5-3 正弦量的相量表示法
合集下载
正弦量的相量表示方法
电工基础
正弦量的相量表示方法
正弦量的表示方法有： 数学表达式、波形图、 相量表达式
1.1 复数及四则运算
1.复数
在数学中常用 A a bi 表示复数，其中a为实部，b为虚部，i 1
称为虚单位。在电工技术中，为区别于电流的符号，虚单位常用j表示。
+j
3
A
+j
b
P
r
O
4
+1
O
a +1
图4.7 复数在复平面上的表示 图4.8 复数的矢量表示
解
A B (8 j6) (6 j8) 14 j2
A B (8 j6)(6 j8) 10 36.9 10 53.1 100 16.2
正弦量的相量表示方法
1.2 正弦量的相量表示法
给出一个正弦量 u U m sin(t ) 在复平面上作一矢量，如图4.10所示。
(1)矢量的长度按比例等于振幅值U m
(在第四象限)
A1 5 36.9
A2的模 r2 (3)2 42 5
辐角2
arctan
4 3
126.9
则 A2 极坐标形式为
A2 5 126.9
(在第二象限)
正弦量的相量表示方法
例 4.7 写出复数 A 220 60 的三角形式和代数形式。
解 三角形式 A 220(cos60 jsin 60)
u2 2U 2 sin(t 2 ) 40 sin(100t 30) V
电工基础
(2) 复数的三角形式
A r cos jr sin
(3) 复数的指数形式
A re j
(4) 复数的极坐标形式
A r
正弦量的相量表示方法
例4.6 写出复数 A1 4 j3 A2 3 j4 的极坐标形式。 解 A1 的模 r1 42 (3)2 5
正弦量的相量表示方法
正弦量的表示方法有： 数学表达式、波形图、 相量表达式
1.1 复数及四则运算
1.复数
在数学中常用 A a bi 表示复数，其中a为实部，b为虚部，i 1
称为虚单位。在电工技术中，为区别于电流的符号，虚单位常用j表示。
+j
3
A
+j
b
P
r
O
4
+1
O
a +1
图4.7 复数在复平面上的表示 图4.8 复数的矢量表示
解
A B (8 j6) (6 j8) 14 j2
A B (8 j6)(6 j8) 10 36.9 10 53.1 100 16.2
正弦量的相量表示方法
1.2 正弦量的相量表示法
给出一个正弦量 u U m sin(t ) 在复平面上作一矢量，如图4.10所示。
(1)矢量的长度按比例等于振幅值U m
(在第四象限)
A1 5 36.9
A2的模 r2 (3)2 42 5
辐角2
arctan
4 3
126.9
则 A2 极坐标形式为
A2 5 126.9
(在第二象限)
正弦量的相量表示方法
例 4.7 写出复数 A 220 60 的三角形式和代数形式。
解 三角形式 A 220(cos60 jsin 60)
u2 2U 2 sin(t 2 ) 40 sin(100t 30) V
电工基础
(2) 复数的三角形式
A r cos jr sin
(3) 复数的指数形式
A re j
(4) 复数的极坐标形式
A r
正弦量的相量表示方法
例4.6 写出复数 A1 4 j3 A2 3 j4 的极坐标形式。 解 A1 的模 r1 42 (3)2 5
电工电子技术：22 正弦量的相量表示法
6
I2
相量图
●同频率正弦量的运算
加减运算用相量图—平行四边形法则
例 u1 4 2 sin t 60
U2
u2 3 2 sin t 30
ua u1 u2
U a U 1 U 2 523
ua 5 2 sin t 23
ub u1 u2
U b U1 U 2 597
ub 5 2 sin t 97
I
I
相量式
I I
瞬时值 -- 小写 u, i, e；
最大值 -- 大写+下标m；
有效值 – 大写 U, I, E；
相量 --- 大写 + “.”
u2 3
190 1 • cos 90 j • 1 • sin90 j
90 1• cos 90 j • 1• sin 90
j
1 j
=
10 190
1 90
j
设：任一相量 A
A • j A 90
A A • j A 90
j
j为旋转因子
一个相量乘以j，该相量模不变，逆时针转90° 一个相量除以j（乘以 -j ），该相量模不变，顺时针转90°
有向线段表示正弦量 有向线段不等于正弦量
有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位;
有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。
正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
ω
u Um sin t
Um
t
在线性正弦交流电路中的电源频率单一时，电路中所有的电压电流为同
频率正弦量，此时， 可不考虑，主要研究正弦量的大小与初相位的变化
把相量表示在复平面的图形（可省略坐标轴）
U U
有效值相量图
5-3 正弦量的相量表示法
或
I m Ime
j i
I m i
I Ie
I i
电路原理
§5-3 正弦量的相量表示法 相量 正弦量
j u
Um U m e
u(t ) Im(Ume ) u(t ) Im( 2Ue )
i (t ) Im( I me
j t
j t
U U u
I m Ime
A2 A2e j 2 A2 2 a2 jb2
加减运算 A1 A2 (a1 a2 ) j (b1 b2 )
j ( ) 乘法运算 A1 A2 A1 A2e 1 2 A1 A2( 1 2 )
A1 A1 j ( 1 2 ) A1 除法运算 e ( 1 2 ) jA1 A2 A2 A2 j 1 90o jA1 A1e A1 1 90o
e jt Im 2U e jt ut Im U m
2)相量运算与复数运算相同，但必须是同频率的相 量才能进行运算。 3)已知时间正弦量可唯一确定对应的相量，而相量 只包含了正弦量的两个要素。 、 U U m 、U 4)注意符号区分：ut 、 、U m
正弦量 幅值 有效值 幅值相量 有效值相量
Im(虚部)
b1
A1
A1
a1
A1 j 1 90 o jA1 A1e A1 1 90o j
1
Re(实部)
0
jA1
电路原理
§5-3 正弦量的相量表示法
常用相量表示形式：
Ue j U
U U U (cos j sin ) U
正弦量的相量表示法
学习相量表示法时应注意的几个问题：
（1）相量是表示正弦量的复数，在正弦量的大写 字母上打“”表示。 （2）只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上 （3）表示正弦量的相量有两种形式：相量图和相量 式(复数式)。 (4) 相量与正弦量只存在对应关系,而不是相等关系。
[例1] 已知电压、电流、电动势为u=220 2 sin(ωt-π/6)V，i=10 2 sin(ωt+π/6)A，e=110 2 sin(ωt+π/3)V，试写出他们的相量，并作 出有效值相量图。
复数式有三种表示方法： 直角坐标式、极坐标式和指数式 i=Imsin(ωt+ψ)的相量式为
I m = I m (cos ψ + j sin ψ ) = I m ∠ψ = I m e jψ
I = I(cos ψ + j sin ψ ) = I∠ψ = Ie jψ
I m 是电流的幅值相量， I 是电流的有效值相量。
用极坐标式表示
U = 220∠
π
6
V
I = 10∠
π
6
A
E = 110∠ V 3
π
用指数式表示
E = 110e 3 V
j
π
U = 220e
j
π
6
V
I = 10e 6 V
j
π
相量图表示
小结：
1、表示正弦量的相量有相量图和相量 式两种形式。 2、同频率正弦量才可以画在同一相量 图上。
作业：见参考教材（一） 第65页3-7、3-8、3-9、3-10
解：用直角坐标式表示
I = 10C O S (
π
6
) + j1 0 s in (
π
正弦交流电的相量表示法
相量的两种表示形式
例：已知同频率的正弦量的表达式分别为
例： 用相量图来表示下列正弦量
u 1 U m sin ω t V
u2 U m sin(ω t - 120 o ) V
u3 U m sin(ω t 120 o ) V
解：
•
U3
•
120 °
•
120° U1
U2
例：
例：写出下列正弦量的相量,并
求出：i = i1+i2 ,画出相量图。
i1 20 2 sin(t 60o)A
i2 10 2 sin(t - 30o )A
解：
İ1= 20∠60°A
İ2=10∠-30°A
İ = İ1+ İ2 = 20∠60°+10 ∠－30°
=20(cos60 °+jsin60 °)+ 10[cos(－30°)
+jsin (－30°)
加减运算用代数式, 实部与实部相加减, 虚部与虚 部分别相加减。
乘除运算用指数式或极坐标式，模相乘或相除， 辐角相加或减。
复数及其四则运算
用画图法作相量的加、减运算
03 正弦量的相量表示法
正弦量的相量表示法
正弦信号可用一旋转矢量来表示，
令：矢量长度＝Im 矢量初始角＝Ψ
如图所示：
矢量旋转速度＝ω
注意：
• ①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量，两者只有对应关
系。 i=Im sin(t )≠Im
•
Im Im
• 正弦量是时间的函数，而相量仅仅是表示正弦量的复数，两 者不能划等号！
• ②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。 • 因此，只有表示正弦量的复数才能称之为相量。 • ③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
正弦量的相量法表示法资料
①三角函数表示法： u +
u U m sin( t )
②正弦波形图示法: ③ 相量表示法。
(见右图)
0
_
t
正弦量的相量表示法 相量法
一个正弦量可以用旋转的有向线段表示。 有向线段的长度表示正弦量的幅值； 有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位; 有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。 正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
正弦量的相量表示法
例 题 把下列电量的相量转换为瞬时值函数式。
(设f=50Hz）
(1) U 100e j 30V
(2) I (60 80 j ) A
(3) U m 20045V
解
(1)u 2U sin(2ft ) 100 2 sin(100t 30)V
6 j
极坐标式为：A r 5
B
5 6
6
+j
0
+1
复数及其运算 复数的运算
1.复数加减法运算
A1 a1 jb1 , A2 a2 jb2 则有
A1 A2 a1 a2 (b1 b2 ) j A1 A2 a1 a2 (b1 b2 ) j
例题
把下列正弦量用相量形式表示出来。 t 30)V (1)u 100sin 314tV (2)u 20 2 sin(628
(3)i 5 sin(100 t 60) A
解
(1)U m 1000V (2)U 20 30V (3) I 5 60 A
解
指数式，极坐标式。
1 3 r a 2 b2 ( )2 ( )2 1 2 2
u U m sin( t )
②正弦波形图示法: ③ 相量表示法。
(见右图)
0
_
t
正弦量的相量表示法 相量法
一个正弦量可以用旋转的有向线段表示。 有向线段的长度表示正弦量的幅值； 有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位; 有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。 正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
正弦量的相量表示法
例 题 把下列电量的相量转换为瞬时值函数式。
(设f=50Hz）
(1) U 100e j 30V
(2) I (60 80 j ) A
(3) U m 20045V
解
(1)u 2U sin(2ft ) 100 2 sin(100t 30)V
6 j
极坐标式为：A r 5
B
5 6
6
+j
0
+1
复数及其运算 复数的运算
1.复数加减法运算
A1 a1 jb1 , A2 a2 jb2 则有
A1 A2 a1 a2 (b1 b2 ) j A1 A2 a1 a2 (b1 b2 ) j
例题
把下列正弦量用相量形式表示出来。 t 30)V (1)u 100sin 314tV (2)u 20 2 sin(628
(3)i 5 sin(100 t 60) A
解
(1)U m 1000V (2)U 20 30V (3) I 5 60 A
解
指数式，极坐标式。
1 3 r a 2 b2 ( )2 ( )2 1 2 2
正弦量的三要素及相量表示法基尔霍夫
三 相位差
第五章
正弦电流电路
相位差 ：两个同频率正弦量间的相位之差，即初相位 之差。
i
u
如：
u
t
i
u U m sin t u
i I m sin t i 则相位差为：
t u t i u i
第五章 正弦电流电路 两个正弦量的相位关系
上述相量图是根据平行四边形法则进行加、减获得的。实际上， 可采用三角形法则作图。如下图所示。
I1
0
I2
I I1 I 2
0
I2
I1
I I1 I 2
两相量相加
两相量相减
第五章 正弦电流电路
5.4基尔霍夫定律的相量形式
一 基尔霍夫电流定律（KCL） 瞬时值形式：
i 0
0 相量形式（同频率的正弦量） ： I
◆周期量：每个值在经过相等的时间间隔后循环出现的 时变电压和电流。 ◆交流量：一个循环内波形面积平均值为零的周期量。
u i i
O
t
时变电压
O
t
周期量
O
t
交流量
第五章 正弦电流电路 二 正弦量的三要素
正弦量：按正弦规 律变化的交流量。 设正弦电流
Im
i
O
T
2
t
i I m sin(ωt ψ )
二 基尔霍夫电压定律（KVL）
瞬时值形式：
u 0
相量形式（同频率的正弦量） ： U 0
第五章 正弦电流电路 二 旋转矢量与正弦量 设正弦量: i I m sin(ωt ψ )
j B ω t1
0
i
Im
正弦交流电的相量表示法(2)
电工基础
正弦量的表示法：
解析式： i(t ) I m sin(t ) A
i
Im
最大值相量： I m I m
有效值相量： I I
最大值： I m
I
Im
I
有效值： I
平均值：
I
I
电工基础
例：写出下列正弦量的相量形式：
i1 (t ) 5 2 sin(t 53.1) A
2
虚数
用 j 代替
虚部 实部
i
B a jb
j
复数 A a jb 代数式
0
D
b
A
C a jb
D a jb
复数的模
r
0
1
r a 2 b2
复数矢量与实轴正方向的夹角
a
C
0
取值在正180度到负180度之间
a r cos
0
电工基础
三、正弦量的相量表示法： re j r cos jr sin
Im
t
正弦交流电
I me j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
用 I me
I me
j (t )
代
jt
替
I m sin(t ) I mt
加减用代 数式运算
A B a1 jb1 a2 jb2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) A B a1 jb1 (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
A B
A
A B
A
B B
1
1
正弦量的表示法：
解析式： i(t ) I m sin(t ) A
i
Im
最大值相量： I m I m
有效值相量： I I
最大值： I m
I
Im
I
有效值： I
平均值：
I
I
电工基础
例：写出下列正弦量的相量形式：
i1 (t ) 5 2 sin(t 53.1) A
2
虚数
用 j 代替
虚部 实部
i
B a jb
j
复数 A a jb 代数式
0
D
b
A
C a jb
D a jb
复数的模
r
0
1
r a 2 b2
复数矢量与实轴正方向的夹角
a
C
0
取值在正180度到负180度之间
a r cos
0
电工基础
三、正弦量的相量表示法： re j r cos jr sin
Im
t
正弦交流电
I me j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
用 I me
I me
j (t )
代
jt
替
I m sin(t ) I mt
加减用代 数式运算
A B a1 jb1 a2 jb2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) A B a1 jb1 (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
A B
A
A B
A
B B
1
1
相量表示法
解:
+1
0
30 -60
i1 和 i2 对应的电流向量 表达式分别为
10 30 A I1 5 60 A I2
I2
I 1的长度是 I 2的二倍。
三、复数
复数的四则运算 加减运算用代数式，实部与实 部，虚部与虚部分别相加减。 乘除运算用指数式或极坐标式， 模相乘或相除，幅角相加或相减。
二、正弦量的相量表示法
一般我们研究的是同频率的正弦量， 用相量表示时,它们同以ω速度旋转,相 对位置保持不变。因此，在同一相量图 中，以t＝0时刻的相量表示正弦量。 相量的写法为:大写字母的上方加一 个“.”。
我们知道一个相量可以用复数表示， 而正弦量又可以用相量表示，因此正弦量 可以用复数表示。 １. 复数表示法： A= a+j b 代数式 j A A= r(cosψ +j sinψ ) 三角式 b 根据欧拉公式: r
这样，表示正弦电压 u U m sin t 的相量为
U e j U Um m m
为了使计算结果能直接表示正弦量的有 效值，通常使相量的模等于正弦量的有效 值，即可以表示为：
Ue j U U
注意！
（１）只有正弦量才能用相量表示；
（２）几个同频率正弦量可以画在同一 相量图上；
0
a
e j= cosψ+ j sinψ A = r e jψ 指数式 +1 A = r∠ψ 极坐标式
其中
a = r cosψ b = r sinψ
r
ψ
a b
2
2
= arctg ( b/a )
2. 正弦量的相量
一个复数的幅角等于正弦量的初相角， 复数的模等于正弦量的最大值或有效值， 该复数称为正弦量的相量.
正弦量的相量表示法
ψ
0
_
t
试写出表示uA=220 √2 sin314t V, uB=220 √2 sin(314t–120 ) V, uC=220 √2 sin(314t+120 ) V, 的相量，并画出相量图。
解Leabharlann 分别用有效值相量UA、 UB和UC
UC
表示uA、 uB和uC
120° U A 120°
UB
它们的相量图为：(右图)
§3-3. R、L及C的交流电路 、 及 的交流电路
在考虑电阻、电感或电容元件时，都将 它们看成是理想元件。即只考虑其主要 因素而忽略其次要因素。 交流电路与直流电路对电阻、电感或电 容的作用结果都不同。 电容对直流电路相当于开路；电感对直 流电路相当于短路。 而在交流电路中电容有充放电现象存在， 有电流通过电感有自感电动势出现而阻 碍电流变化。
§3-2. 正弦量的相量表示法
正弦量具有幅值、频率及初相位三个基 本特征量，表示一个正弦量就要将这三 三 要素表示出来。 要素 表示一个正弦量可以多种方式，这也正 是分析和计算交流电路的工具。
①三角函数表示法： u = Um sin ωt + ψ) ( ②正弦波形图示法: (见右图) u +
相量表示法。 ③ 相量表示法。
正弦量的相量表示及运算
蒸发操作的类型
1. 按二次蒸气的利用情况分：单效蒸发和多效蒸发
单效蒸发：将二次蒸气不在利用而直接送到冷凝器冷凝以除去的蒸发 操作。 多效蒸发：若将二次蒸气通到另一压力较低的蒸发器作为加热蒸气， 则可提高加热蒸气（生蒸气）的利用率，这种串联蒸发操作称为多效 蒸发。
一、正弦量的相量表示
1. 复数的表示形式 用相量来表示相对应的正弦量的方法称为相量表示法。 相量本身就是复数。 一个复数可用下面4种形式来表示： 设A为复数 (1) 代数式A =a + jb
式中:
r a2 b2
arctan b
a
a r cos
复数的模 复数的辐角
b r sin
一、正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示
2．复数的四则运算 设有两个复数分别为：A1 r1a a1 jb1 A2 r2b a2 jb2
A1、A2加、减、乘、除时运算公式如下： A1 A2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
A1 A2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
A1 • A2 r1r2a b
A1 A2 1030 845 (10cos30 10 j sin 30) (8cos45 8 j sin 45) (8.66 j5) (5.656 j5.656) 3.004 j0.6156A
A1 A2 1030845 108(30 45) 8075A
A1 1030 10 (30 45) 1.25 15A A2 845 8
A1 A2
r1 r2
a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相
乘、除时用极坐标形式比较方便。
一、正弦量的相量表示
例题： 有两个复数分别为A1 1030，A2 845 试分别 对它们做加、减、乘、除运算。
电工技术：正弦交流电的相量表示法(1)
I 560 A
I
60
U
30
只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，可不画坐标轴。
二、相量图
例题1: 将 u1、u2 用相量表示,并画出相 量图。
解:
(1) 相量式
220 20V U 1
110 45 V U 2
u1 220 2 sin(ω t 20 ) V
一、正弦量的相量表示法：正误判断
1.已知：
u 220 sin(ω t 45)V
3.已知：
4 e j30 A I
• 220 U 45 V 2 有效值
？
4 2 sin (ω t 30 )A
瞬时值形式
？
复数形式
j45
220 e45 V U m
2.已知：
正弦交流电的相量表示法
正弦交流电有哪些表达形式？
（1）正弦函数（瞬时值表达式）如
i I m sin (ω t ψ )
Im
（2）正弦曲线波形，如i源自 -ImO
2
T
t
t
这两种表达形式直观，但运算繁琐，绘制困难。
正弦交流电为什么要用相量表示？
两个正弦量
i1 2 I1m sin(t 1 )
u2 110 2sin(ω t 450 ) V
(2) 相量图
+j
U 2
U2
超前 U1
U 1
+1
45 20
正弦交流电的相量表示法（1）：知识点小结
（1）正弦交流电用相量（复数）表示方法
u U m sin ( ω t ψ )
（2）相量图
U U ψ
U
正弦量的表示法
初始位置：
频
幅
率：
度： Um
三要素
正弦波 特征量之一 -- 幅度
最大值
电量名称必须大
u Um sin t
写,下标加 m。
U m 为正弦电流的最大值
如：Um、Im
正弦波 特征量之二 -- 角频率
u
t
T
描述变化周期的几种方法 1. 周期 T： 变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒..
Wi i Rdt R i dt R R 0 0 令其相等，就得到交流电的有效值计算式：
2 2
T
T
WI I 2 RT
Im 2
1 I T
T
0
1 i dt T
2
T
0
I 2 m sin 2 ( t i )dt
1
0.707 Im
即正弦交流电的有效值等于它的瞬时值的 电动势和电压同样适用。即： E
u U m sin t
ω
Um
t
矢量长度 =
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
2） A
5 5 50
2 2
5 φ arctg arctg1 45o 5
A 7.0745o
A 5 j5
A 5 5 50
2 2
5 φ arctg 45o 5
注意：求辐角时，必须把a , b的符号保留在分母、分子内，以便 正确判断所在的象限。 Ⅱ Ⅰ 如： ReA 0 ReA 0 45o 5 ImA 0 ImA 0 φ arctg arctg 1
频
幅
率：
度： Um
三要素
正弦波 特征量之一 -- 幅度
最大值
电量名称必须大
u Um sin t
写,下标加 m。
U m 为正弦电流的最大值
如：Um、Im
正弦波 特征量之二 -- 角频率
u
t
T
描述变化周期的几种方法 1. 周期 T： 变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒..
Wi i Rdt R i dt R R 0 0 令其相等，就得到交流电的有效值计算式：
2 2
T
T
WI I 2 RT
Im 2
1 I T
T
0
1 i dt T
2
T
0
I 2 m sin 2 ( t i )dt
1
0.707 Im
即正弦交流电的有效值等于它的瞬时值的 电动势和电压同样适用。即： E
u U m sin t
ω
Um
t
矢量长度 =
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
2） A
5 5 50
2 2
5 φ arctg arctg1 45o 5
A 7.0745o
A 5 j5
A 5 5 50
2 2
5 φ arctg 45o 5
注意：求辐角时，必须把a , b的符号保留在分母、分子内，以便 正确判断所在的象限。 Ⅱ Ⅰ 如： ReA 0 ReA 0 45o 5 ImA 0 ImA 0 φ arctg arctg 1
正弦量的基本特征及相量表示法KCLCVL及元件伏安关系的-精选文档
跳转到第一页
3.1.2 相位、初相和相位差
相位：正弦量表达式中的角度
初相：t=0时的相位 相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其 值等于它们的初相之差。如
u U sin( t ) m u
相位差为：
elecfans 电子发烧友 bbs.elecfans 电子技术论坛
i I sin( t ) m i
代数型
elecfans 电子发烧友 bbs.elecfans 电子技术论坛
三角函数型
指数型
极坐标型
跳转到第一页
复数的四则运算： a ja a 设两复数为： A 1 2 1
B b jb b 1 2 2
(1)相等。若a1=b1，a2=b2，则A=B 。 (2)加减运算： A B ( a b ) j ( a b ) 1 1 2 2
根据有效值的定义有： I
2 T2 RT 0i Rdt
周期电流的有效值为： I
elecfans 电子发烧友 bbs.elecfans 电子技术论坛
1 T 2 0 i dt T
跳转到第一页
对于正弦电流，因
i ( t ) I sin t ( ) m i
所以正弦电流的有效值为：
I
3.1 正弦量的基本概念及其相量表
示法
Biblioteka 3.2 KCL、KVL及元件伏安关系 的相量形式 3.3 正弦交流电路的一般分析方法 3.4 正弦电路的功率 3.5 电路中的谐振
跳转到第一页
elecfans 电子发烧友 bbs.elecfans 电子技术论坛
3.1 正弦量的基本概 念及其相量表示法
第3章 正弦交流电路 学习要点
3.1.2 相位、初相和相位差
相位：正弦量表达式中的角度
初相：t=0时的相位 相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其 值等于它们的初相之差。如
u U sin( t ) m u
相位差为：
elecfans 电子发烧友 bbs.elecfans 电子技术论坛
i I sin( t ) m i
代数型
elecfans 电子发烧友 bbs.elecfans 电子技术论坛
三角函数型
指数型
极坐标型
跳转到第一页
复数的四则运算： a ja a 设两复数为： A 1 2 1
B b jb b 1 2 2
(1)相等。若a1=b1，a2=b2，则A=B 。 (2)加减运算： A B ( a b ) j ( a b ) 1 1 2 2
根据有效值的定义有： I
2 T2 RT 0i Rdt
周期电流的有效值为： I
elecfans 电子发烧友 bbs.elecfans 电子技术论坛
1 T 2 0 i dt T
跳转到第一页
对于正弦电流，因
i ( t ) I sin t ( ) m i
所以正弦电流的有效值为：
I
3.1 正弦量的基本概念及其相量表
示法
Biblioteka 3.2 KCL、KVL及元件伏安关系 的相量形式 3.3 正弦交流电路的一般分析方法 3.4 正弦电路的功率 3.5 电路中的谐振
跳转到第一页
elecfans 电子发烧友 bbs.elecfans 电子技术论坛
3.1 正弦量的基本概 念及其相量表示法
第3章 正弦交流电路 学习要点
正弦量的相量表示及运算
(2) 三角函数式
A r(cos j sin) r cos jr sin
根据欧拉公式，可得: e j cos j sin
(3) 指数式 A r e j (4) 极坐标式 A r
任意一个正弦量的相量乘以+j后，即在原相量的基础上逆 时针旋转90；乘以-j则顺时针旋转90，故称j为旋转因子。
时值用相量表示即得 I 0 Im 0
上式就是KCL定律的相量形式。它表明，任意瞬间流经 任意节点的电流相量的代数和等于零。
二、相量形式的基尔霍夫定律
2．相量形式的KVL
同理，KVL也适用于交流电路，即同一瞬间，在电路的任 一回路中各电压的瞬时值的代数和恒等于零。即
u 0
将电压瞬时值用相量表示即得
A1 A2
r1 r2
a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相
乘、除时用极坐标形式比较方便。
一、正弦量的相量表示
例题： 有两个复数分别为A1 1030，A2 845 试分别 对它们做加、减、乘、除运算。
解：
A1 A2 1030 845 (10cos30 10 j sin 30) (8cos45 8 j sin 45) (8.66 j5) (5.656 j5.656) 14.316 j1示法
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的 投影值来表示，如图所示，在复平面中，把这种反映正弦量大 小和初相位的有向线段称为相量。在大写字母上加一个点来表 示正弦量的相量。如电流、电压的最大值相量符号分别为U m Im
，有效值相量符号分别为U I 。以极坐标表示法为例，复数的
模表示正弦量的大小，复数的幅角表示正弦量的初相位。
一、正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示
A r(cos j sin) r cos jr sin
根据欧拉公式，可得: e j cos j sin
(3) 指数式 A r e j (4) 极坐标式 A r
任意一个正弦量的相量乘以+j后，即在原相量的基础上逆 时针旋转90；乘以-j则顺时针旋转90，故称j为旋转因子。
时值用相量表示即得 I 0 Im 0
上式就是KCL定律的相量形式。它表明，任意瞬间流经 任意节点的电流相量的代数和等于零。
二、相量形式的基尔霍夫定律
2．相量形式的KVL
同理，KVL也适用于交流电路，即同一瞬间，在电路的任 一回路中各电压的瞬时值的代数和恒等于零。即
u 0
将电压瞬时值用相量表示即得
A1 A2
r1 r2
a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数相
乘、除时用极坐标形式比较方便。
一、正弦量的相量表示
例题： 有两个复数分别为A1 1030，A2 845 试分别 对它们做加、减、乘、除运算。
解：
A1 A2 1030 845 (10cos30 10 j sin 30) (8cos45 8 j sin 45) (8.66 j5) (5.656 j5.656) 14.316 j1示法
一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的 投影值来表示，如图所示，在复平面中，把这种反映正弦量大 小和初相位的有向线段称为相量。在大写字母上加一个点来表 示正弦量的相量。如电流、电压的最大值相量符号分别为U m Im
，有效值相量符号分别为U I 。以极坐标表示法为例，复数的
模表示正弦量的大小，复数的幅角表示正弦量的初相位。
一、正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示
正弦量的相量表示
b| A| sinθ
图解法
复数运算
Im
(1)加减运算——采用代数形式
A2
若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
0
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则: A 1A 2A 1ej1A 2ej2A 1A 2ej(12)
等于初相位之差
规定： |j | (180°)。
• j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
O
wt
yuyi
j
• j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
j ＝ 0， 同相：
u (t)u 1(t)u 2(t)R e( 2U •1ejwt)R e( 2U •2ejwt)
R e( 2U •1ejwt2U •2ejwt)R e( 2(U •1U •2)ejwt)
可得其相量关系为： U U 1U 2 U
故同频正弦量相加减运算变 成对应相量的相加减运算。
i1 i2 = i3
也可借助相量图计算
Im U2
U
U1
41.9
30 60
Re
首尾相接
U
Im
U2
U1
60
41.9
30
Re
2 . 正弦量的微分，积分运算
wy y i 2 I co t s i) (I I i
微分运算:
di d Re 2 Ie jw t
正弦量的相量表示法及计算法
则：
U1 U2
U1 U2
1 2
（4）相等运算
设 U1 U2 用极坐标式表示时 U1 U2 , 1 2 用代数式表示时 a1 a2 , b1 b2 （5）相反运算
设 I1 I2 用极坐标式表示时 U1 U2 , 1 2 180 用代数式表示时 a1 a2 , b1 b2
[例3—2]见教材。
解：
I (3 j4) 3+j4=5(53.13 180 ) 5126.87 A
分析：求相反相量 就是将原相量旋转 180o ，相量图上两 相反相量对称于原 点，如图所示。
3.2.4 基尔霍夫定律的相量形式
对于正弦交流电路任一节点，有
i 0,u 0
一、KCL的相量形式： I 0
二、KVL的相量形式： U 0
内容简介
本教材理论推导从简，计算思路交待详细，概念述 明来龙去脉，增加例题数量和难度档次，章节分 “重计 算”及“重概念”两类区别对待，编排讲究逐步引深的 递进关系，联系工程实际，训练动手能力，尽力为后续 课程铺垫。借助类比及对偶手法，语言朴实简练，图文 印刷结合紧密，便于自学与记忆，便于节省理论教学时 数。适用于应用型本科及高职高专电力类、自动化类、 机电类、电器类、仪器仪表类、电子类及测控技术类专 业。
A( 90)
“j”的数学意义和物理意义
旋转 90因子： j
j cos 90 jsin 90
设相量 A r
B +j
• 相量A 乘以 j ，
A
A 将逆时针旋转 90 得到 B
• 相量A 乘以 j ， A o
ψ
+ 1
将顺时针旋转 90，得到 C
C
3. 除法运算
设： U1 U11 U2 U22
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§5-3 正弦量的相量表示法
为什么要用相量表示正弦量? 微分求解繁琐，为了简化正弦电流电路的计算， 避免用三角函数进行计算； 两个同频率正弦量之和仍是同频率的正弦量； 正弦电路中，正弦稳态响应是与激励同频率的 正弦量。 什么是相量？ 相量是把正弦量的幅值或有效值与初相集中 表示的复数。
相量的本质是复数，用相量表示正弦量的基 础是用复数表示正弦量。
430 A, I 5120 A I 1 2 10 60 V, U 8120 V U 1 2
U 2 I 2
120O 30O
正交 与 I U 1 1
I 1
与I 同相 U 2 2 与U 反相 U 1 2
- 60O
U 1
解： U1 [10 2(cos 30 j sin 30 )]V (5 6 j5 2)V
U 2 [10(cos(60 ) j sin(60 ))]V (5 j5 3)V
U1 U 2 (17.25 j1.59)V 17.32 5.26 V
u
i
Um Im
U
U
I
I
4.相量图
在复平面上用以表示 正弦量的矢量图，称为相 量图
只有同频率的相量才能在 同一复平面内作相量图
例1. 指出下列各表达式那些是正确的，那些是错误的， 并指出错误原因。
1)
i 5 sin(t 30 )× 5e
j 30
j 30 i 5 sin(t 30 ) I m 5e
比较正弦电压
u(t ) Um sin( t ) 2U sin( t )
u(t ) Ι m[U m e j e jt ] Ι m[ 2Ue j e jt ]
电压的幅值相量： 电压的有效值相量：
U e j U m m
Ue j U
m 2U 幅值相量与有效值相量的关系： U
例2. 根据已知正弦量写出对应相量
1)
u1 10 2 sin(t
2
)
U 1 10 2
20 3 U2 4 2
2)
3 u2 20 sin(t ) 4
3 ） i1 4 2 sin( t 45 )
4(45 180 ) 4 135 I 1
5 I1 I 2 45 10120 2 5 (cos 45 j sin 45 ) 10(cos 120 j sin 120 ) 2
2 1 5 2 3 ( 10 ) j( 10 ) 2 2 2 2 2 2 2.5 j 6.16 6.65112.1 A 5
常用相量表示形式：
Ue j U
U U U (cos j sin ) U
同理有：
Ie j I I (cos j sin ) I
注意：
正弦量的相量只是用来表征正弦量的复数，它 并不等于正弦量，即
Um u(t )
I m i(t )
例5. 已知电流
i1 (t ) 5sin(t 45 )A, i2 (t ) 10 2 sin(t 120 )A
写出电流的相量形式，绘制相量图；求解i1(t)+i2(t)。 解：
I1 5 2 45 A
I 2 10120 A
I 2
120
45
I 1
u1 (t ) u2 (t ) 17.32 2 sin(314t 5.26 )V
U1 U 2 (7.25 j15.73)V 17.3265.26 V
u1 (t ) u2 (t ) 17.32 2 sin(314t 65.26 )V
正弦量与相量的互换
正弦量
u(t ) Um sin( t u )
相量
Um Ume j u Um u 或 U Ue j u U u
I m I m e j i I m i
i(t ) Im sin(t i )
或
I Ie j i I i
i1 (t ) i2 (t ) 6.65 2 sin(t 112.1 )A
I I 1 2 I
I 2
180 (120 45 ) 15
2
根据余弦定理有：
120
45
I | |I 1 2 ( 5 2 6.65
I 1 I 2 2 I 2 a2 jb2
1） 2） 3）
A1 A2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
A1 A2 A1 A2e j ( 1 2 ) A1 A2( 1 2 )
A1 A1 j ( 1 2 ) A1 e ( 1 2 ) A2 A2 A2
1.复数
A a2 b2
b arctg a
A a jb
a A cos b A sin
A A(cos j sin )
e j cos j sin （欧拉公式）
A Ae j A
2.复数运算
A1 A1e j 1 A1 1 a1 jb1
j ( 1 90 )
jA1 A1e
A1( 1 90 )
j为90o旋转因子
A1 j ( 1 90 ) A1e A1( 1 90 ) j
3.旋转复数、正弦量、相量
将 A 以ω的角速度逆时针旋转形成旋转复数
A A[cos( t ) j sin( t )] Ae j ( t ) Ae j e j t
注意：
1.正弦量的相量为复常数，模为对应正弦量的最大 值或有效值，幅角为对应的初相角。 2.已知时间正弦量可唯一确定对应的相量，而相量 只包含了正弦量的两个要素。
3.相量运算与复数运算相同，但必须是同频率的相 量才能进行运算。
符号说明：
瞬时值：小写 最大值：大写+下标 有效值：大写 相量：大写+“.”
2) I × 1030
1030 I 10 I
10045 × 3) U 100 2 sin(t 45 )
10045 u 100 2 sin(t 45 ) U
4)
20e × I
20
j 20 I 20e
例3. 根据已知相量写出对应正弦量，频率为工频。
1)
2 3 j2 I 1
4 6
i1 4 2 sin( 314t
6
)
2)
2 3 j 2 I 2
5 4 6
5 i 2 4 2 sin( 314t ) 6
例4. 根据已知相量绘制相量图（各相量同频率）。
2 2
I 1
) 2 102 2
5 2
10 cos15
112.1
I 6.65112.1 I 1 2
课堂练习：
已知 求：
u1 (t ) 20sin(314t 30 )V
u2 (t ) 10 2 sin(314t 60 )V
u1 (t ) u2 (t )，u1 (t ) u2 (t )
为什么要用相量表示正弦量? 微分求解繁琐，为了简化正弦电流电路的计算， 避免用三角函数进行计算； 两个同频率正弦量之和仍是同频率的正弦量； 正弦电路中，正弦稳态响应是与激励同频率的 正弦量。 什么是相量？ 相量是把正弦量的幅值或有效值与初相集中 表示的复数。
相量的本质是复数，用相量表示正弦量的基 础是用复数表示正弦量。
430 A, I 5120 A I 1 2 10 60 V, U 8120 V U 1 2
U 2 I 2
120O 30O
正交 与 I U 1 1
I 1
与I 同相 U 2 2 与U 反相 U 1 2
- 60O
U 1
解： U1 [10 2(cos 30 j sin 30 )]V (5 6 j5 2)V
U 2 [10(cos(60 ) j sin(60 ))]V (5 j5 3)V
U1 U 2 (17.25 j1.59)V 17.32 5.26 V
u
i
Um Im
U
U
I
I
4.相量图
在复平面上用以表示 正弦量的矢量图，称为相 量图
只有同频率的相量才能在 同一复平面内作相量图
例1. 指出下列各表达式那些是正确的，那些是错误的， 并指出错误原因。
1)
i 5 sin(t 30 )× 5e
j 30
j 30 i 5 sin(t 30 ) I m 5e
比较正弦电压
u(t ) Um sin( t ) 2U sin( t )
u(t ) Ι m[U m e j e jt ] Ι m[ 2Ue j e jt ]
电压的幅值相量： 电压的有效值相量：
U e j U m m
Ue j U
m 2U 幅值相量与有效值相量的关系： U
例2. 根据已知正弦量写出对应相量
1)
u1 10 2 sin(t
2
)
U 1 10 2
20 3 U2 4 2
2)
3 u2 20 sin(t ) 4
3 ） i1 4 2 sin( t 45 )
4(45 180 ) 4 135 I 1
5 I1 I 2 45 10120 2 5 (cos 45 j sin 45 ) 10(cos 120 j sin 120 ) 2
2 1 5 2 3 ( 10 ) j( 10 ) 2 2 2 2 2 2 2.5 j 6.16 6.65112.1 A 5
常用相量表示形式：
Ue j U
U U U (cos j sin ) U
同理有：
Ie j I I (cos j sin ) I
注意：
正弦量的相量只是用来表征正弦量的复数，它 并不等于正弦量，即
Um u(t )
I m i(t )
例5. 已知电流
i1 (t ) 5sin(t 45 )A, i2 (t ) 10 2 sin(t 120 )A
写出电流的相量形式，绘制相量图；求解i1(t)+i2(t)。 解：
I1 5 2 45 A
I 2 10120 A
I 2
120
45
I 1
u1 (t ) u2 (t ) 17.32 2 sin(314t 5.26 )V
U1 U 2 (7.25 j15.73)V 17.3265.26 V
u1 (t ) u2 (t ) 17.32 2 sin(314t 65.26 )V
正弦量与相量的互换
正弦量
u(t ) Um sin( t u )
相量
Um Ume j u Um u 或 U Ue j u U u
I m I m e j i I m i
i(t ) Im sin(t i )
或
I Ie j i I i
i1 (t ) i2 (t ) 6.65 2 sin(t 112.1 )A
I I 1 2 I
I 2
180 (120 45 ) 15
2
根据余弦定理有：
120
45
I | |I 1 2 ( 5 2 6.65
I 1 I 2 2 I 2 a2 jb2
1） 2） 3）
A1 A2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
A1 A2 A1 A2e j ( 1 2 ) A1 A2( 1 2 )
A1 A1 j ( 1 2 ) A1 e ( 1 2 ) A2 A2 A2
1.复数
A a2 b2
b arctg a
A a jb
a A cos b A sin
A A(cos j sin )
e j cos j sin （欧拉公式）
A Ae j A
2.复数运算
A1 A1e j 1 A1 1 a1 jb1
j ( 1 90 )
jA1 A1e
A1( 1 90 )
j为90o旋转因子
A1 j ( 1 90 ) A1e A1( 1 90 ) j
3.旋转复数、正弦量、相量
将 A 以ω的角速度逆时针旋转形成旋转复数
A A[cos( t ) j sin( t )] Ae j ( t ) Ae j e j t
注意：
1.正弦量的相量为复常数，模为对应正弦量的最大 值或有效值，幅角为对应的初相角。 2.已知时间正弦量可唯一确定对应的相量，而相量 只包含了正弦量的两个要素。
3.相量运算与复数运算相同，但必须是同频率的相 量才能进行运算。
符号说明：
瞬时值：小写 最大值：大写+下标 有效值：大写 相量：大写+“.”
2) I × 1030
1030 I 10 I
10045 × 3) U 100 2 sin(t 45 )
10045 u 100 2 sin(t 45 ) U
4)
20e × I
20
j 20 I 20e
例3. 根据已知相量写出对应正弦量，频率为工频。
1)
2 3 j2 I 1
4 6
i1 4 2 sin( 314t
6
)
2)
2 3 j 2 I 2
5 4 6
5 i 2 4 2 sin( 314t ) 6
例4. 根据已知相量绘制相量图（各相量同频率）。
2 2
I 1
) 2 102 2
5 2
10 cos15
112.1
I 6.65112.1 I 1 2
课堂练习：
已知 求：
u1 (t ) 20sin(314t 30 )V
u2 (t ) 10 2 sin(314t 60 )V
u1 (t ) u2 (t )，u1 (t ) u2 (t )