高一数学必修一函数专题：奇偶性
2024-2025学年高一数学必修第一册(人教B版)函数的奇偶性(综合)-课件
例 8 已知函数 = 2 + 4 + 6, 求证: 的图像关于直线 = −2对称.
y
分析 只需要证明图像上所有的点关于直线的
对称点还在图像上即可.
O
x ＝ －2
x
例 8 已知函数 = 2 + 4 + 6, 求证: 的图像关于直线 = −2对称.
证明 在 的图像上任取点 0, 0 , 设 P 关于 = −2对
图所示, 若 f (2) = 0, 则使得 ≥ 0的 x 的取值范围是____________.
y
5
－5
－2
O
2
x
例 1′ 已知函数()是定义在 −5,5 上的奇函数, 它在 −5,0 上是增函数,
−2,0 ⋃ 2,5
若 2 = 0, 则使得 ≥ 0的 x 的取值范围是____________.
y
称的点为 1, 1 .
由
0+1
= −2,得
2
1
1 = 0
= −4 − 0, 即 −4 − 0, 0 .
Q(－4 －x0 ,y0 )
P(x0 ,y0 )
∵ −4 − 0 = −4 − 0 2 + 4 −4 − 0 + 6 = 20 + 40 + 6,
而0 = 0 =
分析 先将不等式变形成 1 > 2 的形式, 再利用函数 的单调性
去掉 “f ”, 得到1和2的大小关系, 即关于 m的不等式.
例 4 设函数 定义域为 −2,2 , 且在区间 0,2 上为减函数.
(1) 若 为奇函数, 且 + − 1 > 0, 则实数 m的范围为_______;
3.2.2函数的奇偶性一-高一数学人教A版必修一同步课件
x -3 -2 -1 0 1 2 3
g(x) 1 1 1
3
2
1 11 23
一三、学点习拨目精标讲（28分分钟钟））
奇函数：
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果 x I ，都 有－x I 且 f(－x)=－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
奇函数图象有什么特征？ 关于原点成中心对称
3、若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a ＝___13_____，b＝_0_____
3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即
若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)成立.
若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)成立.
4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数
f(x)具有奇偶性.
当奇函数在x=0处有意义时，
函数值f（0）=0
三、点拨精讲（28分钟） 函数奇偶性的判断方法
偶函数图象有什么特征？ 关于y轴成轴对称
三、点拨精讲（28分钟）
下列函数是偶函数的是( A )
A.f(x)=x2
B.f(x)=x+1
C.f(x)=x3
D.f(x)=-x+2
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋ 2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． ●(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象； ●(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； ●(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
高一数学第一册第三章：
函数的概念及性质
第一节：函数的奇偶性（一)
对称是大自然的一种美！
对称美在数学中随处可见
一、学习目标（2分钟）
高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
函数的奇偶性第一课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
A.－7
B.－5
C.－3
D.3
解析 ∵f(2 020)＝a×2 0203＋b×2 020－2＝3， ∴a×2 0203＋b×2 020＝5， ∴f(－2 020)＝－a×2 0203－b×2 020－2 ＝－5－2＝－7. 答案 A
一个函数的部分可能 具有奇偶性，注意要 善于观察利用。
课堂精讲
已知 f(a)求 f(－a)，判断 f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性 的函数，利用奇偶性找出 f(a)与 f(－a)的关系即可.
判断函数是非奇非偶函数 ，只需找一适当的不符合 奇偶函数定义的特例即可
解 对任意 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)， 则函数 f(x)为偶函数；
则 f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， 即 f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)， 则函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
②当 a≠0 时，f(x)＝x2＋ax(x≠0)， 取 x＝1，得 f(1)＝1＋a，取 x＝－1， 得 f(－1)＝1－a，
综上所述，当 a≠0 时， 函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数； 当 a＝0 时，函数 f(x)为偶函数.
课堂精讲
角度 4 含参函数奇偶性的判断 【例 1－4】 判断下列函数的奇偶性：
求证：f(x)为偶函数；
(3)若函数 f(x)的定义域为(－l，l)(l>0)，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数.
(3)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)，
又 F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
可见 f(－x)的定义域也是(－l，l).
G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]
高一数学函数的奇偶性(经典复习资料)
〖一方教育〗函数的奇偶性一、函数奇偶性的判断：1、定义域关于原点对称；2、奇函数()()x f x f -=-，偶函数()()x f x f =-；3、奇函数图像关于原点对称、偶函数图像关于y 轴对称。
1、奇偶性的判断①242)(x x x f +=; ②]1,1(,2)(3-∈+=x x x x f ; ③32)(2++=x x x f ;④24)(---=x x x f ;⑤2)(=x f ;⑥]2,1(,0)(-∈=x x f .⑦22)(34--=x x x x f ; ⑧|1||1|)(++-=x x x f ; ⑨xx x x f -+-=11)1()(; ⑩作出函数32)(2--=x x x f ;的图像.并判断函数)(x f 奇偶性（11）.求证：函数⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y 是奇函数。
二、奇偶性的性质2、求值①已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，求(0)f 的值．②已知函数2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，求实数m 的值．③已知f(x)=x 5+2x 3+3x-8, f(-2)=10, f(2)=④若(),155,8)(57-=-+++=f cx bx ax x f 求)5(f . ⑤设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则()7.5f = 。
⑥已知函数y=()f x 是定义域为R 的偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2-4x,试求方程f(x)=-3的解集。
3、求解析式①已知函数)(x f y =在R 上是奇函数,且在),0(+∞x x x f 2)(2-=,求)(x f 解析式.②已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f(x)=x |x －2|，求x<0时，f(x)的解析式．③已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x>0时，f(x)=x 2-2x+1,试求函数y=f(x)的表达式，并画出y=f(x)的图象。
高一数学必修一函数重点知识整理
高一数学必修一函数重点学问整理学习数学时要努力当课堂的仆人。
要认真思考老师提出的每一个问题，认真观看老师的每一个演示试验，大胆举手发表自己的看法，主动参与课堂商量。
下面是我为大家整理的有关高一数学必修一函数重点学问整理，期望对你们有关怀!高一数学必修一函数重点学问整理1. 函数的奇偶性(1)假设f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;(2)假设f(x)是奇函数，0在其定义域内，那么 f(0)=0(可用于求参数);(3)推断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);(4)假设所给函数的解析式较为冗杂，应先化简，再推断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有违反的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：假设的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;假设f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);争辩函数的问题确定要留意定义域优先的原那么。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)假设函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，那么y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a0)恒成立,那么y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)假设y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，那么f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)假设y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，那么f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)假设y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，那么f(x)是周期为2 的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，那么函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，那么y=f(x)是周期为2 的周期函数;5.方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);6.a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;7.(1) (a0,a≠1,b0,n∈R+);(2) l og a N= ( a0,a≠1,b0,b≠1);(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆;(4) a log a N= N ( a0,a≠1,N0 );8. 推断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必需都有象且唯一;(2)B中元素不愿定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有违反的象;9. 能娴熟地用定义证明函数的单调性，求反函数，推断函数的奇偶性。
高一数学人必修一课件时函数奇偶性的定义与判定
06
函数奇偶性的深入理解
奇偶性与函数周期性的关系
奇偶性是函数周期性的一种特 殊表现
奇偶性函数必定有周期性，但 周期性函数不一定有奇偶性
奇偶性函数周期性的判断可以 通过观察函数的图像或解析式 来实现
奇偶性函数周期性的应用在解 决实际问题中具有重要意义， 如信号处理、控制系统设计等
奇偶性与函数单调性的关系
反函数法：通过反函数判断其奇偶 性
图像法：通过观察函数图像判断其 奇偶性
02
复合函数法：通过复合函数判断其 奇偶性
04
特殊值法：通过特殊值判断其奇偶 性
06
04
函数奇偶性的性质
奇偶性对函数图像的影响
奇函数：关于原点对称，图像关于y轴对称 偶函数：关于y轴对称，图像关于x轴对称 非奇非偶函数：既不关于原点对称，也不关于y轴对称 奇偶性对函数图像的影响：决定了函数图像的对称性和周期性
奇偶性对函数值的影响
奇函数：f(-x)=-f(x)，函数值关于原点对称
偶函数：f(-x)=f(x)，函数值关于y轴对称
非奇非偶函数：既不是奇函数也不是偶函数 奇偶性对函数图像的影响：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关 于y轴对称，非奇非偶函数的图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。
奇偶性对函数运算的影响
函数奇偶性的定义 与判定
汇报人：
目录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 函 数 奇 偶 性 的 定 义 03 函 数 奇 偶 性 的 判 定 方 法 04 函 数 奇 偶 性 的 性 质 05 函 数 奇 偶 性 的 应 用 06 函 数 奇 偶 性 的 深 入 理 解
01
添加章节标题
在解决实际问题中的应用
高一数学函数知识点
高一数学函数知识点考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备，对于数学更加要进行复习归纳。
下面就让小编给大家分享一些高一数学必修一函数知识点总结吧，希望能对你有帮助!高一数学函数知识点11. 函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;高一数学函数知识点2(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);6.a≥f(x) 恒成立a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立a≤[f(x)]min;7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;9. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
高一数学必修一函数知识点总结归纳
高一数学必修一函数知识点总结归纳1.函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数;5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1); (3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);8.判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
高一数学人必修一课件时函数奇偶性的应用
奇偶性在三角函数中的应用
三角函数的奇 偶性定义： sin(x)、cos(x)、 tan(x)的奇偶性
三角函数的奇偶 性性质：sin(-x) = sin(x)，cos(-x) = cos(x)，tan(-x) = -tan(x)
三角函数的奇偶 性应用：求解三 角方程、判断三 角函数的单调性、 求三角函数的最 值等
解析法：通过解析式判断其 奇偶性
特殊值法：通过选取特殊值 判断其奇偶性
奇偶性的性质
函数的奇偶性是指函数值与自变量之间 的关系
奇函数：f(-x)=-f(x)
偶函数：f(-x)=f(x)
非奇非偶函数：既不是奇函数也不是偶 函数
奇偶性的判断方法：通过观察函数图像 或利用定义进行判断
03
函数奇偶性的应用场景
奇偶性与函数极限的关系
奇偶性是函数极限存在的 必要条件
奇偶性可以帮助我们判断 函数极限是否存在
奇偶性在求解函数极限问 题时具有重要作用
奇偶性与函数极限的关系 是函数极限理论的重要内
容
奇偶性与积分的关系
奇偶函数与积分的关系：奇函数和偶函数的积分性质 奇偶函数与积分的关系：奇函数和偶函数的积分公式 奇偶函数与积分的关系：奇函数和偶函数的积分应用 奇偶函数与积分的关系：奇函数和偶函数的积分计算方法
函数图像的对称性质
偶函数：关于y轴对称
奇函数：关于原点对称
非奇非偶函数：既不关于原 点对称也不关于y轴对称
复合函数的对称性：根据奇 偶性判断复合函数的对称性
函数值的变化规律
奇函数：f(-x)=-f(x)， 函数值关于原点对 称
偶函数：f(-x)=f(x)， 函数值关于y轴对称
非奇非偶函数：既 不是奇函数也不是 偶函数，函数值没 有特定的对称性
高一数学必修1第一章-函数奇偶性
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义教学目标2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系重难点 3.会求一些简单函数的定义域、函数值。
【知识回顾与能力提升】1．定义域为I的函数f(x)的增减性2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格)的单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3．最大值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．4．最小值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．规律方法判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性．跟踪演练1(1)下列函数为奇函数的是()A．y＝|x| B．y＝3－xC．y＝1x3D．y＝－x2＋14(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数答案(1)C(2)A解析(1)A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．(2)∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．要点二利用函数奇偶性研究函数的图象例2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如下图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．答案(－2,0)∪(2,5)解析因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如下图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．规律方法给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象．作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0)．跟踪演练2设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________________________．答案 {x |－5≤x ＜－2，或2＜x ≤5}解析 由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以可根据对称性确定不等式f (x )＜0的解．∵当x ∈[0,5]时，f (x )＜0的解为2＜x ≤5，所以当x ∈[－5,0]时，f (x )＜0的解为－5≤x ＜－2.∴f (x )＜0的解是－5≤x ＜－2或2＜x ≤5.要点三 利用函数的奇偶性求解析式例3 已知函数f (x )(x ∈R )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝2x －1，求函数f (x )的解析式．解 当x ＜0，－x ＞0，∴f (－x )＝2(－x )－1＝－2x －1.又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2x ＋1.又f (x )(x ∈R )是奇函数，∴f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴所求函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x ＞0，0，x ＝0，2x ＋1，x ＜0.规律方法 1.本题易忽视定义域为R 的条件，漏掉x ＝0的情形．若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0.2．利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x ，则－x 在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f (x )的奇偶性，求待求区间上的解析式．跟踪演练3 (1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在R 上的解析式是( )A ．f (x )＝－x (x －2)B ．f (x )＝x (|x |－2)C ．f (x )＝|x |(x －2)D ．f (x )＝|x |(|x |－2)(2)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)等于( ) A ．－2 B ．0C ．1D ．2答案 (1)D (2)A解析 (1)∵f (x )在R 上是偶函数，且x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，∴当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )2＋2x ＝x 2＋2x ，则f (x )＝f (－x )＝x 2＋2x ＝－x (－x －2)．又当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ＝x (x －2)，解析 ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，又a －1＝－2a ，∴a ＝13，∴a ＋b ＝13. 6．偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f (x )的增区间为________．答案 [－1,0]，[1，＋∞)解析 偶函数的图象关于y 轴对称，可知函数f (x )的增区间为[－1,0]，[1，＋∞)．7．已知f (x )是R 上的偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2＋x －1，求x ∈(－∞，0)时，f (x )的解析式．解 设x <0，则－x >0.∴f (－x )＝(－x )2＋(－x )－1.∴f (－x )＝x 2－x －1.∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )＝x 2－x －1.∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2－x －1.二、能力提升8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 答案 A解析 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23，故选A. 9．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 B解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)．又g (x )是偶函数，∴g (－1)＝g (1)．∵f (－1)＋g (1)＝2，∴g (1)－f (1)＝2.①又f (1)＋g (－1)＝4，∴f (1)＋g (1)＝4.②由①②，得g (1)＝3.。
(word完整版)高一数学必修一函数专题
高一数学必修一函数专题(教师版)一.函数的奇偶性.(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称•(2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性)：①定义法；f(x) f( x) 0②利用函数奇偶性定义的等价形式：f( x) 1( f(x) 0).f (x)③图像法：奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.(3)函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反•②若f (x)为偶函数，贝U f( x) f (x) f (| x |).③若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f(0) 0.④奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.二.函数的单调性1. 函数单调性的定义：(1)如果函数f x对区间D内的任意x-! ,x2，当x1 x2时都有f % f x2，则f x在D内是增函数；当x1 x2时都有f为f x2，则f x在D内是减函数.(2)设函数y f (x)在某区间D内可导，若f X 0，则y f (x)在D内是增函数；若f x 0，则y f (x)在D内是减函数.2•单调性的定义的等价形式：(1)设x1 ,x2 a,b，那么匚勺——^-x^ 0 f x在a,b上是增函数；x1 x2(2) --------------------------------------- 设x1 ,x2 a,b，那么f x2 0 f x 在a,b 上是减函数；x1 x23.证明或判断函数单调性的方法：(1) 定义法：设元作差变形判断符号给出结论•其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘积、平方和等形式，再结合变量的范围，假设的两个变量的大小关系及不等式的性质作出判断；⑵复合函数单调性的判断方法：即“同增异减”法，即内层函数和外层函数的单调性相同，则复合函数为增函数；若相反，则复合函数为减函数•解决问题的关键是区分好内外层函数，掌握常用基本函数的单调性；(3)图象法：利用数形结合思想，画出函数的草图，直接得到函数的单调性；(4)导数法：利用导函数的正负来确定原函数的单调性，是最常用的方法.(5)利用常用结论判断：①奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；②互为反函数的两个函数具有相同的单调性；③在公共定义域内，增函数f(x)增函数g(x)是增函数；减函数f(x)减函数g(x)是减函数；增函数f (x)减函数g(x)是增函数；减函数f (x)增函数g(x)是减函数；④复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减,特别提醒：求单调区间时，勿忘定义域，三.函数的周期性.(1)类比“三角函数图像”得：①若y f (x)图像有两条对称轴x a,x b(a b)，则y f (x)必是周期函数，且一周期为T 2|a b| ；②若y f (x)图像有两个对称中心A(a,O), B(b,O)(a b)，则y f(x)是周期函数，且一周期为T 2|a b| ；③如果函数y f (x)的图像有一个对称中心A(a,O)和一条对称轴x b(a b)，则函数y f(x)必是周期函数，且一周期为T 4|a b| ；(2)由周期函数的定义“函数f(x)满足f x f a x (a 0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：函数f (x)满足 f x f a x，则f(x)是周期为2a的周期函数。
3.2.2函数的奇偶性(课件)高一数学(湘教版2019必修第一册)
. ( ， + ∞)
2
答案：.
1
. (−∞， )
2
).
1
. ( ，2)
2
1
. [−2， )
2
课堂小结&作业
小结：
1.偶函数、奇函数的定义及其几何意义；
2.判断奇偶函数的思路；
3.各题型的注意事项.
作业：
1.课本P83的1、2、3题；
2.课本P84的习题3.2的4、5、6、7、11、12、13题.
2
3
. (2) < (− ) < (−1)
2
3
. (2) < (−1) < (− )
2
3
. (−1) < (− ) < (2)
2
解：据题意得： () 为偶函数，且在区间 （ − ∞， − 1] 上是增函数.
∴(2) = (−2) .
3
又∵−2 < − < −1
2
∴(−2) <
∵()为上的偶函数
∴当 > 0时，() = (−) = ( + 1).
练习
方法技巧：
利用函数奇偶性求分段函数的解析式
(1)定义域：根据已知定义域(正或负)的解析式，写出另一边的解析式.
(2)写成分段函数的形式，通常不会出现 = 0，如果出现也需要特殊说明.
练习
变3.已知函数()是上的奇函数，且当 ∈ （0， + ∞）时，() =
同理可证：奇函数就是满足条件(−) = −()的函数.
上面的讨论概括如下：
(1)如果对一切使 () 有定义的 ， (−) 也有定义，并且 (−) = ()成立，
则称()为偶函数；
高一上册数学第一章4《函数的奇偶性》讲义
知识点一：函数奇偶性的定义1、函数奇偶性的定义（1）如果对于函数()f x 定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，则函数()f x 就叫做偶函数；（2）如果对于函数()f x 定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，则函数()f x 就叫做奇函数；（3）如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性。
2、具有奇偶性的函数图象特点：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称， 那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数 是偶函数。
【题型一】概念应用例1、已知函数2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，其定义域为[2,1]a a -,则函数的值域为 。
变式：已知函数()f x 为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程()0f x =的所有实根之和为 。
【题型二】判断奇偶性例2、下列函数是否具有奇偶性.(1) 3()35f x x x =- (2) 2()3||1f x x x =--(3) 22()22f x x x =-+-; (4) 2|2|2()1x f x x --=-(5) 22230()230x x x f x x x x ⎧++<=⎨-+->⎩ （6）1()(1)1x f x x x +=--例3、已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 . ① ()||y f x =; ②()y f x =-; ③()·y x f x =; ④()y f x x =+.【题型三】利用奇偶性求值例4、若函数3()7f x ax bx =++,有(5)3f =,则(5)f -= 。
变式1：(),()f x g x 都是定义在R 上的奇函数，且()()()35g 2F x f x x =++,若()F a b =,则()F a -= 。
高一数学人教版必修一函数的奇偶性 PPT课件 图文
猜想： f(x)f(x)
x ..3.2 1 0 1 2 3..
... f (x) x2
941
0
14
9..
偶函数的定义
一般地，如果对函数 f (x) 的定义域内任意一个 x, 都有f (x) f (x)， 那么函数 f (x)就叫偶函数 .
类比&探究
f(1)f(1) f(2)f(2) f(3)f(3)
1.3.2函数的奇偶性
必修1（人教版）
故宫
女子跳水10米跳台决赛，正反跳映衬对称美
数学&生活
生活中的对称美引入我们的数学领 域中，它又是怎样的情况呢？
请同学们观察下列函数图形，说出 他们各有怎样的对称性？
问题与思考
以上函数图像有什么共同特征呢？ 哈哈，我来回答
以上函数图像都关于y轴对称
把图像关于y轴对称函数称为偶函数
问题与思考
以上函数图像有什么共同特征 呢？
以上函数图像都关于原点对称
把图像关于原点对称函数称为奇函数
根据下列函数图象,判断其奇偶性.
y
y
o
奇函数
x
o
x 偶函数
y
b
oLeabharlann x 偶函数yo
x 奇函数
观察 & 发现
f(1)1f(1)
f(2)4f(2)
f( 3)9f(3) ……
2.两个性质:
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。 一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。
3. 判断函数奇偶性的方法和步骤
我来总结
判断函数的奇偶性，注意定 义域优先
1.
课堂小结
f ( x )是 函数f (x)的图像 对函数 f (x)的定义
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高一数学必修一函数专题：奇偶性第一部分：常见的奇函数和偶函数常见奇函数：第一种：nx x f =)(（n 为奇数）例：x x f =)(；x x x f 1)(1==-；3)(x x f =；331)(xx x f ==-。
第二种：n x x f =)(（n 为奇数）例：331)(x x x f ==；515)(x x x f ==。
第三种：)sin()(x A x f ϖ=例：)2sin()(x x f =；)sin()(x x f --=；x x f sin 21)(=。
第四种：)tan()(x A x f ϖ=例：x x f tan )(=；)21tan(2)(x x f --=；x x f tan 3)(=。
常见偶函数：第一种：n x x f =)(（n 为偶数）例：2)(x x f =；221)(x x x f ==-；4)(x x f =；441)(x x x f ==-。
第二种：c x f =)(（c 为常数）例：2)(=x f ；21)(-=x f 。
第三种：)cos()(x A x f ϖ=例：)cos(3)(x x f -=；)2cos(21)(x x f =；)cos()(x x f -=。
第四种：|)(|)(x g x f =（)(x g 为奇函数或者偶函数）例：|)sin(2|)(x x f -=；||)(4x x f =；|tan |)(x x f =；|)21cos(|)(x x f -=。
两种特殊的奇偶函数：第一种：)()()()(x f x g x g x f ⇒-+=是偶函数例：x x e e x f -+=)(，假设：)()()()()()(x f x g x g x f e x g e x g x x ⇒-+=⇒=-⇒=-是偶函数。
第二种：)()()()(x f x g x g x f ⇒--=是奇函数例：x x x f 313)(-=，假设：)()()()(313)(3)(x f x g x g x f x g x g xx x ⇒--=⇒==-⇒=-是奇函数。
)2ln()2ln(22ln )(x x xx x f --+=-+=，假设：)2ln()(x x g +=)()()()2ln()(x g x g x f x x g --=⇒-=-⇒)(x f ⇒是奇函数。
第二部分：奇偶函数的四则运算加减规则：规则一：奇函数相加减之后仍为奇函数。
规则二：偶函数相加减之后仍为偶函数。
规则三：既有奇函数，又有偶函数相加减之后为非奇非偶函数。
例：xx x x x f 1tan 3)sin(2)(3--+-=，)sin(2x y -=是奇函数，x y tan 3=是奇函数，3x y =是奇函数，xy 1=是奇函数)(x f ⇒是偶函数。
例：2|sin |1)cos(23)(22-+--+=x x x x x f ，23x y =是偶函数，)cos(2x y -=是偶函数，21xy =是偶函数，|sin |x y =是偶函数，2=y 是偶函数)(x f ⇒是偶函数。
例：21)2cos(sin )(3+--+-=x x x x x f ，x y sin -=是奇函数，)2cos(x y =是偶函数，3x y =是奇函数，xy 1=是奇函数，2=y 是偶函数)(x f ⇒是非奇非偶函数。
乘除规则：规则一：参与乘除的奇偶函数中奇函数个数为奇数，这个函数是奇函数。
规则二：参与乘除的奇偶函数中奇函数个数为偶数，这个函数是偶函数。
例：xx x x x f tan )2sin(2)cos(3)(3-=，33x y =是奇函数，)cos(x y -=是偶函数，)2sin(2x y =是奇函数，x y tan =是奇函数，其中奇函数个数为3)(x f ⇒是奇函数。
例：)cos(|||sin |)(32x x x x x f -=，2x y =是偶函数，|sin |x y =是偶函数，||3x y =是偶函数，)cos(x y -=是偶函数，其中奇函数个数为)(0x f ⇒是偶函数。
例：)sin(2sin )(32x x x x x x f -+-=，分子：2x y =是偶函数，x y 2sin =是奇函数x x y 2sin 2=⇒是奇函数；分母：3x y =是奇函数，x y =是奇函数，)sin(x y -=是奇函数)sin(3x x x y -+-=⇒是奇函数，分子分母中有2个奇函数)(x f ⇒是偶函数。
例：)tan(sin 23)2cos(3)(32x x x x x x f -+-+-=，分子：23x y =是偶函数，)2cos(x y =是偶函数，3=y 是偶函数3)2cos(32+-=⇒x x y 是偶函数；分母：3x y =是奇函数，x y sin 2=是奇函数，)tan(x y -=是奇函数)tan(sin 23x x x y -+-=⇒是奇函数，分子分母中有1个奇函数)(x f ⇒是奇函数。
第三部分：构造奇偶函数构造奇函数：例题一：已知：函数22tan sin )(3+=xx x x f ，2)1(-=f 。
计算：)1(-f 的值。
解答：3x y =是奇函数，x y sin =是奇函数，x y 2tan =是奇函数⇒奇函数个数为3x x x y 2tan sin 3=⇒是奇函数，2=y 是偶函数)(x f ⇒是非奇非偶函数。
假设：xx x x g 2tan sin )(3=)(x g ⇒是奇函数，2)()(+=x g x f 。
⇒+=2)()(x g x f 4)1(22)1()1(-=⇒-=+=g g f 。
)(x g 是奇函数4)4()1()1(=--=-=-⇒g g 。
⇒+=2)()(x g x f 6242)1()1(=+=+-=-g f 。
例题二：已知：函数23tan )sin(3)(x x a x x x f -+--=，1)2(=-f 。
计算：)2(f 的值。
解答：33x y =是奇函数，)sin(x y -=是奇函数，x a y tan =是奇函数，2x y =是偶函数)(x f ⇒是非奇非偶函数。
假设：x a x x x g tan )sin(3)(3+--=)(x g ⇒是奇函数，2)()(x x g x f -=。
⇒-=2)()(x x g x f 5)2(14)2()2()2()2(2=-⇒=--=---=-g g g f 。
)(x g 是奇函数5)2()2(-=--=⇒g g 。
9452)2()2()()(22-=--=-=⇒-=g f x x g x f 。
【训练】：计算下列题目。
（Ⅰ）已知：函数1tan cos 3)(3--=x x x x f ，2)(=a f 。
计算：)(a f -的值。
（Ⅱ）已知：函数22tan )2cos()(x xa x x x f +=，2)1(=-f 。
计算：)1(f 的值。
构造偶函数：例题一：已知：x x x x x f +=)2cos(|sin |)(2，4)3(=f 。
计算：)3(-f 的值。
解答：2x y =是偶函数，|sin |x y =是偶函数，)2cos(x y =是偶函数)2cos(|sin |2x x x y =⇒是偶函数，x y =是奇函数)(x f ⇒是非奇非偶函数。
假设：)2cos(|sin |)(2x x x x g =)(x g ⇒是偶函数，x x g x f +=)()(。
1)3(43)3()3()()(=⇒=+=⇒+=g g f x x g x f 。
)(x g 是偶函数1)3()3(==-⇒g g 。
231)3()3()3()()(-=-=-+-=-⇒+=g f x x g x f 。
例题二：已知：函数32)cos(13)(22+--+-=x x x x x f ，3)2(-=f 。
计算：)2(-f 的值。
解答：23x y =是偶函数，21xy =是偶函数，)cos(x y -=是偶函数，x y 2=是奇函数，3=y 是偶函数)(x f ⇒是非奇非偶函数。
假设：3)cos(13)(22+-+-=x x x x g )(x g ⇒是偶函数，x x g x f 2)()(-=。
143)2(34)2(322)2()2(2)()(=+-=⇒-=-⇒-=⨯-=⇒-=g g g f x x g x f 。
)(x g 是偶函数1)2()2(==-⇒g g 。
541)2(2)2()2(2)()(=+=-⨯--=-⇒-=g f x x g x f 。
【训练】：计算下列题目。
（Ⅰ）已知：函数2)2cos(1|)sin(|)(34-++--=x x xx x f ，2)1(=f 。
计算：)1(-f 的值。
（Ⅱ）已知：函数x xx x x x f -=tan |sin |3)(32，3)2(=-f 。
计算：)2(f 的值。
第四部分：计算参数值已知奇函数计算参数值：例题一：已知：函数)2()sin(2)(23-+--+=b x ax x x f 是奇函数。
计算：a 和b 的值。
解答：3x y =是奇函数，2ax y =是偶函数，)sin(2x y -=是奇函数，2-=b y 是偶函数，)(x f 是奇函数⇒相加减的每一项都是奇函数，两个偶函数项需要消失，消失的办法就是系数为零0=⇒a ，002=⇒=-a b ，2=b 。
例题二：已知：函数xx x x m x x f -+--+=sin 2)12(3)(32是奇函数。
计算：m 的值。
解答：分子：23x 是偶函数，x m y )12(-=是奇函数，2=y 是偶函数2)12(32--+=⇒x m x y 是非奇非偶函数；分母：3x y =是奇函数，x y sin =是奇函数，x y =是奇函数x x x y -+=⇒sin 3是奇函数。
)(x f 是奇函数⇒分子分母中一个为奇函数，一个为偶函数⇒分子2)12(32--+=x m x y 是偶函数⇒奇函数x m )12(-必须消失21012=⇒=-⇒m m 。
【训练】：计算下列题目。
（Ⅰ）已知：函数x x x b x a x x f sin )12()cos(2)(23-+----=是奇函数。
计算：a 和b 的值。
（Ⅱ）已知：函数23)1()cos(2tan 2sin )(xx a x x x x x f ++--+-=是奇函数。
计算：a 的值。
已知偶函数计算参数值：例题一：已知：函数1tan )1()cos(|2sin |)(3-+-+--=x b ax x x x f 是偶函数。
计算：a 和b 的值。
解答：|2sin |x y =是偶函数，)cos(x y -=是偶函数，3ax y =是奇函数，x b y tan )1(+=是奇函数，1=y 是偶函数，)(x f 是偶函数⇒相加减的每一项都是偶函数，两个奇函数需要消失，消失的办法就是需要系数为零0=⇒a ，001=⇒=+a b ，1-=b 。