数学文化第四讲 数学的魅力

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一、渔网的几何规律
用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片 网，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼 数(F)，边数(E)都必定适合下面的公式：
V + F– E = 1
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多面体的欧拉公式
• V + F– E =2
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数学就有这样的本领，能够把看起来复杂 的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出 规律。
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拉姆塞（Ramsay）理论
拉姆塞是位天才的英国科学家，只活 了26岁。在他去世的1930年，他发表了 一篇学术论文，其副产物就是所谓拉姆 塞理论。
• 在一个集会上，两个人或者彼此认识，或 者彼此不认识，拉姆塞得出结果是说，当 集会人数大于或等于6时，则必定有3个人 ，他们或者彼此者认识或者彼此都不认识 。6称为拉姆塞数，记r（3,3）。 • 进一步当集会人数大于或等于18时，则必 定有4个人，他们或者彼此都认识或者彼此 都不认识，用记号表示就是r（4,4）=18。
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• 1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上 发表论文，宣布证明了“四色猜想”。
• 但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的 证明中有严重错误。
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• 一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难， 这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。 • 实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重要 ,重要的是它们的相互位置。 • 下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看, 问题的实质在于地图的“拓扑结构”。
把（mn－1）个物体放入n个抽屉中， 其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物 体。
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整除问题
把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做 m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表 示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1， 2m+1，3m+1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩 余类作为抽屉. 根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有 两个自然数的差是n的倍数。(证明：n+1个自然数被n整 除余数至少有两个相等（抽屉原理），不妨记为 m=a1*n+b ，n=a2*n+b，则m-n整除n)。
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常见形式
第一抽屉原理
Ø 原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里， 则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体 。 Ø 原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多 于m+1个的物体。（更一般的表述） Ø 原理3 把无穷多件物体放入n个抽屉，则至
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• 第二抽屉原理
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四色问题的解决
• 直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前 人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。 • 到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台 IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证 明了四色猜想。
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• 这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时,当 地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOUR COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。
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面积问题 例1. 九条直线中的每一条直线都将正方形分 成面积比为2:3的梯形，证明：这九条直线 中至少有三条经过同一点.
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染色问题 例2. 正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆 （每面只涂一种色），证明正方体一定有三 个面颜色相同.
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• 1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这 样一道题目： “证明在任意6个人的集会上，或者有3个 人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此 不相识。” •
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在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任
意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连 成一条红线；否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线 AB，AC，...，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中 至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。如果BC，BD ，CD 3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC 即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC 、BD、CD 3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形， B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符 合问题的结论。
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在闵可夫斯基的一生中，把爱因斯坦骂作“ 懒虫”恐怕还算不上是最尴尬的事…… 一天， 闵可夫斯基刚走进教室，一名学生就递给他 一张纸条，上面写着：“如果把地图上有共同 边界的国家涂成不同颜色，那么只需要四种 颜色就足够了，您能解释其中的道理吗？”
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闵可夫斯基微微一笑，对学生们说：“这个问 题叫四色问题，是一个著名的数学难题。其实，它之 所以一直没有得到解决，仅仅是由于没有第一流的数 学家来解决它。” 为证明纸条上写的不是一道大餐， 只是小菜一碟，闵可夫斯基决定当堂掌勺，问题就会 变成定理…… 下课铃响了，可“菜”还是生的。一连好几天， 他都挂了黑板。后来有一天，闵可夫斯基走进教室时 ，忽然雷声大作，他借此自嘲道：“哎，上帝在责备我 狂妄自大呢，我解决不了这个问题。”
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三角形三内角之和 = 180 度 n 边形 n 内角之和 = ？
n 边形 n 内角之和 = 180 度 × ( n – 2 )
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n 边形 n 外角之和 = 360 度
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高斯－博内公式的内蕴式证明 当积分区域是整个闭曲面M时，有 = 2π χ （M）
其中k 是高斯曲率，χ（M）是曲面M的欧拉示性数, 2π则是 360°的 弧度制表示。这一高斯－博内公式的左面是一个由局 部性质（曲率）表示的量，但是，公式的右面却只与曲面整 体的拓扑不变量相关。高斯－博内公式的重要意义在于：它 用曲面的局部不变量刻画了整体性质。
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二、哈尔滨市南岗区 至少有两个人头发根数一样多
“存在性命题” ：哈尔滨市南岗区中一定存在两个头发 根数一样多的人。
对于存在性命题，通常有两类证明方法： • 一类是构造性的证明方法，即把需要证明存在的事 物构造出来，便完成了证明； • 一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物， 而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。
• 可是集会有多少人，才能有5个人都彼此认识或都 不认识呢？ • 时至今日，r（5,5）的精确数目我们还不知道，至 于其他的r(n,n）当然就更不清楚了。 • 不过，我们的确证明r(n,n）是一个有限数，的确 存在，甚至有精确的上界和下界。只是其中究竟 哪一个是拉姆塞数，就不得而知了。因此，求 r(n,n）的精确值是一个难题。
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抽屉原理
如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可 以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元 素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集 合里有两个元素。 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（ 鸽巢原理 “如果有五 个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子 飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子” ）。它是组合数学中一个重要的原理。 组合数学中一个重要的原理
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六、素数的奥秘
• 自然数是整个数学最重要的元素。 • 自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为“素 数”。 • 素数是大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数 ； • 大于1的自然数中不是素数的都称为“合数”； • 1则既不是素数也不是合数。
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• 由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以素 数是特别简单的数。 • 又由于一切大于1的自然数都能够从素数通过乘法得 到，所以素数又是特别基本的数。 • 素数很早就被古希腊的数学家所研究。 • 2300多年前欧几里得的《几何原本》第9卷的定理 20，就给出了“素数有无穷多个”的漂亮证明。
三、圆的魅力
• 车轮，是历史上最伟大的发明之一 • 圆，是平面图形中对称性最强的图形 • 周长与直径之比是一个常数 • 这个常数是无理数、超越数 • 面积相等的图形中圆的周长最短 • 规尺作图化圆为方不可做
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四、“三角形三内角之和等于180度 ，这个命题不好”
• 这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学的 一次演讲中说的，后来又多次说过。 • 所以，这不是随便说的一句话。 • 陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度，这 个命题不对”，而是说“这个命题不好”。
五、四色问题
• 四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先 由一位英国大学生F．古色利提出。 • 他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公共 边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。 • 但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德 里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数学 家德·摩根，希望帮助给出证明。
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例如“任意两个正整数都存在最大公约数” 这个存在 性命题，我们可以用“辗转相除法”给出构造性的证 明，在证明最大公约数存在的同时，也给出了求最 大公约数的方法。(例：（210，1950）= 30 ) 再例如“连续函数如果在两个端点反号，则中间一定 存在零点” 这个存在性命题，我们在教材中看到的和 在课堂上听到的，往往是纯存在性证明，证明了零 点的存在，但并不给出找到零点的方法。
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合理的退让——不得已而求其次
加强命题的条件 或者减弱命题的结论
• 希伍德证明了“五色定理”
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• 一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获得了 一系列成果。 • 1920年弗兰克林证明了,对于不超过25个国家的地图,四色猜 想是正确的。 • 1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。 • 1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。 • 1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的地图可以用 四种颜色着色。 • 但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。
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哈尔滨市南岗区 至少有两个人头发根数一样多 构造性证明 ：
一个一个地去数哈尔滨市南岗区中所有人的头发 根数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张 三和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明 。
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哈尔滨市南岗区 至少有两个人头发根数一样多 纯存在性证明 ：
• “抽屉原理” • 证明“367个人中至少有两个人的生日是相同的” • 证明“哈尔滨市南岗区中一定存在两个头发根数一样 多的人”
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德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少 要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。
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• 但德·摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数 学家,其中包括著名数学家哈密顿。 • 但这个问题当时没有引起数学家的重视。 • 直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后，认 为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数学 会文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章,才引起了更大 的注意。
第四讲 数学的魅力
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你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你 可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然 的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐 一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层 次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简 洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。 数学，有无穷的魅力！
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练习
• 向量组的秩 • 矩阵的秩 • 线性空间的维数
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• 三角形有多种多样，“三角形三内角之和等 于180度”也是“变中有不变”的性质。 • 陈省身说“不好”是相对的，有层次的区别。 “变中有不变”也是有层次的。 • 我们在学习和科学研究中，要善于抓住“变 中有不变”的性质，要有这样的素养！
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六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞 定理的一个最简单的特例，这个简单问题 的证明思想可用来得出另外一些深入的结 论。这些结论构成了组合数学中的重要内 容-----拉姆塞理论。从六人集会问题的证明 中，我们又一次看到了抽屉原理的应用。 对于这个命题，纯存在性证明的方法，比用 构造性证明的方法更可靠。
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拓展了人们对“证明”的理解
• 由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学家 从数学及哲学方面对“证明”的思考。
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令闵可夫斯基尴尬的一堂课
19世纪末，德国有位天才的数学教授叫闵可
夫斯基，他曾是爱因斯坦的老师。爱因斯坦因为经 常不去听课，便被他骂作“懒虫”。万万没想到，就 是这个“懒虫”后来创立了著名的狭义相对论和广义 相对论。闵可夫斯基受到很大震动，他把相对论中 的时间和空间统一成“四维时空”，这是近代物理发 展史上的关键一步。