心形线和参数方程20151201

上页
下页
返回
结束
求曲线 3cos 及 1 cos 所围成图形的面积.
y
=3cos
π o3
S
2
x
=1+cos
目录
上页
下页
返回
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
结束
求曲线 2 sin , 2 cos 2所围成图形的面积.
y
r 2 sin
θ

4
0
π 6
1
x
cos 2
2
目录 上页 下页 返回 结束
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
y
2a
a
t
a
0
a
2a
t 的几何意义如图示 当 t 从 0 2，x从 0 2a 即曲线走了一拱
.
x
目录
上页
下页
返回
结束
星形线的参数方程
x a cos3 t 3 y a sin t
y
P
–a
o
a ax
目录
目录
上页
下页
返回
结束
a cos(n ) (a 0) 或 玫瑰线是极坐标方程 a sin(n ) (a 0) (0≤θ<2π）所表示的曲线。
玫瑰线的有趣现象
如果n是偶数，玫瑰线就有2n个瓣，如果n是奇数，则 有n个瓣。 如果n是有理数，玫瑰线就是封闭的，其长度有限。 如果n是无理数，则曲线不是封闭的，长度为无穷大
y
P
r

x
2a
0 2
o
0 r 2a
.
目录
上页
下页
返回
结束
如图,设心形线上的点P的极坐标为 ( , ) . 由对称性知, 四边形ABPO是等腰梯形.
a AO BP . AOP .所以 2
Oj jk kP
a a cos a cos . 2 2
下页
返回
结束
圆的的参数方程
x y a
2 2
2
x a cos t ,0 t 2 . y a sin t
参数方程 参数 t 可以是角度、时间、弧长等，其取值范围可 以是全体实数，也可以是某个实数区间．
目录 上页 下页 返回 结束
椭圆的的参数方程 2 2 x y x a cos t 2 1 , 0 t 2 . 2 a b y b sin t
下页
返回
结束
练习 P289 28
求对数螺线 e a 相应于 0 的一段弧长.
在极坐标系中,当动点的矢径的对数与极角θ 成正比(即lnρ =aθ,a为常数)时,动点的轨迹
目录
上页
下页
返回
结束
玫瑰线
• 玫瑰线是极坐标方程 a cos(n ) (a 0)或 a sin(n ) (a 0) (0≤θ<2π）所表示的曲线。
目录
上页
下页
返回
结束
阿基米德螺线 a (a 0)
一动点沿一直线作等速移动的同 时，该直线又绕线上一点O作等角 速度旋转时，动点所走的轨迹就 是阿基米德螺线。 直线旋转一周时，动点在直线上 移动的距离称为导程用字母S表示 。
O r a
2π a
r
点击图中任意处 动画播放\暂停
目录
上页
目录
上页
下页
返回
结束
摆线的参数方程
一拱
y O
2π a x
目录
上页
下页
返回
结束
旋轮线
一圆沿直线无滑动地滚动， 圆上任一点所画出的曲线。
a
x
目录
上页
下页
返回
结束
旋轮线
一圆沿直线无滑动地滚动， 圆上任一点所画出的曲线。
x
来看动点的慢动作
目录 上页 下页 返回 结束
摆线
圆上任一点所画出的曲线。 一圆沿直线无滑动地滚动，
上页
下页
返回
结束
3. 求曲线 图形的公共部分的面积 .
与
所围成
π 解： 令 r2 ( ) 0 , 得 4 所围区域的面积为
r2 a(cos sin )
O x r1 a cos
0 π 4
a (π 1) 4
目录 上页 下页 返回 结束
2
例. 计算心形线
目录
上页
下页
返回
结束
玫瑰线图片欣赏
目录
上页
下页
返回
结束
参数方程所确定的函数
若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数
称此为由参数方程所确定的函数. 如
x 2t , 2 yt ,
x t 消去参数 t 2
2
2 x x y t2 2 4
目录
上页
所围图形的面积 .
与圆
1 2 cos cos 2
1 (1 cos 2 ) 2
y
O
a
2a x
目录
上页
下页
返回
结束
例. 求双纽线
所围图形面积 .
y
π 4
O
a x
π 4
目录
上页
下页
返回
结束
练 习
求双纽线
2a cos 2 所围面积。
2 2
y
0
4
2a
x
目录
心形线 (圆外旋轮线) 一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
y
o
a
a
x
目录
上页
下页
返回
结束
心形线 (圆外旋轮线)
y
o
a
a
x
来看动点的慢动作
目录
上页
下页
返回
结束
y
o
a
a
x
2a
来看动点的慢动作
.
目录
上页
下页
返回
结束
心形线 (圆外旋轮线) 一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。