描述液体运动的两种方法及液体运动的基本概念
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液体运动的流束理论
液体运动的流束理论本章先建立液体运动的基本概念,然后依据流束理论,从质量守恒定律出发建立水流的连续性方程、从能量方程出发建立水流的能量方程，以及从动量定理出发建立水流的动量方程。
1、描述液体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法。
拉格朗日法，以研究个别液体质点的运动为基础，通过对每个液体质点运动规律的研究来获得整个液体运动的规律性，所以这种方法又称为“质点系法”。
欧拉法，以考察不同液体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场，所以这种方法又叫做“流场法”。
2、恒定流与非恒定流恒定流：在流场中，任何空间点上所有的运动要素都不随时间而改变，即“运动要素仅仅是空间坐标的连续函数，而与时间无关”。
非恒定流：流场中任何点上有任何一个运动要素是随时间而变化的。
3、迹线与流线迹线，拉格朗日法研究个别液体质点在不同时刻的运动情况而引出的，是指某一液体质点在运动过程中不同时刻所流经的空间点所连成的线，即液体质点运动时所走过的轨迹线。
流线，欧拉法考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情况引出的，是指某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。
流线具有瞬时性（对于非恒定流来说，其图形会随时间变化），迹线没有瞬时性；流线与迹线都具有族线。
流线的基本特性：1恒定流时，流线的形状和位置不随时间而改变；2恒定流时液体质点运动的流线与迹线相重合；3流线不能相交。
4、流管、微小流束、总流，过水断面、流量与断面平均流速流管：在水流中任意一微分面积dA ，通过该面积的周界上的每一个点均可作一根流线，这样就构成一个封闭的管状曲面，称为流管。
微小流束：充满以流管为边界的一束液流，称为微小流束。
微小流束性质：1微小流束内外液体不会发生交换；2恒定流微小流束的形状和位置不会随时间而改变，非恒定流时将会随时间而改变；3横断面上各点的流速和压强可看作是相等的。
总流：任何一个实际水流都具有一定规模的边界，这种有一定大小尺寸的实际水流称为总流。
描述液体运动的两种方法
描述液体运动的两种方法1.1 描述液体运动的两种方法描述液体运动的方法有拉格朗日法和欧拉法两种。
1.1.1 拉格朗日法拉格朗日法是以液体运动质点作为研究对象，研究这些质点在整个运动过程中的轨迹（称为迹线）以及运动要素随时间的变化规律。
每个质点运动状况的总和就构成了整个液体的运动。
所以，这种方法与一般力学中研究质点与质点系运动的方法是一样的。
由于液体质点的运动轨迹非常复杂，用拉格朗日法分析流动，在数学上会遇到很多的困难，同时实用上一般也不需要知道给定质点的运动规律，所以除少数情况外（如研究波浪运动），水力学通常不采用这种方法，而采用较简便的欧拉法。
1.1.2 欧拉法欧拉法是把液体当作连续介质，以充满运动质点的空间——流场作为研究对象，研究各时刻流场中不同质点运动要素的分布与变化规律，而不直接追踪给定质点在某时刻的位置及其运动状况。
用欧拉法描述液体运动时，运动要素是空间坐标x ，y ，z 与时间变量t 的连续可微函数。
变量x ，y ，z ，t 统称为欧拉变量。
因此，各空间点的流速所组成的流速场可表示为⎪⎭⎪⎬⎫===),,,(),,,(),,,(t z y x u u t z y x u u t z y x u u z z y y x x (2-1)各空间点的压强所组成的压强场可表示为),,,(t z y x p p = (2-2)加速度应是速度对时间的全导数。
注意到式（2-1）中x ，y ，z 是液体质点在t 时刻的运动坐标，对同一质点来说它们不是独立变量，而是时间变量t 的函数。
根据复合函数求导规则，得dtdz z u dt dy y u dt dx x u t u dt du a x x x x x x ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂== 式中x u dt dx =； y u dt dy =； z u dt dz = 故 z u u y u u xu u t u dt du a x z x y x x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂== 同理 z u u y u u x u u t u dt du a y z y y y x yyy ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂== (2-3)zu u x u u x u u t u dt du a z y z y z x z z z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==上式右边第一项tu t u t u z y x ∂∂∂∂∂∂,,表示通过固定点的液体质点速度随时间的变化率，称为当地加速度；等号右边后三项反映了在同一时刻因地点变更而形成的加速度，称为迁移加速度。
吉林大学流体力学3
所以： v dz v dy＝0 y z
v z dx v x dz＝0 v dy v dx＝0 y x
dx dy dz 即： vx v y vz
流线微分方程
流线的性质
（1）定常流动中流线不随时间变化，而且流体质点的 轨迹与流线重合。 （2）实际流场中除驻点或奇点外，流线不能相交，不 能突然转折。（速度为0的点称为驻点，速度为无穷大 的点称为奇点，奇点是一种抽象的理论模型。）
如何用欧拉法表示流体质点的加速度 a
应当注意到的是：速度是坐标和时间的函数，同时 运动质点的坐标也是随时间变化的，即坐标 x,y,z 本身也是时间的函数，因此用欧拉法表示某质点的 加速度实际上是一个对复合函数求导的问题，必须 按照复合函数求导法则进行求导。
如用加速度矢量 a 和速度矢量 来表示，则有 υ a (υ ) υ t
0
dp gdz 0
积分得： z
p C g
详细论证请参看教材P64
3.2.4 缓变流和急变流 流线不是严格平行，但流线之间夹角很小，或流线的曲率 半径很大，或两者皆有，这种流动称为缓变流，其有效断面 称为缓变流断面。
在缓变流断面上可以认为流线近似平行，有效断面为一平面，
压强分布近似与静止流体相同。
（即也近似满足： Z
p C 条件是：质量力只有重力，不可压缩流体） g
那种流线不平行，加速度较大的流动称为急变流。
均匀流、急变流和缓变流
均匀流、急变流和缓变流
均匀流
急变流
缓变流
急变流
3.3 用欧拉法描述流体运动的基本概念
3.3.1 流线 3.3.2 流管、流束、和有效断面
3.3.3 流量 3.3.4 平均流速
第三章液体一元恒定总流基本原理
流线的特性：
a.流线不能相交，也不能转折，是一条光滑、连 续的曲线； b. 流线上所有各质点的切线方向就代表了该点的 流动方向； c.流线上的液体质点只能沿着流线运动。 流线图：某一瞬时，在运动液体的整个空间绘出的一 系列流线所构成的图形。
流线愈密集的地方流速愈大，流线愈稀疏的地方，流 速愈小。
四、流管、元流、总流
u
u=v
Q AudA A
Q
A
总流的流量Q就是断面平均流速v与过水断面面积 A的乘积。
六、均匀流和非均匀流（根据流线形状划分）
均匀流：同一流线上各质点的流速矢量沿程不 变称为均匀流。
均匀流特性： （1）流线是彼此平行的直线，过水断面是平面，并 且其尺寸和形状沿程不变。 （2）过水断面上的流速分布沿程不变，迁移加速度 为零。 （3）过水断面上的动水压强分布规律按静水压强分 布规律分布，即在同一过水断面上各点的测压管水头 为一常数。
若运动要素仅是空间一个坐标的函数，这种流动称为 一元流。
三、流线和迹线
迹线：同一质点在一个时段的运动轨迹线。即 在拉格朗日法中，某一流体质点在不同时刻所占据 的空间点的连线。
流线：在流场中画出某时刻的这样一条曲线， 它上面所有液体质点在该瞬时的流速向量都与这一 曲线相切，这样的曲线称为流线。流线表明了某瞬 时流场中各点的流速方向。
u1 u0
二、一元流、二元流与三元流
实际工程中的水流一般极为复杂，他的运动要素 是空间位置坐标和时间坐标的函数（对于恒定流，则 仅是空间位置坐标的函数）。 一元流 各运动要素与空间坐标的关系 二元流
三元流 若运动要素是空间三个坐标的函数，这种流动称为 三元流。
若运动要素是空间两个坐标的函数，这种流动称为 二元流。
3.1 液体流动的基本概念——学习材料
学习单元一、液体流动的基本概念液体运动的两种方法要研究液体运动的规律，就要建立描述液体运动的方法。
在流体力学中，表达流体的运动形态和方式有两种不同的基本方法：拉格朗日法和欧拉法。
1.拉格朗日法拉格朗日法是由法国科学家J. L.拉格朗日作了独立的、完整的表述和具体运用, 又称随体法。
该方法着眼于流体内部各质点的运动情况，描述流体的运动形态。
按照这个方法，在连续的流体运动中，任意流体质点的空间位置，将是质点的起始坐标(a,b,c) (即当时间t等于起始值t0时的坐标)以及时间t的单值连续函数。
若以r代表任意选择的质点在任意时间t的矢径，则：矢径与质点坐标可以表示为:r = r(a,b, c, t)X=x (a，b，c，t)y=y (a，b，c，t)z=z (a，b，c，t)式中，r在x、y 、z 轴上的投影为x、y 、z ；a、b、c 称为拉格朗日变量。
当研究对象为某一确定的流体质点时，起始坐标a、b、c 将为常数，r 以及x、y 、z 将只是时间t的函数；此时上式所表达的将是这个流体质点运动的轨迹。
当研究的对象不是某一确定的流体质点，而是在某一确定时间中，各流体质点的分布情况，即时间t为一常数，r及x、y 、z 将只是起始坐标a、b、c的函数；在这种情况下，式子所表达的将不是某流体质点的历史情况，而是同一瞬间，由各质点所组成的整体状况.将式上述拉格朗日表达式对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体质点的速度和加速度为：),,,(t c b a u t x u =∂∂= ),,,(t c b a v t y v =∂∂=),,,(t c b a w t z w =∂∂=),,,(22t c b a a t x t u a x x =∂∂=∂∂=),,,(22t c b a a t y t v a y y =∂∂=∂∂=),,,(22t c b a a t z t w a z z =∂∂=∂∂=描述了整个流场中所有质点的规律,就可以描述整个流动。
水动力学及习题经典讲解
流线的性质：
a.同一时刻的不同流线，不能相交。因为根据
流线定义， 在交点的液体质点的流速向量 应同时与这两条流线相切，即一个质点有两个 速度向量，这显然矛盾的、不成立的。
b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲 线。因为流体是连续介质，各运动要素 是空间的连续函数。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流 线密集的地方流速大，稀疏的地方流速 小）。因为对不可压缩流体，元流的流 速与其过水断面面积成反比。
2、恒定流和非恒定流 （1）恒定流（steady flow）：又称定常流，是指流场中的空 间点上各水力运动要素均不随时间而变化。
➢ 对于恒定流来说：
三者都等于0。
注意: 严格的恒定流只可能发生在层流，在紊流中，由于流 动的无序，其流速或压强总有脉动，但若取时间平均流速 （时均流速）U(或V)，若其不随时间变化，则认为该紊流 为恒定流。
• 若水箱中的水位就逐渐下降，水箱和管道同一点流体质点的压强和速 度都逐渐减小，流股的形状（虚线）也逐渐向下弯曲。因此，在非恒 定流动中，运动流体中任一点流体质点的流动参数(压强和速度等)随
时间而变化，当地加速度和迁移加速度都不为零。
在水位恒定的情况下：
（1）由于AA′段是等径管，流体流经AA′段不存在
• 流场运动要素是时空（x,y,z,t）的连续函数
p p(x, y, z,t)
u u(x, y, z,t)
v v(x, y, z,t)
w w(x, y, z,t)
x，y，z，t 称为欧拉变数 （量）
z
t 时刻
M （x，y，z） O
x
➢在工程流体力学中多采用欧拉法。
y
u u(x, y, z,t) v v(x, y, z,t) w w(x, y, z,t)
水力学 吴持恭
du du ds du 0 u dt ds dt ds
du ds
0
pdA ( p dp)dA gdAds cos dAds u
p u2 d (Z )0 g 2g
p u2 沿流线积分得： Z c g 2g
2 p1 u12 p2 u2 Z1 Z2 g 2g g 2g
•实际液体恒定流微小流束的能量方程式
•实际液体恒定总流的能量方程式
返回
理想液体恒定流微小流束的能量方程式
设在理想液体恒定流中，取一微小流束 依牛顿第二定律： Fs ma s
dA 2 p+dp
1
p
Z
α
Z dZ
du 其中： a s dt
一元流时 u u ( s)
dG=ρgdAds
流管——由流线构成的 一个封闭的管状曲面
dA
微小流束——充满以流 管为边界的一束液流
过水断面——与微 小流束或总流的流 线成正交的横断面
总流——在一定边界内 具有一定大小尺寸的实 际流动的水流，它是由 无数多个微小流束组成
过水断面的形状可以 是平面也可以是曲面。
返回
流量和断面平均流速
流量——单位时间内通过某一过水断面的液体体积， 常用单位m3/s，以符号Q表示。
前进
本章主要介绍与液体运动有关的基本概念及液体运
动所遵循的普遍规律并建立相应的方程式。
主要内容：
描述液体运动的两种方法
欧拉法的若干基本概念
恒定一元流的连续性方程式 实际液体恒定总流的能量方程式 能量方程式的应用举例 实际液体恒定总流的动量方程式
恒定总流动量方程式的应用举例
结束
描述液体运动的两种方法
水力学——水动力学
dM u1dtd1 u2dtd2 dQdt
dEu=
1 2
dMu22
1 2
dM
u12
dQdt
u22 2g
u2 1
2g
2、重力做功：
dAG dM g ( z1 z2 ) dQdt ( z1 z2 )
3、压力做功
dAp p1d1dl1 p2d2dl2 p1d1u1dt p2d2u2dt
§3-2 运动液体的分类
一、恒定流与非恒定流 恒定流：流场中所有空间点上的一切运动要素都不随时间变化。 非恒定流：流场中所有空间点上的一切运动要素都随时间变化。
二、均匀流与非均匀流 1、均匀流的定义：流线为相互平行的直线。 2、均匀流的特征： （1）过水断面为平面，且形状、尺寸均沿程不变。 （2）同一流线上各点流速相等，各过水断面流速分布相同。
第三章 水动力学
§3-1 液体运动的基本概念
一、描述液体运动的两种方法
1、拉格朗日法
实质就是以液体质点为研究对象，跟踪它，研究每个液体 质点所具有的运动要素（速度、加速度、压强）随时间的变化 规律。
质点运动的轨迹线叫迹线。如果把组成流场的所有质点的
运动规律都搞清楚了，即可得到整个流场的运动特性。 由于液体质点的运动轨迹非常复杂，除特殊情况外，在水
(x, y, z ,t称为欧拉变量)。由于某一质点在不同时刻占据不同的空 间点，因此运动坐标也是时间t的函数。 则：
a
dux dt
ux t
ux x
dx dt
ux y
dy dt
ux z
dz dt
=
u x t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
流体运动的流束理论
ux
x t
x(a,b, c,t) t
uy
y t
y(a,b, c,t) t
uz
z t
z(a,b, c,t) t
(2.2)
第二章 液体运动的流束理论
一 拉格朗日法
同理对 (2.2)式求时间的偏导数，可得质点的加速度分量
ax
ux t
2x(a,b, c,t) t 2
ax
u y t
2 y(a,b, c,t) t 2
水水
水水 水水水水
第二章 液体运动图的流2束.1理论
§2.2 基本概念
恒定流所有的运动要素对时间的导数为零。
u v w 0 t t t p 0 t 0 t T 0 t
(2.6)
速度分量表示为
ux ux (x, y, z) uy uy (x, y, z) uz uz (x, y, z)
§2 液体运动的流束理论 内容提要: §2 .1描述液体运动的两种方法 §2 .2液体运动的一些基本概念 §2 .3恒定总流的连续性方程 §2 .4恒定总流的能量方程 §2 .5恒定总流的动量方程
第二章 液体运动的流束理论
概述
流体最基本的特征就是其流动性（运动性），而静止 只是运动的特例，对流体运动的研究将具有更加现实的意 义，本章将讨论流体的运动学和动力学规律。
第二章 液体运动的流束理论
§2.1 描述液体运动的两种方法
描述流体运动的方法有两种: 拉格朗日（grange）法和欧拉（L.Euler）法。
拉格朗日法:着眼于流场中流体质点，通过研究流场 中单个流体质点的运动规律归纳出整个流场的运动规 律；
欧拉法:以流场空间点为研究对象，通过描述流体质 点流经空间某一点的运动情况从而总结出整个流场的 运动规律。
第三章 流体运动学讲解
1 v1
2
3 3
v3
4 v4
v2 1
2
解：由题意 v4 A4 4 v4 4
v1
4
取过水断面1-1到3-3和4-4间 为对象
有： Q1 Q3 Q4 所以：
Q3 Q1 Q4
取过水断面1-1到2-2 为对象
4
有： v1 A1 v2 A2
试检查流动是否满足连续条件。
解：代入连续性方程，看是否满足连续性条件：
(2 x) (2 y ) (1) 22 0 x y
满足连续性条件
(0) (3xy) (2) 0 3x 0 x y
不满足连续性条件，说明该流动不存在。
见“流体力学课内练习”
例：不可压缩二维流动的流速分量为 ux x 4 y, u y y 4x 求 （1）流动是否存在，若存在，写出流函数表达式；（2）流 动是否有势，若有势，写出速度势表达式。 解：（1） （2） u y 4, u x 4 x y u x u y 1 u y u x 1 (1) 0 z ( )0 x y 2 x y
3-2 描述流体运动的基本概念 一、流管、元流和总流 1、流管
在流场中任取一封闭曲线，通过此封闭曲线上的每 一点作某一瞬时的流线，由这些流线所构成的管状曲 面称为流管。（P44图3-5）
2、元流 当封闭曲线所包围的面积无限小时，充满微小流管内 的液流称为元流。 3、总流 当封闭曲线取在运动液体的边界上时，则充满流管内 的整股液流称为总流。
5、掌握流函数、速度势函数与速度的关系。
3-1 1、拉格朗日法
流动描述
一、描述流体运动的两种方法
拉格朗日法又称质点系法，它是跟踪并研究每一个 液体质点的运动情况，把它们综合起来掌握整个液体 运动的规律。 在固体力学中应用较多。 2、欧拉法
流体力学第三章简(安徽工业大学)
直角坐标系中，流线微分方程为 质点瞬时速度: 微元线段矢量（切线方向）： ds dxi dyj dzk 根据流线定义 v d s 0 得
v vx i v y j vz k
dx dy dz vx vy vz
3.流线性质 a.流线是光滑的连续曲线，一般不能突然折转； b.流线是假想的瞬时线； c.定常流动中流线形状不随时间变化，流线与迹 线重合；非定常流动二者不重合； d.实际流场中除驻点(v=0)或奇点(v无穷大)外， 流线不能相交、不能突然转折（速度唯一性）。
第三章 流体动力学基础 §3-1 描述流体运动的两种方法
一、拉格朗日法与质点系 跟踪每个流体质点随时间的运动变化规律， 不同质点规律不同，再综合所有流体质点的运动， 得到整个流场的运动规律。 研究对象是每个流体质点。 用拉格朗日变数（a，b，c，t）描述流体 运动，（a，b，c）为质点初始坐标，t为时间变 量，变数各自独立。
二、迹线与流线 1.迹线 流体质点的运动轨迹，是拉格朗日法描述 流体运动的几何基础。
•迹线的拉格朗日表示式
迹线的拉格朗日表示式
r r a, b, c, t
2.流线 流线是欧拉法描述流体运动的几何基础， 是某一瞬时不同流体质点组成的光滑曲线。 流线上任一质点的瞬时速度方向与该点的 切线方向一致。
三、流管、流束、总流、过流断面
1.流管：流过任意封闭曲线的流线围成的管状 假想表面。 2.流束：流管内部的全部流体。
流线和流管只有几何形状，没有体积和质 量；流束具有体积、质量、动量、动能。
3.总流：封闭曲线取在管道内壁周线上，充满 管道内部的全部流体。 4.过流断面：与速度方向垂直的断面。
四、流量与净通量 1.流量：单位时间内流过某一控制面的流体体积， 为标量。 d qv v d A 在微元流束上 qv v d A 在平面控制面上 A qv vdA 在曲面控制面上
水力学1~3章知识小结
对压强分布图为梯形分布总压力的大小：
p1 p2 P ab 2
对于梯形压心距平面底部的距离为：
a 2h1 h2 e 3 h1 h2
2.6 作用于曲面上的静水总压力
首先分析作用于具有水平母线的二 向曲面上的静水总压力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1静水总压力的大小
Px = ρ· · c · x g h A
Pz dPz ghdAz g hdAz gV
式中: Ω为压强分布图的面积;b为作用面的宽度。
矩形平面上静水总压力 P 的作用线 通过压强分布体的重心。（也就是矩形 半宽处的压强分布图的形心），垂直指 向作用面，作用线与矩形平面的交点就 是压心D。
例：对三角形的压强分布图
1 其大小为： P gh 2 b 2
其压心位于水面下2h/3处。
理想液体的概念
在水力学中液体分为理想液体和实际 液体。
理想液体：就是把水看作绝对不可压 缩、不能膨胀、没有粘滞性、没有表面 张力的连续介质。
有没有考虑粘滞性：是理想液体和实 际液体的最主要差别。
例：一极薄的平板，在厚度分别为4cm的两种 油层中以 u 0.8 m s 的速度运动。已知上层 动力粘滞系数为下层的动力粘滞系数2倍，两 油层在平版上产生的总切应力为 30 N m 2 。试求上、下油层的动力粘滞系数。
若水学堂系列活动之 水力学1—3章复习
陈学高 2012年04月16日
第 一 章
绪
论
一 液体的主要物理性质
（1）质量和密度（共有性质） 质量 ，用m表示，单位kg或g 密度 ，用ρ表示，单位为 kg/m3或g/cm3 ρ水=1000 kg/m3 ρ水银=13600 kg/m3（需要记住）
流体力学第三章流体动力学(1)
（2）流线的作法
流线的作法如下：在流速场中任取一点1（如下图），绘出
在某时刻通过该点的质点的流速矢量u1，再在该矢量上取距
点1很近的点2处，标出同一时刻通过该处的另一质点的流速
矢量u2……如此继续下去，得一折线1 2 3 4 5 6……，若
折线上相邻各点的间距无限接近，其极限就是某时刻流速场 中经过点1的流线。
(b)非恒定流
mt1 流线 mt2
迹线 mt3
且与迹线重合。
3. 均匀流和非均匀流 划分依据：按流速的大小和方向是否沿程变化
（1）均匀流
流速沿程不变的流动称为均匀流
在均匀流时不存在迁移加速度，即 auuo s
其流线为彼此平行的直线
例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变的长直渠道中的水流 都是均匀流。
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
质点的加速度由两部分组成：
auuu t s
欧拉加速度
ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
பைடு நூலகம்
uz x
uy
uz y
uz
uz z
①时变加速度（当地加速度）——流动过程中液体由于速度 随时间变化而引起的加速度； ——等号右边第一项是时变 加速度 ②位变加速度（迁移加速度）——流动过程中液体由于速度 随位置变化而引起的加速度。 ——后三项是位变加速度
（1） （a,b,c）=Const , t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻 所处的位置。 （2） （a,b,c）为变数, t =Const ，可以得出某一瞬间不同质点在空 间的分布情况。
第三章 水动力学基础 ppt课件
M12 M12 M 22
故有 ΔM M 22 M11
任取一微小流束MN，微小流束1-1′流段内液体的动量
ρu1dtdA1 u1
对断面A1积分有 M11' A1 ρ u1 u1dtdA1 ρdt A1 u1 u1dA1
同理
5
ppt课件
M 22' A2 ρ u2 u2dtdA2 ρdt A2 u2 u2dA2
Fx Fy
ρQ(β2ν2z β1ν1z )
Fz
实际液体恒定总流的动量方程式
依动量定律：
F
M t
1′ t+△t时刻2
2′
1 t时刻
即：单位时间内，物体动量
的增量等于物体所受的合外力
u1
u2
dA2
2
2′
△t时段内，动量的增量： dA1
1
M M M
M 1 2
F y
Q( 2v2z 1v1z )
F z
11
ppt课件
恒定总流动量方程建 立了流出与流进控制体 的动量流量之差与控制 体内流体所受外力之间 的关系，避开了这段流 动内部的细节。对于有 些水力学问题，能量损 失事先难以确定，用动 量方程来进行分析常常 是方便的。
水排
12
ppt课件
水排简介
M 1 2
22
11
1′ dm u1dtdA1 dM u1 dm u1 u1dtdA1
在均匀流或渐变流过水断面上
u2 u2dtdA2 u1 u1dtdA1
A2
A1
单位时间内，u 通V 过所研究流段
作V2用 于u2总dt流dA流2 段上V1所 有u1dtdA1
故有 ΔM M 22 M11
任取一微小流束MN，微小流束1-1′流段内液体的动量
ρu1dtdA1 u1
对断面A1积分有 M11' A1 ρ u1 u1dtdA1 ρdt A1 u1 u1dA1
同理
5
ppt课件
M 22' A2 ρ u2 u2dtdA2 ρdt A2 u2 u2dA2
Fx Fy
ρQ(β2ν2z β1ν1z )
Fz
实际液体恒定总流的动量方程式
依动量定律：
F
M t
1′ t+△t时刻2
2′
1 t时刻
即：单位时间内，物体动量
的增量等于物体所受的合外力
u1
u2
dA2
2
2′
△t时段内，动量的增量： dA1
1
M M M
M 1 2
F y
Q( 2v2z 1v1z )
F z
11
ppt课件
恒定总流动量方程建 立了流出与流进控制体 的动量流量之差与控制 体内流体所受外力之间 的关系，避开了这段流 动内部的细节。对于有 些水力学问题，能量损 失事先难以确定，用动 量方程来进行分析常常 是方便的。
水排
12
ppt课件
水排简介
M 1 2
22
11
1′ dm u1dtdA1 dM u1 dm u1 u1dtdA1
在均匀流或渐变流过水断面上
u2 u2dtdA2 u1 u1dtdA1
A2
A1
单位时间内，u 通V 过所研究流段
作V2用 于u2总dt流dA流2 段上V1所 有u1dtdA1
水力学第三章 液体运动学
ux 、u y 、uz 是速度在 x、y、z 轴的分量
x(a,b,c,t )
ux ux (a,b,c,t )
t
uy
uy (a,b,c,t )
y(a,b,c,t ) t
z(a,b,c,t )
uz uz (a,b,c,t )
t
同理，该液体质点在x、y、z方向的加速度分量
若t为常数， x，y，z为变数.
得到在同一时刻，位于不同空间点 上的液体质点的流速分布，也就是 得到了t时刻的一个流速场
若针对一个具体的质点，x，y ，z ，t均为变数， 且有 x（t），y （t） ，z （t）
在欧拉法中液体质点的加速度就是流速对时间的 全导数。
即 a du dt
u u dx u dy u dz t x dt y dt z dt
u
时变加速度（或者当地加速度），在 同一空间点
t
上液体质点运动速度随时间的变化。
ux
u x
uy
u y
uz
u z
位变加速度（或者迁移加速度），在同一时刻位 于不同空间点上液体质点的速度变化 。
当水箱水位H 一定 ,末端阀门K 开度保持不变时,即，
管中各点的流速不随时间变化，不存在时变加速度。
拉格朗日法着眼于液体质点。 z
欧拉法则着眼于液体运动 时所占据的空间点。
在实际工程中，只需要弄清楚 在某一些空间位置上水流的运 动情况 ，而并不去研究液体质 y 点的运动轨迹，所以在水力学 中常采用欧拉法。
t时刻
M （x，y，z） O
x
可将流场中的运动要素视作空间点坐标 （x,y,z) 和时间 t的函数关系式。
)
环境水力学 第三章液体一元恒定总流基本原理
由于管段收缩使得同一时刻 收缩管内各点流速沿程增加而产 生的加速度即为迁移加速度（此 值为正）
12
图2－2
第三章 液体一元恒定总流基本原理
3.2 描述液体运动的两种方法
Lagrange法优缺点
√ 直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程 × 数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用
Euler法的优越性：
3.3 液体运动的几个基本概念
一维流动、二维流动、三维流动
1.三维流动：若流动要素是三个空间坐标的函数，则这种流动 称为三维流动。例如，空气绕地面建筑物的流动、水在自然 河道中的流动等。 2.二维流动：若流动要素只是两个空间坐标的函数而与第三坐 标无关，这种流动称为二维流动。例如，水在矩形渠道中的 流动 。 3.一维流动：流动要素只是一个空间坐标的函数的流动称之为 一维流动。通常河道、渠道、管道中，流动要素是三个坐 标的函数，如果流速用平均流速来代替，它们的流动也看 成一维流动来处理。
(a, b, c)
区分不同流体质点
任意时刻的运动坐标
( x, y , z )
流体质点的位移
第三章 液体一元恒定总流基本原理
3.2 描述液体运动的两种方法
拉格朗日法（ Lagrange法）
运动描述
速度表达式
x(a, b, c, t ) u x u x (a, b, c, t ) t y(a, b, c, t ) u y u y (a, b, c, t ) t z (a, b, c, t ) u z u z (a, b, c, t ) t
3.2 描述液体运动的两种方法
欧拉法（ Euler法）
y ux 加速度： a y t
描述液体运动的两种方法及液体运动的基本概念
3 流体动力学理论基础
3.1 描述液体运动的两种方法 3.2 流体运动的基本概念 3.3 恒定总流的连续性方程 3.4 恒定总流的能量方程 3.5 恒定总流的动量方程
3.1 描述液体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法 3.1.2 欧拉法
3.1 描述液体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法
液体运动有两个特征。一个是“多”， 即液体是由众多质点组成的连续介质；另一 个是“不同”，即不同液体质点的运动规律 各不相同。
迁移加速度（位变加速度） 当地加速度（时变加速度）
迁移加速度（位变加速度）
同一时刻，不同空间点上流速不 同，而产生的加速度。
当地加速度（时变加速度）
同一空间点，不同时刻，流速不同， 而产生的加速度
t0
水面不断下降！
t
t
ux ( x, y, z, t) 0
ut
t
u0
图 当地加速度（时变加速度）说明
不同液体质点通过给定空间点的流速变化，流场随 时间的变化。
液体质点通过任意空间坐标时的加流速
a x
du ( x, y, z, t) x dt
a y
du ( x, y, z, t) y dt
du ( x, y, z, t)
az
z
dt
式中， (ax , ay , az) 为通过空间点的加速度分量
z z(a, b, c, t )
(a, b, c) limitedfluid points
1. 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 2. 数学上存在难以克服的困难 3. 实用上不需要知道每个质点的运动情况
问题
x x(a, b, c, t)
y
y(a, b, c, t)
3.1 描述液体运动的两种方法 3.2 流体运动的基本概念 3.3 恒定总流的连续性方程 3.4 恒定总流的能量方程 3.5 恒定总流的动量方程
3.1 描述液体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法 3.1.2 欧拉法
3.1 描述液体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法
液体运动有两个特征。一个是“多”， 即液体是由众多质点组成的连续介质；另一 个是“不同”，即不同液体质点的运动规律 各不相同。
迁移加速度（位变加速度） 当地加速度（时变加速度）
迁移加速度（位变加速度）
同一时刻，不同空间点上流速不 同，而产生的加速度。
当地加速度（时变加速度）
同一空间点，不同时刻，流速不同， 而产生的加速度
t0
水面不断下降！
t
t
ux ( x, y, z, t) 0
ut
t
u0
图 当地加速度（时变加速度）说明
不同液体质点通过给定空间点的流速变化，流场随 时间的变化。
液体质点通过任意空间坐标时的加流速
a x
du ( x, y, z, t) x dt
a y
du ( x, y, z, t) y dt
du ( x, y, z, t)
az
z
dt
式中， (ax , ay , az) 为通过空间点的加速度分量
z z(a, b, c, t )
(a, b, c) limitedfluid points
1. 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 2. 数学上存在难以克服的困难 3. 实用上不需要知道每个质点的运动情况
问题
x x(a, b, c, t)
y
y(a, b, c, t)
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速dd t度 z对y
t
y求z((a导a, ,bb，, ,cc,得,t t)到) 液体 质 点 u的y 加 dd速zy度((aa,d,bbt ,
,c c,
, t
t) )
u z
dt
u
x
d dt
u
y
d x(a,b,c,t) dt
d y(a,b,c,t) dt
ax
ay
d 2 x(a,b,c,t) d t2
有质点，描述其运动过程，即可获得 整个液体运动的规律。
.
z
M t0
c O
a b
t
（a，b，c，t0）
z y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
设某一液体质点 在 t = t0 占. 据起始坐标（a，b，c）
z
M t0
c O
a b
t
（x，y，z，t）
（a，b，c，t0）
z
y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
d2x(a,b,c,t)
dt2
d2y(a,b,c,t)
dt2
d2z(a,b,c,t) dt2
因此，用这些方程就能描述所有液体质点的运动 （轨迹、速度和加速度），也就知道了液体整体的 运动。
.
问题
xx(a,b,c,t) yy(a,b,c,t) (a,b,c)limitfeludp idoints z z(a,b,c,t)
3 流体动力学理论基础
.
3.1 描述液体运动的两种方法 3.2 流体运动的基本概念 3.3 恒定总流的连续性方程 3.4 恒定总流的能量方程 3.5 恒定总流的动量方程
.
3.1 描述液体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法 3.1.2 欧拉法
.
3.1 描述液体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法
.
上式对t 求导，得到液体质点的速度
x x(a,b,c,t)
ux
d
x(a, b, c, t ) dt
d dt
y
y(a, b, c, t )
z z(a,b,c,t)
uy
d y(a,b,c,t) dt
d z(a,b,c,t)
uz
dt
.
x x (a ,b,c,t )
u
x
d
x (a , b , c , t ) dt
t0 ：质点占据起始坐标： （a，b，c） t ： 质点运动到空间坐标：. （x，y，z）
z M
跟踪这个液体质点， t 得到其运动规律为
t0
c
z
O
y
a
b
x
x x(a,b,c,t)
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
y
y(a, b, c, t )
z z(a , b, c, t )
.
z
M t0
c O
1. 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 2. 数学上存在难以克服的困难 3. 实用上不需要知道每个质点的运动情况
.
问题
xx(a,b,c,t) yy(a,b,c,t) (a,b,c)limitfeludp idoints z z(a,b,c,t)
1. 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 2. 数学上存在难以克服的困难 3. 实用上不需要知道每个质点的运动情况
d
2 y(a,b,c,t) dt 2
a z
d
2 z (a , b , c , t ) dt 2
xx(a,b,c,t) yy(a,b,c,t) z z(a,b,c,t)
ux uy uz
dx(a,b,c,t) dt
dy(a,b,c,t) dt
dz(a,b,c,t) dt
ax ay az
该质点轨迹方程
不同（a，b，c）， z z(a , b., c, t ) 不同质点轨迹方程
z
M
t0
c
O b
a
t
z y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
x x(a,b,c,t)
y
y(a, b, c, t )
z z(a , b, c, t )
因此，用这个公式就可描述液体 所有液体质点的运动轨迹。
.
液体运动有两个特征。一个是“多”， 即液体是由众多质点组成的连续介质；另一 个是“不同”，即不同液体质点的运动规律 各不相同。
.
因此，液体运动的描述方法与理论 力学中刚体运动的描述方法就不可能相 同。那么，这就给液体运动的描述带来 了困难。
.
怎样描述整个液体的运动规律呢？
.
拉格朗日法: 质点系法 以液体质点作为研究对象，跟踪所
u
y
dy ( a , b , c , t c , t ) dt
.
u
x
dx
(a , b , c , t ) dt
u
y
dy
(a , b , c , t ) dt
u
z
dz
(a , b , c , t ) dt
d 2 x (a,b,c,t)
ax
dt 2
a y
.
问题
xx(a,b,c,t) yy(a,b,c,t) (a,b,c)limitfeludp idoints z z(a,b,c,t)
1. 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 2. 数学上存在难以克服的困难 3. 实用上不需要知道每个质点的运动情况
a b
t
z y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
改变液体质点的初始坐标（a，b，c)，并跟踪这 个液体质点，就可得到另一. 个液体质点的运动规律。
z
M t0
c O
a b
t z
x
反复改变液体 质点的初始坐 标（a，b，c)， 并跟踪不同液 体质点，就可
y 得到不同液体
质点的运动规
x
y
律，
图3.1.1 拉格朗日法
这样就得到液体整体的运动规律。
.
z
M t0
c O
a b
t
z y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
现在看看数学上怎么能做到这一点 。
.
x x(a,b,c,t)
y
y(a, b, c, t )
z z(a , b, c, t ) x
z
M
t0
c
O b
a
t
z y
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
（a，b，c，t）= 拉格朗日变数
d 2 y(a,b,c,t) d t2
d z(a,b,c,t)
u z
dt
d 2 z(a,b,c,t)
az
d t2
.
x x(a,b,c,t)
d dt
y
z
y (a , b , c , t ) z (a , b , c , t )
u
x
dx
(a , b , c , t ) dt
d dt
.
x x(a,b,c,t)
y
y(a, b, c, t )
z z(a , b, c, t ) x
z
M
t0
c
O b
a
t
z y
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
（a，b，c） 对应液体微团 或液体质点起始坐标
.
z
M
t0
c
O b
a
t
z y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
给定（a，b，c）， xy
x(a, b, c, t ) y(a, b, c, t )