一线三等角的基本图形
初中数学58种模型之一线三等角模型
初中数学58种模型之一线三等角模型“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。
这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。
对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”。
“一线三等角”的起源DE 绕A 点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.下面分几种类型讨论：一、直角形“一线三等角”——“一线三直角”结论：△ADB ∽△CEA二、锐角形“一线三等角结论：△ADB∽△CEA∽△CAB三、钝角形“一线三等角结论：△ADB∽△CEA∽△CAB下面总结几种常考类型：类型一三角齐见，模型自现类型一概述以上两例都是典型的“一线三等角”试题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试题的起点．两道题虽涉及不同的图形变换，但解法本质一致，均为利用模型构建比例式解决问题．两道题都着重考查学生在图形变换过程中的观察理解、直观感知、推理转化等数学能力和思想．类型二隐藏局部，小修小补类型二概述上述两道题虽分别以四边形和一次函数为命题背景，但图形的共性较明显: 均将原有“一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图中的几何模型．两道题均较好地体现了对“四基”的综合考查，提升了学生思维的层次性和灵活性．类型三一角独处，两侧添补类型三概述上述几道题虽呈现的背景不同，但都蕴知识技能、思想方法、数学模型于图形之中．题中的“特殊角”是解题的关键，也是搭建模型框架的基础，更是学生解题思路的来源与“脚手架”．这几道题实质上都是考查学生利用模型进行数学思考的能力，同时也有效地检测了学生对数学本质属性的把握情况．类型四线角齐藏，经验来帮类型四概述本题实质上以图形的旋转为问题的切入点，较好地激发学生探索的意愿，促使学生在模拟图形运动的同时，自发地利用题中所蕴含的特殊角，展开适当的联想，寻找图形间的联系，利用数学解题经验，搭建模型框架。
2023届初中数学中考复习-一线三垂直与一线三等角
一线三垂直与一线三等角一、基础知识回顾1) 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°2)1 平角= 180 度二、模型的概述：1) 一线三垂直模型[模型概述] 只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。
根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。
基础构造1构造2一线三垂直模型一：如图A B ⊥BC，AB = BC，CE ⊥DE，AD ⊥DE，则∆ABD ≌∆BCE，DE =AD +EC证明：∵CE ⊥DE，AD ⊥DE，AB ⊥BC∴∠CEB = ∠ADB = ∠ABC = 90°∴∠1 + ∠2 = 90°, ∠2 + ∠3 = 90°∴∠1 = ∠3∠1 = ∠3在∆ABD 和∆BCE 中，〈∠CEB = ∠ADB = 90°AB = BC∴∆ABD ≌∆BCE(AAS)∴AD = BE,EC = BD则DE = BE + BD = AD + EC一线三垂直模型二：如图A B ⊥BC，AB = BC，CE ⊥DE，AD ⊥DE，则∆ABD ≌∆BCE，DE =AD - EC证明：∵CE ⊥DE，AD ⊥DE，AB ⊥BC∴∠CEB = ∠ADB = ∠ABC = 90°∴∠A + ∠ABD = 90°, ∠ABD + ∠CBE = 90°∴∠A = ∠CBE∠A = ∠CBE在∆ABD 和∆BCE 中，〈∠CEB = ∠ADB = 90°AB = BC∴∆ABD ≌∆BCE(AAS)∴AD = BE,EC = BD则DE = BE - BD = AD - EC一线三垂直其它模型1) 图1，已知∠AOC = ∠ADB = ∠CED = 90°, AB = DC，得∆ADB ≌∆DEC2) 图2，延长DE 交AC 于点F，已知∠DBE = ∠ABC = ∠EFC = 90°, AC = DE，得∆ABC ≌∆DBE图1图22) 一线三等角模型[模型概述] 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
精品一线三等角相似模型.ppt课件
如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不 与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；
（1）求证：△ABP∽△PCM； （2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出函数的取值范
A型
基本 8型 图形
K型
一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三 个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形， 这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
三角形基架
K型 矩形基架
梯形基架
毕达哥拉斯证法
赵爽弦图
K字型的一般形式
你能证明吗？
证明： 在ABC中 1 A ACB 180 又 2 DCE ACB 180
1 2 3 A DCE △ABC∽△CDE
1、如图，等边△ABC的边长为3
，点D是BC上一点，且BD=1，在
AC上取点E，使∠ADE=60度，AE
长为（ c ）
A. 3 B. 2
2
3
C.
7 3
D. 3
4
2.在矩形ABCD中,AB=4，BC=5，AF平 分∠DAE,EF⊥AE，
1.5 则CF= ______
∴ PM PC 5 PA AB 8
即
8x 5 58
39
∴BP= 8
A M
B
P
C
A
M
BP
CA MBPC5
• ∴BE= 3
【2014德州中考试题】 24．（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的 直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，说明理由．
（2016呼市T9）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一
相似三角形基本模型一线三等角精品PPT课件
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
A
△ABE∽ △ECF
F
（（2）1）点点E为E为BBCC上上任任意意一一点点若，∠若B= ∠∠CB==α,∠∠CA=E6F0°= ∠, ∠CA,则EF△=A∠BCE,则与△ EC△FA的B关E与系△还成EC立F吗的？关系还成立吗？
说明理由
B
α
α
B
E
α
C
点拨：要善于运用类比、迁移的数学方法 解决问题。
A
A
①
B
F
②
E
C
①
B
③
F
②
E
C
E为中点
D
A
F
①
α
B
α ②α
E
C
A
F
①
α
B
③
α②
α
E
C
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,
则EF=___5___
D
F
C
EE
A
点拨：要善于在复杂图形中寻找基本型。 B
A
E F
B
D
C
变式：已知：△ABC中，AB=AC, ∠BAC= 120°,D为BC的 中点， 且∠EDF =∠C, （1） 若BE·CF=48,则AB=__8___
（2）在（1）的条件下，若EF=m,
则S△DEF =___3__m__
A EH
F
P
B
D
点拨：联想基本模型，寻找 相关结论。
C
几何模型：一线三等角模型 (最终版)
初中几何模型之“一线三等角模型”一.【一线三等角概念】“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.【一线三等角的分类】2.1 全等篇_同侧A PA P锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧PDPP锐角直角钝角2.3 相似篇_同侧DCA BPP锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧PDPP锐角直角钝角三、【性质】1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α2=α3易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。
3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解)如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5四、【“一线三等角”的应用】1.应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题；c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.注意：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.适应场景：在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造步骤：找角、定线、构相似【引例】例 1如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边长．思路引导：【脑洞大开-三角构造】例 1 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求 BC 的长.横向构造纵向构造斜向构造斜A相似构造：例 2 如图，△ABC 中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求 AD 的长.纵向横向斜向一线三垂直的补形：角含半角补形练一练：1.如图，在△ABC 中，∠BAC=135°， AC= 2AB, AD⊥AC 交 BC 于点 D，若 AD = 2，求△ABC的面积思路提示：【中点型一线三等角】例1、如图，在Rt⊿ABC 中，AB = AC =2，∠A = 90°，现取一块等腰直角三角板，将45° 角的顶点放在BC 中点O 处，三角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点E、F，设BE =x，CF = y，∠BOE = α( 45° ≤ α ≤ 90°) ．( 1) 试求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围;( 2) 试判断∠BEO 与∠OEF 的大小关系?并说明理由;( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中，⊿OEF 能否成为等腰三角形? 若能，求出对应x 的值; 若不能，请说明理由．例2．如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90∘，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合。
专题 相似三角形一线三等角模型(学生版)
专题04相似三角形重要模型－一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.是边A．3B．5C．2D．1B (1)如图2，在53⨯个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不．．．同连接格点．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt APC △中，90A ∠=，AC AP >，延长AP 至点B ，使AB AC =，作A ∠的等联角CPD ∠和PBD ∠．将APC △沿PC 折叠，使点A 落在点M 处，得到MPC ，再延长PM 交BD 的延长线于E ，连接CE 并延长交PD 的延例5.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．例6．（2023·浙江·九年级专题练习）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点D 在BC 所在的直线上运动，作45ADE ∠=︒（A 、D 、E 按逆时针方向）．（1）如图，若点D 在线段BC 上运动，DE 交AC 于E ．①求证：ABD DCE △△∽；②当ADE V 是等腰三角形时，求AE 的长；（2）如图，若点D 在BC 的延长线上运动，DE 的反向延长线与AC 的延长线相交于点E '，是否存在点D ，使ADE '△是等腰三角形？若存在，求出线段CD 的长度；若不存在，请简要说明理由；（3）若点D 在BC 的反向延长线上运动，是否存在点D ，使ADE V 是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由．上一点，轴9,23A．()9,3B．()3．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形4．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．分别在边6．（2022秋·安徽淮北·九年级校考阶段练习）如图，在四边形分别在线段AD、DC上（点E与点A、CD=，在BC边上取中点E，连接DE，过点E 8．（2023·山东烟台·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，4做EF ED⊥与AB交于点G，与DA的延长线交于点F．(1)求证：BEG CDE△∽△；(2)求AFG的面积．⊥交AB于点M，9．（2023·上海·九年级假期作业）在矩形ABCD中，3AB=，4=AD，点E是边AD上一点，EM EC∠=∠．(1)求证：AE是AM和AN的比例中项；(2)当点N在线段AB的延点N在射线MB上（如图），且ANE DCE长线上时，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长．的两个等腰直角三角形，(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．312．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中6cm AB AC ==，8cm BC =，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B 、C 两端点），连接AE ，作AED B ∠=∠，交线段AB 于点D ．(1)求证：BDE CEA△∽△(2)设BE x =，AD y =，请求y 与x 之间的函数关系式．(3)E 点在运动的过程中，ADE V 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．13．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点C '，连接BB '；②在①中所画图形中，AB B '∠=______︒．【问题解决】如图2，在Rt ABC △中，190BC C =∠=︒，，延长CA 到D ，使1CD =，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90︒到AE ，连接DE ，求ADE ∠的度数．【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD 中，AE BC ⊥，垂足为E ，BAE ADC ∠=∠，1BE CE ==，3CD =，2=AD AB ，求BD 的长．14．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线AB 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，2OA =，AOB 的面积为2．(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k =-<，AD y ⊥轴，将BC 绕点B 顺时针旋转90︒，交AD 于点D ，求点D 的坐标．（用含k 的式子表示）(3)如图3，在（2）的条件下，连接OD ，交直线BC 于点E ，若345ABC BDO ∠-∠=︒，求点E 的坐标．九年级专题练习）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在BC=．点E是线段AD上的动点（点E不与18．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，4AB=，6⊥，交AB于点F．点A，D重合），连接CE，过点E作EF CE∽；(1)求证：AEF DCE⊥，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．(2)如图2，连接CF，过点B作BG CF①求AG GM+的最小值；②当AG GM+取最小值时，求线段DE的长．。
专题02 全等模型-一线三等角(K字)模型(解析版)
专题02全等模型--一线三等角（K 字）模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（同侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE⇒≅ 例1．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，求证：ABD CAE ≌ ．应用：如图②，在ABC 中，AB AC =，,,D A E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠．求出,DE BD 和CE 的关系．拓展：如图①中，若10DE =，梯形BCED 的面积______．【答案】探究：证明过程见详解；应用：DE BD CE =+，理由见详解；拓展：50【分析】探究：90BAC ∠=︒，AB AC =，可知ABC 是等腰直角三角形，BD m ⊥，CE m ⊥，可知90BDA AEC ∠=∠=︒，可求出BAD ACE ∠=∠，根据角角边即可求证；应用：AB AC =，,,D A E 三点都在(1)如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为___________，CE 与AD 的数量关系为(2)如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；(3)如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点例3．（2022·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．(1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=_____︒，BAD ∠=_____︒，AED =∠_____︒；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由见解析；(3)当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE V 的形状是等腰三角形．【分析】（1）先求出ADC ∠的度数，即可求出EDC ∠的度数，再利用三角形的外角性质即可求出AED ∠的度数，根据点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可；【详解】（1）解：∵115BDA ∠=︒，∴18011565ADC ∠=︒-︒=︒，∵40ADE ∠=︒，∴25EDC ADC ADE ∠︒=∠-∠=，∵ADC ADE EDC B BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∴25BAD EDC ∠=∠=︒，∴65AED EDC C ︒∠=∠+∠=；∵点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，∴点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小，故答案为：25，25，65，小；（2）解：当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由：∵40B C ∠=∠=︒，∴140DEC EDC ∠+∠=︒，又∵40ADE ∠=︒，∴140ADB EDC ∠+∠=︒，∴ADB DEC ∠=∠，又∵2AB AC ==，∴()AAS ABD DCE ≌△△；（3）解：当BDA ∠的度数为110°或80°时，ADE V 的形状是等腰三角形，理由：∵40C ADE ∠=∠=︒，AED C EDC ∠=∠+∠，∴AED ADE ∠>∠，∴当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，模型2.一线三等角（K 型图）模型（异侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
一线三等角模型
一线三等角模型一线三等角定义：指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，通常称为“K字模型”，也有部分地方称为“M形图”。
起源与基本类型DE绕A点旋转，从外到内，从一般位置到特殊位置。
基本类型同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”性质1.一般情况下，如下左图，易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等。
（若CE=ED，则△AEC≌△BDE）3.中点型“一线三等角”如右上图，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“一线三等角”的各种变式应用1.“一线三等角”应用的三种情况。
a.图形中已经存在一线三等角，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段。
3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似。
如上图，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D两点作直线l的垂线是必不可少的。
模型建立例如图2，已知E是矩形ABCD的边AB上一点，EF⊥DE交BC于点F，试说明：ΔADE∽ΔBFE。
分析：要证明ΔADE与ΔBFE相似，已经知道∠A=∠B=90°，只需要再找出另外一对相等的角即可。
解答：在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°∵EF⊥DE∴∠DEF=90°，∠2+∠3=90°又∵∠1+∠3=90°∴∠1=∠2∴ΔADE∽ΔBFE小结：此时，在直线AB上，∠A=∠DEF=∠B=90°，一条线上有3个直角，两边的ΔADE与ΔBFE相似。
这个相似的基本图形像字母K，可以称为“K”型相似，但更因为图形的结构特征是一条线上有3个垂直关系，也常被称为“一线三垂直”。
全等之一线三等角模型(含答案)
全等之一线三等角模型1. 一线三垂直【核心考点】：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过°顶点作该直线的垂线，构造三垂直模型．必有如下全等三角形：【经典图形】：【变式图形】：由得由得≌≌（1）（2）1.如图，正方形的顶点在直线上，，于点，于点．求证：≌．若，求点到直线的距离．2.如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为 ．（1）（2）3.如图，在中，，，于点，于点，，．求证：．求线段的长度．4.如图，点在线段上，，，，且，，，，求的度数．5.如图，是等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则 ．6.如图，为等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则点坐标为 ．（1）（2）7.如图，，，，，垂足分别为，．证明：≌．若，，求的长．（1）（2）（3）8.在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：．图当直线绕点旋转到图②的位置时．求证：．图当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．图9.如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，．则两条凳子的高度之和为 ．A. B. C. D.10.如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）．（1）（2）11.如图，中，，，是过点的一条直线，且点，在的同侧时，于，于．求证：．变成如图，，在的异侧时，，，关系如何？并加以证明．（1）（2）（3）12.如图所示，已知、为直线上两点，点为直线上方一动点，连接、，另以、为边向外作正方形和正方形，过点作于点，过点作于点．如图，当点恰好在直线上时，（此时与重合），试说明．如图，当、两点都在直线的上方时，试探求三条线段、、之间数量关系，并说明理由．如图，当点在直线的下方时，线段，、之间的数量关系又如何？请写出你的结论，并说明理由．2. 一线三等角【核心考点】：只要在一条直线上出现三个角相等，一般都可以构造全等三角形解决问题．【经典图形】：A. B. C. D.13.如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上，则的长是（ ）．14.如图，已知中，点为上一点，，两点分别在边，上，若，，，，则．ACBFDE 15.如图，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．16.感知：如图①，点在正方形的边上，于点，于点，可知≌．（不要求证明）拓展：如图②，点，分别在的边，上．点，在内部的射线上，，分别是，的外角．已知，，求证：≌．应用：如图③，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．图图图图图图（1）（2）（3）17.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：．组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有(其中为任意锐角或钝角)，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点（、、互不重合），在运动过程中线段的长度始终为，连接、．若，则周长是 ．（请直接写出答案）（1）（2）18.如图，是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在直线上，请解决下面两个问题：①如图①，若，，则；（填“”、“”、“”）；图②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．图如图③，若直线经过的外部，，请提出、、三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图全等之一线三等角模型1. 一线三垂直【核心考点】：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过°顶点作该直线的垂线，构造三垂直模型．必有如下全等三角形：【经典图形】：【变式图形】：由得由得≌≌【备注】【教法指导】通过例1.1可以详细给学生示范一下三垂直模型的书写过程，其中倒角用的是“同角的余角相等”，提醒书生注意1.如图，正方形的顶点在直线上，，于点，于点．（1）（2）（1）（2）【解析】【标注】求证：≌．若，求点到直线的距离．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵四边形是正方形,，，∴，，，∴，，∴，∴在与中，，∴≌．过作，∵四边形是正方形，，∴，，，，∴，，，∴在与中，，∴≌，∴，∴在中，，，，∴点到直线的距离．【知识点】正方形与全等综合2.【解析】【标注】如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为 ．【答案】∵四边形是正方形，∴，，∵则是直角三角形，∴，，又∵，∴，在和中，，∴≌，∴，∴．【知识点】三垂直模型3.如图，在中，，，于点，于点，，．（1）（2）（1）（2）【解析】【标注】求证：．求线段的长度．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵，，，∴，，∴，在和中，，∴≌，∴．∵≌，∴，，∴．【知识点】三垂直模型4.【解析】如图，点在线段上，，，，且，，，，求的度数．【答案】．连接、．∵，，．∴．【标注】在和中，∴≌∴，，∴．∴为等腰三角形．同理可得为等腰三角形．∴．．【能力】分析和解决问题能力【知识点】SAS【知识点】全等三角形的性质5.【解析】【标注】如图，是等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则．【答案】由三垂直模型易证≌，∴．【知识点】坐标与距离；三垂直模型6.如图，为等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则点坐标为 ．【解析】【标注】【答案】由三垂直模型易证≌，∴，，∴点坐标为，故答案为：．【知识点】根据坐标描点、根据点写坐标；三垂直模型（1）（2）7.（1）【解析】如图，，，，，垂足分别为，．证明：≌．若，，求的长．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵，，，∴，∴，，∴，在和中，（2）【标注】，∴≌．∵≌，∴，，∴（）．【知识点】一线三等角模型（1）（2）（3）8.在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：．图当直线绕点旋转到图②的位置时．求证：．图当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．图【答案】（1）（2）（3）证明见解析．证明见解析．．（1）（2）（3）【解析】【标注】∵中，，∴，又直线经过点，且于，于，∴，∴，∴，在和中，，∴≌（），∴，，∴．∵中，，直线经过点，且于，于，∴，，而，∴≌，∴，，∴．∵中，，直线经过点，且于，于，∴，，∴，∵，∴≌，∴，，∴；、、之间的关系为．【能力】推理论证能力【能力】运算能力【知识点】AAS【知识点】全等三角形的对应边与角9.如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，．则两条凳子的高度之和为 ．【解析】【标注】【答案】由题意可得：，，，在和中，，∴（），故，，则两条凳子的高度之和为：．故答案为：．【知识点】全等三角形实际生活中的应用A. B. C. D.10.方法一：【解析】如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）．【答案】A ∵，，∴，∵在和中，，方法二：【标注】∴≌（），同理 ≌（），∴，，，，∵梯形的面积，，，∴图中实线所围成的图形的面积．∵且，，，，，∴，，≌，∴，．同理证得≌得，．故，故．故选：．【知识点】三垂直模型（1）（2）11.如图，中，，，是过点的一条直线，且点，在的同侧时，于，于．求证：．变成如图，，在的异侧时，，，关系如何？并加以证明．（1）（2）【解析】【标注】【答案】（1）（2）证明见解析．．．∵，，，∴，∴，∴．∵，在和中，，∴≌，∴，，∴．∵，∴．成立．∵，，，∴．∵，，∴．∵，在和中，，∴≌，∴，．∵，∴．【能力】推理论证能力【能力】分析和解决问题能力【知识点】全等三角形的性质【知识点】AAS（1）（2）（3）12.（1）【解析】如图所示，已知、为直线上两点，点为直线上方一动点，连接、，另以、为边向外作正方形和正方形，过点作于点，过点作于点．如图，当点恰好在直线上时，（此时与重合），试说明．如图，当、两点都在直线的上方时，试探求三条线段、、之间数量关系，并说明理由．如图，当点在直线的下方时，线段，、之间的数量关系又如何？请写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）（2）（3）证明见解析．．．∵四边形和为正方形，（2）（3）∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴≌（），∴．，理由如下：过点作于，∵，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，∴，∴≌（），∴，同理得：，∵，∴．，理由如下：过点作于，【标注】∵，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，∴，∴≌（），∴，同理得：，∵，∴．【知识点】正方形与全等综合2. 一线三等角【核心考点】：只要在一条直线上出现三个角相等，一般都可以构造全等三角形解决问题．【经典图形】：【备注】【教法指导】注意三个相等的角度可以在直线同侧，也可以在直线异侧．A. B. C. D.13.【解析】如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上，则的长是（ ）．【答案】B如图所示∵，，∴，∵为等边三角形，∴，∵线段绕点逆时针旋转得到线段，【标注】要使点恰好落在上，∴，，∵，，∴，在和中，∵，∴≌，∴．故选．【知识点】等边三角形的性质14.【解析】【标注】如图，已知中，点为上一点，，两点分别在边，上，若，，，，则．ACBFDE 【答案】∵，，∴,在和中，，∴≌，∴，∵，，∴．【知识点】一线三等角模型15.【解析】【标注】如图，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．【答案】∵，∴与等高，底边比值为，∴与面积比为，又的面积为，∴与面积分别为和．∵，∴．∵，，∴．在和中，，∴≌．∴，∴．【知识点】三角形的周长与面积问题16.感知：如图①，点在正方形的边上，于点，于点，可知≌．（不要求证明）拓展：如图②，点，分别在的边，上．点，在内部的射线上，，分别是，的外角．已知，，求证：≌．【解析】【标注】应用：如图③，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．图图图【答案】见解析拓展：证明：∵，∴．∵，，又，∴．在和中，，∴≌．应用：解：∵，∴．∵，，，∴．在和中，，∴≌．∴．∵在中，，∴．∵，∴．∴．【知识点】全等三角形实际生活中的应用17.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．图图图（1）（2）（3）图（1）【解析】如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：．组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有(其中为任意锐角或钝角)，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点（、、互不重合），在运动过程中线段的长度始终为，连接、．若，则周长是 ．（请直接写出答案）【答案】（1）（2）（3）证明见解析．证明见解析．如图，∵直线，直线，∴，∵，∴，∵，∴，在与中，，∴≌,∴，，∴，∴．图（2）图（3）【标注】．如图，证明如下：∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴，∴．∵≌，∴，，∵和均为等边三角形，∴，，∴，即，在和中，，∴≌，∴且，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴．【知识点】多解或多种判定混合（1）18.如图，是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在直线上，请解决下面两个问题：21（2）【标注】①如图①，若，，则 ； （填“”、“”、“”）；图②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．图如图③，若直线经过的外部，，请提出、、三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图【答案】（1）（2）（）；．，先证明，再证明≌．．【知识点】全等三角形的性质。
一线三等角
（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
②求AP的长．
解析：
A
P
D
B
C
一线三等角-等腰梯形
例2、已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线
BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出
函数的定义域；QQ群383701049
A
P
D
解析：
B
C
E
Q
一线三等角-等腰梯形
例2、已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2． （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线 BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 ②当CE＝1时，写出AP的长。
F
C
EGABM 一线三等角-等腰梯形
例2、已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
①求证：△ABP∽△DPC
解析：
A
P
D
（1）①等腰梯形同一底上两底角相等
+由外角推得等角
B
C
一线三等角-等腰梯形
例2、已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
△FEM∽△FMA（共角共边型）
F
C
E
G
A
B
M
一线三等角-等腰三角形
例1、如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=4， M是边AB的中点，
初中数学解题模型专题讲解9---一线三等角模型
初中数学解题模型专题讲解专题9 一线三等角模型“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。
这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。
对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”。
的起源“一线三等角”的起源一线三等角”DE 绕 A 点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.下面分几种类型讨论：——““一线三直角一线三直角”””——一、直角形一线三等角”直角形““一线三等角ADB ∽△CEACEA结论：△ADB“一线三等角锐角形“二、锐角形结论结论：：△ADB ∽△CEA ∽△CAB三、钝角形钝角形““一线三等角结论结论：：△ADB ∽△CEA ∽△CAB下面总结几种常考类型下面总结几种常考类型：：类型一 三角齐见三角齐见，，模型自现类型一概述以上两例都是典型的建，因此降低了试题的起法本质一 致，均为利用考查学生在图形变换过学能力和思想．典型的“一线三等角”试 题，由于模型的题的起 点． 两道题虽涉及不同的图形变为利用模型构建比例式解决问题． 两道题变换过程中的观察理解、直观感知、推理模型的框架已搭图形变换，但解两道题都 着重推理转化等数类型二 隐藏局部隐藏局部，，小修小补类型二概述上述两道题虽分别以四明显: 均将原有 “一线要求学生理性地从图形征，挖掘蕴含在图中的几的综合考查， 提升了学类型三 一角独处一角独处，别以四边形和一次函数为命题背景，但图形一线三等角”模型中的一角进行了隐藏从图形的角度进行思考与联想，发现其中最中的几何模 型．两道题均较好地体现了对升了学生思维的层次性和灵活性． ，两侧添补但图形的共性较隐藏，而这就其中最本质的特现了对“四基”类型三概述上述几道题虽呈现的背模型于图形之中．题中框架的基础，更是学生质上都是考查学生利用了学生对数学本质属性现的背景不同，但都蕴 知识技能、思想方题中的 “特殊角”是解题的关键，也是是学生解题思路的来源与“脚手架”．生利用模型进行数学思考的能力，同时也有质属性的把握情况．思想方法、数学也是搭建模型 这几道题实时也有效地检测类型四 线角齐藏线角齐藏，类型四概述本题实质上以图形的旋愿，促使学生在模拟图殊角，展开适当的联想建模型框架。
“一线三等角”全等的基本模型及变形
“一线三等角”全等的基本模型及变形“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等(或相似)图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.有些时候我们也称之为“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下统称为“一线三等角模型”问题。
“一线三等角”模型是全等三角形和相似三角形中的一种重要考察模型，而这种模型的核心在于通过倒角来证出三角形中的两组等角，再根据题意进行解题。
一线三等角的分类同侧：一线三等角全等形已知：∠B=∠C=∠AED=∂, AE=DE.求证：ΔABE≌ΔECD.异侧：一线三等角全等形已知：∠B=∠C=∠AED=∂, AE=DE.求证：ΔABE≌ΔECD.例1．（2022沙坪坝区校级开学）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为__________变式1．（2021秋鼓楼区校级期末）如图1，在△PMN中，PM=PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），则M的坐标是__________变式2．（2021秋大连期末）如图2，△ACB在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AC的中点，点A的坐标是（1，2），则点B的坐标为__________变式3．（2021秋龙湾区期中）如图3，OA⊥OB，OB=4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO=45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（）A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．保持不变图1 图2 图3例2．（2021春朔州期末）如图，直线a ∥b ∥c ，直线a 与直线b之间的距离为2，直线b 与直线c 之间的距离为4．正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若顶点A ，D ，C 分别在直线a ，b ，c上，则△AOD 的面积为__________变式1．（2020春临邑县期末）如图，四边形ABCD 是正方形，直线a ，b ，c分别通过A 、D 、C 三点，且a ∥b ∥c ．若a 与b 之间的距离是3，b 与c 之间的距离是5，则正方形ABCD 的面积是__________例3（2021秋和平区校级期中）如图，直线y=-231+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ． （1）求点A 、B 的坐标．（2）以线段AB 为直角边作等腰直角△ABC ，点C 在第一象限内，∠BAC=90°，求点C 的坐标．（写出解答过程）（3）在（2）的条件下，若以Q 、A 、B 为顶点的三角形和△ABC 全等（点Q 不与点C 重合），则点Q 的坐标为__________．。
一线三等角模型 ppt课件
（2）
3x
2
2
x
x2 4
3 x2 4
3
2
3 x 2 3x 2
2
3
13
13 2
方法一：勾股定理； 方法二：证明D是AH中点。
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
BC 4
PD PC AD PD PC 13 BC
2
2020/9/8
一线三等角模型
15
一线三等角压轴题（共同探讨解题方法和注意事项）
一线三等角模型
2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标：
用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相 关问题；
重点：掌握“一线三等角”基本模型；
难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
2020/9/8
特别是“一线三直角”辅助线的构造
一线三等角模型
3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
一
线
三
直角形一线三等角
等
角
钝角形一线三等角
一线三等角模型
最特殊 考到概 率最大
4
总结解题规律 一线三角两相似：
60° 60° 60°
60°
60° 60°”基本模型 以等腰三角形（含等边三角形）或等腰梯形为背景的一线三等角
注意：压轴题中出现射线、 直线要分类讨论！
思考：若把
tanBAO
3 3
样？
改t为anBAO
1 2
，解法是否一
2020/9/8
一线三等角模型
10
2a
9 a 9
2
9 2a
9
a
2
八年级全等模型第1讲一线三等角课件
中位线定理
证明角度相等方法
④角度的和差关系
⑤证明角所在的三角形全等或类似
⑥四点共圆，对角互补
⑦圆周角定理
⑧等（同）角的余（补）角相等
课堂练习
例1、已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．
(1)如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE= BD+CE;
CD= DE，∠CDE=45°求证：BD= BC．
【解答】已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴∠B=45°∵CD= DE，∠CDE=45°
∴∠DCE=
180°−∠
2
= 67.5°
在△DCB中，同理∠CDB=180°-∠DCE-∠B=67.5°
∴∠DCE=∠CDB
∴BD= BC
对应边相等即可，再根据线段的和差关系不难解出答案。
课堂练习
二、等边三角形中的“一线三等角”
例1、如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别AB ， BC，AC上的点，∠DEF= 60°， BD=CE．求证：BE= CF．
【解答】
已知△ABC为等边三角形
∴∠B=∠C=60°
∴∠BED+∠BDE=120°
∵∠DEF=60°
∴∠BED+∠FEC=120°
∴∠BDE=∠FEC
在△BED和△FCE中
∠ = ∠ = 60°
∵ ቐ =
∠ = ∠
∴△BED≌△FCE（ASA）
∴BE=CF
【分析】本题关键在于求证△BED≌△FCE（ASA）
一线三等角
2023年中考数学常见几何模型之一线三等角模型
专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似） 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅V V异侧型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅V V1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC V 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC ==BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析 (3)258BFC S ∆=【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒，即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt △AEC 中，根据勾股定理求出5AC ==，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF=，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴90452ABC ACB ︒∠=∠==︒， ∵l BC ∥，∴45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∴904545ABD ∠=︒−︒=︒，904545ACE ∠=−=︒︒︒，∴45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，∴sin 12AD BD AB DAB ==⨯∠==，sin 12AE CE AC EAC ==⨯∠==，∴2DE AD AE =+=． (2)①DE =CE +BD ；理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∴90DAB DBA ∠+∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90DAB CAE ∠+∠=︒，∴DBA CAE ∠=∠，∵AB =AC ，∴ABD CAE ∆∆≌，∴AD =CE ，BD =AE ，∴DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∴90DAB DBA ∠+∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90DAB CAE ∠+∠=︒，∴DBA CAE ∠=∠，∵AB =AC ，∴ABD CAE ∆∆≌，∴AD =CE ，BD =AE ，∴BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，∴314AE AD DE =+=+=，在Rt △AEC 中，根据勾股定理可得：5AC ==，∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DF CE ∥，∴AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ， ∴155544CF AC AF =−=−=，∵AB =AC =5，∴1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ， CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明∶DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=F A，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠F AE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DF A+∠AFE=∠DF A+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-α．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠F AE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（SAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DF A+∠AFE=∠DF A+∠BFD=60°．∴△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC V 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED V ≌_______； ②如图2，ABC V 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE V ≌________； ③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为(，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论； （2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ β∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP ∽△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE =+=+；证明见解析；（2）30α=︒；75β=︒；（3）可能；30α=︒，30β=︒或52.5α=︒，75β=︒．【分析】（1）证明△ADB ≌△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE =BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=∠2或∠1=∠CQP ，即∠2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=∠1或∠2=∠CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则∠2=∠B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，∵BDA BAC α∠=∠=，∴180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒−，∴DBA CAE ∠=∠，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE BD =，AD CE =， ∴DE AE AD BD CE =+=+；（2）在△ABP 中，2230APC B αβ∠=∠+∠=+∠=︒+，∴1150β∠=︒−，同理可得：230βα∠=︒+−；由2β=∠或1CQP ∠=∠，即230βαβ∠=︒+−=，解得30α=︒，则△ABP ∽△PCQ ；∴当β在许可范围内变化时，30α=︒时，总有△ABP ∽△PCQ ；由1β=∠或2CQP ∠=∠，同理可得：75β=︒．∴当α在许可范围内变化时，75β=︒总有△ABP ∽△QCP ；（3）可能．①当30α=︒，30β=︒时，则230B α∠=∠==︒，则△ABP ∽△PCQ ∽△BCA ；②当75β=︒，52.5α=︒时，同理可得：115075ββ∠=︒−=︒=，23052.5βαα∠=︒+−=︒=，∴△ABP ∽△CQP ∽△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点A的两个等腰直角三角形，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC＝6，D在线段BC上，从B到C运动，点M和点N分别是边BC，DE的中点．(1)【问题发现】若点D是BC边的中点时，BDMN＝，直线BD与MN相交所成的锐角的度数为（请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．，3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC V 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若CE =求CD 的长．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．BC=．点E是线段1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，4AB=，6AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE V V ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM V 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =−，()142MN x =−．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342x x =−，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC．设DE y =，则6AE y =−，即有164y y −=，解得解方程即可求出DE ． (1)证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，∴90CED DCE ∠+∠=︒．∵EF CE ⊥，∴90CED AEF ∠+∠=︒，∴DCE AEF ∠=∠，∴AEF DCE V V ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．∵BG CF ⊥，∴BGC V 是直角二角形．∴132BM CM GM BC ====． ∴点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>， 当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM V中，5AM =．∴AG GM +的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，∴CMN CBF ∽△△．∴12MN CM BF CB ==． 设AF x =，则4BF x =−，∴()11422MN BF x ==−． ∵∥MN AB ，∴AFG MNG ∽△△，∴AF AG MN GM =， 由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又∵3GM =，∴2AG =．∴()21342xx =−，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．∴MHG MBA ∽△△．∴GM GH MH AM AB MB==， 由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又∵3GM =，∴3543GH MH ==．∴125GH =，95MH =． 由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，∴GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =． ∴1AF AB FB =−=．由（1）的结论可得AF AE DE DC ． 设DE y =，则6AE y =−，∴164y y −=，解得3y =或3∵036<<，036<<，∴3DE =3DE =【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ， Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ ∠相等的角是_____(2)问题探究直角ABC V 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC V 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE =，CD kCH =，试探究TE 与TH之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ∠，(2)EK LH =，证明见解析；(3)ET HT =，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ∠=︒，根据余角性质得到PMR NRQ ∠=∠，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR =，NRQ PMR ∠=∠； （2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC =，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL =，可得到EK LH =；（3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM =，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN =，得到EM HN =，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT =．（1）解：∵MRN △是等腰直角三角形，∴=MR RN ，90MRN ∠=︒，∵MP PQ ⊥，NQ PQ ⊥，∴90MPR NQR ∠=∠=︒，∴90PMR MRP MRP NRQ ∠+∠=∠+∠=︒，∴PMR NRQ ∠=∠，在MPR △和NRQ △中，PMR NRQ MPR NRQ MR NR ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MPR NRQ ≌△△，∴QN PR =，NRQ PMR ∠=∠，故答案为：PR ，PMR ∠；（2）解：∵四边形ACEF 是正方形，∴AC CE =，90ACE ∠=︒，∵EK BK ⊥∴90B EKC ∠=∠=︒，∴90BAC ACB ACB ECK ∠+∠=∠+∠=︒，∴BAC ECK ∠=∠，在ABC V 和CEK △中，BAC KCE B EKC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC CEK ≌△△，∴EK BC =，∵四边形CDGH 是正方形，∴CD CH =，90DCH ∠=︒∵HL BC ⊥，∴90B CLH ∠=∠=︒，∴90DCB LCK LCK CHL ∠+∠=∠+∠=︒，∴DCB CHL ∠=∠，在DCB V 和CHL △中，B CLH BCD CHL CD CH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DCB CHL ≌△△，∴BC HL =，EK LH =，（3）解：过E 作EM BC ⊥与M ，过H 作HN BC ⊥与N ，∵四边形ACEF 是矩形，∴∴BAC ECM ∠=∠，∴ACB △同理：BCD NHC ∽△△，∴在NHT △和EMT △中，⎧⎪⎨3.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式． (3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．由（1）可得：△NFO∽△OEM，∴NF OF NOOE ME MO==，∵点M（2，1），∴OE ，∵tanα＝ON＝3，∴NF课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =−+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．由已知得OM＝ON，且∠OMN＝，∴由（1）得△OFM≌△MGN，∴MF＝NG，OF＝MG，设M（∴MF＝m，OF＝n，∴MG＝n，，∵点N的坐标为（4，2）＝35x+4．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构2．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x−5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．当D 在AB 的下方时，过D 作DE ⊥轴于E ，交BC 于F ,同（1）可证得△ADE ≌△DPF ，∴=AE =6-（2x -5）=11-2x ，DE =x,∴11-2x +x =8,∴x =3，∴D （3，1），当D 在AB 的上方时，如图，过D DE ⊥y 轴于E ，交BC 的延长线于F , 同（1）可证得ADE DPF △△≌，∴DF =AE =（2x -5）-6=2x -11，DE =x ，∴2∴19x =，∴1923,D ⎛⎫，综上述D 3．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE =−，证明过程见解析；(3)DE BE AD =−，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC ≌△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC ≌△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC V 中，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠+∠=︒， ∵AD MN ⊥，∴90ACD CAD ∠+∠=︒，∴BCE =∠∠CAD ，又∵AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=o ，∴()V V ≌ADC CEB AAS ，∴AD CE =，DC BE =， ∵直线MN 经过点C ，∴DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =−，理由如下：∵AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ∴90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠，在ADC V 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ，∴()ADC CEB AAS △≌△∴CE AD =，CD BE =，∴DE CE CD AD BE =−=−；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =−，理由如下：∵AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ∴90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠，在ADC V 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩o ，∴()ADC CEB AAS △≌△∴CE AD =，CD BE =，∴DE CD CE BE AD =−=−.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN ∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌． （3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB ≌△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得∠BEA ＝∠AFC ，∠4＝∠ABE ，根据AAS 可证明△ABE ≌△CAF ； （3）先证明△ABE ≌△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°，∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°．∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEB ≌△ADC （AAS ），∴BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．∵DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，∴DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，∴BE ＝0.8cm 故答案为：0.8cm ； （2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA ＝∠AFC ．∵∠1＝∠ABE ＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC ，∠1＝∠BAC ，∴∠BAC ＝∠ABE ＋∠3，∴∠4＝∠ABE ．∵∠AEB ＝∠AFC ，∠ABE ＝∠4，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△CAF （AAS ）．（3）∵BED CFD BAC ∠=∠=∠∴∠ABE +∠BAE =∠F AC +∠BAE =∠F AC +∠ACF∴∠ABE =∠CAF ，∠BAE =∠ACF又AB AC =∴△ABE ≌△CAF ，∴ABE CAF S S =V V∴ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积，∵2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m 经过等腰直角△ABC 的直角顶点A ，过点B 、C 分别作BD ⊥m ，CE ⊥m ，垂足分别是D 、E ．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）如图2，直线m 经过△ABC 的顶点A ，AB ＝AC ，在直线m 上取两点 D 、E ，使∠ADB ＝∠AEC ＝α，补充∠BAC ＝ （用α表示），线段BD 、CE 与DE 之间满足BD ＋CE ＝DE ，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC ＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD 、CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=α，证法见详解，（3）180º-α，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在V ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在V ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在V ABC中，沿V ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE ＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC 与AI之间的数量关系：．∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD ∵∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠CEA ，∴△ADB ∽△CEA ，∴BD AE =AB AC＝k ； （2）成立，证明如下：如图2，∵∠BDA ＝∠BAC ＝α，∴∠DBA ＋∠BAD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝180°−α，∴∠DBA ＝∠CAE ，∵∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠CEA ∴△ADB ∽△CEA ，∴BD AE =AB AC＝k ； （3）①过点G 作GM ∥AE 交AI 的延长线于点M ，连接EM∵四边形AGFC 是矩形，∴∠GAC =90°又AH ⊥BC ∴∠AHC =90° ∴∠5+∠CAH =∠4+∠CAH =90°∴∠5=∠4∵∠BDE =∠AHB =90°∴∠2+∠BAH =∠1+∠BAH =90°∴∠2=∠1又GM ∥AE ∴∠3=∠2∴∠3=∠1∴△ABC ∽△GMA∴AC BC AB GA AM GM ==又∵12AB AC AE AG == ∴12AC BC AB AB GA AM GM AE ====∴GM =AE 又∵GM ∥AE ∴四边形AGME 是平行四边形 ∴EI =IG 故I 为EG 的中点；②由①知12BC AC AB AB AM AG GM AE ====∴BC =12AM ∵四边形AGME 是平行四边形∴AI =IM ∴AI =12AM ∴BC =AI∴线段BC 与AI 之间的数量关系为BC =AI 故答案为：BC =AI ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质综合，解题的关键是根据题意找到相似三角形，列出比例式求解．7．（2022·湖北武汉·模拟预测）[问题背景]（1）如图1，ABC V 是等腰直角三角形，AC BC =，直线l 过点C ，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ．求证：AMC CNB △≌△；[尝试应用]（2）如图2，AC BC =，90ACB ∠=︒，N ，B ，E 三点共线，CN NE ⊥，45E ∠=︒，1CN =，2BN =．求AE 的长；[拓展创新]（3）如图3，在DCE V 中，45CDE ∠=︒，点A ，B 分别在DE ，CE 上，AC BC =，90ACB ∠=︒，若1tan 2DCA ∠=，直接写出AE AD 的值为 ．）可知：AMC BNC ≌，CDE DAM DFN =∠=∠=a ，，∴32AF a =，8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．(1)原型题：如图1，AB BD ⊥于点B ，CD BD ⊥于点D ，P 是BD 上一点，AP PC =，AP PC ⊥，则ABP △≌△________，请你说明理由．(2)利用结论，直接应用：①如图2，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ，A 、B 、N 、E ，F 五点在同一条直线上，则CBN △≌△________，c =________（用含a 、b 的式子表示）．②如图3，四边形ABCD 中，AB DC P ，AB BC ⊥，2AB =，4CD =，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离为________．(3)弱化条件，变化引申：如图4，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，45DME A B ∠=∠=∠=︒，且DM 交AC 于点F ，ME 交BC 于点G ，连接FG ，则AMF V 与BGM V 的关系为：________，若AB =3AF =，则FG =________．9．（2022•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为时，△CDE与△ACE相似．【分析】因为DE∥AB得到∠DEC＝∠ACE，所以△CDE与△ACE相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，∴△ODE也是等边三角形，则OD＝OE＝DE，设E（a，0），则OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝4﹣a．∵△CDE与△ACE相似，分两种情况讨论：①当△CDE∽△EAC时，则∠DCE＝∠CEA，∴CD∥AE，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AC＝a，，∵BD＝2AC，∴4﹣a＝2a，∴a＝．∴E；②当△CDE∽△AEC时，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，∴∠BCD+∠ECA＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，∴∠BCD+∠ECA＝∠BDC+∠BCD，∴∠ECA＝∠BDC，∴△BDC∽△ACE，∴，∴BC＝2AE＝2（4﹣a）＝8﹣2a，∴8﹣2a+2＝4，∴a＝．∴．综上所述，点E的坐标为或．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．10．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF α∠=∠=∠=，BDE ∆与CFD ∆相似吗？请说明理由. （2）模型应用：ABC ∆为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF ∆沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD =.①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值； ②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求BDE ∆与CFD ∆的周长之比.【答案】（1）~∆∆BDE CFD ，见解析；（2）①57AE AF =；②BDE ∆与CFD ∆的周长之比为13. 【分析】（1）根据三角形的内角和得到BED CDF ∠=∠，即可证明；（2）①设AE x =，AF y =，根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=o ，根据三角形的内角和定理得BED CDF ∠=∠，即可证明~∆∆BDE CFD ，故BD BE DE CF CD FD ==，再根据比例关系求出AE AF的值； ②同理可证~∆∆BDE CFD ，得BD BE DE CF CD FD ==，得28810x x y y −==−，再得到13x y =，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1）~∆∆BDE CFD ，理由：B C EDF α∠=∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=o ，180180BDE BED B α∴∠+∠=−∠=−o o ，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=o Q ，180180BDE CDF EDF α∴∠+∠=−∠=−o o ，BED CDF ∴∠=∠，B C ∠=∠Q ，~BDE CFD ∴∆∆；（2）①设AE x =，AF y =，ABC ∆Q 是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=o ，8AB BC AC ===，由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=o ，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=o ，180120BDE BED B ∴∠+∠=−∠=o o ， 180120BDE BED B ∠+∠=−∠=o o Q ，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=o Q ，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=−∠=o o ，BED CDF ∴∠=∠，60B C ∠=∠=o Q ，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD∴==， 8BE AB AE x =−=−Q ，8CF AC AF y =−=−，6CD BC BD =−=2886x x y y −∴==−，()()2868y x y x y x ⎧=−⎪∴⎨=−⎪⎩，105147x y ∴==，57AE AF ∴=； ②设AE x =，AF y =，ABC ∆Q 是等边三角形， 60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=o ，8AB BC AC ===，由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=o ，在BDE ∆中，180ABC BDE BED ∠+∠+∠=o ，180120BDE BED ABC ∴∠+∠=−∠=o o ， 180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=o Q ，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=−∠=o o ，BED CDF ∴∠=∠，60ABC ACB ∠=∠=o Q ，120DBE DCF ∴∠=∠=o ，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD ∴== 8BE AB AE x =−=−Q ，8CF AF AC y =−=−，10CD BC BD =+=，28810x x y y −∴==−，2(8)10(8)y x y x y x =−⎧∴⎨=−⎩，13x y ∴=. ~BDE CFD ∆∆Q .BDE ∴∆与CFD ∆的周长之比为13DE x DF y ==. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△． （1）探究问题：如果AC BC ≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x=与直线CD交于点()2,1M，且两直线夹角为α，且3tan2α=，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB=，5BC=，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90︒，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．由（1）得NFO OEM △∽△∵M 坐标()2,1 ∴2OE =，ME ∵3tan 2α= ∴32ON OM =解得：90∴△12．（2022·山东青岛·九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD 于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE ＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE；正确的结论有个．【模型变式】（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，。
(完整版)几何模型：一线三等角模型
一线三等角模型一。
一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼,“K形图",“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二. 一线三等角的分类全等篇三、“一线三等角”的性质1。
一般情况下，如图3—1,由N 仁Z2=Z3，易得△AECs^BDEo2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图3.中点型“一线三等角 如图3—2,当Z1=Z2=Z3,且D 是BC 中点时，△BDEs^CFDs^DFE 。
4。
“中点型一线三等角“的1如图3—4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，ZBOC 二90。
+A BAC 这是内心的^2 性质，反之未必是内心.在图3-4（右图）中，如果延长BE 与CF ，交于点P,则点D 是APEF 的旁心.图3—5其实这个第4图，延长DC 反而好理解•相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同 侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1•“一线三等角”应用的三种情况.图3-1图3-3图3-4+Ja。
图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b。
图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c・图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题。
体会:感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2。
在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段。
在DC的延檢銭上截眼匚E二J3•构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似1IJttnZAEP=aaZPFB=啦-工上则以’唾二ZPFB=a二ZAPE』所I^APAEwABPF.在CP±WCE=则曲厶斗EOunZBFD=⑶“则ZAEC-ZBFD=ZAPB•所I^APAE«ABPF・坐标系中，要讲究“线"的特殊性如图3—6,线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角（完整版）几何模型：一线三等角模型当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D两点作直线I的垂线是必不可少的。
专题11 全等三角形中的一线三等角模型(解析版)
专题11全等三角形中的一线三等角模型【模型1】三垂直全等模型【说明】上图三垂直模型中，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。
【模型2】一线三直角全等模型【说明】上图中的两个三角形中三组对应角相等，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。
【模型3】一线三等角与一组对应边相等全等模型【说明】上图中可根据平角的概念和三角形内角和定理可求得的两个三角形中三组对应角相等，只要再知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。
【例1】如图，AC ＝CE ，∠ACE ＝90°，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm【答案】B 【分析】根据题意证明ABC CDE △≌△即可得出结论．【解析】解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴90ABC CDE ∠=∠=︒，∵∠ACE ＝90°，∴90ACB DCE ∠+∠=︒，∵90ACB BAC ∠+∠=︒，∴BAC DCE ∠=∠，在ABC 和CDE △中，90ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩＝，∴()ABC CDE AAS ≌，∴6cm AB CD ==，2cm BC DE ==，∴268cm BD BC CD =+=+=，故选：B ．【例2】如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =__________．【答案】7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【解析】解：∵BE ⊥l ，CF ⊥l ，∴∠AEB =∠CFA =90°．∴∠EAB +∠EBA =90°．又∵∠BAC =90°，∴∠EAB +∠CAF =90°．∴∠EBA =∠CAF ．在△AEB 和△CFA 中∵∠AEB =∠CFA ，∠EBA =∠CAF ，AB =AC ，∴△AEB ≌△CFA ．∴AE =CF ，BE =AF ．∴AE +AF =BE +CF ．∴EF =BE +CF ．∵2,5==BE CF ，∴257EF =+=；故答案为：7．【例3】（1）观察理解：如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，点A ，B 在直线l 同侧，BD ⊥l ，AE ⊥l ，垂足分别为D ，E ，求证：△AEC ≌△CDB ．（2）理解应用：如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．（3）类比探究：①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；∥，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆②如图4，直角梯形ABCD中，AD BC时针旋转90°至DE，△AED的面积为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①ED=EA－BD；②1【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS证得△AEC≌△CDB，即可；（2）分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，由（1）可证得△EMA≌△AHB，△ANG ≌△CHA ，从而得到EM =GN ，可得到△EMI ≌△GNI ，从而得到EI =IG ，即可求证；（3）①由（1）得：△AEC ≌△CDB ，可得CE =BD ，AE =CD ，即可；②过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据旋转的性质可得根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，再由（1）可得△CDP ≌△DEQ ，从而得到DP =EQ ，然后根据两平行线间的距离，可得AP =BC ，进而得到PD =1，即可求解．【解析】（1）证明：∵BD ⊥l ，AE ⊥l ，∴∠AEC ＝∠BDC ＝90°，又∵∠ACB ＝90°∴∠A +∠ACE ＝∠ACE +∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ，在△AEC 和△CDB 中，AEC CDB A BCD AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△CDB （AAS ）；（2）证明：分别过点E 、G 向HI 作垂线，垂足分别为M 、N，由（1）得：△EMA ≌△AHB ，△ANG ≌△CHA ，∴EM ＝AH ，GN =AH ，∴EM =GN ，在△EMI 和△GNI 中，90EIM GIN EMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△EMI ≌△GNI （AAS ）；∴EI =IG ，即I 是EG 的中点；（3）解：①由（1）得：△AEC ≌△CDB ，∴CE =BD ，AE =CD ，∵ED =CD -CE ，∴ED =EA －BD ；故答案为：ED =EA －BD②如图，过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，由（1）得：△CDP ≌△DEQ ，∴DP =EQ ，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∴AB ∥CP ，∴BC ⊥CP ，∵BC =3，∴AP =BC =3，∵AD =2，∴DP =AP -AD =1，∴EQ =1，∴△ADE 的面积为1121122AD EN 创=．故答案为：1一、单选题1．如图，点P ，D 分别是∠ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边△DPE ，连结BE ，则△BDE 的面积为（）A ．B ．2C ．4D ．【答案】A【分析】要求BDE ∆的面积，想到过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，因为题目已知60ABC ∠=︒，想到把ABC ∠放在直角三角形中，所以过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，利用勾股定理求出DG 的长，最后证明GPD FDE ∆≅∆即可解答．【解析】解：过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，在Rt BGD 中，4BD =，60ABC ∠=︒，30BDG ∴∠=︒，122BG BD ∴==，GD ∴=PDE ∆是等边三角形，60PDE ∴∠=︒，PD DE =，180120PDB EDF PDE ∴∠+∠=︒-∠=︒，60ABC ∠=︒，180120PDB BPD ABC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BPD EDF ∴∠=∠，90PGD DFE ∠=∠=︒，()GPD FDE AAS ∴∆≅∆，GD EF ∴==，BDE ∴∆的面积12BD EF =⋅，142=⨯⨯，=故选：A ．2．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，从三角板的刻度可知AB ＝20cm ，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（）．A ．20013cm 2B ．15013cm 2C ．10013cm 2D ．5013cm 2【答案】A【分析】设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，然后证明△DAC ≌△ECB 得到CD =BE =2x cm ，再利用勾股定理求解即可．【解析】解：设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，由题意得：∠ACB =∠ADC =∠BEC =90°，∴∠ACD +∠DAC =∠ACD +∠BCE =90°，∴∠DAC =∠ECB ，又∵AC =CB ，∴△DAC ≌△ECB （AAS ），∴CD =BE =2x cm ，∵222AC BC AB +=，222AD DC AC +=，∴()()222232220x x +=，∴220013x =，故选A ．3．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a ＝8cm ，则DE 的长为（）A ．40cmB ．48cmC ．56cmD ．64cm【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，因此可以考虑证明△ACD 和△CBE 全等，可以证明DE 的长为7块砖的厚度的和．【解析】解：由题意得∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，∴∠ACD ＝90°﹣∠BCE ＝∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故选C．二、填空题4．如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ，则OQ的长等于_____．【答案】6【分析】由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【解析】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，∴∠PAC＝∠BCQ，在△ACP和△CBQ中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PAC BCQ APC BQC AC BC ，∴△ACP ≌△CBQ （AAS ），∴AP ＝CQ ，PC ＝BQ ，∴PC +CQ ＝AP +BQ ＝PQ，∵AP ∥BQ ，∴∠OAP ＝∠OBH ，∵点O 是斜边AB 的中点，∴AO ＝BO ，在△APO 和△BHO 中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOP BOH APO BHO AO BO ，∴△APO ≌△BHO （AAS ），∴AP ＝BH ，OP ＝OH ，∴BH +BQ ＝AP +BQ ＝PQ ，∴PQ ＝QH，∵∠PQH ＝90°，∴PHPQ ＝12，∵OP ＝OH ，∠PQH ＝90°，∴OQ ＝12PH ＝6．故答案为：65．如图，已知ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE 于点D ，BE ⊥DE 于点E ，且点C 在DE 上，若AD ＝5，BE ＝8，则DE 的长为_____．【答案】13【分析】先根据AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∠ADC =∠CEB =90°，则∠DAC +∠DCA =90°，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，可得AC =CB ，推出∠DAC =∠ECB ，即可证明△DAC ≌△ECB得到CE =AD =5，CD =BE =8，由此求解即可．【解析】解：∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∴∠DAC +∠DCA =90°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴∠DCA +∠BCE =90°，AC =CB∴∠DAC =∠ECB ，∴△DAC ≌△ECB （AAS ），∴CE =AD =5，CD =BE =8，∴DE =CD +CE =13，故答案为：13．三、解答题6．已知：如图，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是BD 上的一点，AC ⊥CE ，AB ＝CD ，求证：BC ＝DE．【答案】见解析【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA 即可判定三角形全等．【解析】证明：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE （已知）∴∠ACE ＝∠B ＝∠D ＝90°（垂直的意义）∵∠BCA +∠DCE +∠ACE ＝180°（平角的意义）∠ACE ＝90°（已证）∴∠BCA +∠DCE ＝90°（等式性质）∵∠BCA +∠A +∠B ＝180°（三角形内角和等于180°）∠B ＝90°（已证）∴∠BCA +∠A ＝90°（等式性质）∴∠DCE ＝∠A （同角的余角相等）在△ABC 和△CDE 中，A DCE AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）7．如图，∠B =∠C =∠FDE =80°，DF =DE ，BF =1.5cm ，CE =2cm ，求BC的长．【答案】3.5【分析】由平角定义及三角形内角和定理解得EDC BFD ∠=∠，继而证明()BFD CDE AAS ≅V V ，得到=1.5,=2BF CD BD CE ==，最后根据线段的和差解题．【解析】解：∠B =∠C =∠FDE =80°，100,100BDF EDC BDF BFD ∴∠+∠=︒∠+∠=︒EDC BFD∴∠=∠在BFD △与CDE △中，B C EDC BFD DE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BFD CDE AAS ∴≅=1.5,=2BF CD BD CE ∴==2 1.5 3.5BC BD DC ∴=+=+=．8．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．①求证：ABP PCD △△∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】感知：（1）AEDE；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【解析】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴AB BPPC CD=，即1066CD=，解得：CD=3.6；拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；当AP=AD时，∠ADP=∠APD，∵∠APD =∠B =∠C ，∴∠ADP =∠C ，不合题意，∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∵∠C =∠C ，∴△BCA ∽△ACP ，∴BC AC AC CP =，即121010CP=，解得：253CP =，∴25111233BP BC CP =-=-=，综上所述，当APD △为等腰三角形时，BP 的长为2或113．9．问题背景：（1）如图①，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E ，易证：DE =______+______．（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请求出DE ，BD ，CE 三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图③，在ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为()2,0-，点A 的坐标为()6,3-，请直接写出B 点的坐标．【答案】（1）BD ；CE ；证明见详解；（2）DE=BD+CE ；证明见详解；（3）点B 的坐标为()1,4B ．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明ABD CAE ∠=∠，证明ABD CAE ≌，根据全等三角形的性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（3）根据AEC CFB ≌，得到3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，根据坐标与图形性质解答即可．【解析】（1）证明：∵BD m ⊥，CE m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ CAE ABD ∠=∠，在ADB 和CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB CEA ≌，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+，即：DE BD CE =+，故答案为：BD ；CE ；（2）解：数量关系：DE BD CE =+，证明：在ABD 中，180ABD ADB BAD ∠=︒-∠-∠，∵180CAE BAC BAD ∠=︒-∠-∠，BDA AEC ∠=∠，∴ABD CAE ∠=∠，在ABD 和CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴ABD CAE ≌，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AD AE BD CE =+=+；（3）解：如图，作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F，由（1）可知，AEC CFB ≌，∴3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，∴1OF CF OC =-=，∴点B 的坐标为()1,4B ．10．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC＝α．(1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；(2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，证明见解析【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE．【解析】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；11．如图，90,ABC FA AB ∠=⊥于点A ，点D 在直线AB 上，,AD BC AF BD ==．(1)如图1，若点D 在线段AB 上，判断DF 与DC 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．【答案】(1)DF =DC ，DF ⊥DC ；理由见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）先证△ADF ≌△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证∠FDC =90°即可得垂直；（2）先证△ADF ≌△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证∠FDC =90°即可得垂直．【解析】（1）解：∵90,ABC FA AB ∠=⊥，∴90ABC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF ABC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCD ，∴DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，∵∠BDC +∠BCD =90°，∴∠BDC +∠ADF =90°，∴∠FDC =90°，即DF ⊥DC ．（2）∵90,ABC FA AB ∠=⊥，∴90DBC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF DBC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCD ，∴DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，∵∠BDC +∠BCD =90°，∴∠BDC +∠ADF =90°，∴∠FDC =90°，即DF ⊥DC ．12．在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（2）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（3）由∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，得出∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．【解析】（1）解：DE ＝BD +CE ，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ，故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴S △ABD ＝S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC ＝12BC •h ＝12，S △ABF ＝12BF •h ，∵BC ＝3BF ，∴S △ABF ＝4，∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．13．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ．又∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ．进而得到AC ＝，BC ＝AE ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AE ，连接BC ，DE ，且BC ⊥AF 于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，△AFD 的面积为S 1，△DCE 的面积为S 2，则有S 1S 2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE ；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，进而可得∠BAF =∠ADH ，然后可证△ABF ≌△DAH ，则有AF =DH ，进而可得DH =EQ ，通过证明△DHG ≌△EQG 可求解问题；（3）过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M ，由题意易得∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE ，然后可得∠ADO =∠DCM ，则有△AOD ≌△DMC ，△FOD ≌△DNE ，进而可得OD =NE ，通过证明△ENP ≌△CMP 及等积法可进行求解问题．【解析】解：（1）∵ABC DAE △≌△，∴AC DE =；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，如图所示：∴90DAH ADH ∠+∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴90BAF DAH ∠+∠=︒，∴BAF ADH ∠=∠，∵BC AF ⊥，∴90BFA AHD ∠=∠=︒，∵AB DA =，∴△ABF ≌△DAH ，∴AF =DH ，同理可知AF =EQ ，∴DH =EQ ，∵DH ⊥FG ，EQ ⊥FG ，∴90DHG EQG ∠=∠=︒，∵DGH EGQ∠=∠∴△DHG ≌△EQG ，∴DG =EG ，即点G 是DE 的中点；（3）12S S =，理由如下：如图所示，过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M∵四边形ABCD 与四边形DEGF 都是正方形∴∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE∵DO ⊥AF ，CM ⊥OD ，∴∠AOD =∠CMD =90°，∠OAD +∠ODA =90°，∠CDM +∠DCM =90°，又∵∠ODA +∠CDM =90°，∴∠ADO =∠DCM ，∴△AOD ≌△DMC ，∴AOD DMC S S =△△，OD =MC ，同理可以证明△FOD ≌△DNE ，∴FOD DNE S S =△△，OD =NE ，∴MC =NE ，∵EN ⊥OD ，CM ⊥OD ，∠EPN =∠CMP ，∴△ENP ≌△CMP ，∴ENP CMP S S △△=，∵,ADF AOD FOD DCE DCM CMP DEN ENP SS S S S S S S =+=-++，∴DCE DCM DEN AOD FOD S S S S S =+=+,∴DCE ADF S S △△=即12S S =．14．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D ，E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC 的边AB ，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△，则AEI S =△______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5【分析】（1）由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；（2）由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【解析】解：（1）证明：如图1中，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，在△ADB 和△CEA 中，BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N．∴∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN∴EM =GN在△EMI 和△GNI 中，GIN EIM EM GN GNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EMI ≌△GNI （AAS ），∴EI =GI ，∴I 是EG 的中点．∴S △AEI =12S △AEG =3.5．故答案为：3.5．15．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于D ，过B 作BE ⊥ED 于E ．求证：△BEC ≌△CDA ；（2）模型应用：①已知直线y ＝34x +3与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90度，得到线段BC ，过点A ，C 作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为(8，6)，A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线y ＝2x ﹣5上的一点，若△APD 是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．【答案】（1）见解析；（2）137y x =-+；（3）(3,1)或(913)，或1923(33，【分析】（1）由条件可求得EBC ACD ∠=∠，利用AAS 可证明BEC CDA ≌；（2）由直线解析式可求得A 、B 的坐标，利用模型结论可得CE BO =，BE AO =，从而可求得C 点坐标，利用待定系数法可求得直线AC 的解析式；（3）分两种情况考虑：如图2所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，设D 点坐标为(,25)x x -，利用三角形全等得到1128x x -+=，易得D 点坐标；如图3所示，当90APD ∠=︒时，AP PD =，设点P 的坐标为(8,)m ，表示出D 点坐标为(14,8)m m -+，列出关于m 的方程，求出m 的值，即可确定出D 点坐标；如图4所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =时，同理求出D 的坐标．【解析】解：（1）由题意可得，90ACB ADC BEC ∠=∠=∠=︒，∴90EBC BCE BCE ACD ∠+∠=∠+∠=︒，∴EBC ACD ∠=∠，在BEC △和CDA 中EBC ACD E D BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BEC CDA AAS ≌；（2）过点C 作CD x ⊥轴于点D ，如图2，在334y x =+中，令0y =可求得4x =-，令0x =可求得3y =，∴3OA =，4OB =同（1）可证得CDB BOA ≌，∴4CD BO ==，3BD AO ==，∴437OD =+=，∴()7,4C -且()0,3A ，设直线AC 解析式为3y kx =+，把C 点坐标代入可得734k -+=，解得17k =-，∴直线AC 解析式为137y x =-+；（3）如图2，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，过点D 作DE OA ⊥于E ，过点D 作DF BC ⊥于F ，同理可得：AED DFP△≌△设D 点坐标为(,25)x x -，则6(25)112AE DF x x ==--=-，∵DE DF EF BC +==，即1128x x -+=，解得3x =，可得D 点坐标(3,1)；如图3，当90APD ∠=︒时，AP PD =，过点P 作PE OA ⊥于E ，过点D 作DF PE ⊥于F ，设点P 的坐标为()8,m ，同理可得：APE PDF ≌△△，∴6PF AE m ==-，8DF PE ==，∴D 点坐标为()14,8m m -+，∴()82145m m +=--，得5m =，∴D 点坐标(913)，；如图4，当90ADP ∠=︒时，AD PD =时，同理可得ADE DPF △△≌，设(,25)D n n -，则DE PF n ==，25OE n =-，AE DF =则256211DF AE n n ==--=-，∵8DE DF EF OC +===∴2118n n +-=，解得193n =，23253n -=∴D 点坐标1923()33，，综上可知满足条件的点D 的坐标分别为(3,1)或(913)，或1923(33，．。
基本图形-一线三等角
基本图形:一线三等角,相似两边找“一线三等角”这个基本图形性质虽然不同，就是可以得到一组相似三角形而已,但因为这组相似三角形的对应关系较难看出，因此根据这个基本图形先判断存在着一组相似三角形，就有其价值了.例1：在等腰△ABC中,AB=AC，D是BC上的一点，作∠ADE=∠B,问：△ABD与△DCE相似吗？如果相似，请写出这组相似三角形顶点和边的对应关系。
例2：在等边△ABC中，将角A翻折，使点A落在BC边的D点上，EF为折痕，求证：△BED ∽△CDF。
并写出对应线段比例式.例3.在矩形ABCD中，AD=4，CD=5，点F在AD上，将角D沿CF翻折，使点D落在AB边的点E处，求BECAEFSS∆∆:的值.例4：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，讲评：从这个例子，我们可以提炼出如下基本图形：“三个相等的顶点在一直线上，就有两个三角形相似”这个结论。
这就成为一个基本图形，简称“一线三等角”。
如图，当∠A=∠B=∠EDC时，就有△ADE∽△CDB；其证明只要用到外角知识。
“一线三等角”不能作为定理直接引用，因此在书写证明时，还得用外角知识重新证明。
数学上特别注意的是，这对相似三角形的对应关系不太“顺眼”，要把其中一个三角形转过一个角度后，才比较容易看出顶点的对应关系和对应边。
比较好的记忆方法“逆时针比例法”：从图中的点E出发，沿逆时针沿外周绕，得比例EA:AD=DB:BC.AD=2,BC=8，∠MEN=∠B。
∠MEN的顶点E在边BC上移动,一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F,连接AF.设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出函数定义域。
例5：如图，在RtABC中，∠C=90°,BC=6，AC=8,O是AB上一点,AO=4,P是AC上动点，过点P做OP的垂线交边BC于点Q，设AP=x，CQ=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域。
例6：如图,若∠B=∠EDC=∠A，且点D是BC的中点,请问：图中是否产生新的相似三角形？请证明:并写出哪些角相等,哪些线段比相等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F A
通过做以上三道题，你能得出什么结论
B
E
C
二、
α
图3
1、如图 4、点 E 为 BC的中点，若 ∠B=∠AEF=∠C=90°, 连
接 AF
A
①找出图中所有的相似三角形，并证明。
②说出各边之间的关系
③说出图中各对相4
2、如图 5、点 E 为 BC的中点，若 ∠ B=∠AEF =∠C=α
，连
②、若把图 6 中的点 E 向右平移，上述结论还成立吗， B 为什么 ?
〖课堂小结〗
A D
F
E
C
图6
师生共用导学稿
年级： 九年级
学科： 数学 执笔：
审核：九年级数学组
内容： 专题 ：一线三等角的基本图形 课型： 复习 时间： 11 年 8 月 日
〖课前回顾〗
1、三角形相似的判定定理有哪些 ?
A
2、相似三角形中常用基本图形有哪些？
〖学习目标〗
F
1、探究并掌握 M型基本图形的几种类型及常用结论。
2、运用 M型基本图形的性质解决问题。 〖自主学习〗 一．
连接 AF
①找出图中所有的相似三角形，并证明。
②说出各边之间的关系
③说出图中各对相等的角
④若 BA·FC=48，求 BC的长
B
D
A
F
C E 图5
⑤若 AF=m，点 E 到两腰的距离为 h，求三角形 AEF的面积。
A
F
通过做以上两道题，你能得出什么结论
B
E
C
图4
三．变式练习
1、如图 4①若 ∠B=∠AEF =∠ C=90° , 且 Rt△ ABE∽ Rt△AEF,
求证 :E 为 BC的中点
②、若 AB=6，CF=4，BC=14，CF∥AB,在 CB边上找一点 E，使 E、A、B 为顶点的 三角形和以 E、C、F 为定点的三角形相似，求出此时 CE的长。
2、点 E 为 BC的中点，若 ∠B=∠AEF=∠C= 接 AF， 把∠ AEF绕点 E 旋转到图 6 的位置， ①图中有多少对相似三角形？
B
E
C
图1
1、如图 1、点 E 为 BC上任意一点，若 ∠B=∠AEF =∠C=90°,
你能得出那些结论？ A
2、如图 2、点 E 为 BC上任意一点，若 ∠B=∠AEF=
F
∠ C=60° , 你能得出那些结论？
B
E
C
图2
3、如图 3、点 E 为 BC上任意一点， 若 ∠B=∠AEF= ∠ C=α ，上述结论还成立吗？