2021备考985高校自主招生数学讲义 强基计划自主招生讲义10套

求证： max{a1 , a2 , a3} max{b1 ,b2 ,b3}.
（2008 年北京大学）
6.（1）证明：多项式 p(x) x3 3x 1有三个实根 a b c ；
（2）证明：若 x t 为 p(x) 的一个根，则 x t 2 2 也是 p(x) 的一个根；
（3）定义映射 f :{a,b,c} {a,b,c} ， t t 2 2 ，求 f (a) ， f (b) ， f (c) 的值.
3.至多能取多少个两两不同的正整数，使得其中任意三个数的和为质数？证明你的结论.
（2013 年北约）
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相关习题
（1）在 1、2、3、…、2012 中任取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，则所取的
这组数中最Hale Waihona Puke Baidu有多少个数？
（2012 年北约）
（2）写出由 3 个质数组成的公差为 8 的等差数列.
值是多少？
（2013 年清华大学夏令营）
（2）.以 2 和1 3 2 为两根的有理系数一元 n 次方程的最高次数 n 的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.5 D.6 （2013 年北约）
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第二讲．数学逻辑
知识要求
1.反证法 2.数形结合方法 3.不动点问题
例题分析
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知识要求
1.因式分解方法 2.待定系数方法 3．对称参引方法 4.构造方法
例题分析
第一讲.方程与多项式
1. 解不等式 (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24.
（2009 年南京大学）
2.在实数范围内解方程 4 10+x 4 7 x 3.
（2005 年复旦大学保送生试题）
相关习题
（1）.已知 x y 1 ， n 为正整数，求证： x2n y2n 212n. （2009 年清华大学）
（2）已知 a 、 b 为非负实数， M a4 b4 ，且 a b 1，求 M 的最值.
（2006 年清华大学）
3.设实数 k 9 ，解方程 x3 2kx2 k 2 x 9k 27 0. （2006 年复旦大学保送生）
相关习题
（1）. 已知函数 f (x) ax2 bx c(a 0) ，且 f (x) x 没有实数根.那么 f ( f (x)) x 是
否有实数根？并证明你的结论.
（2008 年上海交通大学冬令营）
（2）.证明：若 f ( f (x)) 有唯一的不动点，则 f (x) 也有唯一的不动点.
a1a2a3 a10 21.求证： a1, a2 , a3,, a10 这 10 个数是必有一个数在 (0,1) 之间.
（2012 年北京大学保送生）
（2）已知正数数列
a1, a2,, an
.对于大于的整数
n
，有
a1 a2
an
3n 2
，
a1a2 an
n 1 2
，试证：
a1, a2,, an
中至少有一个小于
1. 是否存在四个正实数，它们两两乘积分别为 2，3，5，6，10，16. （2011 年北约十三校联考）
相关习题
（1）.是否存在 0 x π ，使得 sin x ， cos x ， tan x cot x 的某种排列为等差数列？ 2
（2010 年北约）
（ 2 ） 是 否 存 在 两 两 不 同 的 实 数 a,b,c 使 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 三 条 直 线 y ax b ，
y bx c ， y cx a 共点.
（2013 年北京大学保送生）
2.已知由正整数组成的无穷等差数列中有 3 项：13，25，41，求证：2009 为其中一项.
（2009 年北京大学）
相关习题
（ 1 ） . 已 知 a1, a2 , a3,, a10 为 大 于 零 的 正 实 数 ， 且 a1 a2 a3 a10 30 ，
1.
（2000 年上海交通大学）
（3）已知 ai （ i 1, 2,, 2013 ）为2013个实数，满足：
a1 a2 a2013 0 ，且 | a1 2a2 || a2 2a3 | | a2013 2a1 | ，
求证： a1 a2 a2013 0.
（2013 年北约）
（2）请证明 2 是一个无理数. 5.设实数 a1 、 a2 、 a3 、 b1 、 b2 、 b3 满足
（2008 年复旦大学面试）
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aa11a2
a2 a3 a2a3
b1 a3a1
b2 b3, b1b2
b2b3
b3b1,
min{a1, a2 , a3} min{b1,b2 ,b3}.
（2013 年清华大学金秋营）
7.给出一个整系数多项式 f (x) an xn an1xn1 a1x a0 ，使 f (x) 0 有一个根为
33 2．
相关习题
（2009 年清华大学）
（1）.已知 x 19 99 是函数 f (x) x4 bx2 c 的一个零点，b,c 为整数，则 b c 的
相关习题
（1）.已知方程 x3 px2 qx 1 0 有 3 个实根， p 0 且 q 0 .求证： pq 9.
（2）.设 a,b,c R ，使得方程 x3 ax2 bx c 0 有 3 个实根.
（2008 年南开大学）
证明：如果 2 a b c 0 ，则至少存在一个根在区间[0, 2] 中.
（2013 年清华大学夏令营）
4.已知方程 x3 ax2 bx c 0 的三个根分别为 a ，b ， c ，并且 a, ，b ， c 是不全为零的
有理数，求 a ， b ， c 的值.
相关习题
（2005 年上海交通大学）
（1）.是否存在实数 x ，使得 tan x 3 和 cot x 3 均为有理数？ （2009 年北京大学）
（2009 年清华大学）
4. 有限多条抛物线（线和线的内部）能够覆盖整个平面吗？证明你的结论.
（2009 年清华大学特色测试）
5. 设 p ， q 为实数，函数 f (x) x2 px q ，如果 f ( f (x)) 0 只有一个实数根，
求证： p ， q 0.
（2011 年北京大学保送生试题）