第2章一阶谓词逻辑

解：
(1) P(x)：x是计算机高级程序语言。 符号化：P(C++) P(Java) (2) H(x, y)：x比y高。 符号化：H(张明,李民)H(李民,赵亮) H(张明,赵亮) 复合命题函数
2.1 基本概念
设：谓词P(x)，个体域集D，aiD，i=1,2,3,…。 全称量词：表示论域中的所有客体，记作：x；
例：∃x(x+y=1)中，x+y=1是∃x的辖域，x是约束变元，y是
自由变元。
在yR(x,y) S(x, y)中，x是自由变元，变元y在yR(x,y)中 是约束变元，y在S(x, y)中是自由变元。
2.2 谓词合式公式与客体变元的约束
2.2 谓词合式公式与客体变元的约束
2.2 谓词合式公式与客体变元的约束
离 散 数 学
孙道德、王敏生、王秀友
吴向军 张冬玲 2015.03.01
第2章 一阶谓词逻辑
2.1 基本概念
2.2 谓词合式公式与客体变元的约束
2.3 谓词公式的等价与蕴涵
2.4 谓词逻辑的推理理论
2.5 前束范式
2.6 小结
2.1 基本概念
将下列命题符号化。
(1) 麦镇豪来上离散数学课。
客体(个体)
2.1 基本概念
客体：在命题中表达对象的部分。

客体常元：表示具体的客体，用具体文字，或小写字母 等来表示，如：麦镇豪，张文亮，a，b1等；

客体变元：表示泛指的客体，用小写字母，如：x，y，
x1等；

客体域(论域)：客体变元的取值范围，一般用D来表示。 如：班上所有学生。
谓词：含有客体变元的命题，也称命题函数。一般用大写 字母来表示，如：P(x)，Q(x,y)等。
解： x(R(x)) x(Q(x))
(R(a)R(b)R(c)) (Q(a)Q(b)Q(c)) (R(a)R(b)R(c)) (Q(a)Q(b)Q(c))
2.1 基本概念
当出现多个量词时，不能随意颠倒其顺序。如： (1) P(x, y)：x + y = 0
(3) x(M(x) F(x))
显然，M(x)是特性谓词，表达个体变元x所具有的特性。
2.1 基本概念
将下列命题符号化：
(1) 好人自有好报。 (2) 有会说话的机器人。 (3) 没有免费的午餐。 (4) 在北京工作的人未必都是北京人。 (5) 不是一切人都一样高。 解 (1) F(x)：x是好人， (2) M(x)：x是机器人， (3) L(x)：x是午餐， (4) B(x)：x是北京人， G(x)：x会有好报。 S(x)：x会说话。 F(x)：x是免费的。 W(x)：x在北京工作。
2.2 谓词合式公式与客体变元的约束
代入规则：在谓词公式中，将某个自由变元的所有出现用 其中未曾出现过的某个体变元符号代替，其余部分保持不变， 公式的等价性不变。 如：xy(P(x,y)Q(y,z)) xP(x,y)
使用代入规则，将u 代以y，得：
xy(P(x,y)Q(y,z)) xP(x,u)
2.2 谓词合式公式与客体变元的约束
为进行谓词演算和推理，先介绍一些基本的常用符号。

常元符号：a, b, c, a1, a2, b6, … 变元符号：x, y, z, u, v, x12, y6 , z5, … 函数符号：f, g, h, f1, g1, h1, …


谓词符号：P, Q, Ri, …, 其中i 1
例如： (1) x1, x2, a, b, 张三等是项； (2) g(a, x1), f(x1, x2, b, g(a,x1))等是项。
2.2 谓词合式公式与客体变元的约束
设P(x1, x2, …, xn)是任意的n元谓词，t1, t2, …, tn是任意项， 则称P(t1, t2, …, tn)是原子公式。
二元谓词
Байду номын сангаас
2.1 基本概念
谓词的定义域是谓词中各客体变元论域的乘集(笛卡尔集)。 假设：D是人的集合，R是实数集。 T(x)：x是教师； Mortal(y)：y会死的； 谓词的定义域：D 谓词的定义域：DD=D2
Taller(x1,x2)：x1比x2高；
Firend(x,y)：x和y是朋友；
Money(x, m)：x在银行有m元存款； 谓词的定义域： DR Between(x,y1,y2)：y1 x y2； 谓词的定义域：RRR=R3
(3) xF(x)
xF(x)
xF(x)
2.1 基本概念
在论域为所有人，符号下列语句： (1) 所有大学生都会说英语。 所有人
大学生
(2) 有的大学生会说英语。
(3) 不是所有大学生都会说英语。 解：M(x)：x是大学生，F(x)：x会说英语。 (1) x(M(x) F(x)) (2) x(M(x) F(x))
2.1 基本概念
M(x)：x是人； Rich(x)：x富裕；
1 2 1
复合命题函数：由有限个简单谓词，逻辑联结词 (¬ 、、 Taller(x ,x )：x 比x 高；
2
、→、↔)以及括号组合而成。 Firend(x,y)：x和y是朋友； 如：
Money(x, m)：x在银行有m元存款。
M(张三) M(李四) Taller(张三,李四)
论域符号：D 谓词合式公式：wff
2.2 谓词合式公式与客体变元的约束
一阶谓词逻辑的项 (1) 个体常元和个体变元是项； (2) 若f(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，且(t1,t2,…,tn) 是任 意的n个项，则f(t1,t2,…,tn)是项；
(3) 所有的项都是有限次使用(1)~(2)得到的。
xP(x) P(a1) P(a2) P(a3) …
存在量词：表示论域中的存在某个客体，记作：x。 xP(x) P(a1) P(a2) P(a3) … 设谓词P(x)和Q(x)的个体域D={a,b,c}，消去命题中的量词。 x(R(x)) x(Q(x))
下列各公式都是原子公式：

F(x, y) R(x, y, z) R(z, f(z), g(x, y))
x, y是项 x, y, z是项 z, f(z), g(x, y)是项 f(x1, x2), g(x3, x4)是项
F(f(x1, x2), g(x3, x4))
2.2 谓词合式公式与客体变元的约束
2 3
x 2 2 3 3 y 2 3 2 3
0 1
3 2
Q(x,y) 1 1 1 1
=(11) (01)=1
谓词公式中的自由变元可看作常元。 对于公式A给定一个解释I，则A在I下可计算其真值。
2.2 谓词合式公式与客体变元的约束
谓词公式 A=y(P(y)Q(y,a)) B=x(P(f(x))Q(x,f(a))) 解释给定为：D={2, 3}, a=2
每一常元符号指定D的一个元素。 每一n元函数指定Dn到D的一个函数。
2.1 基本概念
n元谓词：含n个客体变元的谓词 T(x)：x是教师； M(x)：x是人； Mortal(y)：y会死的； 一元谓词
Taller(x1,x2)：x1比x2高；
Friend(x,y)：x和y是朋友； Money(x, m)：x在银行有m元存款； Between(x,y1,y2)：y1 x y2； 三元谓词
在子公式x(P(x)Q(x))，x的辖域是P(x)Q(x)，x是约束出现；
在子公式yR(x,y)，y的辖域是R(x,y)，y是约束出现，x是自由 出现。
2.2 谓词合式公式与客体变元的约束
在谓词公式中，

某变元至少有一次约束出现，则称该变元为约束变元。 若某变元至少有一次自由出现，则称该变元为自由变元。
2.2 谓词合式公式与客体变元的约束
谓词公式X是谓词公式A的一部分，则称X为A的子公式。 子公式xP(x)或xP(x)中，称x为指导变元，P(x)为相应量词的 辖域。 在x和x的辖域中，x的所有出现都称为公式A的约束出现，A
中不是约束出现的变元均称为自由出现。
例谓词公式A：x(P(x)Q(x)) yR(x,y) S(x, y) 其子公式有： x(P(x)Q(x)), yR(x,y), S(x, y)；
x(F(x) → G(x))
x(M(x) S(x)) x(L(x) F(x))
x(W(x) → B(x))
xy(H(x)H(y)→E(x,y))
(5) H(x)：x是人，
E(x,y)：x与y一样高。
2.1 基本概念
习题
1. (1), (2), (5)
2. (3), (5), (6), (7) 4. (1), (2)
M(张三) M(李四) Firend(张三,李四)
Money(张三, 10000) Money(李四, 1000000) → Rich(李四) Money(王五, -10000) 注：王五欠银行1万元
2.1 基本概念
将下列命题用零元谓词符号化： (1) C++和Java都是计算机高级程序语言。 (2) 如果张明比李民高，李民比赵亮高，那么，张明比赵 亮高。
2.2 谓词合式公式与客体变元的约束
换名规则与代入规则区别

实施对象不同：换名对约束变元，代入对自由变元。 实施范围不同：换名只对子公式(一个量词及其辖域)， 代入对整个公式(整个公式中的一个自由变元)。

施行后的结果不同：换名后公式含义不变，代入后公式含
义可能变化。
对谓词公式分别使用换名规则和代入规则： x(P(x)xQ(x,z) → yR(x,y)) Q(x,z) 将x换u，得：u(P(u)uQ(u,z) → yR(u,y)) Q(x,z)
代u以x，得：x(P(x)xQ(x,z) → yR(x,y)) Q(u,z)
2.2 谓词合式公式与客体变元的约束
谓词逻辑的解释 谓词公式A的论域为D，根据D和A中的常元符号，函数符 号和谓词符号按下列规则做的一组指派称为A的一个解释(赋 值 )。


每一常元符号指定D的一个元素。
每一n元函数指定Dn到D的一个函数。 每一n元谓词指定Dn到{真, 假}的一个函数。
每一n元谓词指定Dn到{真,假}的一个函数。
x
P(x) f(x)
解：
A=(P(2)Q(2,2)) (P(3)Q(3,2)) =(01) (11)=0 B=(P(f(2))Q(2, f(2))) (P(f(3))Q(3, f(2))) =(P(3)Q(2,3)) (P(2)Q(3,3))
xyP(x, y)为真，yxP(x, y)是假。
(2) Q(x, y)：x * y = 0 xyP(x, y)为真，yxP(x, y)也为真。
2.1 基本概念
在论域为所有大学生集，符号下列语句： (1) 所有大学生都会说英语。
(2) 有的大学生会说英语。
(3) 不是所有大学生都会说英语。 解：F(x)：x会说英语。 (1) xF(x) (2) xF(x)
2.2 谓词合式公式与客体变元的约束
换名规则：在谓词公式中，将某量词辖域中出现的某个约 束变元以及对应的指导变元换为本辖域中未曾出现过的个体 变元符号，其余部分保持不变，公式的等价性不变。 如：xy(P(x,y)Q(y,z)) xP(x,y)
使用换名规则，将y换u，得：
xu(P(x,u)Q(u,z)) xP(x,y)
(2) 张文亮来上离散数学课。
(3) 集合D中所有学生都来上离散数学课，D={s1, s2,…,sn}。 解： 客体域 R(麦镇豪) R(张文亮)
(1) P：麦镇豪来上离散数学课。
(2) Q：张文亮来上离散数学课。 (3) R(x)：x来上离散数学课。
R(s1)R(s2)…R(sn)：集合D中的所有学生都来上离 散数学课。
谓词合式公式(合式公式)
(1) 原子是合式公式，如：P(x)； (2) 合式公式经过逻辑联结运算(¬ 、、、→、↔)后，也是 合式公式，如：A→B； (3) 若A是合式公式，且x是A中出现的变元，那么xA和 xA也是公式；
(4) 有限次地应用(1)~(3)形成的符号串仍是合式公式。
如：xyQ(x,y) → ¬ (zP(z)¬ Q(x,y))