2021届高三数学精准培优专练 圆锥曲线综合(文) 学生版

2021届高三精准培优专练
例1：过双曲线22
1916
x y -=的右焦点2F 作倾斜角为45的弦AB ，求：
（1）弦AB 的中点C 到点2F 的距离； （2）弦AB 的长．
例2：设抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于||1AF -． （1）求抛物线C 的方程；
（2）已知经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，证明：
11
||||
AF BF +为定值． 培优点 圆锥曲线综合
一、弦长问题
二、定值问题
例3：已知两定点(2,0)A -，(2,0)B ，O 为坐标原点，动点P 满足：直线PA ，PB 的斜率之积为
12
-． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）设过点(1,0)D -的直线l 与（1）中曲线C 交于M ，N 两点，求OMN △的面积的最大值．
三、最值问题
例4：已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点1(3,)2
A ，且点(3,0)F 为其右焦点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在直线l 与椭圆C 交于B ，D 两点，满足22
5
OB OD ⋅=，且原点到直线l 的距离为3？ 若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
四、存在性问题
一、选择题
1．已知经过椭圆2
215
x y +=的右焦点且与x 轴正方向成60︒的直线与椭圆交于A ，B 两点，则||AB =（ ） A ．
51
+ B ．
10 C ．
5 D ．
10或51+ 2．已知双曲线2
2
1mx ny -=与直线12y x =+交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的 斜率为
3
，则m n
的值是（ ） A ．3-
B ．3
C ．3
-
D ．
3 3．等边三角形OAB 的三个顶点都在抛物线2
2(0)y px p =>上，O 为坐标原点，则这个三角形的边长 为（ ） A ．3p
B ．23p
C ．43p
D ．2p
4．若过椭圆
22
12516
x y +=上一点P 作圆22(3)1x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠的 最大值为（ ） A ．30︒
B ．60︒
C ．90︒
D ．120︒
5．已知双曲线2
2
:14
y C x -=，P 是双曲线C 上不同于顶点的动点，经过P 分别作曲线C 的两条渐近线的平行线，与两条渐近线围成平行四边形OAPB ，则四边形OAPB 的面积是（ ） A ．2
B ．1
C ．
5 D ．5
6．00(,)P x y 是抛物线2
:2(0)C y px p =>上一定点，A ，B 是C 上异于P 的两点，直线PA ，PB 的 斜率PA k ，PB k 满足PA PB k k λ+=(λ为常数，0λ≠)，且直线AB 的斜率存在，则直线AB 过定点
对点增分集训
（ ） A ．0
0022(
,)x p
x y λ
λ
--
B ．0
002(,)x x y λ
--
C ．00022(,)y p
x y λλ
--
D ．0
002(,)y x y λ
-
-
二、填空题
7．已知抛物线1C ：2
(0)y ax a =>的焦点F 也是椭圆2C ：2221(0)4y x b b +=>的一个焦点，点M ，3
(,1)
2
P 分别为曲线1C ，2C 上，则MP MF +的最小值为 ．
8．若椭圆
221(15)1015x y t t t +=>+-与双曲线22
1169
x y -=在第一象限内有交点A ，且椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别是12,F F ，12120F F A ∠=︒，点P 是椭圆上任意一点，则12PF F △面积的最大值是___________．
三、解答题
9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点1)2
P ，离心率是2．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为11(,)22
M ，求直线l 与坐标轴围成的三角形的面积．
10．已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，O 为坐标原点，A 、B 是抛物线C 上异于O 的两点．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若直线OA 、OB 的斜率之积为1
4
-，求证：直线AB 过定点．
11．如图，已知A ，B 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22
222:1x y C a b
-=的公共顶点，且
4AB =，两曲线离心率之积为
4
．M 为2C 上除顶点外一动点，AM 交椭圆1C 于点P ，点Q 与点P 关于x 轴对称．
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）证明：存在实数λ，使MB BQ λ=．
12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，P 是椭圆C 上的
动点，当1260F PF ∠=︒时，12PF F △的面积为3
． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若过点(2,0)H -的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求1ABF △面积的最大值．
例1：【答案】（1）
802
7
；（2）1927．
【解析】（1）双曲线的右焦点2(5,0)F ，直线AB 的方程为5y x =-．
联立225
1916
y x x y =-⎧⎪
⎨-
=⎪⎩，得27903690x x +-=．
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12907x x +=-，123697
x x =-． 设弦AB 的中点C 的坐标为(,)x y ， 则124527x x x +=
=-，80
57
y x =-=-． 所以2224580802
||(5)()777
CF =
+
+=
． （2）由（1），知221212||(11)[()4]AB x x x x =++-
2290369192
(11)[()4()]777
=+⨯-
-⨯-=
． 例2：【答案】（1）2
4y x =；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线1x =-的距离， 由抛物线的定义得
12
p
=，即2p =． 故抛物线C 的方程为2
4y x =．
（2）易知焦点F 的坐标为(1,0)，若直线l 的斜率不存在，即直线l 方程为1x =， 此时令(1,2)A ，(1,2)B -，∴
1111
1||||22
AF BF +=+=； 若直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(1)y k x =-，
培优点十八 圆锥曲线综合 答案
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知1||1AF x =+，2||1BF x =+．
由24(1)
y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得22222(2)0k x k x k -++=， 根据韦达定理得121x x =， 所以
12121212121212122221111
1||||11(1)(1)12
x x x x x x AF BF x x x x x x x x x x +++++++=+====++++++⋅+++， 综上可得，
11
||||
AF BF +为定值． 例3：【答案】（1）221(0)2
x y y +=≠；（2
）2．
【解析】（1）设点P 的坐标为(,)x y
，则PA k =
，PB k =，
所以221
22
PA PB
y k k x ⋅==--，化简得22220x y -+=， 所以所求轨迹方程是2
21(0)2
x y y +=≠． （2）设直线l 的方程为1x my =-，联立曲线C 的方程得2
2
(2)210m y my +--=，
设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由韦达定理得12222m y y m +=
+，122
1
2
y y m -=+， 所以OMN △
的面积121||||2S OD y y =⋅-==
，
(1)t t =≥
，则S t t
=
=≤+， 上式当1t =即0m =时取等号，所以OMN △
． 例4：【答案】（1）2
214
x y +=；（2）见解析．
【解析】（1）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>
，则左焦点为(F '，
在直角三角形AFF 'Rt △中，可求7
||2
AF '=，∴2||||42a AF AF a '=+=⇒=．
又c =2221b a c =-=．
故椭圆C 的方程为2
214
x y +=． （2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y kx m =+， 由原点到l
223(1)m k ==+．
联立方程2
214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得222
(14)84(1)0k x kmx m +++-=．
则2
2
16(2)02Δk k =->⇒>．
设11(,)B x y ，22(,)D x y ，则122
814mk
x x k
-+=+，21224(1)14m x x k -=+， 则22
2
121212122
11(1)22
(1)()145
k OB OD x x y y k x x mk x x m k +⋅=+=++++==+， 解得2
1(2,)k =∉+∞．
当斜率不存在时，l
的方程为x =112245
OB OD ⋅=≠． 综上，不存在符合条件的直线．
一、选择题 1．【答案】C
【解析】
由已知条件可知直线为2)y x =-，
由222)
15
y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪
⎩，得2
1660550x x -+=，∴126016x x +=，125516x x =，
∴12|||AB x x =-= 2．【答案】B
【解析】设11(,)M x y ，22(,)N x y ，中点坐标00(,)A x y ，代入双曲线方程中，
得到22111mx ny -=，22
221mx ny -=，
两式相减得到12121212()()()()m x x x x n y y y y -+=-+， 结合
12122y y x x -=-，1202x x x +=，1202y y y +=
，且002
y x =，
代入上面式子，得到m
n
=． 3．【答案】C
【解析】∵抛物线2
2y px =关于x 轴对称，∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点， 另外两个顶点在抛物线2
2(0)y px p =>上，则A ，B 点关于x 轴对称， ∴直线OA 倾斜角为30︒
OA
方程为y x =．
由22y x y px
⎧=
⎪⎨⎪=⎩
，得6x p y =⎧⎪⎨
=⎪⎩，
∴(6,)A p
，(6,)B p -
，∴||AB =，
∴这个正三角形的边长为．
4．【答案】B
【解析】如图，因为椭圆
22
12516
x y +=与圆22(3)1x y -+=关于x 轴对称，并且圆的圆心坐标(3,0)为 椭圆右焦点，
所以过椭圆
22
12516
x y +=上一点P 作圆22(3)1x y -+=的两条切线， 要使APB ∠的最大，则PC 取最小，所以P 为右端点．
因为1AC =，2PC =，AC AP ⊥，所以260APB APC ∠=∠=︒．
5．【答案】B
【解析】设(,)P m n ，则2
2
44m n -=，
设PA 和渐近线2y x =平行，PB 和渐近线2y x =-平行， 由:2()PA y x m n =-+，:2()PB y x m n =--+， 且PA 和渐近线2y x =的距离为
d =
， 由2y x =和2()y x m n =--+，求得22(
,)42
m n m n
B ++，
可得|||2|OB m n =
+，
∴四边形OAPB 的面积是2211
||2||4|41
44d OB m n m n =+=-=⋅=． 6．【答案】C
【解析】设2(,)2a A a p ，2(,)2b B b p ，则直线AB 的方程为22
2
222b x y b p b
a b a p p
-
-=--， 整理得2p ab
y x b a b a
=
+++， 又0000
222222
0000222222PA PB a y b y a y b y k k a b y y a b x x p p p p p p
λ----+=
+=+=----， 化简得0022p p a y b y λ+=++，则0
0022()
2y p x ab p y b a b a
λ
λ
-
=--++．
则直线AB 的方程为000222[()]y p p
y x x y b a λλ
=
--+-+， 直线AB 过定点00022(,)y p x y λλ
--．
二、填空题 7．【答案】2
【解析】由点3
(,1)2
P 在椭圆2C 上，且0b >，
所以223()1
214b b
+=⇒=F 的坐标为(0,1)．
又由抛物线1C 方程得1(0,
)4F a ，所以11144
a a =⇒=， 则2
11:4
C y x =
，由抛物线定义知MF 等于点M 到其准线:1l y =-的距离d ． 过点P 作准线:1l y =-的垂线3:2
l x '=，
则垂直3:2l x '=
与抛物线2
11:4
C y x =的交点即为所求M 点， 所以MP MF MP d +=+，其最小值为1(1)2--=．
8．【答案】【解析】依题意有122510F F =⨯=，设2AF m =，18AF m =+， 由余弦定理得2
2
2
(8)10210cos120m m m +=+-⋅⋅⋅︒，解得6m =．
故对与椭圆来说12202AF AF a +==，10a ∴=，90t =，2
75b =，b ∴=
椭圆方程为
22
110075
x y +=．
当p 为短轴上顶点时，面积取得最大值为
1
102
⨯⨯=
三、解答题
9．【答案】（1）2214x y +=；（2）2532
S =．
【解析】（1）依题意可知
c a =，223114a b
+=，222
c a b =-，解得2a =，1b =， ∴椭圆的方程为2
214
x y +=．
（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，代入椭圆方程得22
1114x y +=，222214
x y +=， 两式相减得
12121212()()
()()04
x x x x y y y y -++-+=，
由中点坐标公式得121x x +=，121y y +=．∴12121
4
AB y y k x x -=
=--，
可得直线AB 的方程为111
()242
y x -
=--． 令0x =，可得58y =
；令0y =，可得52
x =， 则直线l 与坐标轴围成的三角形面积为15525
28232
S =
⨯⨯=． 10．【答案】（1）2
4y x =；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点坐标为(1,0)， 所以
12
p
=，所以2p =，所以抛物线的方程为24y x =． （2）证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设2(,)4t A t ，2
(,)4
t B t -，
因为直线OA ，OB 的斜率之积为14
-，所以2224
161444
t t t t t t --⋅=-，化简得2
64t =， 所以(16,)A t ，(16,)B t -，此时直线AB 的方程为16x =；
②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx b =+，(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，
联立得24y x y kx b
⎧=⎨=+⎩，化简得2
440ky y b -+=，根据根与系数的关系得4A B b y y k =，
因为直线OA ，OB 的斜率之积为14
-，所以1
4A B A B y y x x =-⋅，即40A B A B x x y y +=，
即22
4044
A B A B y y y y ⋅+=，解得0A B y y =（舍去）或64A B y y =-， 所以464A B b
y y k
=
=-，即16b k =-，所以16y kx k =-，即(16)y k x =-． 综上所述，直线AB 过x 轴上一定点(16,0)．
11．【答案】（1）2
214
x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题可知2a =
，
则224
⋅=，解得1b 2
=， 所以椭圆1C 的方程为2
214
x y +=． （2）设00(,)M x y ，直线AM 的斜率为k ，
∵(2,0)A -，(2,0)B ，双曲线方程为2
214
x y -=， ∴200020001
2244
AM BM
y y y k k x x x ⋅=⋅==+--，所以14BM k k =， 联立22
(2)
14
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222
(14)16(164)0k x k x k +++-=，
所以22164(2)14P k x k -⋅-=+，即2
2814P k x k 2
-=+，
所以2
4(2)14P P k
y k x k =+=
+，则222
41142824214P BQ
BM P
k y k k k k x k k +====---
+， 所以M ，B ，Q 三点共线，即存在实数λ，使MB BQ λ=．
12．【答案】（1）2212
x y +=；（2
）4．
【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，因为椭圆C
的离心率为2
，所以2
c a =．① 在12PF F △中，1260F PF ∠=︒， 由余弦定理，得222
1212
1212
1cos 22
PF PF F F F PF PF PF +-∠==
， 得2
2
2
121212PF PF F F PF PF +-=，
得2
2121212()3PF PF F F PF PF +-=，即2212(2)(2)3a c PF PF -=，
所以2
1143
PF PF b =
， 所以12PF F △
的面积212121sin 233
S PF PF F PF =
∠==， 所以2
1b =，即1b =，② 又2
2
2
a b c =+，③
由①②③，解得a =1b =，1c =，所以椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=． （2）设直线AB 的方程为(2)y k x =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
联立得22
(2)12
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222
(12)8820k x k x k +++-=，
由2
8160Δk =->，得2
1
2
k <，根据韦达定理有212812k x x k 2+=-+，21228212k x x k -=+．
由弦长公式，得12AB x =-== 又点1F 到直线AB
的距离为d =
所以
1
11
22
ABF
S AB d
∆
=⋅==
=2
61(1,4)
t k
=+∈，则2
1
6
t
k
-
=，
所以1
ABF
S
∆
==
4
≤=
4
t
t
=，即2
t=
，k=
所以
1
ABF
△
面积的最大值为
4
．。