微专题2 与球有关的内切、外接问题
球与几何体的切接问题
r3＝392π3r3.故圆锥SD与其外接球的体积比为 3323ππrr33＝392.故选A. 93
题型二 几何体的内切球
例3 (1)半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面 都相切)的表面积为__6_π_R_2___，体积为__2_π_R_3___．
状元笔记
柱体的外接球问题，其解题关键在于确定球心在多面体中的 位置，找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系，结合 原有多面体的特征求出球的半径，然后再利用球的表面积和体积 公式进行正确计算．常见的方法是将多面体还原到正方体或长方 体中再去求解．
思考题 1 (1)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱
(2)已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面 上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 半径为( C )
3 17 A. 2
B．2 10
C.123
D．3 10
【解析】 由球心 O 作平面 ABC 的垂线，设垂足为 BC 的中点 M.
又 AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，
【解析】 本题考查几何体的外接球的表面积．因为四个
面都是直角三角形，且AB⊥平面BCD，所以CD⊥BC或
CD⊥BD，不妨设CD⊥BC，由鳖臑ABCD的体积为
2 3
，得
1 3
S△
BCD·AB＝
1 3
×
1 2
×1×BC×2＝
2 3
，则BC＝2，BD＝
BC2＋CD2
＝ 5.
将鳖臑ABCD补成直三棱柱如图，取BD的中点
∵球心 O 到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球 的半径 R，
与球有关的内切外接问题
体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之
比
1 : 2. 2 : 3 3
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
C B
O C1
B1
5
第五页，共16页。
变题：
1. 已知长方体的长、宽、高分别是 3 、 5 、1 ，求长方体的
外接球的体积。
2. 球O的外表上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互相垂直， 假设PA=3,PB=4,PC=5，求这个球的外表积和体积。
①
V球
4
3
R3
二、球与多面体的接、切
② S球面 4 R2
定义1：假设一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 那么称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。
定义2：假设一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 那么称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
3
在同一球面上，那么此球的外表积〔 A 〕
A 3л
B 4л C 3 3
D 6л
解：设四面体为ABCD，O 1 为其外接球
心。 球半径为R，O为A在平面BCD上的
A●
射影，M为CD的中点。 连结B O 1
B●
R ●O 1
· ●O
●D
M
●
C
9
第九页，共16页。
练习:一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同 一球面上，那么此球的外表积〔 〕
1、内切球球心到多面体各面的间隔 均相等，外接球球 心到多面体各顶点的间隔 均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定 重合 4、根本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理
球的内切和外接问题课件
内切与外接问题的解题思路与方法
01
认真审题，明确题目中 的已知条件和所求目标 。
02
分析几何体的结构特征 ，确定内切或外接关系 。
03
合理利用内切或外接的 性质和定理，建立方程 或不等式求解。
04
对于复杂问题，可以采 用数形结合、分类讨论 等数学思想方法。
05
典型例题解析
简单几何体的内切与外接问题
判断一个球是否是多面体的内切球。
利用内切球的性质解决一些与多面体相关的问题，如求解多面体的体积、表面积等 。
外接球的定义与性质
定义
外接球是指一个球完全包含一个多面体，且与多面体的各个 顶点都相切。
性质
外接球的半径等于多面体外接圆半径，也等于从多面体中心 到任意一个顶点的距离。
外接球的计算方法
直接法
，也希望教师能够增加一些互动环节，提高课堂的趣味性。
对未来学习的建议与展望
加强基础知识的巩固
建议学生在课后加强对基础知识的学习和巩固，为后续的学习打下 坚实的基础。
增加实践环节
希望教师能够增加一些实践环节，如小组讨论、案例分析等，帮助 学生更好地应用所学知识解决实际问题。
拓展相关领域的学习
鼓励学生拓展相关领域的学习，如学习其他几何体的内切与外接问题 、了解相关数学史等，以拓宽视野并加深对课程内容的理解。
性质
内切球的半径等于多面体的内切圆半 径，也等于多面体各个面上的内切圆 半径的最小值。
内切球的计算方法
直接法
通过已知条件直接求出内切球的半径。
间接法
利用体积关系求出内切球的半径。对于棱锥、棱柱等多面体，可以先求出其体 积和表面积，再利用体积和表面积的关系求出内切球的半径。
外接球和内切球问题总结归纳
外接球和内切球问题总结归纳外接球和内切球问题总结归纳在几何学中，外接球和内切球问题是一个重要的概念。
它们不仅在数学领域有着重要的应用，同时也被广泛运用在物理学、工程学以及计算机科学等领域。
本文将对外接球和内切球问题进行深入探讨，从基础概念到应用实例，帮助读者全面理解这一主题。
一、外接球和内切球的定义1. 外接球外接球是指一个球与给定的多边形的所有顶点相切于球面的情况。
在数学中，外接球常常与三角形、四边形等几何图形相关联，其特点是与多边形的各个顶点相切，并且球心通常位于多边形的某个重要位置。
2. 内切球内切球则是指一个球完全被给定的多边形所包围，且球与多边形的边界相切。
在实际应用中，内切球往往能够最大化地利用多边形所包围的空间，因此在工程设计和优化问题中具有重要意义。
二、外接球和内切球的性质1. 外接球的性质外接球的半径通常与多边形的边或者角有着特定的关系。
以三角形为例，外接圆的半径等于三角形三条边的乘积除以其周长的两倍。
这一性质在计算三角形的外接圆时具有重要意义，同时也为几何问题的解决提供了基础。
2. 内切球的性质内切球的半径与多边形的边界有着紧密的联系。
以正方形为例，内切圆的半径等于正方形的边长的一半。
这一性质在优化问题中有着重要的应用，能够帮助设计者最大化地利用空间，提高效率和节约成本。
三、外接球和内切球的应用1. 工程设计外接球和内切球在工程设计中有着广泛的应用。
例如在建筑设计中，内切球可以帮助设计者合理利用建筑空间，提高使用效率；在机械设计中，外接球则可以帮助设计者确定零部件的匹配度和适用性。
2. 计算机科学外接球和内切球也在计算机科学领域有着重要的应用。
例如在计算机图形学中，外接球和内切球经常被用来描述物体的外形和几何特征，同时也可以用于物体的碰撞检测和三维建模。
个人观点和总结外接球和内切球作为一个基础的数学概念，在几何学、工程学和计算机科学等领域有着重要的应用。
通过对外接球和内切球的定义、性质和应用进行深入探讨，我们可以更好地理解其在实际问题中的作用和意义，进一步拓展其在更多领域的应用。
处理球的“内切”“外接”问题
处理球的“内切”“外接”问题一、正多面体（即各个面都是全等的正多边形）的内切、外接球球心一定重合。
例： 1.正六面体（即正方体）：球心在体对角线的中点。
设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。
（1）截面图1为正方形EFGH 的内切圆，得2aR =； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
（3） 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
2.正四面体（四个面全等的正三棱锥）设高为h ，内切球半径为r,外接球半径为R 。
内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为r=4h ，R= 43h ，R=3r. 例.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：（方法一）运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。
解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．图1图2图3在BEO Rt ∆中，222EO BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，得a R 46=，得r R 3= （方法二）正四面体四个面全等，是一种侧棱与底面边长都相等的特殊正三棱锥。
可以用补形法补成正方体，取正方体的六条面对角线为正四面体棱长， 再由正方体外接球球心在体对角线上来求出半径。
二、构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题1、正棱柱的外接球，底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
(直棱柱例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r=，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.2、长方体体对角线中点，直径等于体对角线长。
球的内切、外接问题
P
球的表面积．
解1：作出截面图如图示. 由图可知，
3
AD
a,
2
2
3
AO AD
a.
3
3
a
6
2
2
∴PO PA AO
a.
3
6
∴OO PO PO
a R.
3
P
a
R
R
A
A
R O•
O•
•
O′
解得R
时，球内切于圆锥，如图所示，
O为球心，M为球O与母线PB的切点，E为底面圆心，
设球O的半径为R，底面圆E的半径为r，
因为圆锥侧面积为2π，
LOGO
（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
例8 正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，若该正
四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2 6，求这个球
P
的表面积. 36π
PO′= 4，OO′=4－R，AO=R
2 6
AO2 = OO′ 2 + AO′ 2，
R=3
•
O′
R
R
A
O
O•
•
O′
O′
•
O
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（4）正棱锥、圆锥 ②外接球
正棱锥外接球半径求法——轴截面法
1.球心在棱锥的高所在的直线上
2.球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体的高h 减去球半径R的绝对值
d= |h －R |
P
3. R 2 r 2 (h R ) 2
4
9
O
1
， 解得r= 3
轴截面法
球的内切与外接问题
02 球的外接问题
球的外接几何体
球的外接三角形
一个球的外接三角形是指 一个内接于球的三角形， 其三条边的中点都在球的 球面上。
球的外接多边形
一个球的外接多边形是指 一个内接于球的n边形，其 所有顶点都在球的球面上。
球的外接圆柱
一个球的外接圆柱是指一 个内接于球的圆柱，其底 面圆心与球心重合。
球的外接线与半径
球的内切与外接问
目录
• 球的内切问题 • 球的外接问题 • 球的内切与外接问题的应用 • 球的内切与外接问题的数学原理 • 球的内切与外接问题的实际案例
01 球的内切问题
球的内切几何体
01
02
03
球的内切正方体
球心与正方体的一个顶点 重合，正方体的对角线等 于球的直径。
球的内切长方体
长方体的一个角顶点位于 球心，长方体的体对角线 等于球的直径。
球的外接圆
一个球的外接圆是指一个内接于 球的圆，其圆心位于球的球面上 。
球的半径
球的半径是指从球心到球面的距 离。
球的外接多面体
球的外接正多面体
一个球的外接正多面体是指一个内接 于球的n面体，其所有面都是等边三 角形或等边四边形。
球的外接非正多面体
一个球的外接非正多面体是指一个内 接于球的n面体，其面可以是等边三角 形、等边四边形或等腰三角形等。
根据球的外接定理，推导出多面体的所有顶点都在球面上， 以及多面体的所有边都与球的半径相等的条件。
05 球的内切与外接问题的实 际案例
建筑设计中的球内切与外接问题
建筑设计中的球内切问题
在建筑设计领域，球内切问题通常涉及到如何将一个球体完美地放入一个给定的空间内，使得球体与 空间边界相切。例如，在建造穹顶或大型球形结构时，需要精确计算球体的大小和位置，以确保其与 周围结构相切。
与球相关的外接与内切问题(解析版)
专题4.2 与球相关的外接与内切问题一．方法综述如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。
研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体. （2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决. （3）球自身的对称性与多面体的对称性；二．解题策略类型一 柱体与球【例1】（2020·河南高三（理））已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为（ ） A ．116π B ．106πC ．56πD ．53π【答案】A 【解析】【分析】由题意得出11118104AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA ++，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=，所以，()()222211112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，故外接球半径r ==，因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==.故选：A.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径. 【举一反三】1.（2020·2，若该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．73π B ．113π C ．5π D ．8π【答案】D【解析】根据条件可知该三棱柱是正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图，则其外接球的半径22221123222sin 60R OB OO BO ⎛⎫ ⎪⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪︒⎝⎭⎝⎭， 外接球的表面积428S ππ=⨯=.故选：D【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径. 2.（2020·安徽高三（理））已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为a ，则这个球的表面积为（ ）． A ．234a π B ．23a π C ．26a πD ．232a π【答案】D【解析】由已知作出截面图形如图1，可知正三角形的边长等于正方体的面对角线长，正方体与其外接球的位置关系如图2所示，可知外接球的直径等于正方体的体对角线长，设正方体的棱长为m ,外接球的半径为R ，则2a m =，23R m =，所以64R a =，所以外接球的表面积为222634442a S R a πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 故选：D .【点睛】本题考查正方体的外接球、正方体的截面和空间想象能力，分析出外接球的半径与正三角形的边长的关系是本题的关键，3．（2020·河南高三（理））有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ） （附：2 1.414,3 1.732,5 2.236≈≈≈） A ．22个 B ．24个C ．26个D ．28个【答案】C【解析】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，易求正四面体相对棱的距离为52cm ，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球， 则最上层球面上的点距离桶底最远为()()10521n +-cm ，若想要盖上盖子，则需要满足()10521100n +-≤，解得19213.726n ≤+≈， 所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球．故选：C 类型二 锥体与球【例2】5．已知球O 的半径为102，以球心O 为中心的正四面体Γ的各条棱均在球O 的外部，若球O 的球面被Γ的四个面截得的曲线的长度之和为8π，则正四面体Γ的体积为_________． 【来源】重庆市2021届高三下学期二模数学试题 【答案】182【解析】由题知，正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆，每个圆的周长为2π，半径为1，故球心O 到正四面体各面的距离为2106122⎛⎫-=⎪⎝⎭，设正四面体棱长为a ，如图所示，则斜高332AE EF a ==，体高63=AF a ，在Rt AEF 和R t AGO 中，13OG EF AO AE ==，即61236632a =-，∴6a =，∴231362618234312V a a =⋅⋅=⋅=． 【举一反三】1.（2020四川省德阳一诊）正四面体ABCD 的体积为，则正四面体ABCD 的外接球的体积为______． 【答案】【解析】如图，设正四面体ABCD 的棱长为，过A 作AD ⊥BC ， 设等边三角形ABC 的中心为O ，则，，，即．再设正四面体ABCD 的外接球球心为G ，连接GA ， 则，即．∴正四面体ABCD 的外接球的体积为.故答案为：．2．（2020·宁夏育才中学）《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h 的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h 的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为 【答案】288π【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，其外接球的直径是23R h =，设圆柱的底面圆半径为r ，母线长为l h =， 则232r ππ=，解得42r =222(2)(3)l r h +=， 222(82)9h h ∴+=，解得4h =，∴外接球的半径为3462R =⨯=，∴外接球的体积为3344628833R V πππ⨯===．3．（2020·贵阳高三（理））在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是一个正三角形，若平面PAD ⊥平面ABCD ，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．143πB ．283πC ．563πD ．1123π【答案】D 【解析】【分析】过P 作PF AD ⊥，交AD 于F ，取BC 的中点G ，连接,PG FG ，取PF 的三等分点H （2PH HF =），取GF 的中点E ，在平面PFG 过,E F 分别作,GF PF 的垂线，交于点O ，可证O 为外接球的球心，利用解直角三角形可计算PO ．【详解】如图，过P 作PF AD ⊥，交AD 于F ，取BC 的中点G ，连接,PG FG ，在PF 的三等分点H （2PH HF =），取GF 的中点E ，在平面PFG 过,E F 分别作,GF PF 的垂线，交于点O ．因为PAD ∆为等边三角形，AF FD =，所以PF ⊥AD ． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PF ⊂平面PAD ，所以PF ⊥平面ABCD ，因GF ⊂平面ABCD ，故PF GF ⊥． 又因为四边形ABCD 为正方形，而,G F 为,BC AD 的中点，故FG CD ，故GF AD ⊥，因ADPF F =，故PF ⊥平面PAD ．在Rt PGF ∆中，因,OE GF PF GF ⊥⊥，故OE PF ，故OE ⊥平面ABCD ，同理OH ⊥平面PAD ．因E 为正方形ABCD 的中心，故球心在直线OE 上，因H 为PAD ∆的中心，故球心在直线OH 上，故O 为球心，OP 为球的半径． 在Rt PGF ∆中，2234343323PH PF ==⨯⨯=，2OH EF ==， 故16282214333OP =+==，所以球的表面积为28112433ππ⨯=． 类型三 构造法（补形法）【例3】已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AB 上一点，且2AD DB =.过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π，则球O 的表面积为（ ） A ．128π B ．132πC ．144πD ．156π【答案】B【解析】PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，将三棱锥P ABC -补成长方体PQMN ABEC -，如下图所示：设AE BC F =，连接OF 、DF 、OD ，可知点O 为PE 的中点，因为四边形ABEC 为矩形，AE BC F =，则F 为AE 的中点，所以，//OF PA 且12OF PA =，设2PA x =，且2210AE AB BE =+=，222225PE PA AE x ∴+=+所以，球O 的半径为21252R PE x ==+， 在Rt ABE △中，2ABE π∠=，6AB =，10AE =，3cos 5AB BAE AE ∠==，在ADF 中，243AD AB ==，5AF =， 由余弦定理可得222cos 17DF AD AF AD AF BAE =+-⋅∠=，PA ⊥平面ABCD ，OF ∴⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，则OF DF ⊥，12OF PA x ==，22217OD OF DF x ∴=+=+， 设过点D 的球O 的截面圆的半径为r ，设球心O 到截面圆的距离为d ，设OD 与截面圆所在平面所成的角为θ，则22sin d OD R r θ==-.当0θ=时，即截面圆过球心O 时，d 取最小值，此时r 取最大值，即2max 25r R x ==+；当2πθ=时，即OD 与截面圆所在平面垂直时，d 取最大值，即2max 17d OD x ==+，此时，r 取最小值，即()22min max 22r R d =-=. 由题意可得()()()222max min 1725r r x πππ⎡⎤-=+=⎣⎦，0x，解得22x =.所以，33R =，因此，球O 的表面积为24132S R ππ==.故选：B.【举一反三】1.（2020宁夏石嘴山模拟）三棱锥中，侧棱与底面垂直，，，且，则三棱锥的外接球的表面积等于 ．【答案】【解析】把三棱锥，放到长方体里,如下图:,因此长方体的外接球的直径为,所以半径,则三棱锥的外接球的表面积为.2.（2020菏泽高三模拟）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱补充为长方体，则该长方体的体对角线为，设长方体的外接球的半径为，则，,所以该长方体的外接球的体积，故选C.3．（2020·贵州高三月考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．43B．53C．83D．163【答案】A【解析】【分析】如图所示画出几何体，再计算体积得到答案.【详解】由三视图知该几何体是一个四棱锥，可将该几何体放在一个正方体内，如图所示：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，取棱11,,,,B C DA AB BC CD 的中点分别为,,,,E M N P Q ，则该几何体为四棱锥E MNPQ -，其体积为()2142233⨯⨯=.故选：A 类型四 与球体相关的最值问题【例4】（2020·福建高三期末（理））在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高h =（ ） A ．143B ．134C ．72D ．163【答案】D 【解析】【分析】设正三棱锥底面的边长为a ，高为h ，由勾股定理可得22234(4)3h a ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则22183h h a -=，三棱锥的体积()23384V h h =-，对其求导，分析其单调性与最值即可得解. 【详解】解：设正三棱锥底面的边长为a ，高为h ，根据图形可知22234(4)3h a ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则22180,3h h a -=>08h ∴<<. 又正三棱锥的体积21334V a h =⨯()2384h h h =-()23384h h =-，则()231634V h h '=-， 令0V '=，则163h =或0h =（舍去）， ∴函数()23384V h h =-在160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在16,83⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴当163h =时，V 取得最大值，故选：D. 【点睛】本题考查球与多面体的最值问题，常常由几何体的体积公式、借助几何性质，不等式、导数等进行解决，对考生的综合应用，空间想象能力及运算求解能力要求较高. 【举一反三】1.（2020·广东高三（理））我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球体积为（ ）A ．22πB ．823C ．23D ．2π【答案】B【解析】依题意可知BC ⊥平面11ACC A .设,AC a BC b ==，则2224a b AB +==.111111323B A ACC V AC AA BC AC BC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯22114232323AC BC +≤⨯=⨯=，当且仅当2AC BC ==时取得最大值.依题意可知1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B ，故半径221111222OB A B AA AB ==⨯+=.所以外接球的体积为()34π82π233⋅=. 特别说明：由于BC ⊥平面11ACC A ，1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B 为定值，即无论阳马11B A ACC -体积是否取得最大值，堑堵111ABC A B C -外接球保持不变，所以可以直接由直径1A B 的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B2．（2020·遵义市南白中学高三期末）已知A ，B ，C ，D 四点在同一个球的球面上，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π【答案】C 【解析】根据6AB BC ==可得直角三角形ABC ∆的面积为3,其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上,设小圆的圆心为Q , 由于底面积ABC S ∆不变,高最大时体积最大,所以DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为为133ABC S DQ ∆⨯=，即133,33DQ DQ ⨯⨯=∴=,如图, 设球心为O ,半径为R ，则在直角AQO ∆中,即222(3)(3,)2R R R =∴+=-, 则这个球的表面积为24216S ππ=⨯=,故选C.3．（2020·河南高三（理））菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 将三角形ACD 折起，当三棱锥D －ABC 体积最大时，其外接球表面积为（ ） A ．153π B ．2153π C ．209π D ．203π 【答案】D 【解析】【分析】当平面ACD 与平面ABC 垂直时体积最大，如图所示，利用勾股定理得到2223(3)()3R OG =-+和22223()3R OG =+，计算得到答案. 【详解】易知：当平面ACD 与平面ABC 垂直时体积最大. 如图所示：E 为AC 中点，连接,DE BE ，外接球球心O 的投影为G 是ABC ∆中心，在BE 上 3BE =，3DE =，33EG =，233BG =设半径为R ，则2223(3)()3R OG =-+，22223()3R OG =+ 解得：153R =，表面积22043S R ππ== 故选：D三．强化训练一、选择题1．（2020·广西高三期末）棱长为a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E BCD -的表面积为（ ） A ．2334a + B ．2336a + C ．2336a - D ．2334a - 【答案】A【解析】由题意，多面体ABCDE 的外接球即正四面体ABCD 的外接球， 由题意可知AE ⊥面BCD 交于F ，连接CF ，则233323CF a a =⋅= 且其外接球的直径为AE ，易求正四面体ABCD 的高为223633a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎝⎭-. 设外接球的半径为R ，由2226333R a R a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=⎭-⎝-得64R a =. 设正三棱锥E BCD -的高为h ，因为6623AE a a h ==+，所以66h a =. 因为底面BCD ∆的边长为a ，所以2222EB EC ED CF h a ===+=， 则正三棱锥E BCD -的三条侧棱两两垂直.即正三棱锥E BCD -的表面积222121333322224S a a a ⎛⎫+=⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：A .2、（2020辽宁省师范大学附属中学高三）在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，把三棱锥补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，则，∴三棱锥外接球的半径∴三棱锥外接球的表面积为．故选：C．3．（2020·安徽高三期末）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体.古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》的卷13中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球.若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为（）A23B．223C．22D．223【答案】Ba b c R【解析】设正四面体、正方体、正八面体的棱长以及外接球半径分别为,,,则2223,23,22R a R b R c =⨯==, 即222,,2::2:2:333R R a b c R a b c ===∴=故选：B 4．（2020·北京人大附中高三）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，23AB =，2AD =，120ASB ∠=︒，SA AD ⊥，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．20πC ．80πD ．100π 【答案】B【解析】由四边形ABCD 为矩形，得AB AD ⊥，又SA AD ⊥，且SA AB A ⋂=，∴AD ⊥平面SAB ，则平面SAB ⊥平面ABCD ，设三角形SAB 的外心为G ，则23322sin 2sin12032AB GA ASB ====∠︒. 过G 作GO ⊥底面SAB ，且1GO =，则22215OS =+=.即四棱锥外接球的半径为5． ∴四棱锥外接球的表面积为24(5)20S ππ=⨯=.故选B ．5．（2020河南省郑州市一中高三）在三棱锥中，平面，M 是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：如图所示：三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则：当时，线段达到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，则：，由于：，所以：则：为等腰三角形．所以，在中，设外接圆的直径为，则：，所以外接球的半径，则：，故选：C．6、（2020河南省天一大联考）某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为.故答案为：C.7．（2020·江西高三期末（理））如图，三棱锥P ABC -的体积为24，又90PBC ABC ∠=∠=︒，3BC =，4AB =，410PB =，且二面角P BC A --为锐角，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．169πB ．144πC ．185πD ．80π【答案】A【解析】因90PBC ABC ∠=∠=︒，所以BC ⊥平面PAB ，且PBA ∠为二面角P BC A --的平面角， 又3BC =，4AB =，410PB =，由勾股定理可得13PC =，5AC =， 因为1sin 8102PAB S PB AB PBA PBA ∆⋅=⋅∠=∠，所以三棱锥的体积1181032433PAB V S BC PBA ∆=⋅=⨯∠⨯=，解得310sin PBA ∠=，又PBA ∠为锐角，所以10cos 10PBA ∠=， 在PAB ∆中，由余弦定理得2101601624410144PA =+-⨯⨯=， 即12PA =，则222PB PA AB =+，故PA AB ⊥， 由BC ⊥平面PAB 得BC PA ⊥，故PA ⊥平面ABC ，即PA AC ⊥，取PC 中点O ， 在直角PAC ∆和直角PBC ∆中，易得OP OC OA OB ===，故O 为外接球球心， 外接圆半径11322R PC ==，故外接球的表面积24169S R ππ==.故选：A. 8．（2019·湖南长沙一中高三）在如图所示的空间几何体中，下面的长方体1111ABCD A B C D -的三条棱长4AB AD ==，12AA =，上面的四棱锥1111P A B C D -中11D E C E =，1111PE A B C D ⊥平面，1PE =，则过五点A 、B 、C 、D 、P 的外接球的表面积为（ ）A ．311π9B ．311π18C ．313π9D ．313π18【答案】C【解析】问题转化为求四棱锥P ABCD -的外接球的表面积．4913PC =+=，∴3sin 13PCD ∠=．所以PCD ∆外接圆的半径为131336213r ==⨯，由于PE ⊥平面1111D C B A ，则PE ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ， 所以外接球的222169313243636R r =+=+=．所以2313π4π9S R ==球表面积．9．三棱锥P —ABC 中，底面ABC 满足BA=BC ， ，点P 在底面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P 到底面ABC 的距离为（ ） A ．3 B ．C ．D ．【答案】B【解析】设外接球半径为，P 到底面ABC 的距离为，，则，因为，所以， 因为，所以当时，，当时，，因此当时，取最小值，外接球的表面积取最小值，选B.10．（2019·河北高三月考）在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，∠BCD =30°，2246AB BD +=，若将△ABD 沿BD 折成直二面角A -BD -C ，则三棱锥A-BDC 外接球的表面积是( ) A ．4π B ．5πC ．6πD ．8π【答案】C【解析】取,AD BD 中点,E F ，设BCD ∆的外心为M ，连,,MB MF EF ， 则01,30,22MF BD BMF DMB BCD BM BF BD ⊥∠=∠=∠=∴== 分别过,E M 作,MF EF 的平行线，交于O 点， 即//,//OE MF OM EF ，,BD AB E ⊥∴为ABD ∆的外心，平面ABD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，//,EF AB EF ∴⊥平面BCD ，OM ∴⊥平面BCD ，同理OE ⊥平面ABD ，,E M 分别为ABD ∆，BCD ∆外心，O ∴为三棱锥的外接球的球心，OB 为其半径, 22222221342OB BM OM BD EF BD AB =+=+=+=， 246S OB ππ=⨯=球.故选:C11．（2020·梅河口市第五中学高三期末（理））设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，PAB ∆是面积为3的等边三角形，45ACB ∠=︒，则当三棱锥P ABC -的体积最大时，球O 的表面积为（ ） A ．283π B ．10πC ．323π D ．12π【答案】A【解析】如图，由题意得2334AB =，解得2AB =.记,,AB c BC a AC b ===， 12sin 24ABC S ab C ab ∆==，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得224222a b ab ab ab =+-≥-，42(22)22ab ≤=+-，当且仅当a b =时取等号．所以CA CB =且平面PAB ⊥底面ABC 时，三棱锥P ABC -的体积最大.分别过PAB ∆和ABC ∆的外心作对应三角形所在平面的垂线，垂线的交点即球心O ， 设PAB ∆和ABC ∆的外接圆半径分别为1r ，2r ，球O 的半径为R ，则123r =，21222sin 45r =⨯=︒.故222211172233R r r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 球O 的表面积为22843R ππ=.故选：A.12.（2020四川省成都外国语学校模拟）已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个三棱锥P-AEF （使B ，C ，D 重合于P ），三棱锥P-AEF 的外接球表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】如图，由题意可得，三棱锥P-AEF 的三条侧棱PA ，PE ，PF 两两互相垂直， 且，，把三棱锥P-AEF 补形为长方体，则长方体的体对角线长为， 则三棱锥P-AEF 的外接球的半径为，外接球的表面积为．故选：C ．13．已知球O 夹在一个二面角l αβ--之间，与两个半平面分别相切于点,A B .若2AB =，球心O 到该二面角的棱l 的距离为2，则球O 的表面积为（ ） A ．8πB ．6πC ．4πD ．2π【来源】江西省萍乡市2021届高三二模考试数学（文）试题 【答案】A【解析】过,,O A B 三点作球的截面，如图：设该截面与棱l 交于D ，则OA l ⊥，OB l ⊥，又OA OB O =，所以l ⊥平面AOB ，所以OD l ⊥，所以||2OD =，依题意得,OA AD OB BD ⊥⊥，所以,,,O A D B 四点共圆，且OD 为该圆的直径，因为||2||AB OD ==，所以AB 也是该圆的直径，所以四边形OADB 的对角线AB 与OD 的长度相等且互相平分，所以四边形OADB 为矩形，又||||OA OB =，所以该矩形为正方形，所以2||||22OA AB ==，即圆O 的半径为2，所以圆O 的表面积为24(2)8ππ⨯=. 故选：A14．已知点,,A B C 在半径为2的球面上，满足1AB AC ==，3BC =，若S 是球面上任意一点，则三棱锥S ABC -体积的最大值为（ ） A ．32312+ B ．3236+ C ．23312+ D ．3312+ 【答案】A【解析】设ABC 外接圆圆心为O '，三棱锥S ABC -外接球的球心为O ，1AB AC ==，设D 为BC 中点，连AD ，如图，则AD BC ⊥，且O '在AD 上，221()22BC AD AB =-=， 设ABC 外接圆半径为r ，222231()()()242BC r AD r r =+-=+-，解得1r =， 22||23OO r '∴=-=要使S ABC -体积的最大，需S 到平面ABC 距离最大， 即S 为O O '32，所以三棱锥S ABC -体积的最大值为11112)2)3322ABCS ⨯=⨯⨯⨯=故选：A15．已知半球O 与圆台OO '有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（ ）A B C ．6D 【答案】D【解析】如图1所示，设BC x =，CO r '=，作CF AB ⊥于点F ，延长OO '交球面于点E ，则1BF r =-，OO CF '===2得CO O D ''⋅=()()11O E O H OO OO ''''⋅=+⋅-，即((211r =+⋅，解得212x r =-，则圆台侧面积(2π1102x S x x ⎛⎫=⋅+-⋅<< ⎪⎝⎭，则'2322S x ππ=-，令'0S =，则3x =或x =，当0x <<时，'0S >x <<'0S <，所以函数2π112x S x ⎛⎫=⋅+-⋅ ⎪⎝⎭在⎛ ⎝⎭上递增，在⎝上递减，所以当3x =时，S 取得最大值．当3x BC ==时，21123x r =-=，则213BF r =-=．在轴截面中，OBC ∠为圆台母线与底面所成的角，在Rt CFB △中可得cos 3BF OBC BC ∠==故选：D ．16．（2020·重庆八中高三）圆柱的侧面展开图是一个面积为216π的正方形，该圆柱内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为 【答案】323π【解析】设圆柱的底面直径为2r ，高为l ，则222π16πr l l =⎧⎨=⎩，解得24πr l =⎧⎨=⎩.故圆柱的底面直径为4，高为4π，所以圆柱内最大球的直径为4，半径为2，其体积为34π32π233⨯=. 17．（2020·江西高三）半正多面体(semiregular solid )亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为2，则该二十四等边体外接球的表面积为【答案】8π【解析】2，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，2222(2)(2)(2)2R ∴=++,2R ∴,∴该二十四等边体的外接球的表面积24πS R =24π(2)8π=⨯=.18．（2020·福建高三期末（理））在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1AA ，BC 的中点，点M 在棱11B C 上，11114B M BC =，若平面FEM 交11A B 于点N ，四棱锥11N BDD B -的五个顶点都在球O 的球面上，则球O 半径为 【答案】2293【解析】如图1，2,,B M F 三点共线，连结22,B E B MF ∈从而2B ∈平面FEM ，则2B E 与11A B 的交点即为点N ，又12Rt B B N ∆与1Rt A EN ∆相似，所以1112112A E A NB B NB ==； 如图2，设11B D N ∆的外接圆圆心为1O ，半径为r ，球半径为R ，在11B D N ∆中，111445,103NB D D N ︒∠==，由正弦定理得453r =，所以1853D P =，在1Rt DD P ∆中，解得4293DP =，即42293R =，所以所求的球的半径为2293.19．（2020·黑龙江高三（理））设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，在ABC 中，6BC =,60BAC ∠=︒,则三棱锥D ABC -体积的最大值为【答案】183【解析】ABC 中，6BC =,60BAC ∠=︒，则643223sin sin 60a r r A ===∴=︒，22max 6h R r R =-=，222222cos 36a b c bc A b c bc bc bc =+-=+-≥∴≤ ，1sin 932S bc A =≤ 当6a b c ===时等号成立，此时11833V Sh ==20．（2020·河北承德第一中学高三）正三棱锥S －ABC 的外接球半径为2，底边长AB ＝3，则此棱锥的体积为【答案】934或334【解析】设正三棱锥的高为h ，球心在正三棱锥的高所在的直线上，H 为底面正三棱锥的中心因为底面边长AB=3，所以2222333332AH AD ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭当顶点S 与球心在底面ABC 的同侧时，如下图此时有222AH OH OA += ，即()()222322h +-=，可解得h=3因而棱柱的体积113393333224S ABC V -=⨯⨯⨯⨯=当顶点S 与球心在底面ABC 的异侧时，如下图有222AH OH OA +=，即()222322h +-=，可解得h=1所以113333313224S ABC V -=⨯⨯⨯⨯=9333421．（2020·江西高三（理））已知P,A,B,C 是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，90ABC ∠=︒，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ABD -体积的最大值为 【答案】338【解析】如下图，由题意，2PA PB PC ===，90ABC ∠=︒，取AC 的中点为G ，则G 为三角形ABC 的外心，且为P 在平面ABC 上的射影，所以球心在PG 的延长线上，设PG h =，则2OG h =-，所以2222OB OG PB PG -=-，即22424h h --=-，所以1h =. 故G CG 3A ==，过B 作BD AC ⊥于D ，设AD x =(023x <<)，则23CD x =-,设(03)BD m m =<≤，则~ABD BCD ，故23m xx m-=， 所以()223m x x =-，则()23m x x =-，所以ABD 的面积()3112322S xm x x ==-，令()()323f x x x =-，则()2'634f x x x =-（），因为20x >，所以当3032x <<时，()'0f x >，即()f x 此时单调递增；当33232x ≤<时，()'0f x ≤，此时()f x 单调递减．所以当332x =时，()f x 取到最大值为24316，即ABD 的面积最大值为1243932168=．当ABD 的面积最大时，三棱锥P ABD -体积取得最大值为19333388⨯=.22．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:3AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________.【来源】宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试数学（文）试题 【答案】163π【解析】如下图所示，设AH x =，可得出3HB x =，则球O 的直径为4AB x =，球O 的半径为2x ，设截面圆H 的半径为r ，可得2r ππ=，1r ∴=，由勾股定理可得()2222OH r x +=，即()22214x AH x -+=，即2214x x +=，33x ∴=，所以球O 的半径为2323x =，则球O 的表面积为22316433S ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 23．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB ==，22AC =，M 是BC 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最小值为___【答案】π 【解析】PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，将三棱锥P ABC -补成长方体ABCD PEFN -，则三棱锥P ABC -的外接球直径为22222223R PC PA AB AD PA AC ==++=+=，所以，3R =，设球心为点O ，则O 为PC 的中点，连接OM ，O 、M 分别为PC 、BC 的中点，则//OM PB ，且2211222OM PB PA AB ==+=， 设过点M 的平面为α，设球心O 到平面α的距离为d . ①当OM α⊥时，2d OM ==；②当OM 不与平面α垂直时，2d OM <=. 综上，2d OM ≤=.设过点M 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面圆的半径为r ，则221r R d =-≥，因此，所求截面圆的面积的最小值为2r ππ=.24．若正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为8，M 为侧棱PA 的中点，则四棱锥M ABCD -外接球的表面积为___________.【来源】山西省运城市2021届高三上学期期末数学（文）试题 【答案】132π【解析】在正四棱锥P ABCD -中M 为侧楼PA 中点,∴四棱锥M ABCD -外接球即为棱台MNEF ABCD -的外接球，如图，四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为8，1214,42AB O N O M ===∴ 212242AO MO ==∴设球心为O ，则图中12,OO A OMO △△均为直角三角形， 设1OO h =，222(42)OA h ∴=+，222(22)(4)OM h =++，A , M 都在球面上，222O O M R A =∴=,解得21,33h R =∴=,24132S R ππ∴==球25．已知P 为球O 球面上一点，点M 满足2OM MP =，过点M 与OP 成30的平面截球O ，截面的面积为16π，则球O 的表面积为________.【来源】广西钦州市2021届高三第二次模拟考试数学（理）试题 【答案】72π 【解析】如图所示：设截面圆心为1O ， 依题意得130OMO ∠=， 设1OO h =，则2OM h =， 又2OM MP =，所以3OP h =，即球的半径为3h ，所以3ON h =，又截面的面积为16π，所以()2116O N ππ=，解得14O N =，在1Rt OO N 中，()22316h h =+， 解得2h =，所以球的半径为32， 所以球的表面积是()243272S ππ==，故答案为： 72π 26．如图是数学家GeminadDandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，设图中球1O 和球2O 的半径分别为1和3，128O O =，截面分别与球1O 和球2O 切于点E 和F ，则此椭圆的长轴长为___________.【来源】江苏省盐城市阜宁县2020-2021学年高三上学期期末数学试题【答案】15【解析】如图，圆锥面与其内切球12,O O 分别相切与,B A ，连接12,O B O A ，则12,O B AB O A AB ⊥⊥，过1O 作12O D O A 于D ，连接12,,O F O E EF 交12O O 于点C ，设圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β，在Rt △12O O D 中,2312DO ,22182215O D11221515cos 84O D O O α===128O O = , 218CO O C =-,△2EO C △1FO C ,11218O C O C EO O F -= 解得12O C =,26O C = 222211213CF O C FO ∴=-=-= ,即13cos 2CFO C , 所以椭圆离心率为cos 25cos 5c e aβα=== 在△2EO C 中223cos cos 2EC ECO O C β=∠== 解得33EC =,432EF c ==2325155a a =⇒= 2215a ∴=故答案为：21527．在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与直线CD 平行的平面α将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为___________.【来源】江苏省六校2021届高三下学期第四次适应性联考数学试题 【答案】16538【解析】如图所示：平面ABMN 将长方体分成两部分，MN 有可能在平面11CDD C 上或平面1111A D C B 上，根据对称性知，两球半径和的最大值是相同的，故仅考虑在平面11CDD C 上的情况，延长11B C 与BM 交于点P ，作1O Q BC ⊥于Q 点，设1CBP BPB α∠=∠=，圆1O 对应的半径为1r ，根据三角形内切圆的性质， 在1Rt O QB 中，12QBO α∠=，15BQ BC CQ r =-=-，111tan 25O Q r BQ r α==-， 则15tan5251tan 1tan 22r ααα==-++，又当BP 与1BC 重合时，1r 取得最大值，由内切圆等面积法求得1512251213r ⨯≤=++，则2tan 23α≤ 设圆2O 对应的半径为2r ，同理可得266tan2r α=-， 又252r ≤，解得7tan 212α≥. 故1255566tan 176(1tan )221tan 1tan 22r r αααα+=-+-=--+++，72tan 1223α≤≤， 设1tan 2x α=+，则195[,]123x ∈，()5176f x x x=--， 由对号函数性质易知195[,]123x ∈，函数()f x 单减，则19519165()()1761912123812f x f ≤=--⨯=，即最大值为16538 故答案为：16538 28．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为___________.【来源】江苏省南京市秦淮中学2021届高三下学期期初学情调研数学试题【答案】183【解析】ABC 为等边三角形且其面积为93，则23934ABC SAB ==，6AB ∴=，如图所示，设点M 为ABC 的重心，E 为AC 中点，当点D 在平面ABC 上的射影为M 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时，4OD OB R ===， 点M 为三角形ABC 的重心，2233BM BE ∴==， Rt OMB ∴中，有222OM OB BM =-=，426DM OD OM ∴=+=+=，所以三棱锥D ABC -体积的最大值19361833D ABC V -=⨯=29．已知四面体ABCD 的棱长均为6,,EF 分别为棱,BC BD 上靠近点B 的三等分点，过,,A E F 三点的平面与四面体ABCD 的外接球O 的球面相交,得圆'O ，则球O 的半径为___________，圆'O 的面积为__________．【来源】河南省九师联盟2021届高三下学期3月联考理科数学试题【答案】3 8π【解析】。
球的“内切”“外接”问题
处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。
作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。
解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。
一、棱锥的内切、外接球问题例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。
解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．练习：一个正四面体内切球的表面积为π3，求正四面体的棱长。
二、球与棱柱的组合体问题1． 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a ，球半径为R 。
如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2a R =； 2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
3． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
4． 长方体内切外接球呢？图3 图4 图5 图1例3.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______.解：由已知可得PA 、PB 、PC 实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C 的一条对角线CD ，则CD 过球心O ，对角线a CD 3=223234a a S ⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∴ππ球表面积 练习：1一棱长为a 2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。
球的内切与外接问题_数学_高二
S1：S2：S3=R12：R22：R32
第一个小球 — 与正方体内切
a
R1
O
·
1 R1 a 2
2
AC1= 5 2 AC12=AC2+CC12 AC12=32+42+x2=50 x=5 D2=a2+b2+c2
（1）一个几何体的外接球与内切球怎样确定？ ①确定球心位置——位于几何体的中心 ②确定球的半径——球心到切点的距离 （2）一个几何体的外接球与内切球的半径怎样求？ ①与面向切——R=球心到面的距离 ②与棱相切——R=球心到棱的距离 ③与点相接——R=球心到点的距离
画出相关截面，转化成平面几何思考
2
2 3 : a : a 2 2
2
1: 2 : 3
V1:V2:V3= ? R13:R23:R33
长方体的一个顶点上三条棱的长分别为3、4、x， 且它的八个顶点都在同一个球面上，已知球的表面 5 积是50π，则x= 5 。 2 R= S=4πR2
第二个小球 — 与正方体的各条棱都相切
O
·
a
R2
2 R2 a 2
第三个小球 — 与正方体外接
A1
C1
O
·
a
C
R3
A
3 R3 a 2
1 R1 a 2
2 R2 a 2
S1 : S2 : S3 R : R2 : R3
2 1 2
2
球的内切和外接问题
接球。
性质
02
圆锥体的外接球的半径等于圆锥体母线长度的一半。
应用
03
在几何学中，圆锥体的外接球的概念常用于解决与圆锥体相关
的问题，如计算圆锥体的表面积、体积等。
03
球的内切和外接问题的 应用
在几何学中的应用
确定球与平面、球与多面体的位置关系
通过球的内切和外接问题，可以确定球与平面、球与多面体的位置关系，进一步研究球的相关性质。
当一个球恰好与圆柱体的上底面和下 底面相切，这个球被称为圆柱体的外 接球。
性质
应用
在几何学中，圆柱体的外接球的概念 常用于解决与圆柱体相关的问题，如 计算圆柱体的表面积、体积等。
圆柱体的外接球的半径等于圆柱体高 的一半。
球与圆锥体的外接
定义
01
当一个球恰好与圆锥体的顶点相切，这个球被称为圆锥体的外
解决几何问题
利用球的内切和外接问题，可以解决一些与球相关的几何问题，如计算球的表面积、体积等。
在物理学中的应用
确定天体的运动轨迹
在天文学中，通过研究天体与地球之 间的球内切和外接问题，可以确定天 体的运动轨迹和运行规律。
解决物理实验问题
在物理实验中，利用球的内切和外接 问题可以解决一些与球相关的物理实 验问题，如研究球的滚动摩擦等。
02
球的外接问题
球与多边形的外接
01
02
03
定义
当一个球恰好与一个多边 形的各顶点相切，这个球 被称为多边形的外接球。
性质
多边形的外接球的半径等 于多边形各顶点到其外接 圆圆心的距离。
应用
在几何学中，外接球的概 念常用于解决与多边形相 关的问题，如计算多边形 的面积、体积等。
处理球的“内切”“外接”问题【修正版】
图 6图3图4图5处理球的“内切”“外接”问题一、球与棱柱的组合体问题： 1、正方体的内切球：设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。
（1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2aR =；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
（3） 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
2.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,求这个球的表面积是______.解析：把该三棱锥嵌入棱长为a 的正方体中，则正方体的对角线长即为球的直径，故有 ()22222a a a R ++=，即2234a R =，所以球的表面积是2234a R ππ=。
3.已知底面边长为a 正三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱 的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
解：如图6，由题意得两球心1O 、2O 是重合的， 过正三棱柱的一条侧棱1AA 和它们的球心作截面， 设正三棱柱底面边长为a ，则a R 632=， 正三棱柱的高为a R h 3322==，由O D A Rt 11∆中， 得22222221125633333a a a R a R =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，a R 1251=∴ 1:5::222121==∴R R S S ， 1:55:21=V V 二、棱锥的内切、外接球问题4 .棱长为a 的正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。
2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 微专题2 与球有关的内切、外接问题
反思 感悟
一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则 就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该 三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R＝ a2＋b2＋c2 .
三、寻求轴截面圆半径法
例3 正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点S，A，B，C，D都在同一 4π
例2－1 (1)一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
√A.3π
B.4π
C. 3 3π
D.6π
解析 联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体， 则正方体的面对角线即为四面体的棱长， 求得正方体的棱长为 1，体对角线为 3，从而外接球的直径也为 3， 所以此球的表面积为3π.
6x＝3， 则有98＝6× 43x2h，
∴x＝12， h＝ 3.
∴正六棱柱的底面外接圆的半径 r＝12，
球心到底面的距离
d＝
3 2.
∴外接球的半径 R＝ r2＋d2＝1.∴V 球＝43π.
反思 感悟
本题运用公式R2＝r2＋d2求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
1.构造正方体
与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路 类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面 体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球 的半径之间的关系.
一、直接法(公式法)
例1 (1)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为 1,2,3，则此球的表面积为___1_4_π___.
(2)已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝ 2 ， BC＝ 3，则球O的体积等于__7_6_7_π__.
球的内切和外接问题
目录
• 球的内切问题 • 球的外接问题 • 球的切接问题在几何图形中的应用 • 球的切接问题的求解方法
01
球的内切问题
球与多面体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个多面体时，多面体的每个面都会与球面相切，形成一系列的圆。
详细描述
球与多面体的内切是指球心位于多面体的内部，并且球面与多面体的每个面都相切。这种情况下，多面体的每个 面都会与球面形成相切的圆。这种内切关系在几何学中具有重要意义，是研究球与多面体关系的基础。
详细描述
在几何作图题中，经常需要利用球的切接性质来进行几何作图，例如作一个圆或一个圆 锥的内切于另一个圆或圆锥。通过球的切接性质，可以确定相关的点和线的位置，进而
完成几何作图。
04
球的切接问题的求解方 法
利用球心距和半径关系求解
1 2
球心距
球心到球面任一点的距离等于球的半径。
求解方法
利用球心距和半径的关系，通过代数运算求出相 关量。
斜放的圆锥体的外接球
对于斜放的圆锥体，其外接球的球心位于通过顶点和底面圆 心的直线上，但不一定在轴线上。
03
球的切接问题在几何图 形中的应用
在几何证明题中的应用
总结词
利用球的切接性质，经常需要利用球的切接性 质来证明一些几何图形的性质和关系，例如 证明两个圆或两个圆锥相切于同一个点，或 者证明一个圆或一个圆锥内切于另一个圆或 圆锥等。通过球的切接性质，可以推导出相 关的角度、距离等关系，进而证明题目的结 论。
在几何计算题中的应用
总结词
利用球的切接性质，计算几何图形的相关量 。
详细描述
在几何计算题中，经常需要利用球的切接性 质来计算一些几何图形的相关量，例如计算 两个圆或两个圆锥相切时的半径、高、角度 等。通过球的切接性质，可以建立相关的数
立体几何中的与球有关的内切外接问题分解课件
设多边形的边数为$n$，则球的半径$r = frac{a}{2sinfrac{180^circ}{n}}$，其中$a$为多边形的外接圆半径。
球与圆柱体的内切总结词Fra bibliotek详细描述
当一个球完全内切于一个圆柱体时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，且圆柱的轴线通过球心。
设圆柱体的底面圆心为$O_1$，顶面 圆心为$O_2$，球心为$O$。由于球 内切于圆柱体，所以$OO_1 = OO_2 = r$，其中$r$为球的半径。同时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，所以底面圆心到球心的距离 等于底面圆的半径，顶面圆心到球心 的距离等于顶面圆的半径。
公式
设圆柱体的底面半径为$R_1$，顶面 半径为$R_2$，高为$h$，则球的半 径$r = frac{R_1 + R_2 + h}{2}$。
球与圆锥体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个圆锥体时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，且圆锥的轴 线通过球心。
详细描述
设圆锥体的底面圆心为$O_1$，球心为$O$。由于球内切于圆锥体，所以$OO_1 = r$， 其中$r$为球的半径。同时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，所以底面圆心到球 心的距离等于底面圆的半径。
04
球的内切外接问题应用
球在几何题中的应用
球与多面体的内切和外接
在几何题目中，经常涉及到球与多面体的内切和外接问题，需要利用球心到多面 体的顶点的距离等于半径的原理来解决。
球的切线和割线定理
切线和割线定理是球在几何题中的重要应用，通过这些定理可以推导出球与其他 几何形状的位置关系。
球在物理题中的应用
02
球的内切问题
球与多边形的内切
球的内切和外接问题
正方体外接球的直径2R 3 2 a, R 6 a
2
4
S表
3 2
a 2
A B
O D
C
求正多面体外接球旳半径
求正方体外接球旳半径
球旳内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面旳距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点旳距离均相等。 2、正多面体旳内切球和外接球旳球心重叠。 3、正棱锥旳内切球和外接球球心都在高线上，但不 重叠。
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A )
A. 1:2:3
B. 1: 2: 3 C. 1:3 4:3 9 D. 1: 8: 27
图3
图4
图5
甲球为内切球直径=正方体棱长
设为1
S甲 4 R12 =
D
C
A
B
中截面
O
.
D1
C1
A1
B1
球内切于正方体旳棱
正方形旳对角线等于球旳直径= 2a
S乙 4 R22 =2
连 AO 延长交 PD 于 G
6a 3
P
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG
3
∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
A
a 2
•O G
O1 D
R
6 a R 3
3a
3a
2
6
R 6 a 4
E 3a
6
S表
3 2
a2
求棱长为a的正四面体P ABC的外接球的表面积
解法2：
正方体的棱长为 2 a, 2
球与多面体旳内切、外接
球旳半径r和正方体 旳棱长a有什么关系？
.r
a
一、 球体旳体积与表面积
①
V球
第02讲 与球相关的外接与内切问题-培优复习冲刺高考讲义突破140
积等于________．
2、已知三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB 3，AC 4 , AB AC , AA1 12 ,
则球 O 的半径为（ ）
A． 3 17 2
B． 2 10
C． 13 2
D． 3 10
3、 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的各顶点都在半径为 R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最
D. 4 3 2 6 3
6.在正三棱锥 S ABC 中，M、N 分别是棱 SC、BC 的中点，且 AM MN ,若侧棱 SA 2 3 ,则正三棱
锥 S ABC 外接球的表面积是
。
7、已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB，SA=AC，
E，F 分别是棱 AA1 ， DD1的中点，则直线 EF 被球 O 截得的线段长为（
）
A． 2 2
B．1
C．1 2 2
D． 2
3、如图是一个几何体的三视图， 则这个几何体外接球的表面积为( )
A．8π B．16π C．32π D．64π
4ห้องสมุดไป่ตู้已知四棱锥 S ABCD 的所有顶点在同一球面上，底面 ABCD 是正方形且球心 O 在此平面内，当四棱锥的
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微专题2 与球有关的内切、外接问题
与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系. 一、直接法(公式法)
例1 (1)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为________. 答案 14π
解析 因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π.
(2)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9
8，底面周长为3，则这个球的体积为________.
答案
4π3
解析 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＝3，98＝6×34x 2
h ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12，
h ＝ 3. ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r ＝1
2，
球心到底面的距离d ＝
32
. ∴外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝1.∴V 球＝4π
3
.
反思感悟 本题运用公式R 2＝r 2＋d 2求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1.构造正方体
例2－1 (1)一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( ) A.3π B.4π C.33π D.6π
答案 A
解析 联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，则正方体的面对角线即为四面体的棱长，求得正方体的棱长为1，体对角线为3，从而外接球的直径也为3，
所以此球的表面积为3π.
(2)在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使A ，B 重合于点P ，则三棱锥P －DCE 的外接球的体积为( ) A.4327π B.62π C.68
π D.624
π 答案 C
解析 如图，因为AE ＝EB ＝DC ＝1，∠DAB ＝∠CBE ＝∠DEA ＝60°， 所以AD ＝AE ＝EB ＝BC ＝DC ＝DE ＝CE ＝1，
即三棱锥P －DCE 为正四面体，所有棱长均为1，易求得其外接球直径为32
， 所以其外接球体积为
6
8
π.
2.构造长方体
例2－2 (1)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且三条侧棱长分别为1，2，3，则其外接球的表面积是________. 答案 6π
解析 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，
∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，2，3的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R ， 则有(2R )2＝12＋(2)2＋(3)2＝6. ∴R 2＝32
.
故其外接球的表面积S ＝4πR 2＝6π.
(2)已知球O 的面上四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝2，BC ＝ 3 ，则球O 的体积等于________. 答案
77
6
π 解析 因为DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，
所以DA ，AB ，BC 两两垂直，构造如图所示的长方体，
又因为DA ＝AB ＝2，BC ＝3，
所以CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD ＝7. 故球O 的体积等于77
6
π.
(3)已知点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥DC ，若AB ＝6，AC ＝213，AD ＝8，则B ，C 两点间的球面距离是________. 答案 43
π
解析 因为AB ⊥平面BCD ，BC ⊥DC ，所以AB ，BC ，DC 两两垂直，构造如图所示的长方体，则AD 为球的直径，AD 的中点O 为球心，OB ＝OC ＝4为半径，要求B ，C 两点间的球面距离，只要求出∠BOC 即可，在Rt △ABC 中，求出BC ＝AC 2－AB 2＝4，
所以∠BOC ＝60°，故B ，C 两点间的球面距离是4
3
π.
反思感悟 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a ，b ，c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R ＝a 2＋b 2＋c 2. 三、寻求轴截面圆半径法
例3 正四棱锥S －ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S ，A ，B ，C ，D 都在同一球面上，则此球的体积为________. 答案
4π
3
解析 设正四棱锥的底面中心为O 1，外接球的球心为O ，如图所示.
∴由球的截面的性质， 可得OO 1⊥平面ABCD .
又SO 1⊥平面ABCD ，
∴球心O 必在SO 1所在的直线上.
∴△ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在△ASC 中，由SA ＝SC ＝2，AC ＝2， 得SA 2＋SC 2＝AC 2.
∴△ASC 是以AC 为斜边的直角三角形. ∴AC
2＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径. 故V 球＝4π
3
.
反思感悟 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习. 四、确定球心位置法
例4 已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥BC 且P A ＝7，PB ＝5，PC ＝51，AC ＝10，则球O 的体积为________. 答案
500π
3
解析 AB ⊥BC 且P A ＝7，PB ＝5，PC ＝51，AC ＝10， 因为72＋(51)2＝102， 所以知AC 2＝P A 2＋PC 2， 所以P A ⊥PC ，如图所示，
在Rt △ABC 中斜边为AC ，
在Rt △P AC 中斜边为AC ，取斜边的中点O ， 在Rt △ABC 中OA ＝OB ＝OC ， 在Rt △P AC 中OP ＝OA ＝OC ， 所以在几何体中OP ＝OB ＝OC ＝OA ，
所以点O 为该四面体的外接球的球心，外接球半径R ＝1
2AC ＝5，
所以该外接球的体积为V ＝43πR 3＝500π
3
.。