离散时间信号和系统的频域分析

j 2 π mM
j 2 π m ( M 1)
eN X[m]
e N
j2πm
1e N

sin
πm N
2
M

1
sin
πm N

19
第三章 离散时间信号和系统的频域分析
3.1 周期序列DFS的定义 3.2 周期序列DFS的基本性质 3.3 非周期序列DTFT的定义 3.4 序列DTFT的基本性质 3.5 周期序列DTFT 3.6 序列的频域采样

]e
j2π N
lk
}

X~[m
l]
序列在时域的相移，对应其频域的位移
23
3.2 DFS的基本性质
3. 对称特性
DFS{~x [k]} X~[m] DFS{~x [k]} X~[m]
若为实序列，则有 X~[m] X~ [m]
| X~[m] || X~[m] |
X~R [m] X~R [m]
5
的DFS系数。
解：
周期序列
~x [k ]

2cos( π 5
k )的周期为10。
~x[k]
1
j2π k
{10e 10
j2π k
10e 10 }
10

1
j2π k
{10e 10
j2π (101)k
10e 10 }
10
对比IDFS表达式，可得周期序列~x [k ]的DFS系数为
X~[m]
确定傅立叶级数的系数ak：
对式

j 2 kn
x(n) ake N
k
两边同乘

e
j
2
N
m，n并对n在一个周期中求和
14
N1
j 2 mn N 1
x(n)e N

（ak
e
j
2 N
kn）e

j
2 N
mn


N 1 j 2 n(k m)
ak e N
连续时间信号傅里叶变换的定义
X ( j) x(t)e jt dt
1 ������(������) = 2������
+∞
������
−∞
������������
������ ������������ ������
只有当序列x(n)绝对可和，即: x(n)的傅里叶变换才存在（周期序列不满足条件）。
连续系统： 时域分析
傅利叶变换、拉氏变换
微分方程
离散系统： 时域分析
代数方程 傅利叶变换、Z变换
差分方程
代数方程
5
3.1 (a) 周期序列DFS:引言
Jean-Baptiste-Joseph Fourier(1768 ～ 1830) 生 于 法国欧塞尔Auxerre一个裁缝家庭,八岁时沦为孤儿， 就读地方军校。 21岁，Fourier在巴黎学术界论述了有关数值方程解 的著名论作，这一工作使他在巴黎的数学界出名。 1795年任巴黎综合工科大学助教。 1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重， 回国后被任命为格伦诺布尔省省长。
8
3.1 引言 离散傅里叶级数DFS
周期序列
4
4
4
D Fourier Series (DFS)
~x[k ]
3
3
3
2 1
2 1
2 1
k -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
ຫໍສະໝຸດ Baidu非周期序列?
有限长度序列 无限长度序列
DTFT DFT
9
在时域抽样（离散化）相当于频域周期化
时域离散化

10

0
m 1, 9 其他
18
例: 求如图所示周期为N的方波序列的DFS系数(N>2M+1)。
1 x[k]
-N
M
0
M
解 :
X~[m] DFS{x[k]}
M
j2π km
eN
k M
k N
当取m=0, N, 2N, 时，有 X [m] 2M 1
当m取其他值时，利用等比级数的求和公式有
周期卷积是两个等周期的周期序列的卷积运算。 周期卷积的结果仍为相同周期的周期序列。
25
例：周期N=3的序列 ~x[k ] 如图所示，计算 ~y[k ] ~x[k ] ~ ~x[k ]
~x[k ]
11 k
0 12 34
~x[k ] ~ ~x[k ]
2 11
k 0 12
~x[0 n]
11 n
k
m
即:
ak

1 N
N 1 n0
j 2 kn
x(n)e N ,

e
j
2 N
kn是周期为N的周期函数，e
j
2 N
(
k

N
)
n


e
j 2 km
N,
ak也是周期函数:ak ak lN
15
3.1 (c) 离散傅里叶级数DFS定义
令X (k) Nak
N 1
[m] [m]
X~I [m] X~I [m]
若 ~x[k] 为偶对称的实序列，则有 X~[m]为实序列，且为偶对称
若 ~x[k ]为奇对称的实序列，则有 X~[m]为纯虚序列，虚部奇对称
24
3.2 DFS的基本性质
4. 周期卷积定理 周期卷积定义：
~x1[k ] ~ ~x2 [k ] N 1 ~x1[n]~x2 [k n] n0
3.1 周期序列DFS的定义 3.2 周期序列DFS的基本性质 3.3 非周期序列DTFT的定义 3.4 序列DTFT的基本性质 3.5 周期序列DTFT 3.6 序列的频域采样
4
3.1 (a) 周期序列DFS: 引言
信号和系统的分析方法有两种：时域分析方法 和变换域分析方法。
傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数 构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基 函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数。
开辟了近代数学的一个巨大分支----傅里叶级数,在物理, 数学,工程技术上都有广泛的应用.由于理论的优美,被誉为 “一首数学的诗”。
用于通信中，任何信号都可以表示成几个三角函数的叠加 （因为收敛，所以取有限和便可以很好地达到实际应用时 的精度要求），而三角函数的信号是最容易产生的。这在 很长的一段时间内都是通信的基础。
x(t) t
0 T 2T x[k] k
012
时域?
频域周期化 Xa(jΩ )
（a）
Ω －Ωc 0 Ω c
P (jΩ )
δ
（b）
－Ω s
Ω
0
Ωs
＾Xa(jΩ )
（c）
－Ωs s 2 0 s 2 Ω s ＾Xa(jΩ )
频域离散化
X(n0)
（d）
－Ω s
0 Ω cΩ s s
2
0
Ω
Ω

10
3.1 (a) 离散傅里叶级数DFS：问题的提出
2013年秋季学期
3教105
数字信号处理
第三章 离散时间信号和系统的频域分析
第三章 离散时间信号和系统的频域分析
3.1 周期序列DFS的定义 3.2 周期序列DFS的基本性质 3.3 非周期序列DTFT的定义 3.4 序列DTFT的基本性质 3.5 周期序列DTFT 3.6 序列的频域采样
就 是 在此 期间 ， Fourier 完 成 了其 经典 之 作 Theorie analytiquede la chaleur(热能数学原理)。在该著作中，他证明了任一周期函数都可以表 示成正弦函数和的形式，其中正弦函数的频率为周期频率的整数倍。由 于对热传导理论的贡献于1817年当选为巴黎科学院院士，1822年成为科 学院终身秘书。
X (k)
j 2 kn
x(n)e N
n0
X (k)也是一个以N为周期的周期序列， 称为x(n)的离散傅里
叶级数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示
设 ~x(n) ~x(n rN )
DFS变换对
X~ (k)

DFS[ x~(n)]

N 1
x~ ( n)e
e j0t ——基波
n
周期为N的复指数序列的基频序列为
e1 (n)

e
j0n

e
j( 2 N
)n
k次谐波为：
j 2 kn
ek (n) e N
由于是周期序列，其k次谐波也是周期为N的序列：
j 2(kN )n
j 2 kn
ek (n) ekN (n) e N
e N
12
3.1 (b) 离散傅里叶级数DFS: 推导
20
3.2 DFS的基本性质 1. 线性特性
DFS{a~x1[k] b~x2[k]} aDFS{~x1[k]} bDFS{~x2[k]}
21
3.2 DFS的基本性质
2. 位移特性
周期序列的位移
4
~x[k ]
3
4 3
4 3
2 1
2 1
2 1
k -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
6
3.1 (a) 周期序列DFS:引言
1753年，Bernoulli就推断一振动的弦可以表示成正弦加权和的形式 ，但是他未能给出所需的加权系数。
傅里叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文，但经拉格朗日、 拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的 论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。1822年，傅里叶终于出 版了专著《热的解析理论》。这部经典著作将欧拉、伯努利等人在 一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论， 三角级数后来就以傅里叶名字命名。

j
2 N
kn

N 1 ~x (n)WNkn
n0
n0
~x(n)

IDFS[ X~(k)]
1 N
N
1
X~
(k
)e
j
2 N
kn
k 0

1 N
N 1 X~ (k )WNkn
k 0
X~ (k )也是一个以N为周期的周期序列，称为 x~(n)的离
散傅里叶级数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。
上式表明将周期序列分解成N次~ 谐波,第k个谐波频率为ωk=(2π/N)k，k=0, 1, 2 … N-1，幅度为 (1/ N ) X (k)
~
基波分量的频率是2π/N，幅度是(1/ N ) X (1)。
一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。
17
例：求周期序列 ~x[k] 2cos( π k)
2
本章主要学习
对于离散时间系统—— 时域分析方法采用差分方程描述 频域分析方法则用Z变换或傅里叶变换这一数学工具
本章主要内容： 本章学习序列的DFS和DTFT, 分析信号和系统的频域特性。 序列的DFS的定义及性质 序列DTFT的定义及性质 频域采样
3
第三章 离散时间信号和系统的频域分析
4
~x[k 2]
3
2
1
k 0123
周期序列位移后，仍为相同周期的周期序列，因此，只需 要观察位移后序列一个周期的情况。
22
3.2 DFS的基本性质
2. 位移特性
(a) 时域位移特性
DFS{~x [ k

n]}

X~
[
m]e

j
2π N
mn
序列在时域的位移，对应其频域的相移
(b) 频域位移特性
DFS{~x[k
11
3.1 (a) 离散傅里叶级数DFS：问题的提出
一个周期为N的周期序列 x~(n) 可表示为：
x~(n) x~(n kN )
K为任意整数
正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样，离
散周期序列也可以用离散傅里叶级数表示，也就是用周
期为N的复指数序列来表示。
x~(t)

A e jn0t n
设 ~x (n) 是以N为周期的周期序列，其傅立叶级数为：

j 2 kn
x(n) ake N
k
将周期序列展开成N个谐波分量的和的形式
基波分量：
j 2 n
a1e N
K次谐波分量：
j 2 kn
ake N

0

2
N
k

2
N
k,
k 1, 2,..., N 1
如何确定傅立叶级数的系数ak ？ 13
拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人，他们所处的时代在法国是处于 拿破仑时代，国力鼎盛。在科学上也取代英国成为当时世界的中心， 在当时众多的科学大师中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶就是他们 中间最为璀璨的三颗星。傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠加 的论文，其评审人即包括拉普拉斯和拉格朗日。
7
3.1 (a) 周期序列DFS: 引言
n0
n0 k
k n0

N ak (当m k时
N 1 j 2 n(k m)
eN
N
k
n0
当m k时
N 1 j 2 n(k m)
eN
0
)
n0
故有
1 N 1 N n0
j 2 mn


x(n)e N ak am
0 12
~x[1 n] 1 1
n 0 12
~x[2 n] 1 1
j 2π kn N
n0
x~(n) IDFS[ X~ (k)]
1
N
1
X~
(k
)e
j
2π N
kn
N k0
16
3.1 (c) 离散傅里叶级数DFS物理意义
为了方便：
j 2
WN e N
W
kn N

j 2π kn
eN
X~(k)

DFS[~x (n)]

N
1
~x (n)e