专题09 立体几何与空间向量(解析版)

2021年高考数学压轴必刷题（第一辑）

专题09立体几何与空间向量

1．【2020年全国1卷文科12】已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为（）

A．64πB．48πC．36πD．32π

【答案】A

【解析】

设圆O1半径为r，球的半径为R，依题意，

得πr2=4π,∴r=2，

由正弦定理可得AB=2rsin60°=2√3，

∴OO1=AB=2√3，根据圆截面性质OO1⊥平面ABC，

∴OO1⊥O1A,R=OA=√OO12+O1A2=√OO12+r2=4，

∴球O的表面积S=4πR2=64π.

故选：A

2．【2020年全国2卷文科11】已知△ABC是面积为9√3

4

的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O 的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）

A．√3B．3

2C．1D．√3

2

【答案】C

【解析】

设球O的半径为R，则4πR2=16π，解得：R=2.设△ABC外接圆半径为r，边长为a，

∵△ABC是面积为9√3

4

的等边三角形，

∴1

2a2×√3

2

=9√3

4

，解得：a=3，∴r=2

3

×√a2−a2

4

=2

3

×√9−9

4

=√3，

∴球心O到平面ABC的距离d=√R2−r2=√4−3=1.

故选：C.

3．【2020年上海卷15】在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P 到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线相交的面是（）

A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD

【答案】解：如图，

由点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，

可得P在△AA1D内，过P作EF∥A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，

在平面ABCD中，过F作FG∥CD，交BC于G，则平面EFG∥平面A1DC．

连接AC，交FG于M，连接EM，

∵平面EFG∥平面A1DC，平面A1AC∩平面A1DC＝A1C，平面A1AC∩平面EFM＝EM，

∴EM∥A1C．

在△EFM中，过P作PN∥EM，且PN∩FM于N，则PN∥A1C．

∵线段FM在四边形ABCD内，N在线段FM上，∴N在四边形ABCD内．

∴过点P 且与A 1C 平行的直线相交的面是ABCD ．

故选：D ．

4．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为（ ）

A ．8√6π

B ．4√6π

C ．2√6π

D ．√6π

【答案】解：如图，

由P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，可知三棱锥P ﹣ABC 为正三棱锥，

则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心，连接BO 并延长，交AC 于G ，

则AC ⊥BG ，又PO ⊥AC ，PO ∩BG ＝O ，可得AC ⊥平面PBG ，则PB ⊥AC ，

∵E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∴EF ∥PB ，

又∠CEF ＝90°，即EF ⊥CE ，∴PB ⊥CE ，得PB ⊥平面P AC ，

∴正三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱两两互相垂直，

把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，

其直径为D =√PA 2+PB 2+PC 2=√6．

半径为√62，则球O 的体积为43π×(√62)3=√6π．

故选：D ．

5．【2019年浙江08】设三棱锥V ﹣ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P ﹣AC ﹣B 的平面角为γ，则（ ）

A ．β＜γ，α＜γ

B ．β＜α，β＜γ

C ．β＜α，γ＜α

D ．α＜β，γ＜β

【答案】解：方法线段AO 上，作DE ⊥AC 于E ，易得PE ∥VG ，过P 作PF ∥AC 于F ，

过D 作DH ∥AC ，交BG 于H ，

则α＝∠BPF ，β＝∠PBD ，γ＝∠PED ，

则cos α=PF PB =EG PB =DH PB ＜BD PB =cos β，可得β＜α；

tan γ=PD ED ＞PD BD =tan β，可得β＜γ，

方法由最大角定理可得β＜γ'＝γ；

方法易得cos α=

123=√36，可得sin α=√336，sin β=√633=√23，sin γ=√6332=2√2

3， 故选：B ．

6．【2018年新课标1理科12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）

A ．3√34

B ．2√33

C ．3√24

D ．√32

【答案】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，

此时正六边形的边长√22

， α截此正方体所得截面最大值为：6×√34×(√22)2=3√3

4．

故选：A ．

7．【2018年新课标3理科10】设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为9√3，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为（ ）

A ．12√3

B ．18√3

C ．24√3

D ．54√3 【答案】解：△ABC 为等边三角形且面积为9√3，可得√34

×AB 2=9√3，解得AB ＝6， 球心为O ，三角形ABC 的外心为O ′，显然D 在O ′O 的延长线与球的交点如图： O ′C =23×√3

2×6=2√3，OO ′=√42−(2√3)2=2，

则三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为：6，