人教版八年级数学上册三角形的内角和定理

三角形的内角和定理人教八上

初

中

数

学

试

卷

11-4

一、学习目标理解“三角形的内角和等于180°”及证明过程；

证明“三角形内角和定理”，体会证明中辅助线的作用，尝试用多种方法证明三角形内角和定理；

运用三角形内角和定理解决问题．

二、知识回顾拼拼看，将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角？

三、新知讲解1．三角形内角和定理

定理三角形三个内角的和等于180°

符号语言在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

图示

2．三角形内角和定理的证明

已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．

〖方法1〗证明：过A点作DE∥BC，

∵DE∥BC，（已作）

∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，（两直线平行，内错角相等）

∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，(平角=180°)

∴∠BAC+∠B+∠C=180°，(等量代换)

〖方法2〗证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．

∵CE∥BA，

∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等），

∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等），

∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，(平角=180°)

∴∠A+∠B+∠ACB=180°．(等量代换)

3．三角形内角和定理的应用

（1）已知三角形的两个内角，利用三角形内角和定理可求第三个角；

（2）已知各角之间的关系，利用三角形内角和定理可求各角．

四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！

1．三角形的内角和定理

【例1】（2014春•靖江市校级月考）若一个三角形的三个内角之比为3：4：5，则它的最大内角的度数是（）

A．80° B．75° C．90° D．108°

总结：给出三角形三个内角的比求内角度数时，通常要设未知数，通过列方程求解．

【例2】（2014•重庆校级模拟）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=45°，则∠A的度数为（）

A．65° B．75° C．85° D．95°

总结：关于三角形与平行线结合的问题，求解时，先从平行线的性质入手，把有关角转化到三角形中，再利用三角形的内角和定理求解．

【例3】（2014秋•太和县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）

A．100° B．110° C．115° D．120°

总结：三角形中两内角平分线相交组成的角等于90°与第三个内角一半的和.

练1．（2015•重庆模拟）在△ABC中，已知∠A=4∠B=104°，则∠C的度数是（）

A．50° B．45° C．40° D．30°

练2．（2014秋•安庆期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：5，那么△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

练3．（2014春•通川区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．

2．三角形内角和定理的实际应用

【例4】如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，若轮船行驶到C处时测得∠BAC=55°，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？

总结：

1．“三角形的内角和为180°”是隐含条件，在实际应用中必不可少.

2．在有关方位角的计算中，常常构造三角形，在三角形中计算角的度数.

练4．（2010•石家庄二模）如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1=38°，∠2=23°，则桥面断裂处夹角∠BCD为________度．

3．（2014春•江阴市校级期中）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（）

A．50° B．40° C．70° D．35°

4．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

二、填空题

5．（2014秋•宁津县校级月考）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A= ，∠C= ．6．（2014•徐州二模）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=35°，∠AOB=75°，则∠C= ．

（2013春•苏州期末）如图，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=30°，∠B=60°，则∠DCE= ．7．

三、解答题

8．（2014春•庐江县期末）如图，已知∠DAB=70°，AC平分∠DAB，∠1=35°，求∠D的度数．

9．（2012春•中山区期中）已知，如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度数．

10．（2011春•宣威市校级月考）如图所示，已知图①五角星ABCDE，将图①中的A点向下移动得到图②，将图①中的C点向上移动得图③，对于五角星及五角星的变形图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和为多少度？并选择一图加以说明．

典例探究答案：

【例1】（2014春•靖江市校级月考）若一个三角形的三个内角之比为3：4：5，则它的最大内角的度数是（）

A．80° B．75° C．90° D．108°

分析：设三角形的三个内角的度数分别为3x、4x、5x，根据三角形内角和定理得到

3x+4x+5x=180°，然后解方程求出x后计算5x即可．

解答：解：设三角形的三个内角的度数分别为3x、4x、5x，

所以3x+4x+5x=180°，

解得x=15°，

所以5x=75°．

故选B．

点评：本题考查了三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．

（2014•重庆校级模拟）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=45°，【例2】

则∠A的度数为（）

A．65° B．75° C．85° D．95°

分析：根据平行线的性质可得∠C=∠AED=45°，再利用三角形内角和为180°可以计算出∠A的度数．

解答：解：∵DE∥BC，

∴∠C=∠AED=45°，

∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，

故选：B．

点评：此题主要考查了三角形内角和定理，即三角形内角和为180°．

【例3】（2014秋•太和县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）