函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
★备考知考情
1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等．
2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题．
3.多以选择题、填空题的形式出现.
一、知识梳理《名师一号》P18
注意：
研究函数奇偶性必须先求函数的定义域
知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征
1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．3.奇函数的图象关于原点对称；
偶函数的图象关于y 轴对称.
知识点二 奇函数、偶函数的性质
1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
2. 若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则(0)0=f .
3. 若f (x )为偶函数，则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点
(1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
(2)判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的 每一个x ， 均有f (－x )＝－f (x )、f (－x )＝f (x )，
而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)．
(补充)
1、若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ．
(0)0=f 是()f x 为奇函数的
既不充分也不必要条件 2．判断函数的奇偶性的方法 （1）定义法：
1)首先要研究函数的定义域， 2)其次要考虑
()f x 与()f x -的关系，
也可以用定义的等价形式：
()()0f x f x ±-=（对数型函数用），
()
1()
f x f x =±-（指数型函数用）
． 3)分段函数应分段讨论
（2）图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断． （3）复合函数奇偶性的判断
若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依 若干个函数的奇偶性而定，概括为 “同奇为奇，一偶则偶”．
注意：证明函数的奇偶性的方法只有定义法
知识点三 函数的周期性 1.周期函数：
对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称非零常数T 为这个函数的周期．
2．最小正周期：
如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 并不是任何周期函数都有最小正周期， 如常量函数)()(R x a x f ∈=； 3.几个重要的推论 （1）《名师一号》P19 问题探究 问题3
若函数
()f x 恒满足()()f x a f x +=-(0)a ≠， 则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期； 若函数()f x 恒满足1
()()
f x a f x +=
(0)a ≠， 则
()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；
若函数()f x 恒满足1
()()
f x a f x +=-(0)a ≠，
则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期；
(补充)若函数()f x 恒满足()()f x a f x b +=+，
则
()f x 是周期函数，b a -是它的一个周期；
（2）(补充)注意区分：
若()()f a x f a x -=+（或()(2)f x f a x =-）
则函数()f x 关于a x
=对称。

若()(2)f x f a x =--
则函数()f x 关于点
(),0a 对称。

推广：若函数
()f x 恒满足)()(x b f x a f -=+
则)(x f 图象的对称轴为2
b
a x +=。

（3）(补充)
已知奇函数()f x 的图象关于直线x a =对称，
则()f x 是周期函数，且4a 为其中的一个周期
若偶函数()f x 的图象关于直线x a =对称， 则()f x 是周期函数，且2a 为其中的一个周期
二、例题分析：
（一）证明（判断）函数的奇偶性 例1. (补充)
判断下列函数的奇偶性．
(1)f (x )＝(2－x )2＋x
2－x
.
(2)f (x )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧
x ＋2 ?x <－1?
0 ?|1?0 ?|1?0 ?||x |≤1?||≤1?
≤|≤1?
1|≤1?
|≤1?|≤1?－x ＋2 ?x >1
.
(3)f (x )＝
1a x －1＋1
2
(a >0且a ≠1)
解析：
(1)由2＋x 2－x
≥0得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，
故f (x )为非奇非偶函数．
(2)x <－1时，－x >1，∴f (－x )＝－(－x )＋2＝x ＋2＝f (x )． x >1时，－x <－1，f (－x )＝－x ＋2＝f (x )． －1≤x ≤1时，f (x )＝0，－1≤－x ≤1，
f (－x )＝0＝f (x )．
∴对定义域内的每个x 都有f (－x )＝f (x )． 因此f (x )是偶函数．
(3)∵f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，
其定义域关于原点对称，并且有
f (－x )＝1a －x －1＋12＝11
a x －1
＋12＝a x 1－a x ＋1
2
＝－1－a x －11－a x ＋12＝－1＋11－a x ＋1
2
＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x －1＋12＝－f (x )． 即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．
(4)(补充) 函数|
3||4|92
-++-=x x x y 的图象关于 （ ）
A ．x 轴对称
B ．y 轴对称
C ．原点对称
D ．直线0=-y x 对称
答案：B
注意：(补充) 1.如何判断函数奇偶性：
第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．
第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；
第三，利用定义进行等价变形判断．
第四，分段函数应分段讨论，要注意据x 的范围取相应的函数表达式或利用图象判断．
2．分段函数(2)判断奇偶性画图判断更方便直观． (3)验证f (－x )＋f (x )＝0更方便些．
温故知新P13 知识辨析2（1）（2）
(1) (2()log f x x =+
既不是奇函数也不是偶函数（ ）
(2) (()1f x x =-是偶函数（ ）
答案：（1）奇函数（2）非奇非偶 注意：
1、关注定义域
2、利用函数奇偶性定义的等价形式： ()()0f x f x ±-=（对数型函数用），
()
1()
f x f x =±-（指数型函数用）
练习：(补充)判断下列函数的奇偶性．
(1) ()2lg 1()22
x f x x -=
--
(2) ()
()
220()0x x
x f x x x
x ⎧+<⎪=⎨
->⎪⎩
(3) ()f x =(4) 2
()2f x x x a =--+
(5)21
()21
x x f x -=+
答案：（1）奇 （2）偶 （3）既奇又偶 （4）0a = 偶；0a ≠非奇非偶 ()()f a f a ≠-
()()0f a f a +-≠ 注意：否定函数奇偶性：
只须说明在定义域D 中，
0x D ∃∈，使()00()f x f x -≠±
(5)证明：函数()f x 的定义域为R ，
且212
()12121
x x x
f x -==-++，所以 2222
()()(1)(1)2()
21212121
x x x x f x f x ---+=-+-=-+++++ 2222(21)
2()2220212121
x x x x x ⋅+=-+=-=-=+++.
即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数.
（二）函数奇偶性的应用 1、已知函数奇偶性，求值 例1.（1）《名师一号》P19 对点自测 4（2）
已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1
x ，则f (－1)＝－2.( )
例1.（2）(补充)已知函数1()lg
1x
f x x
-=+， 若1
()2
f a =，则()f a -等于（ ）
A ．
1
2
B. 12-
C.2
D.2-
答案：B
注意：(补充)
（1） 一般关于()f a 与()f a -的值或关系的问题 首先考虑奇偶性。

（2） 已知函数的奇偶性注意利用
()f x 与()f x -的关系 温故知新P23 第3题
（2013辽宁）已知函数)
2
()log 31f x x =+，
则1
(lg 2)(lg )2
f f +=
《名师一号》P19 变式思考1（2）
221()1x x f x x ++=+，若()2
3
f a =，则()f a -=
练习:(补充)
已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，
若7
)7
(-
=
-
f，则=
)7(f_______
答案：17
2、已知函数奇偶性，求参数的值或取值范围
例1.《名师一号》P19 对点自测 3
已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()
A．－1
3D．－
1
2
解析依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴b＝0且a＝1
3，则a＋b＝
1
3.
例2.《名师一号》P20 特色专题典例（1）
若函数f(x)＝
k－2x
1＋k·2x
在定义域上为奇函数，则实数k＝___.
【规范解答】 ∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k
， ∴f (－x )＋f (x )
＝k －2x 2x ＋k ＋k ·2x －1·1＋k ·2x
1＋k ·2x 2x ＋k
＝k 2－122x ＋11＋k ·2x 2x ＋k . 由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1，∴k ＝±1.
注意：本例易忽视函数f (x )的定义域，
直接通过计算f (0)＝0得k ＝1.
注意：
1、利用函数奇偶性的定义：()f x 与()f x -的关系， 也可以用定义的等价形式：
()()0f x f x ±-=（对数型函数用），
()1()
f x f x =±-（指数型函数用） 2、利用特殊值()f a 与()f a -的关系
得到关于待求参数的方程（组）求得参数
再利用奇偶性的定义证明
切记:若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ．
(0)0=f 是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件
练习:(补充)
1、已知2
()3f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[1,2]a a -.则a = ，b =
解：函数是偶函数，所以定义域关于原点对称. ∴1123
a a a -=-⇒=，0
b =
2、设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x
为奇函数，则a ＝__
分析：∵f (x )为奇函数，定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}， 故对 ∀x ∈R 且x ≠0有f (－x )＝－f (x )， 从而可取某个特殊值(例如x ＝1)求解
解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，
∴a ＝－1.
须检验!
法二:由定义求解
对∀x ∈R 且x ≠0有f (－x )＝－f (x )恒成立
答案：－1
3.定义在)1,1(-上的奇函数2()1
x m f x x nx +=
++， 则常数m =____,
n =_____。

答案：0m =；0n =.
3、已知函数奇偶性，求解析式
例1. 《名师一号》P20 变式思考2（2）
已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0x >时，2()f x x x =-，则)(x f 的解析式为________
答案：22,0()0,0,0⎧--<⎪==⎨⎪->⎩
x x x f x x x x x
例2．(补充)
设f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，若f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ， 比较f (1)、g (0)、g (－2)的大小________．
分析：奇偶性讨论的就是f (－x )与f (x )的关系，如果题目中涉及x 与－x 的函数值之间的关系，一般考虑用奇偶性解决．如果告诉了函数的奇偶性，应从f (－x )＝±f (x )入手．
解析：∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，
∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．
∴f (－x )－g (－x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－x ，即－f (x )－g (x )＝2x . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )－g (x )＝2－x －f (x )－g (x )＝2x ，∴⎩⎨⎧ f (x )＝2－x －2x 2g (x )＝－2x ＋2－x 2
∴f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－2)＝－178
， ∴g (－2)<g (0)<f (1)．
注意：
已知函数的奇偶性注意利用()f x 与()f x -的关系 计时双基练P220 培优3
（三）抽象函数奇偶性
例1. (补充)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 则函数()()()F x f x f x =+的图象关于（ ）
A.x 轴对称
B.y 轴对称
C.原点对称
D.以上均不对
答案：B
注意：
抽象函数奇偶性应立足定义，
即从考虑()f x 与()f x -的关系入手
例2. (补充) 定义在R 上的函数y ＝f (x )，
对任意实数x 1、x 2都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，
判断函数y ＝f (x )的奇偶性，并证明．
解析：令x 1＝x 2＝0得，f (0)＝f (0)＋f (0)，
∴f (0)＝0.
令x 1＝x ，x 2＝－x 得，f (0)＝f (x )＋f (－x )
∴f (－x )＋f (x )＝0，∴f (x )是奇函数．
注意：(补充)
抽象函数奇偶性、单调性判断（证明）均立足定义
1、抽象函数奇偶性判断（证明）
赋值法，从考虑()f x 与()f x -的关系入手
2、抽象函数的单调性判断（证明）
赋值法，在指定区间内任取12x x <，
从考虑12()()f x f x 、的大小关系入手
3、解决抽象函数时常可参照具体的模型函数来发现其性质或寻找思路，但绝对不能以具体的特殊函数来代替抽象的
练习：(补充)
1、已知函数f (x )，当x 、y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．
(1)求证：f (x )是奇函数；
(2)如果x >0时，f (x )<0，并且f (1)＝－21，
试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．
解析：(1)证明：∵函数定义域为R ，
∴在f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )中令y ＝－x 得，
∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝0，
∴f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.
∴f (－x )＝－f (x )，
∴f (x )为奇函数．
(2)解：设x 1<x 2，且x 1、x 2∈R.
则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)
＝f (x 2)－f (x 1)．
∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0.
即f (x )在R 上单调递减．
从而f (x )在[－2,6]上为减函数．
∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．
∵f (1)＝－21，∴f (2)＝f (1)＋f (1)＝－1，
∴f (－2)＝－f (2)＝1，
f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.
∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.
2、已知函数y ＝f (x )对任意x 、y ∈R ，均有
f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－
23
. (1)判断并证明f (x )在R 上的单调性；
(2)求f (x )在[－3,3]上的最值．
解析：(1)f (x )在R 上是单调递减函数
证明如下：
令x ＝y ＝0，∴f (0)＝0，令y ＝－x 可得：
f (－x )＝－f (x )，
在R 上任取x 1、x 2且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，
∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)．
又∵x >0时，f (x )<0，
∴f (x 2－x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．
由定义可知f (x )在R 上为单调递减函数．
(2)∵f (x )在R 上是减函数，
∴f (x )在[－3,3]上也是减函数．∴f (－3)最大，f (3)最小．
f (3)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)
＝3×23
＝－2.
∴f (－3)＝－f (3)＝2.
即f (x )在[－3,3]上最大值为2，最小值为－2.
（四）函数的周期性
例1.《名师一号》P19 对点自测 5
已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝________.
解析 ∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．
则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2.
（五）函数奇偶性、单调性、周期性的综合应用 例1. (补充)
定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，
0](x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
>0.则f (－2)，f (1)，f (3)从小到大的顺序是________．
解析：由f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
>0知f (x )在(－∞，0]上单调递增， 又f (x )是偶函数，
故f (x )在(0，＋∞]上单调递减，
∵3>2>1>0，∴f (3)<f (2)<f (1)．
又f(x)为偶函数，∴f(3)<f(－2)<f(1)．
注意：
(1)函数单调性的等价形式
f(x2)－f(x1)
>0（或(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0）x2－x1
等价于f(x)单调递增
f(x2)－f(x1)
<0（或(x2－x1)(f(x2)－f(x1))<0）x2－x1
等价于f(x)单调递减
(2)关于原点对称的两个区间上，
奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反
例2.《名师一号》P19 高频考点例2（2）
(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，
故不等式f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>0.
因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，
所以|x－1|<2，即－2<x－1<2，解得－1<x<3.
所以x 的取值范围是(－1,3)．
注意：(补充)
(1)解含函数记号“f ”的不等式(抽象函数不等式)， 一般都是利用函数的单调性．
(2)关于原点对称的两个区间上，
奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反， 提到奇偶性，通常要分类讨论．
(3)注意函数定义域对x 的限制．
（4）()f x 为偶函数()()(||)⇔=-=f x f x f x
温故知新P23 第5题
（2013天津）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 且在区间[)0,+∞上单调递增，若实数a 满足
()212(log )(log )21f x f x f +≤，则实数a 的取值范围是
答案：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
练习：
1、函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是
增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12
)]<0的解集．
解析：f (1)＝0，不等式可转化为f [x (x －12
)]<f (1)， ∵f (x )在(0，＋∞)上递增，∴0<x (x －12
)<1， ∴12<x <1＋174或1－174
<x <0. 又因为f (x )是奇函数，它在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且f (－1)＝－f (1)＝0，
于是得f [x (x －12
)]<f (－1)， 即有x (x －12
)<－1，∴x ∈∅. ∴原不等式的解集是
{x |12<x <1＋174或1－174
<x <0}．
变式：(补充)
函数()(0)f x x ≠是偶函数，且当()0,x ∈+∞时是增函数，
若(1)0f =，求不等式102f x x ⎡⎤⎛⎫-< ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦的解集。

答案：14x ⎧+⎪<<⎨⎪⎪⎩
⎭
2、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )
B ．1 D ．2
[答案] C
[分析] 为求f (3)先求f (1)，为求f (1)先在f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)中，令x ＝－1，利用f (x )为奇函数，可解出f (1)．
[解析] 令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＋f (2)＝f (2)－f (1)，
∴f (1)＝12f (2)＝12，∴f (3)＝f (1)＋f (2)＝32
. [点评] 解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用.
（4月30日，15班讲至此）
例3.《名师一号》P20 高频考点例3）
已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)的值．
(1)证明：函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．
(2)当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x ＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．
(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，
f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
又f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.
注意：(补充)
（1）若()()f a x f a x -=+（或()(2)f x f a x =-）
则函数()f x 关于a x
=对称。

若()(2)f x f a x =--
则函数()f x 关于点
(),0a 对称。

推广：若函数()f x 恒满足)()(x b f x a f -=+
则)(x f 图象的对称轴为2
b a x +=。

（2）已知奇函数()f x 的图象关于直线x a =对称， 则()f x 是周期函数，且4a 为其中的一个周期 若偶函数()f x 的图象关于直线x a =对称， 则()f x 是周期函数，且2a 为其中的一个周期
温故知新 P14 第6、10题
练习：(补充)
1、已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1=x 对称，并且当(]
0,1∈x 时, ()21=+f x x 则(462)=f _____
[答案] 0
[解析] ()f x 是奇函数故()()-=-f x f x ()f x 的图象关于直线1=x 对称故()()2-=f x f x ()()()
()()24+=-=-+=f x f x f x f x f x
()(462)(11542)2=⨯+=f f f
()()2-=f x f x 故()()200==f f
2、设()f x 是定义在R 上的奇函数，
且()y f x =的图象关于直线12
x =对称， 则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=_____
答案：0
3、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.
(1)求证：f (x )是周期函数；
(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；
(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)．
分析：由f(x＋2)＝－f(x)可得f(x＋4)与f(x)关系，由f(x)为奇函数及在(0,2]上解析式可求f(x)在[－2,0]上的解析式，进而可得f(x)在[2,4]上的解析式．
解析：(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得
f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝x2－6x＋8.
从而求得x∈[2,4]时，
f(x)＝x2－6x＋8.
(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.
例4. (补充)温故知新 P13 第2题
f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内的解最少有()
A．4个B．5个C．6个D．7个
解析：∵f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，
∴f(5)＝f(2)＝0，f(－1)＝f(2)＝0，f(－1)＝－f(1)，
∴f(1)＝0，f(4)＝f(1)＝0，
又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(3)＝f(0)＝0，
∵f＝f－3)＝f(－＝－f，
∴f＝0，从而f＝0，
∴f(1)＝f＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝f＝f(5)＝0.
答案：D
练习：
f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是() A．1B．4C．3D．2
[答案] B
[解析] 由f (2)＝0，得f (5)＝0，
∴f (－2)＝0，f (－5)＝0.
∴f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0，
f (－5)＝f (－5＋9)＝f (4)＝0，
故f (x )＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个．
练习.已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线
1x =对称，并且当(]0,1x ∈时，2()1f x x =+
（1）当[)1,0x ∈-时，求()f x 的表达式；
（2）证明()f x 是周期函数，并且求出它的一个周期；
（3）当(]4,5x ∈时，求()f x 。

答案：（1）当[
)1,0x ∈-时2()1f x x =-- （2）()f x 是周期为4的周期函数
（3）当(]4,5x ∈时()2
()41f x x =-+
例5. (补充)
已知二次函数()f x 有两个零点0和2-，且()f x 最小值是1-，函数()g x 与()f x 的图象关于原点对称； （1）求()f x 和()g x 的解析式；
（2）若()()()h x f x g x λ=-在区间[]1,1-上是增函数，
求实数λ的取值范围。

解： (1) 依题意 设()2(2)2 (0)f x ax x ax ax a =+=+> ()f x 图象的对称轴是1x =- ()11f ∴-=- 即21a a -=- 得1a =
()22f x x x ∴=+
由函数()g x 的图象与()f x 的图象关于原点对称
2 ()()2g x f x x x ∴=--=-+
（2）由（1）得
222()2(2)(1)2(1)h x x x x x x x λλλ=+--+=++- ①当1λ=-时，()4h x x = 满足在区间[1,1]-上是增函数
②当1λ<-时，()h x 图象对称轴是11
x λλ-=+ 则111
λλ-≥+ ，又1λ<- 解得 1λ<- ③当1λ>-时，同理 则需 111
λλ-≤-+ 又1λ>- 解得 10λ-<≤ 综上满足条件的实数λ的取值范围是 (,0]-∞
注意：(补充) 两个不同函数图像之间的对称问题-----
已知函数()y f x =解析式, 且()y f x =图像与 ()y g x =图像关于直线a x =(或点(),a b )对称, 求()y g x =解析式,则运用解析几何中
求轨迹方程的动点转移法求解即可
练习：
已知函数()f x 的图象与1()2h x x x
=+
+的图象 关于点()0,1A 对称；
（1）求()f x 的解析式； （2）若()()a g x f x x
=+且()g x 在区间(]0,2上的值不小于6，求实数a 的取值范围。

答案：()1f x x x
=+
课后作业
一、 计时双基练P219基础1-10
课本P18-19变式思考1、2；
二、计时双基练P220基础11、培优1-4
课本P20变式思考3；对应训练1、2 复习迎接期中考试
预习第二章第六节指数与指数函数。