初高中数学衔接讲座_一_党宇飞

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将 6y + 13y -6分解为 (-2y + 3) ( 3y 2) ,
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x 3y-2 再由十字相乘法得知 : x -2y+3 原式 = ( x +3y 2) ( x 2y +3) . 解法 3 以 y 主元数 , 原式 =6y + ( 13 +x ) y +x + x -6,
2 2
由十字相乘法可知 y+2y 120 =( y + 12) ( y 10) ,故
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= 8a +12ab +6a b+b;
3 2 2 3
( 2) 由差的立方公式得 ; ( 3m-2n )= 27m -54m n+ 36m n -8n;
3 3 2 2 3
( 3) ( a+ 2b +3c )
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= a+ ( 2b )+ ( 3c )+ 4a b +12b c +6a c
2
原式 =( x+3x + 12) ( x+3x 10)
2 2 2 =( x +3x + 12) ( x 2) ( x +5) .
点评 一般两 个式 四个 项相 乘时 , 选两 系 数和 相等项为一组以便换元 .
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第二讲 方 程 【 知识技能要点讲解 】
( 2008 年第 5 期 · 初中版 )
点评 熟知公 式后 还要 灵活 运用 , 这里 特 别说 明 a =1是正确的 , 由已知 a 是不等 于 1 的 , 这 里不
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是求 a 而是 求 a, 以后 学了 复数便 知 . a
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a+1 分
别是立方和 、差 a ±1的因式 , 以后经常会遇到 . 例 4 分解因式 : x +2x +x + 2.
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由十字相乘法易知 ,
· 专题讲座 ·
y+ 3x y + 2x = ( y +x ) ( y +2x ) .
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2008 年第 (
5 期 · 初中版 )
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将 x+ x -6分解为 ( x +3) ( x -2) , -2y x+3 再由十字相乘法可知 3t x-2 故原式可分解为 : (2y +x + 3) ( 3y +x 2) . 【 重难点剖析 】 1. 换元法的技巧 2. 公式的灵活运用 例 7 分解因式 ( x -x 3) ( x-x -5)3.
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± 3a b ( a b ) . 此式也可作为公式运用 . 例 2 计算 . ( 1) ( 2a +b ); ( 2) ( 3m-2n );
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( 2) 3x + 7x -4;
3 2
( 3) x +2007x +2006x + 2007.
4
分析 初中学的几种方法都不好解决题 ( 1) ,怎
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故原式 = ( x+ 5x +8) ( x+6x + 8)=( x+ 5x + 8) ( x + 2) ( x +4) . 点评 当一个多项式中有 几项相同 可采取换 元 简化 . 换元法是简化式子的常用手段 . ( 2) 原式 =3x+3x + 4x 4
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=3x( x + 1)+ 4( x +1) ( x -1) =( x + 1) ( 3x + 4x -4)
2
( 3) ( a +2b + 3c ); ( 4) ( 2x -3y 4z ).
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么办呢 ? 可采取换元简化多项式 . 解: ( 1) 令 y = x+ 4x +8, 则原式 = y +3x y +2x
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解 ( 1) 由和的立方公式得 ( 2a + b )= ( 2a )+ 3× ( 2a )b + 3× 2a · b+ b
+ b c y +b d = x +( a+c ) x y + ( a c ) y+ ( d+ b ) x
2 2
解 原式 =x+2x+x + x+ x -6
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=( x+x ) +x + x -6,
2 2 2
+ ( a d+ b c ) y +b d 故 a+ c = 1, a c =-6, b + d= 1, a d+ b c = 13, b d=-6. 易得 a= 3, c =2, d= 3, b =2或 a=2, d=2, c = b =3. 则原式 = ( x +3y 2) ( x 2y +3) . 点评 此法 叫做 待定 系数 法 , 其 解题 过 程是 先 假定已知多项 式具 有某 种分 解式 , 这个 分解 式中 含 有若干个待定 的字 母系 数 , 然 后应 用多 项式 恒等 的 性质 , 或取多项式中原有的几 个特殊值 , 列得关于 待 定的字母系数 的方 程或 方程 组 , 解 出待 定的 字母 系 数值 . 解法 2 以 x 为主元 , 原式 = x +( y +1) x + (6y + 13y -6) ,
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( 2008 年第 5 期 · 初中版 )
· 专题讲座 ·
初高中数学衔接讲座 ( 一)
4300 华中师大一附中 党宇飞 殷希群
编者按 随着 基础 教育 课程 改革 的推 进 , 初 中 数学教学的理 念 、方 式及 其教 学内 容发 生了 很大 的 变革 , 出现了许多可喜的变化 , 同时由于 在某些方 面 降低了教学要求 , 初中毕业升 入高中的 学生在知 识 、 技能 、思考方 法等诸 多方 面距 离高 中数 学学 习要 求 的差距相对在增大 , 为了解决 初 、高中数 学教材在 某 些基础知识 内容 上出 现的 “脱 节 ”和 “不 协调 ”等 情 况 , 有效解决 初 、高 中数 学教 学的 衔接 问题 , 本刊 从 这期开始将连续刊登由华中 师大一附中 特级教师 党 宇飞 、殷希群 老师 编写 的初 高中 数学 衔 接教 材 — — — 《准备做个高中生 》, 供初高中数学衔接教学之用 . 第一讲 乘法公式与因式分解 【 知识技能要点讲解 】 初中已学了平方差及和 、差 的平方 公式 , 这些 公 式远远不够 . 高中经常要用到的还有以下乘法公式 : 1. 立方和 ( 差) 公式 a± b =( a ±b ) ( a a b + b) .
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分析 所给的 多项 式四 项中 , 分为 两组 后 可看 出有公因式 x +2, 于是有公因式提出 . 解 x+2x+x +2 = x( x + 2)+( x + 2)
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8n -6m n ( m-2n ) .
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=( x + 2) ( x+1) .
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解 ( 1) 原式 =x + y+ 3xy + 3x y= ( x +y ).
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2. 和( 差) 的立方公式 ( a ±b ) =a ±3ab + 3a b±b.
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可知 ( a -1) ( a+ a+ 1)= 0,
2
3. ( a +b +c )= a +b + c+2( a b + b c + c a ) .
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即 a 1= 0, 故 a = 1.
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=a + 4b +9c + 4a b + 12b c + 6a c ;
2 2
( 4) ( 2x -3y 4z )
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= 4x + 9y + 16z12x y+ 24y z -16x z .
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点评 用公式 计算 时不 要忘 了系 数 ; 交 叉 项的 乘积与该项自身的符号有关 . 例 3 已知 a +a +1 =0, 求 a的值 .
· 专题讲座 ·
( )
的解与 x + 3x =a 的解
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1. 解方程的基础是解一次方程 ( 组) 和一元 二次 方程 . 解一元二次方程的方法有 : 配方法 , 公式法 , 因 式分解法 ( 包括便捷常用的 “十字相乘法 ” ) . 2. 解方程组的基本思路是通过 “消元 ”转化 成一 元方程求解 . 3. 解简单一元高次方程的基本思路是 “降次 ”为 一次或二次方程 , 常用方法是因式分解法 、换元法 . 4. 解绝对值方程的基本思路是 “分段 ”讨论 去绝 对值或平方法去绝对值 . 5. 解分式方程和无理方程的 基本思 路是化为 整 式方程来求解 . 分式方程化 为整式 方程的 常用方 法 有去分母和换 元法 ; 无理 方程 化为 整式 方程 的常 用 方法有平方法和换元法 . 6. 解分式方 程和 无理 方程 都有 可能 产 生增 根 , 因此解完所化整式方程后必须验根 . 7. 解方程应 用问 题 , 最 重要 的是 依据 题 意合 理 设出未知量 , 然后找出相等关系列出方程求解 . 【 例题选讲 】 例 1 7已知关于 x 的方程 ( m-2) x m= 0. ( 1) 当实数 m为何值时 , 该方程有实数根 -3; ( 2) 当 m是什么整数时 , 该方程有整数解 . 解 ( 1) x = -3使方程成立 , 有 -3( m2) -m=0, 3 ∴ m= . 2 3 故当 m= 时 , 原方程有实数根 3; 2 ( 2) 原方程化为 ( m-2) x = m, 当 m-2 =0时 , 方程无实数解 . 方程 ( m-2)x = m有 整数解 , 则 必须 m2 ≠0 m 且 x = 是整数 , m2 ( m2)+ 2 2 即 x = = 1+ 是整数 . m-2 m2 ∵ m是整数 , 2 ∴ 只有当 m-2 =-2, -1, 1, 2 时 , 1 + m-2 是整数 , 于是当 m=0, 1, 3, 4时 , 原方程有整数解 . 点评 解 决题 ( 1) , 主要 是 利用 方程 的解 ( 根) 必使方程成立这 一性质 ; 解决 本题 ( 2) , 主 要是把 分 m 2 式 化简为 1 + , 利 用整数 的性 质讨 论分 式 m-2 m-2 2 为整数的几种情况 . m-2 1 1 2 例 2 关于 x 的方程 x +3x +2 =a +2 x-1 x-1
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即 ( x-x 2) ( xx -6)
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百度文库
=( xx +2007) ( x+ x +1) ;
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=( x + 1) ( x 2) ( x +2) ( x -3) . 点评 换元时常取常数项的中值 . 例 8 分解因式 : ( a+ b ) ( b + c ) ( c + a )+ a b c . 解 令 y= ( a+ b +c ) 原式为 ( y -c ) ( y -a ) ( y b )+a b c = y( a+ b +c ) y+ ( a b + b c +a c ) y
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= ( a b + b c +c a ) ( a+ b +c ) . 点评 换元时总是找 “中心 ”或各因式 的公共部 分 , 以简化式子为核心 . 例 9 x +2x+2x+x 6.
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解法 1 则原 式 =x +c x y+d x+a x y+a c y +a d y+b x
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即[ ( x + 1) 1] [ ( x +2) 1)-120] .
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解 原式 =( x + 2) x ( x +3) ( x + 1)-120 =( x+3x ) ( x+ 3x +2)120,
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此时可用换元法 令 y =x+3x ,则
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原式 =y ( y +2)120 y+2y 120,
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分析 常用的方法是将 a 的值求出后再求 a的
3
值 , 但初中所学知识求不出 a , 那么 如何求 a呢 ? 必
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须把 a表示出来 . 由 已知 不难看 出 a +a+1 正好
3 2
是 a -1 的一个因式 , 即
3 3
a1 =( a1) ( a +a +1) .
3 2
于是 a就表示出来了 . 解 由 a +a +1 =0
3 3
注 公式的排序特征 ①各 项次数相 等 ②按字 母 顺序升 ( 降) 幂排 列 . 运 用乘 法公式 进行 化简时 , 注 意公式的灵活运用 . 4. 因式分解 是重要 的代 数变形 方法 , 除 初中 所 学提取公因式法和应用公式 法之外还须 掌握十字 相 乘法 、分组分解法 、换元法 、待定系数法等 . 【 例题选讲 】 例 1 化简 : ( 1) x +y +3x y ( x +y ) ; ( 2) m 3 3 3
3 2
点评 当几种基本方法都 不适用时 一般采取 添 折项造出公因式或能分解的 公式从而达 到因式分 解 的目的 . 例 6 分解因式 x +x y 6y +x + 13y 6.
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分析 此式 不易 看出 与所 学公 式相 关 , 若采 用 公式法不便分 解 , 不 妨由 多项 式相 等原 理待 定系 数 设 x+ x y 6y + x + 13y 6= ( x + a y + b ) ( x + c y + d )
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=( x + 1) ( 3x 2) ( x +2) ; ( 3) 原式 =x x +2007( x+ x +1)
4 2
解 令 y = xx -4, 则原式为
2 2 y -4 =( y + 2) ( y 2) ,
=x ( x -1)+ 2007( x+x +1)
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=[ x ( x -1)+2007] ( x+ x +1)
3 3 2
点评 当一个 多项 式项 数较 多时 , 可考 虑 分组 分解 . 例 5 分解因式 : ( 1) ( x+ 4x +8) + 3x ( x+4x + 8)+ 2x;
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( 2 )原 式 = m - (2n ) - 6m n + 12m n
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=( m-2n ).
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点评 立方和 、 差的公式可变形为 ( a ± b )= a± b
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令 y =x+x , 则有 y + y -6, 即 ( y +3) ( y 2) ,
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亦即 ( x+x + 3) ( x+ x -2)
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=( x+x + 3) ( x +2) ( x -1) .
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例 10 分解因式 : ( x+2x ) ( x+ 4x +3)120 =0.
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分析 此式是 4 次式 没 有明 显的 公式 可 套用 , 但可凑出公式 . ( x+2x + 11) ( x+4x + 41)-120,