4.5 利用三角形全等测距离

三、应用例析
例2.已知：A、B两点 之间被一个池，说明依 据。
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方案1： 见课本P108
❖ 已知的是什么? ❖ 求证的什么?
小明的理由：
在△ABC和 △ DEC中 E
AC=DC, ∠ACB= ∠DCE BC=EC ∴△ABC≌ △ DEC
6
A
？
碉堡距离
步测距离
如图,已知AB ⊥CD于B ,∠1=∠2. 求证：BC=BD.
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思考
• 你相信这个故事中的测量方法能够测量出我军与 碉堡的距离吗?
• 那位同学能给大家演示一下这种方法呢？ • 你可以把我们的战士的想法用图示表示出来吗？
和同伴交流你的看法。 • 战士这么测量的依据是什么? • 你能解释其中的道理吗?
解：因为AB∥CD,所以∠B=∠C.
在△BME和△CMF中，
∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF，
所以△BME≌△CMF(ASA)，所以 BE=CF.
故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
五、课堂小结
利用三角形全等解决实际问题的一般步骤： ① 先明确实际问题应用那些知识来解决。
② 根据实际问题抽象出几何图形。
∴AB=DE
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•C D
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B
方案2 ：如图,找一点D,
作直线AM,作BD⊥AD,延
长AD至C,使CD=AD，连结
BC,量BC的长即得AB的长。
M
A
D
C
理由：在Rt △ ADB与Rt △ CDB中
BD=BD ∠ADB=∠CDB AD=CD
∴△ ADB≌ △ CDB(SAS)
∴ BA = BC
A
●
●
BC
DF E
2.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，
问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足
下列 的哪个条件？（ D ）
A. AO=CO， B. BO=DO C. AC=BD， D. AO=CO且BO=DO
A D
O
B
C
3. 如 图 ， 公 园 里 有 一 条 “ Z” 字 型 道 路 ABCD ， 其 中 AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石 凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一 直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法 直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？ 请说明其中的道理.
结AD,作BC∥ AD,并截取
BC=AD，量出CD即可.
•
•
证明：∵ BC∥ AD （已知） D
C
∴∠1=∠2 (两直线平行，内错角相等）.
在△ABC与△CAD中
BC=AD(已知 )
∠1=∠2 (已证）. AC=CA（公共边).
∴△ABC≌△CAD( SAS ) ∴AB=DC （全等三角形的对应边相等）
三、应用例析
例1.如图,已知AB ⊥CD于B ∠1=∠2.求证：BC=BD.
证明：∵AB ⊥CD（已知）
A
∴∠ABC=∠ABD=90°(直角定义）.
在△ABC与△ABD中
∠ABC=∠ABD (已证）.
AB=AB(公共边 ) C
B
D
∠1=∠2（已知).
∴△ABC≌△ABD( ASA) ∴BC=BD （全等三角形的对应边相等）
1.要证明两个三角形全等应有哪些必要条件？ （1）“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等. （2）“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个 三角形全等.
（3）“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的 两个三角形全等. （4）“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的 两个三角形全等.
2.两个全等的三角形有哪些性质？ （1）全等三角形的对应边相等； （2）全等三角形的对应角相等.
北师大版七年级数学下册
第四章 三角形
§4.5 利用三角形全等测距离
学习目标
1.复习并归纳三角形全等的判定及性质； 2.能利用三角形的全等解决实际问题,体会数学与实际 生活的联系. 3.能在解决问题的过程中进行有条理地思考和表达.
学习重点和难点
能够根据三角形全等测定两点间 的距离，并解决实际问题
一、复习导入
③ 结合图形和题意分析已知条件,由“已知”想“可知”.
④ 找到已知和未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表 述清楚。 测量不能测或无法测的距离时,可以 转化为 构建两
个全等三角形,利用“全等三角形对应边相等”来解决.
课后作业
课本第109页：习题4.10：第1,2,3题
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方案3 ：如图,过点B作 BC⊥AB,取BC的中点E，连
A·
· · · 结AC并延长,与BC的垂线CD
C
交于点D，量出CD的长即得 B E
AB的长。
理由：在△ ABE和△ DCE中
D·
∠B=∠C=90°
BE=CE
∠AEB=∠DEC
∴△ABE≌△DCE
∴AB=CD
方案4：在平地上取点D,连
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四、巩固练习
1. 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在 AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出 BF 的 垂 线 DE ， 可 以 证 明 △ EDC≌△ABC ， 得 ED=AB ， 因 此 ， 测 得 ED 的 长 就 是 AB 的 长 . 判 定 △EDC≌△ABC的理由是( B ) A.SSS, B.ASA, C.AAS, D.SAS
二、探究新知
例1.在解放战争的一 次战役中，我军阵 地与敌人碉堡隔河 相望，需要知道碉 堡与我军阵地的距 离。在不能过河测 量又没有任何测量 工具的情况下，一 位战士利用他头上 的帽子就测出了我 军阵地与敌人碉堡 的距离。想出了一 个办法，为成功炸 毁碉22:堡13 立了一功。
你知道他用的是什么方 法？其中的原理是什么？