化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法

二次型及其矩阵表示

在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程

ax" + 2bxy+ cy' =f .

(1)

为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度作转轴（反时针方 X = X cos&-y sin&

• •

y = X sin0+y cos0

把方程（1）化成标准方程。在二次曲而的研究中也有类似的情况。

（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量 的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几 何中出

现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最 基本的性质。

向转轴）

(2)

设P 杲一数感，一个系数在数域P I ：的X|.X2，•…Xn 的二次齐次多项式

f(XpXx ・・・,Xn)= a…xf +2apX]X 》+・•・+ 2d]nX]Xn +a"X 分2 +・・・ + 2a*nXjXn +・・・ + annXn2

称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。

设X|,X2■…,x…： y^y, y…是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式

X| =勺』|+匂汙2+・・・5

人

X2=C2.yi+c…y,+...c,…y… X3=C3y +。32『2+…(3"九 (4) 1/"=5』2+%九+…5肌 称为由XpX2 x…到yid?人的一个线性替换八如果 G H0,那么线性替换（4）就 称为非退化的。 在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 那二ivj ・由于XjXj=XjXi ,所以 f(X|,X2，・・・,x…) = a]]X/ + 2di2X|X2+・・・ + 2a]nX|Xn +3,2X2"+... + 2a2…X2Xj, +

n n =工工a/iXj i —1

它的系数排成一个n*n 矩阵

州2…％ 幻2…幻n

它就称为二次型的矩阵。显然它是对称矩阵。

X|

X ，

于是二次型可写成f(XpX,xJ = XAX 非退化线性替换可以表示成X=CY

三、化二次型为标准形的方法之一：配方法 定理：数域P 上任意二次型

都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式•即标准形。

证明：下而的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。 我们

对变量的个数做数学归纳法。

对于n=l,而二次型就是f(X|) =如已经是平方和的形式了。现假ik 对nJ 元二次

n n

型，世理的结论成立。再假设f(X"X2…Xn)=为工"ijXjXj(3ij = an) i-l >) 分三种情况来讨论:

1) a… (i=h 2,…，n)中是少有一个不为零，例如a,, *0.这时

n

n

n n

fg'X?，…,xj = a…x? + 工a|产E + Eazx 严工工

i-2

i-2

1-2 j=2

n

n n

=

十2工aijXjXj + E 工 a..x.x.

j ・2

i-2 >2

-n n

十工工bijX,Xj,

1-2 j=2

这里

n n

S 如jXj +ZZ ®jX,Xj

j ・2 丿 i-2 j=2

n

X|+

》站hijXj

j ・2

y

V f n •al -n n

工讪jXj +ZZ 那XiXj

1-2 j=2

j ・2

n

X|+2>i>ijXj

j-2

丿

n n

I n

工 S bijXjXjda ］； 1-2 j=2

是一个X2…r Xn 的二次型Q 令

Xn=yn

这是一个非退化线性替换，它使f(XpX,，…,x… )fy：+i± b,jX"

有归纳法假定，对f f 坷丫:丹有非退化线性替换

1-2 j-2

72=勺2『2+。23力+・・・勺訝"

2厂32+。心+・心儿能使它变成平方和d2Z ；+d3晴+..%：。

&=5

汀2+<；小3+...<；曲

于是非退化的线性替换

Z| = y.

22=^22X2+C ，3y3+...c2…y… * 6=

。32儿+。33丫3+…。3"九

就使f(XpX,，…,xj 变成f(X 「X2■…,Xn)= d2Z ：+d3Z ；+…gz ：由归纳法，即证。

2)所有aji 都等于0,但至少一 aijMO (j>l),不是一般性，设a 】？工0。令

X, =Z, +Z2 Xj =Z(-Zj

"

■它是非退化线性替换，且使f(X],X2xj = 2a,2X1X2+...

=2a 门(Z| + Z^)(Z|- z J + •・• = 2apZ, — 2QpZ ； +...

这时上式右端是Z"Z2Zn 的二次型，且Z ；的系数不为0,属于第一种情况，；^^理成立0

3)a,, =a|2 =•••»!… = 0 由于对称性，有 a?] =322 =・・・d2n =0

这时f(XpX,，…,x… y=ii UjjXjXj 是n-1元二次型。根摇归纳假设，它能用非退化线性

替 >-2 i-2

n

yi = X|+》＞;hjXj

J-2

y2 = x2

n

X| = yi-》*i%Xj

j-2

X2=y2

lyn=Xn