五年级奥数之棋盘中的数学

五年级奥数讲义：棋盘中的数学(含答案)

五年级奥数讲义：棋盘中的数学（含答案）1．棋盘中的图形与面积；2．棋盘中的覆盖问题：（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。

实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。

（3）重要结论：① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是m、n中至少有一个是偶数．② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n．3、棋盘中的象棋问题：所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。

这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。

解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学。

1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题；2、利用象棋知识寻找路线；例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4（D）4×5 （E）6×3答案：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）．分析：这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题．定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数．例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？答案：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62个格中有黑格 32个，白格 30个．另外，如果用2×1骨牌 31张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31个骨牌将盖住31个黑格及31个白格．这与32个黑格数，30个白格数的事实相矛盾．所以，无论如何用这31张2×1的骨牌盖不住这个残角棋盘．分析刚一想，31个2×1骨牌恰有62个小方格，棋盘去掉两个角后也是62个格，好像很有可能盖住．但只要简单一试，便发现不可能．仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，2×1骨牌一次只能盖住一个黑格与一个白格．只要发现这个基本事实立即可以找到解答．例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：答案：图形（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因此不能用这两种图形拼成．图形来拼．只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为例．分析：这道类型题用排除法，排除图（1）与（2）的方法是很重要的．因为一个图形可以用这是“必要条件排除法”．但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，但是呢也不表明的就是这种情况．n|3。

五年级奥数讲义：棋盘中的数学(含答案)

五年级奥数讲义：棋盘中的数学（含答案）1．棋盘中的图形与面积；2．棋盘中的覆盖问题：（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题.实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题.（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题.（3）重要结论：① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是m、n中至少有一个是偶数．② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n．3、棋盘中的象棋问题：所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题.这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题.解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学.1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题；2、利用象棋知识寻找路线；例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4（D）4×5 （E）6×3答案：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）．分析：这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题．定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数．例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？答案：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62个格中有黑格 32个，白格 30个．另外，如果用2×1骨牌 31张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31个骨牌将盖住31个黑格及31个白格．这与32个黑格数，30个白格数的事实相矛盾．所以，无论如何用这31张2×1的骨牌盖不住这个残角棋盘．分析刚一想，31个2×1骨牌恰有62个小方格，棋盘去掉两个角后也是62个格，好像很有可能盖住．但只要简单一试，便发现不可能．仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，2×1骨牌一次只能盖住一个黑格与一个白格．只要发现这个基本事实立即可以找到解答．例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：答案：图形（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因此不能用这两种图形拼成．图形来拼．只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为例．分析：这道类型题用排除法，排除图（1）与（2）的方法是很重要的．因为一个图形可以用这是“必要条件排除法”．但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，但是呢也不表明的就是这种情况．n|3.答案：当3｜n时，设n＝3k，则2×n＝2×3k＝k（2×3）2×n＝3×x则3｜2n，但（2，3）＝1，∴3｜n．分析：思考方法．比如，若3｜n且2｜m时， m×n棋盘可分成若干个2×n棋例5、这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？答案：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在 10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．分析：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位．由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．例6、如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．答案：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示．分析：主要考查棋盘中的覆盖问题：完全覆盖问题.只要把每个棋的走法掌握该类型题应该没有太大问题.A档1、在4×4 的正方形中，至少要放多少个形如所示的卡片，才能使得在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）答案与提示：3 个.提示：右图是一种放法.2、能否用9 个形如的卡片覆盖6×6 的棋盘？答案与提示：不能.右图中黑、白格各18 个，每张卡片盖住的黑格数是奇数，9 张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能盖住18 个黑格.3、有若干个边长为1、边长为2、边长为3 的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4 的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）答案与提示： 6 种.用小正方形拼成边长为4 的大正方形有6 种情形：（1）1 个3×3，7 个1×1；（2）1 个2×2，12 个1×1；（3）2 个2×2，8 个1×1；（4）3 个2×2，4 个1×1；（5）4 个2×2；（6）16 个1×1.B档4、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？答案与提示：因为图形由3个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是3的倍数，从而正方形的边长应是3的倍数.经试验，不可能拼成边长为3的正方形.所以拼成的正方形的边长最少是6（见右图），需要用题目所示的图形36÷3= 12（个）.5、下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的.现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？答案与提示：先从简单的情形开始考虑.显然，只用1种图形是可以的，例如用7个（7）；用2种图形也没问题，例如用1个（7），6个（1）.经试验，用6种图形也可以拼成4×7的长方形（见下图）.能否将7种图形都用上呢？7个图形共有4×7=28（个）小方格，从小方格的数量看，如果每种图形用1个，那么有可能拼成4×7的长方形.但事实上却拼不成.为了说明，我们将4×7的长方形黑、白相间染色（见右图），图中黑、白格各有14个.在7种图形中，除第（2）种外，每种图形都覆盖黑、白格各2个，共覆盖黑、白格各12个，还剩下黑、白格各2个.第（2）种图形只能覆盖3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，因此不可能覆盖住另6种图形覆盖后剩下的2个黑格2个白格.综上所述，要拼成 4×7的长方形，最多能用上 6种图形.6、用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个？答案与提示：用3个2×2正方形和2个3×3正方形可以拼成1个5×6的长方形（见左下图）.用4个5×6的长方形和1 个 1×1的正方形可以拼成 1个11×11的大正形（见右下图）.上面说明用1个1×1的正方形和若干2×2，3×3的正方形可以拼成 11×11的大正方形.那么，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的正方形吗？将11×11的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图）.将2×2或3×3的正方形沿格线放置在任何位置，都将覆盖住偶数个白格，所以无论放置多少个2×2或3×3的正方形，覆盖住的白格数量总是偶数个.但是，右图中的白格有11×7=77（个），是奇数，矛盾.由此得到，不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形.综上所述，要拼成11×11的正方形，至少要用1个1×1的小正方形.7、用七个1×2的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？答案与提示：盲目无章的试验，很难搞清楚.我们采用分类讨论的方法.如下图所示，盖住A所在的小格只有两种情况，其中左下图中①②两个小长方形只能如图覆盖，其余部分有4种覆盖方法：右下图中①②③三个小长方形只能如图覆盖，其余部分有3种覆盖方法.所以，共有7种不同覆盖方法.8、有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片.用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）答案与提示：有一个边长3厘米纸片有如下3种拼法：有两个边长2厘米纸片的有如下4种拼法：有一个边长2厘米及11个边长1厘米纸片的有2种拼法，边长全是1 厘米纸片的有1种拼法.共有不同的拼法3＋4＋2+1=10（种）.答：共有10种不同的拼法.C档9、小明有8张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下4张连在一起的票，其余的送给别人.他留下的四张票可以有多少种不同情况？答案与提示：25种.形如图（A）（B）（C）（D）的依次有3，10，6，6种.10、有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）答案与提示：6种.用小正方形拼成边长为4的大正方形有6种情形：（1）1个3×3，7个1×1；（2）1个2×2，12个1×1；（3）2个2×2，8个1×1；（4）3个2×2，4个1×1；（5）4个2×2；（6）16个1×1.11、能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？答案与提示：不能.用1，2，3，4对6×6棋盘中的小方格编号（见右图）.一个1×4的矩形一次只能覆盖1，2，3，4号各一个，而1，2，3，4号数目不等，分别有9，10，9，8个.12、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最多可以用上面七种图形中的几种？答案：要拼成4×7的方格，最多能用上七种“方块”中的6种图形13、由1×1、 2×2、3×3的小正方形拼成一个23×23的大正方形，在所有可能的拼法中，利用1×1的正方形最少个数是多少？试证明你的结论．答案：至少要用一个1×1的小正方形.14、如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如右图所示．15、下图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如下图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是102＋12＝112枚．答：这堆棋子原有112枚．1、如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．答案：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如右图所示.2、在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．答案：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，3，4各一个，且恰为16块小方格．④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示3、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？答案：84、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个8×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最少可以用上面七种图形中的几种？答案：要拼成8×4的方格，最多能用上七种“方块”中的1种图形5、能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个12×3的正方形？答案与提示：能.1、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？答案：122、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个8×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最少可以用上面七种图形中的几种？答案：要拼成8×4的方格，最多能用上七种“方块”中的1种图形3、能不能用9个2×3的长方形卡片拼成一个7×8的正方形？答案与提示：不能.4、在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）答案：3个.提示：左下图是一种放法.5、答案：图（2）.6、答案：不能.7、答案：5种.8、国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？答案：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．。

部编版数学五年级暑假第3讲.棋盘中的数学.超常体系

4 第 9 级上超常体系教师版
国际象棋的历史
关于国际象棋的产生，国际上流传着一个有趣的故事。据说 2000 年以前，印度有一个非常残暴的国王，自己独断专行，想干什么就干什么。国王有个亲信大臣，他想拿“君王不能离开臣民而存在”的道理来劝告国王，但又不敢公开提出自己的意见。他想出了一个暗示的办法：在木制棋盘上，用骨制的棋子组成两支军队进行战斗；每一方都有一个首脑——王，另有车、马、象、兵四个兵种，组合成一个阵容的整体，王是最主要的棋子，王一死，战斗便结束；王同时又是很弱的一环，他只能依靠战友——即别的更有力的棋子保护，这些棋子必须在整个战斗过程中同心协力来保卫王。它一方面往西传到波斯、阿拉伯和欧洲，经过改变(如：增加了“后”)，形成现代的国际象棋；另一方面往东传到缅甸、东南亚和中国。
(2)用若干个
和
能否恰好不重不漏地覆盖住 15×15 的方格棋盘．
(3)用标准的俄罗斯方块的某些图形，能否恰好不重不漏地覆盖住 5×6 的方格棋盘．【分析】(1)B，从奇偶性考虑
(2)不能，从奇偶性考虑 (3)不能，俄罗斯方块每块均是 4 格，4 不能整除 5×6 小结：此题提示孩子，在覆盖问题中，首先从面积大小及整除性来判断．覆盖中的最值问题也会用到此类思想．
【分析】不能，对 4 5 长方形作黑白染色
8 第 9 级上超常体系教师版
黑格数白格数，但若对
、
①
②
、
、
③
、
④
这五个图形进行
⑤
黑白染色，图①②③⑤黑格白格，但图④黑白，所以办不到．
例7
(1) 能不能用 15 个
将图形黑白相间染色后，发现有 21 黑，19 白，黑、白格数目不等，而 1×2 的小长方形覆盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到． (2)右图是一个 5×7 的方格，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，

小学数学棋盘上的数学问题教学案例

《棋盘上的数学问题》教学案例教学目标：１、了解围棋的相关知识，通过运用所学的乘法知识，解决相关的数学问题。

２、让学生感悟参与小调查的过程和方法，在活动过程中培养学生分析、归纳、运算和推理的数学思维能力。

３、引导学生学会用数学眼光观察身边的现象，使学生体会到生活中处处有数学，感受到学习数学的价值。

教学重点：运用乘法知识解决相关的数学问题教学难点：了解围棋的有关知识，会用所学的知识解决相关问题。

教学准备：围棋、课件教学过程：一、创设情境，谈话导入１、播放围棋少年动画片片断师：同学们，你们认识动画片中的这位少年吗？他正在下的是什么棋？生：我认识他，他是我最喜欢的动画片《围棋少年》里的江流儿。

生：我知道，他们正在下的是围棋。

２、介绍围棋的相关知识师：看来，我们班喜欢围棋的同学还真不少。

你们知道吗？围棋起源于中国古代，距今已经有２０００多年历史了，围棋和京剧一样，都是我国的国粹。

围棋由于它的变化多样，也被人们称为最复杂的棋类。

３、师：哪些同学会下围棋？请你们来说一说自己学习围棋的体会和收获。

生：我觉得学习围棋可以培养静心的好习惯。

以前我性子特别急燥，爸爸妈妈说学围棋可以培养我的专注力。

生：学习围棋还可以训练我们的思维能力，提高计算能力。

师：原来学习围棋有这么多的好处，今天我们就一起走进围棋的世界，了解一些简单的围棋知识，并学会用数学的方法来解决一些棋盘上的数学问题。

板书课题：棋盘上的数学问题二、自主探究，合作交流１、反馈课前小调查师：同学们，课前老师给你们布置了一个小调查，大家都完成了吗？哪位同学愿意来给大家汇报一下。

生：围棋盘横有19条线，竖有19条线，共有361个交叉点。

生：棋子有两种颜色，黑子有181个，白子有180个。

生：比赛时，棋子要下在交叉点上。

生：我国著名的围棋棋手有聂卫平和师：说一说你的小调查是和谁一起完成的？你是通过什么方式调查了解到这些围棋知识的？生：我是爸爸妈妈告诉我的。

生：我是和爷爷奶奶一起上网查到的。

小学五年级第十六讲：棋盘中的数学(学生版)

第十六讲棋盘中的数学知识梳理：1．棋盘中的图形与面积；2．棋盘中的覆盖问题：（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。

实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。

（3）重要结论：① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是．② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是．3、棋盘中的象棋问题：所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。

这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。

解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学。

教学重难点：1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题；2、利用象棋知识寻找路线；特色讲解：例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4（D）4×5 （E）6×3例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：n|3。

例5、这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？例6、如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．当堂练习：A档1、在4×4 的正方形中，至少要放多少个形如所示的卡片，才能使得在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）2、能否用9 个形如的卡片覆盖6×6 的棋盘？3、有若干个边长为1、边长为2、边长为3 的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4 的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）B档4、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？5、下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。

小学五年级数学第十六讲：棋盘中的数学(教师版).docx

第十戈讲棋盘彳的赦営 1. 棋盘中的图形与面积; 2. 棋盘中的覆盖问题:（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。

实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类,一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。

（3）重要结论：① mXn 棋盘能被2X1骨牌覆盖的条件是m 、n 屮至少有一个是偶数.② 2Xn 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3丨n.3、棋盘中的象棋问题：所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1））,际象棋棋盘（下图（3））・以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。

这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘川的数学问题。

解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学。

■ • ■■ • ■大脑体操作业范成情况知识梳理n 个格圉棋盘（下图（2））,还有国(1)%%%%>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题；2、利用象棋知识寻找路线；特色讲解/J 1-/ \J L □ □ 1-J L□ □ 厂 "1 厂 "1 厂"1 厂"1L J LJ LJ LJ□ □ 厂 "1厂"1 □ □"1 厂/"1 厂/ \(2)教学重•难点趣味引入例1 一种骨牌是由形如R 的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？(A) 3X4 (B) 3X5 (C) 4X4分析：这类问题，容易更加一般化，即用2X1的方格骨牌去覆盖一个n )Xn 的方格棋盘的问题.定理1： mXn 棋盘能被2X1骨牌覆盖的充分且必要的条件是叭n 屮至少有一个是偶数.例2下图中的8X8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2X1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？答案：我们将残角棋盘黑、白相间染色(如图)，62个格中有黑格32个，白格30个.另外，如果用2X1骨牌31张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31个骨牌将盖住31个黑格及31个白格.这与32个黑格数，30个白格数的事实相矛盾.所以，无论如何用这31张2X1的骨牌盖不住这个残角棋盘.分析刚一想，31个2X1骨牌恰有62个小方格，棋盘去掉两个角后也是62个格，好像很有可能盖住.但只要简单一试，便发现不可能.仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，2X1骨牌一次只能盖住一个黑格与一个白格.只要发现这个基本事实立即可以找到答案: (D) 4X5(E) 6X3(H) (E)通过试验，很容易看到，应选择答案(B).(A)(C)2X1解答.例3在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形屮:可以用若干块匚匸口和壬拼成的图形是第几号图形？答案：图形（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因此不能用这两种图形拼成.图形（3 ）的右上角只能用壬来拼.剩下的图形显然不能用这两种图形来拼.只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为例.EHB分析：这道类型题用排除法，排除图（1）与（2）的方法是很重要的.因为一个图形可以用若干fe l I I I和壬盖住，这个图形的小方格数一定是3的倍数.因此，小方格数不是3的倍数的图形一定不能用匚匚□与壬形的““骨牌”盖住，这是“必要条件排除法”.但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，但是呢也不能保证一定能用匚匸口与壬盖住.这耒明这个条件并不充分.图形（3）表明的就是这种情况.例4 2 X n的方格棋盘能用壬形骨牌覆盖的充分且必墓的条件3|n答案:证明：①充分性：即己知3 I n,求证2Xn棋盘可被壬骨牌覆盖.n个当3 I n时,设n = 3k,贝ij 2Xn=2X3k = k (2X3)由于两个壬可拼成一个2 X 3小棋盘，这时2 X n恰为k个2 X 3②必要性：即已知2Xn棋盘可被壬骨牌覆盖，求证：3 设2 X n棋盘被x个壬形覆住，则2Xn=3Xx则3 I 2n,但(2, 3) =1,・・・3 I n.分析: 说臥例4的结论为我们制定m X门棋盘能否被壬形覆盖揑供了一种思考方法.比如，若3 In且2 Im时，mXn棋盘可分成若干个2Xn棋例5、这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）.黑方有一个“象”，它只能在1, 2, 3, 4, 5, 6, 7位置中的一个，红方有两个“相”, 它们只能在8, 9, 10, 11, 12, 13, 14中的两个位置.问：这三个棋子(一个黑“彖”和两个红“相”)各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的而积最大？答案：黑“彖”在2或3的位置，两个红“相”分别在10, 12的位置时，以这三个棋子为顶点组成，所以，当3 |n时2 X n棋盘可以被若干个壬形盖住.:,而每个棋盘都能被壬形盖住，因此, m X 口棋盘可被壬形盖住.的三角形(2, 10, 12)或(3, 10, 12)的面积最大，如下图所示.分析：我们设每个小方格的边长为1单位.则小方格正方形面积为1平方单位.由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半.所以要比较三角形面积的大小，只耍比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪.直观可见，只须比较(3, 10, 12)或(2, 10, 12)与(3, 10, 13)或(2, 12, 14)这两类三角形面积就可以了.顶点为(3, 10, 12)或(2, 10, 12)的三角形面积为：1_X8X7=28.2顶点为(3, 10, 13)或(2, 12, 14)的三角形面积等于:9X6=27-所以顶点在(2, 10, 12)或(3, 10, 12)时三角形面积最大.例6、如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下(要符合象棋规则，“相” 走出字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置.马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等).L L L J L□C厂"1厂"1□□"1厂\/ 1厂/\答案：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示.分析：主要考查棋盘屮的覆盖问题：完全覆盖问题。

棋盘中的数学

棋盘中的数学第一篇：棋盘中的数学棋盘中的数学所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题．例1 这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位．由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问题所在多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多这类的问题．例2 下图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如下图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是102＋12＝112枚．答：这堆棋子原有112枚．说明：本题也可以列方程求解．设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：（m＋1）2－9＝m2＋12．即2m＋1＝21，解得 m＝10．所以棋子总数为102＋12＝112枚．本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子若摆成一个实心方阵，剩余12粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差9枚棋子，问这堆棋子原有多少枚？”应用围棋盘显得更加直观、具体．例3 如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如右图所示．例4 在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．分析注意这个正方形的面积是8×8＝64个平方单位，因此切分后的每一块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成．解：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，3，4各一个，且恰为16块小方格．④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示．例5 国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？解：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．例6 如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示．本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是：①以棋盘为背景提出各种问题，无论围棋盘、中国象棋盘或是国际象棋盘．更为一般的提法是m×n方格上的数学问题．②这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类型，这些问题一般属于智巧类的问题或更深一步的组合数学问题．例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4（B）3×5（C）4×4（D）4×5（E）6×3解：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）．这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题．定理1：m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数．证明：①充分性：即已知m，n中至少有一个偶数，求证：m×n 棋盘可被2×1骨牌覆盖．不失一般性，设m＝2k，则m×n＝2k×n＝k×棋盘可被kn个2×1骨牌覆盖．②必要性：即已知m×n棋盘可以被2×1骨牌覆盖．求证：m，n 中至少有一个偶数．若m×n棋盘可被2×1骨牌覆盖，则必覆盖偶数个方格，即mn是个偶数，因此m、n中至少有一个是偶数．例1 在8×8的棋盘格中的某个格子里已放入一枚棋子“王”（如右图），甲、乙两人轮流移动“王”子，每次只能横向或竖向移动一格．凡“王”子已经占据过的格都不得再进入．谁先遇到无法移动“王”子时，谁就算输方．试证明，先走者存在必胜的策略．分析“王”子已占一个格，还剩下8×8－1＝63个格，比如甲先走一个格，还剩下62个格．若能将62个格分成31对，每对都是相邻的两小格，这时该乙走，乙领先进入一格，甲就随之进入与其配对的格，这样就造成了甲必取胜的态势．因此，将64个格两两配对成为32个1×2的小矩形是解决本题的关键．证明：设甲为先走的一方，在甲的心目中如上图将64个方格两两配对分成32个1×2的小矩形，“王”子必在某个1×2的小矩形的一个格子中．甲先走，将“王”子走入这个1×2的小矩形的另一个格子中．这时还有31个1×2的小矩形，每个小矩形中都有两个小方格．这时该乙走，乙总是领先进入某个1×2小矩形的第一个格，甲就可以随之进入这个小矩形的第二个格．由于不能重复进入“王”已经进过的格子，所以乙总处于领先进入新的小矩形的第一格的地位，甲就总可随之进入这个小矩形的第二个格．最后必然乙先无法移动“王”子，乙输．甲必取胜．例2 下图是一盘未下完的中国象棋残局，各子走法必须按中国象棋的规则办事，将对方憋死或无法走子时算取得胜利．如果轮到乙方走，问乙怎样走法才能取胜？第二篇：棋盘口诀棋盘口诀横十九纵十九相乘三百六十一.一百八十另半个大家一样算和棋.棋盘口诀横数十九竖十九相交三百六十一.九颗星星排整齐九个部位莫忘记.方位口诀九颗星星排整齐正中天元不忘记.“四、四”位置叫星位周围一圈分仔细.星位上面是高目小目放到下面去.小目旁边是目外“五、五” “三、三”分高低.落子口诀黑子先行白子后，单双决定第一手，轮流落子不能改，要想悔棋不能够．用兵口诀棋盘好比是战场棋子就是你的兵.你当司令来指挥巧妙布阵善用兵.行棋口诀黑子先走白子后棋子走了不能移.走棋先在哪儿走金角、银边、草肚皮.气的口诀角上一子有两气边上一子有三气中间一子有四气要想长气连接起.吃棋口诀要想吃棋围上去围得没气赶快提.棋子散散好处多断开分别包围起.吃子口诀从上面打到下面从外面打到里面让它气越来越少最后把它全提掉.逃子口诀棋子危险莫心急想想办法来逃棋逃跑方向要正确方法正确逃出棋.做眼口诀角上一眼要三子边上须用五步棋中间围成一个眼七子才能围得起.一只眼口诀做起一眼不算活眼位不全消灭你.先紧外气后紧内最后一步统统提.两眼活棋口诀要想棋子不被吃快把两眼来做齐.做起两眼不害怕因为我的是活棋.“真” “假”眼口诀别看它有两只眼真眼假眼细分辨.两个真眼才算活一个卡眼是死棋．有眼双活棋口诀黑白各有一只眼中间夹着一口气.数数外气一样多这叫有眼双活棋.双活口诀这片棋可真希奇，没有两眼有公气，双方不敢去“吃子”，大家和平双活棋.三活口诀各有一只眼两个亲兄弟可恨对方棋中间插进去.自己没有眼一边一口气兄弟没法连进攻真着急.对方棋开了言:“二位小兄弟你们别吃我我也不攻你咱是双活棋对立又统一.”“点眼”口诀“直三” “曲三”一点死“丁四” “刀五”一点亡“花五” “花六”眼虽大中间一点也白忙.活形口诀做活棋要两眼两眼不明不用忙.“直四” “曲四”和“板六”够做两眼不用慌.不须“点”口诀下棋需要看仔细不要白走一步棋有的棋形不需点任他补棋也白忙直二”无法做两眼“方四”不点也要亡.“劫”的口诀两个虎口相对应黑棋白棋来回提.按照规定找“劫材”人家“应劫”才能提.“劫”的口诀两个虎口口对口黑棋白棋来回提.回提要先找劫材，间隔一步提回来．角上“曲四”口诀角上“曲四”看外气，两口外气是活棋。

101小升初棋盘中的数学问题(一)

2011-2012学暑期五年级讲义(2012年7月)第四讲棋盘中的数学问题（一）所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．一、知识要点1．棋盘中的图形与面积；2．棋盘中的覆盖问题：（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。

实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。

（3）重要结论：①m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的条件是m、n中至少有一个是偶数．②2×n的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n．二、典型例题（一）棋盘中的覆盖问题：1、能不能覆盖的问题，例1．一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4 （D）4×5 （E）6×3例2．要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：可以用若干块和拼成的图形是第几号图形？例4．下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？例5 8×8的棋盘能否用15个形骨牌和1个形骨牌覆盖？例6．能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？2、最多能用多少种图形覆盖的问题例7．一种游戏机的“方块”游戏中共有如下图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最多可以用上几种不同的图形？例8．用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个？3、有多少种不同的覆盖方法问题。

第十讲棋盘中的数学(一)

问：这堆棋子原有多少枚？
解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如上右图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是
102＋12=112枚
请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？
解：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．
例6如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．
分析注意这个正方形的面积是8×8＝64个平方单位，因此切分后的每一块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成．
解：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．
②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．
第十讲棋盘中的数学（一）
——什么是棋盘中的数学
所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．
答：这堆棋子原有112枚．
说明：本题也可以列方程求解．
设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：
（m＋1）2－9＝m2＋12．

小学五年级第16讲：棋盘中的数学(教师版)

第十六讲棋盘中的数学1．棋盘中的图形与面积；2．棋盘中的覆盖问题：（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。

实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。

（3）重要结论：① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是m、n中至少有一个是偶数．② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n．3、棋盘中的象棋问题：所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。

这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。

解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学。

1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题；2、利用象棋知识寻找路线；例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4（D）4×5 （E）6×3答案：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）．分析：这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题．定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数．例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？答案：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62个格中有黑格 32个，白格 30个．另外，如果用2×1骨牌 31张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31个骨牌将盖住31个黑格及31个白格．这与32个黑格数，30个白格数的事实相矛盾．所以，无论如何用这31张2×1的骨牌盖不住这个残角棋盘．分析刚一想，31个2×1骨牌恰有62个小方格，棋盘去掉两个角后也是62个格，好像很有可能盖住．但只要简单一试，便发现不可能．仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，2×1骨牌一次只能盖住一个黑格与一个白格．只要发现这个基本事实立即可以找到解答．例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：答案：图形（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因此不能用这两种图形拼成．图形来拼．只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为例．分析：这道类型题用排除法，排除图（1）与（2）的方法是很重要的．因为一个图形可以用这是“必要条件排除法”．但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，但是呢也不表明的就是这种情况．n|3。

棋盘中的数学(三)

第十二讲棋盘中的数学（三）——棋盘对弈的数学问题我们看这样一个比输赢的问题．例1 在8×8的棋盘格中的某个格子里已放入一枚棋子“王”（如右图），甲、乙两人轮流移动“王”子，每次只能横向或竖向移动一格．凡“王”子已经占据过的格都不得再进入．谁先遇到无法移动“王”子时，谁就算输方．试证明，先走者存在必胜的策略．分析“王”子已占一个格，还剩下8×8－1＝63个格，比如甲先走一个格，还剩下62个格．若能将62个格分成31对，每对都是相邻的两小格，这时该乙走，乙领先进入一格，甲就随之进入与其配对的格，这样就造成了甲必取胜的态势．因此，将64个格两两配对成为32个1×2的小矩形是解决本题的关键．证明：设甲为先走的一方，在甲的心目中如上图将64个方格两两配对分成32个1×2的小矩形，“王”子必在某个1×2的小矩形的一个格子中．甲先走，将“王”子走入这个1×2的小矩形的另一个格子中．这时还有31个1×2的小矩形，每个小矩形中都有两个小方格．这时该乙走，乙总是领先进入某个1×2小矩形的第一个格，甲就可以随之进入这个小矩形的第二个格．由于不能重复进入“王”已经进过的格子，所以乙总处于领先进入新的小矩形的第一格的地位，甲就总可随之进入这个小矩形的第二个格．最后必然乙先无法移动“王”子，乙输．甲必取胜．例2 下图是一盘未下完的中国象棋残局，各子走法必须按中国象棋的规则办事，将对方憋死或无法走子时算取得胜利．如果轮到乙方走，问乙怎样走法才能取胜？分析在上图中，双方的将（帅）均无法移动，双方的士（仕）也无法移动，底炮也不能在横线上移动（否则对方可将炮沉底打闷将）．底线兵（卒）只能横向移动．谁先移动底线兵（卒）打将，会造成对方将（帅）移出，从而出现移兵（卒）方自己必输的态势．因而只有底炮、中炮和边卒（兵）可以在纵线上移动，兵（卒）只能前移1步，中炮只能前移4步，底炮只能前移8步．现在的问题是：乙先走，轮流走完这三对子的13步，问乙怎样走才能取胜？解：我们把乙的获胜策略及甲的各种走法列表于下（其中，“甲1，乙1”分别表示，“甲第一步走棋”与“乙第二步走棋”，其余类同；“中炮2，相炮3，卒1”分别表示“中路炮进2步”，“相位炮进3步”和“卒进1步”．其余类同；“结果”栏表明乙1，甲1，乙1之后的态势，其中的“距”以步为单位）：其中，情形⑦～⑩显然为乙胜．情形①，②中，如甲2进炮几步，则乙3就将另一路炮进同样步数，…，这样，终将乙胜．情形③，④与⑤，⑥是类似的．以③为例，甲的各种走法及乙的策略见下表：显然，各种情形中也是乙胜．注意，若甲某次退炮几步，则乙接着将同一路炮进相同步数（这样，这两只炮之间的间隔没有改变）．说明：本题的深刻道理和规律在于自然数的二进制表示，将1步，4步，8步分别用二进制表示为1，100，1000．当乙从8步中走了3步后，变为还有5步即1，100，101．我们把这三个数写成竖式11 0 01 0 1容易看出每一个数位上的数字之和都是偶数．（这里均勿进位）．无论甲怎样走，所走的那一行的步数（用二进制表示）至少有一个数位上的数字发生了变化，从而破坏了上面的规律，即不是每一个数位上的数字之和都是偶数了，比如说，甲在中路炮进一步，三路的步数变为：11 11 0 1这时三个数位上的数字之和1＋1＋1，1＋0，1都不是偶数．乙再接着走，他的办法是恢复上面的规律．这是能办到的．首先，他看一下数字和不是偶数的最高数位，三路步数二进制表示中至少有一路在这数位上的数字是1，然后，他就在这一路上走若干步，使得上述数位上的数字和为0，而较低数位上的数字为1或0以保证这些数位上的数字之和为偶数，其它数位上的数字不变．比如，对于上面的情形，乙应当在“相”位炮所在的路线上走3步，将三路步数变为：11 11 0这样继续下去，步数逐渐减少，必有结束的时候，由于甲走后，不是每个数位上的数字之和都是偶数，所以甲不可能走到最后一步．走最后一步的是乙，所以乙必然取胜．例3 如下图是一个9×9棋盘，它有81个小正方形的格子，在右上角顶的格子里标有“▲”的符号代表山顶．A、B两人这样来游戏：由A 把一位“皇后”（以一枚棋子代表）放在棋盘的最下面一行或最左边一列的某个格子里（即放在右图中阴影区域的一个格子里），然后由B开始，两人对奕：“皇后”只能向上，向右或向右上方斜着走，每次走的格数不限，但不得倒退，也不得停步不前；谁把“皇后”走进标有“▲”的那格就得胜．显然，双方对弈下去决不会出现“和棋”，在有限个回合后，必有一胜一负，试分析B必取胜的策略．这个游戏我们不妨称之为“皇后登山”问题．分析我们采用倒推分析的方法．如果A把皇后走进下图中带阴影的格子，则B就可一步把皇后走到山顶而获胜．因此任何一方都应该避免把皇后走进右图中的阴影地区，而都应该迫使对方不得不把皇后走至带阴影的格子里去，这是取胜的总的指导思想．那么B应把皇后走到哪些格子中才能迫使对方不得不把皇后走进上图中带阴影的格子里去呢？从上图中可看出，这样的格子只有两个：有标号①和②的格子．由此可知，如果谁抢占了①或②，只要走法不再失误，就必会得胜．因此，我们形象地称①、②两格为“制高点”．那么为占①或②，如下图，如果A把皇后走进有★的方格里，则B 就能占领①或②，从而获胜，而B又怎样迫使A不得不把皇后走进有★的或有阴影的方格呢？同样的分析可知，只要B能占领第二对制高点③或④即可．继续运用上述分析方法，还可以得到下一组制高点⑤和⑥．这时，不论A开始把皇后放在最左一列与最下面一行的哪个格子中，B第一步都可以抢到一个制高点，或者第一步就直接达到▲，只要走法得当，必能稳操胜券的．说明：1．如果我们给出的是8×8的国际象棋盘，玩“皇后登山”游戏，A开始把皇后放在最左列或最下行的哪个格时，A必胜？这时我们看到，对8×8棋盘，制高点⑤在最左列上，制高点⑥在最下列上，所以A开始把皇后放于⑤或⑥，则A必胜，放在其它格时，B可抢到制高点，则B必胜．2．如果在普通的围棋盘上，（共有18×18＝324个格）玩“皇后登山”游戏．B取胜的制高点都是哪些？请读者自己找出来．可以告诉大家，一共有六对，计12个制高点．例4 在8×8的国际象棋盘中（如下页图）有三枚棋子，两个人轮流移动棋子，每一次可将一枚棋子移动任意多格（允许两枚或三枚棋子在同一格），但只能按箭头所表示的方向移动．在所有棋子都移到A点时，游戏结束，并且走最后一步的算赢，问哪一个人能够获胜？解：由三枚棋子到A的格数分别要走59步，50步和30步，这样就与例2在三条路线上走步本质上一样的，我们不妨把59，50，30这三个数写成2进制．59＝（111011）2，50＝（110010）2，30＝（11110）2排在一起：1 1 1 0 1 11 1 0 0 1 01 1 1 1 0第一个人应当将第一行的111011改为101100，也就是减少11ll，这样就使各个数位上的数字和为偶数．这时无论第二个人如何走都将破坏这个特性，第一个人接着可以采取使各个数位上的数字和为偶数的方法，稳步地走向胜利．这就是说，第一个人应当将最外面的棋子移动15步（即（1111）2＝1×23＋1×22＋1×2＋1＝15），即可按例2的规则稳步取胜．习题十二1．如下页图是一个3×101的棋盘，甲每次可走一个黑子，乙每次可走一个白子．每枚棋子只能在它所在的行沿固定方向移动，走步数不限，但不能越过对方棋子，谁不能走子谁算输．若甲先走，请指出甲必取胜的着法．2．对8×8的棋盘，讨论“皇后登山”问题．3．在普通围棋盘上（共18×18＝324个格）讨论“皇后登山”游戏．4．图a是一个彩色激光棋盘，上面有红（打×）黄（空白格），蓝（斜线格）三种颜色的方格．游戏人可以随意地通过按电钮将某一行或某一列的小方格同时改变颜色，红变黄，黄变蓝，蓝变红，如果按不多于10次电钮将图a变为图b，便可得奖．问游戏人能否得奖？5．由甲在2×19的棋盘格上任放两个皇后Q1与Q2（如图）于两行中，然后乙开始先走棋：如果走一个皇后，则可把任一皇后向右（向E 方向）走任意多少格；如果同时走两个皇后，则必须向右同时走相同的格数，不得不走棋，也不可倒走；这样轮流走棋，谁使得另一方无棋可走时即获胜，试讨论乙取胜的策略．。

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第十戈讲棋盘彳的赦営 1. 棋盘中的图形与面积； 2. 棋盘中的覆盖问题：（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。

实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。

（3）重要结论：① mXn 棋盘能被2X1骨牌覆盖的条件是. ② 2Xn 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是.3、棋盘中的象棋问题：所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1））,围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））.以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。

这里面■ •■■ ■ ■大脑体操/J L/ \J L □ □ L -1 L J □ □ 厂 1 厂 1 厂 1 厂 1□ J L- JL J厂 1 厂 1 □ □ "1 厂/1 厂/\作业范成情况V%%%%%%%%%%%%% %%%知识梳理(1)(2)⑶与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘屮的数学问题。

解决棋盘屮的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学。

教学重•难点1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问2、利用象棋知识寻找路线；趣味引入特色讲鮮例1 一种骨牌是由形如R 的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？(A) 3X4 (B) 3X5 (C) 4X4 (D) 4X5 (E) 6X3例2下图中的8X8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2X1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？>//!%%% %%>//!%>//!2X1例3在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中:可以用若干块匚匸□和壬拼成的图形是第几号图形?例4 2 X n的方格棋盘能用壬形骨牌覆盖的充分且必尋的条件3|n例5、这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）.黑方有一个“象”，它只能在1, 2, 3, 4, 5, 6, 7位置中的一个，红方有两个“相”, 它们只能在8, 9, 10, 11, 12, 13, 14中的两个位置.问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的而积最大？例6、如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相” 走H1字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置.马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）.当童练习A档1、在4X4的正方形中，至少耍放多少个形如所示的卡片，才能使得在不重壳的情形下，不能再在正方形屮多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）2、能否用9个形如的卡片覆盖6X6的棋盘?L J L J J L J□L?厂厂n□□1厂\ /"1厂/ ...3、有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从屮选出一些拼成一个边长为4的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）4、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形?5、下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。

小学五年级第16讲：棋盘中的数学(教师版)

第十六讲棋盘中的数学1．棋盘中的图形与面积；2．棋盘中的覆盖问题：（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。

实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为三类，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。

（3）重要结论：① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是m、n中至少有一个是偶数．② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是3｜n．3、棋盘中的象棋问题：所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。

这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。

解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学。

1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题；2、利用象棋知识寻找路线；例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4（D）4×5 （E）6×3答案：通过试验，很容易看到，应选择答案（B）．分析：这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题．定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数．例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？答案：我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图），62个格中有黑格 32个，白格 30个．另外，如果用2×1骨牌 31张恰能盖住这个残角棋盘，我们发现，每个骨牌必定盖住一个黑格，一个白格，31个骨牌将盖住31个黑格及31个白格．这与32个黑格数，30个白格数的事实相矛盾．所以，无论如何用这31张2×1的骨牌盖不住这个残角棋盘．分析刚一想，31个2×1骨牌恰有62个小方格，棋盘去掉两个角后也是62个格，好像很有可能盖住．但只要简单一试，便发现不可能．仔细分析，发现如果把棋盘格黑、白相间染色后，2×1骨牌一次只能盖住一个黑格与一个白格．只要发现这个基本事实立即可以找到解答．例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：答案：图形（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因此不能用这两种图形拼成．图形来拼．只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为例．分析：这道类型题用排除法，排除图（1）与（2）的方法是很重要的．因为一个图形可以用这是“必要条件排除法”．但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，但是呢也不表明的就是这种情况．n|3。

五年级数学培优之棋盘中的数学

第十六讲棋盘中的数学例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4（D）4×5 （E）6×3例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：n|3。

例5、这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？例6、如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．A档1、在4×4 的正方形中，至少要放多少个形如所示的卡片，才能使得在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）2、能否用9 个形如的卡片覆盖6×6 的棋盘？3、有若干个边长为1、边长为2、边长为3 的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4 的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）B档4、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？5、下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。

现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？6、用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个？7、用七个1×2的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？8、有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。

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