第三章 多自由度系统振动6.19
多自由度系统振动
= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定 主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日 《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：
汽车振动分析 第3章 多自由度振动系统_part1
3.1多自由度振动系统概述3.1多自由度振动系统概述七自由度模型四自由度模型二自由度模型能较为准确地反映车辆的基本行驶特征3.1多自由度振动系统概述试建立系统的运动微分方程。
()1P t ()2P t 3.2.1直接法3.2.1直接法，外力2School of automotive studies, tongji3.2多自由度振系运动微分方程的建立3.2.1直接法3.2.1直接法3.2.1直接法3.2.2拉格朗日法3.2.2拉格朗日法3.2.2拉格朗日法3.2.2拉格朗日法3.2.2拉格朗日法Page 25Dr. Rong GuoSchool of automotive studies, tongji university第3章多自由度振动系统()1p t ()3p t ()2p t 例题：利用拉格朗日方法列出图示系统的振动微分方程。
()22211223312T m x m x m x =++ 设系统的广义坐标为x 1、x 2和x 3，系统的势能()()2221122133212U k x k x x k x x ⎡⎤=+−+−⎣⎦系统能量耗散函数()()2221122133212D c xc x x c x x ⎡⎤=+−+−⎣⎦ 系统的动能3.2.2拉格朗日法解：3.2.2拉格朗日法3.2.2拉格朗日法3.2.2拉格朗日法3.2.2拉格朗日法建立如图所示简化分析模型Page 31School of automotive studies, tongji university机械振动学3.2.2拉格朗日法())22cos l xl θθθ++ 3.2.2拉格朗日法。
《多自由度系统振动》课件
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。
第3章 多自由度线性振动
1
k 3k ，2 J J
多自由度系统的振动 令θ1、 θ2具有如下形式的解
经整理后写成矩阵的形式
（3.1.7）
KU 0 MU
式中： U——系统的广义坐标列阵 M——系统的质量矩阵
（3.1.8）
U x
T
m 0 M K——系统的刚度矩阵 0 J k1l1 k2l2 k1 k2 K 2 2 k l k l k l k l 11 2 2 11 2 2
y1 (0) Y11 , y2 (0) Y21
y1 (0)
Y12 k12 Y22 k11 2 2 m1
即第二振型
多自由度系统的振动
图示两个振型
1
第一主振型
2
第二主振型
多自由度系统的振动 例2 圆盘扭转系统，假定k1＝k2 ＝k3＝k，J1＝J2＝J，求其 固有频牢和主振型，并解释 其物理意义。
当F1（t）＝F2（t）＝0时，(3.1.2）式成为
Kx 0 Mx
(3.1.3）式即为系统的自由振动方程
（3.1.3）
多自由度系统的振动 如图所示为一个扭转振动系统。两圆盘转动惯量分别为J1、J2，各段 轴的扭转刚度分别为k1、k2、k3，在两个圆盘上作用有激振力矩T1 （t）、T2（t）。设立θ1、θ2两个广义坐标。
解：由上述假定，其自由振动方程成为
J 0
2k k 1 0 0 1 J 2 k 2k 2 0
2k J 2 k k 0 2 2k J
其特征方程为
可求出
1 2 n
称为一阶固有频率、二阶固有颁率…n阶固有频率。将ωi（i ＝1，2，…，。）代回式（3.2.2）就得到A的非零解，记 之为A(i)，A(i)就是与ωi对应的特征矢量，它是一组振幅的相 对值，称为第i阶固有振型，也称为第i阶主振型。
结构动力学-多自由度系统的振动
sin(1t sin(1t
1) 1)
A2Y1(2) A2Y2(2)
sin(2t sin17
m1 y1 m2 y2
(k1 k2
y1
k2 ) y1 (k2
k2 y2 k3 ) y2
0 0
方程的全解:
y1(t) y2 (t)
A1Y1(1) A1Y2(1)
2
1 2
k11 m1
k22 m2
1
2
k11 m1
k22 m2
2
k11k22 k12k21 m1m2
正实根，仅依赖于结构体系的物理性质，
即质量和弹簧刚度。
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13
2
1 2
k11 m1
k22 m2
1
2
k11 m1
k22 m2
2
k11k22 k12k21 m1m2
具有两个自由度的体系共有两个自振频率， 1 表示其中最小的圆频率，称为第一圆频率或 基本圆频率（fundamental frequency）； 2 称为第二圆频率。
y1 (t) y2 (t)
YY12ssiinn((tt))
1）、在振动过程中，两个质点具有相同的频
率 和相同的相位角 。
2）、在振动过程中，两个质点的位移在数值上 随时间而变化，但两者的比值始终保持不变：
y1(t) Y1 常数 y2 (t) Y2
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10
主振型:结构位移形状保持不变的振动形式称
设方程的解为：
y1(t) Y1 sin(t ) y2 (t) Y2 sin(t )
2k m 2
k
2k
k
m
2
YY12
0
第三章(多自由度系统的振动)
系统运动方程：
k u1 0 m 0 u1 (1 )k 0 m u k u 0 (1 )k 2 2
k1 m1
k2 m2
k3
Mu Ku 0
第r阶模态质量
固有振型关于刚度矩阵加权正交性 T 当 rs 时 r K s 0 T r K s K r 当 rs时
第r阶模态刚度
Kr / M r ?
( K r2 M ) r 0
( K M ) r 0
T r 2 r
r2 Kr / M r
③ 按模态质量归一化
0.66 r* 0.33 1
特点：一眼可以看出某阶固有振动振动最大的部位
r
* r
r M r
T r
r
Mr
特点：理论推导，分析方便
固有振型的正交性
2. 固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性※
K r r2 M r r, s 1,, N 2 K s s M s
3k m 2 k 0
k 2k m 2 k
0 k 3k m 2
2 3
0
k 2 2 k 2 k 2 3 ( ) 8 ( ) 19 12 0 m m m
固有频率:
1
k , m
2
3k , m
3 2
(1) 2 2
令：1(1) 1， 则
(1) 2k k 2 0
(1) k 2k k3 0
(1) 3 1
同理，将2代入到特征值问题的方程中，解方程得到
多自由度振动
= 0 = 0
二自由度汽车自由振动分析
mɺɺc + (k1 + k 2 )xc − (k 2 l 2 − k1l1 )θ = 0 x ɺ J θɺ − (k l − k l )x + k l 2 + k l 2 θ = 0
c 2 2 11 c
(
11
2 2
)
K2
L2
L1
θ
K1
ɺɺ + ax − b θ = 0 x ɺ θ ɺ + e θ − fx = 0
此式说明，当系统以频率p1振动时，质量m1和m2总是按 同一方向运动；而当以频率p2振动时，m1和m2则按相反 方向运动。 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称 为系统的主振动。
§3.1二自由度系统的自由振动
K1 M1 K2 M2 K3
m 1 ɺɺ1 + (k 1 + k 2 )x 1 − k 2 x 2 = 0 x m 2 ɺɺ2 − k 2 x 1 + (k 2 + k 3 )x 2 = 0 x
B1 = B2 =
(p (p
2 1
− ω − ω
(e
− ω
2
2
)( p )( p
1
)f
2 2 2 2
− ω − ω
1
2
) )
ff
2 1 2
2
其曲线如图3-4(下页)所示。 两个概念 ●反共振：当加在x1上的激振力的频率 ω = e 时，B1=0，实际上相 当于没有m1和k1时m2-k2-k3组成的单自由度系统的固有频率，这 叫反共振。利用这一规律，可以对定转速的电机进行减振，也叫 动力减振方法。
第三章-多自由度系统振动6.19
第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。
单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。
多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。
主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。
多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。
直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。
振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。
因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。
3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。
[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。
三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。
图3-1 3自由度系统解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。
质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。
每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。
振动理论-多自由度
− k1 x1 + k
2
( x1 + x
)
将方程写成矩阵形式:
x x + [ K ]{ x} = 0KK , { x} = 1 x2 0 −k m k1 [ M ] = 01 m KK[ K ] = −k k + 1k 2 1 1 2
[M ]
d ∂L ∂L ( )− = 0,KK (i = 1, 2,K n) dt ∂ q ∂qi
i
例3：用拉格朗日方程建立两集中质量系统的运动方程（例1图）
1 1 T = m1 x12 + m2 x22 , 2 2 1 1 2 1 1 2 U = k1 ( x1 − x2 )2 + k2 x2 = k1x12 − k1x1x2 + (k1 + k2 ) x2 2 2 2 2
3.2 多自由度系统无阻尼自由振动方程的建立
1. 牛顿定律(动量矩定理) 牛顿定律(动量矩定理)
例1：两集中质量系统 ⋅⋅
m m m m
1
x x
⋅⋅
1 ⋅⋅
= − k1 ( x1 − x = − k
2
2
)
2
2
2
x
2
− k1( x
2
− x1 )
1
x 1 + k1 x1 − k1 x
⋅⋅
= 0
2
2
x
2
该二次型系数矩阵[K]是对称阵，它即为运动方程中的刚度矩阵。这 样一来，我们可以直接从动能、势能二次型出发，得出运动方 程中的质量矩阵和刚度矩阵。在很多情况时这种方法非常方便 有用。（举例讲解说明）
5. 影响系数法
多自由度系统运动方程中质量矩阵和刚度矩阵的每个元素mij kij分 别表示第个i坐标和第j个坐标之间的惯性和弹性的相互影响， 故分别称为惯性影响系数和弹性（刚度）影响系数。 惯性影响系数m 使系统第j个坐标产生单位加速度 个坐标产生单位加速度， 惯性影响系数 ij ：使系统第 个坐标产生单位加速度，而其它坐 标的加速度为零时，在第个i坐标所需加的作用力大小 坐标所需加的作用力大小； 标的加速度为零时，在第个 坐标所需加的作用力大小； 弹性影响系数kij ：使系统第j个坐标产生单位位移，而其它坐标 弹性影响系数 使系统第 个坐标产生单位位移， 个坐标产生单位位移 的位移为零时，在第个i坐标所需加的作用力大小； 的位移为零时，在第个 坐标所需加的作用力大小； 坐标所需加的作用力大小 应用影响系数的方法有时是很方便的，举例2。 对某些静定系统，采用位移方程则更为简便而易于求解。 刚度的倒数是柔度， ， e = 1/k
第三章多自由度系统的振动
第三章 多自由度系统的振动§3-1 运动微分方程的建立图3-1所示的具有n 个质体的无重简支梁，它就是一n 个自由度系统。
设系统在质体m 1，m 2，m 3，…，m n 的静力作用下维持平衡状态，若受到某种外来因素F i (t)(i=1,2,3,…n)的干扰，破坏了原来的静力平衡状态，各质体在其静力平衡位置附近振动。
假定这个结构的振动由梁上一系列离散点的位移y 1(t)，y 2(t)，y 3(t)，…，y n (t)所确定，它们以图中所示的方向为正。
这n 个位移即系统的n 个几何坐标。
图3－1 有n 个质体的无重简支梁用刚度法(stiffness method)建立运动方程。
根据达朗贝尔原理，考虑质体所产生的惯性力，就将原来的动力问题在形式上转化为静力问题。
这样，就可对图示系统的每个自由度列出平衡方程，即系统的运动方程。
分别考虑各个质点的位移、速度和加速度引起的约束反力，叠加后的总反力为零，得以下n 个平衡方程：111112112221222212n n n n n n n n m y c c c ym y c c c y m y c c m y⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥++⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎣⎦⎩⎭1112111212222212n n n n nn n n k kk y F k k k y F k k k y F ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭(3-1)式中，m i 为第i 个质体的集中质量；c ij 为j 坐标的单位速度所引起的i 坐标的阻尼力；k ij 为j 坐标的单位位移所引起的i 个坐标的弹性力；y i ，i y和i y 分别为i坐标的位移、速度和加速度。
式(3-1)可简写为MyCy Ky F ++= (3-2)式中，K ，M 和C 分别为系统的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们通称为系统的特性矩阵；y ，y 和y为位移、速度和加速度向量；F 为荷载向量。
西南交通大学振动力学_第3章(I)多自由度系统的振动资料
主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
多自由度系统的振动
教学内容
两自由度系统的振动 多自由度系统的振动 多自由度系统固有特性的近似解法
2018年10月20日 《振动力学》
7
多自由度系统的振动
教学内容
两自由度系统的振动
两自由度系统的振动方程
无阻尼系统的自由振动
耦合与主坐标 无阻尼系统的强迫振动 阻尼对强迫振动的影响
1 m1 x
2 m2 x
12
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
P1(t)
k1x1 k2(x1-x2)
m1
P2(t) k2(x1-x2)
m2
k3x2
建立方程：
1 m1 x
2 m2 x
m1 x1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P 1 (t ) m2 x2 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 P2 (t )
2018年10月20日 《振动力学》 14
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
解：
建立坐标：
受力分析： 设某一瞬时： 角位移 1 , 2
k 11
, 角加速度 1 2
k 2 (1 2 )
k 1
M1 (t )
1
k 2
I1
M 2 (t )
2
k 3
k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
坐标间的耦合项
16
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
结构动力学-多自由度系统振动
k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法 用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的 动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受 到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立 系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生 的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。
第三章 多自由度系统振动分析
x1 A1eit , x2 A2eit
a normal mode oscillation is one in which each mass undergoes harmonic motion of the same frequency
Substituting into the equations of motion yields
xnn表示其中各个归一化表示其中各个归一化主振型矢量主振型矢量xxii分别代表模态坐标轴的单位矢分别代表模态坐标轴的单位矢另一方面从广义坐标法的角度来看系统在原坐标系中另一方面从广义坐标法的角度来看系统在原坐标系中动能动能ekek与势能与势能epep可分别表示为可分别表示为kx经模态变换xay后在模态坐标系中系统的动能与势能分别表示为3333经典阻尼实模态分析经典阻尼实模态分析设线性阻尼系统的运动微分方程可表示为设线性阻尼系统的运动微分方程可表示为能否利用上述实模态变换来使系统解耦关键在于阻尼矩阵c在上述实模态变换下能否化为对角阵
例3-4
在上例的 2 自由度系统中，设在左质量上作用有复谐和扰力 并进一步求出系统的频率响应矩阵。
解：这时，系统的运动微分方程为
。试求系统的定常强迫振动；
仍利用上例中的实模态变换
，可将原系统化为如下模态运动微分方程
对应于复谐和激励，定常模态响应可设为
其中
为待定的复振幅列阵。将它们代入模态运动微分方程，可得
其中
于是有
注意，系统的频率响应函数定义为系统的定常复谐和响应与输入
之比
因而
代表对应于复谐和输入
的系统模态频率响应列阵
表示为
返回到原系统，对应于输入
的系统频率响应列阵
同理有：
这样，对应于复谐和双输入，系统的频率响应矩阵可表示为
第三章 多自由度系统振动
U = U ( q1 , q2 ,..., qn )
通常将静平衡位置作为势能零点， 并且以静平衡 通常将静平衡位置作为势能零点， 位置为坐标原点。 位置为坐标原点。 我们研究的是在静平衡位置附 近的微振动， 近的微振动，则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有
∂U U = U0 + ∑ i =1 ∂qi
0
q
对应的广义力，阻尼力，耗散力。 对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第 k 个 质点受到的阻尼力
& Rk = − β k ⋅ rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n 1 ∂rk dqi n ∂rk dq j 1 & & Φ = ∑ β k ⋅ rk ⋅ rk = ∑ β k ⋅ ∑ ⋅ ⋅∑ ⋅ dt j =1 ∂q j dt k =1 2 k =1 2 i =1 ∂qi
kn 2 − mn 2ωi2 ) ⋅ ϕ 2i + ... + ( knn − mnnωi2 ) ⋅ ϕ ni = ( mn1ωi2 − kn1 ) ϕ1i (
n − 1 个方程，n − 1 未知数， 个方程， 未知数， 最终可求出 ϕ2i ,..., ϕni 用 ϕ1i
表示，其余都与其成一定比例。 表示，其余都与其成一定比例。 与其成一定比例
系统的能量等于各阶主振动的能量之和不同阶之间能量不发生变换每一阶主振动的动能和势能在内部交换总和保持常数34多自由度系统的受迫振动mxcxkx1特征值分析求出无阻尼的各阶固有频率和各阶主振型2模态叠加方法分解解耦期望阻尼阵也和mk一样具有正交性即如果这样就可以使用模态叠加法进行解耦分析求解
结 构 动 力 学
1 n n ∂ 2U U = ∑∑ 0 qi q j 2 i =1 j =1 ∂qi ∂q j ， 令
多自由度系统振动
的方法。
传递矩阵法适用于线性时不变系 统，能够处理多自由度系统的振
动问题，计算效率较高。
传递矩阵法的精度取决于系统参 数和边界条件的准确性，对于复 杂系统和非线性问题，需要采用
其他方法进行求解。
模态叠加法
模态叠加法是一种基于模态展开的数值 计算方法，通过将系统的振动表示为一 系列模态的线性组合，求解每个模态的
振动方程，得到系统的动态特性。
模态叠加法适用于线性时不变系统，能 够处理多自由度系统的振动问题，计算
精度较高。
模态叠加法需要选择合适的模态数目和 模态提取方法，对于大规模系统和复杂
未来研究方向
深入研究多自由度系统振动的 非线性特性，探索更精确的数
学模型和数值模拟方法。
针对复杂多自由度系统，研究 多因素耦合振动和多场耦合振
动的理论和方法。
发展多自由度系统振动主动控 制和智能控制技术，提高系统 振动控制精度和响应速度。
将多自由度系统振动理论应用 于实际工程领域，解决重大装 备和结构的振动问题，提高其 稳定性和安全性。
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02
它涉及到多个振动子之间的相互 作用和耦合，其动力学行为比单 自由度系统更为复杂。
研究背景和意义
随着科技的发展，多自由度系统在许多领域中得到了广泛应用，如大型机械装备、 精密仪器、高层建筑等。
由于多自由度系统在受到外部激励或内部参数变化时，会产生复杂的振动行为，这 不仅会影响系统的性能和稳定性，还可能引发安全问题。
航天器振动控制
总结词
《多自由度系统振动》PPT课件教案资料
2022/2/12 《振动力学》
代入，得： (FM I)φ 0 特征方程： FMI 0 18
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态
• 多自由度系统的模态（主振型）
正定系统： M X KX 0
主振动： X φ asi nt ()
XRn M、 KRnn
0 φRn
特征值问题： (K2M)φ0
7
《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： MXKXP(t) XRn
自由振动方程： MXKX0
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率。
在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同 步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外， 随时间变化的规律都相同的运动 。
则有：(TTAT)T＝TTAT(TT)T＝TTAT 正定性质：若原来的刚度矩阵K 正定，则（TTKT）仍正定。
因此坐标变换X ＝TY 不改变系统的正定性质。 对于质量矩阵也如此。
2022/2/12
5
《振动力学》
回顾：单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
小结：
单自由度系统自由振动分析的一般过程：
1、由工程装置建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程； 2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值； 3、根据本征值，写出标准方程的通解； 4、根据初始条件，计算标准方程的特解。
f(t)asint(), 0
f(t)a tb,
0
主振动
（1）正定系统 0
只可能出现形如 X φ asi nt ()的同步运动。
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统 0
振动力学(两自由度系统和多自由度系统)
d dt
T xi
T xi
V xi
Qi
拉格朗日方程
18
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
Qi
k
Fk
rk xi
1
xi
Fk rk
k
（i＝1，2）
其中：T为系统的动能，V为势能，Qi为非有势力的广义力， drk为与非有势广义力Fk对应的广义虚位移。
实际计算广义力Qi时，通常假设与xi对应的广义虚位移不等 于零，其它虚位移都等于零。
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
第3章 多自由度系统的振动
主讲：沈火明
1
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
单自由度系统振动问题，在我们所讨论的范围内是线性定常 方程。而多自由度系统则是二阶多元联立微分方程组，各广义 坐标间存在相互“耦合”现象。
所谓耦合，就是变量之间互相联系。由于这种耦合，使微分 方程的求解变得非常困难。因此，分析多自由度系统振动问题 的重要内容之一就是如何将方程“解耦”，然后按单自由度的 分析方法求解。
5
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
[M ]{x} [C]{x) [K]{x} {F(t)}
[M]称为系统的质量矩阵，[K]称为刚度矩阵，[C]称为阻尼矩阵， {x}为系统的位移列阵，{F(t)}为外激励列阵。
对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量 矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。
假设方程解的形式为
{x}
x1 x2
X1 X2
sin(
t
)
33
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
这里：X1、X2为振动幅值，为固有频率， 为初相
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第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。
单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。
多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。
主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。
多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。
直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。
振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。
因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。
3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。
[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。
三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。
图3-1 3自由度系统)(1t P 3m )(2t P 1m 2m )(3t P 1k 1c 2c 3c 2k 3k 4k 4c解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。
质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。
每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。
若质量、刚度和阻尼矩阵都是对角矩阵，则三个微分方程是独立的，相当于三个独立的)(1t P 1x 11x c 11x k )(212x xc -)(212x x k -x m 1)(2t P 2x )(323x xc -)(323x x k -xm 2)(212x x k -)(3t P 34x c 34x k xm 33x )(323x x c -)(323x x k -1m 3m 2m )(212x x c -单自由度系统，其求解变为三个单自由度系统求解。
质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合，刚度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。
此例中没有惯性耦合，因为质量矩是对角的。
但一般情况下质量矩阵并不是对角的，所以一般情况下多自由度系统既有弹性耦合、也有惯性耦合。
下面我们通过一个例子来说明质量矩阵不是对角的情况。
[例二] 写出图3-3所示系统振动微分方程系统中均质刚性杆AB 的质量为m ，转动惯量为c J ，前后两端分别用刚度为1k 和2k 的两个弹簧由承于地面上，杆全为长l 。
图3-3若用杆两端的竖向位移1x 、2x 来描述刚杆的运动状态，则受力图如图3.4所示，图3.4显然、质心处的加速度为()221x x +，根据牛顿第二定律，在竖直方向有：221121)2(x k x k xx m --=+ 杆的转动加速度为（顺时针为正）()lx x 21 -，对C 点应用动力矩定理：1x 2x A B'A ,BC11x k 22x k22)(112221l x k l x k l x x J C -=-整理并写成矩阵形式有：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0022222221212121x x l k l k k k x x l J l J m mC C质量矩阵并不是对角的。
当然，此例中若选质心的平动及绕质心的转动来描述运动，质量矩阵将是对角的。
一般地，对n 自由度系统，振动微分方程为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321432121222211121143212122221112114321212222111211...............................................................F F F F x x x x k k k k k k k k k x x x xc c c c c c c c c x x x xm m m m m m m m m nn n n n n nn n n n n nn n n n n 写成矩阵形式有：[]{}[]{}[]{}{}F x K x C x=++ M (3.1) 根据分析力学，具有定常约束的系统的动能T 与势能U 可写为下列二次型{}[]{}x M xT T 21={}[]{}x K x U T21= (3.2) 对于稳定平衡的振动系统,系统的动能T 总是大于零的(除非系统是静止的)，所以质量矩阵一般是正定的。
同样，系统的势能U 也总大于零，所以刚度矩阵也是正定的。
此外，系统的动能和势能不会因为表达形式不同而改变，对式(3.2)转置，比较可知，刚度矩阵和质量矩阵必须是对称矩阵，因而有：[][]K K T = [][]M M T = (3.3)3.2无阻尼自由振动一、固有频率和振形本节主要目的是通过无阻尼自由振动系统来介绍多自由系统的固有频率和振型，它们是多自由振动系统的重要特征。
在无阻尼情况下，系统的自由振动微分方程可以表达为：[]{}[]{}0M =+x K x(3.4) 在单自由度系统中,我们得到无阻尼自由振动解为正弦函数或余弦函数,不失一般性。
对于多自由度系统振动解可设为：{}{}t i e A x ω= (3.5)列向量}{A 和ω均为待定复常数。
若系统是振动的，则解ω必为实数。
将式(3.5)代入(3.4)，得到下列代数齐次方程组：[][](){}02=-A M K ω (3.6)上面的方程组存在非零解{}A 的充分必要条件是系数行列式为零，即： [][]02=-M K ω (3.7) 式(3.7)为系统的特征方程，具体写出为：222111112121122221212222222221122n n n n n n n n nn nnk m k m k m k m k m k m k m k m k m ωωωωωωωωω---------=0 (3.8)上式左端的行列式展开后是关于2ω的n 次代数多项式：22(1)2(2)21210n n n n n b b b b ωωωω---+++⋯++= (3.9)称为特征多项式，由式(3.8)或（3.9）可解出n 个2ω称为特征值或特征根，将其按升序排列为：22212n 0<≤≤≤ωωω…显然特征值仅取决于系统本身的刚度和质量参数。
这n 个特征值在大多数情况下互不相等且不为零，重根的零根说明系统有刚体运动。
有零根和情况本书不再讨论，有兴趣的读者可参考相关的线性代数和振动理论书籍。
在求得特征值后．把某一个2j ω代回式(3.6)，可求对应的列向量}{j A 。
由于式(3.6)的系数矩阵不满秩，在没有重根和零根情况下只有(n-1)个是独立的，故只能求出列向量}{j A 中各元素j a 1、j a 2、j a 3…nj a 的比例关系。
我们去掉其中不独立的某一式(例如最后一式)，并将剩下的n-1个方程式中某一相同的项(如n A 项)移到等式右边，可得代数方程组：()()()()()()()()()()()222211111121221,11,11,11222221211222222,12,11,222221,11,111,21,221,11,1+++j j j j n j n n j n j n nj j j j j n j n n j n j n njn n j n j n j n n j n n n k m a k m a k m a k m a k m a k m a k m a k m a km a k m a k m a ωωωωωωωωωωω----------------+-+-=---+-+-=---+-+-……………()21,1,1,j n n j n n njk m a ω--=--(3.10)解上面的方程，可得到用nj a 表达的解1j a 、j a 2…j n a ,1-，显然都与nj a 的值成比例。
我们可将这些比例常数用121,,,...,j j n j φφφ-表示，并补充1nj φ=，可得列向量{}{}12,,...,Tjjj nj φφφφ=，则有：{}{}A jnjjA φ= (3.11)列向量{}j φ是确定的常数，反映列向量{}j A 中各数的比例关系，叫作特征向量。
同比例放大或减小特征向量并不改变其比例关系，所以应用时常根据需要来放大或减小特征向量。
不失一般性，我们可在式（3.11）中用待定复常数j r 取代nj A ，式（3.11）可写为：{}{}A jjjr φ= (3.12)这样，当{}j φ成比例变化时，j r 有相应的变化，对应不同的特征值，可得到不同的特征向量。