南京大学2008年和2009年数学分析考研试题及解答

南京大学2008年数学分析考研试题

一 设()f x 为1R 上的周期函数，且lim ()0x f x →+∞

=，证明f 恒为0。

二 设定义在2R 上的二元函数(,)f x y 关于x ，y 的偏导数均恒为零，证明f 为常值函数。

三 设()n f x (1,2,...)n =为n R 上的一致连续函数，且lim ()()n n f x f x →∞

=，1

x R ∀∈，

问：()f x 是否为连续函数？若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。 四 是否存在[0,1]区间上的数列{}n x ，使得该数列的极限点（即聚点）集为[0,1]，把极限点集换成(0,1)，结论如何？请证明你的所有结论。 五 设()f x 为[0,)+∞上的非负连续函数，且

()f x dx +∞

<+∞⎰

，问()f x 是否在[0,)+∞上有

界? 若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。 六 计算由函数2

11()2

f x x =和22()1f x x =-+的图像在平面2R 上所围成区域的面积。 七 计算积分

222

(22)

x xy y R e

dxdy -++⎰⎰。

八 计算积分

xyzdxdydz Ω

⎰⎰⎰，其中Ω为如下区域：

3{(,,):0,0,0,}x y z R x y z x y z a Ω=∈≥≥≥++≤，

a 为正常数。

九 设0n a >(1,2,...)n =，1

n

n k k S a ==

∑，证明：级数2

1n

n n

a S ∞

=∑

是收敛的。 十 方程2

2

3

2327x y z xy z +++-=在(1,2,1)-附近决定了隐函数(,)z z x y =，求

2(1,2)z

x y

∂-∂∂的值。 十一 求函数3

3

3

(,,)f x y z x y z =++在约束条件2x y z ++=，2

2

2

12x y z ++=下的极值，

并判断极值的类型。

十二 设1

[0,1]f C ∈，且(0)(1)0f f ==，证明：

1

122

01[()][()]4

f x dx f x dx '≤

⎰

⎰。 十三 设()f x 为[0,]π上的连续函数，且对任意正整数1n ≥，均有 0

()cos 0f x nxdx π

=⎰

，证明：f 为常值函数。

南京大学2008年数学分析考研试题解答

一 证明 设()f x 的周期为T ，0T >，则有()()f x nT f x +=，由条件知，

()lim ()0n f x f x nT →∞

=+=，

结论得证。 二 证明 因为

0f

x

∂=∂，0f y ∂=∂，

f x ∂∂，f y

∂∂在2R 上连续，对任意2

(,)x y R ∈，有 (,)(0,0)f x y f -(,)(,)f f

x y x x y y x y

θθθθ∂∂=

⋅+⋅∂∂0=， 所以(,)(0,0)f x y f =，即(,)f x y 为常值函数。 三 解 ()f x 未必为连续函数。

反例：()1n n n

x

f x x

=

+，

()n f x 在1R 上连续，又lim ()1n x f x →∞

=，所以()n f x 在(,)-∞+∞上一致连续，

0,1

1

lim ()(),121,1

n x x f x f x x x →∞

⎧<⎪⎪===⎨⎪>⎪⎩， 显然()f x 在(,)-∞+∞上不连续。

四 解（1）存在。取[0,1]中的有理数形成的点集{}n I r =，则有[0,1]I '=。

（2）不存在。

假若存在{}n I x =，使得(0,1)I '=，由于I '是闭集，而(0,1)为开集，矛盾，所以这样的点列不存在。

五 未必有()f x 在[0,)+∞上有界，未必有lim ()0x f x →+∞

=。

六 解

显然两曲线的交点横坐标为1x =

，2x =

221

1)]2

S x x dx =-+-

20

3

21)2

x dx =-+

31

2(2

x x =-+

312[2=-+

=

七 解 显然这个二重广义积分是收敛的。

由

2

x e dx +∞

--∞

=⎰

2

22

(22)

x xy y R e dxdy -++⎰⎰

2

2

()x y x dx e e dy +∞

+∞

--+-∞

-∞

=⎰⎰

2

2

()x y x e dx e dy +∞

+∞

--+-∞

-∞

=⎰⎰

2

x dx --∞

=⎰

=π=。

八 解

xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰

a

a x

a x y

dx dy xyzdz ---=⎰⎰

⎰

十 解

22920x x x z z y z ++-=，

24920y y z z x z ++-=， 218920y x xy xy zz z z z z ++-=。

十一 解 3

3

3

2

2

2

()(2)(12)L x y z x y z x y z λμ=+++++-+++-

2320L

x x x

λμ∂=++=∂， 2320L

y y y

λμ∂=++=∂，