牛顿插值法
牛顿(newton)插值法
牛顿(newton)插值法牛顿插值法是一种数值分析中的插值方法，它用于找到一个多项式函数，该函数会经过给定的一系列数据点。
该方法最初由英国数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）发明并称为插值多项式，它也被称作差分插值法。
插值是数学和工程学中的一项重要任务，它是用于在给定数据点之间构建连续函数的一种数值方法。
插值方法通常涉及过渡从观察结果派生出抽象结果的过程，从而使得预测可能的结果取得更加准确。
下面介绍牛顿插值法的基本原理。
插值基础插值基础是插值方法中的一个重要概念。
在这里，我们将对牛顿插值法中用到的插值基础进行简要介绍。
一个插值基础是指一个已知数据点的集合，通常是一个 x 坐标和对应的 y 坐标。
每个插值基础一般定义为一个数据点的函数，该函数包含了给定点的所有信息并将这些信息用于构建连续函数。
在牛顿插值法中，我们使用差分来定义插值基础。
差分是指两个相邻数据点之间 y 坐标的差值。
具体来说，若给定以下节点：x0, y0x1, y1x2, y2...xn, yn我们则通过以下的 "+" 符号所示的不断进行差分的方式来构建一个插值基础：y0y1-y0…yn-yn-1 yn-yn-1 yn-yn-2 ... yn-y0上述图表所展示的差分的值即为定义插值基础的差商（divided difference）。
牛顿插值公式基于上述插值基础和差商，我们现在可以使用牛顿插值公式来实现插值。
具体来说，牛顿插值公式可以表示为：f(x) = y0 + d1*f[x0,x1] + d2*f[x0,x1,x2] + ... + dn*f[x0,x1,...,xn]其中 f(x) 是插值函数，x0, x1, ..., xn 是给定的节点，y0, y1, ..., yn 是对应的 y 值，f[x0,x1] 是差商 f(x0,...,x1) 的值，d1, d2, ..., dn 也是差商。
请注意，插值函数的次数最高为 n - 1，这意味着插值函数与插值基础的次数相同。
牛顿插值法例题求解
牛顿插值法例题求解牛顿插值法是一种用于多项式插值的方法。
它利用给定数据点的函数值和差商的计算来构造一个多项式函数，从而在给定数据点之间进行插值。
以下是一个求解多项式插值的牛顿插值法的例题：假设有以下给定数据点与函数值：x: 0 1 2 4 y: 1 4 11 36现在要使用牛顿插值法，通过这些数据点拟合出一个多项式函数来进行插值。
解题步骤如下：1.计算差商表：x0 f[x0] 0 1 f[x0,x1] 1 4 f[x0,x1,x2] 2 11 f[x0,x1,x2,x3] 4 36差商的计算可以使用以下公式：f[xi,xi+1,...,xi+k] = (f[xi+1,xi+2,...,xi+k] - f[xi,xi+1,...,xi+k-1]) / (xi+k - xi)2.使用差商表计算插值多项式：插值多项式P(x) = f[x0] + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) + f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)P(x)的展开式为：P(x) = 1 + 3(x-0) + 2(x-0)(x-1) + 2(x-0)(x-1)(x-2)3.使用得到的插值多项式进行插值计算。
例如，要计算在x=3 的位置的插值结果，将x 替换为3，计算P(3)：P(3) = 1 + 3(3-0) + 2(3-0)(3-1) + 2(3-0)(3-1)(3-2) = 1 + 9 + 12 + 6 = 28因此，使用牛顿插值法，给定数据点(0,1), (1,4), (2,11), (4,36)，在 x=3 的位置的插值结果为 28。
注意，此例仅为示例，实际问题中，使用牛顿插值法时可能需要更多的数据点和计算过程。
在实际应用中，还需要考虑插值误差、阶数选择以及数据点的分布等因素。
牛顿插值法ppt课件
为 在点
处的二阶差商
称
f[x 0 ,x 1 , x n ] f[x 0 ,x 1 , ,x x n 0 1 ] x n f[x 1 ,x 2 , x n ]
为f (x)在点
处的n阶差商。
--
9
差商表
x
f(x)
一阶差 商
二阶差商
三阶差商
x0
f(x0)
x1
f(x1) f [x0,x1]
x2
f(x2) f [x1,x2] f [x0,x1,x2]
--
14
例题分析（续1）
f
(x0, x1)
y1 x1
y0 x0
12 1(1)
1 2
f
(x1,
x2)
y2 x2
y1 x1
11 21
0
f
(x0, x1, x2)
f
(x1,x2) f (x0,x1) x2 x0
02（(1/12)）
1 6
--
15
例题分析（续2）
f (x)N2(x) f (x0)f[x0,x1](xx0)
令 xx0得： Nn(x0)c0y0f(x0); 令 xx1得： Nn(x1)c0c1(x1x0)y1f(x1); 由此可c0解 ,c1;c出 i 依： 次类推。
--
6
具有承袭性的插值公式
线性插值公式可以写成如下形式：
其中
p 1 x p 0 x c 1 x x 0
p0xfx0，其修正项的系数 c1
f
x1f x0
x1 x0
再修正 p1 x 可以进一步得到拋物插值公式
p 2 x p 1 x c 2 x x 0 x x 1
其中
数值分析2-3(牛顿插值法)
二阶差商
f [ xi , x j , xk ]
一般的k阶差商定义为
f [ x0 , x1 ,..., x k ] f [ x0 ,..., x k 2 , x k ] f [ x0 , x1 ,..., x k 1 ] x k x k 1
特别地，f(x)关于一个点xi的零阶 差商定义为函数值本身，即
§3
差 商 与 牛 顿 插 值
一、差商及其性质 二、差商的计算
三、牛顿插值公式 四、牛顿插值法举例
一、差商及其性质
1. 差商的定义 函数关于 xi, xj 一阶差商
f [ xi , x j ] fห้องสมุดไป่ตู้( x j ) f ( xi ) x j xi
f [ x j , xk ] f [ xi , x j ] xk xi
∶ ∶ ∶
f[x0,x1,x2] f[x1,x2,x3]
∶ ∶ ∶
f[x0,x1,x2,x3]
∶ ∶ ∶
例 已知函数y= f (x)的观测数据如下， 试构造差商表，并求 f [2,4,5,6]的值
x 0 2 f(x) 1 5
4 5 6 9 -4 13
解 构造差商表如下
xi f(xi) 一阶 二阶 三阶 0 1 2 5 2 4 9 2 0 5 -4 -13 -5 -1 6 13 17 15 5 四阶
4 3 2
用二次插值求f (3)时，取
x0=2, x1=4, x2=5, 得 f ( 3) f ( 2) f [2,4]( 3 2)
f [2,4,5]( 3 2)( 3 4) 7 5( 3 2)( 3 4) 12 思考：若本题只给出前三个点，结果 如何？请你总结牛顿插值法何时停止？
数值分析2-3(牛顿插值法)差商和与牛顿插值
确定插值多项式的次数
根据已知数据点的数量确定插值多项式的最高次 数。
计算插值多项式
利用差商表，通过拉格朗日插值公式计算插值多 项式。
3
进行插值
将需要插值的x值代入插值多项式中，得到对应 的y值。
05
牛顿插值法的优缺点分析
优点
计算简单
局部性质好
相比于其他多项式插值方法，牛顿插 值法的计算过程相对简单，不需要求 解高阶方程，降低了计算的复杂度。
数值分析2-3：牛顿 插值法、差商和
目录
• 引言 • 牛顿插值法的基本概念 • 差商的计算方法 • 牛顿插值法的实现步骤 • 牛顿插值法的优缺点分析 • 实际应用案例 • 总结与展望
01
引言
主题简介
数值分析是数学的一个重要分支，主 要研究如何用数值方法解决各种数学 问题。
本章节将介绍牛顿插值法、差商和的 概念及其应用。
03
差商的计算方法
差商的递推公式
差商的递推公式
$f[x_0, x_1, ldots, x_n] = frac{f[x_1, ldots, x_n] - f[x_0, x_1, ldots, x_{n-1}]}{x_n - x_0}$
应用
通过递推公式，我们可以计算任意点之间的差商，从而得到插值多项式的导数。
在数据点附近，牛顿插值具有较好的 局部性质，能够提供较为准确的插值 结果。
适用性强
牛顿插值法适用于各种数据分布情况， 无论是线性还是非线性数据，都能得 到较好的插值结果。
缺点
全局误差较大
由于牛顿插值多项式的构造方式， 其全局误差通常较大，尤其是在 数据点较少的情况下。
对数据点敏感
如果数据点发生微小的变动，牛 顿插值多项式可能会发生较大的 变化，导致插值结果不稳定。
牛顿插值法实验报告
牛顿插值法实验报告
1. 什么是牛顿插值法？
牛顿插值法是一种多项式插值的方法，利用差商的概念，通过给定的点求出一个n 次多项式，使得该多项式经过这些点并尽可能接近给定的函数。
2. 实验步骤是什么？
（1）利用MATLAB 编写程序，输入插值节点和函数值；
（2）求解差商表及插值多项式；
（3）将插值多项式绘制成图像，并与实际函数进行比较；
（4）通过调整插值节点的个数，观察插值多项式的变化情况。
3. 实验中遇到的主要问题是什么？
在实验过程中，需要注意细节问题，如插值节点的选择、差商的计算及程序的调试等。
此外，如果插值多项式的次数太高，可能会出现插值误差过大的情况。
4. 实验的结果有哪些？
实验结果表明，随着插值节点数的增加，插值多项式的精度会提高，并且能够较好地拟合原函数。
但是如果节点过于密集，可能出现龙格现象，插值多项式的误差反而会增大。
5. 实验的意义是什么？
牛顿插值法是计算数学中重要的一种方法，对于一些实际问题的模拟和数据处理有着广泛的应用。
了解其原理和实现方式，能够更好地理解插值问题，并为计算实践提供一些帮助。
牛顿插值法介绍
牛顿插值法介绍本文将介绍牛顿插值法的基本原理、计算过程、优缺点以及在实际问题中的应用。
首先，我们将简要介绍插值法的基本概念和牛顿插值法的由来，然后详细讨论牛顿插值法的计算步骤和算法，接着分析其优缺点以及适用范围，最后通过几个实际问题的例子展示牛顿插值法的应用场景。
一、插值法基本概念在数学和计算机领域，插值是指根据已知的离散数据点构造满足这些数据点的曲线或函数的过程。
假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们想要通过这些数据点构建一个函数f(x)，使得f(xi) = yi，其中i = 1, 2, ..., n。
这样的函数就是经过插值的函数，它代表了这些数据点的趋势和变化规律。
插值法通常用于寻找这样的函数，它能够通过已知的数据点来估计函数在其他位置的值。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
在这些方法中，牛顿插值法是最为广泛使用的一种，因为它的计算效率高、精度较高，并且易于编程实现。
二、牛顿插值法的由来牛顿插值法由艾萨克·牛顿在17世纪提出，他是一位英国著名的数学家、物理学家和天文学家，在微积分、物理学和光学等领域都做出了重大贡献。
牛顿发展了牛顿插值法的理论基础和计算方法，并将其应用于数据分析和天体运动等问题中。
牛顿插值法基于牛顿插值多项式的概念，该多项式利用差商（divided differences）来表示，并具有易于计算和分析的优势。
牛顿插值多项式能够在已知的数据点上进行插值，并且还可以通过添加新的数据点来动态地更新插值结果。
因此，牛顿插值法成为了一种非常有用的数值计算工具，被广泛应用于工程、科学和金融等领域。
三、牛顿插值法的计算步骤1. 确定数据点首先，我们需要确定一组离散的数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，这些数据点是我们已知的数据，我们要通过它们来构建插值函数。
牛顿插值法
f [ x, x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x0 , x1,, xk ] f [ x, x0 , x1 ,, xk ](x xk )
因此可得
f ( x) f0 f [ x, x0 ](x x0 )
f0 ( f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ](x x1 ))(x x0 ) f0 f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x, x0 , x1 ](x x0 )(x x1 )
为f ( x)关于xi , x j , xk的二阶差商
依此类推
5
f [ xi0 , xi1 ,, xik 1 , xik ]
f [ xi0 , xi1 ,, xik ] f [ xi0 , xi1 ,, xik 2 , xik 1 ] xik xik 1
为f ( x)关于节点 xi0 , xi1 ,, xik1 , xik 的k阶差商
2 f i 2 f i 1 3 2h3 3 f i 3!h 3
20
3 fi 3 2 fi 2 2 fxi 3 3 3!h 3 3 2h
k ( x) ( x x j )
j 0
k 1
f0 f [ x0 , x1 ,, xk ]( x x j )
k 1
n
n
k 1 j 0
为k次多项式
f 0 f [ x0 , x1 ,, xk ] k ( x)
k 1
为f ( x)关于节点 xi 的n次Newton插值多项式
f 0
f 1
f 1 f 2
f 3
2 f0
2 f2
2 f3
3 f0
牛顿插值法
分段线性插值
满足条件 S1xiyi,i0,1 , ,n具有分划
的分段一次式 S 1 x 在每个子段 xi, xi1上都
具有如下表达式：
S 1x0 x h ix i y i1 x h ix i y i 1 ,x ixx i 1
并在每个 xi, xi1子段上构造插值多项式，然后把它
们装配在一起，作为整个区间 a , b 上的插值函数，
即称为分段多项式。如果函数 S k x 在分划 的每
个子段上都是 k 次式，则称为具有分划 的分段 k 次式。
分段插值
1.分段线性插值； 2.分段抛物插值； 3.分段低次多项式插值；
02（(1/12)）
1 6
例题分析（续2）
f(x)N2(x)f(x0)f[x0,x1](xx0)
f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)
21(x1)1(x1)(x1)
2
6
练习：
若上例中增加两点f(-2)=2, f(3)=2， 加上原来三点f(-1)=2, f(1)=1, f(2)=1， 求f(x)的Newdon插值多项式。
所以 S 3 x 0 x h ix i y i 1 x h ix i y i 1 h i0 x h ix i y i' h i1 x h ix i y i' 1
其中 xi xxi1，且有 0xx122x1,1xx22x3
0xxx12,1xx2x1
样条函数的概念
高次插值的龙格现象
对于代数插值来说，插值多项式的次数 很高时，逼近效果往往很不理想。例如，考
察函数 fx 1 /1 x 2, 5 x 5 ，设将区间 －5，5 分
python 牛顿插值法
python 牛顿插值法（原创实用版）目录1.引言2.牛顿插值法的概念和原理3.牛顿插值法的应用实例4.Python 实现牛顿插值法的方法5.总结正文1.引言牛顿插值法是一种常用的插值方法，它属于代数插值方法的一种形式。
牛顿插值法引入了差商的概念，使其在插值节点增加时便于计算。
在众多插值方法中，牛顿插值法具有较高的精度和较好的稳定性，因此在各种应用中得到了广泛的应用。
本篇文章将介绍牛顿插值法的概念、原理以及Python 实现方法。
2.牛顿插值法的概念和原理牛顿插值法是一种基于差商的插值方法。
差商是指相邻两项之差，对于牛顿插值法而言，它是指函数在两个相邻插值点上的函数值之差。
牛顿插值法的基本思想是通过差商来逼近函数在插值点上的值。
具体来说，对于一个已知函数 f(x)，在插值点 x0 和 x1 处，我们可以通过以下公式计算牛顿插值系数：k[n] = (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0)其中，k[n] 表示第 n 阶牛顿基函数的系数，x0 和 x1 是两个相邻插值点。
在计算过程中，我们通常采用拉格朗日基函数作为牛顿基函数。
3.牛顿插值法的应用实例牛顿插值法在实际应用中具有广泛的应用，例如在数学、物理、化学等领域的数值计算、数据拟合等问题中都可以见到牛顿插值法的身影。
这里我们举一个简单的例子来说明牛顿插值法的应用：假设我们有一个已知函数 f(x)，在 x=1 和 x=2 处有对应的函数值f(1)=3 和 f(2)=5，现在需要求解在 x=1.5 处的函数值。
我们可以通过牛顿插值法来解决这个问题。
首先计算牛顿插值系数 k[1] 和 k[2]：k[1] = (5 - 3) / (2 - 1) = 2k[2] = (f(1.5) - 3) / (1.5 - 1) = f(1.5) - 3然后，我们可以通过以下公式计算 x=1.5 处的函数值：f(1.5) = 3 * (1.5 - 1) + 5 * (1.5 - 2) = 2.25因此，在 x=1.5 处，函数 f(x) 的值为 2.25。
牛顿插值法原理及应用
牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。
为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。
插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。
若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。
定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
python 牛顿插值法
python 牛顿插值法牛顿插值法是一种常用的数值插值方法，用于在给定数据点的基础上，估计出未知数据点的函数值。
它基于差商的思想，通过构造一个插值多项式来逼近原始函数。
首先，我们需要明确插值的目的。
插值的目的是为了推测出在已知数据点之间的未知数据点的函数值。
例如，我们已知一组离散的数据点，这些数据点代表了某个物理量在不同位置或时间上的值。
我们希望利用这些已知数据来推测处于未知位置或时间上的数据点的值。
在牛顿插值法中，我们首先需要选取一些已知数据点，然后通过计算差商来构造插值多项式。
插值多项式是一个关于自变量的函数表达式，它经过已知数据点，可以通过对自变量的取值来计算函数的值。
插值多项式的构造是通过不断迭代的方式进行的。
我们从一次插值开始，即假设我们要构造一个一次多项式，通过两个已知数据点，可以确定一个直线。
然后，通过插入一个新的数据点，我们可以构造出一个二次多项式，以此类推。
插值多项式的次数逐渐增加，直到满足要求。
牛顿插值法的核心在于计算差商。
差商是一个递归的过程，通过已知数据点的函数值来计算插值多项式中的各个系数。
差商的计算可以用递推公式来表示，在每一步中，我们需要利用前一步计算得到的差商来求解下一步的差商。
最终，完成差商的计算后，我们可以得到插值多项式的表达式。
利用这个表达式，我们可以估计处于已知数据点之间的未知数据点的函数值。
总的来说，牛顿插值法是一种基于差商的数值插值方法。
通过选取已知数据点、计算差商和构造插值多项式，我们可以推测出未知数据点的函数值。
这种方法简洁高效，适用于各种应用场景，如数据拟合、信号处理等。
在Python中，我们可以利用已有的数值计算库来实现牛顿插值法，使得插值过程更加方便和准确。
通过以上介绍，我们对Python牛顿插值法有了一定的了解。
希望这篇文档可以帮助你理解和应用这种数值插值方法。
牛顿(Newton)插值法
Newton插值C 的求法
i
Nn(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0) (x – x1) + …..+ cn(x – x0) (x – x1) …. (x-xn)
令x = x0得：Nn(x0) = c0 = y0 = f(x0) x = x1得：Nn(x1) = c0 + c1(x1 –x0) = y1 = f(x1) 由此可解出：c0，c1；ci 依次类推。
x y x0 y0 x1 y1 …………. …………. xn-1 yn-1 xn yn xn+1 yn+1
Nn+1(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0)（x – x1） + …. + cn(x – x0) (x – x1) …(x –xn-1) + cn+1(x – x0) (x –x1) ….(x – xn-1) (x - xn)
求n次多项式Nn(x)使得：
Nn(xi) = f(xi) = yi， i = 0，1，… ，n Nn(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0) (x – x1) + …..+ cn(x – x0) (x – x1) …. (x-xn)
Newton插值的承袭性
增加一个点之后
p1xp0xc1xx0其中p0xfx0其修正项的系数01011xxxfxfc???再进一步修正p1x可以进一步得到抛物线插值公式p2xp1xc2xx0xx10201011212xxxxxfxfxxxfxf??????c2差商的概念差商的定义定义1
牛顿（Newton）插值法
牛顿插值法原理及应用汇总
牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。
为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。
插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。
若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。
定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
正文牛顿插值法
牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x 0)...(x-xn-1)+Rn(x)关键词：牛顿插值法流程图程序实现一、插值法的由来在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值。
有时，即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不仅使用不便，而且不易于进行计算与理论分析。
解决这类问题的方法有两种：一种是插值法,另一种是拟合法。
插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机软件中，许多库函数，如等的计算实际上归结于它的逼近函数的计算。
逼近函数一般为只含有算术运算的简单函数，如多项式、有理分式（即多项式的商）。
在工程实际问题当中，我们也经常会碰到诸如此类的函数值计算问题。
被计算的函数有时不容易直接计算，如表达式过于复杂或者只能通过某种手段获取该函数在某些点处的函数值信息或者导数值信息等。
因此，我们希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数，然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值。
这种方法就叫插值逼近或者插值法。
逐次线性插值法优点是能够最有效地计算任何给定点的函数值，而不需要写出各步用到的插值多项式的表达式。
牛顿插值法.doc
牛顿插值法数值计算实习课程的设计名称:张广玉讲师；谭高山学生人数: 目录1190841691.实验目的2.问题的提出3.牛顿插值法原理4.差商概念的推导5.牛顿插值公式和其他公式6、牛顿插值法计算步骤7、牛顿插值多项式程序实现8.图像对比度牛顿插值多项式9、牛顿插值多项式总结10.附件111.附件21.实验:的目的是了解牛顿插值多项式的原理及其通过Matlab程序解决实际问题的能力。
2.问题的提出我们知道拉格朗日插值多项式的插值基函数在理论分析中非常方便，但是当插值节点增加或减少时，所有的插值基函数都会改变，整个公式也会改变，这在实际计算中非常不方便。
虽然拉格朗日插值很容易计算，但是如果增加一个节点，所有的基函数都需要重新计算。
3.牛顿插值多项式的原理我们知道两点直线的公式是:让我们考虑点偏斜，其中两点是((x0，y0)(x1，y1))，那么线性方程是:然后，在此基础上添加一个节点(x2，y2)，通过这三个点的插值多项式为:C(x)应该是二次多项式。
根据插值条件显示插值条件:您可以找到:重写p2(x):是.4.下面介绍差商和差的定义:一阶差商二阶差商n一阶差商可以证明差商具有以下性质:(2) k 阶差商关于节点对称，或者平均差与节点顺序无关，即平均差表具有零阶平均差一阶平均差二阶平均差三阶平均差x0f (x0) x1f (x1) f [x0，x1] x2f (x2) f [x0，x1，x2]x3f[x1，x2……5.牛顿插值公式和其他公式如下:……(1)……(2)和(n 1)具有:其间6、牛顿插值法计算步骤:牛顿插值法是利用一定区间内几个点的函数值来构造牛顿插值多项式。
已知值取自这些点，牛顿插值多项式的值用作区间中其他点的函数值的近似值。
1.输入值和(；要计算的功能点。
2.对于由计算的给定值。
3.输出。
7.Matlab程序实现示例:f(x)=lnx的值如表所示。
构造牛顿插值多项式，计算ln0.53的值。
geligeli牛顿插值法
牛顿插值法是数值分析中常用的一种插值方法，它可以通过已知的数据点来构造一个多项式函数，从而实现对未知数据点的预测和估计。
该方法由著名的英国数学家牛顿发现，并被广泛运用于科学计算、工程技术等领域。
牛顿插值法的核心思想是利用差商和差分表来简化插值多项式的计算，从而提高插值过程的效率，同时也便于对数据点进行动态更新和修改。
在本文中，我将详细介绍牛顿插值法的原理、公式推导和具体应用，希望能够对读者有所帮助。
一、牛顿插值法的原理牛顿插值法的基本原理是利用已知的数据点来构造一个多项式函数，使得该函数经过这些数据点，并且可以在这些数据点上取得给定的函数值。
假设我们有n+1个不同的数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中xi表示自变量的取值，yi表示因变量的取值。
我们的目标是构造一个n次多项式函数Pn(x)来近似表示已知数据点之间的关系，即Pn(xi) = yi，i=0,1,...,n。
为了达到这个目标，我们可以使用以下的插值多项式形式：Pn(x) = f[x0] + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0,x1,...,xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn)其中，f[x0]表示零阶差商，f[x0,x1]表示一阶差商，f[x0,x1,x2]表示二阶差商，以此类推。
通过递推的方式，我们可以利用已知的数据点来求解出这些差商，从而得到插值多项式Pn(x)。
牛顿插值法的关键在于计算这些差商的值，并将其代入插值多项式中，从而得到最终的插值函数。
二、牛顿插值法的公式推导为了更清晰地理解牛顿插值法的公式推导过程，我们可以从零阶差商开始逐步推导各阶差商的表达式。
首先，零阶差商f[x0]就是已知数据点(x0, y0)的函数值，即f[x0] = y0。
然后，一阶差商f[x0,x1]可以表示为：f[x0,x1] = (f[x1] - f[x0]) / (x1 - x0)其中，f[x1]表示已知数据点(x1, y1)的函数值。
牛顿插值法
x2-x1
依次递推可得到a3, …, an. 为写出系数 ak的一般表达式,
➢差商(均差)定义
2.3.2 均差及其性质
1、差商（均差）的定义
称
f [x0 , xk ] =
f ( xk ) - f ( x0 ) xk - x0
为 f ( x关) 于点 x的0 ,一xk阶差商。
称
f [ x0 , x1, xk ] =
-
f ( x1)
-பைடு நூலகம்
f ( x0 )
( x1 - x0 )( xk - x1) ( x0 - x1)( xk - x1)
=
f (x0 )
+
f (x1)
+
f (xk )
(x0 - x1)( x0 - xk ) (x1 - x0 )( x1 - xk ) (xk - x0 )( xk - x1)
一般有
f [ x0 , x1,, xk ] =
注：差商与节点的排列次序无关——差商 的对称性
f[x0,x1,…,xn]= f[x1,x0,x2,…,xn]=… = f[x1, …, xn ,x0]
因此 f [ x0 , x1,, xk ] = f [ x1, xk-1, x0 , xk ] = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x1, x2 ,, xk-1, x0 ] xk - x0 = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x0 , x1, x2 ,, xk-1] xk - x0
=
f[x0,x2] - f[x0,x1]
x2 - x1
= f[x0,x1,x2] ;
P2(x)=f(x0) + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
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题目：牛顿插值法在凸轮修正设计中的应用算法：Newton插值法组号：6组员：赵冬冬闫鹏田二方李婵娟张帅军郑亚军刘洋郭洋波牛顿插值法在凸轮修正设计中的应用赵冬冬，闫鹏，田二方，李婵娟，郭洋波，张帅军，郑亚军，刘洋（河南理工大学机械与动力工程学院,河南焦作 454000）摘要：本文利用牛顿插值法，提出了一种简单实用的凸轮工作轮廓线的修正方法。
首先对要进行修正的的曲线附近的一些离散点的数据进行分析处理，确定插值多项式的阶次以满足高精度和低运算量的要求。
然后利用Matlab编程计算出插值点的值，并进行误差分析，实现对凸轮的局部工作廓线进行修正。
关键词：凸轮轮廓线；牛顿插值；修正Interpolation method Newton inthe design of CAM fixed application ZHAO Dongdong,YAN Peng,TIAN Erfang,LI Chanjuan,,GUO Yangbo,ZHANGShuaijun,ZHENG Yajun,LIU Yang(School of Machinery and power engineering Henan polytechnicuiversity ,Jiaozuo 454000)Abstract: Based on the Newton interpolation method, we put forward a simple but practical solution to the work of the cam contour correction. Firstly,we rehandle the discrete data nearby the premodifying curve and get the order of the polynomial to meet the demand of high precision and low computation.Then The Newton interpolation and error analysis are realized by matlab programming. SO far ,we’ve resolved the problem of the cam contour correction .Key words: Newton interpolation; cam contour;correction0．问题背景在自动包装机或包装线中，为保证各个机械间歇运动的快捷与准确，常常采用凸轮机构来实现。
包装材料、产品和包装地间歇输送、翻转或转移、工作转台的间歇转位，工作机构带停留段的往复运动，有特定位移、速度或加速度要求的动作等，均属于简谐运动范围，正确设计或选用简谐运动机构，对包装机的运行性能具有关键性的作用。
凸轮机构在高速包装机械设备中应用更广泛，是一种不可缺少和替代的重要机构。
1．问题分析及模型高速包装机械中凸轮工作廓线的设计多采用解析法，这样既保证了凸轮的运动特性，又便于对凸轮机构进行运动学和动力学分析，因此这就使得在不同工况下，凸轮设计的解析方程式往往是不相同的。
这样虽然能保证凸轮的精度，但同时也对凸轮在实际使用中的修正提高了难度，因为只有建立新的解析方程式才能对凸轮进行修正，尤其是只需对凸轮局部曲线进行修正时，也要建立相应的解析方程，这样就使曲线修正的工作量大增，工作效率降低[1]。
基于减小修正量和提高工作效率的考虑，所以考虑插值法中的牛顿插值，提出了一种简单、实用的凸轮工作廓线的修正设计方法，这种方法不必对原有的解析方程进行修改计算，只需通过对要进行修正的曲线附近的一些离散点的数据进行处理，就能对现有凸轮工作廓线进行修正，特别适合凸轮曲线在实际使用中的局部修正设计[2]。
已知两个变量X,Y 之间的一个离散的函数关系式Yi=F(Xi) i=0，l ，2，…，n ，即给出一 个数据表例如： _________________作者简介：赵冬冬（1988—），男，河南济源人，硕士研究生，主要从事先进制造方向研究。
邮 箱：451896301@表1找到一个与原函数近似的简单的多项式函数，使其在一部分离散点 i x ，0x ，1x ，……n x 的值分别与()i x f ，()0x f ，()1x f ……()n x f 相等。
根据以上要求，可以使用插值多项式来逼近原解析函数。
2. 算法的数学原理Lagrange 插值公式结构紧凑，便于理论分析。
利用插值基函数也容易得到插值多项式的，Lagrange 插值公式的缺点是，当插值节点增加，或其位置变化时，全部插值基函数均要随之变化，从而整个插值公式的结构也发生变化，这在实际计算中是非常不利的。
下面引入的Newton 插值公式也可以克服这个缺点。
Newton 插值多项式可以灵活的增加插值节点进行递推计算。
该公式形式对称，结构紧凑，因而容易编写计算程序。
Newton 插值多项式为[3]：()()[]()x x x x f x f x N k Nk k n ω∑=+=1,,1,00...其中：[][][]01101010,...,,,...,,,...,,x x x x x f x x x f x x x f k k k k --=-i x 0x 1x ... n x ()i x f ()0x f ()1x f ... ()n x f称之为()x f 在k x x x ...,,10上得k 阶均差。
实际计算中，可以由插商表计算。
如图所示：表2k x ()k x f 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差0x ()0x f1x ()1x f []10,x x f2x ()2x f []21,x x f []210,,x x x f3x ()3x f []32,x x f []321,,x x x f []3210,,,x x x x f 4x()4x f[]43,x x f []432,,x x x f []4321,,,x x x x f[]43210,,,,x x x x x f3. 算法的MATLAB 实现 3.1实验数据高速包装机上有一凸轮，其工作廓线共有分A 、B 、C 三段，在实际的使用中发现A 段和c 段的行程符合设计要求，而B 段的行程须进行修正设计。
已知凸轮A 段曲线数据，如表3所示。
表3已知凸轮C 段曲线数据，如表4所示。
表4一般来说，使用的已测数据点越多，可获得的信息量越大，对未知点的估计越精确。
在牛顿插值算法中，使用已测数据点越多，会导致插值多项式的次数过高，出现龙格现象，曲线也会有较多折点。
而凸轮的工作多为翻转，需要其工作廓线有很好的圆滑性。
由于距离插值点越近的数据对插值点数值的精度影响越大，本文使用i x 239 240 241 242 243 ()i x f 14.227 14.03 13.854 13.681 13.526 i x 249 250 251 252 253 ()i x f 13.098 13.095 13.085 13.067 13.039i x =242,243,249,250这4个点的数据，根据牛顿插值的定义做差商表，如图表5所示。
表5由差商表可知，二阶差商的值已接近常数，故牛顿插值多项式近似为二阶即可满足精度要求。
为保证其圆滑性，本文采用三次牛顿插值多项式来求B 段i x =244,245...248的修正值。
3.2 Matlab 程序代码function f=Newton(x,y,P) syms t;n=length(x); m=length(y); if m~=nerror('样本数据中x 与y 的对应个数不匹配'); return endA=zeros(n); A(:,1)=y; for j=2:n for i=1:(n-j+1)A(i,j)=(A(i+1,j-1)-A(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i)); end end Af=A(1,1); for j=2:n T=1;for i=1:j-1T=T*(t-x(i)); endf=f+A(1,j)*T; endf = vpa(f,6); f=simplify(f) f=subs(f,'t',P) plot(x,y,'*',P,f); 保存为Newton.m 文件。
i x ()i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商 242 13.681243 13.526 -0.155249 13.098 -0.07133 0.011952250 13.095 -0.003 0.009762 -0.000274. 计算结果及结果的分析、验证4.1计算结果>>>> x = [242 243 249 250 ];y = [13.681 13.526 13.098 13.095 ];x0=[241,244,245,246,247,248,251]f=Newton( x , y ,x0);x0 =241 244 245 246 247 248 251A =13.6810 -0.1550 0.0120 -0.000313.5260 -0.0713 0.0098 013.0980 -0.0030 0 013.0950 0 0 0f =51.1910-.155000*t+.119524e-1*(t-242.)*(t-243.)-.273810e-3*(t-242.)*(t-243.)*(t-249.)f =4763.37987854-55.12024951*t+.21292894*t^2-.27381e-3*t^3f =13.8643 13.3976 13.2943 13.2143 13.1560 13.117813.1071240242244246248250252 1313.213.413.613.8144.2.结果分析观察上述插值图像，直观上可以满足凸轮工作廓线的圆滑度。
具体的数值精度，可以通过量化计算得到。
在上述程序中，对x0 =241，244，245，246，247，248，251的值均作了插值处理。
其中计算点x0 =241， 251的值是为了与已知的数据点对比，从而检验牛顿插值计算的精度。
插值点实际值计算值绝对误差相对误差241 13.854 13.3864 0.4676 0.0338251 13.085 13.1071 0.0221 0.0017可以看出，相对误差都控制在5%以内，属于较好的插值结果。
又由于用来检验精度的两个点均为插值数据的外点，误差比内点大得多，故在B 段曲线上的点的数据精度应该更高，插值效果更好。