定理教学中，以及可能存在的挑战和解决方案。
我们将在实地调研的基础上，设计并实施教学实践方案，收集和整理实施效果的数据，进行客观评估和分析。
通过以上方法的有机结合，我们希望能够全面深入地探讨杨辉三角和二项式定理之间的关系，为教学改进和课程设计提供有益建议和思路。
杨辉三角
与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。
例如在杨辉三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数（性质 8），第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数，即，以此类推。
又因为性质5：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
因此可得出二项式定理的公式为：因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。
求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。
用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”[3]。
杨辉三角数在杨辉三角中的出现次数由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A003016）。
最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。
120,210,1540等出现刚好六次。
（OEIS:A098565）因为丢番图方程有无穷个解，所以出现至少六次的数有无穷个多。
解为，其中F n表示第n个斐波那契数（F1=F2=1）。
3003是第一个出现八次的数。
这也是多项式(a+b) n打开括号后的各个项的n次项系数的规律即为0 (a+b) 0 (0 nCr 0)1 (a+b) 1 (1 nCr 0) (1 nCr 1)2 (a+b)2 (2 nCr 0) (2 nCr 1) (2 nCr 2)3 (a+b)3 (3 nCr 0) (3 nCr 1) (3 nCr 2) (3 nCr 3). ... ... ... ... ...杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。
“杨辉三角”与二项式系数的性质课件
练习 2. 已知an是等比数列,公比为q
求
a1C
0 n
a2Cn1
a3C
2 n
an
1C
n n
的值.
a1 (1 q)n
3.设an为等差数列, Sn 为其前 n 项的和( n N * )
求证:
a1Cn0
a2Cn1
a3C
2 n
an1C
n n
Sn1 2n n1
倒序相加法
运用二项式定理可解决许多问题，下面我们来做几个思考：
21
所以
1
2n1
3
1
2 (1
)n
3
n
思考3.求 9192 除以100的余数.
注:整除性问题或余数问题，主要根据二项式定理的特 点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，这是解此 类问题的最常用技巧.(余数要为正整数)
思考4.求证：3n ＞2n1 (n 2) (n∈N，且n≥2)
思考 5.求证:当 n N*且n 1 时, 2 (1 1 )n 3 . n
证明
(1
1 )n n
1 Cn1
1 n
Cn2
1 n2
n
1 1 Cn2
1 n2
2
通项C
k h
1 nk
n(n 1) (n k k!
1) 1 nk
≤
nk k!
1 nk
1 k!
(1
1 )n n
1
Cn1
1 n
Cn2
1 n2
Cnn
1 nn
≤2
1 2!
1 3!
1 n!
2
1 2
1 22
1 2n1
2
n(n 2
杨辉三角的规律以及推导公式
精心整理杨辉三角的规律以及定理1二项式定理与杨辉三角杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
222则为：11(11）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。
由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。
系数是杨辉三角里的系数。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1(1)11(1+1=2)121(1+2+1=4)1331(1+3+3+1=8)6，…n31615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
n(3)中第2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3、第n行的数字有n+1项。
4、第n行数字和为2(n-1)。
（2的(n-1)次方）5 (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
[1]6、第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质。
杨辉三角与二项式定理
一 五 十 十 五一
一 六 十五 二十 十五 六 一
二、杨辉简介:
杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学 教育家．著作甚多，著有《详解九章算法》十二卷 （1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三 卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二
卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日 本等国均有译本出版，流传世界。
四、总结
1、杨辉三角蕴含的基本性质 2、杨辉三角蕴含的数字排列规律
3、利用杨辉三角进行简单的应用
探究２：研究斜行规律：
第一条斜线上：
1+1+1+1+1+1= 6 C61 第二条斜线上： 1+2+3+4+5= 15 C62 第三条斜线上：1+3+6+10=
20 C63
第四条斜线上：1+4+10= 15 C64
设 (2x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，求 (2) | a0 | | a1 | | a 2| | a3 | | a4 | | a5 |;
解：设 f (x) (2x -1)5 a0 a1x a5x5, 则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 15 1
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3)5 243
(2) | a0 | | a1 | | a2 | | a5 | a0 a1 a2 a3 a4 a5
f (1) 243
设 (2x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，求 (3) a1 a3 a5;
都为1 的是第一行，第二次全行的数都为1 的是第3
行，……第n次全行的数都为1 的是第 2n－1 行
杨辉三角与二项式定理
a b1
11
a b2 a b3
121 1331
2、杨辉三角的基本性质和对称性
1.对 称 性：杨辉三角形的每一行中的
数字左右对称.
即Cnr
C nr n
2.基本性质：杨辉三角形的两条斜边都
是数字1，而其余的数都等于它肩上的两
个数字相加.
即Cnr
C r1 n1
Cr n1
性质3：增减性与最大值
二项式系数在对称轴的左边
11
是逐渐增大的.在对称轴右边
解：设 f (x) (2x -1)5 a0 a1x a5x5, 则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 15 1
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3)5 243
设 (2x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，求 (1) a0 a1 a2 a3 a4;
C 11＋＋11＋＋11＋＋ ．．．．．．＋＋11＝＝ 1 （（第第11条条斜斜线线 ）） n
C C11
C21
C31
C1 n1
2 （第2条斜线 ）
n
C C22
C32
C42
C2 n 1
3
n （第3条斜线 ）
Crr
Cr r 1
二项式定理与杨辉三角
知识对接测查1 1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项 式系数与第七项的二项式系数相等， 8 则n=__________
2 6 析: C n Cn n 2 6 8
[( x 1) 1]
4
x
4
研究性课题：
杨辉三角
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1
(a+b)n展开式的二项式系数
1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15
1 4 10 20
1 5 15
1 6
1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
杨 辉 三 角
第 0行 1 第 1行 1 1 第 2行 1 2 1 6=3+3 4=1+3 第 3行 1 3 3 1 10=6+4 10=6+4 第 4行 1 4 1 4 6 20=10+10 15=5+10 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1
…… …… 2 r n 2 r 1 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 r n 1 2 1 … … C C 第 n行 1 C n C n n n …… … …
n 0 n n k n 1 n 1 n n k k
b C b (n N )
n n n *
杨辉三角的规律以及推导公式
杨辉三角的规律以及推导公式文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968）杨辉三角的规律以及定理1二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。
由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为：121则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为：1331但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。
展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1(110)11(111)121(112)1331(113)14641(114)15101051(115)1615201561(116)杨辉三角形的系数分别为：1,（1,1）,（1,2,1）,（1,3,3,1）,（1,4,6,4,1）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。
由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。
系数是杨辉三角里的系数。
2杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1(1)11(1+1=2)121(1+2+1=4)1331(1+3+3+1=8)14641(1+4+6+4+1=16)15101051(1+5+10+10+5+1=32)1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64)……相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…n 次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1)1(2)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051n=61615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
【精品】杨辉三角应用
【精品】杨辉三角应用杨辉三角是一种经典的图形，也是一种非常有应用价值的数学工具。
在杨辉三角中，每一行的数字都是上一行数字的组合数之和，从而形成一个有规律的三角形。
换句话说，这个三角形可以用来计算从n个元素中选择k个元素的不同方法数量。
除了计算组合数之外，杨辉三角还有许多其他的应用。
一、数学定理杨辉三角是一个由排列组合与二项式系数构成的三角形，因此它可以用于研究这些数学对象。
实际上，杨辉三角可以帮助证明某些组合恒等式和二项式定理，这些都是非常基础的数学概念。
1. 二项式定理二项式定理是数学中非常基础的一个概念，它描述了两个数字的幂次和式展开的形式。
具体来说，它声称：$$(a + b)^ n = \sum _{k = 0} ^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ k $$其中$ {n \choose k} $是n个元素中选择k个元素的组合数。
比如说，我们可以用杨辉三角来证明这个公式。
事实上，杨辉三角的第n行是$ (a+b)^ n $的系数。
2. 组合恒等式组合恒等式指的是一类形如下列公式的恒等式：这个公式意味着，我们可以用第n-1行的数字来计算第n行的数字，这正是杨辉三角的精髓所在。
实际上，组合恒等式可以证明二项式定理，因为在二项式定理中，组合数是关键的。
二、统计学杨辉三角不仅在纯数学领域中有应用，它也有很多在统计学中的应用。
1. 投掷硬币假设你有一个有头和正反两面的硬币，并且你以50%的概率投掷每一次。
你可以使用杨辉三角来计算$n$次投掷中出现$m$次正面的不同方法数量。
具体而言，你可以计算杨辉三角的第$n$行中第$m+1$个数字，因为这个数字正是$n$次投掷中$m$个正面的不同方法数量。
2. 赌场游戏在赌场游戏中，杨辉三角也有应用。
例如，赌徒可以使用杨辉三角来计算获得$n$个数字中的$m$个数字的所有不同排列的数量。
这个问题可以很容易地转化为组合问题，并且可以通过计算杨辉三角来解决。
杨辉三角与二项式定理上课PPT学习教案
…… ……
Cnr
C r1 n1
C
r n1
… … 第n-1行
1
C C 1
2
n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
1
第n行 1
C
1 n
C
2 n
…
C
r n
…
…… … …
C n1 n
1
(a b)n
第3页/共27页
如图从，第写三出个斜数线起上各，行任数一字数的都和等，于有什前么两规个律数？的和; 这就是著名的斐波那契数列 。
Cn0Cnn
C n1C nn 1
C
n2C
n n
2
Cnn1C
1 n
CnnC
0 n
C 2nn
再由 Cnm
C nm n
得
(Cn0 )2 (Cn1 )2 (Cn2 )2 (Cnn )2 C2nn.
第思17考页/共27页
2答
3
案
思考:求证：Cn0 2Cn1 3Cn2 n 1Cnn n 2 2n1
杨辉三角与二项式定理上课
会计学
1
一、新课引入