第六章样本及样本函数的分布

12
n
X1, X2, , Xn 的联合分布函数为
n
∏ F(x1, x2, , xn) = F(xi ).
i=1
②
若总体
X
是离散型随机变量，其分布律为
pi
= P{X
= x} i
（
i
=1, 2,
）， 则
X , X , , X 的联合分布律为
1
2
n
{ } ∏ ∏ n
n
P X =x,X =x ,
1
12
2
,X =x
§6.1 知识点考点精要
一 、基本概念
1、 总体、样本及样本的分布
研究对象的某项数量指标的全体称为总体，总体中的每个元素称为个体.设总体 X 的分
布函数为 F(x) ，若随机变量 X , X , , X 相互独立，且都与总体 X 具有相同的分布函数，
1
2
n
则称 X , X ,
1
2
,
X n
是来自总体
X
x(1) ≤ x(2) ≤
≤x (k)
，并假设
x( i )
出现的频数为
ni
，那么
x( i )
出现的频率为
i = 1, 2, , k, k ≤ n . 函数
fi
=
ni n
，
⎧ 0,
⎪
∑ Fn (x)
=
⎪ ⎨
i
fj,
⎪ j=1
⎪⎩ 1,
x < x(1),
x(i) ≤ x < x(i+1), i = 1, 2, , k −1, x ≥ x(k).
(1)
12
n
(n)
12
n
样本最大值. 4、经验分布函数
设总体
X
的分布函数为
F(x)
，从总体
X
中抽取容量为
n
的样本
X, 1
X 2
,
, X ，样本值为 n
174
第六章 样本及样本函数的分布
x1, x2, , xn .假设样本值 x1, x2, , xn 中有 k 个不相同的值，按由小到大的顺序依次记作
X
的一个样本，
x1, x2,
,
xn
是样本值，
g(X , 1
X 2
,
,X )是 n
X ,X , 12
,
X
n
函数.如果
g(
X 1
,
X 2
,
,
X n
)
中不含未知参数，则称
g(
X, 1
X 2
,
,
X n
)
为统计量.
3、常用统计量
①样本均值 ②样本方差
∑ 1 n
X= X ni
i=1
③样本标准差
∑ ∑ S2
=
1 n −1
第六章 样本及样本函数的分布
本章学习要点
① 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念；
② 了解标准正态分布、 χ2 分布、 t 分布和 F 分布的概念与性质； ③ 了解上侧 α 分位数的概念，并会查相应的数值表；
④ 了解经验分布函数的概念和性质； ⑤ 了解正态总体的常用抽样方法.
∑ E(X )
=
1 n
n i =1
E( Xi )
=
n× n
1 λ
=
1 λ
.
∑ ∑ D(X ) =
1 n2
n
D(
i =1
Xi) =
1 n2
n i =1
D( X i
)
=
1 nλ 2
.
179
概率论与数理统计全程学习指导
∑ ∑ E(S 2 )
=
E( 1 n −1
n i =1
(Xi
−
X
)2 )
3、 F 分布
① F 分布的应用模式
设
X
∼
χ
2
(n 1
)
，
Y
∼
χ2 (n 2
)
，且
X
和
Y
相互独立，称随机变量
F
=
X Y
n 1
n
服从自由度为
2
(n 1
,
n 2
)
的
F
分布，记为
F
∼
F (n1, n2 )
.
② F 分布的上 α 分位点
176
第六章 样本及样本函数的分布
设 F ∼ F (n1, n2 ) ，对于给定的正数 α(0 < α < 1) ,称满足条件
n i =1
Xi
，故自由度变成了
n −1，请读者特别注意；
20 对于不是正态分布的一般总体 X ，如果 E( X ) = μ, D( X ) = σ 2 , X1, X 2 , , X n
是取自 X 的一个简单随机样本，则当 n → ∞ 时， X − μ n 与 X − μ n 均服从标准正态
σ
s
分布 N (0,1)
+n
− 2).
12
S 1 n +1 n
w
1
2
(S2
=
(n 1
−1)S2 1
+ (n 2
−1)S2 2
)
w
n +n −2
12
⑦
设总体 X
∼
N
(μ1
,σ
2 1
)
和
Y
∼
N
(μ2
,σ
2 2
)
，则统计量
n
1
∑ F
=
n 2
σ2 ⋅2
⋅
i =1
(Xi
− μ1)2
=
χ12
n 1
∼ F(n , n )
∑ n σ 2 11
的简单随机样本，简称为样本，
n
称为样本容量.在对总体
X 进行一次具体的抽样并作观测之后，得到样本 X , X , , X 的确切数值 x , x , , x ，称为
1
2
n
12
n
样本观测值，简称为样本值.
① 若总体 X 的分布函数为 F(x) ， X , X , , X 是总体 X 的容量为 n 的样本，则样本
② t 分布的 α 分位点
设 t ∼ t(n) ，对于给定的正数 α (0 < α <1) ,称满足
{ } ∫+∞
P
t > tα (n)
=
f (x)dx =α
tα (n)
的点 tα (n) 为 t(n) 分布的上 α 分位点；称满足 P{| t |> tα 2 (n)} = α 的点 tα 2 (n) 为 t(n) 分布的 双侧 α 分位点.
5
5
5
Π P{X
i =1
=
5
xi }
=
Π
i =1
p
xi
(1 −
p )1− xi
=
∑ xi p i=1 (1 −
∑ 5− xi p) i=1
.
（2）
X1
+
X
2
,
max(
1≤i≤5
X
i
), ( X5
−
X1)2
都是统计量，而
X5
+
2
p
含有未知量
p
，不是统计量.
【例 6.2】设总体服从参数 λ 为的指数分布，分布密度为
1、单个正态总体抽样分布定理
设总体
X
∼
N(μ,σ
2
)
，
X 1
,
X, 2
,
X n
为其样本，
n
为样本容量，
X
,
S2
,
S
是相应的样
本均值，样本方差和样本标准差，那么，由它们构造的统计量的分布可用定理描述如下：
① 设总体 X ∼ N (μ,σ 2 ) ，则 X ∼ N (μ, σ 2 ) ，即U = X − μ ∼ N(0,1) ；
1
2
n
服从自由度为 n 的 χ2 分布，记作 χ2 ∼ χ2 (n) .
② χ2 分布的上 α 分位点
设 χ2 ∼ χ2 (n) ，对于给定的正数 α(0 < α < 1) ，称满足
+∞
∫ P{χ2
>
χ2 α
(n)}
=
f (x)dx =α
χα2 (n)
的点
χ2 α
(n)
为
χ2
(n)
分布的上
α
分位点.
n2
(Y − μ )2
i
2
χ22
n 2
12
i =1
⑧设总体
X
∼
N
(
μ1
,σ
2 1
)
和
Y
∼
N
(μ2
,
σ
2 2
)
，则统计量
178
第六章 样本及样本函数的分布
σ2 S2
F = 2 i 1 ∼ F(n −1, n −1).
σ2 S2
1
2
12
§6.2 经典例题解析
题型一 有关样本分布及统计量的命题
【例 6.1】设总体 X 服从两点分布 B(1, p) ，即 P{X = 1} = p ， P{X = 0} = 1− p .其中 p 是未知参数， X1, X 2 , , X5 是来自 X 的简单随机样本.
③ t 分布的性质
10 若 t ∼ t(n) ，则 E(t) = 0 (n > 1) ， D(t) = n (n > 2) ；
n−2
20 t 分布概率密度 f (t) 图形关于 t = 0对称，即 t1−α (n) = −tα (n) ； 30 当 n 较大时， tα (n) ≈ Zα ，其中 Zα 为 N (0,1) 的上α 分位点.
D(F) = 2 1 2
n (n − 2)2 (n − 4)
12
2
20
若F
∼
F (n1, n2 ) ，则
1 F
∼
F (n2 , n1) ；
30
F1−α (n1, n2 )
=
1 Fα (n2 , n1)
；
40 若 t ∼ t(n) ，则 t2 ∼ F (1, n) .
(n 2
>
4) ；
三、抽样分布定理
{ } ∫+∞
P
F
>
Fα
(n , 1
n) 2
=
f (x)dx = α
F 2
(
n 1
,
n 2
)
的点
Fα
(n , n ) 12
为
F
(n1,
n2 )
分布的上 α
分位点.
③ F 分布的性质：
10 若 F ∼ F (n1, n2 ) ，则
n E(F) = 2
n −2 2
(n > 2) 2
，
n2 (2n + 2n − 4)
2、 t 分布
∫ ⎧ ⎫ χ2 −n
1
t2 x−
limP⎨ ≤ x⎬ =
e 2 dt .
⎩ ⎭ n→∞
2n
2π −∞
① t 分布的应用模式
设 X ∼ N(0,1) ， Y ∼ χ2 (n) ，且 X 和 Y 相互独立，称随机变量 t = X 服从自由度
Yn
为 n的 t 分布，记作 t ∼ t(n) .
③ χ2 分布的性质
10 若 χ2 ∼ χ2 (n) ，则 E(χ2 ) = n ， D(χ2 ) = 2n ；
20
（可加性）若
χ
2
1
∼
χ2 (n1) ，
χ
2
2
∼
χ2 (n2 )
，且
χ
2
1
和
χ
2
2
相互独立，则
χ
2
1
+
χ
2
2
∼
χ 2 (n1
+ n2) ，
175
概率论与数理统计全程学习指导
30 若 χ2 ∼ χ2(n) ，则对任意实数 x ，有
f
(
x)
=
⎧λe−λ ⎨
x
,
⎩ 0,
x > 0, x ≤ 0.
求 E(X ) , D(X ) 和 E(S2) .
【解】
∫ E( Xi ) =
+∞ λ xe−λxdx = 1 ,
0
λ
∫ D( Xi ) =
+∞
(x
0
−
1 )2 λe−λxdx λ
=
1 λ2
.
∑ 由于 X
=
1 n
n i =1
Xi
,
所以
(i = 1, 2, , n)
（1）写出 X1, X 2 , , X5 的联合概率分布；
（2）指出
X1
+
X
2
,
max(
1≤i≤5
X
i
),
X
5
+
2
p,
(
X5
−
X1)2
中哪些是统计量哪些不是统计量.
【解】（1） X 的分布律可写为
P{X = x} = px (1− p)1−x , (x = 0,1)
所以， X1, X 2 , , X5 的联合分布为
n
σn
② 设总体 X ∼ N (μ,σ 2 ) ，则样本均值 X 与样本方差 S2 相互独立，且
(n −1)S2 σ2
∼ χ2 (n −1) .
∑ ③
设总体 X
1
∼ N (μ,σ 2 ) ，则统计量 σ2
n
(X − μ)2 ∼ χ2 (n) i
i =1
；
X −μ
④ 设总体 X ∼ N (μ,σ 2 ) ，则统计量 T =
n i=1
(X i
− X)2
=
1n
(
n −1 i=1
Xi2
− nX 2)
∑ S = S2 =
1
n
(X − X)2
n −1 i=1 i
④样本 k 阶原点矩
⑤样本 k 阶中心矩
∑ 1
A= k
n
Xk i
，k
= 1, 2,
，
n i=1
⑥ 顺序统计量
Bk
=
1n n i∑=1(Xi
−X )k
，
k =1, 2,
.
n
n
=
P(Xi
=
x) i
=
pi .
i=1
i=1
③ 若总体 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f (x) ，则 X , X , , X 的联合概率密度
1
2
n
为
173
概率论与数理统计全程学习指导
2、统计量
n
∏ f (x1, x2, , xn) = f (xi ) .
i=1
设
X, 1
X 2
,
,
X n
是来自总体
2、两个正态总体的抽样分布定理
设X ,X , 12
, Xn1 是来自总体
X
∼
N
(
μ1
,
σ
2 1
)
的以
n1
为容量的样本，Y1,
Y 2
,
,Yn2 是来自总
体Y
∼
N
(
μ2
,σ
2 2
)
的以
n2
为容量的样本，它们的样本均值分别为
X
和Y
，样本方差分别为
S12 和 S22 ，那么，由它们构造的统计量的分布可用定理描述如下：
∼ t(n −1). .
Sn
177
概率论与数理统计全程学习指导
∑ = ∑ 【评注】 10
1 统计量 σ 2
n
(X i
−
μ)2
和
i =1
(n −1)S2 σ2
1 σ2
n
(X i
−
X )2
的分布在自由度上是
i =1
∑ ∑ 1
有差别的，这是因为在 σ2
n
(X i
−
X )2
中有一个约束条件
X
i =1
=1 n
⑤设总体
wk.baidu.com
X
∼
N
(
μ1
,σ
2 1
)
和
Y
∼
N
(μ2
,σ
2 2
)
，并设它们相互独立，那么
U
=
X
−Y
− (μ 1
−
μ) 2
∼
N(0,1).
σ2 n +σ2 n
11
22
⑥ 设总体 X ∼ N (μ1,σ 2 ) 和Y ∼ N (μ2 ,σ 2 ) ，则统计量
(X −Y ) −(μ − μ )
T=
1
2
∼ t(n
设 x1, x2,
,
xn
是样本
X 1
,
X 2
,
, X 的一组观测值，将它们从小到大重新排序为 n
x(1) ≤ x(2) ≤ ≤ x(n) .
x X 记 X 是对应于 (k)
(k)
的随机变量，
称
X ,X , (1) (2)
, X 为总体 (n)
的一组顺序统计量，称 X 为第 (k)
k 位顺序统计量，称 X = min(X , X , , X ) 和 X = max(X , X , , X ) 分别为样本最小值和
称之为总体 X 的经验(样本)分布函数.
容易知道，经验分布函数
F n
(x)
与总体的分布函数具有相同的性质.
二、三个重要分布
1、 χ2 分布
① χ2 分布的应用模式
设X ,X , 12
,
X n
相互独立，且
Xi
~
N (0,1)
（
i
= 1,
2,
, n ），则称随机变量
χ2 = X2 + X2 + + X2