广东省普通高中学业水平考试数学解析版含答案

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试卷类型A
2019年1月广东省普通高中学业水平考试
数 学 试 卷
一、
一、 选择题：本大题共15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．已知集合{02,4},{2,0,2}A B ==-，，
，则A B = （ ）
A.{0，2}
B.{-2，4 }
C.[0，2]
D.{-2，0，2，4}
【答案】D
{2,0,2,4}A B =-。

2．设i 为虚数单位，则复数()3=i i +（ ）
A. 1+3i
B. 1+3i -
C. 13i -
D. 13i --
【答案】B
()23331i i i i i +=+=-。

3．函数3log (2)y x =+的定义域为（ ）
A ．(2+)-∞， B.(2+)∞， C. [2+)-∞， D. [2+)∞，
【答案】A
20,2x x +>>-。

4．已知向量(2,2)(2,1),a b =-=-，，则a b +=（ ）
A ．1 C ．5 D. 25
【答案】C
24,3),4(5a b a b +=-+=+-=（。

5．直线3260x y +-=的斜率是（ ） A. 32 B. 3-2 C. 23 D. 2
-3
【答案】B
3=-=-2A k B 。

6．不等式2
90x -<的解集为（ ）
A.{3}x x <-
B. {3}x x <
C.{33}x x x <->或
D. {33}x x -<<
【答案】D
2290,9,33x x x -<<-<<。

7．已知0a >
=（ ）
A. 12
a B.32
a C. 23
a D. 13
a
【答案】D
2113
3
23
a a
a a
-
=
==。

8．某地区连续六天的最低气温（单位：C ）为：9，8，7，6，5，7，则该六天最低气温的平均数和方差分别为（ ）
A. 5
73和 B . 883和 C. 71和 D. 283
和
【答案】A
98765776x +++++=
=，222222215
[(97)+(87)+(77)+(67)+(57)+(77)]63
s =------=。

9．如图1，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12BD =，则1AA =（ ）
A. 1
B.
2
C. 2
D.
3
【答案】B
22222BD AB AD DD =++，1=2DD
10．命题“,sin 10x R x ∀∈+≥”的否定是（ ）
A. 00,sin 10x R x ∃∈+<
B.
,sin 10x R x ∀∈+<
C. 00,sin 10x R x ∃∈+≥
D. ,sin 10x R x ∀∈+≤
【答案】A
11．设x y ，满足约束条件30100x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则-2z x y =的最大值为（ ）
A. – 5
B. – 3
C. 1
D. 4
【答案】C
3=011=02x y x x y y -+=-⎧⎧→⎨⎨+-=⎩⎩，3=03=00x y x y y -+=-⎧⎧→⎨⎨=⎩⎩，+1=01
=00x y x y y -=⎧⎧→⎨
⎨=⎩⎩，
将三点代入2z x y =-则可得最大值为1。

12．已知圆C 与y 轴相切于点（0，5），半径为5，则圆C 的标准方程是（ ）
A.()()2
2
5525x y -+-= B. ()()2
2
5525x y ++-=
C. ()()()()2
2
2
2
555555x y x y -+-=++-=或
D. ()()()()2
2
2
2
55255525x y x y -+-=++-=或
【答案】D
()()
22
2,5x a y b r r -+-==，又和y 轴相切于点
（0，5），5,55,5a b a b ===-=或，
则方程为(
)()()()2
2
22
55255525x y x y -+-=++-=或。

13．如图2，ABC ∆中，,,4AB a AC b BC BD ===，用,a b 表示AD ，正确的是（ ） A.13
44
AD a b =+ B. 5144AD a b =+ C. 3144AD a b =+ D. 5144AD a b =-
【答案】C
111331
()444444
AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB a b =+=+=+-=+=+。

14．若数列{}n a 的通项26n a n =-，设n n b a =，则数列{}n b 的前7项和为（ ）
A. 14
B. 24
C. 26
D. 28
【答案】C
前7项和为
15．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的长轴为12A A ，P 为椭圆的下顶点，设直线12,PA PA 的斜率分别为
12,k k ，且121
= -
2
k k ⋅，则该椭圆的离心率为（ ）
A. 2
B.
C. 12
D. 14
【答案】B
12(0,),(,0),(,0),P b A a A a -1200,0()0b b b b k k a a a a --====-
---，
21221=2b b b k k a a a ⋅=⋅-=-（）-，
令2
2
2
2
2
=2,=1,1,
2c a b c a b e a ∴=-=∴=
==。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.
16．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(4,3)P -，则
cos =α .
【答案】
45
4
5,cos
5
x
r
r
α
====。

17．在等比数列{}n a中，12
1,2
a a
==，则
4
a=.
【答案】8
2
2
42
1
2,8
a
q a a q
a
===⋅=。

18．袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，3个黑球，从中任取两球，则取出的两球颜色相同的概率是.
【答案】
3
10
22
23
2
5
1342
10105
C C
P
C
++
====。

19．已知函数()
f x是定义在,)
-∞+∞
（上的奇函数，当0,)
x∈+∞
[时，2
()4
f x x x
=-，则当,0)
x∈∞
(-时，()=
f x.
【答案】24
x x
-+
22
0,()()[(4()]4
x f x f x x x x x
<=-----⋅-=-+。

三、解答题：本大题共2小题，每小题12分，满分24分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
20．ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,已知3
cos ,55
A bc ==.
（1）求ABC ∆的面积；
（2）若6b c +=，则a 的值.
【答案】
（1）34114
cos ,sin ,sin 5255
225ABC
A A S bc A ===⋅=⋅⋅=；
（2）22222222223
2cos 256()266256205a b c bc A b c b c b c bc =+-⋅=+-⋅⋅=+-=+--=-⋅-=，
=25a
21．如图3，三棱锥P ABC -中，,,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥
2PA PB PC ===，E 是AC 的中点，点F 在线段PC 上.
（1）证明：PB AC ⊥；
（2）若PA 平面BEF ，求四棱锥B APFE -的体积.
（参考公式：锥体的体积公式为1
3
V sh =，其中S 是底面积，
h 是高.）
【答案】
（1）,,=,PA PB PB PC PC PA P ⊥⊥
,PB PAC ∴⊥平面又,AC PAC ⊂平面PB AC ∴⊥。

（2）PA 平面BEF ，,PA PAC ⊂平面,PAC PEF EF =平面平面1
//,2
EF PA
PAEF ∴四边形为梯形，又PA PC ⊥，PAEF ∴四边形为直角梯形，
又E 是AC 的中点，PC F ∴为的中点，又PB PAC ∴⊥平面，
111
(12)121332
B APFE APFE V S PB -∴=⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=四边形。