第二章：平面汇交力系
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DE 6 tan ϕ = = OE 24
F
J
α
I
1 φ = arctan = 14.03° 4
FD
ϕ
4 .由力三角形图c可得： 由力三角形图c可得：
K
FB
(c)
sin (180° −α −ϕ) FB = F = 750 N sin ϕ
平面汇交力系
§2.1 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在直角坐标轴上的投影
平面汇交力系
第二章：平面汇交力系 第二章：
余 辉 yuh@czu.cn
来自百度文库
平面汇交力系
§2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
☆ 力系及其分类
力系：是指作用在物体上的一群力。 力系：是指作用在物体上的一群力。 力 系
按力系中各力的作用线是否共面分
平面力系 空间力系 汇交力系
力 系
按力系中各力的作用线间的位置关系分
平行力系 一般(任意 力系 一般 任意)力系 任意
平面汇交力系
一、平面汇交力系合成的几何法
1、两个汇交力的合成（力的平行四边形（三角形）法则） 两个汇交力的合成（力的平行四边形（三角形）法则）
FR=F+F2=F2+F 1 1
平面汇交力系
2、平面汇交力系的合成（力的多边形法则） 平面汇交力系的合成（力的多边形法则）
F2
y
F1
60o
O
30o
45o
45o
x F4
F3
平面汇交力系
合力的大小： 合力的大小：
2 2 FR = FRx + FRy = 171.3 N
F2
y FR
合力与轴x 夹角的方向余弦为： 合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
cosα = cos β = Fx R = 0.754 F R Fy R F R = 0.656
FR = FR2x + FR2y = 0
FRx = FRy =
∑ ∑
Fx = 0 Fy = 0
平面汇交力系平衡的充要条件为 平面汇交力系平衡的充要条件为：力系中各力在两个坐标 平衡的充要条件 轴上投影的代数和分别等于零。上式即为平面汇交力系的 轴上投影的代数和分别等于零。上式即为平面汇交力系的 平衡方程。 平衡方程。
y
按照矢量投影的方法 我们可以知道： 我们可以知道： 力在轴上的投影等于 力的大小乘以力与投影轴 正向间夹角的余弦。 正向间夹角的余弦。
F
Fy
β
α
x
Fx Fx = F cos α Fy = F cos β
符号规定： 符号规定： 当投影与坐标轴正向方向一致时为正 反之为负 当投影与坐标轴正向方向一致时为正，反之为负。
平面汇交力系
例2.2:求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N， 2.2:求如图所示平面共点力系的合力 其中： 求如图所示平面共点力系的合力。 N， F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。 N， N， N。
解：
根据合力投影定理， 根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为： 上的投影分别为：
x
B
D
y
D
已知： ϕ = 14.03°, 联立求解得
sin ϕ = 0.243 ,
cos ϕ = 0.969
FB = 750 N
平面汇交力系
作业——习题： 习题： 作业 习题 2-3，2-8，2-11。 ， ， 。
课外练习： 课外练习：
习题： 习题：2-1 , 2-2, 2-14 , 2-16，2-18。 ， 。
FR1 = F1 + F2
FR2 = FR1 + F3 =∑i F
i =1 3
平面汇交力系
FR1 = F + F2 1
FR2 = FR1 + F =∑i F 3 i =1. . . . . . . . .
3
FR = FR(n_1) + Fn =∑i = ∑i F F
i =1
n
可以看出： 可以看出：平面汇交力系的合力为由原力系中所有 各力依次首尾相连所构成的力多边形的封闭边， 各力依次首尾相连所构成的力多边形的封闭边，且与各 力连接的顺序无关。 力连接的顺序无关。
24cm
DA 铅 DA铅 直 ， BC水平 ， 试求拉杆 BC 水平 水平， BC所受的力 。 已知 所受的力。 已知EA=24 cm， 所受的力 ， DE=6 cm(点E在铅直线 上) ， 点 在铅直线 在铅直线DA上 都是光滑铰链， 又B ，C ，D都是光滑铰链， 都是光滑铰链 机构的自重不计。 机构的自重不计。 自重不计
结论：平面汇交力系可以合成为一个通过汇交点 结论： 的合力，合力等于各力的矢量和。 的合力，合力等于各力的矢量和。
平面汇交力系
二、平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系 {F1 ,F2 ,L ,Fn } = 合力FR
F3 F4 平衡
0
F3
F R
F1
FR = 0
F2
F4 F2 F1
FR =
∑F
FR = ∑F = 0
平面汇交力系
Questions/Comments？ ？
平面汇交力系
That’s all for today!
Thanks!
平面汇交力系
二、力沿直角坐标轴的分解
y
Fy
β
α
F
Fx = Fcosα Fy = Fcosβ
x
Fx
y
按照力的平行四 按照力的平行四 边形法则， 边形法则，可以将共 点力合成为一个力， 点力合成为一个力， 亦可将一个力分解为 几个共点力。 几个共点力。
力在轴上的投影等于力沿轴的分力吗？ ？力在轴上的投影等于力沿轴的分力吗？
B O
E
C
6cm
D (a)
平面汇交力系
解： 解析法
1.取制动蹬ABD作为研究对象。 取制动蹬ABD作为研究对象 作为研究对象。
y
A
2.画出受力图，并由力的可传 画出受力图， 性化为共点力系。 性化为共点力系。 3.列出平衡方程： 列出平衡方程：
FD
O
45°
B
ϕ
x
F
B
F
D
∑F = 0， F − F cos 45° − F cos ϕ = 0 ∑F = 0， F sin ϕ − F sin 45° = 0
Fy
F
Fy
分力： 分力： Fx , Fy
x
只有当力向直 ！只有当力向直 角坐标轴投影时 角坐标轴投影时， 投影时， 角坐标轴投影时， 其投影值与它沿同 其投影值与它沿同 一坐标轴的分力在 一坐标轴的分力在 数值上相等。 数值上相等。
Fx
Fx
投影： 投影： Fx, Fy
平面汇交力系
三、合力投影定理
由合矢量投影定理可得合力投影定理： 由合矢量投影定理可得合力投影定理： 合力投影定理: 合力投影定理: 合力在某轴上的 投影等于分力在同一 轴上投影的代数和。 轴上投影的代数和。
平面汇交力系
例 2.3: 图 a所示是汽车制动机 所示是汽车制动机
F
A
α
构的一部分。 构的一部分。司机踩到制动蹬 上的力F=212 N，方向与水平 上的力 方向与水平 面成a 面成 = 45°角 。 当平衡时 ， 角 当平衡时，
24cm
DA 铅 DA铅 直 ， BC水平 ， 试求拉杆 BC 水平 水平， BC所受的力 。 已知 所受的力。 已知EA=24 cm， 所受的力 ， DE=6 cm(点E在铅直线 上) ， 点 在铅直线 在铅直线DA上 都是光滑铰链， 又B ，C ，D都是光滑铰链， 都是光滑铰链 机构的自重不计。 机构的自重不计。 自重不计
60o
F1
o
O
α30
45o
45o
x F4
F3
所以，合力与轴x，y正向间的夹角分别为： 所以，合力与轴x 正向间的夹角分别为：
α = 40.99o
o β = 49.01
综上可知:合力 的方向如图所示。 综上可知 合力FR的方向如图所示。 合力
平面汇交力系
平面汇交力系平衡的解析条件● 五、平面汇交力系平衡的解析条件●平衡方程
FRx = ∑F FRy = ∑F ix iy
四、平面汇交力系合成的解析法
由合力投影定理可知，合力的大小为： 由合力投影定理可知，合力的大小为： 合力的方向为： 合力的方向为：
FR = FRx + FRy
2
iy
2
F ∑ cos(F , i ) =
R
ix
FR
F ∑ cos(F , j) =
R
FR
合力的作用点为力系的汇交点。 合力的作用点为力系的汇交点。 汇交点
汇交力系平衡的几何条件：力多边形自行封闭。 汇交力系平衡的几何条件：力多边形自行封闭。 几何条件
平面汇交力系
例 2.1: 图 a所示是汽车制动机 所示是汽车制动机
F
A
α
构的一部分。 构的一部分。司机踩到制动蹬 上的力F=212 N，方向与水平 上的力 方向与水平 面成a 面成 = 45°角 。 当平衡时 ， 角 当平衡时，
B O
E
C
6cm
D (a)
平面汇交力系
A
F
解： 几何法
1.取制动蹬ABD作为研究对象， 取制动蹬ABD作为研究对象 作为研究对象， 并画出受力图。 并画出受力图。
α
O
ϕ
B E
FD
(b)
FB
D
2.作出相应的力多边形。 作出相应的力多边形。 3. 由图b所示几何关系可得： 由图b所示几何关系可得：
OE = EA = 24 cm
F
J
α
I
1 φ = arctan = 14.03° 4
FD
ϕ
4 .由力三角形图c可得： 由力三角形图c可得：
K
FB
(c)
sin (180° −α −ϕ) FB = F = 750 N sin ϕ
平面汇交力系
§2.1 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在直角坐标轴上的投影
平面汇交力系
第二章：平面汇交力系 第二章：
余 辉 yuh@czu.cn
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平面汇交力系
§2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
☆ 力系及其分类
力系：是指作用在物体上的一群力。 力系：是指作用在物体上的一群力。 力 系
按力系中各力的作用线是否共面分
平面力系 空间力系 汇交力系
力 系
按力系中各力的作用线间的位置关系分
平行力系 一般(任意 力系 一般 任意)力系 任意
平面汇交力系
一、平面汇交力系合成的几何法
1、两个汇交力的合成（力的平行四边形（三角形）法则） 两个汇交力的合成（力的平行四边形（三角形）法则）
FR=F+F2=F2+F 1 1
平面汇交力系
2、平面汇交力系的合成（力的多边形法则） 平面汇交力系的合成（力的多边形法则）
F2
y
F1
60o
O
30o
45o
45o
x F4
F3
平面汇交力系
合力的大小： 合力的大小：
2 2 FR = FRx + FRy = 171.3 N
F2
y FR
合力与轴x 夹角的方向余弦为： 合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
cosα = cos β = Fx R = 0.754 F R Fy R F R = 0.656
FR = FR2x + FR2y = 0
FRx = FRy =
∑ ∑
Fx = 0 Fy = 0
平面汇交力系平衡的充要条件为 平面汇交力系平衡的充要条件为：力系中各力在两个坐标 平衡的充要条件 轴上投影的代数和分别等于零。上式即为平面汇交力系的 轴上投影的代数和分别等于零。上式即为平面汇交力系的 平衡方程。 平衡方程。
y
按照矢量投影的方法 我们可以知道： 我们可以知道： 力在轴上的投影等于 力的大小乘以力与投影轴 正向间夹角的余弦。 正向间夹角的余弦。
F
Fy
β
α
x
Fx Fx = F cos α Fy = F cos β
符号规定： 符号规定： 当投影与坐标轴正向方向一致时为正 反之为负 当投影与坐标轴正向方向一致时为正，反之为负。
平面汇交力系
例2.2:求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N， 2.2:求如图所示平面共点力系的合力 其中： 求如图所示平面共点力系的合力。 N， F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。 N， N， N。
解：
根据合力投影定理， 根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为： 上的投影分别为：
x
B
D
y
D
已知： ϕ = 14.03°, 联立求解得
sin ϕ = 0.243 ,
cos ϕ = 0.969
FB = 750 N
平面汇交力系
作业——习题： 习题： 作业 习题 2-3，2-8，2-11。 ， ， 。
课外练习： 课外练习：
习题： 习题：2-1 , 2-2, 2-14 , 2-16，2-18。 ， 。
FR1 = F1 + F2
FR2 = FR1 + F3 =∑i F
i =1 3
平面汇交力系
FR1 = F + F2 1
FR2 = FR1 + F =∑i F 3 i =1. . . . . . . . .
3
FR = FR(n_1) + Fn =∑i = ∑i F F
i =1
n
可以看出： 可以看出：平面汇交力系的合力为由原力系中所有 各力依次首尾相连所构成的力多边形的封闭边， 各力依次首尾相连所构成的力多边形的封闭边，且与各 力连接的顺序无关。 力连接的顺序无关。
24cm
DA 铅 DA铅 直 ， BC水平 ， 试求拉杆 BC 水平 水平， BC所受的力 。 已知 所受的力。 已知EA=24 cm， 所受的力 ， DE=6 cm(点E在铅直线 上) ， 点 在铅直线 在铅直线DA上 都是光滑铰链， 又B ，C ，D都是光滑铰链， 都是光滑铰链 机构的自重不计。 机构的自重不计。 自重不计
结论：平面汇交力系可以合成为一个通过汇交点 结论： 的合力，合力等于各力的矢量和。 的合力，合力等于各力的矢量和。
平面汇交力系
二、平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系 {F1 ,F2 ,L ,Fn } = 合力FR
F3 F4 平衡
0
F3
F R
F1
FR = 0
F2
F4 F2 F1
FR =
∑F
FR = ∑F = 0
平面汇交力系
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平面汇交力系
二、力沿直角坐标轴的分解
y
Fy
β
α
F
Fx = Fcosα Fy = Fcosβ
x
Fx
y
按照力的平行四 按照力的平行四 边形法则， 边形法则，可以将共 点力合成为一个力， 点力合成为一个力， 亦可将一个力分解为 几个共点力。 几个共点力。
力在轴上的投影等于力沿轴的分力吗？ ？力在轴上的投影等于力沿轴的分力吗？
B O
E
C
6cm
D (a)
平面汇交力系
解： 解析法
1.取制动蹬ABD作为研究对象。 取制动蹬ABD作为研究对象 作为研究对象。
y
A
2.画出受力图，并由力的可传 画出受力图， 性化为共点力系。 性化为共点力系。 3.列出平衡方程： 列出平衡方程：
FD
O
45°
B
ϕ
x
F
B
F
D
∑F = 0， F − F cos 45° − F cos ϕ = 0 ∑F = 0， F sin ϕ − F sin 45° = 0
Fy
F
Fy
分力： 分力： Fx , Fy
x
只有当力向直 ！只有当力向直 角坐标轴投影时 角坐标轴投影时， 投影时， 角坐标轴投影时， 其投影值与它沿同 其投影值与它沿同 一坐标轴的分力在 一坐标轴的分力在 数值上相等。 数值上相等。
Fx
Fx
投影： 投影： Fx, Fy
平面汇交力系
三、合力投影定理
由合矢量投影定理可得合力投影定理： 由合矢量投影定理可得合力投影定理： 合力投影定理: 合力投影定理: 合力在某轴上的 投影等于分力在同一 轴上投影的代数和。 轴上投影的代数和。
平面汇交力系
例 2.3: 图 a所示是汽车制动机 所示是汽车制动机
F
A
α
构的一部分。 构的一部分。司机踩到制动蹬 上的力F=212 N，方向与水平 上的力 方向与水平 面成a 面成 = 45°角 。 当平衡时 ， 角 当平衡时，
24cm
DA 铅 DA铅 直 ， BC水平 ， 试求拉杆 BC 水平 水平， BC所受的力 。 已知 所受的力。 已知EA=24 cm， 所受的力 ， DE=6 cm(点E在铅直线 上) ， 点 在铅直线 在铅直线DA上 都是光滑铰链， 又B ，C ，D都是光滑铰链， 都是光滑铰链 机构的自重不计。 机构的自重不计。 自重不计
60o
F1
o
O
α30
45o
45o
x F4
F3
所以，合力与轴x，y正向间的夹角分别为： 所以，合力与轴x 正向间的夹角分别为：
α = 40.99o
o β = 49.01
综上可知:合力 的方向如图所示。 综上可知 合力FR的方向如图所示。 合力
平面汇交力系
平面汇交力系平衡的解析条件● 五、平面汇交力系平衡的解析条件●平衡方程
FRx = ∑F FRy = ∑F ix iy
四、平面汇交力系合成的解析法
由合力投影定理可知，合力的大小为： 由合力投影定理可知，合力的大小为： 合力的方向为： 合力的方向为：
FR = FRx + FRy
2
iy
2
F ∑ cos(F , i ) =
R
ix
FR
F ∑ cos(F , j) =
R
FR
合力的作用点为力系的汇交点。 合力的作用点为力系的汇交点。 汇交点
汇交力系平衡的几何条件：力多边形自行封闭。 汇交力系平衡的几何条件：力多边形自行封闭。 几何条件
平面汇交力系
例 2.1: 图 a所示是汽车制动机 所示是汽车制动机
F
A
α
构的一部分。 构的一部分。司机踩到制动蹬 上的力F=212 N，方向与水平 上的力 方向与水平 面成a 面成 = 45°角 。 当平衡时 ， 角 当平衡时，
B O
E
C
6cm
D (a)
平面汇交力系
A
F
解： 几何法
1.取制动蹬ABD作为研究对象， 取制动蹬ABD作为研究对象 作为研究对象， 并画出受力图。 并画出受力图。
α
O
ϕ
B E
FD
(b)
FB
D
2.作出相应的力多边形。 作出相应的力多边形。 3. 由图b所示几何关系可得： 由图b所示几何关系可得：
OE = EA = 24 cm