数理统计学2(福州大学离散数学中心陈荣斯)资料

T 的密度函数为偶函数；
lim
n
f
(x)
1
e
x2 2
,
即 n充分大时,
t 分布近似 N(0,1).
2 但 n 较小时，t 分布与 N(0,1)分布相差很大
t 分布的尾部比标准正态分布的尾部具有更大的概率
t 分布的上侧
分位数
n 45 时, 查附表求 n > 45 时，t u ,
P(T
> t (n)) =
则可用
1 n
n
i 1
xi
作为EX
的一个估计值, 且 n
越大, 越精确.
一、自由度为 n 的 2 分布 Y ~ 2 (n)
——
随机变量
Y
n
X
2 i
所服从的分布
(诸
Xi
独立且都服从
N(0,1)
)
i 1
40 设 X1, …, Xn 相互独立, 且都服从正态分布 N( , 2), 则
Y
1
2
n
(Xi
i 1
2
1
2
n
(
i 1
Xi
X
)2
n Sn2
2
~ 2(n 1);
(3) X 和 S 2相互独立.
(u )= 1- u
x0
u
x0 u
复习
总体和样本
总体 —— 研究对象的全体, 总体中的每个对象称为个体
总体可用随机变量 X 或其分布来描述, 就是一个概率分布
样本 ——按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验
所抽取的部分个体称为样本，
样本容量,
样本值,
简单随机样本
独立性; 代表性.
以概率收敛于 X 的期望值 EX = . 这为在不知分布的情形下,
取多次重复观测的算术平均值 X 作为 EX 的较为精确的估计提供 了理论保证.
例如, 有一批产品, 不知其寿命X 的分布, 为评价其质量, 需确
定其平均寿命 X , 随机地从中抽取 n 件产品并测得其寿命分别为
x1 , x2 ,, xn ,
的数 x 为此分布的上侧 分位数 .
2
(n)
3. 2 分布的上侧 分位数
：
O
2 (n)
xn)
)
2 (n)
f
(
x)
d
x
,
2 分布函数的值可通过查表得到
定义4
设 X～N(0, 1), 0 < < 1 , 则称
满足等式 P(X >u ) = 的数 u 为标准正态分布的上侧 分位数；
统计量 ——不含任何未知参数、完全由样本决定的样本函数
样本矩 顺序统计量 将样本值 x1,…, xn 按递增顺序排列 x1 xn
令随机变量
X
k
xk，
(
X
1
,
,
X
n
)
为样本
X1,
…,
Xn
的顺序统计量.
三个常见的统计分布
在同分布条件下大数定律的表现形式: 定理(辛钦大数定律) 伯努利大数律是辛钦大数律的特例
于其抽样分布的性质.
抽样分布
精确抽样分布 ——小样本问题中使用 渐 近 分 布 ——大样本问题中使用
抽样分布就是通常的随机变量函数的分布, 只是强调这一分
布是由一个统计量所产生的. 所以在理论上只要知道总体的分布就
可以求出统计量的分布, 但实际操作一般都很难求.
重点以正态分布为背景, 给出几个常用统计量的抽样分布.
)2
~
2(n) ;
10 可加性——设 Y1 ~ 2 (m), Y2 ~ 2 (n), 且 Y1, Y2 独立,
则 Y1 Y2 ~ 2(m n) ;
20+30 若 Y ~ 2 (n), 则 EY = n , DY = 2n ;
当 n 充分大时, Y n 近似服从 N(0,1). 2n
2 分布的上侧
分位数
n
45
时,
P
(
X
2
(n)
)
n > 45
时，
2
1 2
(
u
2 (n)
2n 1
f ( x) dx
)2 .
,
二、自由度为 n 的 t 分布 T ～ t (n) ——随机变量 T X 所服从的分布,
Y n (其中X～N(0,1), Y ～ 2 (n), X 与 Y 相互独立)
数学期望 E(T )= 0 , 方差 D(T )= n / (n-2) , (n > 2).
三、第一自由度为 m , 第二自由度为 n 的 F 分布 F ~ F(m, n)
—— 统计量 F X m 所服从的分布 Y n ( 随机变量X与Y独立, 且Y ～ 2 (m), Y ～ 2 (n) )
数学期望
E(X)
n n2
,
n 2 .
不依赖于第一自由度
F 分布的性质: 10 若 X ~ F(m, n), 则 1/X ~ F(n, m). 20 若 X ~ t (n), 则 X 2 ~ F(1, n);
称满足等式 P(|X|>u/2 ) = 的数 u/2 为标准正态分布的双侧
分位数； (x)
(x)
/2
/2
O
u
x
-u/2 O
u/2
x
P(X >u )= 1- P(Xu ) = 1-(u ) = ， (u )= 1- ，
类似可得 (u/2 )= 1- /2 ，
可查表得值
若 X～N( , 2)时，要求满足 P(X >x0 )= 的 x0 ：
查 F 分布附表可求 P( F > F (m,n) )= ,
F 分布上侧
分位数的性质
F1 (m, n)
1 F (n, m)
.
§3 抽样分布
统计量是样本的函数, 是依赖于样本的, 后者是随机变量, 所以统计量也是随机变量, 因而就有它们自己一定的分布, 这个 分布叫做统计量的“抽样分布” .
研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决
一、正态总体的抽样分布定理
当总体为正态分布时, 教材上给出了 4 个重要的抽样分布定理.
定理1 ——样本均值、方差的分布
取自正态总体 N( , 2)的样本, 则
设 X1,X2,…,Xn 是
(1)
X
~
N(,
2
n
)
;
正态分布的 线性组合仍服从正态分布 EX= , DX = 2/n
(2)
(n1) S 2
分布的上侧 分位数
1. 正态分布的上侧 分位数 设 X～N(0, 1)， 0 < < 1 , 则称
满足等式 P(X >u ) = 的数 u 为标准正态分布的上侧 分位数；
2. 一般定义 设随机变量 X 的密度为 f (x) , 对给定的(0<<1),
称满足等式
P(
X
x
)
x
f
( x)dx
f (x)
设随机变量序列X1, X2, … 独立且同分布, 具有有限
的数学期 EXi =μ, i =1, 2, …， 则对 > 0,
lim
n
P(|
1 n
n
i 1
Xi
|
)
1.
辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值, 提供了
辛钦
一条实际可行的途径: 若视 X i 为重复试验中对随机变量 X 的 第 i 次观察, 则当 n → 时, 对X 的 n 次观察结果的算术平均值 X