燕庆明信号与系统(第二版)课后习题答案

())()()]([),()(20d t t tf t tg t g T t t f t g -==-=

令,∞-≠-)()(00t t y t t T f f ,=-)(0t t y f

)()(00t t f t t --。 (3))()(0t t f t g -=令，)()()]([0t t f t g t g T --=-=，≠-)(0t t T f )(0t t y f -，)()(00t t f t t y f +-=-

线性时不变系统。显然其不相等，即为非不失一般性，设可以表示为为系统运算子，则设解时不变系统？判断该系统是否为线性的关系为与输出已知某系统输入),()()()]

([),()()]([)()()(,)()]([)()(T :)()()()(.2.12111121t y t f t f t f T t y t f t f T t f t f t f t f t f T t y t y t f t y t y t f =+===+====1.3判断下列方程所表示系统的性⎰+=t dx x f dt

t df t y 0)()()(:)1()()()]([:)2(2't f t y t y =+

（3）：)2()()(3)(2)('

'

'

'-+=++t f t f t y t y t y （4）：)(3)(2)('2)("t f t y t ty t y =++ 线性 非线性时不变 线性时不变 线性时变

1.4。试证明方程y'(t)+ay(t)=f(t)所描述的系统为线性系统。

证明：不失一般性，设输入有两个分量，且f 1(t)→y 1(t),f 2(t)→y 2(t) 则有y 1'(t)+ay 1(t)=f 1（t)，y 2'(t)+ay 2(t)=f 2(t) 相加得y 1'+ay 1(t)+y 2'(t)+ay 2(t)=f 1(t)+f 2(t) 即

dt

d

[y 1(t)+y 2(t)]+a[y 1(t)+y 2(t)] =f 1(t)+f 2(t ）可见f 1(t)+f 2(t)→y 1(t)+y 2(t)即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。 1.5。证明1.4满足时不变性。

证明 将方程中的t 换为t-t 0,t 0为常数。即y'(t-t 0)+ay(t-t 0)=f(t-t 0) 由链导发则，有

=-dt

t t dy )

(0 dt t t d t t d t t dy )()()(000-•--又因t 0为常数，故1)

(0=-dt

t t d 从而

)()()(000t t d t t dy dt t t dy --=-所以有 )()()

(000t t f t t ay dt

t t dy -=-+-即满足时不变性f(t-t 0)→y(t-t 0) 1.6.试一般性地证明线性时不变系统具有微分特性。 证明 设f(t)→y(t),则f(t-Δt)→y(t-Δt)又因为

t

t t y t y t t t f t f ∆--→

∆∆--)()()

()(0所以 t

t t f t y t t t t f t f t ∆--→∆→∆∆--→∆)

()(0lim )()(0lim 0既有 )(')('t y t f →

1.7 若有线性时不变系统的方程为y'(t)+ay(t)=f(t)在非零f(t)作用下其响应y(t)=1-e -t ,试求方程y'(t)+ay(t)=2f(t)+f'(t)的响应。

解：因为f(t)→y(t)=1-e -t ,又线性关系，则2f(t)→2y(t)=2(1-e -t ) 又线性系统的微分特性，有 f'(t)→y'(t)=e -t 故响应 2f(t)+f'(t)→y(t)=2(1-e -t )+e -t =2-e -t

计算：

2.1设有如下函数f( t )，试分别画出它们的波形。

(a) f( t ) = 2ε( t-1 ) - 2ε( t-2 )

(b) f( t ) = sinπt[ε( t ) -ε( t-6 )]

2-2试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。

解(a) f( t ) = ε( t ) - 2ε( t-1 ) + ε( t-2 )

(b) f( t ) = ε( t ) + 2ε( t-T ) + 3ε( t-2T )

2-5设有题2-6图示信号f( t )，对(a)写出f'( t )的表达式，对(b)写出f"( t )的表达式，并分别画出它们的波形。

解(a)

2

,

2

1

≤

≤t

f'( t ) = δ( t- 2 )，t = 2

-2δ( t- 4 )，t = 4

(b)f"( t ) = 2δ( t )- 2δ( t- 1 )

- 2δ( t- 3 ) + 2δ( t- 4 )

()()()()

2

()()(3)(3)(3);()()sin()()

()22;()cos

t

a f t t f t

b t t t t

c e t t

d t t t

δδδδδδδδδ

-

-=-+•=

=•=

2.6.化简下列信号：

2-7 试计算下列结果。(1) t δ( t - 1 ) (2) ⎰∞

-

-0d )()3

π

cos(t t t δω (3)

⎰

+

-

--003d )(e t t t δ (4)

⎰

∞

∞

--t t t d )1(δ (5)∞

-∞

⎰

t δ( t - 1 )dt (6)

()()2

2

1

3t

t t dt δ-+-⎰(7) ()2t

d δττ-∞

⎰

解 (1) t δ( t - 1 ) = δ( t - 1 ) (2)21

d )()3πcos(d )()3πcos(00=-=-⎰⎰∞∞

-

-t t t t t δδω

(3)1d )(d )(e d )(e 00003003===-⎰⎰⎰+

-

+-+---t t t t t t t

t δδδ (4) 1d )1(d )1(=-=-⎰⎰∞∞

-∞∞-t t t t t δδ

(5)

∞

-∞

⎰

t δ( t - 1 )dt=

∞

-∞

⎰

δ( t - 1 )dt=1 (6)=0 (7)=2()t ε

3-1 如图2-1所示系统，试以u C ( t )为输出列出其微分方程。 解 由图示，有

t

u C R u i d d C C L +=

又⎰-=t

t u u L i 0C S L d )(1故

C

C C S )(1

u C R

u u u L ''+'=-从而得 )(1)(1)(1)(S C C C t u LC t u LC t u RC t u =+'+''

3-3 设有二阶系统方程0)(4)(4)(=+'+''t y t y t y 在某起始状态下的0+起始值为

2)0(,1)0(='=++y y 试求零输入响应。

解 由特征方程λ2 + 4λ + 4 =0得 λ1 = λ2 = -2则零输入响应形式为t

e t A A t y 221zi )()(-+=

由于y zi ( 0+ ) = A 1 = 1 -2A 1 + A 2 = 2所以A 2 = 4故有0,)41()(2zi ≥+=-t e

t t y t

3-4 如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i 和u L ，对(b)求冲激响应u C 和i C ，并画出它们的波形。

解 由图(a)有

Ri t u t i L

-=)(d d S 即)(1

d d S t u L

i L R t i =+当u S ( t ) = δ( t )，则冲激响应 )(e 1)()(t L t i t h t L R ε⋅==-则电压冲激响应)(e )(d d )()(L t L R t t i L t u t h t

L R εδ⋅-===-