(完整版)高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练

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1.已知函数是定义在上的奇函数，当时，有()f x [,0)(0,]e e - (0,]x e ∈（其中为自然对数的底，）．()ln f x ax x =+e a ∈R （Ⅰ）求函数的解析式；

()f x （Ⅱ）试问：是否存在实数，使得当，的最小值是？如果存在，求

0a <[,0)x e ∈-()f x 3出实数的值；如果不存在，请说明理由；a （Ⅲ）设（），求证：当时，；ln ||()||

x g x x =

[,0)(0,]x e e ∈- 1a =-1|()|()2f x g x >+2.

若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：

()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知

2()h x x =，()2ln x e x ϕ=（其中e 为自然对数的底数）．

(1)求()()()F x h x x ϕ=-的极值；

(2) 函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明

理由．

3.

设关于x 的方程有两个实根α、β，且。定义函数

012

=--mx x βα<

（I ）求的值；（II ）判断上单调性，并加以证.1

2)(2

+-=

x m

x x f )(ααf ),()(βα在区间x f 明；

（III ）若为正实数，①试比较的大小；

μλ,)(),(

),(βμ

λμβ

λααf f f ++

②证明.|||)((

|βαμ

λλβ

μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数在处取得极值.

22()()()x f x x ax b e x R -=++∈1x =（I ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

a b a b ()f x （II ）是否存在实数m ，使得对任意及总有

(0,1)a ∈12,[0,2]x x ∈12|()()|f x f x -<恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由．

21[(2)]1m a m e -+++m 5．若函数()()2ln ,f x x g x x x

==-

（1）求函数的单调区间；

()()()()x g x kf x k R ϕ=+∈ （2）若对所有的都有成立，求实数a 的取值范围.

[),x e ∈+∞()xf x ax a ≥-

6、已知函数.2

3)32ln()(2x x x f -+=（I ）求f (x )在[0，1]上的极值；

（II ）若对任意0]3)(ln[|ln |3

1,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范

围；

（III ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范

围

7.已知

()()ln f x ax b x =+-，其中0,0a b >>.（Ⅰ）求使)(x f 在[)0,+∞上是减函数的

充要条件；（Ⅱ）求)(x f 在[)0,+∞上的最大值；（Ⅲ）解不等式

ln 1ln 21⎛+-≤- ⎝

．8.已知函数2

1()ln 2

f x x x =

+.（1）求函数()f x 在[1,e]上的最大值、最小值；

（2）求证：在区间[1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数3

2()3

g x x =的图象的下方；（3）求证：[()]()n

n

f x f x ''-≥22(n

n -∈N *）.

9.已知函数)0()(,ln )(<=

=a x

a

x g x x f ，设)()()(x g x f x F +=。（Ⅰ）求F （x ）的单调区间；

（Ⅱ）若以(]

)3,0)((∈=x x F y 图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率2

1≤k 恒成立，求实数a 的最小值。

（Ⅲ）是否存在实数m ，使得函数1)1

2(

2

-++=m x a g y 的图象与)1(2

x f y +=的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说名理由。

10.已知函数2

1()2,()log 2

a f x x x g x x =

=－（a ＞0，且a ≠1）

，其中为常数．如果()()()h x f x g x =+ 是增函数，且()h x '存在零点（()h x '为()h x 的导函数）

．（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1

2

1

021

()y y g x x x -'=-（()g'x 为()g x 的导函数），证明：102x x x <<．

参考答案

1．解：（Ⅰ）当时，，故有，由此及是奇[,0)x e ∈-(0,]x e -∈()ln()f x ax x -=-+-()f x 函数得，因此，函数的解析式为

()ln()()ln()f x ax x f x ax x -=-+-⇒=--()f x ；

ln()

(0)

()ln (0)

ax x e x f x ax x

x e ---≤<⎧=⎨

+<≤⎩（Ⅱ）当时，：[,0)x e ∈-11()ln()()ax f x ax x f x a x x

-'=--⇒=-

=①若，则在区间上是增函

10a e -≤<11111

()0f x a x e x e e

'=-≥--≥-+=⇒()f x [,0)e -数，故此时函数在区间上最小值为，得，不符合

()f x [,0)e -()()ln 3f e a e e -=--=4

a e

=-，舍去。②若，则令，且在区间10a e -≤<1a e <-1

()0(,0)f x x e a

'=⇒=∈-()f x 上是减函数，而在区间上是增函数，故当时，1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,0a ⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

1x a =．

min 11[()]1ln f x f a a ⎛⎫⎛⎫

==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

令．

21131ln 3f a e a a ⎛⎫⎛⎫

=⇒--=⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

综上所述，当时，函数在区间上的最小值是3．

2a e =-()f x [,0)e -（Ⅲ）证明：令。当时，注意到（设h(x)=x-1

()|()|()2

F x f x g x =--

0x e <≤ln x x >lnx ，利用导数求h(x)在的最小值为1，从而证得x-lnx 1），故有

0x e <≤>．ln 1ln 1

()|ln |ln 22

x x F x x x x x x x =--

-=---①当时，注意到，故

02x <<1ln x x -≥；

1111112()1ln 1(1)02222x F x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫

=-+->-+--=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭