《离散数学》期末考试试题

《离散数学》期末考试试题
一、 填空题（每空2分，合计20分）
1. 设个体域为{2,3,6}D =-, ():3F x x ≤，():0G x x >。

则在此解释下公式
()(()())x F x G x ∀∧的真值为______。

2. 设:p 我是大学生，:q 我喜欢数学。

命题“我是喜欢数学的大学生”为可符合化
为 。

3. 设{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B -=________，A B ⊕=________。

4. 合式公式()Q P P ⌝→∧是永______式。

5. 给定集合{1,2,3,4,5}A =，在集合A 上定义两种关系：
{1,3,3,4,2,2}R =<><><>, {4,2,3,1,2,3}S =<><><>，
则_______________S R =ο，_______________R S =ο。

6. 设e 是群G 上的幺元，若a G ∈且2a e =,则1a -=____ , 2a -=__________。

7． 公式))(()(S Q P Q P ⌝∧⌝∨∧∨⌝的对偶公式为 。

8. 设{2,3,6,12}A =, p 是A 上的整除关系，则偏序集,A <>p 的最大元是________，极小元是_ _。

9. 一棵有6个叶结点的完全二叉树，有_____个内点；而若一棵树有2个结点度数为2，一 个结点度数为3，3个结点度数为4，其余是叶结点，则该树有_____个叶结点。

10. 设图,G V E =<>, 1234{v ,v ,v ,v }V
=，若G 的邻接矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001001111011010A ，则1()deg v -=________, 4()deg v +=____________。

二、选择题（每题2分，合计20分）
1．下列各式中哪个不成立（ ）。

A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀ ；
B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃；
C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∧∀⇔∧∀；
D 、Q x xP Q x P x ∧∀⇔∧∀)())((。

2．谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的 x 是（ ）。

A 、自由变元；
B 、约束变元；
C 、既是自由变元又是约束变元；
D 、既不是自由变元又不是约束变元。

3．集合的以下运算律不成立．．．
的是( )。

A ．A
B B A =I I B ．A B B A =U U
C ．A B B A ⊕=⊕
D ．A B B A -=-
4. 公式),()),(),((y x xP z y Q y x P y x ∃∧∨∀∀换名（ ）。

A. ),()),(),((y x xP z u Q u x P u x ∃∧∨∀∀
B. ),()),(),((u x xP z u Q u x P y x ∃∧∨∀∀
C. ),()),(),((u x xP z y Q y x P y x ∃∧∨∀∀
D. ),()),(),((y u uP z y Q y u P y u ∃∧∨∀∀。

5. 设集合A ，B 是有穷集合，且n B m A ==,，则从A 到B 有（ ）个不同的双射函
数。

A 、n ；
B 、m ；
C 、!n ；
D 、!m 。

6．设{,,,}A a b c d =，A 上的等价关系
{,,,,,,,}R a b b a c d d c =<><><><>，
则对应于R 的A 的划分是（ ）
A ．{{},{,},{}}a b c d
B ．{{,},{},{}}a b c d
C ．{{},{},{},{}}a b c d
D ．{{,},{,}}a b c d
7. 设{1,2,3,4}A =，则A 上的二元关系有（ ）个。

A ． 42 B. 24 C ．442⨯ D ．224⨯
8．下面集合（ ）关于减法运算是封闭的。

A 、N ；
B 、}2{I x x ∈ ；
C 、}12{I x x ∈+ ；
D 、}{是质数x x 。

9.设集合{0,1,2,3}X =，R 是X 上的二元关系，{0,0,0,2,1,2,1,3,2,0,2,1,3,3}R =<><><><><><><>，则R 的关系矩阵M R 是
( )
A．
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1
1
1
1
1
1
1
B.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1
1
1
1
1
1
1
C.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1
1
1
1
1
1
1
1
D.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1
1
1
1
1
1
1
1
10．一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( )
A.汉密尔顿回路
B.欧拉回路
C.汉密尔顿通路
D.初级回路
三、计算题（每题8分合计40分）
1．写出命题公式()()
p q p q
⌝→∧⌝∨的真值表。

2．集合}
36
,
24
,
12
,6
,3
,2{
=
A上的偏序关系|为整除关系。

设}
12
,6
{
=
B，}6,3,2
{
=
C，试画出<A, |>的哈斯图，并求集合B和C中关于|的极大元、最大元、下界和下确界。

3.求命题公式()()
P Q P R
⌝∧↔⌝⌝→的主析取范式。

4.求下图所示的边赋权图的一棵最小生成树。

5. 已知某有向图的邻接矩阵如下：
1
2
3
4
0010
0011
1101
0111
v
v
A
v
v
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎝⎭
试求：
3
v到
1
v的长度为4的有
向路径的条数。

四证明题（每题10分，合计20分）
1.设论域D为全总个体域，谓词G(x)：x是研究生，T(x)：x是推荐免试者，K(x)：x是统
考选拔者。

在谓词逻辑中符号化下列各命题，推证结论的有效性。

“所有的研究生或者是推荐免试者或者是统考选拔者；并非所有的研究生都是推荐免试者。

结论：有些研究生是统考选拔者。

”
2. ,*
G
<>是一个群,u G
∈，定义G中的运算“∆”为*1*
a b a u b
∆=-，对任意,a b G
∈，求证：,G
<∆>也是个群。