金兰组织高二下数学期中试题理科
浙江金兰教育合作组织2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
浙江金兰教育合作组织2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．“笑靥踏青行，不负好韶光”，4月初某学校组织安排了高二年段的研学踏青活动，现要求5个班级分别从3个景点中选择一处游览，则不同的选法有（ ）种 A ．53B ．35C ．35A D ．353C2．()2024x y -的二项展开式中，第m 项的二项式系数是（ ）A ．2024C mB ．12024C m +C ．12024C m -D ．()1120241C m m ---3．下列说法正确的是（ ）A ．线性回归分析中决定系数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1C ．正态分布()2,N μσ的图象越瘦高，σ越大D ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好4．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（ ） A ．32B ．65C ．95D ．25．某医院对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X 服从正态分布()23.5,N σ，若()0.3P X t >=，则()7P X t >-=（ ）A ．0.2B ．0.7C ．0.8D ．0.96．2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，组委会将篮球、网球、排球、空手道、击剑、摔跤6个项目安排在3个不同的体育场馆比赛，每个场馆安排2个项目，其中排球、空手道必须安排到同一场馆，则不同的排法共有（ ） A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种7．为了考查一种新疫苗预防某X 疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的16，没接种且发病的占没接种的13，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X 疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（ ）只()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++A ．35B ．36C ．37D ．388．已知随机变量ξ的分布列为则下列说法不正确的是（ ） A ．a ∀，()0,1b ∈，()12E ξ≤ B ．a ∀，()0,1b ∈，()()()22D E E ξξξ=-⎡⎤⎣⎦C ．a ∃，()0,1b ∈，()13D ξ>D ．a ∃，()0,1b ∈，()()13D E ξξ>二、多选题9．下列说法中正确的有（ ）A ．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X ，则X 服从二项分布B ．已知随机变量X 服从二项分布(),B n P ，若()30E X =，()20D X =，则23P = C ．设随机变量()2~3,2X N ，则15122E X ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1122D X ⎛⎫+= ⎪⎝⎭D ．以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.43z x =+，则c ，k 的值分别是3e 和0.410．已知()()()()()72701272111f x x m a a x a x a x =-=+-+-++-L ，若712027128222a a a a ++++=L ，则正确的是（ ） A ．1m = B ．3160a =C ．()3f 除以6所得余数为5D ．123456723456714a a a a a a a -+-+-+=11．甲、乙两个罐子均装有2个红球，2个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同．先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件A i （0i =，1，2）表示从甲罐中取出的2个球中含有i 个红球，B 表示从乙罐中取出的球是红球，则正确的是（ ）A ．()135P A =B ．()247P B A =C ．()1235P A B =D ．()25P B =三、填空题12．某工厂为研究某种产品的产量x （吨）与所需某种原材料的质量y （吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据(),x y ，如表所示．根据表中数据，得出y 关于x 的经验回归方程为$$0.7y x a=+．据此计算出在样本()3,2处的残差为．13．在722x x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，63x y 的系数为．14．每年的3月5日是学雷锋活动纪念日，某学校团委推荐甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加四个乡镇的志愿者服务，每个乡镇至少安排一人，且甲、乙两人安排在同一个乡镇，丙、丁两人不安排在同一个乡镇，则不同的分配方法总数为．四、解答题15．2022年，华为公司持续加大研发投入，2022年研发投入达到1615亿元，占全年收入的25.1%均处于历史高位，十年累计投入的研发费用超过9773亿元．为进一步突破卡脖子的技术，解决芯片制造的难题，以保持面向未来的持续创新能力，华为某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力．现得到一组该技术研发投入x （单位：亿元）与收益y （单位：亿元）的数据如下表所示：(1)已知可用一元线性回归模型$$y bx a =+$拟合y 与x 的关系，求此经验回归方程； (2)该高科技企业主要研发了一类新产品，已知该产品的品质达到世界超一流水平的概率为23，现随机抽取5件产品，求至少有3件产品的品质到达世界超一流水平的概率． （附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其经验回归直线$$y bxa =+$的斜率和纵截距的最小二乘法估计公式分别为：()121ni ii ni i x y nxybx x==-=-∑∑$，$a y bx =-$；81683i i l x y ==∑．）16．2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生互不相邻的坐法有多少种？(2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ (3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 17．在二项式2nx ⎫⎪⎭的展开式中，(1)若第4项的系数与第6项的系数比为5∶6，求展开式中的有理项； (2)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项．18．某校高三年级有750人，某次考试不同成绩段的人数()~125,64N ξ，且所有得分都是整数．(1)求该校高三年级本次考试的平均成绩及标准差； (2)计算本次考试得分超过141的人数；（精确到整数）(3)本次考试中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案有三个选项的，则每个选项．．．．．．．．．．．．．．．．2．分；正确答案是．．．．．．．2．个选．．项的，则每个选项为．．．．．．．．．3．分．），有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为13，选择两个选项的概率为12，选择三个选项的概率为16．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；()330.9973P X μσμσ-<≤+≈．19．一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9．(1)请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联．(2)一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q 2运输船”和1艘“M 1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了n 次，记左边剩余“M 1转移塔”的艘数为n X ，左边恰有1艘“M 1转移塔”的概率为n a ，恰有2艘“M 1转移塔”的概率为n b ，求 ①求X 的分布列； ②求n a ；③试判断()n E X 是否为定值，并加以证明． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．。
高二理科数学下册期中检测试卷及答案
～第二学期期中考试高二数学试题（理科）注意事项：1． 本试卷共4页，包含填空题（第1～14题，共14题）、解答题（第16～20题，共6题）二部分。
本次考试时间为120分钟，满分160分。
考试结束后，只需将答题纸交回。
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号、班级等信息用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。
3． 作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
参考公式：线性回归方程系数公式：,)())((211^∑∑==---=ni i ni i ix x y y x xb x b y a ^^-=.样本相关系数公式：,)()())((21211∑∑∑===----=ni i ni ini i iy y x xy y x xr卡方统计量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直 接填写在答题纸指定位置. 1.化简=+-ii11 ▲ . 2．=-3545C A .3．已知,11ni im-=-其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m . 4.在回归分析中，对于y x ,随机取到的n 对数据),,2,1)(,(n i y x i i =样本相关系数r 具有下列哪些性质：①;1≤r ②r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越弱;③r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越强；④r 越接近于0，y x ,的线性相关程度越强，请写出所有正确性质的序号： .5.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 .①若2χ的观测值满足2χ≥6.635,我们有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100人吸烟的人中必有99患有肺病;②从独立性检验可知有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99％的可能患有肺病;③其从统计量中得知有95％的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5％的可能性使得推判出现错误.6.某地区的年财政收入x 与年支出y 满足线性回归模型ε++=bx a y （单位：亿元），其中.5.0,2,8.0≤==εa b 如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过 .7.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有 种.8．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AC AB ,互相垂直，则三角形边长之间满足关系：.222BC AC AB =+若三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .9．已知推理：“因为△ABC 三边长依次为3，4，5，所以△ABC 是直角三角形”.若将其恢复成完整的三段论，则大前提是 . 10.观察下列等式：,),4321(16941,321941),21(41,11 +++-=-+-++=+-+-=-=由此推测第n 个等式为 .（不必化简结果） 11.已知,12121=-==z z z z 则21z z +等于 .12.在复平面内，Ｏ是原点，,,表示的复数分别为,51,23,2i i i +++-那么表示的复数为 .13.设正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),1(21nn n a a S +=推测出n a 的表达式为 . 14.将正奇数排列如右表所示，其中第i 行第j 个数表示为),,(**N j N i a ij ∈∈例如.932=a 若,2009=ij a 则=+j i .二、解答题：本大题共６小题，共90分.在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题14分）已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=当实数m 取什么值时，复数z 是： （１） 零；（２）纯虚数； （３）.52i z +=16.（本小题１４分）先解答（１），再通过结构类比解答（２） （１） 求证：;tan 1tan 1)4tan(xxx -+=+π（２） 设R x ∈且,)(1)(1)1(x f x f x f -+=+试问：)(x f 是周期函数吗？证明你的结论.17.(本小题１４分)设有编号为１，２，３，４，５的五个球和编号为１，２，３，４，５的五个盒子，现将这五个球放入５个盒子内.（１） 只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（２） 没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？18.（本小题１６分）设,1,*>∈n N n 用数学归纳法证明：.131211n n>++++19.(本小题16分)某电脑公司有６名产品推销员，其中５名推销员的工作年限与年推销金额数据如下表：（１） 求年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数（精确到小数点后两位）； （２） 求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；（３） 若第６名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额. (参考数据：;02.104.1≈由检验水平0.01及,32=-n 查表得.59.001.0=r )20.（本小题16分０设Q P ,是复平面上的点集，{}{}.,2,05)(3P z iz Q z z i z z z P ∈===+-+⋅=ωω（１）Q P ,分别表示什么曲线？（２）设,,21Q z P z ∈∈求21z z -的最大值与最小值.2019－2019学年度第二学期期中考试高二数学答题纸一．填空题：（本题共14小题，每题5分，共70分）1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12.13. 14.二．解答题：（本题共6题，共90分,请写出必要的解答或证明过程）15题：（本题14分）16题：（本题14分）17题.（本题14分）…18题：（本题16分）…19题：（本题16分）20题：（本题16分）高二理科数学参考答案一、填空题1. i -；2. 110；3. i +2；4. ①③；5. ③；6. 10.5亿元；7. 81； 8. 2222ACD ABC ABD BCD S S S S ∆∆∆∆++=；9. 一条边的平方等于其它两条边平方和的三角形是直角三角形； 10. )321()1()1(4321121222n n n n ++++-=⋅-++-+--- ；11.12. i 44-；13. 1--=n n a n ；14. 60二、解答题15. 解：（1）由⎩⎨⎧=-+=-0320)1(2m m m m 可得m=1； …………4分（2）由⎩⎨⎧≠-+=-0320)1(2m m m m 可得m=0； …………8分（3）由⎩⎨⎧=-+=-5322)1(2m m m m 可得m=2； …………12分综上：当m=1时，复数z 是0；当m=1时，复数z 是纯虚数；当m=2，复数z 是i 52+． …………14分 16. 解：（Ⅰ）xx x x x tan 1tan 14tantan 14tantan )4tan(-+=-+=+πππ； …………4分 （Ⅱ）)(x f 是以4为其一个周期的周期函数． …………6分∵)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)1)1(()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=++=+， …………10分 ∴)()2(1)2)2(()4(x f x f x f x f =+-=++=+， …………12分所以)(x f 是周期函数，其中一个周期为4． …………14分 17. 解：（1）只有一个盒子空着，则有且只有一个盒子中投放两个球，另外3只盒子中各投放一个球，先将球分成2，1，1，1的四组，共有25C 种分法， …………4分再投放到五个盒子的其中四个盒子中，共有45A 种放法，所以满足条件的投放方法共有4525A C =1200（种）； …………8分（2）五个球投放到五个盒子中，每个盒子中只有一个球，共有55A 种投放方法，而球的编号与盒子编号全相同的情况只有一种，所以球的编号与盒子编号不全相同的投放方法共有155-A =119（种）． …………14分18. 证明：记)(n f ＝+++31211…n1+（*N n ∈，n ＞1）， …………2分（1）当n ＝2时，211)2(+=f ＞2，不等式成立； …………6分（2）假设n ＝k （*N k ∈，k ≥2）时，不等式成立， …………8分 即)(k f ＝+++31211…k1+＞k ，则当n ＝k +1时，有)1(+k f ＝)(k f +11+k ＞k +11+k ＝11)1(+++k k k＞11++k k ＝1+k …………12分∴当n ＝k +1时，不等式也成立. …………14分 综合（1），（2）知，原不等式对任意的*N n ∈（n ＞1）都成立. …………16分 19. 解：(Ⅰ)由∑=--ni i iy y x x1))((=10，∑=-n i i x x 12)(=20，21)(∑=-ni i y y =5.2，可得98.02.52010≈⨯=r ， …………4分∴年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数约为0.98． …………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，98.0=r ＞01.0959.0r =,∴可以认为年推销金额y 与工作年限x 之间具有较强的线性相关关系. …………8分设所求的线性回归方程为a bx y+=ˆ，则4.0,5.0==a b . …………10分 ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为4.05.0ˆ+=x y. …………12分 (Ⅲ) 由(Ⅱ) 可知，当11x =时, 4.05.0ˆ+=x y= 0.5×11+ 0.4 = 5.9万元， ∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元． …………16分 20. 解：（1）设yi x z +=（R y x ∈,）， …………2分 则集合=P {),(y x ︱05622=+-+y y x }＝{),(y x ︱4)3(22=-+y x }，故P 表示以（0，3）为圆心，2为半径的圆； …………6分第11页 共11页 设yi x +=ω（R y x ∈,），P i y x z ∈+=00（R y x ∈00,）且iz 2=ω，…………8分 则⎩⎨⎧=-=0022x y y x …………10分 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x y y x 212100代入4)3(22=-+y x 得16)6(22=++y x ，故Q 表示以（－6，0）为圆心，4为半径的圆； …………12分（2）21z z -表示分别在圆Q P ,上的两个动点间的距离，又圆心距53=PQ ＞2+4， 故21z z -最大值为6+35，最小值为35－6． …………16分。
高二第二学期期中考试数学试题(理科),DOC
高二第二学期期中考试数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1、复数1ii -的共轭复数的虚部为（）A .1B .1-C .12D .12-2、若2133adx a a =-+⎰，则实数a =（）A .2B .2-3、化简(为（）4、函数),a b 内的A .1个B 56A .157A .0B 8、4 A .129A .2-10A.6011、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，()2x f x e ex a -=-+，则函数()f x 在1x =处的切线的方程是（）12、函数()f x 满足()00f =，其导函数()f x '的图象如右图 所示，则()f x 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积是（）A.1B.43C.2D.83二、填空题（每小题5分，共20分）13、若()102100121021x a a x a x a x -=++++，则3a =.14、若()2120x i x i m ++++=有实数根，i 是虚数单位，则实数m 的值为. 15、若函数()()3261f x x ax a x =++++有极值，则实数a 的取值范围是 16、函数()()f x x R ∈满足()11,f =且()f x 在R 上的导函数()12f x '>，则不等式()12x f x +<的解集是.三、解答题（共计70分）17、（10n2倍.（1）求（218、（12（1）求（2）若19、（12（（20、（12（1）求（2（321、（1222、（12分）已知a R ∈，函数()ln 1.af x x x =+-（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （2）求()f x 在区间(]0,e 上的最小值.高二第二学期期中考试数学试题（理科）答案一、选择题（每小题5分，共60分）CBCACADBADBB二、填空题（每小题5分，共20分）13、1680-；14、2-；15、36a a <->或16、(),1-∞ 三、解答题（共6个小题，总计70分） 17、（1）83n =分；01288888822565C C C C ++++==分.（2）848k k k --18、312分.19、6分；（212分. 20、（2)312x x =-令f '故(f 所以（33 ⎪⎝⎭3 ⎪⎝⎭故()f x 在223x x =-=或处取得最大值，又23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2227c +，()22f c =+，所以()f x 的最大值为2c +.因为()2f x c <在[]1,2-上恒成立，所以22,c c >+所以12c c <->或12分.21、（1）若两名老师傅都不选派，则有44545C C =种；…3分（2）若两名老师傅只选派1人，则有13414325425460C C C C C C +=种；…7分 （3）若两名老师傅都选派，则有224242233254254254120C C C C C C A C C ++=种. 故共有5+60+120=185种选派方法.……………………………12分22、（1）当1a =时，()()1ln 1,0,,f x x x x=+-∈+∞所以()()22111,0,.x f x x x x x -'=-+=∈+∞又f （2令f 若a 7若],a e 时，若a e 时，函(]0,e 上分。
高二下学期期中数学试卷(理科)第25套真题
高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题1. 复数=（）A .B .C .D .2. 函数f（x）=（x+1）2（x﹣1）在x=2处的导数等于（）A . 1B . 4C . 9D . 153. 所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，属于哪种推理（）A . 归纳推理B . 类比推理C . 合情推理D . 演绎推理4. 下面是关于复数z= 的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A . p2，p3B . p1，p2C . p2，p4D . p3，p45. 下列结论中正确的是（）A . 导数为零的点一定是极值点B . 如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值C . 如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极小值D . 如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极大值6. 用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A . a、b至少有一个不为0B . a、b至少有一个为0C . a、b全不为0D . a、b中只有一个为07. 等于（）A . 1B . e﹣1C . e+1D . e8. 当＜m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限9. 用数学归纳法证明“1+ + +…+ ＜n （n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A . 2k﹣1B . 2k﹣1C . 2kD . 2k+110. 设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的部分图象如图所示，则y=f （x）的图象最有可能是图中的（）A .B .C .D .11. 在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中的●的个数是（）A . 12B . 13C . 14D . 1512. 已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f’（x）在R上恒有f’（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＞x+1的解集为（）A . （1，+∞）B . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C . （﹣1，1）D . （﹣∞，1）二、填空题13. z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i，m∈R．z2=3﹣2i．则m=1是z1=z2的________条件.14. 曲线y= 在点（﹣1，﹣1）处的切线方程________．15. 观察下列式子：1 ，1 ，1…，由此可归纳出的一般结论是________．16. 已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．三、解答题17. 若an+1=2an+1（n=1，2，3，…）．且a1=1．（1）求a2，a3，a4，a5；（2）归纳猜想通项公式an ．18. 实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？19. 如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（Ⅰ）直线EF∥平面ACD；（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD．20. 计算由直线y=6﹣x，曲线y= 以及x轴所围图形的面积．21. 已知函数f（x）= x3+ax2﹣bx（a，b∈R），若y=f（x）图象上的点（1，﹣）处的切线斜率为﹣4，（1）求f（x）的表达式．（2）求y=f（x）在区间[﹣3，6]上的最值．22. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+ c＜c2恒成立，求c的取值范围．。
高二下学期期中考试理科数学试卷含答案(共5套)
高二下学期理科数学期中考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-，则AB 等于（ ）A ．[]1,6-B ．(]1,6C ．[)1,-+∞D ．[]2,3 2．复数201811z i i=++在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（0a >且1a ≠）. 则下列命题为真命题的是( )A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨ 4．已知平面向量,a b 满足3a =， 23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π5．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：240ax y +-=与直线2l ：()120x a y +++=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1D ．27．执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框 中，应填入（ ） A ．?n k < B ．?n k > C ．?n k ≥ D ．?n k ≤8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．121B ．49C ．92D ．39．某城市关系要好的A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）A. 48种B. 36种C. 24种D. 18种 10．已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ）A ． π16B ．π8 C. π4 D ．425π11．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为C 的左、右焦点， 212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C 的离心率为（ ）A ．2或3B ．2或3C ．2D ．212．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则()1f =（ ）A. 12-B. 0C. 12D. 1第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2-=⎰**** .14．5(2)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 **** ．（用数字表示） 15．若sin 2cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α= **** ． 16．对任一实数序列),,,(321 a a a A =，定义新序列),,,(342312 a a a a a a A ---=∆，它的第n 项为n n a a -+1，假设序列)(A ∆∆的所有项都是1，且02212==a a ，则=2a **** ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()cos 2cos b C a c B =-. （1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值．18．(本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据),(i i y x （6,,2,1 =i ）如下表所示：已知变量,x y 具有线性负相关关系，且3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲：544+=x y ；乙：1064+-=x y ；丙：1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出,a b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率．19．(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =， 121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =， 1n n n b b a n +=+-. （1）证明：{}n a n -是等比数列； （2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T ．20．(本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ． （1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==， PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)22,1(P ，且离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）设21,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点B A ,，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.（1）若0>a ，且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若320<<a ，判断函数)(x f 的零点个数并证明．高二下学期理科数学期中考试参考答案及评分标准13、2π； 14、10 ； 15、8； 16、100. 11、【解析】由于12PF F ∆为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于22b PF a =，所以212b PF a a =+，故外接圆半径为21122b PF a a=+.设内切圆半径为r ，根据三角形的面积公式，有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭，解得2b r ac =+，故两圆半径比为22:2.52b b a a a c ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，化简得()()()1230e e e +--=，解得2e =或3e =.12、【解析】曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，所以()'11f =- ，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，可得1x >时， ()()2'0,f x xf x +>01x <<时， ()()2'0f x xf x +<，令()()()2,0,,g x x f x x =∈+∞ ()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦，可得1x >时，()'0,g x >01x <<时，()'0g x <，可得函数()g x 在1x =处取得极值， ()()()'121'10,g f f ∴=+=， ()()111'122f f ∴=-⨯=，故选C.17、【解析】 (1)由()cos 2cos b C a c B =-，得()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=-⋅sin()2sin cos sin B C A B A ∴+=⋅=，又sin 0A ≠, 1cos 2B ∴=， 又0B π<<, 3B π∴=. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2212a c ac =+-，∵222a c ac +≥，∴12ac ≤，当且仅当a c ==∴11sin 12222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=即ABC ∆面积的最大值为.……………………10分18、解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系， ∴甲是错误的. 又∵3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的.由3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，得8=a ，90=b . ……………………6分（2）由计算得不是“理想数据”有3个，即(5,84),(7,80),(9,68)，从6个检测数据中随机抽取2个，共有2615C =种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有233C =中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：341155P =-=.……………………12分19、【解析】（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列. …………………4分 （2）由（1）得()11122n n n a n a --=-⋅=，又1n n n b b a n +=+-12n n n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥12b =满足上式. 2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分20、【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥． ………………4分 （2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以13,22AO PA PO PA ==， 因为3PA AB =，所以36BO PA =． 如图，分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立所示空间直角坐标系， 设6PA =，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,0,0O A B C -，()0,3,0,D -()3330,0,33,,0,22P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以()9330,23,0,,0,,22DB AH ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()3,3,0,3,0,33AB AP =-=-．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111230933022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令11x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223303330n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令23x =，则223,1y z ==，所以()23,3,1n =，记二面角P AM N --的大小为θ，θ为锐角 则1212122339cos cos ,13213n n n n n n θ⋅====⋅⋅ 所以二面角P AM N --的余弦值为3913．……………………12分21、解析：（1）由题意，知22111,22a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩考虑到222a b c =+，解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………3分 （2）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2212x y +=， 整理得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=.由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->，得2221k m >-. ①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412kmx x k+=-+，21222(1)12m x x k -=+. 因为(1,0)F -，所以1111AF y k x =+，1221AF y k x =+. 因为1212211y yk x x =+++，且11y kx m =+，22y kx m =+， 所以12()(2)0m k x x -++=.因为直线AB ：y kx m =+不过焦点(1,0)F -，所以0m k -≠， 所以1220x x ++=，从而242014km k -+=+，即12m k k=+. ② 由①②得2212()12k k k>+-，化简得||2k > ③ 焦点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离211|2|2k d ++===.令t =||2k >t ∈.于是23132()2t d t t t+==+.考虑到函数13()()2f t t t=+在上单调递减，则(1)f d f <<2d <<.所以d的取值范围为2). ……………………12分22、解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1.…………………4分 (2)∵320<<a ，ax e x f x+-=1)('， 记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x， 知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，1'(1)01f e a=->+， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ， 即01)('000=+-=ax ex f x ， 于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增.∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=，当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. …………12分高二（下）理科数学期中考试试卷一、单选题（共12题；共60分）1．()()121-1x +=⎰A. 212+π B. 214+πC. 12+πD. 21+π2．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（）A.12 B. 23 C. 35D. 34 3．设复数z 满足()11z i i +=-，则z =（） A. 2i -- B. 1i -- C. 2i -+ D. 1i -+4．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[42ππ，），则点P横坐标的取值范围为()A. 12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B. []10-，C. []01， D. 12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 5．已知函数，在区间（0，1）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是A. （15，B. [15，C. （，6） D. （，66．若,则下列不等式恒成立的是 ( )A.B.C. D.7．函数f(x)＝x 3＋ax 2+bx ＋a 2在x=1处的极值为10，则数对（a,b ）为( )A. （-3,3）B. （-11,4）C. （4，-11）D.（-3,3）或（4，-11） 8.已知对于任意恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A. 0B. 1C.D.9.函数f（x）= 的大致图象是（）A. B.C. D.10.已知函数，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（）A. cB. a+b+cC. 8a+4b+cD. 3a+2b11.设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.12.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共20分）13.若，则= ________14.球的直径为，当其内接正四棱柱的体积最大时的高为________.15.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是________.16.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为________.三、解答题（共6题；共70分）17.已知．(满分10分) （1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间．18.已知函数，．（满分10分）（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.19.已知三棱锥A BCD -如图所示，其中90BAD BDC ∠=∠=︒，ADB DBC ∠=∠，面ABD 垂直面CBD.（满分14分）（1）证明：AB DC ⊥；（2）若E 为线段BC 的中点，且1AD =，tan 6CAD ∠=，求二面角B AD E --的余弦值.20.已知椭圆C1的方程为+ =1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．（满分12分）（1）求双曲线C2的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2 ，求直线l的方程．21.已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．（满分12分）22.已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a为实数）．（满分12分）（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[ ，e]上的最大值和最小值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），g（x）=f（x）﹣2ax＜0恒成立，求实数a的取值范围．19、（满分14分）20. （满分12分）21、（满分12分）答案解析部分1,B 2,B 3,A 4,D 5,B 6,C 7,C8.【答案】C【解析】【解答】依题意得令，则,当时，，当时，，所以函数先增后减，最小值为，所以.故答案为:C.9.【答案】C【解析】【解答】解：∵f（x）= ，当x=0时，f（0）=﹣3，故排除AB当x= 时，f（）=0，故排除D，故选：C10.【答案】C【解析】【解答】由导函数的图象可知，在处取得极小值，.f(2)=8a+4b+c故答案为：C。
高二第二学期期中考试理科数学试卷含答案
高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集是实数集R ，2{|2730}A x x x =-+≤，2{|0}B x x a =+<，若()R C A B B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,)4-+∞ B ．1(,]4-∞- C ．1[,)4-+∞ D ．1(,)4-∞- 2.设复数122iz i-=-（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知a ，b 都是实数，则“4a b +≥”是“224a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 4.设1sin cos 2x x +=-（其中(0,)x π∈），则cos 2x 的值为（ ）A B ．5.已知l 、m 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l m ，l α，则m α B ．若αβ⊥，l α，则l β⊥ C.若l β⊥，αβ⊥，则l α D ．若l m ⊥，l α⊥，且m β⊥，则αβ⊥6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．36128π+B ．128π C.36 D ．3664π+7.某程序框图如图所示，若输入的100N =，该程序运行后输出的结果为（ ）A ．50B ．1012 C.51 D ．10328.某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为（ ） A ．8 B ．16 C.24 D ．609.定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，(2)3f -=-，数列{}n a ，满足11a =-，且2n n S a n =+（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则56()()f a f a +=（ ） A ．-2 B ．3 C.-3 D ．210.如图为函数()f x =01x <<）的图象，其在点(,())M t f t 处的切线为l ，l 与y 轴和直线1y =分别交于点P 、Q ，点(0,1)N ，若PQN ∆的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为（ ）A ．110,427⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．110(,]227 C.110(,]227 D ．18(,)427 11.设点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，l 为12PF F ∆的内心，若11122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆+=，则该椭圆的离心率是（ ）A ．12 B．2C.2 D ．14 12.在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（ ） A．,1)5 B．5C.(5 D．[5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.设4(1)x -的展开式中2x 的系数为A ，则A = ．14.设a ，b 为两非零向量，且满足||||2a b +=，222a b a b ⋅=⋅，则两向量a ，b 的夹角的最小值为 ．15.已知正数x ，y 满足1910x y x y+++=，则x y +的最大值为 ． 16.设点(,)M x y 的坐标满足不等式组001x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，点(,)m n 在点(,)M x y 所在的平面区域内，若点(,)N m n m n +-所在的平面区域的面积为S ，则S 的值为 ．三、解答题 ：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的所对边的长分别为a 、b 、c，且a =3b =，sin 2sin C A =. （I ）求c 的值； （II ）求sin(2)3A π-的值.18. 设函数()kx f x x e =⋅（0k ≠）（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.19. 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S . （I ）求n a 及n S ； （II ）令211n n b a =-（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T .20. 如图（1）在等腰ABC ∆中，D ，E ，F 分别是AB ，AC 和BC 边的中点，120ACB ∠=︒，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A DC B --.(如图（2）)（I ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （II ）求二面角E DF C --的余弦值；（III ）在线段BC 是否存在一点P ，但AP DE ⊥？证明你的结论.21. 已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为2，Q 为椭圆C 的左顶点. （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）已知过点5(,0)6-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （i ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小；（ii ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.22. 已知函数2()ln()f x x ax =（0a >）（1）若2'()f x x ≤对任意的0x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，设函数()()f x g x x =，若1x ，21(,1)x e∈，121x x +<，求证41212()x x x x <+.试卷答案一、选择题1-5:CDAAD 6-10:AACBD 11、12：AA 二、填空题 13.6 14.3π15.8 16.1 三、解答题17.解：（I ）∵a =sin 2sin C A =，∴根据正弦定理sin sin c a C A =得：sin 2sin Cc a a A===（II ）∵a =3b =，c =∴由余弦定理得：222cos 2c b a A bc +-==， 又A 为三角形的内角，∴sin 5A ==， ∴4sin 22sin cos 5A A A ==，223cos 2cos sin 5A A A =-=，则4sin(2)sin 2coscos 2sin33310A A A πππ--=-=. 18.解：（1）'()(1)kx kx kxf x e kxe kx e =+=+（x R ∈）,且'(0)1f =，∴切线斜率为1， 又(0)0f =，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为0x y -=.（2）'()(1)kxf x kx e =+（x k ∈），令'()0f x =，得1x k=-， ○1若0k >，当1(,)x k ∈-∞-时，'()0f x <，()f x 单调递减；当1(,)x k ∈-+∞时，'()0f x >， ()f x 单调递增.○2若0k <，当1(,)x k ∈-∞-时，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,)x k∈-+∞时，'()0f x <， ()f x 单调递减.综上所述，0k >时，()f x 的单调递减区间为1(,)k -∞-，单调递增区间为1(,)k-+∞； 0k <时，()f x 的单调递增区间为1(,)k -∞-，单调递减区间为1(,)k-+∞19.解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所有有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13a =，2d =，所有32(1)21n a n n =+-=+；2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. （II ）由（I ）知21n a n =+，所以221111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ===⋅=--+-++， 所以数列{}n b 的前n 项和11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++， 即数列{}n b 的前n 项和4(1)n nT n =+.20.解：（I ）如图1在ABC ∆中，由E ，F 分别是AC ，AB 中点，得EF AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面EDF ，∴AB 平面DEF .（II ）∵AD CD ⊥，BD CD ⊥,∴ADB ∠是二面角A CD B --的平面角，∴AD BD ⊥， ∴AD ⊥平面BCD ， 取CD 的点M ，使EMAD ，∴EM ⊥平面BCD ，过M 作MN DF⊥于点N ，连接EN ，则EN DF ⊥， ∴MNE ∠是二面角E DF C --的平面角.设CD a =，则2AC BC a ==，AD DB ==， 在DFC ∆中，设底边DF 上的高为h 由Rt EMN ∆中，122EM AD ==，124MN h ==，∴tan 2MNE ∠= 从而cos 5MNE ∠=（III ）在线段BC 上不存在点P ，使AP DE ⊥，证明如下：在图2中，作AG DE ⊥，交DE 于G 交CD 于Q 由已知得120AED ∠=︒，于是点G 在DE 的延长线上，从而Q 在DC 的延长线上，过Q 作PQ CD ⊥交BC 于P ， ∴PA ⊥平面ACD ，∴PQ DE ⊥，∴DE ⊥平面APQ ，∴AP DE ⊥. 但P 在BC 的延长线上.图1图221.解：（I ）设椭圆C 的标准方程为22221x y a b+=（0a b >>），且222a b c =+.由题意，椭圆C 过点(0,1)1b =，c a =. 所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （II ）由（I ）得(2,0)Q -.设11(,)A x y ，22(,)B x y .（i ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-. 由226514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得6545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩即64(,)55A -，64(,)55B --（不妨设点A 在x 轴上方）. 则直线AQ 的斜率1，直线BQ 的斜率1-.因为直线AQ 的斜率与直线BQ 的斜率的乘积为1-，所以AQ BQ ⊥，所以2AQB π∠=.（ii ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()5y k x =+（0k ≠）由226()514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>.212221222402510014410025100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为11(2,)QA x y =+，22(2,)QB x y =+，116()5y k x =+，226()5y k x =+， 所以22212121212636(2)(2)(1)(2)()4525QA QB x x y y k x x k x x k ⋅=+++=++++++ 2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+⨯++-++=++ ∴QA QB ⊥.所以QAB ∆为直角三角形.假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则||||QA QB =. 取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ⊥. 记点6(,0)5-为N .另一方面，点M 的横坐标2224520M k x k =-+，所以点M 的纵坐标26520M ky k=-+. 所以22222222101666660132(,)(,)0520520520520(520)k k k k QM QN k k k k k ++⋅=⋅=≠+++++所以QM 与NM 不垂直，矛盾.所以当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.22.解：（1）'()2ln()f x x ax x =+ 2'()2ln()f x x ax x x =+≤，及2ln()1ax x +≤在0x >上恒成立 设()2ln()1u x ax x =+-，2'()10u x x=-=，2x =，2x >时，单调减，2x <单调增，所以2x =时，()u x 有最大值(2)u(2)0u ≤，2ln 212a +≤，所以02a <≤（2）当1a =时，()()ln f x g x x x x ==，'()1ln 0g x x =+=，1x e=， 所以在1(,)e +∞上()g x 是增函数，1(0,)e 上是减函数因为11211x x x e<<+<，所以121212111()()ln()()ln g x x x x x x g x x x +=++>=即121121ln ln()x x x x x x +<+ 同理122122ln ln()x x x x x x +<+ 所以1212121212122121ln ln ()ln()(2)ln()x x x x x xx x x x x x x x x x +++<++=+++ 又因为122124x x x x ++≥，当且仅当“12x x =”时，取等号11 又1x ，21(,1)x e ∈，121x x +<，12ln()0x x +< 所以12121221(2)ln()4ln()x x x x x x x x +++≤+ 所以1212ln ln 4ln()x x x x +<+ 所以：41212()x x x x <+。
2023学年第一学期宁波金兰教育合作组织期中联考数学答案(高二)
2023学年第一学期宁波金兰教育合作组织期中考试高二年级数学学科参考答案及评分标准命题：柴桥中学审稿：龙赛中学一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）x y 34.13±=； m 150.15； 36.16±； 四、解答题: （本题共6个小题，其中17题10分，18至22题每题12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）'2............0956),3,4('2.,.........)3,1(,052012)1(212'2..., (012052)1252),21,25(),,()2('2.).........3,4(0520112'2................0112,2,,21)1.(17=−−⎩⎨⎧−−=−−=−−−=+=−−=−+−+⨯++⎩⎨⎧=−−=−+=−+−=⊥=y x BC C B y x y x x y BH y x y x CM M y x M y x B C y x y x y x AC k BH AC k AC BH 的方程为所以直线又的坐标为得则的方程为即，上，即在则设点的坐标为，得顶点则的方程为直线则由因为'1...........1515''2.., (15153)252'''cos '2.................325'''2..............22121212144'''''''',,)2('2..............3211222112221222144'2'22''1..........'''2...........'')1.(1822222222所成角的余弦值为与所以直线，，，用它们表示构成空间的一个基底，，由AC BD AC BD ACBD AC BD AD AB AC AA AD AB BD ADAA AB AA AD AB AD AD AB AB AD AB AA AD AB AC BD ADAB AC AA AD AB BD AC BD AA AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AB AA AD AB AC AA AD AB AC −=⨯−=⋅⋅>=<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎪⎭⎫ ⎝⎛++−=−=⎪⎭⎫ ⎝⎛−⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛−⨯⨯++−=⋅+⋅++⋅+⋅−−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++−=⋅+=++−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛−⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛−⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+++=⋅+⋅+⋅+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→若选条件的半径为设圆,)1.(19r C ①，C y x C 相切，所以圆与直线圆01743=++ '2........35174601743=++−==++r C y x 的半径，则的距离是圆到直线()()'2............91222=−++y x C 的方程为所以圆 若选条件②，与圆()()()，，半径为，的圆心为相外切，圆242442:22M y x M =−+− ()()'2..........3,51422222==−++=+r r 所以所以()()'2 (9122)2=−++y x C 的方程为所以圆 若选条件③，经过直线的交点，与直线0143023=+−=++y x y x'2......3,42,014023=⎩⎨⎧=−=⎩⎨⎧=+−=++r y x y x y x 所以得 ()()'2 (9122)2=−++y x C 的方程为所以圆 ()'2...........................,2110,292,54721)2(21422'2...........................02)2(,)(9)1()2('2.. (5)2,3123'2...........33,),0,()0()(:)2(222222222222经检验符合题意解得且离为到公共弦所在直线的距，则圆心又两圆的公共弦长为方程为得两圆公共弦所在直线由解得即两个圆有公共弦，则半径为的圆心为圆−==−+++=++−−−−==−−+⎩⎨⎧=+−=−++>+<++<−+<<−>=+−m d m m m m m d C y x m my m x y x m m m m m CN m m m m m y m x N20.（1）以A 为原点，以,,AD AB AP 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系O xyz −， 由2,1,2,AB CD AD === 44PA PQ ==，,M N 分别是,PD PB 的中点，可得：)2,1,0(,2,0,22),3,0,0(),4,0,0(),0,0,2(),0,1,2(),0,2,0(),0,0,0(N M Q P D C B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴()()2,1,0,0,2,4BC PB =−=−，2,0,12MQ ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭......2’的法向量为(01,n x y =0000n BC n PB⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩，则(102,2,2,1x n =⇒=∴)02,0,12,102MQ n ⎛⋅=−= ⎝，又MQ //平面PCB .........2’2）设平面的的法向量为(),,n x y z =又()2,1,2,2,0,22CM CN ⎛⎫=−−=− ⎪ ⎪⎝⎭ 则有：202020220n CM x y z n CN x z ⎧⎧⋅=−−=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩−+⎩， 1z =，则2,1x y ==， 所以(2,1,1n =又()2,1,0BC =−， 设直线BC 与平面MCN 所成角为θ，13sin cos 623n BCn BC n BC θ⋅=⋅===⨯⋅，∴求直线BC 与平面MCN 所成的角的正弦值为’'2.].........1,23(121,4341'1, (212142)1'2..........14,1214),(),,()1.(21m ax 22422222122,12221∈==<<−=−=−⨯=−=−=−±==+S S b b b b b b b b S b x x AB b x y x b x B b x A 所以时，当解得由设点'2 (62626)262,6,2,23441)41(161'1.).........1(22322,34'1.........1'2.........41)41(1611'1...........41)1(4,418)41(160)1(48)41(14)2(22222222222221222212212222222−−=−=+−=+=±=±===+−++=+====+=+−++=−+=+−=+−=+−+=∆=−+++⎪⎩⎪⎨⎧=++=x y x y x y x y AB b k k k b k k AB k b d S AB k b d AB O k b k kx x k AB k b x x k kb x x b k b kbx x k y x b kx y 或或或的方程为所以即所以所以，得由的距离到直线点得由()()'2.., (11680)16)8(4216,008016216)8(1422'2...........422,4,:,.22,5224210224)224,224(),224,0(),0,224()22(14:)1.(22222222222222222222222222）（即即，且与双曲线相切，所以又因为：所以则过又因为直线可得设b a a b b a a a b a a b b a a x a x a b b y a x x y l x y l m M m kx y l k k k kk P k B k A x ky AB =−=+−+−=∆≠−=−−−−⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+==+==⎪⎩⎪⎨⎧−=−−−=−−−−−−−−−−+−=+'2 (116)416,4)2)(1(),2(1168222222=−===−y x b a b a M 为所以双曲线的标准方程式可得由在双曲线上，所以又因为点 ()'2.........1020),0(125100,012510041001600100)44(4004003'2..,.........2020),20,20(),20,0(),0,20(),4(116'2,........0),16,4(),44,4(,3)4(40)16)(4(42),2(0)16(2)4(1164)2(22222222222222222222222点）的双曲线（去掉两个顶，虚轴长为轴上，实轴长为轨迹是焦点在的轨迹方程为所以，点，其中即）式代入可得：将（所以可得垂直的直线为且与于是过点其中即解得）（，即的唯一公共点，所以是双曲线与直线，x y y x P y y x y m m m m k x m y m k x mm k P m B m k A mk x k m y l M km m m k M k m k km M k m m k km l M k m kmx x k y x m kx y ≠=−≠=−+=+=+==⎪⎩⎪⎨⎧−=−=−−−−+−=+≠−−−−−==+−+−±≠=+−−−⎪⎩⎪⎨⎧=−+=。
【高考必做卷】浙江省宁波市金兰组织2013-2014学年高二下学期期中考试数学(理科)试题
【高考必做卷】宁波市金兰合作组织高二第二学期期中考试数学（理）试题(2014年4月)选择题部分 (共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．集合{}0,2,A a =,{}21,B a=,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 42．已知),2(ππα∈，53sin =α,则αtan 等于（ ）A ． 43B ． 34C ． 43-D ．34-3．在平行四边形ABCD 中， AC 为一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC ==则AD = （ ）A ．)1,1(B ．()1,1--C ．)4,2(D ．)4,2(--4. 已知b a ,都是实数，那么“22-->b a ”是“b a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5． 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,32)(22x x x x x x f 的图像与x 轴的交点个数为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D. 36．已知平面内三点AC BA x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为（ ） A ． 3 B ． 6 C ． 7 D. 97．已知函数()f x 对任意的实数x ，满足()()f x f x π=-，且当(,)22x ππ∈-时，()sin f x x x =+，则（ ）A.(3)(1)(2)f f f <<B. )2()3()1(f f f <<C.(3)(2)(1)f f f <<D. (1)(2)(3)f f f << 8. 要得到函数πsin (2)3y x =-的图象，只需将函数cos2y x =的图象（ ） A ．向左平移π6个单位 B ．向左平移5π12个单位C ．向右平移5π12个单位 D ．向右平移π3个单位 9．在ABC ∆中,若AD 是边BC 上的高,且BC AD =,则ACABAB AC +的最大值是（ ） A ．2B ．5C ．6D ．310．已知函数x x a x f +-=)(（a 为常数，且*N a ∈），对于定义域内的任意两个实数1x 、2x ，恒有1|)()(|21<-x f x f 成立，则正整数a 可以取的值有（ ）A ．4个B ．5个C ．6 个D ．7个非选择题部分 (共100分)二、 填空题 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
浙江省宁波市金兰组织2013-高二下学期期中考试数学(理科)试题
宁波市金兰合作组织高二第二学期期中考试数学（理）试题(2014年4月)选择题部分 (共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 4 2．已知),2(ππα∈，53sin =α,则αtan 等于（ ）A ． 43B ． 34C ． 43-D ．34-3．在平行四边形ABCD 中， AC 为一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC ==则AD =（ ） A ．)1,1( B ．()1,1-- C ．)4,2(D ．)4,2(--4. 已知b a ,都是实数，那么“22-->b a ”是“b a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5． 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,32)(22x x x x x x f 的图像与x 轴的交点个数为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2 D. 36．已知平面内三点x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为（ ） A ． 3 B ． 6 C ． 7 D. 97．已知函数()f x 对任意的实数x ，满足()()f x f x π=-，且当(,)22x ππ∈-时，()sin f x x x =+，则（ ）A.(3)(1)(2)f f f <<B. )2()3()1(f f f <<C.(3)(2)(1)f f f <<D. (1)(2)(3)f f f <<8. 要得到函数πs i n (2)3y x =-的图象，只需将函数c o s 2y x=的图象（ ）A ．向左平移π6个单位 B ．向左平移5π12个单位 C ．向右平移5π12个单位 D ．向右平移π3个单位 9．在ABC ∆中,若AD 是边BC 上的高,且BC AD =,则ACABAB AC +的最大值是（ ） A ．2B ．5C ．6D ．310．已知函数x x a x f +-=)(（a 为常数，且*N a ∈），对于定义域内的任意两个实数1x 、2x ，恒有1|)()(|21<-x f x f 成立，则正整数a 可以取的值有（ ）A ．4个B ．5个C ．6 个D ．7个非选择题部分 (共100分)二、 填空题 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
高二下册期中考试数学试题(理)有答案
第二学期其中考试试卷高二数学理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、计算复数2(ii i-是虚数单位） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -- D ．12i -2、函数21y x =-的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为A ．1B ．2C ．0D ．-13、由①上行的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相垂直；③正方形是菱形，写出一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③① 4、设()ln f x x x =，若0(3)f x '=，则0x = A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2 5、20cos xdx π⎰等于A ．3-B ．12C ．3D ．12- 6、若()sin cos f x x α=-，则()f α'等于A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α 7、函数()(3)x f x x e =-的单调区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．()1,4D ．()0,38、设函数()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是9、函数3239(04)y x x x x =--<<有A ．极大值5，极小值-27B ．极大值5，极小值-11C ．极大值5，无极小值D ．极小值-27，无极大值 10、已知函数()f x 在R 上满足()122(2)x f x f x e x -=-++，则()1f '=A ．2B ．3C ．-1D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
. 11、核黄素()sin 2f x x =，则函数的导函数为()f x '= 12、复数12,z i z =-=13、在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立，在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，猜想在n 边形12n A A A 中，有 不等式成立。
2018-2019学年浙江省金兰教育合作组织高二(下)期中数学试卷 含解析
2018-2019学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题.1．设集合A＝{x|x≤2}，则下列四个关系中正确的是（）A．1∈A B．1∉A C．{1}∈A D．1⊆A2．设双曲线（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x3．已知数列{a n}是等差数列，a1+a7＝﹣8，a2＝2，则数列{a n}的公差d等于（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣44．设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m，n⊂α．则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）6．函数y＝（x3﹣x）2|x|图象大致是（）A．B．C．D．7．若变量x、y满足约束条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．D．58．已知A，B，C在圆x2+y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6B．7C．8D．99．如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（）A．3：1B．C．4：1D．2：110．已知函数f（x）＝ax2+（1﹣2a）x+a﹣3，则使函数f（x）至少有一个整数零点的所有正整数a的值之和等于（）A．1B．6C．4D．9二、填空题（共7小题，双空题每题6分，每空3分，单空题每空4分，共36分.）11．计算：log2＝，＝．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3，表面积为cm2．13．已知直线l1：4x﹣3y+11＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是，此时点P的坐标为．14．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2＝1，则a1＝，d＝．15．函数的递减区间为（﹣2，﹣1），则实数a的值．16．已知平面四边形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB＝2，BC＝4，CD＝5，DA＝3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为．17．已知正实数x，y满足x+y+z＝3，xy+yz+zx＝2，则实数z的取值范围是．三、解答题（共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．设f（x）＝sin x cos x﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE＝a，点M在线段EF上，且MF＝2EM．（1）求证：AM∥平面BDF；（2）求直线AM与平面BEF所成角的余弦值．20．已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．22．设（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；（Ⅱ）当a＜1时，在内是否存在一实数x0，使f（x0）＞e﹣1成立？参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合A＝{x|x≤2}，则下列四个关系中正确的是（）A．1∈A B．1∉A C．{1}∈A D．1⊆A【分析】根据描述法表示集合的含义，1≤2，可得1是集合A中的元素．解：∵集合A＝{x|x≤2}，是所有不大于2的实数组成的集合，∴1是集合中的元素，故1∈A，故选：A．2．设双曲线（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x【分析】由题意可得b，c，由双曲线的a，b，c的关系可得a，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．解：由题意可得，双曲线的b＝1，c＝，则a＝＝，则双曲线的渐近线方程为y＝x，即为y＝x．故选：B．3．已知数列{a n}是等差数列，a1+a7＝﹣8，a2＝2，则数列{a n}的公差d等于（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，由此能求出数列{a n}的公差．解：∵数列{a n}是等差数列，a1+a7＝﹣8，a2＝2，∴，解得a1＝5，d＝﹣3．故选：C．4．设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m，n⊂α．则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】由面面平行的性质得，充分性成立；由面面平行的判定定理知，必要性不成立．解：当α∥β时，因为m，n⊂α，故能推出m∥β且n∥β，故充分性成立．当m∥β且n∥β时，m，n⊂α，若m，n是两条相交直线，则能推出α∥β，若m，n不是两条相交直线，则α与β可能相交，故不能推出α∥β，故必要性不成立．故选：A．5．若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【分析】由题意求导f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）；从而化函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值为△＝（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；从而求解．解：∵f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1，∴f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）；又∵函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，∴△＝（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；故a＞6或a＜﹣3；故选：B．6．函数y＝（x3﹣x）2|x|图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数y为奇函数，它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0，结合所给的选项得出结论．解：由于函数y＝（x3﹣x）2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0，故选：B．7．若变量x、y满足约束条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．D．5【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z＝（x﹣2）2+y2，利用距离公式进行求解即可．解：作出不等式组对应的平面区域，设z＝（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，由图象知CD的距离最小，此时z最小．由得，即C（0，1），此时z＝（x﹣2）2+y2＝4+1＝5，故选：D．8．已知A，B，C在圆x2+y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【分析】由题意，AC为直径，所以||＝|2+|．B为（﹣1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论．解：由题意，AC为直径，所以||＝|2+|所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7．所以||的最大值为7．另解：设B（cosα，sinα），|2+|＝|2（﹣2，0）+（cosα﹣2，sinα）|＝|（cosα﹣6，sinα）|＝＝，当cosα＝﹣1时，B为（﹣1，0），取得最大值7．故选：B．9．如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（）A．3：1B．C．4：1D．2：1【分析】由已知中三棱柱的侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，我们可得四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等，等于侧面ABPQB1A1的面积的一半，根据等底同高的棱锥体积相等，可将四棱椎C﹣PQBA的体积转化三棱锥C﹣ABA1的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的，求出四棱椎C﹣PQBA的体积，进而得到答案．解：设三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V∵侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，∴四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等故四棱椎C﹣PQBA的体积等于三棱锥C﹣ABA1的体积等于V则四棱椎C﹣PQB1A1的体积等于V故过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为2：1故选：D．10．已知函数f（x）＝ax2+（1﹣2a）x+a﹣3，则使函数f（x）至少有一个整数零点的所有正整数a的值之和等于（）A．1B．6C．4D．9【分析】“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．把它的两个根解出来，判断a的值即可．解：用求根公式解得x＝＝1﹣，∵x＝1﹣是两个都是整数根或一个是整数根，一个不是整数根，∴a＝1或3．故选：C．二、填空题（共7小题，双空题每题6分，每空3分，单空题每空4分，共36分.）11．计算：log2＝，＝．【分析】直接利用对数运算法则化简求值即可．解：log2＝log2＝﹣；＝＝＝3．故答案为：；．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3，表面积为cm2．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为半径为1的球体的．故，该几何体的表面积为S＝＝．故答案为：；．13．已知直线l1：4x﹣3y+11＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是3，此时点P的坐标为（，）．【分析】画出图形，过点P分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M，N．设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可得|PN|＝|PF|，求|PM|+|PN|转化为求|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．利用点到直线的距离公式即可得出距离的最小值；求出直线方程，然后求解交点坐标．解：如图所示，过点P分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M，N．设抛物线的焦点为F（1，0），由抛物线的定义可得|PN|＝|PF|，∴|PM|+|PN|＝|PM|+|PF|，当三点M，P，F共线时，|PM|+|PF|取得最小值．其最小值为点F到直线l1的距离，∴|FM|＝＝3．此时直线PF的方程为：y＝﹣，与抛物线y2＝4x联立，可得9x2﹣82x+9＝0，解得x＝，x＝9（舍去），可得y＝．P（，）故答案为：3；（，）．14．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2＝1，则a1＝，d＝﹣1．【分析】运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d＝﹣a1，再由条件2a1+a2＝1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差．解：由a2，a3，a7成等比数列，则a32＝a2a7，即有（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+6d），即2d2+3a1d＝0，由公差d不为零，则d＝﹣a1，又2a1+a2＝1，即有2a1+a1+d＝1，即3a1﹣a1＝1，解得a1＝，d＝﹣1．故答案为：，﹣1．15．函数的递减区间为（﹣2，﹣1），则实数a的值﹣3．【分析】由题意可得，f′（x）＝x2﹣ax+2＜0的解集（﹣2，﹣1），结合不等式的解集与方程根的关系即可求解．解：由题意可得，f′（x）＝x2﹣ax+2＜0的解集（﹣2，﹣1），即x2﹣ax+2＝0的根为﹣2，﹣1，所以a＝﹣3．故答案为：﹣316．已知平面四边形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB＝2，BC＝4，CD＝5，DA＝3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为2．【分析】在△ABC和△ACD中使用余弦定理求出cos B，cos D的关系，得出四边形的面积S关于sin B，sin D的函数表达式，利用余弦函数的性质求出S的最大值．解：设AC＝x，在△ABC中，由余弦定理得：x2＝22+42﹣2×2×4cos B＝20﹣16cos B，同理，在△ADC中，由余弦定理得：x2＝32+52﹣2×3×5cos D＝34﹣30cos D，∴15cos D﹣8cos B＝7，①又平面四边形ABCD面积为，∴8sin B+15sin D＝2S，②①2+②2得：64+225+240（sin B sin D﹣cos B cos D）＝49+4S2，∴S2＝60﹣60cos（B+D），当B+D＝π时，S取最大值＝．故答案为：2．17．已知正实数x，y满足x+y+z＝3，xy+yz+zx＝2，则实数z的取值范围是{z|}．【分析】已知可得y＝3﹣（x+z），代入整理可得x2+（z﹣3）x+z2﹣3z+2＝0，结合二次方程根的存在条件可求．解：由已知可得y＝3﹣（x+z），所以，xy+yz+zx＝x（3﹣x﹣z）+（3﹣x﹣z）z+xz＝2，即x2+（z﹣3）x+z2﹣3z+2＝0，由题意可得，△＝（z﹣3）2﹣4（z2﹣3z+2）≥0，解可得，，又即3＞z＞2或z＜1，综上可得，，故答案为：{z|}．三、解答题（共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．设f（x）＝sin x cos x﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）＝sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z 可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）＝sin A﹣＝0，可得sin A，cos A，由余弦定理可得：bc，且当b＝c时等号成立，从而可求bc sin A≤，从而得解．解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）＝sin2x﹣＝sin2x﹣＝sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）＝sin A﹣＝0，可得sin A＝，由题意知A为锐角，所以cos A＝，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：1+bc＝b2+c2≥2bc，即bc，且当b＝c时等号成立．因此S＝bc sin A≤，所以△ABC面积的最大值为．19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE＝a，点M在线段EF上，且MF＝2EM．（1）求证：AM∥平面BDF；（2）求直线AM与平面BEF所成角的余弦值．【分析】（1）设AC∩BD＝N，连接FN，证明：四边形AMFN是平行四边形，AM∥FN，即可证明AM∥平面BDF；（2）过点C作BF的垂线交BF于点H，求出CH，即可求直线AM与平面BEF所成角的余弦值．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝CD＝CB＝a，∠ABC＝60°，∴四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵AC＝BD＝，∴AB＝2a．设AC∩BD＝N，连接FN，则CN：NA＝1：2，则AN∥MF且AN＝MF，∴四边形AMFN是平行四边形，∴AM∥FN，又NF⊂平面BDF，∴AM∥平面BDF．（2）解：由题知：AC∥EF，∴点A到平面BEF的距离等于点C到平面BEF的距离，过点C作BF的垂线交BF于点H，∵AC⊥CF，AC⊥BC，BC∩CF＝C，∴AC⊥平面BCF，即EF⊥平面BCF，∴CH⊥EF，又∵CH⊥BF，EF∩BF＝F，∴CH⊥平面BEF．在Rt△BCF中，CH＝a，在△AEM中，AM＝a，∴直线AM与平面BEF所成角的正弦值为＝，即直线AM与平面BEF所成角的余弦值为．20．已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．【分析】（1）直接利用已知，求出a2，a3；（2）利用已知关系式，推出数列相邻两项的关系式，利用累积法，求出数列的通项公式即可．解：（1）数列{a n}中，a1＝1，前n项和，可知，得3（a1+a2）＝4a2，解得a2＝3a1＝3，由，得3（a1+a2+a3）＝5a3，解得a3＝＝6．（2）由题意知a1＝1，当n＞1时，有a n＝s n﹣s n﹣1＝，整理得，于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，a n﹣1＝a n﹣2，，将以上n个式子两端分别相乘，整理得：．综上{a n}的通项公式为21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y＝k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）由椭圆过点（1，），结合给出的焦点坐标积隐含条件a2﹣b2＝c2求解a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A，B横纵坐标的和与积，进一步求得AB的垂直平分线方程，求得Q的坐标，由两点间的距离公式求得|PQ|，由弦长公式求得|AB|，作比后求得的取值范围．解：（Ⅰ）由题意得，解得a＝2，b＝1．∴椭圆C的方程是；（Ⅱ）联立，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，．∴线段AB的中点坐标为，∴线段AB的垂直平分线方程为．取y＝0，得，于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q，又点P（1，0），∴．又＝．于是，．∵k≠0，∴．∴的取值范围为．22．设（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；（Ⅱ）当a＜1时，在内是否存在一实数x0，使f（x0）＞e﹣1成立？【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出切线的斜率，从而求出切线方程即可；（Ⅱ）只需证明时，f（x）max＞e﹣1即可，根据函数的单调性求出f（x）的最大值，从而判断结论即可．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x﹣lnx，，．…所以曲线y＝f（x）在点处的切线的斜率为．…所求切线方程为，即x+y﹣ln2﹣1＝0．…（Ⅱ）假设当a＜1时，在存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立，则只需证明时，f（x）max＞e﹣1即可．…，令f′（x）＝0得，x1＝1，x2＝a﹣1，当a＜1时，a﹣1＜0，当时，f′（x）＜0；当x∈（1，e）时，f′（x）＞0．函数f（x）在上递减，在[1，e]上递增，…∴．于是，只需证明f（e）＞e﹣1或即可．…∵＝＞0∴f（e）＞e﹣1成立…所以假设正确，即当a＜1时，在上至少存在一点x0，使f（x0）＞e﹣1成立．。
2023-2024学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x +√3y +1＝0的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA 上，且M 为OA 中点，N 为BC 中点，则MN →等于（ ）A ．−12a →+12b →+12c →B ．12a →+12b →+12c → C ．12a →+12b →−12c → D ．12a →−12b →+12c →3．抛物线y ＝ax 2（a ≠0）的焦点坐标是（ ） A ．(a 4，0) B ．(−a 4，0)C ．(0，−14a) D ．(0，14a) 4．P 是椭圆x 25+y 24=1上在第一象限的点，已知以点P 及椭圆焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为（ ） A ．（√152，1） B ．（1，√152） C ．（5√76，13） D ．（13，5√76） 5．已知空间向量a →=（3，0，4），b →=（﹣3，2，5），则向量b →在向量a →上的投影向量是（ ） A ．1125（﹣3，2，5） B ．1138（﹣3，2，5）C ．1125（3，0，4）D ．1138（3，0，4）6．若方程x 2−p+y 2q =1表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线一定有共同焦点的是（ ） A ．x 22q+p +y 2p =−1 B ．x 22q+p +y 2q =1 C ．x 22p+q+y 2p=−1D ．x 22p+q+y 2p=17．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线A 1C 1与AD 1之间的距离是（ ） A ．√2B ．2√33C ．1D ．2√238．如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinaldandelion （1794﹣1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于E 、F ，在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球切于C 、B ，由球和圆的几何性质，可以知道，AE ＝AC ，AF ＝AB ，于是AE +AF ＝AB +AC ＝BC ，由B 、C 的产生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E 、F 为焦点的椭圆．如图2，一个半径为1的球放在桌面上，桌面上方有一点光源P ，则球在桌面上的投影是椭圆，已知A 1A 2是椭圆的长轴，P A 1垂直于桌面且与球相切，P A 1＝3，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．√32C ．23D ．35二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．如图，过焦点F 的直线与抛物线y 2＝2px （p ＞0）交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则下列说法正确的是（ ）A ．|AB |＝x 1+x 2+p B ．∠MON ＝90°C ．以弦AB 为直径的圆与准线相切D ．A ，O ，N 三点共线10．已知直线l 1：ax ﹣（a +2）y ﹣2＝0，l 2：（a ﹣2）x +3ay +2＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．l 1恒过点（﹣1，﹣1）B ．若l 1∥l 2，则a ＝±1C ．若l 1⊥l 2，则a ＝0或a ＝﹣4D ．若l 2不经过第三象限，则a ＜011．若点P （x ，y ）是圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1上的动点，则下列说法正确的是（ ） A ．(yx)max =43B ．(y −x)min =−1−√2C ．[x 2+（y ﹣1）2]max ＝3D ．若点Q 是直线3x +4y +5＝0上的动点，则|PQ |min ＝212．如图，AB 是底面圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面且PO ＝OB ＝1，BC =√2，点E 在线段PB 上，则下列说法正确的是（ ）A ．当E 为PB 中点时，PB ⊥平面CEOB ．记直线CE 与平面BOP 所成角为θ，则tanθ∈[1，√2]C ．存在点E ，使得平面CEO 与平面BEC 夹角为π6D ．CE +OE 的最小值为√6+√22三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知双曲线的方程是16x 2﹣9y 2＝﹣144，则该双曲线的渐近线方程为 ．14．已知点A （﹣3，4），B （2，2），直线mx +y +m +2＝0与线段AB 相交，则m 的范围为 ． 15．如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上，并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），tan ∠BCO =43，则新桥BC 的长度为 ．16．已知椭圆x 26+y 24=1，过点E （0，1）且斜率为k 的直线l 与x 轴相交于点M ，与椭圆相交于A ，B两点．若MA →=BE →，则k 的值为 ．四、解答题：（本题共6个小题，其中17题10分，18至22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC 的顶点A （5，1），边AB 上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，边AC 上的高BH 所在直线过点（1，﹣2），且直线BH 的一个方向向量为（﹣2，﹣1）． （1）求顶点C 的坐标； （2）求直线BC 的方程．18．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA '的长为b ，且∠A 'AB ＝∠A 'AD ＝120°．求： （1）AC '的长；（2）直线BD '与AC 所成角的余弦值．19．（12分）已知圆C 的圆心为（﹣2，1），且圆C _____．在下列所给的三个条件中任选一个，填在直线上，并完成解答（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） ①与直线3x +4y +17＝0相切；②与圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝4相外切； ③经过直线3x +y +2＝0与直线x ﹣3y +14＝0的交点．（1）求圆C 的方程；（2）圆N ：（x ﹣m ）2+y 2＝m 2（m ＞0），是否存在实数m ，使得圆N 与圆C 公共弦的长度为2，若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）如图，已知在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，点Q 在棱P A 上，且P A ＝4PQ ＝4，底面为直角梯形，∠CDA ＝∠BAD ＝90°，AB =2，CD =1，AD =√2，M ，N 分别是PD ，PB 的中点． （1）求证：MQ ∥平面PCB ；（2）求直线BC 与平面MCN 所成角的正弦值．21．（12分）直线y ＝kx +b 与椭圆x 24+y 2=1交于A ，B 两点，记△AOB 的面积为S ．（1）当k ＝0，12＜b ＜√32时，求S 的取值范围； （2）当|AB|=43，S =2√23时，求直线AB 的方程． 22．（12分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与直线l ：y =kx +m(k ≠±ba )有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴与A （x ，0），B （0，y ）两点．点P 的坐标为（x ，y ），当M 点的坐标为(−2√2，−4)时，P 点坐标为(−10√2，−5)． （1）求双曲线的标准方程；（2）当点M 运动时，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．2023-2024学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x +√3y +1＝0的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：设直线的倾斜角为α，由题意直线的斜率为−√33，即tan α=−√33，所以α=5π6故选：D ．2．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA 上，且M 为OA 中点，N 为BC 中点，则MN →等于（ ）A ．−12a →+12b →+12c →B ．12a →+12b →+12c → C ．12a →+12b →−12c → D ．12a →−12b →+12c →解：∵M 为OA 中点，N 为BC 中点，∴OM →=12OA →=12a →，ON →=12（OB →+OC →）=12b →+12c →， ∴MN →=ON →−OM →=12b →+12c →−12a →，故选：A ．3．抛物线y ＝ax 2（a ≠0）的焦点坐标是（ ） A ．(a 4，0)B ．(−a 4，0)C ．(0，−14a) D ．(0，14a) 解：由抛物线y ＝ax 2（a ≠0）化为x 2=1a y ．可得焦点坐标是(0，14a )． 故选：D ． 4．P 是椭圆x 25+y 24=1上在第一象限的点，已知以点P 及椭圆焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为（ ）A ．（√152，1） B ．（1，√152） C ．（5√76，13） D ．（13，5√76） 解：F 1、F 2是椭圆 x 25+y 24=1的左、右焦点，则F 1（﹣1，0），F 2（1，0），设P （x ，y ）是椭圆上第一象限的点，则12×2×y =1，y ＝1，将y ＝1代入椭圆方程得：x 25+14=1，∴x =√152，则点P 的坐标为（√152，1）．故选：A ．5．已知空间向量a →=（3，0，4），b →=（﹣3，2，5），则向量b →在向量a →上的投影向量是（ ） A ．1125（﹣3，2，5） B ．1138（﹣3，2，5）C ．1125（3，0，4）D ．1138（3，0，4）解：向量a →=（3，0，4），b →=（﹣3，2，5）， 则|a →|=5，|b →|=√38，a →⋅b →=11， 所以向量b →在向量a →上的投影向量为|b →|cos ＜a →，b →＞a→|a →|=|b →|a →⋅b →|a →||b →|a →|a →|=√38×5×√38×a→5=1125a →=1125（3，0，4）．故选：C ． 6．若方程x 2−p+y 2q =1表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线一定有共同焦点的是（ ） A ．x 22q+p+y 2p =−1 B ．x 22q+p +y 2q =1 C ．x 22p+q+y 2p=−1 D ．x 22p+q+y 2p=1解：若方程x 2−p+y 2q=1表示双曲线则﹣pq ＜0即pq ＞0①当p ＞0，q ＞0时，曲线y 2q−x 2p=1表示焦点在y 轴的双曲线，A ，C 的方程没有意义B ：由于2q +p ＞q ＞0，表示焦点在x 轴上的椭圆， D ：由于2p +q ＞p ＞0，表示焦点在x 轴上的椭圆 则此情况不符合题意，舍去②当p ＜0，q ＜0时，曲线y 2q−x 2p=1表示焦点在x 轴的双曲线A ：由于﹣（2q +p ）＞﹣p ＞0，表示曲线是焦点在x 轴上的椭圆，B ：由于2q +p ＜q ＜0，方程没有意义，C ：由于﹣2p ﹣q ＞﹣p ＞0，表示焦点在x 轴上的椭圆，D ：由于2p +q ＜p ＜0，方程没有意义， 综合可得C 符合题意． 故选：C ．7．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线A 1C 1与AD 1之间的距离是（ ） A ．√2B ．2√33C ．1D ．2√23解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则A （2，0，0），D 1（0，0，2），A 1（2，0，2），C 1（0，2，2）， AD 1→=（﹣2，0，2），A 1C 1→=（﹣2，2，0），设AM →=λAD 1→，A 1N →=μA 1C 1→，M （x 0，y 0，z 0），N （x 1，y 1，z 1）， 则AM →=（x 0﹣2，0，z 0），∴{x 0−2=−2λy 0=0z 0=2λ，即{x 0=2−2λy 0=0z 0=2λ， ∴M （2﹣2λ，0，2λ）， 同理得N （2﹣2μ，2μ，2），则|MN |=√(2λ−2μ)2+4μ2+(2λ−2)2=2√2μ2−2λμ+λ2+(λ−1)2＝2√2(μ−λ2)2+λ22+(λ−1)2≥2√λ22+(λ−1)2，当且仅当μ=λ2时，等号成立，对√λ22+(λ−1)2=√32λ2−2λ+1=√32(λ−23)2+13≥√33，当且仅当λ=23，等号成立，∴|MN |≥2√33，当且仅当λ＝2μ=23，即AM →=23AD 1→，A 1N →=13A 1C 1→时取等号，即直线A 1C 1与AD 1之间的距离是2√33．故选：B ．8．如图1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家Germinaldandelion （1794﹣1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面切于E 、F ，在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球切于C 、B ，由球和圆的几何性质，可以知道，AE ＝AC ，AF ＝AB ，于是AE +AF ＝AB +AC ＝BC ，由B 、C 的产生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E 、F 为焦点的椭圆．如图2，一个半径为1的球放在桌面上，桌面上方有一点光源P ，则球在桌面上的投影是椭圆，已知A 1A 2是椭圆的长轴，P A 1垂直于桌面且与球相切，P A 1＝3，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．√32C ．23D ．35解：设椭圆的长半轴长＝a ，半焦距为c ， 由题意可得：P A 1⊥A 1A 2，∴P A 2=√PA 12+(A 1A 2)2，设切点分别为E ，F ，则四边形OEA 1F 为正方形． ∴1＝r =PA 1+A 1A 2−PA 22，A 1F ＝a ﹣c ＝r ，c ＝r ，∴1+2a =√32+(2a)2，化为a ＝2，c ＝1， ∴e =c a =12． 故选：A ．二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．如图，过焦点F 的直线与抛物线y 2＝2px （p ＞0）交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则下列说法正确的是（ ）A ．|AB |＝x 1+x 2+pB ．∠MON ＝90°C ．以弦AB 为直径的圆与准线相切D ．A ，O ，N 三点共线解：不妨设过焦点F 的直线方程为x =ty +p2，A （x 1，y 1） B （x 2，y 2）， 联立{x =ty +p2y 2=2px ，消去x 并整理得y 2﹣2pty ﹣p 2＝0，由韦达定理得y 1+y 2＝2pt ，y 1⋅y 2=−p 2， 所以x 1+x 2=2pt 2+p ，此时以AB 为直径的圆的圆心为(pt 2+p 2，pt)，易知|AB|=|AM|+|BN|=x 1+p 2+x 2+p2=x 1+x 2+p ，故选项A 正确； 而半径r =12|AB|=12(x 1+x 2+P)=pt 2+p ， 圆心到准线的距离d =|pt 2+p 2−(−p2)|=pt 2+p ， 所以以弦AB 为直径的圆与准线相切，故选项C 正确；不妨设l OA ：y =y 1x 1x =2p y 1x ，N(−p2，y 2)， 因为y 1⋅y 2=−p 2，所以点N(−p2，y 2)在直线OA 上， 则A ，O ，N 三点共线，故选项D 正确； 易知|AF |＝|AM |，|BF |＝|BN |，此时∠AFM ＝∠AMF ＝∠MFO ，∠BFN ＝∠BNF ＝∠NFO ，∠MFO +∠NFO ＝∠MFN ＝90°， 所以∠MON ＞90°，故选项B 错误． 故选：ACD ．10．已知直线l 1：ax ﹣（a +2）y ﹣2＝0，l 2：（a ﹣2）x +3ay +2＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．l 1恒过点（﹣1，﹣1）B ．若l 1∥l 2，则a ＝±1C ．若l 1⊥l 2，则a ＝0或a ＝﹣4D ．若l 2不经过第三象限，则a ＜0解：A ．直线l 1：ax ﹣（a +2）y ﹣2＝0，化为a （x ﹣y ）﹣2y ﹣2＝0，令x ﹣y ＝0，则﹣2y ﹣2＝0，解得y ＝﹣1＝x ，∴直线l 1恒过点（﹣1，﹣1），因此A 正确；B ．由a •3a ﹣[﹣（a +2）]•（a ﹣2）＝0，化为a 2＝1，解得a ＝±1，经过验证可得a ＝1时两条直线重合，舍去，a ＝﹣1时l 1∥l 2，因此B 不正确；C ．由a •（a ﹣2）+[﹣（a +2）]•3a ＝0，化为a （a +4）＝0，解得a ＝0或﹣4，满足l 1⊥l 2，因此C 正确；D ．l 2：（a ﹣2）x +3ay +2＝0，化为a （x +3y ）﹣2x +2＝0，令x +3y ＝0，则﹣2x +2＝0，解得x ＝1，y =−13，∴直线l 2恒过点P （1，−13），k OP =−13，a ＝0时，直线化为x ＝1，此时直线l 2⊥x 轴，不经过第三象限，满足题意；a ≠0时，若l 2不经过第三象限，则k l 2=−a−23a ≤−13，解得a ＜0，综上可得a ≤0时l 2不经过第三象限，因此D 不正确． 故选：AC ．11．若点P （x ，y ）是圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1上的动点，则下列说法正确的是（ ） A ．(yx )max =43B ．(y −x)min =−1−√2C ．[x 2+（y ﹣1）2]max ＝3D ．若点Q 是直线3x +4y +5＝0上的动点，则|PQ |min ＝2解：圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1，圆心C （2，1），半径r ＝1， 对于A 选项，令yx =k ，则kx ﹣y ＝0，因为点P 在圆上，所以圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1与直线kx ﹣y ＝0相交或相切， 故圆心C 到直线的距离d 1≤r ，即√k 2≤1，解得0≤k ≤43，故A 正确；对于B 选项，令y ﹣x ＝b ，则x ﹣y +b ＝0，因为点P 在圆上， 所以圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1与直线x ﹣y +b ＝0相交或相切， 故圆心C 到直线的距离d 2＜r ，即√2≤1，解得−√2−1≤b ≤√2−1，故B 正确；对于C 选项，x 2+（y ﹣1）2的几何意义是点P 到点M （0，1）的距离的平方， 又|PM |max ＝|CM |+r ＝3，所以|PM |2max ＝9，故C 错误； 对于D 选项，圆心C 到直线3x +4y +5＝0的距离d 4=|6+4+5|25=3， 当PQ 与直线3x +4y +5＝0垂直时，|PQ |能取得最小值， |PQ |min ＝d 4﹣r ＝2，故D 正确． 故选：ABD ．12．如图，AB 是底面圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面且PO ＝OB ＝1，BC =√2，点E 在线段PB 上，则下列说法正确的是（ ）A ．当E 为PB 中点时，PB ⊥平面CEOB ．记直线CE 与平面BOP 所成角为θ，则tanθ∈[1，√2]C ．存在点E ，使得平面CEO 与平面BEC 夹角为π6D ．CE +OE 的最小值为√6+√22解：对于A ：当E 为PB 中点时，由OP ＝PB ，可得OE ⊥PB ， ∵OB ＝OC ＝1，BC =√2，∴OB 2+OC 2＝1+1＝2＝BC 2， ∴OB ⊥OC ，∵PO 垂直于圆O 所在的平面，∴PO ⊥OC ， ∵OP ∩OB ＝O ，∴OC ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ，∴OC ⊥BP ，又OE ∩OC ＝O ，∴PB ⊥平面CEO ，故A 正确； 对于B ：∵OC ⊥平面POB ，∴∠CEO 是直线CE 与平面BOP 所成的角，即∠CEO ＝θ， ∴tan θ=OCOE =1OE ，又∵E 在线段PB 上，∴OE ∈[√22，1]，∴tan θ∈[1，√2]，故B 正确；对于C ：以O 为坐标原点，OC ，OB ，OP 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O （0，0，0），C （1，0，0），B （0，1，0），P （0，0，1）， 则BC →=（1，﹣1，0），BP →=（0，﹣1，1），OC →=（1，0，0），设BE →=λBP →=（0，﹣λ，λ），∴OE →=OB →+BE →=OB →+λBP →=（0，1，0）+（0，﹣λ，λ）＝（0，1﹣λ，λ），设平面PBC 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅BP →=−y +z =0n →⋅BC →=x −y =0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝1， ∴平面PBC 的一个法向量为n →=（1，1，1）， 设平面OEC 的一个法向量为m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅OC →=a =0m →⋅OE →=(1−λ)a +λc =0，令b ＝1，则c =λ−1λ，a ＝0，∴平面OEC 的一个法向量为m →=（0，1，λ−1λ），∴|cos ＜n →，m →＞|=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=|1+λ−1λ|√3×√1+(λ−1λ)2，若平面CEO 与平面BEC 夹角为π6，则可得|cos ＜n →，m →＞|＝cos π6，即|1+λ−1λ|√3×√1+(λ)2=√32，整理得2λ2﹣2λ＝5，Δ＝（﹣2）2﹣4×2×5＜0， 方程无解，故不存在点E ，使得平面CEO 与平面BEC 夹角为π6，故C 错误；对于D ：如图，PO ⊥底面OCB ，则PO ⊥OB ，PO ⊥OC ，由PO ＝OB ＝1，得PB =√2，由PO ＝OC ，得PC =√2，又BC =√2，∴△PBC 为等边三角形，则∠PBC ＝60° 又∠PBO ＝45°， 沿PB 翻折平面PBC ，使平面PBC 与平面P AB 重合，则∠OBC '＝105°，CE +OE 的最小值OC '在△OBC '中，由余弦定理可得：OC ′=√12+(√2)2−2×1×√2×cos105°=√3+2√2×√6−√24=√3+√3−1=√2+√3=√2+2⋅√34=√(√32+√12)2=√6+√22，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知双曲线的方程是16x 2﹣9y 2＝﹣144，则该双曲线的渐近线方程为 y =±43x ． 解：双曲线的方程是16x 2﹣9y 2＝﹣144， 化为标准方程为y 216−x 29=1，则其渐近线方程为y =±43x ． 故答案为：y =±43x ．14．已知点A （﹣3，4），B （2，2），直线mx +y +m +2＝0与线段AB 相交，则m 的范围为 （﹣∞，−43]∪[3，+∞）． ．解：直线mx +y +m +2＝0，即m （x +1）+y +2＝0，它经过定点P （﹣1，﹣2），斜率为﹣m ， P A 的斜率为4+2−3+1=−3，PB 的斜率为2+22+1=43，∵直线mx +y +m +2＝0与线段AB 相交，∴﹣m ≤﹣3 或﹣m ≥43，求得m ≥3 或m ≤−43， 故答案为：（﹣∞，−43]∪[3，+∞）．15．如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上，并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），tan ∠BCO =43，则新桥BC 的长度为 150m ．解：过点A 作AD ∥BC ，交x 轴于点D ，过点D 作DE ∥AB ，交BC 于点E ，因为AB ⊥BC ，所以DE ⊥BC ，AD ⊥AB ， 所以四边形ABED 是矩形， 所以AD ＝BE ，∠ADO ＝∠BCO ， 在Rt △ADO 中，tan ∠ADO =OA OD =tan ∠BCO =43， 所以OD =3OA 4=34×60=45，BE ＝AD =√OA 2+OD 2=√602+452=75， 所以CD ＝OC ﹣OD ＝170﹣45＝125，由tan ∠BCO =43，且∠BCO 为锐角，所以cos ∠BCO =35， 在Rt △CDE 中，cos ∠BCO =CECD =35， 所以CE =35CD ＝75，所以BC ＝BE +CE ＝75+75＝150m ． 故答案为：150m ． 16．已知椭圆x 26+y 24=1，过点E （0，1）且斜率为k 的直线l 与x 轴相交于点M ，与椭圆相交于A ，B两点．若MA →=BE →，则k 的值为 ±√63 ．解：如图所示，由题意可得k ＝0时不符合条件．设直线l 的方为：m （y ﹣1）＝x ，其中m =1k ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 联立{m(y −1)=x x 26+y 24=1，化为：（2m 2+3）y 2﹣4m 2y +2m 2﹣12＝0，Δ＞0， y 1+y 2=4m 22m 2+3， ∵MA →=BE →，∴（x 1+m ，y 1）＝（﹣x 2，1﹣y 2）， ∴y 1＝1﹣y 2，即y 1+y 2＝1， ∴4m 22m 2+3=1，解得m 2=32， ∵m =1k ，∴k 2=23， 解得k =±√63． 故答案为：±√63．四、解答题：（本题共6个小题，其中17题10分，18至22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC 的顶点A （5，1），边AB 上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，边AC 上的高BH 所在直线过点（1，﹣2），且直线BH 的一个方向向量为（﹣2，﹣1）． （1）求顶点C 的坐标； （2）求直线BC 的方程．解：（1）由直线BH 的方向向量可得直线BH 的斜率，即k BH =12，由AC ⊥BH ，则k AC ＝﹣2，直线AC 的方程为y ﹣1＝﹣2（x ﹣5），即2x +y ﹣11＝0， 则{2x +y −11=02x −y −5=0，得顶点C 的坐标为（4，3）； （2）设点B （x ，y ），则AB 的中点M(x+52，y+12)，M 在CM 上， 即2×x+52−y+12−5=0，即2x ﹣y ﹣1＝0， BH 的方程为y +2=12(x −1)，即x ﹣2y ﹣5＝0， 则{2x −y −1=0x −2y −5=0，得B 的坐标为（﹣1，﹣3）， 又C （4，3），所以直线BC 的方程为6x ﹣5y ﹣9＝0．18．（12分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA '的长为b ，且∠A 'AB ＝∠A 'AD ＝120°．求： （1）AC '的长；（2）直线BD '与AC 所成角的余弦值．解：（1）AC ′→=AB →+AD →+AA′→， 所以|AC′→|=√(AB →+AD →+AA′→)2=√AB →2+AD →2+AA′→2+2(AB →⋅AD →+AB →⋅AA′→+AD →⋅AA′→)=√2a 2+b 2−2ab ， （2）BD ′→=BA →+BC →+BB′→，所以|BD′→|=√(BA →+BC →+BB′→)2 =√BA →2+BC →2+BB′→2+2(BA →⋅BC →+BA →⋅BB′→+BC →⋅BB′→) =√2a 2+b 2，AC →=AB →+BC →，|AC →|=√2a ，BD ′→⋅AC →=（BA →+BC →+BB′→）•（AB →+BC →）＝﹣ab ， cos ＜BD′，AC →＞=BD′→⋅AC →|BD′→|⋅|AC →|=√2a 2+b √2a=√4a 2+2b ，所以直线BD '与AC 所成角的余弦值为√4a 2+2b 2．19．（12分）已知圆C 的圆心为（﹣2，1），且圆C _____．在下列所给的三个条件中任选一个，填在直线上，并完成解答（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） ①与直线3x +4y +17＝0相切；②与圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝4相外切； ③经过直线3x +y +2＝0与直线x ﹣3y +14＝0的交点． （1）求圆C 的方程；（2）圆N ：（x ﹣m ）2+y 2＝m 2（m ＞0），是否存在实数m ，使得圆N 与圆C 公共弦的长度为2，若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）设圆C 的半径为r ，若选条件①，圆C 与直线3x +4y +17＝0相切，所以圆心C 到直线3x +4y +17＝0的距离是圆C 的半径， 即r =|−6+4+17|5=3， 所以圆C 的方程为（x +2）2+（y ﹣1）2＝9；若选条件②，与圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝4相外切，圆M 的圆心为（2，4），半径为2， 所以r +2=√(2+2)2+(4−1)2=5，所以r ＝3， 所以圆C 的方程为（x +2）2+（y ﹣1）2＝9；若选条件③，经过直线3x +y +2＝0与直线x ﹣3y +14＝0的交点， 由{3x +y +2=0x −3y +14=0，得{x =−2y =4，所以r ＝4﹣1＝3，所以圆C 的方程为（x +2）2+（y ﹣1）2＝9；（2）圆N ：（x ﹣m ）2+y 2＝m 2（m ＞0）的圆心为（m ，0），半径为m ，两个圆有公共弦，则|m ﹣3|＜|CN |＜m +3，即|m −3|＜√(m +2)2+1＜m +3，解得m ＞25，由{(x +2)2+(y −1)2=9(x −m)2+y 2=m 2得两圆公共弦所在直线方程为（m +2）x ﹣y ﹣2＝0， 又两圆的公共弦长为2，则圆心C 到公共弦所在直线的距离为d =|−2m−4−1−2|√(m+2)+1=|2m+7|√m 2+4m+5，且2√9−d 2=2， 解得m =√10−12或m =−√10−12， 又m ＞25，所以m =√10−12，经检验符合题意，故存在实数m =√10−12，使得圆N 与圆C 公共弦的长度为2．20．（12分）如图，已知在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，点Q 在棱P A 上，且P A ＝4PQ ＝4，底面为直角梯形，∠CDA ＝∠BAD ＝90°，AB =2，CD =1，AD =√2，M ，N 分别是PD ，PB 的中点． （1）求证：MQ ∥平面PCB ；（2）求直线BC 与平面MCN 所成角的正弦值．（1）证明：如图，以A 为原点，以AD ，AB ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O ﹣xyz ， 由题意可得：A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(√2，1，0)，D(√2，0，0)，P(0，0，4)，Q(0，0，3)，M(√22，0，2)，N （0，1，2），∴BC →=(√2，−1，0)，PB →=(0，2，−4)，MQ →=(−√22，0，1)，设n 0→=(x 1，y 1，z 1)为平面PBC 的法向量，则有：{n 0→⋅BC →=0n 0→⋅PB →=0⇒{√2x 1−y 1=02y 1−4z 1=0，令z 1＝1，则平面PBC 的法向量n 0→=（√2，2，1）， ∴MQ →⋅n 0→=(−√22，0，1)⋅(√2，2，1)=0，又MQ ⊄平面PCB ，∴MQ ∥平面PCB ．（2）设n →=（x ，y ，z ）为平面MCN 的法向量， 又CM →=(−√22，−1，2)，CN →=(−√2，0，2)则有：{n →⋅CM →=0n →⋅CN →=0⇒{−√22x −y +2z =0−√2x +2z =0， 令z ＝1，则平面MCN 的法向量n →=（√2，1，1）， 又BC →=(√2，−1，0)，设直线BC 与平面MCN 所成角为θ，∴sin θ＝|cos ＜n →，BC →＞|=n →⋅BC→|n →|⋅|BC →|=12×3=√36， ∴直线BC 与平面MCN 所成的角的正弦值为√36．21．（12分）直线y ＝kx +b 与椭圆x 24+y 2=1交于A ，B 两点，记△AOB 的面积为S ．（1）当k ＝0，12＜b ＜√32时，求S 的取值范围； （2）当|AB|=43，S =2√23时，求直线AB 的方程． 解：（1）因为直线y ＝kx +b 与椭圆x 24+y 2=1交于A ，B 两点，当k ＝0，12＜b ＜√32时， 不妨设A （x 1，b ），B （x 2，b ），且x 1＞x 2，联立{x 24+y 2=1y =b，解得x 1=2√1−b 2，x 2＝﹣2√1−b 2， 此时|AB|=|x 1−x 2|=4√1−b 2，所以S =12b ×4√1−b 2=2b√1−b 2=2√b 2−b 4， 因为12＜b ＜√32， 所以14＜b 2＜34，易得当b 2=12时，S 取得最大值，最大值为1， 则S ∈(√32，1]；（2）A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =kx +b x 24+y 2=1，消去y 并整理得（1+4k 2）x 2+8kbx +4（b 2﹣1）＝0， 此时Δ＝16（1+4k 2﹣b 2）＞0，由韦达定理得x 1+x 2=−8kb1+4k 2，x 1x 2=4(b 2−1)1+4k 2，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√16(1+4k 2−b 2)1+4k 2， 易知点O 到直线AB 的距离d =|b|√1+k ， 因为|AB|=43，S =2√23， 解得d =√2，所以b 2＝2（1+k 2），而|AB|=√1+k 2√16(1+4k 2−b 2)1+4k 2=43， 所以k 2＝2， 解得k =±√2，b =±√6所以AB 的方程为y =√2x +√6或y =−√2x +√6或y =√2x −√6或y =−√2x −√6．22．（12分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与直线l ：y =kx +m(k ≠±ba)有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴与A （x ，0），B （0，y ）两点．点P 的坐标为（x ，y ），当M 点的坐标为(−2√2，−4)时，P 点坐标为(−10√2，−5)．（1）求双曲线的标准方程；（2）当点M 运动时，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：（1）不妨设AB ：y +4=−1k (x +2√2)，此时A(−4k −2√2，0)，B(0，−4−2√2k )， 此时P(−4k −2√2，−4−2√2k )， 联立{−4k −2√2=−10√2−4−2√2k =−5， 解得k =2√2，因为直线l ：y ＝kx +m 经过点M ，所以m ＝4，此时直线l 的方程为y =2√2x +4，联立{y =2√2x +4x 2a 2−y 2b2=1，消去y 并整理得(b 2−8a 2)x 2−16√2a 2x −16a 2−a 2b 2=0，因为直线l 与椭圆相切，所b 2﹣8a 2≠0，且Δ＝0，即(−16√2a 2)2+4(b 2−8a 2)(16a 2+a 2b 2)=0整理得8b 2﹣16a 2＝a 2b 2，①又因为点M 在双曲线上，所以8a 2−16b 2=1，②联立①②，解得a 2＝4，b 2＝16，则双曲线的标准方程为x 24−y 216=1； （2）联立{y =kx +mx 24−y 216=1，消去y 并整理得（4﹣k 2）x 2﹣2kmx ﹣（m 2+16）＝0（k ≠±2） 因为点M 是双曲线与直线l 的唯一公共点，所以Δ＝（﹣2km ）2+4（4﹣k 2）（m 2+16）＝0，即m 2＝4（k 2﹣4），③解得M(km4−k 2，4m4−k 2)，此时M(−4k m ，−16m )，其中km ≠0则经过点M 且与l 垂直的直线为y +16m =−1k (x +4k m )，可得A(−20k m ，0)，B(0，−20m )，P(−20k m ，−20m )，所以{x =−20k m y =−20m，④ 联立③④，可得x 2=400k 2m 2=400m 2(m 24+4)=100+1600m 2=100+4y 2， 即x 2100−y 225=1，其中y ≠0，所以，点P 的轨迹方程为x 2100−y 225=1(y ≠0)，轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）．。
高二(下)期中数学试卷(理科)(内含答案)
高二年级数学期中理科卷班级：_____________ 姓名：_____________ 分数：_______________ 一、 选择题（每小题5分，共50分）：1、1．函数()2()2f x x =的导数是 （ ） A ． ()2f x x '= B ． x x f 4)(=' C ． x x f 8)(=' D ．x x f 16)(='2、因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是 （ ） A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错3、下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ） A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人， 由此推测各班都超过50人．D ．在数列{}n a 中()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由此归纳出{}n a 的通项公式． 4、用数学归纳法证明等式：()()+∈=-++++N n n n 212531 的过程中，第二步假设kn =时等式成立，则当1+=k n 时应得到 （ ）()2.13521A k k +++++= ()()2.135211B k k +++++=+()()2.135212C k k +++++=+ ()()2.135213D k k +++++=+5、函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 （ ）A. 1,−1B. 1, −17C. 3, −17D. 9, −19 6、如图是导函数/()y f x =的图象， 那么函数()y f x =在下面哪个区间 是减函数( )A 13(,)x xB 24(,)x x C.46(,)x x D.56(,)x x7、设,a b R ∈，若1a bii+-为实数，则 ( ) A.0b a +≠ B.0b a -≠ C.0b a += D. 0b a -=8、设函数[]0)()(,,12)(3<∈+--=n f m f n m x x x x f 且则方程[]n m x f ,0)(在=上（ ） A.至少有三个实数根 B. 至少有两个实数根C. 有且只有一个实数根D 无实数根 9、已知函数(]0)(,3,0)()()(≠∈=x g x x g x f x h ，，对任意(])()()()(,3,0x g x f x g x f x '>'∈恒成立，则 （ ） A.函数h(x)有最大值也有最小值 B. 函数h(x)只有最小值C ．函数h(x)只有最大值 D. 函数h(x)没有最大值也没有最小值10、一个作直线运动的物体，它的速度v (米/秒)与时间t （秒）满足3(0)v t t =≥ ，如果它在a 秒内的平均速度与２秒时的瞬时速度相等，则a 等于 （ ）A ．BC ．4D ． 二、 填空题（每小题5分，共25分）：11、设O 是原点，向量,OA OB 对应的复数分别为23,32,i i --+那么向量BA 对应的复数是_______12、已知曲线2x y =上一点P 处的切线与直线210x y -+=平行，则点P 的坐标为_______ 13、120(23)x x dx -=⎰_______14、已知函数()x x x f ln =，则)(e f '=___ _____. 15、下列命题中，错误命题的序号是____________．①两个复数不能比较大小；②z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 3；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④z 是虚数的一个充要条件是z ＋z ∈R ；⑤若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数；⑥复数z ∈R 的一个充要条件是z ＝z ；⑦在复数集内，－1的平方根是±i ；⑧z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0. 三、 解答题（共75分）：16、(1) 已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围. (2) 已知函数f x x x ()=-+33，R x ∈;求f x ()的单调递增区间. （12分）17、（12分）设f (x )=2(0)ax bx c a ++≠，f ′(x )＝2x ＋2. 且方程f (x )＝0有两个相等的实根.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；18、若a 、b 、c 均为实数且22,22,12222+-=+-=+-=x z c z y b y x a 。
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宁波市金兰合作组织高二第二学期期中考试数学（理）试题(2014年4月)选择题部分 (共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 4 2．已知),2(ππα∈，53sin =α,则αtan 等于（ ）A ． 43B ． 34C ． 43-D ．34-3．在平行四边形ABCD 中， AC 为一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC ==则AD =（ ） A ．)1,1( B ．()1,1-- C ．)4,2(D ．)4,2(--4. 已知b a ,都是实数，那么“22-->b a ”是“b a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5． 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,32)(22x x x x x x f 的图像与x 轴的交点个数为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2 D. 36．已知平面内三点x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为（ ） A ． 3 B ． 6 C ． 7 D. 97．已知函数()f x 对任意的实数x ，满足()()f x f x π=-，且当(,)22x ππ∈-时，()sin f x x x =+，则（ ）A.(3)(1)(2)f f f <<B. )2()3()1(f f f <<C.(3)(2)(1)f f f <<D. (1)(2)(3)f f f << 8. 要得到函数πsin (2)3y x =-的图象，只需将函数cos2y x =的图象（ ） A ．向左平移π6个单位 B ．向左平移5π12个单位C ．向右平移5π12个单位 D ．向右平移π3个单位9．在ABC ∆中,若AD 是边BC 上的高,且BC AD =,则ACABAB AC +的最大值是（ ） A ．2B ．5C ．6D ．310．已知函数x x a x f +-=)(（a 为常数，且*N a ∈），对于定义域内的任意两个实数1x 、2x ，恒有1|)()(|21<-x f x f 成立，则正整数a 可以取的值有（ ）A ．4个B ．5个C ．6 个D ．7个非选择题部分 (共100分)二、 填空题 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
11. 函数232+-=x x y 的定义域是 .12. 函数)1,0(11≠>+=-a a ay x 13. 已知函数)sin(ϕω+=x y )20,0(πϕω≤<>的部分图象如图所示则点),(ϕωP 的坐标为 ____. 14. 在ABC ∆中，已知c b 2=，且6=a ，87cos =A ，则ABC ∆的面积是___________. 15．若222=+y x ,设x yxz 212+=,则z 的最小值为 ． 16．边长为2的等边三角形ABC 中,若==3,2,则=⋅ ．17. 定义{}321,,m in x x x 为实数321,,x x x 中的较小值,记⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=23,,2cos 3sin ,cos ,sin min )(ππx x x x x x f ,则=max )(x f ．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）已知集合{}0)1()1(222>++++-=a a x a a x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-==30,25212x x x y y B （1）若2=a 时，求B A C R )(； （2）若φ≠B A 时，求a 的取值范围.19.(本小题满分14分)已知.)(),cos ,(cos ),cos ,sin 3(m b a x f x x b x x a +⋅=== （1）写出函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间； （2）当]3,6[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最小值为2，求此函数)(x f 的最大值，并指出x 取 何值时，函数)(x f 取到最大值.20．(本小题满分14分)已知二次函数)(x f y =的定义域为R ，,2)1(=f 且在t x =（t 为实数）处取到最值， 若)(x g y =为一次函数，且32)()(2-+=+x x x g x f （1）求)(x f y =的解析式(含t )；（2）若关于x 的方程)()(x g x f =在]4,2[上有解，求t 的取值范围.21. (本小题满分15分)已知,,a b c 分别是锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2cos cos b c Ca A-=. （1）求角A 的大小；（2）求C B y 22cos sin +=的取值范围.22． (本小题满分15分) 已知函数)(1)(a x R a xa ax x f ≠∈--+=且（1）证明：对定义域内所有x ,)2(2)(x a f x f -++恒为定值； （2）设函数)()()(2x f a x x x g -+=,求)(x g 的最小值.宁波市金兰合作组织高二第二学期期中考试数学（理）试题参考答案一 选择题1 D2 C3 B4 D5 C6 C7 A8 C9 B 10 B 二 填空题11 (][)+∞∞-,21, 12 )2,1( 13 )3,2(π14215 15 23- 16 38- 17 23- 三 解答题18 解(1) {}a x a x x A <+>=或12 , {}42≤≤=y y B ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 当2=a 时,]4,2[=B A C R ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 (2)当φ≠B A ,则4122<+>a a 或 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 故a 的取值范围是2>a 或33<<-a ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分19 解(1)m x x x x f ++=2cos cos sin 3)(m x x +++=22cos 12sin 23 =21)62sin(+++m x π┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 故π=T , 递增区间为Z k k k ∈++-]6,3[ππππ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分(2)当]3,6[ππ-∈x 时,]1,21[)62sin(-∈+πx ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分 由222121)(min =⇒=++-=m m x f ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分故272121)(max =++=x f ,此时.6π=x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分20解(1)设c tx x x f +-=2)(2,由122)1(+=⇒=t c f ，所以122)(2++-=t tx x x f ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 （2）)42()22()(32)(2+-+=--+=t x t x f x x x g ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分0)54()24()()(2=+++-⇔=t t x x g x f 52)1(42+-=-⇔x x x t)1(4)1(412-+-⋅=⇔x x t ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分令]3,1[1∈-=x k ，则]45,1[)4(41∈+=k k t ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分故t 的取值范围是].45,1[ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分21 解（1）由正弦定理，得：2sin sin cos sin cos B C CA A-=┄┄┄┄┄2分即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+故2sin cos sin()sin B A A C B =+= ┄4分1sin 0,cos 2B A ≠∴=， 所以3A π= ┄┄┄┄┄6分（2）]2cos )232(2[cos 21122cos 122cos 1B B C B y --+=++-=π)32sin(231)2cos 232sin 23(211π+-=+-=B B B ……………9分由)34,32(326232020ππππππππ∈+⇒<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=<<<B B B C B ……………12分 因此⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∈+23,23)32sin(πB ,故所求范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛47,41. ……………15分22解（1）证明：xa a ax a x a a x x a f x f +--+-++--+=-++21221)2(2)( 01221121=--+--+-+=-+-++--+=xa x a x a a x a x x a x a a x∴命题得证。
……………………………4分 （2）)(|1|)(2a x a x x x g ≠-++=1）当a x a x x x g a x a x -++=-++=≠-≥43)21(1)(,122时且 如果211-≥-a 即21≥a 时，则函数在),(),1[+∞-a a a 和上单调递增2min )1()1()(-=-=a a g x g如果a g x g a a a -=-=-≠<-<-43)21()(,2121211min 时且即当当21-=a 时，)(x g 最小值不存在 …………………………8分 2）当45)21(1)(122-+-=+--=-≤a x a x x x g a x 时如果45)21()(23211min -==>>-a g x g a a 时即 如果2min )1()1()()1,()(23211-=-=--∞≤≤-a a g x g a x g a a 上为减函数在时即 ……11分当0)21()43()1(210)23()45()1(232222>-=---<>-=--->a a a a a a a a 时当时…………………………13分综合得：当2121-≠<a a 且时 g （x ）最小值是a -43当2321≤≤a 时 )(x g 最小值是2)1(-a ； 当23>a 时 )(x g 最小值为45-a当21-=a 时 )(x g 最小值不存在. ……………15分。