动手操作类问题答案
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A D
A
C
C
B
类 比
A H P Q M F N C
B
D
E
G
B
挑战中考
3．2010年北京市西城区抽样测试初三数学试卷 22、在△ABC中，BC=a，BC边上的高h=2a，沿图中线段DE、CF将△ABC剪开， 分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG，如图1所示． 请你解决如下问题： 1 h a, 已知：如图2，在△A′B′C′中，B′C′=a，B′C′边上的高 请你设计两种不同的 2 分割方法，将△A′B′C′沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形， 请在图2、图3中，画出分割线及拼接后的图形．
F A G B （2b＜a） 图1 C E D H
挑战中考
5. （2010门头沟一模）
（1）正方形FGCH的面积是 ；（用含a，b的式子表示） （2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方
形的示意图．
F F E D A G B （2b＜a） 图1 C
F (E) D A D E C
图1
图2
（2）如图4，在面积为2的平行四边形 ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、 BC、CD、DA的中点，分别连结AF、 BG、CH、DE得到一个新的平行四边 形MNPQ．请在图4中探究平行四边形 MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）．
挑战中考
2．2009年北京市高级中等学校招生考试： D
挑战中考
4.
中点 ① ② 中点 ③
① ③
②Hale Waihona Puke Baidu
转 化
挑战中考
5. （2010门头沟一模）
22.阅读下列材料： 在图1—图4中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边 AD和AE在同一直线上． 小明的做法：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉 △FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．小明在操作 后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与 AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可 将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD， 易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形 FGCH是正方形．解决下列问题：
挑战中考
3．2010年北京市西城区抽样测试初三数学试卷
挑战中考
4.直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方 法如下:
中点 ① ② ③
中点
①
③
②
请你用上面图示的方法，解答下列问题： (1)对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角 形面积相等的矩形；
(2)对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边 形面积相等的矩形.
挑战中考
1．北京市2006年高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标Ａ卷）：
请你参请你参考小东同学的做法，解决如下问题： 现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一 个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图 （图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方 形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
（ a ＜ 2b ＜ 2a ）
F
H
A
A
D C （b＝a） 图4
E
B 图2
C
（2b＝a）
B 图3
B
类 比
其它类型
1.（08东城一模）: 22．如图，把一个正方形割去四分之一，将余下的部分分成3个全等的图形（图 甲）；将余下的部分分成4个全等的图形（图乙）.仿照示例，请你将一个正三角 形割去四分之一后余下的部分. （1）分成3个全等的图形（在图1中画出示意图）； （2）分成4个全等的图形（在图2中画出示意图）; （3）你还能利用所得的4个全等的图形拼成一个平行四边形吗？若能，画出大致 的示意图.
第十六章 四边形
专题：动手操作类问题
——动手操作类问题中的等积变换问题
胡秋生
动手操作类问题中的等积变换问题
• 动手操作型试题主要包括：折纸与剪纸；图形 的分割与拼合；图形的平移、翻折与旋转变换； 几何体的展开与叠合；点线的运动变化等问题； 题型从单一的选择、填空，到猜想、论证、分 类讨论等综合题．
• 本专题主要研究操作型问题中的等积变换问题.
四巧板这个好玩的游戏，是建立在几个 简单的几何图形和它们的组合基础之上的。 这些简单几何图形通过巧妙拼接，可以构 成许多不同的图案，这些图案虽然形状不 同，但是它们之间存在着一个等量关系：
面积相等.
挑战中考
1．北京市2006年高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标Ａ卷）： 22.请阅读下列材料： 问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接 成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形 的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． (x0 )．依题意，割补前后图 小东同学的做法是：设新正方形的边长为x 2 形的面积相等，有 x 5，解得 x 5．由此可知新正方形的边长等于两个正 方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示 的新正方形．
挑战中考
1．北京市2006年高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标Ａ卷）：
类 比
挑战中考
2．2009年北京市高级中等学校招生考试： 22.阅读下列材料：图1图2，小明遇到一个 问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式 如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的 正方形．他的做法是：按图2所示的方法分 割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转 至三角形纸片②处，依此方法继续操作， 即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你 参考小明的做法解决下列问题： （1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片， 排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成 一个平行四边形．要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符 合条件的平行四边形即可）；
图1
图2
挑战中考
2．2009年北京市高级中等学校招生考试： 22.阅读下列材料：图1图2，小明遇到一个 问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式 如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的 正方形．他的做法是：按图2所示的方法分 割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转 至三角形纸片②处，依此方法继续操作， 即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你 参考小明的做法解决下列问题：
A
C
C
B
类 比
A H P Q M F N C
B
D
E
G
B
挑战中考
3．2010年北京市西城区抽样测试初三数学试卷 22、在△ABC中，BC=a，BC边上的高h=2a，沿图中线段DE、CF将△ABC剪开， 分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG，如图1所示． 请你解决如下问题： 1 h a, 已知：如图2，在△A′B′C′中，B′C′=a，B′C′边上的高 请你设计两种不同的 2 分割方法，将△A′B′C′沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形， 请在图2、图3中，画出分割线及拼接后的图形．
F A G B （2b＜a） 图1 C E D H
挑战中考
5. （2010门头沟一模）
（1）正方形FGCH的面积是 ；（用含a，b的式子表示） （2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方
形的示意图．
F F E D A G B （2b＜a） 图1 C
F (E) D A D E C
图1
图2
（2）如图4，在面积为2的平行四边形 ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、 BC、CD、DA的中点，分别连结AF、 BG、CH、DE得到一个新的平行四边 形MNPQ．请在图4中探究平行四边形 MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）．
挑战中考
2．2009年北京市高级中等学校招生考试： D
挑战中考
4.
中点 ① ② 中点 ③
① ③
②Hale Waihona Puke Baidu
转 化
挑战中考
5. （2010门头沟一模）
22.阅读下列材料： 在图1—图4中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边 AD和AE在同一直线上． 小明的做法：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉 △FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．小明在操作 后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与 AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可 将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD， 易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形 FGCH是正方形．解决下列问题：
挑战中考
3．2010年北京市西城区抽样测试初三数学试卷
挑战中考
4.直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方 法如下:
中点 ① ② ③
中点
①
③
②
请你用上面图示的方法，解答下列问题： (1)对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角 形面积相等的矩形；
(2)对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边 形面积相等的矩形.
挑战中考
1．北京市2006年高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标Ａ卷）：
请你参请你参考小东同学的做法，解决如下问题： 现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一 个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图 （图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方 形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
（ a ＜ 2b ＜ 2a ）
F
H
A
A
D C （b＝a） 图4
E
B 图2
C
（2b＝a）
B 图3
B
类 比
其它类型
1.（08东城一模）: 22．如图，把一个正方形割去四分之一，将余下的部分分成3个全等的图形（图 甲）；将余下的部分分成4个全等的图形（图乙）.仿照示例，请你将一个正三角 形割去四分之一后余下的部分. （1）分成3个全等的图形（在图1中画出示意图）； （2）分成4个全等的图形（在图2中画出示意图）; （3）你还能利用所得的4个全等的图形拼成一个平行四边形吗？若能，画出大致 的示意图.
第十六章 四边形
专题：动手操作类问题
——动手操作类问题中的等积变换问题
胡秋生
动手操作类问题中的等积变换问题
• 动手操作型试题主要包括：折纸与剪纸；图形 的分割与拼合；图形的平移、翻折与旋转变换； 几何体的展开与叠合；点线的运动变化等问题； 题型从单一的选择、填空，到猜想、论证、分 类讨论等综合题．
• 本专题主要研究操作型问题中的等积变换问题.
四巧板这个好玩的游戏，是建立在几个 简单的几何图形和它们的组合基础之上的。 这些简单几何图形通过巧妙拼接，可以构 成许多不同的图案，这些图案虽然形状不 同，但是它们之间存在着一个等量关系：
面积相等.
挑战中考
1．北京市2006年高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标Ａ卷）： 22.请阅读下列材料： 问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接 成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形 的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． (x0 )．依题意，割补前后图 小东同学的做法是：设新正方形的边长为x 2 形的面积相等，有 x 5，解得 x 5．由此可知新正方形的边长等于两个正 方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示 的新正方形．
挑战中考
1．北京市2006年高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标Ａ卷）：
类 比
挑战中考
2．2009年北京市高级中等学校招生考试： 22.阅读下列材料：图1图2，小明遇到一个 问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式 如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的 正方形．他的做法是：按图2所示的方法分 割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转 至三角形纸片②处，依此方法继续操作， 即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你 参考小明的做法解决下列问题： （1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片， 排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成 一个平行四边形．要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符 合条件的平行四边形即可）；
图1
图2
挑战中考
2．2009年北京市高级中等学校招生考试： 22.阅读下列材料：图1图2，小明遇到一个 问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式 如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的 正方形．他的做法是：按图2所示的方法分 割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转 至三角形纸片②处，依此方法继续操作， 即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你 参考小明的做法解决下列问题：