第23讲-最值问题[一]
高中数学-圆锥曲线中的定点、定值与最值问题
[例 2] 如图，在平面直角
坐标系 xOy 中，椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、
右焦点分别为 F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)
和e，
23都在椭圆上，其中
e
为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设 A，B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF1 与直
线 BF2 平行，AF2 与 BF1 交于点 P，
法二：同(2)法一假设前内容． 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M 必在x轴上． 取k＝0，m＝ 3，此时P(0， 3)，Q(4， 3)， 以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－ 3)2＝4， 交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)； 取k＝－12，m＝2，此时P1，32，Q(4,0)， 以PQ为直径的圆为x－522＋y－342＝4156， 交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．
因为 MP ＝－4mk－x1，m3 ， MQ ＝(4－x1,4k＋m)， 由 MP ·MQ ＝0，得－1m6k＋4kmx1－4x1＋x12＋1m2k＋3＝0， 整理，得(4x1－4)mk ＋x12－4x1＋3＝0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立， 所以4x1x2－1－4x41＝＋03，＝0， 解得x1＝1. 故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
圆锥曲线中的最值问题
[例3] 如图，在直角坐标系xOy中，点 P1，12到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距 离为54.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的 两动点，且线段AB被直线OM平分．
(1)求p，t的值； (2)求△ABP面积的最大值．
[思路点拨] (1)利用点M(t,1)在曲线上及点P 1，12 到准线的距 离为54求p与t的值；
六年级思维训练23 最值问题(一)(原卷+解析)
六年级思维训练23最值问题（一）1、20个黑球，10个白球装在一个布袋里，至少拿出个才能保证有5个黑球，5个白球．2、司机开车按顺序到五个车站接学生到学校（如下图），每个站都有学生上车，第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半，车到学校时，车上最少有多少学生？成四位数．问：其中最小的数与最大的数的和是多少？4、用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成三个三位数（每个数字只用一次），这3个三位数之和最大是。
5、下图是2008年3月的月历，图中用一个方框框住的四个日期的数码之和是5+6+1+2+1+3=18，则在所有可能被框住的四个日期中，数码之和最大是。
6、在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此不同，那么至少需要个乒乓球．7、台球桌上有15个红球（每球1分），另有六个高分球；黄色球（2分），棕色球（3分），绿色球（4分），蓝色球（5分），粉色球（6分），黑色球（7分），台球比赛规则：①先打红球，打完所有红球后，再将高分球依次由低分到高分打入袋中，称为打完一局．②在打进两个红球之间可先后连续打进任意两个高分球，然后再取出这两个高分球放回原处，每打进一个球，选手得到该球的分值．问：小白兔打完一局最高能得多少分？8、用一条60米的长绳沿着一道墙围出长方形的三个边（如下图所示，墙是长方形另一个边）．请问这条绳子所能围出的最大面积为多少？9、把14分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，问这个乘积是几？10、每个星期除了星期天以外，快乐小学每天都要指派8名学生担任纠察队．在这个星期的6天里，每天都恰好只有3名学生在这个星期里只担任一次纠察队．请问这个星期至多有多少名学生会被指派担任纠察队？11、如果100个人共有1000元人民币，且其中任意10个人的钱都不超过190元，那么，一个人最多有元。
12、有一组自然数（数可以重复），其中包含数2003，但不包含数0，这组自然数的平均数是572，如果杷2003去掉，那么剩下的数的平均数就变为413。
最值问题归纳
最值问题是初中数学的重要内容，是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，无论是代数题还是几何题都有最值问题。
数形结合的思想贯穿始终。
一、代数中的最值问题1、代数求最值方法 ①利用一次函数的增减性一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；实际问题中，当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
1、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？②配方法，利用非负数的性质2、（1）求二次三项式223x x -+的最小值（2）设a 、b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值为_______。
③判别式法3、（1）求2211x x x x -+++的最大值与最小值。
（2）,x y 为实数且x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。
④零点区间讨论法4、求函数|1||4|5y x x =--+-的最大值。
⑤基本不等式性质222()020a b a ab b -≥∴-+≥即222a b ab +≥，仅当a b =时，等号成立由此可推出222a b ab +≤(0,0)2a ba b +≤≥≥⑥夹逼法通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为夹逼法。
5、不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高h 为整数，那么此高h 的最大值可能为________。
⑦二次函数模型（中考第23题，应用题）该题基本来自课本3个探究例题不断的变化、加深：探究1：商品定价 探究2：磁盘计算（含圆） 探究3：拱桥问题 变化趋势：前几年武汉中考主要考查经济类问题，求最经济、最节约和最高效率等这种类型的考题（探究1的演变）；近2年变化为建立函数模型解决实际问题（探究2、3的演变），即利用二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值。
2014版高考数学一轮总复习 第23讲 三角函数的性质课件 理 新人教A版
素材1
1 π 函数 y＝2cos( x－ )的图象的对称 2 8 5π 中心是 (2kπ＋ ，0)(k∈Z) 4 .
1 π 【解析】令 2cos( x－ )＝0， 2 8 1 π π 得 x－ ＝kπ＋ (k∈Z)， 2 8 2 5π 即 x＝2kπ＋ (k∈Z)， 4 1 π 所以函数 y＝2cos( x－ )的图象的对称中心是(2kπ＋ 2 8 5π ，0)(k∈Z)． 4
17 要使 1≤f(x)≤ 恒成立， 4
a－4≤0 只需 3 9 a－ ≥ 4 4
⇔3≤a≤4，所以 a∈[3,4]为所求．
三
三角函数的单调性与周期性
1 π 2x 【例 3】(1)求函数 y＝ sin( － )的最小正周期和单调区间； 2 4 3 (2)函数 y＝xcosx－sinx 在下面哪个区间内是增函数( ) π 3π A．( ， ) 2 2 3π 5π C．( ， ) 2 2 B．(π，2π) D．(2π，3π)
x π A．y＝2sin( ＋ ) 2 3 π C．y＝2sin(2x＋ ) 6
2π 【解析】根据 T＝ ，容易得出选项 B、C 中的函数 ω π 周期均为 π， 然后可利用求对称轴的表达式 ωx＋φ＝kπ＋ 2 (k∈Z)，将选项 B、C 中的函数依次代入求解验证即可得 答案 B 符合题意．
4.将函数 f(x)＝ 3sinx－cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个 单位， 所得图象对应的函数为奇函数， φ 的最小值为( 则 π A. 6 2π C. 3 π B. 3 5π D. 6 )
1．三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性 的判断步骤一致：
1 首先看定义域是否关于原点对称； 2 在满足 1 后，再看f x 与f x 的关系．
2024年高考数学高频考点(新高考通用)等差数列中Sn的最值问题(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展19等差数列中Sn 的最值问题（精讲+精练）一、等差数列的通项公式和前n 项和公式1.等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是1(1)=+-n a a n d ．2.等差数列的前n 项和公式设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和11()(1)22+-=+=n n n a a n n S na d ．注：数列{}n a 是等差数列⇔2=+n S An Bn （、A B 为常数）．二、等差数列的前n 项和的最值1.公差0{}>⇔n d a 为递增等差数列，n S 有最小值；公差0{}<⇔n d a 为递减等差数列，n S 有最大值；公差0{}=⇔n d a 为常数列．2.在等差数列{}n a 中（1）若100，><a d ，则满足1+≥0⎧⎨≤0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最大值m S ；（2）若100，<>a d ，则满足1+≤0⎧⎨≥0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最小值m S ．即若100>⎧⎨<⎩a d ，则n S 有最大值（所有正项或非负项之和）；若100<⎧⎨>⎩a d ，则n S 有最小值（所有负项或非正项之和）．【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．二、题型精讲精练一、知识点梳理又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<= .则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．【题型训练-刷模拟】一、单选题若5，故②正确；当8n =或9n =时，n S 取得最大值，所以211k a b +-=或12，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查的是等差数列的前n 项和最大值问题，思路是不难，大，即确定数列是递减数列，判断前多少项为非负项即可，但关键点在于如何求得正负项分界的项，即求得90a =，100a <，所以这里的关键是利用()217e 1ln 21a bS a b --≤≤-+，构造函数()e 1x f x x =--，利用导数判断函数单调性，结合最值解决这一问题.二、多选题三、填空题1四、解答题32．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1121526,a S S =-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值.【答案】(1)228n a n =-；(2)227n S n n =-，最小值为182-．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列前n 项和公式由1215S S =列出方程即可解出d ，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据二次函数的性质或者邻项变号法即可判断何时n S 取最小值，并根据等差数列前n 项和公式求出nS。
--四年级第二十三讲-最值问题一教师版
第23讲最值问题一内容概述求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形．和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．典型问题兴趣篇1．3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少? 答案：3分析：乘积的个位数字是由这三个奇数的个位数字决定的。
个位数字可能是：1、3、5、7、9。
通过试验个位是7、9、1的三个连续奇数相乘满足条件，7×9×1=63个位最小是3.2. 用1、2、4可以组成6个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少?答案：9分析：要使两个数差最小百位数字相同十位与个位数字相近。
满足条件的是412和421.差是421-412=9.3. 用24根长l厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少?如果用22根火柴棒呢?答案：36平方厘米；30平方厘米。
分析：（1）矩形的周长是24厘米。
长和宽的和：24÷2=12（厘米）和为定值的两数的乘积随两数之差的增大而减少。
和是12的两数差为0是积最大。
这两个数相等都是6.即长和宽相等面积是6×6=36（平方厘米）。
（2）周长是22厘米。
长和宽的和是22÷2=11（厘米）和是11差是0时，这样的两个数不是整数。
差是1时两数分别为6和5.积是30.4．三个自然数的和是19，它们的乘积最大可能是多少?答案：252分析：和一定差越小积越大。
19÷3=6……1，6+6+6=18再加1得19，三个数分别是6、6、7时积最大。
最大是6×6×7=252. 5．(1)请将l、2、3、4填人算式“口口×口口”的方格中．要使得算式结果最大，应该怎么填?(2)请将1、2、3、4、5、6填人算式“口口口×口口口”的方格中．要求5、6分别填在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大．应该怎么填?答案：（1）41×32 （2）542×631分析：（1）要使积最大，两个数应尽量大所以4、3分别在十位，1、2在个位。
第23讲 三角不等式
第23讲 三角不等式竞赛热点含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式。
在高中数学竞赛内容中，涉及三角不等式的问题有三类：一是三角不等式的证明，二是解三角不等式，三是应用三角不等式求最值。
处理三角不等式的问题一方面要有扎实的三角变形能力，另一方面还需要有三角函数的图象和性质的认识。
同时，对不等式的有关性质和证明方法要能灵活运用。
解题示范例1：已知N n ∈，2≥n ，求证：.321cos31cos21cos>n思路分析：本题从三角变形入手不易，不可考虑利用x x <sin 放缩，转化为代数不等式。
证明：因为.121311110<<<<-<< n n所以.11sin 0kk<<又.)1)(1(111sin 11cos2222k k k kkk+-=->-= 所以)11()3432)(2321()1cos31cos 21(cos2nn nn n +∙-∙∙>.)32(2121)1453423)(1433221(2>>+=+∙∙-∙∙=nn nn nn即.321cos31cos21cos>n点评：此题应用三角函数中重要的不等式：若)2,0(π∈x ，则.tan sin x x x <<此结论的应用，将三角不等式转化为代数不等式，叠乘即证得。
例2：当],0[,,321n ∈ααα时，求证：.3sin 3sin sin sin 321321αααααα++≤++思路分析；利用和差化积公式和变为乘积的形式，再放缩证明。
证明：因为3sinsin sin sin 321321αααααα+++++62cos64sin22cos2sin23213212121αααααααααα-++++-+=3sin462cos3sin 464sin22sin 232132132132121αααααααααααααα++≤-+++=++++≤所以.3sin3sin sin sin 321321αααααα++≤++引申：此证明中利用1cos ≤α进行放缩，从证明过程中可以看出，等号当且仅当321ααα==时成立。
第一章+勾股定理+——勾股定理与最值问题+讲义++20232—2024学年北师大版数学八年级上册
提升课：勾股定理最值问题两点之间，线段最短轴对称与最值问题点到直线，垂线段最短二、勾股定理与几何体展开最值问题1、长方体展开：在长方体ABCD-EFGH 中，已知c AE b BC a AB ===,,，若一只蚂蚁要从E 点出发到达C 点，蚂蚁爬行的最小路程是多少？b a BC AB ACc AE +=+==,22)(c b a CE ++=c a AB AE BE b HE +=+==,22)(b c a CE ++=c b AD AE DE a CD +=+==,22)(a c b CE ++=在三种展开情况下，CE 均存在一个最小值，但这3个值中，哪一个是其中最小的呢？对于22)(c b a CE ++=，ab c b a c b a CE 2)(222222+++=++= 对于22)(b c a CE ++=，ac c b a b c a CE 2)(222222+++=++= 对于22)(a c b CE ++=，bc c b a b c b CE 2)(222222+++=++=我们发现，2CE 展开式中均存在222c b a ++，因此我们只需要比较bc ac ab 2,2,2最小值即可，进一步化简只需要判断bc ac ab ,,的最小值即可，很显然，在c b a ，，中，较小的两条边的乘积是最小。
根据以上推理，我们可以快速完成下列问题：【例题1】在长方体ABCD-EFGH 中，已知5,4,3===AE BC AB ，若一只蚂蚁要从E 点出发到达C 点，蚂蚁爬行的最小路程是 ；根据之前分析，很明显1243=⨯最小，因此最小值715)43(22=++=CE 。
【练习1】在长方体ABCD-EFGH 中，已知2,3,12===AE BC AB ，若一只蚂蚁要从H 点出发到达B 点，蚂蚁爬行的最小路程是 ；2、圆柱展开：如图所示，圆柱的高是h ，半径是r ，用一根绳子从A 沿圆柱绕一周到达C ，求绳子长度的最小值。
【精选】高考数学二轮复习第二部分板块二十三均值柯西妙解最值课件理
2019/8/8
最新中小学教学课件
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谢谢欣ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ！
2019/8/8
最新中小学教学课件
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思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
在高考中，一般只用到二维的柯西不等式，即(a2＋b2)·(c2 ＋d2)≥(ac＋bd)2.
[例 1] 设 x，y 为正数，且 x＋2y＋1x＋8y＝10，求 2x＋y 的最大值．
[解] 已知等式两边同乘以 2x＋y，
得x＋2y＋1x＋8y(2x＋y)＝10(2x＋y)， 所以2x＋2 y2＋1x＋8y(2x＋y)＝10(2x＋y)， 得 10(2x＋y)－2x＋2 y2＝10＋xy＋16yx≥18， 解得 2≤2x＋y≤18. 所以 2x＋y 的最大值为 18.
[常用结论——记一番]
1．如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时取等号)． 2．如果 a，b 是正数，那么a＋2 b≥ ab(当且仅当 a＝b 时取等号)． 我们称a＋2 b为 a，b 的算术平均数，称 ab为 a，b 的几何平均数． 3．最值定理：若 x，y∈R＋，x＋y＝S，xy＝P，则： ①如果 P 是定值，那么当 x＝y 时，S 的值最小； ②如果 S 是定值，那么当 x＝y 时，P 的值最大．
第23讲_最值问题一
第二十三讲最值问题一最值问题，即求最大值、最小值的问题．这类问题中，有时满足题目条件的情况并不多，这时我们就可以用枚举法将所有可能情况一一列出，再比较大小．例题1（1）在五位数12435的某一位数字后面插入一个同样的数字可以得到一个六位数（例如：在2的后面插入2可以得到122435）．请问：能得到的最大六位数是多少？（2）在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字．请问：能得到的最小八位数是多少？「分析」一共有多少种不同的插入数字的方法？你能将它们全部枚举出来吗？练习1在五位数41729的某一位数字前面插入一个同样的数字（例如：在7的前面插入7得到417729），能得到的最大六位数是多少？直接枚举的优点是不用过多思考，大家都能理直气壮地说，直接比较大小得到的答案一定是正确的．事实上，我们应该多想一想，为什么这个答案是最大或最小的，有没有什么道理，其中有没有什么规律．例题2.有9个同学要进行象棋比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？「分析」把9个同学分成两组，有多少种情况呢？你能算出这些分法各自对应的比赛场数吗？练习2有7个同学要进行乒乓球单打比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？从例题2我们可以得出：两个数的和相等，当它们越接近时（也就是它们的差越小时），．“和同近积大”的应用非常广泛，接下来我们分析一下比较典型的“篱笆问题”．例题3墨爷爷要用长20米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？（正方形是特殊的长方形）「分析」长方形面积是长、宽的乘积，要想长、宽乘积最大，可以不可以应用“和同近积大”的道理来解决呢？能找到“和同”吗？练习3墨爷爷要用长30米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？例题4请将1、2、3、4、5、6这六个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．「分析」要使得乘积最大，百位应当填哪两个数？十位呢？个位呢？⨯□□□□□□练习4.请将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．⨯□□□□□□□□例题5. 墨爷爷要用长20米的篱笆围成一个靠墙的直角三角形养鸡场，已知靠墙的恰好为三角形斜边，两条直角边长均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？「分析」长方形篱笆我们已经解决了，三角形的与长方形的有什么联系吗？养鸡场在很多问题中，我们都需要先进行整体的思考，再对局部进行一些调整．千万不能“丢了西瓜捡芝麻”！例题6各位数字互不相同的多位数中，数字之和为23的最小数是多少？最大数是多少？「分析」两个多位数比较大小，首先要比较它们的位数．如果位数相同，还要从高位到低位依次比较．动物之最最大的动物：蓝鲸（平均长30米，重达160吨）最大的路上动物：非洲象（平均重达9吨）最高的路上动物：长颈鹿（平均高5米）嘴巴最大的陆生哺乳动物：河马最聪明的动物：海豚（人除外）最大的鸟类：鸵鸟（平均身高2.5米，最重可达155千克）翅膀最长的鸟类：信天翁（翅展2~3米）嘴巴最大的鸟：巨嘴鸟（最长24厘米，宽9厘米）形体最小的鸟：蜂鸟飞得最高的鸟：天鹅（最高能达17000米）最耐寒的鸟：企鹅路上奔跑速度最快的动物：猎豹（可高达时速130公里）速度最快的海洋动物：旗鱼（可高达时速190公里）飞行速度最快的动物：军舰鸟（可高达时速418公里）现存最古老的生物：舌形贝（有4.5亿年历史）牙齿最多的动物：蜗牛（共有25600颗牙齿）飞行能力最强的昆虫：蝗虫（每天能够连续飞行近10小时）力气最大的昆虫：屎壳郎（可以支撑或拖走相当于自己体重1141倍的物体）外形最奇特的鱼：海马最大的两栖动物：大鲵（即娃娃鱼）毒性最强的蛇：海蛇（其毒性为眼镜蛇的2倍）寿命最长的动物：海葵（已发现最年长的海葵有2000多岁了）冬眠时间最长的动物：睡鼠（冬眠时间5~6个月）作业1.在六位数129854的某一位数字前面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的前面插入2得到1229854），能得到的最小七位数是多少？2.两个自然数之和等于10，那么它们的乘积最大是多少？3.用20根长1厘米的火柴棒围成一个长方形，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？4.请将3，4，5，6，7，8这六个数分别填入下面的算式中，使这个乘法算式的结果最大．□□□□□□5.各位数字互不相同的多位数中，数字之和为32的最小数是多少，最大数是多少？。
高中数学复习专题讲座(第23讲)直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)
高中数学《直线与圆锥曲线问题的处理方法》专题复习高分冲刺技巧例解及考点能力强化训练(A)篇高考要求直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能重难点归纳1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍典型题例示范讲解例1如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4的直线l 与线段OA 相交(不经过点O或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积命题意图 直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”知识依托 弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想错解分析 将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m 的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件技巧与方法 涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算解法一 由题意，可设l 的方程为y =x +m ,其中－5＜m ＜0由方程组⎩⎨⎧=+=xy mx y 42,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -点A 到直线l 的距离为d∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2 =2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(35522m m m ++++-)3=128∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为解法二 由题意，可设l 与x 轴相交于B （m,0）, l 的方程为x = y +m ,其中0＜m ＜5由方程组24x y my x=+⎧⎨=⎩,消去x ,得y 2－4 y －4m =0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m =16(1+m )＞0必成立, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m ,∴S △=1211(5)||(522m y y m --=-＝451()22m -≤=∴S △≤82,当且仅当51()(1)22m m -=+即m =1时取等号 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为例2已知双曲线C 2x 2－y 2=2与点P (1，2)(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在命题意图 第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题 第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“点差法”知识依托 二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式错解分析 第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论 第二问，算得以Q 为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了技巧与方法 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化解 (1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1,与曲线C 有一个交点 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －1),代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0 (*)(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k ) ①当Δ=0,即3－2k =0,k =23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，l 与C 无交点综上知 当k =±2,或k =23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点；当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l 与C 没有交点(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得 2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在例3已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程 解 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)， P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0, Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴nm nn m n --+-2)1(2+1=0, ∴m +n =2①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =43 ②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21 故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=1考点能力强化巩固训练1 斜率为1的直线l 与椭圆42x +y 2=1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A 2B554 C5104 D51082 抛物线y =ax 2与直线y =kx +b (k ≠0)交于A 、B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有( )A x 3=x 1+x 2B x 1x 2=x 1x 3+x 2x 3C x 1+x 2+x 3=0D x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=03 正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上，C 、D 两点在抛物线y 2=x 上，则正方形ABCD 的面积为_________4 已知抛物线y 2=2px (p ＞0),过动点M (a ,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，且|AB |≤2p(1)求a 的取值范围(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值5 已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =321的双曲线过点P (6，6)(1)求双曲线方程(2)动直线l 经过△A 1P A 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问 是否存在直线l ,使G 平分线段MN ，证明你的结论参考答案:1 解析 弦长|AB |=55422t -⋅⋅≤5104答案 C2 解析 解方程组⎩⎨⎧+==bkx y ax y 2,得ax 2－kx －b =0,可知x 1+x 2=a k,x 1x 2=－a b ,x 3=－kb,代入验证即可 答案 B3 解析 设C 、D 所在直线方程为y =x +b ,代入y 2=x ,利用弦长公式可求出|CD |的长，利用|CD |的长等于两平行直线y =x +4与y =x +b 间的距离，求出b 的值，再代入求出|CD |的长 答案 18或504 解 (1)设直线l 的方程为 y =x －a ,代入抛物线方程得(x －a )2=2px ,即x 2－2(a +p )x +a 2=0∴|AB |=224)(42a p a -+⋅≤2p ∴4ap +2p 2≤p 2,即4ap ≤－p 2又∵p ＞0,∴a 4p (2)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，AB 的中点 C (x ,y ), 由(1)知，y 1=x 1－a ,y 2=x 2－a ,x 1+x 2=2a +2p , 则有x =222,2212121ax x y y y p a x x -+=+=+=+=p ∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －p =－(x －a －p ), 从而N 点坐标为(a +2p ,0）点N 到AB 的距离为p a p a 22|2|=-+ 从而S △NAB =2222224)(4221p ap p p a p a +=⋅-+⋅⋅ 当a 有最大值－4p时，S 有最大值为2p 25 解 (1)如图，设双曲线方程为2222by a x -=1由已知得321,16622222222=+==-ab a e b a ,解得a 2=9,b 2=12 所以所求双曲线方程为12922y x -=1 (2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0）， ∴其重心G 的坐标为(2，2）假设存在直线l ，使G (2，2)平分线段MN ，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2) 则有22121112221212224129108124,493129108x x x y y y y y x x x y ⎧+=-=⎧-⎪⇒==⎨⎨+=--=⎪⎩⎩，∴k l =34∴l 的方程为y =34(x －2)+2,由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在（B ）篇高考要求直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能重难点归纳1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍典型题例示范讲解例1如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件 |F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标； (3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m的取值范围命题意图 本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强知识依托 椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法错解分析 第三问在表达出“k =3625y 0”时，忽略了“k =0”时的情况，理不清题目中变量间的关系技巧与方法 第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m 表示出弦AC 的中点P 的纵坐标y 0,利用y 0的范围求m 的范围解 (1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3故椭圆方程为92522y x +=1 (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=9因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(425－x 2)，由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×59,由此得出 x 1+x 2=8 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=221x x +=4(3)解法一 由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上得22112222925925 925925 x y x y ⎧+=⨯ ⎪⎨+=⨯⎪⎩①②①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0, 即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2) 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0) 代入上式，得9×4+25y 0(－k1)=0 (k ≠0) 即k =3625y 0(当k =0时也成立) 由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m , 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0 由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部， 得－59＜y 0＜59,所以－516＜m 16 解法二 因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为y －y 0=－k1(x －4)(k ≠0) ③将③代入椭圆方程92522y x +=1,得 (9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k =3625y 0 (当k =0时也成立)(以下同解法一)例2若抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，求a的范围解法一 （对称曲线相交法）曲线21y ax =-关于直线0x y +=对称的曲线方程为21x ay -=-如果抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，则两曲线21y ax =-与21x ay -=-必有不在直线0x y +=上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由2211y ax x ay ⎧=-⎨-=-⎩22()y x a x y ⇒+=- ∵ 0,x y +≠∴ 1y x a=-代入21y ax =-得 2110ax x a-+-=有两个不同的解， ∴ 213(1)4(1)04a a a ∆=--->⇒>解法二 （对称点法）设抛物线21y ax =-上存在异于于直线0x y +=的交点的点00(,)A x y ，且00(,)A x y 关于直线0x y +=的对称点00(,)A y x '--也在抛物线21y ax =-上则200200(1)1(2)()1y ax x a y ⎧=-⎨-=--⎩ 必有两组解(1)-(2)得220000()y x a x y +=- 必有两个不同解∵000y x +≠， ∴00()1a x y -=有解从而有 200[(1)]1a x ax --=有两个不等的实数解即 220010a x ax a --+=有两个不等的实数解∴ 22()4(1)a a a ∆=---+>∵ 0a ≠， ∴ 4a >解法三 （点差法）设抛物线21y ax =-上以1122(,),(,)A x y A x y '为端点的弦关于直线0x y +=对称，且以00(,)M x y 为中点是抛物线21y ax =-（即21(1)x y a=+）内的点从而有 1201202,2x x x y y y +=+=由211222(1)1(2)1y ax y ax ⎧=-⎨=-⎩ (1)-(2)得 221212()y y a x x -=- ∴ 1212012()2AA y y k a x x ax x x '-==+=-由0001111121,(,)2222AA k ax x y M a a a a'=⇒=⇒==-⇒- 从而有 21113()(1)224a a a a <-+⇒>例3 试确定m 的取值范围，使得椭圆22143x y +=上有不同两点关于直线4y x m =+对称设椭圆22143x y +=上以1122(,),(,)A x y A x y '为端点的弦关于直线4y x m =+对称，且以00(,)M x y 为中点是椭圆22143x y +=内的点 从而有 1201202,2x x x y y y +=+=由22112222(1)3412(2)3412x y x y ⎧+=⎨+=⎩(1)-(2)得 222212124()3()y y x x -=-- ∴ 012121212033()4()4AA x y y x x k x x y y y '-+==-=--+由00003113444AA x k y x y '=-⇒-=-⇒= 由00(,)M x y 在直线4y x m =+上00,3(,3)x m y m M m m ⇒=-=-⇒--从而有222()(3)41(43131313m m m m --+<⇒<⇒∈-例4 已知直线l 过定点A(4,0)且与抛物线2:2(0)C y px p = >交于P 、Q 两点，若以PQ 为直径的圆恒过原点O ，求p 的值解 可设直线l 的方程为4x my =+代入22y px =得 2280y pmy p --=设1122(,),(,)P x y Q x y ，则222121212122()8,224y y y y y y p x x p p p=-=== 由题意知，OP ⊥OQ ，则0OP OQ =即 12121680x x y y p +=-=∴2p =此时，抛物线的方程为24y x =考点能力强化巩固训练1 在抛物线y 2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________2 已知两点M (1，45)、N (－4，－45)，给出下列曲线方程 ①4x +2y －1=0, ②x 2+y 2=3, ③22x +y 2=1, ④22x －y 2=1,在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是_________3 已知双曲线C 的两条渐近线都过原点，且都以点A (2，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A 1与A 点关于直线y =x 对称(1)求双曲线C 的方程(2)设直线l 过点A ，斜率为k ,当0＜k ＜1时，双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时B 点的坐标参考答案:1 解析 设所求直线与y 2=16x 相交于点A 、B ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入抛物线方程得y 12=16x 1,y 22=16x 2,两式相减得，(y 1+y 2）(y 1－y 2)=16(x 1－x 2)即⇒+=--21212116y y x x y y k AB =8故所求直线方程为y =8x －15 答案 8x －y －15=02 解析 点P 在线段MN 的垂直平分线上，判断MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点 答案 ②③④3 解 (1)设双曲线的渐近线为y =kx ,由d =1|2|2+k k =1,解得k =±1即渐近线为y =±x ,又点A 关于y =x 对称点的坐标为(0，2)∴a =2=b ,所求双曲线C 的方程为x 2－y 2=2(2)设直线l y =k (x －2)(0＜k ＜1),依题意B 点在平行的直线l ′上，且l 与l设直线l ′ y =kx +m ,应有21|2|2=++k m k ,化简得m 2+22k m=2②把l ′代入双曲线方程得(k 2－1)x 2+2mkx +m 2－2=0, 由Δ=4m 2k 2－4(k 2－1)(m 2－2)=0 可得m 2+2k 2=2 ③②、③两式相减得k =2m ,代入③得m 2=52,解得m =510,k =552,此时x =2212=--k mk,y =10 故B (22,10)。
数学四年级 第23讲 最值问题一(教师版+学生版,含详细解析)
第23讲最值问题一内容概述求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形．和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．典型问题兴趣篇1．3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少?答案：3分析：乘积的个位数字是由这三个奇数的个位数字决定的。
个位数字可能是：1、3、5、7、9。
通过试验个位是7、9、1的三个连续奇数相乘满足条件，7×9×1=63个位最小是3.2. 用1、2、4可以组成6个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少?答案：9分析：要使两个数差最小百位数字相同十位与个位数字相近。
满足条件的是412和421.差是421-412=9.3. 用24根长l厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少?如果用22根火柴棒呢?答案：36平方厘米；30平方厘米。
分析：（1）矩形的周长是24厘米。
长和宽的和：24÷2=12（厘米）和为定值的两数的乘积随两数之差的增大而减少。
和是12的两数差为0是积最大。
这两个数相等都是6.即长和宽相等面积是6×6=36（平方厘米）。
（2）周长是22厘米。
长和宽的和是22÷2=11（厘米）和是11差是0时，这样的两个数不是整数。
差是1时两数分别为6和5.积是30.4．三个自然数的和是19，它们的乘积最大可能是多少?答案：252分析：和一定差越小积越大。
19÷3=6……1，6+6+6=18再加1得19，三个数分别是6、6、7时积最大。
最大是6×6×7=252.5．(1)请将l、2、3、4填人算式“口口×口口”的方格中．要使得算式结果最大，应该怎么填?(2)请将1、2、3、4、5、6填人算式“口口口×口口口”的方格中．要求5、6分别填在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大．应该怎么填?答案：（1）41×32 （2）542×631分析：（1）要使积最大，两个数应尽量大所以4、3分别在十位，1、2在个位。
第6模块 解析几何 (第23讲)抛物线的性质及应用
第23节 抛物线焦点弦的性质及应用一、能力素养 (一)核心知识1．与焦点弦有关的性质（1）通径长为2p （最短的焦点弦）（2） 如图，AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①1212,,22p pAF x BF x AB x x p =+=+=++； ②221212,4p y y p x x =-=； ③12124OA OB y yk k x x ⋅==- ；④22,,1cos 1cos sin p p pAF BF AB θθθ===-+. (θ为AB 的倾斜角)． ⑤112AF BF p+=. ⑥焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S △AOB ＝p 22sin θ＝12|AB ||d |＝12|OF |·|y 1－y 2|.⑦以AB 为直径的圆与准线相切． ︒=∠⇒901B AM ⑧以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．⑨过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．⑩过准线上任意一点向抛物线所作的两条切线互相垂直，且两切点连线必过焦点。
2．抛物线x 2＝2py (p >0)的切线方程和切点弦方程①过抛物线x 2＝2py (p >0)上一点（x 0,y 0）的切线方程: x 0x=p(y+ y 0) ②过抛物线x 2＝2py (p >0)外一点（x 0,y 0）的切点弦方程: x 0x=p(y+ y 0) （二）答题套路：(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(3)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． （三）微点提醒：(1)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解． (3)注意发现试题中隐藏的几何特征（平几应用，定义解题）。
函数的极值,最大值与最小值PPT课件
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
第23讲 最值问题-完整版
第23讲最值问题一内容概述求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形。
和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减少。
典型例题兴趣篇1． 3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少？答案：3解析：3个连续奇数相乘，乘积的个位数字只有5种可能：①这3个奇数的个位数字分别为1、3、5时，乘积的个位数字为5．②这一3个奇数的个位数字分别为3、5、7时，乘积的个位数字为5．③这3个奇数的个位数字分别为5、7、9时，乘积的个位数字为5．④这3个奇数的个位数字分别为7、9、l时，乘积的个位数字为3．⑤这3个奇数的个位数字分别为9、1、3时，乘积的个位数字为7．因此，乘积的个位数字最小等于3．2．用1、2、4可以组成6个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少？答案：9解析：将这6个数按从大到小的顺序写出：421、412、241、214、11 2、1 2计算所有相邻两数的差：421-412=9,412-241=l7l, 241-214=27.214-142=72. 142-124=18.其中差最小的两个数是421与412，它们相差9．3．阿呆和阿瓜两人手里各拿着一张扑克牌，两人牌的点数之和刚好是10．请问两人牌的点数的乘积最大可能是多少？答案：25解析：两人牌的点数之和为10，那么两人牌的点数只能是1和9，2和8，3和7，4和6，5和5．它们乘积分别为9，1 6，21，24，25．所以两人牌的点教的乘积最大可能是25．4． 3个自然数的和是19，它们的乘积最大可能是多少？答案：252解析：3个数的乘积最大时．应该是它们每2个数的差都最小的时候．所以3个数的乘积最大寸，每2个数的差都等于O或1．它们的和等于19，19÷3=6……l，则这3个数是6、6、7时其乘积最大．所以乘积最大等于6×6×7=252．5． (1)请将1～4这4个数分别填人算式“口口×口口”的口中，要使得算式结果最大，应该怎么填？(2)请将1～6这6个数分别填入算式“口口口×口口口”的[中，要求5、6分别填在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大．应该怎么填？答案：(1) 41×32 (2) 631×542解析：(1)要使乘积最大，首位应当尽可能大，4、3填在十位上，这样1、2就填在个位上，此时这两个数的和固定，要使乘积最大，只要差最小即可．因此，乘积最大时应该是41×32．(2)因百位的两个数固定了，那么百位之和就固定了．同样个位、十位的和也固定了，所以这两个三位数的和一定，此时要使它们的乘积最大，只需使它们的差最小，因此6的后两位数应该尽量小，5的后两位数应该尽量大．那么这两个数就应该是631和042，即乘积最大时是631×542．6．在图23-1的中间O内填一个数，计算每一条线段两端的数之差（大减小），然后把这3个差数相加．那么所得的和最小是多少？答案：7解析：方法一：在中间的○内填上0，则3个差数分别是3、7、10，因此差数之和等于3+7+10=20．将0换成1，则3个差数都减1，则差数之和减3，等于20-3=17.同理，将1换成2后，差数之和等于17-3=14．将2换成3．差数之和等于l4-3=ll.将3换成4时．此时其中2个仍然是减1．有一个差数却由0变成了l，是加1，因此差数之和减1，等于11—1=10.同理，从4到7之间变化时，中间填的数每次加1，差数之和就减1，因此中间填7时，差数之和比填1到6都要小．将7换成8时，2个差数都加1，一个差数减1，因比差数之和加1．同样，将8换成9，9换成10，差数之和都加l.将10换成11， 11换成12，我们可以发现，以后中间的数每次加1，差数之和都会增加3.综上所述，中间填的数由1变到7时，差数之和选来越小；中间填的数由7变大时，差数之和越来越大．因此中问填7时，差数之和取到最小值，等于(7-3)+(7-7)+(10-7)=7方法二：①如果中间填的数是1～3，则每一线段两端的两数作差，都是用给出的数减去这个填的数，因此填的数越大，这3个差越小．所以这种情况下填3差数之和最小．②如果中间填的数是4～7，则这3个差中，一个己用这个数减去3．一个是用1O减去这个数，这2个差加起来就是10-3=7．还剩下一个差是7减去这个数，显然这个数等于7时，剩下的差数取到最小值．因此差数之和最小等于l．③如果中间填的数是7～10，则这3个差中，仍然一个是用这个数减去3，一个是用10减去这个数，这2个差加起来还是7．还剩下一个差是7减去汶个数，因此仍然是这个数等于7时，差数之和最小．④如果中间填的数大于等于10，则这3个差分别是用填的数减去3、7、10．显然这个数越小越好，因此当填10时，差数之和最小．综上所述，中间填1～3时，填3差数之和最小；填3～10时，填7差数之和最小；填10或比它大的势时，填10差数之和最小．因此当O内填7时，差数之和取到最小值7．7．在所有包含3个相同数码的四位数中，与1389之差（大减小）最小的一个是多少？答案：1411解析：①首位显然取1或2，又1000与1389更接近所以首位等于1．②百位数字应该等于3或4．如果百位是3，由于有3个数字相同，则这个四位数只能是1311或1333，其中1333与1389更接近，刖时它们的差等于1389 -1333=56．如果百位是4，则这个四位数只能是1411或1444，其中1411与1389更接近，此时它们的差等余1411-1389=22．因此有3个数字相同的四位数中，与1389最拒近的四位数为1411.8．把1～6这6个数分别填入算式“口口口一口口口”的口中，要求前一个三位数比后一个三位数大. (l)这个减法算式的结果最大可能是多少？(2)最小可能是多少？答案：(1)最大531 (2)最小47解析：(1)要使算式的结果最大，只要让被减数最大，德数最小就行，所以算式的结果最大为654-123=531.(2)要使算式的结果最小，就要使被减数尽量小减数尽量大，但是被减数要大于减数，因此应该使在减数比减教的首位大1，还应该使被减数的十位和个位组成的两位数尽量小，使减数的十位和个位组成的两位数尽量大．由1、2、3、4、5、6组成的两位数最小是12，最大是65，我们希望被减数为12，减数为65，这样还剩下3、4，取4为被减数的首位，3为减数的首位，刚好使被减数比减数的首位大1，满足我们的要求．因此原来算式的结果最小是412-365=47.9．一个自然数是由数字8、9组成的，它的任意相邻两位都可以看成一个两位数，并且这些相邻数字组成的两位数都不相等．请问：满足条件的自然数最大是多少？答案：99 889解析：如果这个自然数超过5位，则至少有5个相邻数字组成的两位数，而8、9最多兵能组成4个不同的两位数88、89、98、99．由简单抽屉原理，一定有两个相邻数字组成的两位数相同，这与题目条件矛盾，因此，这个自然数最多是五位数．从首位开始取，万位取9，千位取9，百位取8. -定要出现88，所以十位取8．个位取9．因此满足条件的最大自然数是99 889.10.如果3个互不相同的自然数之和为20，那么其中最小的数最大可能是多少？最大的数最小可能是多少？答案：5 8解析：要使最小的数最大，最大的数最小，则3个数尽可能接近，20÷3=6……2，又3个数互不相同，发现最接近的是5、7、8和0、6、9，所以最小的数最大是5，最大的数最小是8．拓展篇1．3个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少？答案：6解析：如果3个连续自然数的个位数字中有一个是O，则其乘积个位等于O；如果3个连续自然数的个位数字中有一个是5，其中必然还有一个是4或6，这时，它们乘积的个位也等于0．除此之外，3个连续自然数的个位数字还有可能是1、2、3，2、3、4，6、7、8，7、8、9这四种情况．因为1×2×3=6,2×3×4=24,6×7×8=336,7×8×9= 504，所以，3个连续自然数的乘积个位数字最大是6．2． (1)在五位数12435的某一位数字后面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的后面插入2得到122435），这样得到的六位数最大可能是多少？(2)在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的八位数最小是多少？答案：(1) 124435 (2) 98766789解析：(1) 12435按要求插入数字，可以分别插在1、2、4、3、5后面，得到5个数：112435, 122435. 124435, 124335. 124355.比较可知，124435是其中最大的数．(2) 9876789按要求插入数字，可以分别插在9、8、7、6、7、8、9后面，得到7个数：99876789, 98876789, 98776789. 98766789,98767789, 98767889, 98707899.此较可知，98766789是其中最小的数．3．用24根长1厘米的火柴棒围成一个矩形，(1)这个矩形的面积最大是多少？(2)如果用22根火柴棒呢？答案：(1) 36平方厘米(2) 30平方厘米解析：(1) 24根火柴棒围成的矩形周长为24厘米，则长与宽的和为24÷2=12厘米．将这些矩形全列举出来：由表可得，当矩形的长与宽都是6厘米时，矩形面积最大是36平方厘米． (2) 22根火柴棒围成的矩形周长为22厘米，则长与宽的和为22÷2=ll厘米，同样列举：由表可得，当矩形的长等于6厘米、宽等于5厘米时，矩形面积最大是30平方厘米．4．有9个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛．他们一共最多能比赛多少场？答案：20场解析：根据乘法原理，两组同学之间的比赛场数等于这两组人数的乘积．把9个人分成两组：两组人数可能分别是1和8、2和7、3和6、4和5四种情况．分别计算：1×8=8，2×7=14．3×6=18，4×5=20.因此当两组分成4个人和5个人时，比赛场数最多，一共比赛20场．5．3个互不相同的自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少？答案：168解析：3个数的和一定，3个数越接近积就越大．17÷3=5……2，因此在4、5、6左右尝试．17=4+5+8=4+6+7，比较这两组的乘积，可发现，当这3个数为4、6、7时，它们取得的最大乘积为4×6×7=168．6．请将2、3、4、5、6、8这6个数分别填人算式“口口口×口口口”的口中，要使得算式结果最大，应该怎么填？答案：842×653解析：要使积最大，首位应该最大，因此两个数的首位应该分别为8和6，那么十位就应该为5和4，个位为3和2．则一共有4种情况：853×642, 852×643, 843×652, 842×653.发现每组的两个数的百位都是8和6，百位之和相等；同理，十位之和，个位之和也相等．因此每组的两个数之和全都相等，和相等的两个数，差越小，积越大．这只需要看哪组数中8后面的数最小，6后面的数最大，容易找出是842和653.所以使得两个3位数乘积最大的填法是842×653.7．A请将6～9这4个数分别填入算式“口×口十口口”的口中，要使得算式结果最大，应该怎么填？答案：7×8+96解析：要使计算结果最大，两位数的十位应当尽量大，填9．前面的乘数比两位数的个位对结果的贡献更大，应填次大的8和7．因此两位数的个位取最小的数字6．所以计算结果最大的填法是7×8+968．在图23-2的中间○内填一个数，计算每一条线段两端的数之差（大减小），然后把这5个差数相加．问：所得的和最小是多少？答案：19解析：方法一：已经填出的5个○内的数最大是15，如果中间o内的数大于15，则计算每蔓谈筐诸端的两数之差时，中间O内的数都是被减数，求出的5个差之和肯定比中间填15时得到的和大，所以我们只需要考虑中间O内填1到15的情况：①中间O内的数填1～5时，它在1个差中是被减数，4个是减数，因此中间的数每多1，差数之和就少4-1=3．②中间O内的数填5～7时，它在2个差中是被减数，3个是减数．因此中间的数每多i，差数之和就少3-2=1．③中间O内的数填7～10时，它在3个差中是被减数，2个是减数，因此中间的数每多1，差数之和就多3-2=1．④中间O内的数填10～15时，它在4个差中是被减数，1个是减数，因此中间的数每多1，差数之和就多4-1=3．综上所述，当中间O内的数填7时．差数之和取到最小值，最小值等于(7 -1)+(7-5)一(7-7)+(10-7)+(15-7)=19．方法二：首先发现中间数应该是在l～15之间的数，那么这个数与1的差加上它与15的差之和为14，是个确定的值．则只需考虑这个中间的数与5、7、10 三个数的差之和最小即可．同样可以得到它一定在5～10之间，那么这个数与5的差加上它与10的差之和为5，也是个确定的值，所以足需考虑这个中间的数与7的差之和最小即可．显然，这个数等于7的时候，这5个差之和最小是14+5=19.9．如果7个互不相同的自然数之和为100，那么：(1)其中最小的数最大可能是多少？(2)最大的数最小可能是多少？答案：(1) 11 (2) 18解析：(1)为了使最小的数能最大，其他的数应最靠近最小的数，即其他数最好是把最小的数分别加上1、2、3、4、5、6得到的．先取最小的数为1，其他数取2、3、4、5、6、7，此时总和为1+2+3+4+5+6+7=28.离100还差72．如果把最小的数增加1，则其他每个数至少增加1，总和就要加7.72÷7=10……2，如果最小的数增加10，总和就会增加7×10=70;如果最小的数增加11，总和就会增加7×11=77，超过72，那么总和也会超过100．所以取11、12、13、14、15、16、19 1这7个数满己题目要求，因此最小的数最大是11．(2)同理，为了使最大的数能最小，其他的数应最靠近最大的数，即其他数最好是把最大的数分别减去1、2、3、4、5、6得到的，先取7作为最大的数，此时其他数为6、5.4、3、2、1，总和等于28.把最大的数增加10时，总和最多；增加7×10=70，即总和最多是98，因此最大的数至少要增加11.尝试后得，取18、17、16、10、14、13、7这7个数满足题目要求，因此最大的数最小是18．10．一个乡位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和为23．(1)这样的多位数最小可能是多少？(2)最大可能是多少？答案：(1)最小689 (2)最大8 43210解析：(1) 9+8+6=23，至少要3个数字柜加才能等于23，所以满足条件的多位数至少是3位数．在各位数字互不相同的三位数中，个位与十位的和最大能是9+8=17，从而它的百位最小为23-17=6时，3位数最小为689.(2)由于0+1+2+3+4+5+6+7=28>23,8个最小的数字之和大亍23，因此满足条件的多位数至多是7位数，各位数字互不相同的7位数中，后6位数的和最小是0+1+2+3+4+5=15，从而它的百位最大为23-15=8，此时，7位数最大为8 543 210.11．有7个盘子排成一排，依次编号为1～7.每个盘子中都放有若干玻璃球，一共放了80个，其中1号盘子中放了18个玻璃球，并且任意编号相邻的3个盘子中放的玻璃球数之和都相等．请问：第6个盘子中最多可能放了多少个玻璃球？答案：12个解析：已知2号盘子中放了18个玻璃球，那么2、3、4、5、6、7号盘子中球的总个数就是80-18=62个．把它们分成两组：2、3、4-组，5、6、7一组，则两组的球数之和相等．因此每组有球62÷2=31个．则每相邻3个盘子中的球数之和等于31．1号盘子中放了18个球，那么 2.3号盘子中加起来就放了31-18=13个球．从而4号盘子中放了31-13=18个球．类似地，可知4、5、6号加起来的球数和5、6、7号加起来的球数一样，所以4号和7号盘子中的球数相等，于是1号、4号、5号盘子里均放有18个球，还余80 -18×3=26个，而2、3号盘子中的球数等于5、6号盘子中的球数，为26÷2=13个，如果5号盘子中最少放有1个球，那么6号盘子中最多放有13-1=12个球．12.黑板上写着1～10这10个数字，小明每次擦去2个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数．最后当黑板上只剩下一个自然数时，这个数最大可能是多少？答案：9解析：擦去1、3，换成l；擦去2、2，换成2；擦去2、4，换成3；擦去3、5，换成4；擦去4、6，换成5；擦去5、7，换成6；擦去6、8，换成7；擦去7、9，换成8；擦去8、10，换成9．擦1到9不可能得到10，擦去10的时候，最多能和8一起擦去，因此不管怎么擦，能剩下的最大数一定是小于10，所以剩下的数最大为9．13．如图23-3，这是一个正方体的展开图．将它折成一个正方体后，相交于同一顶点的3个面上的数之和最大是多少？答案：13解析：观察图形可以看出，6和5是相对的两个面上的数，所以它们不可能相交于同一顶点．同理．得1和4是相对的两个面上的数，3和2是相对的两个面上的数．相交于同一顶点的3个面中不可能有相对的两个面，所以这3个数只能从(1，4)、(3，2)、(5，6)中各取1个数，使得和最大，当然应该取4、3、6．因此所求的和最大为4+3+6=13.14.如图23-4，在一个正方体方块的左下角A点处有一只蚂蚁，它要沿着正方体的表面爬行至右上角的B点，去搬运一块食物．为了使这只蚂蚁所走的路线长度最短，它应该怎么爬行？它可以选择的最短路线一共有几条？答案：最短路线：6条解析：两点之间线段最短，沿表面从A走到B，最少要经过两个面，一共有6种走法：①如图1所示．从A走到DE上，再从DE上走到B．将从A走到B经过的两个表面ACDE和DEFB剪下来铺成一个长方形，如图2所示．则蚂蚁所走的最短路径是线段AB.此时线段AB与DE交于点G，那么在正方体上，蚂蚁为了使得它所走的路径最短，应该从A走到G，再从G走到B．②从A走到CD上，再从CD上走到B．③从A走到EF上，再从EF上走到B．④从A走到MF上，再从MF上走到B．⑤从A走到CN上，再从CN上走到B．⑥从A走到MN上，再从MN上走到B．上面的每一种都可以像①一样找到一条最短路线，所以可以选择的最短路径一共有6条，超越篇1．一个两位数除以它的各位数字之和，余数最大是多少？答案：15解析：两位数除以它的各位数字之和，两位数的每一位都最多是9，两位数字之和最多是18 1因此余数肯定不超过17.①数字和是18的两位数只有99，99除以18余9，这样17不能达到；②数字和是17的两位数只有89和98两个，其中89除以1 7的余数是4，98除以17的余数是13，所以这个余数不能达到16；⑧由于79÷（7十9）=79÷16=4……15，即两位数79除以它的数字和余数是l0.所以这个最大的余数是15.2． 4个小朋友，每人的体重都是整数千克，而且其中任意3人体重之和都大于99千克，这4个小朋友体重之和最小是多少千克？答案：134千克解析：方法一：把4个小朋友中每3人体重之和都记下来，一共有4个和，每个和都不小于100千克．把这4个和加起来，这个总和不小于400千克．把4个“3人体重和”加起来，相当于把每个人的体重计算了3次，所以最后的总和相当于4人体重之和的3倍．这样，4人体重之和的3倍不少于400千克．那么，4人体重之和必须不小于400÷3—133{，由于体重之和一定是整数，所以最小是134．134是可能的，让4个小朋友的体重分别是33、33、34、34千克，他们中的任意3人体重之和都大于99千克．所以4个小朋友体重之和最小是33+33+34+34=134(千克)．方法二：不妨设4人中体重最大的是小明，如果小明体重不超过33千克，那么另外3人也都不超过33千克，这样他们3人的体重就不会大于99千克了，历以小明至少有34千克，另外3人体重之和至少为100千克，所以4人体重之和至少为34+lOO=134千克．让4个小朋友的体重分别是33、33、34、34千克，这时，他们中的任意3人体重之和都大于99千克，所以4个小朋友体重之和最小是33+33十34+34=134(千克)．3．将1～30依次写成一排：12345---282930，形成一个多位数，从这个多位数中划掉45个数字．(l)剩下的数最大是多少？(2)如果要求剩下的数首位不为O，这个数最小是多少？答案：(1)最大998930 (2)最小100120解析：从51位数“123…2930”中划掉45个数字，剩下一个6位数，相当于在51位数“123-2930”中从左到右的选出6个数字，让它们构成6位数．（1）为了使这个6位数最大，让它的前几位应该取尽量多的9，这个51位数中一共就有3个9，如果全都取出，则后面只剩3和o，不能得到6位数，所以这个6位数最大能是998abc.要求6位数最大，就先得让a最大，a最大能是9，这时6位数是998930.(2)为了使这个6位数最小，让它的第一位取得最小值1，然后要求前几位应该取尽量多的0，这个51位数中一共就有3个O，如果把3个O全都取出，则只能是4位数1000，不能是6位数．膨i以这个6位数最小能是1001zy．其中第一个1就是原来51位数的首位，中间的两个O来自10和20的O，后面的1来自21中的1．x、y是从222324252627282930中按顺序选出的两个数字，它们最小能是2、0，所以这个6位数最小能是100120.4．用1、2、3、4、6、7、8、9这8个数字分别组成2个四位数，使这2个数的差最小（大减小），这个差最小是多少？答案：139解析：假设较大的四位数是abcd．较小的四位数是efgh.显然，它们的首位a必须比e大，如果a比e大2．那么其差至少为1000多，如果只大1，那么只需让6小于f，它们的差就会小于1000，所以a比e大1．这时e、a的取值可能是1、2、3，3、4或6、7，7、8，8、9．又2个数的差要尽量小：①e、a的取值是1、2，bcd最小为346，fgh最大为987，两个四位数差为2346-1987=359；②e、a的取值是2、3，bcd最小为146，fgh最大为987，两个四位数之差为3146-2987=159；③e、a的取值是3、4，bcd最小为126，fgh最大为987，两个四位数之差为4126 -3987=139;④e、a的取值是6、7，bcd最小为123，fgh最大为984，两个四位数之差为7123-6984=139；⑤e、a的取值是7、8，bcd最小为123，fgh最大为964，两个四位数之差为8123-7964=159；⑥e、a的取值是8、9，bcd最小为123，fgh最大为764，两个四位数之差为9123-8764=359．综上所述．这两个四位数之差最小为4126-3087=139或7123-6984=139.5．将2～8这7个自然数填人算式“口口×口口一口口÷口”的口中，如果算式的计算结果为整数，那么这个结果：(1)最大是多少？(2)最小是多少？答案：(1)最大6452 (2)最小827解析：(l)这个算式，减号前面是两个两位数相乘，减号后面是一个除法算式，要使算式的计算结果达到最大，被减数应该是越大越好，减数应该是越小越好．①对于口口×口口，要使它最大．首位应该填8和7，十位应该填6和5，而且根据“两数和一定，越靠近则积越大”的性质，使得口口×口口取最大值的填法为85×76．对于口口÷口，要使它最小，被除数要越小越好，除数要越大越好．此时剩下数字2、3、4，那么口口÷口能取到的最小值为24÷3=8或32÷4=8．所以如果前面填85×76，整个算式的最大值就等于85×76 - 24÷3=6452．②如果前面乘积的4个数字不是5、6、7、8，那么乘积最多为84×76=6384，那么整个算式值小亍6384，当然小于6402.因此算式的最大值为6452.(2)①要使它最小，前面填数字2、3、4、5，后面填6、7、8最好，这样可以使乘积达到最小，从而整个算式也最小．同理，得24×35-78÷6=827.②如果前面乘积的4个数字不是2、3、4、5，分两种情况讨论：如果4个数字中没有2，那么乘积最少为35×46=1610，商最大为86÷2=43，那么整个算式值至少是1610-43=1567，远大于827．如果4个数字中有2，那么乘积最少为24×36=864，商最大为87÷3=29，那么整个算式值至少是864-29=835，大于827．因此算式的最小值为827.6．如图23-5，一只木箱的长、宽、高分别为5厘米、3厘米、4厘米．有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱只允许爬一次．(1)甲虫最多能爬行多少厘米？(2)如果要求甲虫最后回到A点，那么它最多能爬行多少厘米？答案：(1)39厘米(2)34厘米解析：(1)要使得爬行的距离最长，可以先看看甲虫能否爬行所有的边，这就是一个一笔画问题．又知一个图若能一笔画，那它除了起点与结束外，别的点都应该连出偶数条线．由于长方体的8个顶点都刚好连出3条线，为了能一笔画出这条路线，至少要将其中的6个顶点变为与偶数条线段相连，也就是歪少需要去掉3条线．所以为了使得甲虫爬行距离最长，最后甲虫应该不爬其中3条最短的边．甲虫可以按如下方式爬行：A-B-F-E-A-D-C-G-H-D，这时它爬行的距离是5×4+3+4×4=39厘米．(2)如果要求甲虫回到A点，它最多走8条边，要去掉4条边．①不能去掉4个3，因为这样甲虫所走的8条边就被分成了2个不连通的长方形．②考虑甲虫走的、3个方向：左右，前后，上下，如果它往左走了一步，必须得往右走一步才能回来，所以甲虫在3个方向走的路程一样，也就是4个3中得去掉偶数个，不能去掉4个，最多去掉2个，这样它最小要去掉两个长为3的边和两个长为4的边．它可以按如下方式爬行：A-B-F-E-H-G-C-D-A，这时它爬了5×4+4×2+3×2=34厘米。
高中数学新人教A版必修第一册 微专题5三角函数中的最值问题 课件(23张)
＝12sin
2θ＋
3 6 cosΒιβλιοθήκη 2θ－63＝3
3
3 2 sin
2θ＋12cos
2θ－
3 6
＝ 33sin2θ＋π6－ 63，
∵θ∈0，3π，∴2θ＋π6∈6π，56π，
∴当
2θ＋π6＝π2，即
θ＝π6时，矩形
CDEF
的面积
S
取得最大值
3 6.
类型 5 已知最值求参数范围
【例 5】 (1)已知函数 f x＝2sin ωxcos2ω2x－π4－sin2ωxω>0在区
函数 f(x)在区间－π3，π6上有最小值而无最大值，且－π<φ<π， 由三角函数图象可知 x1＝－23π＋φ 与 x2＝π3＋φ 应分别位于相邻的 单调递减区间与单调递增区间，
故φφ≤ ≥2－3ππ2－－π2π3
，则－65π≤φ≤π6.]
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令 ωx＝π2＋2kπ，k∈Z， 因为在区间0，π上恰好取得一次最大值， 所以 0≤2πω≤π，所以 ω≥21， 所以 ω 的取值范围是21≤ω≤53.故选 B.
(2)x∈－π3，π6时，函数 f(x)在区间－π3，π6上有最小值而无最大值， 且满足 f －π3＝－f 6π， 故T2＝π6－－π3＝π2， 此时 ω＝2Tπ＝2， 解得(2x＋φ)∈－23π＋φ，π3＋φ，
类型 1 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 型的最值问题
【例 1】 (1)函数 y＝5sin x－12cos x 在 x＝θ 处取得最值，则 tan θ
＝( )
12 A. 5
B．
12 ±5
C. －152
D．
5 ±12
(2) 已知函数 f(x)＝2sin24π＋x－ 3cos 2x，则 f(x)在 x∈4π，π2的最 小值是________，若不等式 f(x)－m<2 在 x∈π4，π2上恒成立，则实数 m 的取值范围是________．
高考数学二轮专名师讲义：第23讲-高考题中的应用题解法(含答案)
第23讲 高考题中的应用题解法江苏近几年高考数学试卷加大了对应用题的考查力度，新高考(08年开始)以来，每年除了在小题(填空)考查外，都还有一道大题，其中2008年、2010年、2011年、2012年都是放在试卷的第17题，2013年放在试卷的第18题，2009年放在试卷的第19题，考查的知识点都是B 级考点的综合应用，试题的难度属于中档题．所谓数学应用题就是利用数学知识解决一些非数学领域中的问题．由于数学的高度抽象性，这就决定了数学应用的广泛性，而应用题的非数学背景的多样性，也就导致了解应用题往往是要在陌生的背景中去理解、分析所给出的有关问题，舍去与数学无关的非本质因素，通过抽象转化为相应的数学问题．江苏高考数学试题中，对数学应用于解决实际问题的考查已经趋于成熟，它主要考查函数、方程、三角、解三角形、导数、数列、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力、空间想象能力、数学阅读能力和解决实际问题的能力．解数学应用题的一般思路实际上就是(1) 读：理解文字(图形)表达的意图，分清条件和结论；(2) 建：进行语言转化(文字语言及图形语言转化为数学语言)，利用数学知识建立相应的数学模型；(3) 解：求解数学模型，得到数学结论；(4) 答：把用数学方法所得到的结论还原为实际问题，要符合实际意义．高考数学应用题常见模型：(1) 函数应用模型：涉及最值问题；(2) 三角应用模型：涉及测量问题；(3) 不等式(组)应用模型：涉及优化问题；(4) 方程(组)及坐标系应用模型：涉及等量问题；(5) 数列应用模型：涉及年代及预测问题；(6) 立体几何模型：涉及空间图形问题；(7) 概率、统计模型：涉及数据计算、预估等问题．1. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC 、CB的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为________.答案：232. 已知某生产厂家的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．答案：93. 如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD ＝2x ，梯形面积为S ，则S 的最大值是________．答案：3227解析：建立坐标系，B 点坐标为(1，－1)，求出抛物线方程为x 2＝－y ，得D 点坐标(x ，－x 2)，等腰梯形的高为1－x 2，S ＝2x ＋22(1－x 2)，0＜x ＜1，求导可以得到x ＝13时S 取最大值3227. 4. 某人于2009年7月1日去银行存款a 元，存的是一年定期储蓄，2010年7月1日他将到期存款的本息一起取出，再加a 元后，还存一年的定期储蓄，此后每年7月1日他都按照同样的方法，在银行取款和存款．设银行一年定期储蓄利率r 不变，则到2014年7月1日，他将所有的存款和利息全部取出时，取出的钱数共有________元．答案：a （1＋r ）[（1＋r ）5－1]r题型一 通过建立坐标系，得到函数模型来解应用题例1 如图所示的镀锌铁皮材料ABCD ，上沿DC 为圆弧，其圆心为A ，圆半径为2 m ，AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，且BC 长1 m ．现要用这块材料裁一个矩形PEAF(其中P 在圆弧DC 上，E 在线段AB 上，F 在线段AD 上)作圆柱的侧面，若以PE 为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？解：分别以AB 、AD 所在直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系xOy ，则圆弧DC 的方程为x 2＋y 2＝4(0≤x≤3，y ＞0)，设P(x ，y)(0＜x≤3)，圆柱半径为r ，体积为V ，则PE ＝4－x 2，2πr ＝AE ＝x ，则r ＝x 2π，∴ V ＝πr 2l ＝π⎝⎛⎭⎫x 2π2·4－x 2＝14πx 24－x 2，即V 2＝116π2x 4(4－x 2)．设t ＝x 2∈(0，3]，则u ＝t 2(4－t)，u ′＝－3t 2＋8t ＝－3t ⎝⎛⎭⎫t －83， 令u′＝0，得t ＝83.当83＜t≤3时，u ′＜0，u 是减函数；当0＜t ＜83时，u ′＞0，u 是增函数，∴ 当t ＝83时，u 有极大值，也是最大值，∴ 当x ＝23 6 m 时，V 有最大值439πm 3，此时y ＝4－x 2＝233 m. 故裁一个矩形，两边长分别为23 6 m 和23 3 m ，能使圆柱的体积最大，其最大值为439πm 3.某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入的x 万元之间满足：① y 与(a －x)和x 2的乘积成正比；② x ∈⎝⎛⎦⎤0，2am 2m ＋1，其中m 是常数．若x ＝a 2时，y＝a 3.(1) 求产品增加值y 关于x 的表达式；(2) 求产品增加值y 的最大值及相应的x 的值．解：(1) 设y ＝f(x)＝k(a －x)x 2，因为当x ＝a 2时，y ＝a 3，所以k ＝8，所以f(x)＝8(a －x)x 2 ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，2am 2m ＋1. (2) 因为f′(x)＝－24x 2＋16ax ，令f′(x)＝0，则x ＝0(舍)，x ＝2a 3. ① 当2am 2m ＋1≥2a 3，即m≥1时， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 3时，f ′(x)＞0，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫0，2a 3上是增函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫2a 3，2am 2m ＋1时，f ′(x)＜0，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫2a 3，2am 2m ＋1上是减函数， 所以y max ＝f ⎝⎛⎭⎫2a 3＝3227a 3；② 当2am 2m ＋1＜2a 3，即0＜m ＜1时， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2am 2m ＋1时，f ′(x)＞0，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫0，2am 2m ＋1上是增函数， 所以y max ＝f ⎝⎛⎭⎫2am 2m ＋1＝32m 2（2m ＋1）3a 3. 综上，当m≥1时，投入2a 3万元，最大增加值3227a 3；当0＜m ＜1时，投入2am 2m ＋1万元，最大增加值32m 2（2m ＋1）3a 3. 题型二 通过建立不等式模型来解应用题例2 某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 km(忽略内、外环线长度差异)．(1) 当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，求内环线列车的最小平均速度；(2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km/h ，外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1 min ，问：内、外环线应各投入几列列车运行？解：(1) 设内环线列车运行的平均速度为v km/h ，由题意可知309v×60≤10v ≥20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，列车的最小平均速度是20 km/h.(2) 设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入(18－x)列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t 1、t 2 min ，则t 1＝3025x ×60＝72x ，t 2＝3030（18－x ）×60＝6018－x.于是有|t 1－t 2|＝⎪⎪⎪⎪72x －6018－x ≤1⎩⎪⎨⎪⎧x 2－150x ＋1 296≤0x 2＋114x －1 296≤0150－17 3162≤x ≤－114＋18 1802. 又x ∈N *，所以x ＝10，所以当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1 min.如图，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6.设S 的眼睛距地面的距离为 3 m. (1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2 m 的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．解：(1) 作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB ＝30°，∠ASB ＝60°.又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3，即摄影者到立柱的水平距离为3 m. 由SC ＝3，∠CSO ＝30°，在Rt △SCO 中，可求得OC ＝ 3.因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为2 3 m.(2) 连结SM 、SN ，设SN ＝a ，SM ＝b.在△SON 和△SOM 中， （23）2＋1－b 22·23·1＝－（23）2＋1－a 22·23·1，得a 2＋b 2＝26. cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113＞12. 又∠MSN ∈(0，π), 则∠MSN ＜π3. 故摄影者可以将彩杆全部摄入画面．题型三 通过建立三角模型来解应用题例3 在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 和灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC ＝120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD ＝60°，路宽AD ＝24 m ．设灯柱高AB ＝h(m)，∠ACB ＝θ(30°≤θ≤45°)．(1) 求灯柱的高h(用θ表示)；(2) 若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．解：(1) ∵ ∠ABC ＝120°，∠ACB ＝θ，∴ ∠BAC ＝60°－θ.∵ ∠BAD ＝90°，∴ ∠CAD ＝30°＋θ.∵ ∠ACD ＝60°，∴ ∠ADC ＝90°－θ.在△ACD 中，∵ AD sin ∠ACD ＝AC sin ∠ADC， ∴ AC ＝24cos θsin60°＝163cos θ. 在△ABC 中，∵ AB sin ∠ACB ＝AC sinB， ∴ AB ＝ACsin θsin120°＝16sin2θ，即h ＝16sin2θ. (2) 在△ABC 中，∵ BC sin ∠BAC ＝AC sinB，∴ BC ＝ACsin （60°－θ）sin120°＝32cos θsin(60°－θ) ＝83＋83cos2θ－8sin2θ.则S ＝AB ＋BC ＝83＋83cos2θ＋8sin2θ＝83＋16sin(2θ＋60°)．∵ 30°≤θ≤45°，∴ 120°≤2θ＋60°≤150°.∴ 当θ＝45°时，S 取得最小值为(83＋8)m.如图所示，一吊灯的下圆环直径为4 m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2 m ，在圆环上设置三个等分点A 1、A 2、A 3.点C 为OB 上一点(不包含端点O 、B)，同时点C 与点A 1、A 2、A 3、B 均用细绳相连接，且细绳CA 1、CA 2、CA 3的长度相等．设细绳的总长为y.(1) 设∠CA 1O ＝θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；(2) 请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长．解：(1) 在Rt △COA 1中，CA 1＝2cos θ，CO ＝2tan θ，则y ＝3CA 1＋CB ＝3·2cos θ＋(2－2tan θ)＝2（3－sin θ）cos θ＋2⎝⎛⎭⎫0<θ<π4. (2) y′＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos 2θ－（3－sin θ）（－sin θ）cos 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin θ－1cos 2θ. 令y′＝0，则sin θ＝13. 当sin θ>13时，y ′>0；当sin θ<13时，y ′<0. ∵ y ＝sin θ在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数， ∴ 当角θ满足sin θ＝13时，y 最小，最小值为42＋2，此时BC ＝⎝⎛⎭⎫2－22 m. 题型四 通过建立方程来解决应用问题例4 将52名志愿者分成A 、B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A 、B 两组同时开始种植．(1) 根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用25 h ，种植一捆沙棘树苗用12h ．应如何分配A 、B 两组的人数，使植树活动持续时间最短；(2) 在按(1)分配的人数种植1 h 后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25h ，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23h ，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间.解：(1) 设A 组人数为x ，且0<x<52，x ∈N *， 则A 组活动所需时间f(x)＝150×25x ＝60x； B 组活动所需时间g(x)＝200×1252－x ＝10052－x .令f(x)＝g(x)，即60x ＝10052－x ，解得x ＝392. 所以两组同时开始的植树活动所需时间F(x)＝⎩⎨⎧60x ，x ≤19，x ∈N *，10052－x，x ≥20，x ∈N *， 而F(19)＝6019，F(20)＝258，故F(19)>F(20)． 所以当A 、B 两组人数分别为20、32时，植树活动持续时间最短．(2) A 组所需时间为1＋150×25－20×120－6＝367(h)， B 组所需时间为1＋200×23－32×132＋6＝323(h), 所以植树活动所持续的时间为367h.为了迎接青奥会，南京在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB 是抛物线y 2＝2x 的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F 且与路面垂直，其中C 在抛物线上，B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF ∥DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A 处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5 m ，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1) 求灯罩轴线所在的直线方程；(2) 若路宽为10 m ，求灯柱的高．解：(1) 由题意知，BF ＝12，则x A ＝1.5＋12＝2， 代入y 2＝2x 得y A ＝2，故A(2，2)．设点A 处的切线方程为y －2＝k(x －2)，代入抛物线方程y 2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋4－4k ＝0.则Δ＝4－4k(4－4k)＝0，解得k ＝12. 故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y －2＝－2(x －2)，即y ＝－2x ＋6.(2) 由于路宽为10，则当x ＝112时，y ＝－5，从而FD ＝5. 又CF ＝1，则CD ＝6.答：灯柱的高为6 m.1. (2013·四川卷)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．答案：2解析：AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，λ＝2.2. (2013·湖南卷)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件、80件、60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝________．答案：13解析：n ＝3×120＋80＋6060＝13. 3. 设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1、F 2，若曲线r 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线r 的离心率等于________．答案：12或32解析：∵ |PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ，k>0，若圆锥曲线为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6k ，2c ＝|F 1F 2|＝3k ，则离心率e ＝2c 2a ＝3k 6k ＝12；当圆锥曲线为双曲线时，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2k ，2c ＝|F 1F 2|＝3k ，离心率e ＝2c 2a ＝3k 2k ＝32. 4. (2014·江苏卷)设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.答案：24解析：由题意，在抽测的60株树木中，底面周长小于100 cm 的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.5. (2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cosA ＝1213，cosC ＝35. (1) 求索道AB 的长；(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3) 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1) ∵ cosA ＝1213，cosC ＝35. ∴ A 、C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ sinA ＝513，sinC ＝45. ∴ sinB ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝6365.根据AB sinC ＝AC sinB，得AB＝AC sinBsinC ＝1 040 m ， 所以索道AB 的长为1 040 m.(2) 设乙出发t min 后，甲、乙距离为d ，则d 2＝(130t)2＋(100＋50t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．∵ 0≤t≤1 040130，即0≤t≤8， ∴ 当t ＝3537时，即乙出发3537min 后，乙在缆车上与甲的距离最短． (3) 由正弦定理BC sinA ＝AC sinB ，得BC ＝AC sinB sinA ＝1 2606365×513＝500(m)， 乙从B 出发时，甲已经走了50(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C.设乙的步行速度为v m/min ，则⎪⎪⎪⎪500v －71050≤3.∴ －3≤500v －71050≤3，∴ 1 25043≤v ≤62514. ∴ 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(m/min)范围内． 6. (2014·上海卷)如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35 m ，CB 长80 m ，设A 、B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.(1) 设计中CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD 的长至多为多少(结果精确到0.01 m)?(2) 施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD 的长(结果精确到0.01 m)．解：(1) 由题得，∵α≥2β，且0<2β≤α<π2， ∴ tan α≥tan2β，即|CD|35≥|CD|401－|CD|26 400，解得|CD|≤202， ∴ |CD|≈28.28 m.(2) 由题得，∠ADB ＝180°－38.12°－18.45°＝123.43°，∵ 35＋80sin123.43°＝|AD|sin18.45°，∴ |AD|≈43.61 m. ∵ |CD|2＝352＋|AD|2－2×35×|AD|×cos38.12°，∴ |CD|≈26.93m.(本题模拟高考评分标准，满分14分)第十八届省运会于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10 m 的圆弧围成，两圆心O 1、O 2之间的距离为10 m.(1) 如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A 、B 、C 、D 均在圆弧上，O 1O 2⊥AB 于点M.设∠AO 2M ＝θ，求矩形的宽AB 为多少时，可使喷泉ABCD 的面积最大；(2) 如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2 m 的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中NA ＝NB ，NO 2＝4 m ．若∠AO 2M ＝θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4，求喷泉面积的取值范围．解：(1) 在直角△AO 2M 中，AM ＝10sin θ，O 2M ＝10cos θ，则AD ＝20cos θ＋10，所以矩形ABCD 的面积S ＝20sin θ(20cos θ＋10)＝200(2sin θcos θ＋sin θ)，(4分)令f(θ)＝2sin θcos θ＋sin θ，0<θ≤π3， 则f′(θ)＝2cos2θ＋cos θ＝4cos 2θ＋cos θ－2，令f′(θ)＝0，得cos θ＝33－18.设cos θ0＝33－18，且0<θ0≤π3，列表如下： θ (0，θ0) θ0 ⎝⎛⎭⎫θ0，π3 f ′(θ) ＋ 0 －f (θ) Z 极大值] 所以当θ＝θ0，即AB ＝530＋2332时，矩形ABCD 的面积最大．(10分) (2) 由(1)易得，喷泉的面积S ＝20sin θ(10cos θ＋4)＝100sin2θ＋80sin θ，由θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4知，2θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2， 所以函数g(θ)＝100sin2θ＋80sin θ是单调增函数，所以S ∈[503＋40，100＋402]．(13分)答：(1) 矩形的宽AB ＝530＋2332m 时，可使喷泉ABCD 的面积最大；(2) 喷泉的面积的取值范围是[503＋40，100＋402](m 2)．(14分)1. 某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如△ABC的支架，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1 m ，且AC 比AB 长0.5 m ．为节省材料，要求AC 的长度越短越好． (1) 设BC ＝x m ，AC ＝y m ，将y 写成关于x 的函数，并写出定义域；(2) 当BC 的长度为多少时，AC 最短，求出最短长度．解：(1) 由题设知BC ＝x m(x>1)，AC ＝y m ，则AB ＝y －12.在△ABC 中，由余弦定理，得⎝⎛⎭⎫y －122＝y 2＋x 2－2xycos60°.所以y ＝x 2－14x －1，定义域为{x|x>1}． (2) (解法1)y ＝x 2－14x －1＝(x －1)＋34（x －1）＋2≥2＋3，当且仅当x －1＝34（x －1），即x＝1＋32时，y 有最小值2＋ 3. (解法2)y′＝2x （x －1）－⎝⎛⎭⎫x 2－14（x －1）2＝x 2－2x ＋14（x －1）2. 由y′＝0，得x ＝1＋32.因为当1<x<1＋32时，y ′<0； 当x>1＋32时，y ′>0，所以当x ＝1＋32时，y 有最小值2＋ 3. 故AC 的最短长度为(2＋3) m ，此时BC 的长度为⎝⎛⎭⎫1＋32 m. 2. 某商店经销一种纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的税收．设每件产品的售价为x 元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例．已知当每件产品的售价为40元时，日销售量为10件．(1) 求该商店的日利润L(x)元与每件产品的售价x 的函数关系式；(2) 当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值． 解：(1) 设日销售量为k e x ，则k e 40＝10，∴ k ＝10e 40，则日销售量为10e 40ex 件，售价为x 元时，每件利润为(x －30－a)元，则日利润L(x)＝(x －30－a)10e 40e x ＝10e 40·x －30－a e x(35≤x ≤41)． (2) L′(x)＝10e 40·31＋a －x e 2x. ① 当2≤a≤4时，33≤31＋a≤35，而35≤x≤41，∴ L ′(x)≤0，L(x)在[35，41]上是单调递减函数，则当x ＝35时，L(x)取得最大值为10(5－a)e 5.② 当4<a≤5时，35<31＋a≤36，令L′(x)＝0，得x ＝a ＋31.当x ∈[35，a ＋31)时，L ′(x)>0，L(x)在[35，a ＋31)上是单调递增函数；当x ∈(a ＋31，41]时，L ′(x)<0，L(x)在(a ＋31，41]上是单调递减函数．∴ 当x ＝a ＋31时，L(x)取得最大值为10e 9－a .综上，当2≤a≤4时，L(x)max ＝10(5－a)e 5；当4<a≤5时，L(x)max ＝10e 9－a .。
第23讲 一次函数复习
第24讲期末综合复习难点突破（一）——几何综合一、图形旋转1．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立．（3）已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E （如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，画图并求BF的长．二、等腰构造全等2．如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA =AC.（1）如图1，求∠B、∠C的大小；（2）如图2，M为线段BC上一动点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC于点N、E，请写出BN、CE、CD之间的数量关系，并证明；（3）当M是BC中点时，在(2)的条件下，求CDCE的值.三、120°角构造全等3．如图，A (m，0)，B（n，0），且m2+n2+2m-6n+10=0，以AB为边长作等边△ABC交y 轴于D点．（1）求证：AD=CD；（2）点E在BC的延长线上，点F在AB的延长线上，且∠EDF=120°，问CE BF大小是否变化，若不变，请求其值.四、中点问题，构造中位线4．已知△ABC和△BDE中，AC=BC，BD=ED，∠ACB=∠BDE，M、N分别为AB、BE 的中点，P为CD的中点。
（1）“构造中位线”是处理中点问题的常用方法之一！如图1，∠ACB=90°，分别取BC、BD的中点G、H，求证：△MGP≌△PHN；（2）若∠ACB=α，将△BDE绕B点旋转到如图2所示的位置时，求证：PM=PN；（3）图(2)中，∠MPN= （用含α的式子表示）五、45°角构造全等5．如图，正方形ABCD的顶点C处有一等腰Rt△CEP，其中，∠PEC=90°，连接AP，BE。
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第23讲最值问题（一）
知识点回顾
满足题目条件的情况不多时，可以用枚举法把可能
的情况一一列举出来，再找出最大值或最小值。
两个数的和一定，当它们越接近时乘积越大。
极端思考与局部调整也是解决最值问题的常用方法。
【1】（高思学校竞赛数学导引P138）
3个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少?
(1)在五位数12435的某一位数字后面再插入一个同样的数字(例如：可以在2的后面插入2得到122435)，这样得到的六位数最大可能是多少? 【2】 （高思学校竞赛数学导引P 139）
(2)在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的八位数最小是多少?
【3】（高思学校竞赛数学导引P139）
用24根长 l 厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少? 如果用22根火柴棒呢?
【4】（高思学校竞赛数学导引P139）
有9个同学要进行象棋比赛．他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛．他们一共最多能比赛多少场?
【5】（高思学校竞赛数学导引P139）
3个互不相同的自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少?
【6】（高思学校竞赛数学导引P139）
请将2、3、4、5、6、8填入算式“×”的方格中．要使得算式结果最大，应该怎么填?
【7】（高思学校竞赛数学导引P139）
请将6、7、8、9填入算式“× + ”的方格中．要使得算式结果最大，应该怎么填?
【8】（高思学校竞赛数学导引P139）
在下图的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差(大减小)，然后把这5个差数相加，所得的和最小是多少?
【9】（高思学校竞赛数学导引P139）
如果7个互不相同的自然数之和为100，那么其中最小的数最大可能是多少?最大的数最小可能是多少?
【10】（高思学校竞赛数学导引P139）
一个多位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和为23．这样的多位数最小可能是多少?最大可能是多少?
【11】（高思学校竞赛数学导引P140）
有7个盘子排成一排，依次编号为1，2，3，…，7．每个盘子中都放有若干玻璃球，一共放了80个．其中1号盘里放了18个玻璃球，并且任意编号相邻的3个盘子里放的玻璃球数之和都相等．请问：第6个盘子中最多可能放了多少个玻璃球?
【12】（高思学校竞赛数学导引P140）
黑板上写着l，2，3，4，…，10各一个．小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数．最后当黑板上只剩下一个自然数时，这个数最大可能是多少?
【13】（高思学校竞赛数学导引P140）
如图，这是一个正方体的展开图．将它折成一个正方体后，相交于同一顶点的3个面上的数之和最大是多少?
如图，在一个正方体方块的左下角
A点处有一只蚂蚁，它要沿着正方体的表面爬行至右上角的B点，去搬运一块食物．为了使得这个蚂蚁所走的路线长度最短，它应该怎么爬行?它可以选择的最短路线一共有几条?
【14】（高思学校竞赛数学导引P140）
下节课见！。