《离散数学》期末考试试题

《离散数学》期末考试试题

一、 填空题（每空2分，合计20分）

1. 设个体域为{2,3,6}D =-, ():3F x x ≤，():0G x x >。则在此解释下公式

()(()())x F x G x ∀∧的真值为______。

2. 设:p 我是大学生，:q 我喜欢数学。命题“我是喜欢数学的大学生”为可符合化

为 。

3. 设{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B -=________，A B ⊕=________。

4. 合式公式()Q P P ⌝→∧是永______式。

5. 给定集合{1,2,3,4,5}A =，在集合A 上定义两种关系：

{1,3,3,4,2,2}R =<><><>, {4,2,3,1,2,3}S =<><><>，

则_______________S R =ο，_______________R S =ο。

6. 设e 是群G 上的幺元，若a G ∈且2a e =,则1a -=____ , 2a -=__________。

7． 公式))(()(S Q P Q P ⌝∧⌝∨∧∨⌝的对偶公式为 。

8. 设{2,3,6,12}A =, p 是A 上的整除关系，则偏序集,A <>p 的最大元是________，极小元是_ _。

9. 一棵有6个叶结点的完全二叉树，有_____个内点；而若一棵树有2个结点度数为2，一 个结点度数为3，3个结点度数为4，其余是叶结点，则该树有_____个叶结点。

10. 设图,G V E =<>, 1234{v ,v ,v ,v }V

=，若G 的邻接矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001001111011010A ，则1()deg v -=________, 4()deg v +=____________。

二、选择题（每题2分，合计20分）

1．下列各式中哪个不成立（ ）。

A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀ ；

B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃；

C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∧∀⇔∧∀；

D 、Q x xP Q x P x ∧∀⇔∧∀)())((。

2．谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的 x 是（ ）。

A 、自由变元；

B 、约束变元；

C 、既是自由变元又是约束变元；

D 、既不是自由变元又不是约束变元。 3．集合的以下运算律不成立．．．

的是( )。

A ．A

B B A =I I B ．A B B A =U U

C ．A B B A ⊕=⊕

D ．A B B A -=-

4. 公式),()),(),((y x xP z y Q y x P y x ∃∧∨∀∀换名（ ）。

A. ),()),(),((y x xP z u Q u x P u x ∃∧∨∀∀

B. ),()),(),((u x xP z u Q u x P y x ∃∧∨∀∀

C. ),()),(),((u x xP z y Q y x P y x ∃∧∨∀∀

D. ),()),(),((y u uP z y Q y u P y u ∃∧∨∀∀。

5. 设集合A ，B 是有穷集合，且n B m A ==,，则从A 到B 有（ ）个不同的双射函

数。

A 、n ；

B 、m ；

C 、!n ；

D 、!m 。

6．设{,,,}A a b c d =，A 上的等价关系

{,,,,,,,}R a b b a c d d c =<><><><>，

则对应于R 的A 的划分是（ ）

A ．{{},{,},{}}a b c d

B ．{{,},{},{}}a b c d

C ．{{},{},{},{}}a b c d

D ．{{,},{,}}a b c d

7. 设{1,2,3,4}A =，则A 上的二元关系有（ ）个。

A ． 42 B. 24 C ．442⨯ D ．224⨯

8．下面集合（ ）关于减法运算是封闭的。

A 、N ；

B 、}2{I x x ∈ ；

C 、}12{I x x ∈+ ；

D 、}{是质数x x 。

9.设集合{0,1,2,3}X =，R 是X 上的二元关系，{0,0,0,2,1,2,1,3,2,0,2,1,3,3}R =<><><><><><><>，则R 的关系矩阵M R 是

( )

A．

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

1

1

1

1

1

1

1

B.

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

1

1

1

1

1

1

1

C.

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

1

1

1

1

1

1

1

1

D.

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

1

1

1

1

1

1

1

1

10．一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( )

A.汉密尔顿回路

B.欧拉回路

C.汉密尔顿通路

D.初级回路

三、计算题（每题8分合计40分）

1．写出命题公式()()

p q p q

⌝→∧⌝∨的真值表。

2．集合}

36

,

24

,

12

,6

,3

,2{

=

A上的偏序关系|为整除关系。设}

12

,6

{

=

B，}6,3,2

{

=

C，试画出的哈斯图，并求集合B和C中关于|的极大元、最大元、下界和下确界。

3.求命题公式()()

P Q P R

⌝∧↔⌝⌝→的主析取范式。

4.求下图所示的边赋权图的一棵最小生成树。

5. 已知某有向图的邻接矩阵如下：

1

2

3

4

0010

0011

1101

0111

v

v

A

v

v

⎛⎫

⎪

⎪

=

⎪

⎪

⎝⎭

试求：

3

v到

1

v的长度为4的有

向路径的条数。

四证明题（每题10分，合计20分）

1.设论域D为全总个体域，谓词G(x)：x是研究生，T(x)：x是推荐免试者，K(x)：x是统

考选拔者。在谓词逻辑中符号化下列各命题，推证结论的有效性。

“所有的研究生或者是推荐免试者或者是统考选拔者；并非所有的研究生都是推荐免试者。结论：有些研究生是统考选拔者。”

2. ,*

G

<>是一个群,u G

∈，定义G中的运算“∆”为*1*

a b a u b

∆=-，对任意,a b G

∈，求证：,G

<∆>也是个群。