北师大版数学七年级上册全册复习

7.如图 1－22 所示，三棱柱底面边长都 是 3 厘米，侧棱长为 5 厘米，则此三棱柱共 3 有 ______ 个侧面，侧面展开图的面积为 ________ 平方厘米． 45
8． 将如图的正方体的相邻两个面上各划分成九个一样 的小正方形，并分别标上“○”、“×”两个符号．若图 有一个图形为此正方体的展开图，则此图为( C )
第一章复习
3．如图 1－13 是几个小立方块所搭的几何体从上面看得到 的形状图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数， 则这个几何体从正面看得到的形状图是( A )
4．由若干个相同的小立方体搭成的几何体的从正面、 左面、上面看得到的形状图如图 1－15 所示，则搭成这个几 何体的小立方体的个数是( A ) A．3 B．4 C．2 D．5
几何体的展开图：
1．如图 1－16，一个立方体的六 个面上标着连续的正整数，若相对两 个面上所标之数的和相等，则这六个 数的和为( D ) A．75 B．76 C．78 D．81
2．一个正方体，六个面上分别写有六 个连续的整数(如图 1－17 所示)，且每两个 相对面上的数字和相等， 本图所能看到的三 个面所写的数字分别是：3,6,7，问：与它们 相对的三个面的数字各是多少？为什么？
用平面去截一个几何体，截面形状通常是三角形、正 方形、长方形、梯形、圆等，截面的形状既与被截的几何 体有关，还与截的角度和方向有关．
►考点四
从三个方向看图形的形状
如图 1－4，是一个由若干个相同的小正方体组成的 几何体从三个方向看图形得到的形状，则组成这个几何体的 小正方体的个数是( C )
A．7 B．8 C．9 D．10
[解析] 设多边形有 n 条边，则 n－2＝10，解得 n＝12. 故这个多边形是十二边形． 所以这个多边形从一个顶点出发的对角线条数是 12－3＝9.
6 3．从九边形的一个顶点出发，能引出 ________ 条对角 7 个三角形，九边形一共有 线，它们将九边形分成 ________ 27 ________ 条对角线．
[解析] 从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相 邻的 6 个顶点引对角线，即能引出 6 条对角线，它们将九边形 1 分成 7 个三角形，则九边形一共有 6×9×2＝27(条)对角线．
[解析] 面 B 与面 D 相对， 面 C 与面 F 相对， 则剩下 的面 A 与面 E 相对．
方法技巧 (1)在正方体的表面展开图中，同一行或同一列上 间隔一个正方形的两个面是相对的面； (2)确定某一个面的位置，需要有较强wenku.baidu.com空间想象 能力，对正方体的表面展开图非常熟悉，还要实际动 手操作，探索规律，及时归纳．
[解析] 由已知图可得， “○”、 “×”两符号的上 下位置不同，故可排除 A、B；又注意到“○”、“×” 两符号之间的空行有 3 列，故选 C.
9．如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体是 ( D )
[ 解析 ] 由展开图的知识可知四个小正方形组成的面 与阴影面是对面，故 A 错误；由于在一个方向能看到三个 面必定能看到有阴影的一面，故 C 错误；由于左右两块阴 影部分为四分之一正方形面积，且两个阴影部分不可能并 排在一起，故 B 错误．
4．正方体的展开图 正方体的展开图有如下的 11 种情形：
5．从三个方向看图形的形状 (1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看． 6．多边形 (n－3) 条对角线，将 n 从 n 边形的一个顶点出发，有________ (n－2) 个三角形． 边形分成了_________
考点攻略
►考点一 立体图形的认识
从不同方向看物体的形状：
1． 如图 1－9， 是由 4 个相同小正方体组合而成的几何体， 从左面看到的图形是( D )
[解析] 左边看得到的是两个叠在一起的正方形．
2．如图 1－11 所示，该几何体从正面看得到的图形应 为( C )
[解析 ] 从正面看可得到一个大矩形左上边去掉一个小 矩形的图形．
12．如图是一个由 6 个大小相同、棱长为 1 的小正方体搭 成的几何体，关于它的下列说法中正确的是( C )
A．从正面看的面积为 6 B．从左面看的面积为 2 C．从上面看的面积为 5 D．从三种方向看的面积都是 5
[解析] A．从正面看，可以看到 5 个正方形，错误； B．从左面看，能看到 3 个正方形，错误； C．从上面看可以看到 5 个正方形，正确； D．由以上判断可知，错误； 故选 C.
阶段综合测试一(月考) 6． 如图是一个由一些相同的小立方块搭成的几何体从上 面看的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的 个数，请你画出从正面和左面看的形状图． 解：
[解析] 由已知条件可知，从上面看有 4 列，每列小正方 形数目分别为 1,2,3,2， 从左面看有 2 列， 每列小正方形数目分 别为 3,2.据此可画出图形．
多边形和圆：
1．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成 8 个三角形，这个多边形的边数是________ ． 10
[解析] 设多边形有 n 条边，则 n－2＝8，解得 n＝10. 所以这个多边形的边数是 10.
2．经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成 10 个三角形，这个多边形从一个顶点出发的对角线条数是( B ) A．8 B．9 C．10 D．11
分类讨论是数学的一种基本的思想方法，在分类时， 应注意按照同一标准不重不漏地进行，而且根据分类标准 的不同，所进行的分类也是不同的．
►考点二
展开与折叠
一个正方体的表面展开图如图 1－3 所示， 每个外 表面都标注了字母，如果从正方体的右面看是面 D，面 C 在后面，则正方体的上面是( A )
A．面 E B．面 F C．面 A D．面 B
他们研究过图①中的 1,3,6,10，…，由于这些数能够 表示成三角形，将其称为三角 形数；类似地，称图②中的 1,4,9,16，…这样的数为正方形 数．下列数中既是三角形数又 是正方形数的是( D )
A．15
B．25
C．55
D．1225
[解析] 察可以发现，正方形数都是平方数，这样就可 以排除 A、C 两个选项，而三角形数是前 n 个连续整数的 和，B 不符合，故选 D.
7．如图，是一个由小立方块所搭几何体从上面看的形状 图．正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数，请你画 出从正面和左面看得到的形状图．
解：
[解析] 由已知条件可知，从正面看有 3 列，每列小正方 形数目分别为 3,3,2，从左面看有 3 列，每列小正方形数目分 别为 2,3,2.据此可画出图形．
北师大版七年级上册 期末总复习典型题
第一章
丰富的图形世界
CONTEN T 目 录
第二章 有理数及其运算
第三章 整式及其加减 第四章 基本平面图形
第五章 一元一次方程 第六章 数据收集和分析
第一章 丰富的图形世界
知识归纳
1．立体图形 (1)柱体 圆面 ，侧面是一个___ ①圆柱：两个底面是大小相等的______ 曲 面． 平行四边形 ②棱柱：棱柱的底面是多边形，侧面是______________. (2)锥体 圆形 ，侧面 ①圆锥：由两个面围成，有一个顶点，底面是 ______ 曲 是_________ 面． 三角形 ②棱锥：底面是多边形，侧面是________. 曲 面． (3)球体：只有一个____
2．图形的构成 线 ，线动成____ 面 ，面动成____. 体 点动成____ 3．棱柱 (1)棱柱的有关概念： 在棱柱中， 任何相邻两个面的交线都 棱 ，其中相邻两个侧面的交线叫做_______. 叫做_____ 侧棱 (2)棱柱的特征： ①棱柱的所有侧棱长都______ ②棱柱的 相等 ； 两个底面形状 ________ 相同 ，都是多边形；③棱柱的侧面都是 平行四边形 ____________. (3)棱柱的分类： 根据底面多边形的边数， 棱柱可以分为三 三角形 、 棱柱、四棱柱、五棱柱、…，它们的底面分别是__________ 四边形 、__________ 五边形 、… _________ (4)棱柱各元素之间的关系：n 棱柱的底面是____ n 边形，它 有______ 2n 个顶点，_____ 3n 条棱，其中有____ n 条侧棱，有______ (n＋2) 个面，_______ 个侧面． n
10．如图是由 4 个大小相同的正方体搭成的几何体，从 上面看的图形是( D )
[解析]
从上面看可得到一行正方形，个数为 3，故选 D
11．图是由大小相同的 5 个小正方体搭成的几何体，则 从正面看的图形是( B )
[解析] 从正面看易得第一层有 3 个正方形， 第二层最左 边有一个正方形．故选 B.
5．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体从上面看 的形状图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数， 那么该几何体从正面看的形状图为( C )
[解析] 从上面看的形状图中的数字是该位置小立 方体的个数，分析其中的数字，得从正面看的形状图有 3 列，从左到右每列中小正方形的个数分别是 4,3,2.
将如图 1－2 所示几何体分类，并说明理由．
[解析] 对几何体分类要按照一定的标准， 根据不同的标 准可以进行相应的分类，一般地可以根据柱体、锥体、球体 和构成的面是平面还是曲面两个标准进行分类．
解：若按柱体、锥体、球体分类，①、②、③是一类， 它们是柱体，⑤、⑥是一类，它们是锥体，④是一类，它是 球体；若按组成几何体的面是平面还是曲面分类，①、③、 ⑥是一类，组成它们的面都是平的，②、④、⑤是一类，组 成它们的面中有曲面． 方法技巧
►考点三
几何体的截面
用一个平面去截下列几何体，截面不可能是三角 形的是( C ) A．正方体 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥
[解析] 用一个平面去截正方体和长方体，若这个平面 经过正方体和长方体的三个面，所得截面就是三角形；用一 个平面去截圆锥，若这个平面经过圆锥的顶点，且与圆锥的 底面垂直，所得截面就是三角形；用一个平面去截圆柱，所 得截面不可能是三角形． 方法技巧
5．如图 1－20 所示是一个直三棱柱的表面 展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于 1 1 的正方形．这个直三棱柱的体积是________ ． 2
6．如图 1－21 所示，是三棱柱的表面展开 4 5 示意图，则 AB＝______，BC＝______，CD＝ 6 4 8 ______，BD＝________，AE＝________.
易错警示 规律探索题要先从特例入手，探寻规律，然后再推广 到一般情况．
几何体的展开图：
1．下列图形中，经过折叠不能围成一个正方体的是( D )
2． 若下列只有一个图形不是图 1－7 的展开图， 则此图是( D )
[解析] 选项 D 的四个三角形面不能折叠成原图形的四棱 锥，而是有一个三角形面与正方形面重合，故不能组合成原题 目的立体图形．
[答案] (1)三棱柱
(2)5
4．如图 1－19 所示的一张纸： (1)将其折叠能叠成什么几何体？ (2)要把这个几何体重新展开，最少需 要剪开几条棱？
[解析] 三个长方形和两个三角形能围成三棱柱， 结合三 棱柱的平面展开图的特征可知，要把这个几何体重新展开， 最少需要剪开 5 条棱．
解：(1)三棱柱．(2)最少剪开5条棱．
解 ： 从 3,6,7 三 个 数 字 看 出 可 能 是 2,3,4,5,6,7 或 3,4,5,6,7,8，因为相对面上的数字和相等，所以第一种情况 必须 3,6 处于对面，与题意不符，所以这六个数字只能是 3,4,5,6,7,8，所以 3 与 8,6 与 5,7 与 4 处于对面位置．
3．如图 1－18，将其画在一张纸上． (1)将它折叠能得到________； (2)要把这个几何体重新展开，最少需 要剪开________条棱．
易错警示 这类题目的解答思路是， 先根据从正面和从左面看到的 图形确定出从上面看时每个小正方形相应位置上的小正方 体的个数，再求出它们的和，就是组成这个几何体的小正方 体的个数．确定每个位置上的小正方体的个数时，要分清是 哪一行和哪一列，不要张冠李戴．
►考点五
平面图形的规律性问题
古希腊人常用小石子在沙 滩上摆成各种形状来研究数，例如：