描述液体运动的两种方法及液体运动的基本概念

d
2 y(a,b,c,t) dt 2
a z
d
2 z (a , b , c , t ) dt 2
xx(a,b,c,t) yy(a,b,c,t) z z(a,b,c,t)
ux uy uz
dx(a,b,c,t) dt
dy(a,b,c,t) dt
dz(a,b,c,t) dt
ax ay az
.
液体运动有两个特征。一个是“多”， 即液体是由众多质点组成的连续介质；另一 个是“不同”，即不同液体质点的运动规律 各不相同。
.
因此，液体运动的描述方法与理论 力学中刚体运动的描述方法就不可能相 同。那么，这就给液体运动的描述带来 了困难。
.
怎样描述整个液体的运动规律呢？
.
拉格朗日法: 质点系法 以液体质点作为研究对象，跟踪所
a b
t
z y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
改变液体质点的初始坐标（a，b，c)，并跟踪这 个液体质点，就可得到另一. 个液体质点的运动规律。
z
M t0
c O
a b
t z
x
反复改变液体 质点的初始坐 标（a，b，c)， 并跟踪不同液 体质点，就可
y 得到不同液体
质点的运动规
x
y
律，
图3.1.1 拉格朗日法
有质点，描述其运动过程，即可获得 整个液体运动的规律。
.
z
M t0
c O
a b
t
（a，b，c，t0）
z y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
设某一液体质点 在 t = t0 占. 据起始坐标（a，b，c）
z
M t0
c O
a b
t
（x，y，z，t）
（a，b，c，t0）
z
y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
u
y
dy ( a , b , c , t ) dt
u
z
dz
(a , b , c , t ) dt
.
u
x
dx
(a , b , c , t ) dt
u
y
dy
(a , b , c , t ) dt
u
z
dz
(a , b , c , t ) dt
d 2 x (a,b,c,t)
ax
dt 2
a y
1. 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 2. 数学上存在难以克服的困难 3. 实用上不需要知道每个质点的运动情况
.
问题
xx(a,b,c,t) yy(a,b,c,t) (a,b,c)limitfeludp idoints z z(a,b,c,t)
1. 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 2. 数学上存在难以克服的困难 3. 实用上不需要知道每个质点的运动情况
t0 ：质点占据起始坐标： （a，b，c） t ： 质点运动到空间坐标：. （x，y，z）
z M
跟踪这个液体质点， t 得到其运动规律为
t0
c
z
O
y
a
b
x
x x(a,b,c,t)
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
y
y(a, b, c, t )
z z(a , b, c, t )
.
z
M t0
c O
d2x(a,b,c,t)
dt2
d2y(a,b,c,t)
dt2
d2z(a,b,c,t) dt2
因此，用这些方程就能描述所有液体质点的运动 （轨迹、速度和加速度），也就知道了液体整体的 运动。
.
问题
xx(a,b,c,t) yy(a,b,c,t) (a,b,c)limitfeludp idoints z z(a,b,c,t)
.
上式对t 求导，得到液体质点的速度
x x(a,b,c,t)
ux
d
x(a, b, c, t ) dt
d dt
y
y(a, b, c, t )
z z(a,b,c,t)
uy
d y(a,b,c,t) dt
d z(a,b,c,t)
uz
dt
.
x x (a ,b,c,t )
u
x
d
x (a , b , c , t ) dt
.
x x(a,b,c,t)
y
y(a, b, c, t )
Байду номын сангаас
z z(a , b, c, t ) x
z
M
t0
c
O b
a
t
z y
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
（a，b，c） 对应液体微团 或液体质点起始坐标
.
z
M
t0
c
O b
a
t
z y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
给定（a，b，c）， xy
x(a, b, c, t ) y(a, b, c, t )
.
问题
xx(a,b,c,t) yy(a,b,c,t) (a,b,c)limitfeludp idoints z z(a,b,c,t)
1. 每个液体质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点 2. 数学上存在难以克服的困难 3. 实用上不需要知道每个质点的运动情况
d 2 y(a,b,c,t) d t2
d z(a,b,c,t)
u z
dt
d 2 z(a,b,c,t)
az
d t2
.
x x(a,b,c,t)
d dt
y
z
y (a , b , c , t ) z (a , b , c , t )
u
x
dx
(a , b , c , t ) dt
d dt
这样就得到液体整体的运动规律。
.
z
M t0
c O
a b
t
z y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
现在看看数学上怎么能做到这一点 。
.
x x(a,b,c,t)
y
y(a, b, c, t )
z z(a , b, c, t ) x
z
M
t0
c
O b
a
t
z y
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
（a，b，c，t）= 拉格朗日变数
速dd t度 z对y
t
y求z((a导a, ,bb，, ,cc,得,t t)到) 液体 质 点 u的y 加 dd速zy度((aa,d,bbt ,
,c c,
, t
t) )
u z
dt
u
x
d dt
u
y
d x(a,b,c,t) dt
d y(a,b,c,t) dt
ax
ay
d 2 x(a,b,c,t) d t2
该质点轨迹方程
不同（a，b，c）， z z(a , b., c, t ) 不同质点轨迹方程
z
M
t0
c
O b
a
t
z y
x
x
y
图3.1.1 拉格朗日法
x x(a,b,c,t)
y
y(a, b, c, t )
z z(a , b, c, t )
因此，用这个公式就可描述液体 所有液体质点的运动轨迹。
3 流体动力学理论基础
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3.1 描述液体运动的两种方法 3.2 流体运动的基本概念 3.3 恒定总流的连续性方程 3.4 恒定总流的能量方程 3.5 恒定总流的动量方程
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3.1 描述液体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法 3.1.2 欧拉法
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3.1 描述液体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法