应用弹性力学教程第三章

第三章薄壁结构的构造与传力——板与壳3．1 飞机薄壁结构所承受的载荷3．2 结构元件的功用·现代飞机结构是由蒙皮、横向加强件、纵向加强件组成的薄壁结构。

他们中绝大多数用金属材料制成。

近年来部分结构元件开始采用复合材料，包括金属基和陶瓷基复合材料。

·飞机结构的主要功用是支撑和传递飞机在使用中所遇到的载荷，提供最佳的气动外形，以及保障乘员、有效载重等免遭飞行和着路时所处外部环境条件的危害。

·无论是机翼尾翼还是机身都可看作是蒙皮外壳+纵横加强元件组成：每种元件在承力和传力过程中都有其各自独有的作用，实际人员可根据不同的传力方案来进行薄壁结构的不同布局。

（一） 机翼机翼结构由蒙皮、翼肋、翼梁以及长桁等组成，如图3.1所示。

机翼支承在机身上，机身一侧的半个机翼⎩⎨⎧比）像一根悬臂板（小展弦比）像一根悬臂梁（大展弦机翼上的⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎭⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧传到机身支承端翼梁腹板剪流蒙皮剪流通过剪切扭转来承受蒙皮正应力翼梁腹板正应力翼梁突缘轴力长桁轴力由弯曲机翼上发生外挂载荷等油箱载荷起落架载荷气动力⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧→⎩⎨⎧→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→−翼梁腹板剪流翼梁气动力蒙皮剪流翼肋腹板剪流翼肋气动力长桁气动力拉伸剪切弯曲蒙皮气动力转变通过蒙皮注意：（1）长桁支撑在翼肋上，就像一根具有多支点（即翼肋支点）的连续梁，将其上的空气动力转变为支点上的集中力而作用在翼肋上；（2）翼肋上的空气动力，加上长桁传来的集中力，通过翼肋本身的受力， 而以剪流形式传给蒙皮和翼梁腹板。

（二） 蒙皮机翼蒙皮的主要作用是形成飞机结构光滑而密闭的表面，产生、支承并传递不均匀分布的空气动力。

机翼之所以能成为飞机的主要升力面，就由于它能产生这种不均匀分布的空气动力(图 3.3和图3.4)。

蒙皮具有较强的抗拉能力。

但是，薄的蒙皮却缺乏较高的抗压和抗剪能力。

蒙皮愈薄，愈容易在受压和受剪时失去稳定性而发生屈曲。

为了增加蒙皮的抗压和抗剪能力，(1)增加蒙皮厚度，但会增加飞机重量；（2）蒙皮上铆接众多纵向长桁，或把蒙皮和长桁做成整体，称做整体壁板(图3.4)；（3）采用夹心蒙皮，如蜂窝状夹心蒙皮，波纹板夹心蒙皮和泡沫塑料蒙皮。

在结构整体的受力和传力过程中，蒙皮的主要作用是支承和传递由剪切和扭转引起的剪应力，同时，它还同长桁等纵向元件一起支承和传递由弯曲引起的正应力。

正应力主要由较强的长桁和突缘等纵向元件承担，蒙皮在这方面的作用是第二位的。

因此，在对蒙皮进行理想化时，作如下假设。

假设1：由于蒙皮较薄，因此，应力沿蒙皮厚度的分布是均匀不变的（图3.7）假设2：由上述假设并由于蒙皮表面无剪切力，因此，沿蒙皮厚度只有切线方向（与表面平行）的剪应力，在厚度方向的剪应力分量为零（图3.7）。

由于剪应力的值沿厚度方向不变，因此，可以用剪应力沿厚度方向的合力t q τ=来替代剪应力，并称q 为“剪流”，用半箭头表示。

剪流是蒙皮在单位切线长度上的剪力。

假设3：蒙皮只承受并传递剪应力。

蒙皮实际上具有的承受并传递正应力的能力将人为地附加到纵向元件上去（见以下长桁部分）。

假设4：理想化蒙皮的剪切模量为e G ，蒙皮材料的实际剪切模量为G 。

在蒙皮失去稳定以前，G G e =，其中)]1(2/[ν+=E G ，E 是材料的弹性模量，ν是泊松比。

在蒙皮失去稳定以后，蒙皮的剪切刚度减小，这时，G G e <。

e G 的值与作用在理想化蒙皮上的剪应力τ和实际蒙皮的剪切屈曲应力cr τ，的比值cr ττ/有关。

比值cr ττ/愈大，e G 就愈小。

G G e /与cr ττ/的关系如图3.8中的曲线所示。

当0→cr τ时，5.0/→G G e 。

至于cr τ的值如何确定，将在以后讨论。

如前所述，近代高速飞机上采用了厚蒙皮。

在这种情况下，蒙皮可以用另一种方式进行理化。

令蒙皮的实际厚度为t ，第i 根长桁的横截面积为i A ，长桁之间的距离为i d ，将长桁的面积匀摊在蒙皮上，也就是将纵向长桁承受和传递正应力的能力归并到蒙皮上，组成具有双重厚度的、受正应力和剪应力的理想化蒙皮。

在计算剪应力时，蒙皮厚度为t ；在计算纵向正应力时，蒙皮厚度为∑∑+=i i e d A t t /。

其中，∑iA 为两突缘之间所有长桁面积的总和，∑id为两突缘之间(或前后墙之间)的蒙皮长度(见图3.9)。

但要注意，如果需要计算蒙皮在机翼弦向的正应力，则蒙皮厚度仍为t 。

（三） 长桁长桁通常由型材做成，可根据需要选用不同的剖面形状(例如图3．5)。

理想化的长桁是一根具有集中面积的杆。

在计算模型中，将用一个小圆来表示理想化的杆元件。

理想化长桁的集中面积由两部分组成：长桁的真实面积和蒙皮的有效面积。

前面已经提到，蒙皮实际上是能够承受并传递正应力的，但理想化的蒙皮却仅能承受并传递剪应力。

为了使计算模型的力学特性与实际结构的相同或相近，应该把蒙皮承受正应力的能力附加到与蒙皮相连的长桁上去。

这样长桁的横截面积就包括了蒙皮的有效面积，如图3.12所示。

附加面积可以这样计算：令所考虑的长桁面积为s A ，它与左、右长桁的间距分别为1d 和2d 。

于是，理想化长桁的集中面积为e A ，且有tc k A A s e 1+=（3-1）式中：t 蒙皮的实际厚度；c k 1蒙皮的有效宽度，1k ＝1或2；蒙皮屈曲前：d c k =1，2/)(21d d d +=（见图3.10）；蒙皮屈曲后，有效宽度d c k <1，系数1k 取1还是2，要视长桁的形状而定。

图3.11中给出了几种典型的长桁形状及其与蒙皮的连接方式，以及1k 的取值。

s Etk c σ2=（3-2）式中：E--------蒙皮材料的弹性模量；s σ------长桁应力(图3.13)；2k -----系数，它的理论值为1.9，试验统计值为1.7。

在实际计算时，对柔弱的长桁，取2k ＝1.7。

随着长桁刚度的增加，2k 的值可向1.9靠近。

在建立计算模型时，长桁应力s σ是个未知量，需用迭代方法算出C 值。

实践表明：蒙皮屈曲后承受和传递正应力的能力只有屈曲前的19%。

蒙皮承受正应力的能力也可单独理想化为一假想的具有集中面积的杆。

如书第87页所述。

（四） 翼梁由翼梁突缘和腹板组成。

如果没有强的突缘而只有腹板，则称为墙而不称为翼梁。

在半单块式机翼中，机翼的弯曲主要由长桁和蒙皮支承，墙只起传递剪力的作用； 在梁式机翼中，机翼的弯曲主要由翼梁的突缘承担，长桁和蒙皮只起辅助作用。

为了有效地利用结构材料，一般总是把主翼梁放在翼剖面高度最大的位置上或其附近。

突缘同时固定在蒙皮和腹板上，因此，突缘不容易像柱那样失去总体稳定性，而较可能局部失稳。

突缘具有很强的抗压能力。

腹板和墙的主要作用是以剪流的形式传递和支承垂直于翼平面的剪力，并和蒙皮一起传递和支承扭矩。

突缘与长桁相似之处在于，它同长桁一样是主要的纵向加强件并与蒙皮相连。

因此，在突缘的有效面积中，除突缘自身面积外，还应包含蒙皮的有效面积。

突缘与长桁不同之处在于，突缘除与蒙皮相连外，它还与腹板连接。

因此，在对突缘理想化时，还应该加上腹板的有效面积。

于是，突缘的有效面积fe A 为we f fe A tc k A A ++=1(3-3)式中：f A ------突缘自身的横截面积；tc k 1------蒙皮的有效面积，计算方法与长桁部分中的相同；we A -------翼梁腹板的有效面积。

关于we A 的计算。

图3.15(a)表示翼梁的腹板，设厚度为w t ，高度为h ，剖面绕水平对称轴x 的惯性矩为12/3h t J w x =。

在弯矩w M 的作用下，最大正应力为262ht M h J M w wx w ==σ 现在将腹板理想化，使承受和传递弯矩(正应力)的能力由假想的两集中面积we A 所替代，如图3.15(b)所示。

这样，按理想化后剖面惯性矩不变的条件，可得理想化后的有效面积为()x we we cJ h A h A y A =⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅2222222()2322122h h t h J A w x we ⋅==这时，假想集中面积中的正应力值为26ht M J M w x x w ==σ 与理想化以前原腹板中的最大正应力相同。

这样，翼梁突缘的总有效面积为61h t tc k A A w f fe ++=理想化后的腹板厚度仍为w t ，但只承受和传递剪力，不再有承受和传递正应力的能力。

（五） 翼 肋翼肋是保证气动力要求翼剖面的横向维形元件。

除了承受并传递很大集中力的加强翼肋外，多数翼肋没有明显的突缘，而只有弯边与蒙皮相连(图3.16)。

在这种情况下，正应力计算时，翼肋的理想化与翼梁的相似，即rr f t hbt A 6+=其中r t ——翼肋的板厚；b ————弯边宽度；h ——肋高度。

若翼肋中有减载孔，则r f bt A =（六）机身作用在机身蒙皮上的空气动力载荷是相当小的。

相反，机身作为机翼、尾翼和前起落架(有时也是主起落架)的支点，受到很大的且由机翼、尾翼和起落架连接接头传来的集中载荷以及装载在机身中的有效载重的重力和惯性力的作用，以及座舱增压作用。

接头集中载荷由隔框承受，并转化为蒙皮剪流。

集中力引起的弯矩由长桁和蒙皮正应力平衡。

隔框通常是一闭合环，与蒙皮、长桁铆接，它可以理想化为（1）承受轴力、剪力和弯矩的平面框架；（2）板杆组合结构。

机身蒙皮与长桁的理想化与机翼一致。

3．3 薄板弯曲的基本方程工程中常会遇到板受到垂直于板面的横向载荷，从而使得板产生弯曲挠度的问题。

薄板——⎪⎭⎫ ⎝⎛1001~801≤b 最小板宽板厚δ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛81~51板 厚板——b δ ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛81~51薄膜——b δ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛1001~801（一） 基本假定与基本概念薄板的小挠度理论，普遍采用如下假设：（1）变形前垂直于中面的任一直线段，变形后仍为直线段，并且垂直于变形后的弹性曲面，且长度不变。

（平面假设）（2）垂直于板面方向的应力较小，所以，z σ略去不计，yz τ、xz τ较面应力小——量级。

（平面应力状态）（二） 几何方面由假设1中直法线长度不变可得0≈∂∂=zw z ε ()y x w w ,= （1）即板的弯曲挠度仅是x 和y 的函数。

考虑下图中=y 常数的截面，由假设1可得xz γ0≈0=∂∂+∂∂∴z u x w 即xw z u ∂∂-=∂∂于是xwzu ∂∂-= （2） 同理，可得=x 常数的截面上有0≈xy γ即0=∂∂+∂∂zv y w 也即yw z v ∂∂-=∂∂ 于是ywzv ∂∂-= （3） 可见在中面0=z 处，0==v u（三） 物理方面由假设2，可知z σ≈0，这样薄板弯曲的广义虎克定律（本构关系）()y x x E νσσε-=1，()x y y Eνσσε-=1，xy xyG τγ1=，0≈≈≈z yz xy εγγ，0≈z σ 将前面整理可得：22x wz x u x ∂∂-=∂∂=ε 22y w z y v y ∂∂-=∂∂=εy x w z x v y u xy∂∂∂-=∂∂+∂∂=22γ0===yz xz z γγε于是()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=22222211y w x w Ez E y x x νννεενσ ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=22222211x w y w Ez E x y y νννεενσ （4） ()yx w Ez E xy xy∂∂∂+-=+=2112νγντ 0=z σ（四） 平衡方程方面由以上几式可见，位移分量均可表示为挠度()y x ,ω的函数，因此，以()y x ,ω为基本未知量，用位移法求解有明显优点。