离散数学及其应用数理逻辑部分课后习题答案

作业答案：数理逻辑部分P14：习题一1、下列句子中，哪些是命题？在是命题的句子中，哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（3 答：简单命题，真命题。

（9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题。

（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。

答：复合命题，假命题。

14、讲下列命题符号化。

（6）王强与刘威都学过法语。

答：:p 王强学过法语；:q 刘威学过法语。

符号化为：p q ∧（10）除非天下大雨，他就乘班车上班。

答：:p 天下大雨；:q 他乘班车上班。

符号化为：p q →（13）“2或4是素数，这是不对的”是不对的。

答：:p 2是素数；:q 4是素数。

符号化为：(())p q ⌝⌝∨15、设:p 2+3=5.:q 大熊猫产在中国。

:r 太阳从西方升起。

求下列复合命题的真值。

（2）(())r p q p →∧↔⌝（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→ 解答： p 真值为1；q 真值为1；r 真值为0.（2）p q ∧真值为1；()r p q →∧真值为1；p ⌝真值为0；所以(())r p q p →∧↔⌝真值为0.（4）p q r ∧∧⌝真值为1，p q ⌝∨⌝真值为0，()p q r ⌝∨⌝→真值为1；所以()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→真值为1. 19、用真值表判断下列公式的类型。

（4）()()p q q p →→⌝→⌝所以为重言式。

)s所以为可满足式。

P36:习题二3、用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出其成真赋值。

（1）()p q q ⌝∧→ 解答：所以为永假式。

（2）(())()p p q p r →∨∨→ 解答：所以因为永真式。

（3）()()p q p r ∨→∧解答：为可满足式。

真值表为4、用等值演算法证明下面的等值式。

（2）(()())(())p q p r p q r →∧→⇔→∧ 解答：（4）()()()()p q p q p q p q ∧⌝∨⌝∧⇔∨∧⌝∨ 解答：5、求下列公式的主析取范式，并求它们的成真赋值。

（1）()()p q q p ⌝→→⌝∨解答：所以成真赋值为00，10，11 （3）(())()p q r p q r ∨∧→∨∨ 解答：所以为永真式，成真赋值为000，001，010，011，100，101，110，111 6、求下列公式的主合取范式，并求它们的成假赋值。

（1）()q p p ⌝→⌝∧⌝ 解答:为永假式，成假赋值为00，01，10，11 （3）(())p p q r →∨∨ 解答：永真式，无成假赋值7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式。

（1）()p q r ∧∨解答：13567024()()(())(()())()()()()()()()()()()()p q r p q r r p p q q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r m m m m m M M M ∧∨⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧⇔∨∨∨∨⇔∧∧已经是析取范式8、求下列公式的主合取范式，再用主合取范式求主析取范式。

（2）()p q r ↔→ 解答：13、已知公式A 含3个命题变项,,p q r ，并且它的成假赋值为010，011，110，111，求A 的主析取范式和主合取范式。

解答：成真赋值为000,001,100,101 所以主析取范式为0145m m m m ∨∨∨ 而主合取范式为2367M M M M ∧∧∧ 15、用主析取范式判断下列公式是否等值。

（2）()p q ⌝∧和()p q ⌝∨ 解答：所以两式并不等值。

18、将下列公式化成与之等值且仅含有{,}⌝∧中联结词的公式 （3）(())p q r p →∧∨解答：29、在某班班委成员的选举中，已知王小红、李强、丁金生3位同学被选进了班委会。

该班的的甲、乙、丙3位同学预言： 甲说：王小红为班长，李强为生活委员； 乙说：丁金生为班长，王小红为生活委员。

丙说：李强为班长，王小红为学习委员。

班委会分工名单公布后发现，甲乙丙三人都恰好猜对了一半。

问王小红、李强、丁金生各任何职？（用等值演算求解） 解答：命题符号化：:p 王小红为班长；:q 李强为生活委员；:r 丁金生为班长；:s 王小红为生活委员；:u 李强为班长；:v 王小红为学习委员。

设1:A p q ∧⌝；2:A p q ⌝∧；1:B r s ∧⌝；2:B r s ⌝∧；1:C u v ∧⌝；2:C u v ⌝∧； 由题意可知：0;0;0;0;0;0;0;0p r p s p u p v q s q u r u s v ∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔所以1112111222210;0;0;0;0;0;A B A B A C A C A B A C ∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔∧⇔ 所以所以选举结果为：李强为生活委员；丁金生为班长；王小红为学习委员。

30、某公司要从赵、钱、孙、李、周5名新毕业的大学生中选派一些人出国学习。

选派必须满足条件：（1）若赵去，钱也去；（2）李、周两人中必有一人去； （3）钱、孙两人中去且仅去一人； （4）孙、李两人同去或同不去； （5）若周去，则赵、钱也同去。

用等值演算法分析该公司该如何选派他们出国。

解答：命题符号化：:p 赵去；:q 钱去；:r 孙去；:s 李去；:t 周去。

所满足的条件即为 （1）若赵去，钱也去：p q →；（2）李、周两人中必有一人去：s t ∨；（3）钱、孙两人中去且仅去一人：()()q r q r ∧⌝∨⌝∧； （4）孙、李两人同去或同不去：()()r s r s ∧∨⌝∧⌝； （5）若周去，则赵、钱也同去：()t p q →∧。

将所有条件进行合取，然后求其主析取范式 （过程省略）所以最终方案有两套：（1）赵钱周不去，孙李去；（2）赵钱周去，孙李不去。

P50:习题三9、用3种方法（真值表、等值演算、主析取范式）证明下面推理是正确的。

若a 是奇数，则a 不能被2整除。

若a 是偶数，则a 能被2整除。

因此，如果a 是偶数，则a 不是奇数。

解答：命题符号化：:p a 为奇数；:q a 为偶数；:r a 能被2整除推理的形式结构：前提：p r →⌝；q r →；q结论：q ⌝推理的形式结构的另外一种描述： 证明：（1）真值表法：所以()()p r q r q p →⌝∧→∧→⌝为永真式；推理()()p r q r q p →⌝∧→∧⇒⌝是正确的。

（2）等值演算： （3）主析取范式12、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。

前提：()p q r →→，()q r s →→ 结论：()p q s ∨→ 证明： ①p q ∨ 附加前提引入 ②p①化简 ③q①化简 ④()p q r →→ 前提引入 ⑤q r → ②④假言推理 ⑥r③⑤假言推理 ⑦()q r s →→ 前提引入⑧r s → ③⑦假言推理 ⑨s⑥⑧假言推理14、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明： （2）前提：,(),p q q r r →⌝∧结论：p ⌝ 证明： ①()q r ⌝∧ 前提引入 ②q r ⌝∨⌝ ①置换 ③r 前提引入 ④q ⌝②③析取三段论 ⑤p q →前提引入⑥p ⌝ ④⑤拒取式（4）前提：,,,q p q s s t t r →↔↔∧结论：p q ∧证明： ①t r ∧ 前提引入 ②t ①化简 ③r①化简 ④s t ↔前提引入⑤()()s t t s →∧→ ④置换⑥t s →⑤化简 ⑦q s ↔前提引入⑧()()q s s q →∧→ ⑦置换 ⑨s q → ⑧化简 ⑩tq →⑥⑨假言三段论 ○11q②⑩假言推理 ○12q p → 前提引入○13p○11○12假言推理 ⑨p q ∧○12○13合取 15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （1）前提：(),,p q r s p q →→→ 结论：s r → 证明： ①s附加前提引入 ②s p → 前提引入 ③p①②假言推理 ④()p q r →→ 前提引入 ⑤q r → ③④假言推理 ⑥q 前提引入⑦r⑤⑥假言推理16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理： （1）前提：,,p q p r q s ∨→→结论：r s ∨ 证明：①()r s ⌝∨结论否定引入②r s ⌝∧⌝ ①置换 ③s ⌝ ②化简 ④r ⌝②化简 ⑤p r →前提引入⑥q s → 前提引入 ⑦p ⌝ ④⑤拒取式 ⑧q ⌝③⑥拒取式 ⑨p q ⌝∧⌝ ⑦⑧合取 ⑩()p q ⌝∨⑨置换○11p q ∨前提引入⑩○11矛盾。

17：在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没有离开，A 就是谋杀嫌疑犯。

A 曾到过受害者房间。

如果A 在11点以前离开，看门人会看见过他。

看门人没有看见他。

所以，A 是谋杀嫌疑犯。

解答：（1） 命题符号化：:p A 曾到过受害者房间；:q A 在11点以前离开；:r A 就是谋杀嫌疑犯；:s 看门人会看见过A ；（2） 推理的形式结构：前提：();;;p q r p q s s ∧⌝→→⌝ 结论：r （3） 证明①s ⌝前提引入②q s → 前提引入 ③q ⌝ ①②拒取式 ④p前提引入 ⑤p q ∧⌝③④合取 ⑥()p q r ∧⌝→ 前提引入 ⑦r⑤⑥假言推理。

P63:习题四5、在一阶逻辑中讲下列命题符号化。

（3）不存在比所有火车都快的汽车。

（4）凡是汽车就比火车慢是不对的。

解答：():()(,)F x x G y y H x y y x 为火车；：为汽车；：比快。

（3）((()()(,)))y x G y F x H x y ⌝∃∀∧→（4）(()()(,))y x G y F x H y x ⌝∀∀∧→6、将下列命题符号化，个体域为实数集合R ，并指出各命题的真值。

（1）对所有的x ，都存在y 使得0x y ⋅=。

（3）对所有的x ，都存在y 使得1y x =+。

解答：(,):0;(,):1F x y x y G x y y x ⋅==+ （1）(,)x yF x y ∀∃，真值为1； （3）(,)x yG x y ∀∃，真值为1； 9、给定解释I 如下。

（a ）个体域为实数集合R 。

（b ）特定元素0a=。

（c ）函数(,),,f x y x y x y R =-∈（d ）谓词(,):,(,):,,F x y x y G x y x y x y R =<∈。